g.m. - edile a 2002/03 moto rettilineo del punto materiale punto materiale –punto geometrico...

G.M. - Edile A 2002/03 Moto rettilineo del punto materiale Punto materiale Punto geometrico dotato di massa Traiettoria Il luogo dei punti via via occupati dal punto materiale Moto rettilineo Moto con traiettoria rettilinea Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una automobile lungo una strada diritta, etc.

G.M. - Edile A 2002/03 O Descrizione del moto rettilineo Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale Sulla traiettoria definiamo lasse di riferimento (origine e verso) Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra listante di tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0s inizio dellosservazione)

G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario Asse delle ascisse = variabile indipendente (il tempo). necessaria una scala, per es. 1cm=0,1s Asse delle ordinate = variabile dipendente (la posizione). Anche qui utile una scala, per es 1 cm=0,2 m I punti rappresentano le misure, la curva linterpolazione. La curva interpolante deve essere continua: il punto materiale passa per tutte le posizioni intermedie. La legge di corrispondenza una funzione seria, ad ogni istante di tempo corrisponde una sola posizione (il corpo non si pu trovare in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo). Per lo stesso motivo la funzione continua

G.M. - Edile A 2002/03 Legge oraria Il grafico orario pu anche essere rappresentato mediante una espressione matematica (legge oraria) Uso del grafico orario o della legge oraria: voglio conoscere la posizione del punto allistante 0,2 s. Con il grafico orario Con la legge oraria

G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario di un punto materiale fermo Il grafico orario una retta parallela allasse delle ascisse (dei tempi) (pendenza = 0) Legge oraria corrispondente: x = x o (x=0,31 m)

G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario di un moto a velocit costante La retta: x=mt+n n= intercetta asse ordinate m= coefficiente angolare Il grafico orario una retta Legge oraria corrispondente:

G.M. - Edile A 2002/03 Moto di unautomobile su un tratto rettilineo Esiste una relazione tra la pendenza del grafico orario e la velocit dellautomobile.

G.M. - Edile A 2002/03 Spostamento e percorso effettuato Grafico orario di un corpo lanciato verso lalto. Legge oraria corrispondente x = x o + v o t + 1/2a o t 2 x o = 7.2 m v o = 11.4 m a o = -5.0 m Consideriamo gli istanti Spostamento= x =x finale -x iniziale x massimo Percorso effettuato: la lunghezza del tratto effettivamente percorso Nel caso della figura d=(x massimo -x 1 )+(x massimo -x 2 ) x iniziale Iniziale: t iniziale x finale finale: t finale

G.M. - Edile A 2002/03 Il segno dello spostamento x massimo x finale Spostamento x =x finale -x iniziale con t > 0 Nel caso di un moto rettilineo non necessario far ricorso alla rappresentazione vettoriale Il verso del moto viene rappresentato dal segno di x Se x >0 allora vuol dire che x finale >x iniziale : il moto avvenuto nella direzione positiva dellasse delle x Se x

G.M. - Edile A 2002/03 Velocit media Velocit scalare Sempre positiva Velocit vettoriale Positiva -->x crescenti Negativa-->x decrescenti

G.M. - Edile A 2002/03 Alla guida di unautomobile, dopo aver percorso una strada rettilinea per 8,4 km a 70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi, sempre nella stessa direzione, per 2.0 km fino al prossimo distributore, dove siete arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual Qual lo spostamento complessivo Il tempo complessivo impiegato La velocit media

G.M. - Edile A 2002/03 Velocit media Abbiamo definito la velocit vettoriale media

G.M. - Edile A 2002/03 Descrizione del moto attraverso la velocit media Supponiamo di far muovere tra t 1 e t 2 il punto materiale con la velocit media appena calcolata Valutiamo la sua posizione allistante t=2s. Conclusione: La descrizione del moto mediante la velocit media insoddisfacente Le predizioni sono corrette solo agli estremi t 1 e t 2. Posizione al tempo t=2s predetta con la velocit media Posizione vera al tempo t=2s

G.M. - Edile A 2002/03 Determinazione della velocit media in intervalli di tempo sempre pi piccoli Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocit media si ottiene una descrizione del moto decisamente migliore Riducendo sempre pi gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocit media si otterr una descrizione sempre migliore! Sarebbe opportuno ridurre a zero lampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocit media, cos la descrizione del moto sar perfetta! Ridurre a zero lampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocit del corpo ad ogni istante: la velocit istantanea

