Márcio Muniz de Farias, UnB (Brazil)

Dorival Pedroso, UQ (Australia)

MINI-CURSO DE GEOMECÂNICA DE RSU

CONTEÚDO

• Introdução (Um pouco de Filosofia)

• Definições Básicas (Recordar é Viver)

• O problema de Fluxo (Matematizando o Problema)

• Resolvendo o Problema? (Discretizando o Contínuo - MDF)

• O problema de Equilíbrio (Matematizando o Problema)

• Resolvendo o Problema? (Discretizando o Contínuo - MEF)

• Acoplando (e Complicando) os Problemas (Não saturação)

Equações Gerais

(Matematizando o Problema)

FLUXO PERMANENTE

FLUXO (Fenômeno de Transporte)

� É o movimento de algo através de uma região de controle.

CONCEITOS BÁSICOS

Ex: Fluxo de carros numa via, fluxo de pessoas numa escada, fluxo de elétrons por um fio, fluxo de calor, fluxo de minério em um duto, fluxo de água através do solo.

VAZÃO

É a medida da “taxa de fluxo” ou quantidade por unidade de tempo. É um escalar.

CONCEITOS BÁSICOS

quantidadeq

tempo=

; ; unidades massa volume

q q qtempo tempo tempo

= = =

[ ] [ ]3 1 ; L T

volumeq

tempo

−=

Ex.: litros/s ; m³/s

GRANDEZA

Fluxo de água em meios porosos

VELOCIDADE DE FLUXO

Medida da vazão pela área da seção transversal à direção de fluxo. É um vetor, com magnitude igual a:

CONCEITOS BÁSICOS

vazãov

área=

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ]3 1

1

2

L T = L T

Lv

−−

= Ex.: m/s

(densidade de fluxo)

(Flux, em inglês)

α q

dA

dx

dy

q é vazão (um escalar!)

.cos ; .dx dA dy dA senα α= =

v�

x

y

vv

v

=

�é um vetor! Seu módulo é:

dA é um área infinitesimal

normal ao fluxo:

Decomposição de :

α

n

qv

dA=

x yv v i v j= +� ��

. ; .cosx n y nv v sen v vα α= =

A vazão total pode ser obtida da

soma (escalar!) de duas parcelas:

. . . .cos . .cos

.

n n

n

v sen dA sen v dA

v dA

α α α α+

=� �

.x y

x y

v dy v dx

q q q= +

. .x y x yq q q v dy v dx= + = + =qx

qy

Isto é uma soma de parcelas escalares enão uma decomposição vetorial!

2 2 2

n x yv v v= +

VELOCIDADE DE FLUXO APARENTE E EFETIVA

A área da seção transversal pode ser plena ou aquela relativa apenas aos vazios, por onde realmente a água percola:

CONCEITOS BÁSICOS

ap

vazãov

área total=

ef

vazãov

área vazios= ap efv nv=

q qAtAv

CONCEITOS BÁSICOS

Carga hidráulica: fornece uma medida de

energia específica (por unidade de peso), tem

dimensão de comprimento (L) e é

representada por uma altura.

Energiah

Peso=

[ ][ ][ ]

[ ]F L

= LF

h = Ex.: m

Carga Geométrica ou Gravitacional

CONCEITOS BÁSICOS

g

Energia potencial gravitacional m.g.yh y [L]

Peso m.g= = =

Carga Piezométrica

p

a

Energia de deformaçao uh [L]

Peso= =

γ

Carga Cinemática

2

p

Energia cinetica m.vh [L]

Peso 2m.g= =

Nível de Referência (NR)

NR

Cota y

Peso

P=m.g

Pressão u

Vel. v

Carga hidráulica total é dada pela soma das cargas geométrica, piezométrica e cinética (desprezível em meios porosos)

CONCEITOS BÁSICOS

t g p c

2

t

a

h h h h cte

u vh y

2g

= + + =

= + +γ

NR

y

Pressão u

Vel. v

hp

htEq. de Bernoulli (conservação de energia)

O fluxo de água ocorre quando há diferença de carga hidráulica total entre dois pontos.

CONCEITOS BÁSICOS

NR zA

hpA

th h(x,y)=Campo escalar de carga hidráulica (energia específica) total:

NA1

NR1

NA2 A

B

∆hAB

x

y

∆x ∆y

∆L

Perda de carga quando a água flui por um meio poroso, parte da energia é dissipada por atrito viscoso entre o fluido e as paredes dos canais formados pelos vazios no solo. A diferença de energia, por unidade de peso, é a perda de carga.

