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Lavoro ed energia cinetica: introduzione
• Consideriamo un punto materiale che si muove di moto rettilineo sotto l’azione di una forza costante parallela alla traiettoria (per esempio moto di caduta di un grave)
x xo vxot 12 axt
2
vx vxo axt
xO F
F m
a F ma x ax
F
mcos tan te Moto uniformemente
accelerato
Eliminando il tempo:
t vx vxo
ax
x xo vxovx vxo
a x
12 ax
vx vxo
ax
2
x xo 2vxovx 2vxovxo vx
2 vxo2 2vxovx
2ax
vx
2 vxo2
2ax
vx2
2
vxo2
2ax x xo
1
2mvx
2 1
2mvxo
2 max x xo
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Lavoro ed energia cinetica: introduzione
• Si definisce
• Energia cinetica della particella
Le dimensioni
1
2mvx
2 1
2mvxo
2 max x xo
1
2mvx
2 1
2mvxo
2 F x xo
• Lavoro effettuato dalla forza costante sul percorso tra xo e x
K 1
2mvx
2 1
2mv2
W F x xo
W F L Nel SI: Nm=kgm2s-2=J (joule)
K M v 2 Nel SI: kgm2s-2=J (joule)
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Generalizzazione della definizione di lavoro
• Nello studio del moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo ottenuto:– La variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando
si sposta tra xo e x risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso tra xo e x
– Teorema delle forze vive.• Vediamo se è possibile generalizzare questo risultato al caso generale.
– Se la traiettoria non è rettilinea o se la forza non è parallela allo spostamento, solo la componente tangenziale della forza è responsabile della variazione del modulo della velocità:
dv
dta t
Ft
m
Occorre fare in modo, nella definizione di lavoro di una forza, che esso dipenda solo
dalla componente tangenziale della forza.
r
F
Ft Fcos
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Il prodotto scalare tra vettori• Dati vettori F e r, si definisce prodotto scalare
• Modulo del primo vettore per modulo del secondo vettore per il coseno dell’angolo compreso
F
r Fr cos
r
F
F
r F r cos
– Il modulo del secondo vettore per la proiezione del primo sul secondo
F
r r F cos
r
F
F cos
r cos
r
F
F
r r
F Commutativo
Il risultato di un prodotto scalare è uno scalare
• Che può anche essere interpretato come
– Il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo vettore lungo il primo
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Alcune proprietà del prodotto scalare
• Vettori paralleli
– Positivo Fr
• Vettori antiparalleli– Negativo - Fr
• Vettori ortogonali– Uguale a zero
r
F
r
F
r
F
i
i 1
j
j 1
k
k 1
i
j
i
k
j
k 0
Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso
a a a2
F Fx
i Fy
j Fz
k
r x
i y
j z
k
F
r Fxx Fyy Fzz
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Generalizzazione della definizione di lavoro
• Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo
r
F
W F
r FrcosIl lavoro è una grandezza scalare
• Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo sempre – dividere il percorso in tratti così piccoli (infinitesimi) da poter considerare
• il tratto rettilineo e
• la forza costante su quel tratto,
– Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti
– Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti
W
F d
r
i ,
f
dW
F d
r
i
f
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Generalizzazione della definizione di lavoro
• Calcolo del lavoro utilizzando le componenti cartesiane
W
F d
r
i ,
f
Fxdx Fydy Fzdz i,
f
F Fx
i Fy
j Fz
k
dr dxi dy
j dz
k
dr ds modulo di d
r
W
F d
r
i ,
f
Fdscosi,
f
F
i
f
• Calcolo del lavoro utilizzando i moduli della forza e dello spostamento
• I lavoro della risultante
R
F i
i1
n
WR
R d
r i,
f
F i d
r
i1
n
i ,
f
F i d
r
i ,
f
i1
n
Wi
i1
n
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Applicazione
• Una donna tira, a velocità costante, una slitta carica di massa m= 75 kg su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra i pattini e la neve è d=0.10, e l’angolo è di 42°.
• Calcolare il lavoro effettuato per spostare la slitta di 10 m.
La forza applicata dalla donna è uguale alla tensione T (possiamo calcolare il lavoro della tensione T).Il lavoro effettuato dalla donna sarà:
W T
r Trcos
rT
Bisogna calcolare il modulo di T.