G.M. - Edile A 2002/03 La velocit istantanea Procediamo nel seguente modo: Consideriamo listante t 1 in cui vogliamo calcolare la velocit La velocit media corrisponder al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico Riduciamo ora lintervallo di tempo t facendolo tendere a zero. Osserviamo che quando t tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocit media in t, tende a diventare quello della retta tangente al grafico allistante t 1. Consideriamo un intervallo di tempo t maggiore di zero. Calcoliamo la velocit media in t Si definisce velocit istantanea allistante t 1 il seguente limite: t 1 + t x(t 1 + t) t x 2 x(t 1 ) t1t1 1

G.M. - Edile A 2002/03 La velocit istantanea 2 Riassumendo: Nel grafico essa rappresentata dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico allistante t 1. Il limite di: corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) allistante t 1. Abbiamo definito la velocit istantanea come allistante di tempo t 1 : x(t 1 ) t1t1 1 rapporto incrementale

G.M. - Edile A 2002/03 Velocit istantanea ad ogni istante di tempo Ripetendo loperazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t 2 o t 3, possiamo conoscere la velocit istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo. x(t 1 ) t1t1 x(t 2 ) t2t2 x(t 3 ) t3t3 Se ripetiamo loperazione per tutti gli istanti di tempo dellintervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocit istantanea in funzione del tempo v x (t) Questa funzione altro non che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t) Positiva --> x(t) crescente Negativa --> x(t) decrescente

G.M. - Edile A 2002/03 Velocit scalare istantanea e velocit vettoriale istantanea Anche per la velocit scalare di pu definire la velocit istantanea: x massimo x iniziale x finale Ma quando t tende a zero, avremo Si ottiene quindi la seguente relazione La velocit scalare istantanea uguale al valore assoluto, al modulo, della velocit vettoriale istantanea

G.M. - Edile A 2002/03 Grafico della velocit istantanea Nel moto che stavamo studiando: La pendenza del grafico orario non costante Questo implica che la velocit non costante Possiamo costruirci il grafico della velocit: la velocit decresce con il tempo. La velocit maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dellasse x Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dellasse x. Quando x massimo la velocit nulla

G.M. - Edile A 2002/03 Accelerazione media e istantanea Se la velocit di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidit varia. Si definisce laccelerazione media nellintervallo di tempo tra t 1 e t 2 il seguente rapporto: Come abbiamo fatto per la velocit anche per laccelerazione possiamo passare allaccelerazione istantanea: Laccelerazione istantanea allistante t 1 data da: Tenendo conto della definizione di derivata:

G.M. - Edile A 2002/03 Grafico dellaccelerazione istantanea Ripetendo loperazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare la funzione accelerazione. Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocit. Dato che noi conosciamo la velocit in funzione del tempo Laccelerazione costante (negativa), come daltra parte ci aspettavamo dal grafico della velocit. possiamo utilizzare questa relazione per determinare laccelerazione in funzione del tempo.

G.M. - Edile A 2002/03 Il segno dellaccelerazione Riguardando la definizione dellaccelerazione media ( ma le stesse considerazioni valgono per laccelerazione istantanea ), si vede che: a xm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dellasse x: v finale maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocit) Se la velocit positiva il valore della velocit aumenta Se la velocit negativa il valore della velocit con il segno aumenta, il suo valore assoluto per diminuisce a xm minore di zero, diretta nella direzione negativa dellasse x: v finale minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocit) Se la velocit positiva il valore della velocit diminuisce Se la velocit negativa il valore della velocit con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta. Possiamo concludere: Se laccelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocit, il modulo della velocit aumenta. se ha verso opposto il modulo della velocit diminuisce.

G.M. - Edile A 2002/03 Conclusioni Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo Possiamo calcolarci la velocit: v x (t) la velocit in funzione del tempo E quindi laccelerazione: a x (t) laccelerazione in funzione del tempo Combinando le due espressioni: Laccelerazione la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo

G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x in m e t in s e t>0) (1)x=3t(2) x=-4t 2 -2(3) x=2/t 2 (4) x=-2 a)In quale situazione la velocit vettoriale costante? b)in quale altra v diretta nel verso negativo dellasse x? a) la velocit vettoriale costante nella situazione (1) e (4) b)la velocit vettoriale diretta nella direzione negativa dellasse x nei casi (2) e (3). Infatti:

G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per met tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete met della distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h. Qual la velocit scalare media allandata e al ritorno? Qual la velocit vettoriale media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le velocit medie Indichiamo con t il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La distanza totale percorsa sar la somma delle due distanze ed il tempo impiegato t.