CONCEITOS BÁSICOS

A Bh h - h [L]∆ =

Vetor de gradiente hidráulico é o gradiente da carga hidráulica total.

CONCEITOS BÁSICOS

AB

x

ABy

h h

i x xi - [ ] (Adimensional)

hhi

yy

∂ ∆ ∂ ∆

= = ≅ ∆∂ ∆∂

�

Gradiente médio

ABhi [ ] (Adimensional)

L

∆=

∆

i h= ∇� �

LEI DE DARCY

CONCEITOS BÁSICOS

� ∆t

∆V

Α

∆L

∆h

Vazão

Vq

t

∆=

∆

Velocidade aparente do

Fluxo

Gradiente

qv

A=

hi

L

∆=

∆

LEI DE DARCY

CONCEITOS BÁSICOS

LEI DE DARCY

0,00E+00

2,00E-07

4,00E-07

6,00E-07

8,00E-07

1,00E-06

1,20E-06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Gradiente, i

Velocidad

e Aparente

1

k

v k.i

hv k.

l

=

∂= −

∂

Lei de Darcy generalizada (3D)

x xx xy xz x

y yx yy yz y

z zx zy zz z

v k k k i

v k k k i

v k k k i

=

Tensor de 2ª ordem de

coefientes de permeabilidade

Coeficientes de

permeabilidades normais

v k i= iɶ ɶ ɶɶ

Coeficientes de

permeabilidades cruzadas

Se (x,y,z) são direções principais de permeabilidade:

0 0

0 0

0 0

x x x

y y y

z z z

v k i

v k i

v k i

=

x x

y y

z z

v i

v k i

v i

=

COEFICIENTE DE PERMEABILIDADEO coeficiente de permeabilidade ou condutividade hidráulica (k) tem dimensão de velocidade [L/T]. Ex.: cm/s.

Mede a facilidade com que a água percola através de um meio poroso.

É determinado por meio de ensaios de laboratório, ensaios “in-situ” (preferível) ou estimado através de correlações empíricas.

CONCEITOS BÁSICOS

COEFICIENTE DE PERMEABILIDADEÉ a grandeza geotécnica com maior grau de variação.

CONCEITOS BÁSICOS

Grau de Permeabilidade Tipos de Solos

k a 20o C (cm/s)

Permeáveis

Alta Pedregulhos > 10-1

Média Areias 10-1 a 10-3

BaixaSiltes e Argilas

10-3 a 10-5

Poucopermeáveis

Muito baixa Argilas 10-5 a 10-7

Baixíssima Argilas < 10-7

Propriedades Geomecânicas dos Aterros Sanitários

Geotecnia Ambiental – Prof. Gregório Luís S. Araújo

Considere o elemento de solo de volume e um intervalo de tempo

EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO

A vazão total que sai é:

entra x y zq q q q= + +xq

x

y

z

x xq dq+zq

z zq dq+

yq y yq dq+

sai x x

y y

z z

q q dq

q dq

q dq

= + +

+ +

+

fica entra sai x y zdq q q dq dq dq= − = + +

A vazão total que entra é:

O balaço entre o que sai e o que sai é:

Variação total

yx zqq q

dq dx dy dzx y x

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

yx zvv v

dq dxdydz dxdydz dxdydzx y x

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

yx z

total

vv vdq

dV x y x

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

( )w fica yx z

total

dV vv v

dV dt x y x

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

yw x zvd v v

dt x y x

θ ∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

w div vθ =

Eq. Geral de Continuidade ou Conservação da Massa de Água

w Snθ =

Hipótese 2: Vale a lei de Darcy e (x,y,z) são direçõesprincipais:

0wθ =ɺ 0yx zvv v

x y x

∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

Hipótese 1: meio saturado (o que entra sai!)