N
F g
T
f k m
a
x : T cos fk max 0
y : N T sen mg may 0
Forza costanteSpostamento rettilineo
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Applicazione
Il lavoro effettuato dalla donna (dalla tensione):
x : T cos dN 0
y : N T sen mg 0 N mg T senT cos d(mg T sen ) 0
T cos d sen dmgT
dmg
cos d sen 90.8 N
N mg T sen 75kg 9.81m
s2 91Nsen 42 675 N
fk dN 0.10 675 N 67.5 N
Wfkfkrcos 67.510 1 675J
costante
WN Nr cos 675 10 0 0J
WT Trcos dmg
cos d sen r cos 90.8 N *10m * cos 42 675 J
WFgFgr cos 735.710 0 0J
WR WFg WN WT Wfk
0 0 675 675 0J
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Potenza
• Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t
• si definisce potenza media nell’intervallo t il rapporto :
Pmedia W
t
• La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza istantanea), si ottiene facendo il limite per t che tende a zero:
P dW
dt
dW F d
r F v dt
P
dW
dt
F dr
dt
F
dr
dt
F v
Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3]Nel SI si misura in watt (W)
Altre unità cavallo vapore (Cv)
Kilovattora come unità di misura del lavoro1kwattora=3.6MJ
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Generalizzazione del teorema delle forze vive
• Consideriamo il generico intervallo di tempo dt
– La variazione dell’energia cinetica
dK d
1
2mv2
1
2m d v2 1
2m d
v v
F
i
f
1
2m d
v v
v dv
1
2m2
v d
v m
v a dt
v dt ma d
r m
a
dr m
a d
r
R dWR
• La relazione vale per tutti gli intervalli infinitesimi: quindi anche quando si somma su tutti gli intervalli. K WR
• La variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della risultante (la somma dei lavori fatto da tutte le forze agenti sul punto materiale)
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Applicazione
• Un sollevatore di pesi solleva un manubrio di massa complessiva m=260kg per un dislivello di 2 m
• Determinare il lavoro fatto dalla forza peso durante il sollevamento• Determinare il lavoro fatto dal sollevatore di peso.• Se il sollevatore abbandona l’attrezzo mentre è in alto (h=2m) determinare
la velocità con cui arriva sul pavimento.
Osserviamo che l’energia cinetica iniziale è nulla, ma anche quella finale.La variazione di energia cinetica è nulla.Utilizzando il teorema delle forze vive:
K K f Ki 0
Per quanto riguarda l’ultima domanda: osserviamo che il moto avviene sotto l’azione della sola forza peso.Il lavoro fatto dalla forza peso in questo caso:
P
Fs
JmmskgmghWP 2.51011281.9260180cos 2 rP
K WR WP WFs0 JWW PFs
2.5101
JmmskgmghWP 2.51011281.92600cos 2 rP
K K f Ki WR WP
K f12
mvf2
Ki0 J WP
v f 2WP
m
2mgh
m 2gh 6.26
m
s
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L’energia• È una grandezza che caratterizza il punto materiale
– Dipende dal suo stato (posizione, velocità, temperatura, etc)– Esistono varia forme di energia– Per es. l’energia cinetica dipende dallo stato di moto del corpo
• I corpi possono scambiarsi l’energia:– Il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia.– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza
motrice, concorde con il moto), allora l’energia cinetica del punto materiale aumenta.
• Si dice che l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale• il punto materiale ha acquisito energia cinetica dall’ambiente esterno.
– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora la sua energia cinetica diminuisce.
• si dice che il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno• a spese della sua energia cinetica
• L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro– Trasferire cioè il movimento ad altri corpi.
• La corrente del fiume che fa muovere le macine di un mulino
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L’energia cinetica e i sistemi di riferimento
• Il valore dell’energia cinetica, come quella di altre grandezze dipende dal sistema di riferimento usato.
• Anche le distanze percorse dipendono dal sistema di riferimento usato
• Ma anche se i valori numerici cambiano, la eguaglianza tra il lavoro fatto dalla risultante e la variazione dell’energia cinetica risulta valida in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
y y'
xx'
zz
z'
O O'
r r'
x x'vxO' t
y y'
z z'vx v' x' vxO'
vy v' y'
vz v'z'
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Applicazione
• Un oggetto di massa m=10 kg viene portato in un treno dalla velocità nulla alla velocità di 2 m/s percorrendo (sul treno) un tratto di 5 m. Il treno si muove con una velocità di 20 m/s rispetto al marciapiede della stazione. Verificare il teorema delle forze vive rispetto al treno e rispetto al marciapiede.
y y'
xx'
zz
z'
O O'
r r'
x x'vxO' t
y y'
z z'vx v' x' vxO'
vy v' y'
vz v'z'
v' f2 v' i
2 2a' (x' f x' i ) a' v' f
2 v' i2
2(x' f x' i )
4
2 50.4
m
s2
R ma' 10kg 0.4m
s2 4.0N t v' f v' i
a'
2
0.45s
K' f K' i 1
2mv' f
2 1
2mv' i
2 1
210kg 4
m2
s2 20J
W' Rx'4.0N 5m 20J
K f Ki 1
2mvf
2 1
2mv i
2 1
2m v' f vo 2
1
2m v' i vo 2
K f Ki 1
210 22 2
1
210 20 2 420J
W Rx R xf x i R x' f vot x' i R x' f x' i vot W R x' f x' i vo t 4(5 20 5) 4 105 420J