( ) ( ) ( )0

y yx x z zk ik i k i

x y z

∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂Hipótese 3: O meio é homogêneo:

0x y z

h h hk k k

x x y y z z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Hipótese 4: O meio é isotópico:

2 2 2

2 2 20

h h h

x y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

2∇ = ∇ ∇� �i

2 2 22

2 2 2x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

2

Eq. de Continuidade (Restrita)

A equação de continuidade restrita é a Equação de Laplace e admite como soluções duas famílias de curvas normais entre si denominadas:

EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO

� Linhas de fluxo: (ψψψψ)representam as trajetórias das partículas de água durante o fluxo;

� Linhas equipotenciais: (φφφφ)representam o lugar geométrico de pontos com a mesma carga hidráulica total

iϕ

1iψ +

1i iq ψ ψ+∆ = −

iψ

1iϕ +

1i ih ϕ ϕ +∆ = −A

B

i�

v�

C

Rede de fluxo: é o conjunto de linhas de fluxo +linhas equipotenciais

EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO

Métodos para Obtenção da Rede de Fluxo

EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO

�Resolução Analítica da Equação Matemática de Fluxo;

�Utilização de Modelos Físicos;

�Analogia Elétrica;

�Traçado Manual (para problemas mais simples).

�Métodos Numéricos (Diferenças Finitas, Elementos Finitos,

Elementos de Contorno, etc...)

Solução Analítica

EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

Linhas de Fluxo:

1cosh senh

Linhas Equipotenciais:

1cos sen

z x

l l

z x

l l

ψ ψ

φ φ

+ =

+ =

Problema de Forchheimer – Percolação sob um muro

De estacas-pranchas num leito permeável infinito

(Ver livro do Milton Vargas, pag. 133)

Condições de contorno:

Em AB: h=h1Em DE: h=h2

Em BCD: vx=0 ⇒∂h/∂x=0Em z=-∞: vx=vx=0

2 2

2 20

h h

z x

∂ ∂+ =

∂ ∂

Modelo Físico

EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO

Analogia Elétrica

EQUAÇÃO MATEMÁTICA DO FLUXO

PERCOLAÇÃO DE ÁGUA

FLUXO ELÉTRICO

Carga hidráulica (h)

Voltagem (V)

Vazão (q) Corrente (i)

Velocidade (v) Densidade de corrente (j)

Permeabilidade (k)

Condutividade (c)

Lei de Darcy Lei de Ohm

Fronteira impermeável

Fronteira isolante

hv k

x

∂= −

∂ɶɶ

hj c

x

∂= −

∂ɶɶ

2 2

2 20

V V

z x

∂ ∂+ =

∂ ∂

2 2

2 20

h h

z x

∂ ∂+ =

∂ ∂

O que é Método Numérico?

DISCRETIZANDO O CONTÍNUO

CÁLCULO DO VALOR DE ππππ

Problema de Archimedes (circa 250 B.C.). Qual o

perímetro de um círculo de raio r? Equivale a achar o

valor de π, pois L=2πr.Resposta de

Arquimedes

(válida por muitos

séculos),

inscrevendo e

circunscrevendo

um polígono de 96

lados:

10 103 371 70

π< <

Conceitos:• discretização;• elementos;• nós;• montagem.

180.

o

n senn

π

≃

Princípio “Universal”

(p.ex., continuidade)

Matematização, E.D.P.

(Há mais incógnitas que eqs.!

Hipóteses Simplificadoras:

• Domínio Temporal

• Modelos Constitutivos

• Problema simplificado (determ.)

Condições de Contorno

(problema específico, ex cortina)

Método de discretização

(E.D.P.⇒S.E.A.)

( ) 0entra sai ficaq q q− + =

0dM

dt=

{ } [ ]{ }v k h= ∇��

( )w div vθ =�ɺ

0wθ =ɺ

2 0h∇ =

2 2

2 2 2 21

cos sen

z x

l h l h+ =

Solução Analítica (integração dupla) ( ), ,h h x y z=

C.C. Simples?

[ ]{ } { }A h b=

Solução Discreta

{ } { }1 1 nh h h h= ⋯

Método das Diferenças Finitas

Solução da Eq. de Laplace pelo MDF

4φ

a a

φ

φ2

3

φ0

φ1

a

a

A B

0

0 3 1 0; A Bx a x a

φ φ φ φ∂φ ∂φ∂ ∂

− − ≅ ≅

2

2

1 0 0 3 1 0 3

2

0

( ) / ( ) / 2a a

x a a

φ φ φ φ φ φ φ∂ φ∂

− − − − +≅ ≅

1 2 3 4 04 0φ φ φ φ φ+ + + − ≅

2 2

2 2 0h

x y

∂ φ ∂ φφ

∂ ∂= ∴ + =Eq. Laplace

2

2 0 4

2 2

0

2

y a

φ φ φ∂ φ∂

− +≅

1 2 3 40

4

φ φ φ φφ

+ + +≅

Divergente de φ=0!

2( ) 0 0div v h h= ⇒∇ ∇ =∇ =� ��i

2

2x x x

∂ φ ∂ ∂φ∂ ∂ ∂

=

Analogamente para direção y:

1ª derivada nos pontos A e B:

2ª derivada no ponto O:

Substituindo na

equação Laplace ou

+1

+1 +1-4

+1

Série de Taylor2 3 ( )1 1 1

( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )2 3! !

n n

o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn

′ ′′ ′′′+ = + + + + + +⋯

x

f(x)

xo

f(xo)

xo+h

f(xo+h)

h

1

conhecido

a determinar

Erro devido à

variação de f´´´(x)

0f ′ Ohf ′

2

2O

hf ′′

3

3!o

hf ′′′

of

( )( ) ( )( ) o o

o

f x h f xf x o h

h

+ −′ = +

( )2( ) ( ) ( )o o of x h f x hf x o h′− = − +

( )2( ) ( ) ( )o o of x h f x hf x o h′+ = + +

( )( ) ( )( ) o o

o

f x f x hf x o h

h

− −′ = +

1ª derivada em atraso

1ª derivada em avanço

Série de Taylor (1ª derivada centrada)2 3 ( )1 1 1

( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )2 3! !

n n

o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn

′ ′′ ′′′+ = + + + + + +⋯

2 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )

2 3! !

n n

o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn

′ ′′ ′′′− = − + − + ± +⋯

-

3( ) ( ) 2 ( ) ( )o o of x h f x h hf x o h′+ − − = +

2( ) ( )( ) ( )

2

o oo

f x h f x hf x o h

h

+ − −′ = +

1 1

2

i ii

f ff

h

+ −−′=

Série de Taylor2 3 ( )1 1 1

( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )2 3! !

n n

o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn

′ ′′ ′′′+ = + + + + + +⋯

2 3 ( )1 1 1( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( )

2 3! !

n n

o o o o o o nf x h f x hf x h f x h f x h f x Rn

′ ′′ ′′′− = − + − + ± +⋯

+

2 4( ) ( ) 2 ( ) . ( ) ( )o o o of x h f x h f x h f x o h′′+ + − = + +

2

2

( ) 2 ( ) ( )( ) ( )o o o

o

f x h f x f x hf x o h

h

+ − + −′′ = +

2

( ) 2 ( ) ( )( ) o o o

o

f x h f x f x hf x

h

+ − + −′′ ≅

21. ( )

12oh f x′′′′

1 1

2

2 )i i ii

f f ff

h

− +− +′′=

Entregando o ouro

Tipo Ordem Den. i-4 i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 i+4

cen

tra

da

fi' 1/2h -1 +1

fi’’ 1/h2 +1 -2 +1

fi’’’ 1/2h3

-1 +2 -2 +1

fi’’’’ 1/h4

+1 -4 +6 -4 +1

av

an

çad

a fi' 1/h -1 +1

fi’’ 1/h2 +1 -2 +1

fi’’’ 1/h3

-1 +3 -3 +1

fi’’’’ 1/h4

+1 -4 +6 -4 +1

atr

asa

da

fi' 1/h -1 +1

fi’’ 1/h2 +1 -2 +1

fi’’’ 1/h3

-1 +3 -3 +1

fi’’’’ 1/h4

+1 -4 +6 -4 +1

Moléculas do MDFContorno

impermeável

+2

+1 +1-4

a a

a

Impermeável

7φ

6φ

5φ8φ

12φφ

13

φ14

φ12

φ9

φ11

a a

a

a

+1/2+1/2

+1

+1+4 +1

φ

φ

φ

φ

a

a

17

15

φ16

9

16

+2 -4

+2

1 5 9 13 17 21 25 29

2 6 10 14 18 22 26 30

3 7 11 15 19 23 27 31

4 8 12 16 20 24 28 32

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h1 H1

2 1 -4 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h2 0

3 0 1 -4 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h3 0

4 0 0 2 -4 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h4 0

5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h5 H1

6 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h6 0

7 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h7 0

8 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h8 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h9 H1

10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h10 0

11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h11 0

12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h12 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h13 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h14 0

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h15 0

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h16 0

17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h17 0

18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h18 0

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h19 0

20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 h20 0

21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h21 H2

22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 h22 0

23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 h23 0

24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 -4 0 0 0 1 0 0 0 0 h24 0

25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 h25 H2

26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 h26 0

27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 h27 0

28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 -4 0 0 0 1 h28 0

29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 h29 H2

30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 -4 1 0 h30 0

31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 0 h31 0

32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 -4 h32 0

E o sistema?

Equações Gerais

(Matematizando o Problema)

FLUXO TRANSIENTE

Adensamento 1D Saturado

(Terzaghi)

Torre de Pizza Cidade de Santos

Princípio da Tensões Efetivas Terzaghi

Analogia sistema pistão-mola-água:

extF∆

Sistema em

equilíbrio inicial

Fluxo através do

orifício.

extF∆

0>∆ sFA

FPw =∆

A

FPw <∆0=∆ sF

extF∆

0=∆ wP exts FF =∆

F

sF∆

APw.

extF∆

δ

δKFs =∆

´ wuσ σ= +

Geotecnia

Equação do problema

CONSERVAÇÃO DE MASSA

wM ww dMM +wdM

wV wdV ww dVV +CONSERVAÇÃO DE VOLUME

Água incompressível

qdt

dVw dqq +CONTINUIDADE

Intervalo de tempo

zv( )dt

Sndz zv dv+

EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Elemento unitário

( )wzd SndVdv

dz dt dt= =

Geotecnia

Equação do problema

Volume de sólidos é constante cteVs =

( ) 1

1 o

d Sn de

dt e dt=

+

Coeficiente de compressibilidade constante 'v

dea

dσ= −

Princípio das tensões efetivaswdud −=´σ

Lei de Darcy wz

w

udv ki k z

dz γ

= = +

2

2

wz

w

d udv k

dz dzγ=

Solo saturado 1.0S =

( )1

v w

o

d Sn a du

dt e dt=

+

2

2 1

w v w

w o

d u a duk

dz e dtγ=

+

Geotecnia

Equação do problema

Substituindo tudo

t

u

z

ucv ∂

∂=

∂∂

2

2

wv

vm

kc

γ=

i

vv

e

am

+=1

Coeficiente de adensamento

Coeficiente devariação volumétrica

Como resolver esta equação?

• Solução analítica (para condições simples)

• Métodos numéricos (para condições mais

complicadas)

• Quais os valores de cv para RSU?

Propriedades Geomecânicas dos Aterros Sanitários

Geotecnia Ambiental – Prof. Gregório Luís S. Araújo

3.4. COMPRESSIBILIDADE

� Recalques mais elevados do que maciços de solos

� Estimativa de recalques é importante para determinação da

vida útil para o reaproveitamento da área, sistemas de drenagem

superficial, monitoramento e sistema de cobertura final.

Geotecnia

Equação do problema

Quem é o HD?

Areia

Argila

σ∆

Rocha

Argila

σ∆

H

2

HHD = HHD =

Para as seguintes

condições:D

Condição inicial ( z ; t=0): ( , 0)

Condições de contorno (z=0, z=H ; t):

( 0, ) 0

0

Dz H

u z t

u z t

u

z

σ

=

∀ = = ∆ ∀

= = ∂ =

∂

Geotecnia

Equação do problema

( )( ) ( )

+−

++

∆= ∑4

12exp

2

12

12

4 22TN

H

zNsen

Nu

D

πππ

σ

2

D

v

H

tcT =

Fator Tempo

Solução analítica

ADENSAMENTO E MDF

2

2v

u uc

z t

∂ ∂∂ ∂

=

1, , 1, , 1 ,

2

2i j i j i j i j i j

v

u u u u uc

z t

+ − +− + −⋅ =

∆ ∆

, 1 1, , 1,(1 2 )i j i j i j i ju u u uα α α+ + −= ⋅ + − + ⋅

2( )

vc t

zα

⋅∆=

∆

Critério de convergência (Wu ,1966)

0 0.5α< ≤

Diferenças centras em zi e avançadas em tj:

Algoritmo de avanço explícito no tempo:

(1−2α)

α

α

Eq. do Adensamento

1D de Terzaghi

Molécula