G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari per percorrere le due met sono: Il tempo totale impiegato t per tornare da Taranto a Bari sar la somma dei due tempi. La velocit vettoriale media complessiva nulla.

G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. Tracciate il grafico orario ed indicate le velocit medie t x t t

G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione La posizione di un oggetto che si muove in linea retta data dallespressione x=3t-4t 2 +t 3, ove x in metri e t in secondi. a)qual la posizione per t=1,2,3 e 4 s? b)qual lo spostamento delloggetto nellintervallo di tempo tra t=0 e t=4s? c)qual la velocit vettoriale media nellintervallo tra t=2s e t=4s? d)qual la velocit istantanea allistante di tempo t=3s? e)costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nellespressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti:

G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. b)qual lo spostamento delloggetto nellintervallo di tempo tra t=0 e t=4s? d) qual la velocit istantanea allistante di tempo t=3s? c) qual la velocit vettoriale media nellintervallo tra t=2s e t=4s?

G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. e)costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d).

G.M. - Edile A 2002/03 Il problema del moto Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione del punto materiale ad ogni istante di tempo: Con una prima derivazione possiamo determinare la funzione velocit Con una seconda derivazione possiamo determinare la funzione accelerazione Il problema che ora ci poniamo il seguente: Se conosciamo laccelerazione ad ogni istante di tempo nellintervallo di osservazione del moto, conosciamo cio la funzione a(t), siamo in grado di determinare la legge oraria? determinare come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)? Si tratta di risolvere la seguente equazione:

G.M. - Edile A 2002/03 Lequazione differenziale Lequazione precedente unequazione differenziale Contiene le derivate del secondo ordine (contiene la derivata seconda) Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale come quella precedente? Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle la cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione nota dellaccelerazione a(t).

G.M. - Edile A 2002/03 Soluzioni dellequazione differenziale Supponiamo di aver trovato una soluzione dellequazione differenziale, di aver trovato cio una funzione x 1 (t) la cui derivata seconda proprio uguale alla funzione nota a(t). La funzione x(t)=k 1 +k 2 t+x 1 (t), con k 1 e k 2 due costanti reali qualsiasi, anchessa soluzione della stessa equazione differenziale.

G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione formale dellequazione differenziale Cominciamo con il risolvere unequazione pi semplice: Supporremo si conoscere la funzione velocit v x (t) e di voler determinare la legge oraria x(t) Lequazione differenziale in questo caso del primo ordine. Fissato un generico istante di tempo t* si calcola lo spostamento subito dal punto materiale tra t=0 e t* Si ripete il calcolo per tutti gli istanti di tempo si ottiene cos la legge oraria

G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione formale dellequazione differenziale Se conoscessimo la velocit media tra t=0 e t*, lo spostamento varrebbe: Purtroppo conosciamo la velocit in tutti gli istanti di tempo ma non quella media Possiamo fare delle ipotesi: La velocit media uguale a quella a t=0 a quella a t*/2

G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lo spostamento complessivo invece Noi per non conosciamo la velocit media v xm,i in ciascuno degli n intervalli di tempo, sappiamo solo che essa compresa tra il valore minimo e quello massimo assunti dalla funzione v x (t) nell'intervallo tra t i-1 e t i Per fare una stima dello spostamento supporremo che la velocit media nelli-esimo intervallo coincida con la velocit allinizio dellintervallo stesso: La stima dello spostamento nel grafico corrisponde allarea totale dei rettangoli di base t e altezza v x (t i-1 ).

G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lapprossimazione v xm,i =v x (t i-1 ) tanto migliore quanto pi piccola lampiezza degli intervalli t. Infatti al diminuire di t diminuisce la differenza tra il valore massimo e quello minimo della velocit in t. Otterremo una stima sempre pi precisa dello spostamento man mano che t tende a zero, o, equivalentemente, man mano che n, il numero delle suddivisioni, tende allinfinito.

G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del punto materiale uguale a: Questo limite si chiama integrale della funzione v x (t) tra t=0 e t, e si indica: Si tratta di un integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di integrazione (t=0 e t*)

G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lintegrale definito corrisponde allarea sotto la curva tra t=0 e t*. Attenzione larea deve essere presa con il segno Positiva nei tratti in cui la funzione positiva Negativa nei tratti in cui la funzione negativa Calcolando lintegrale per ogni istante t* si ottiene la legge oraria

G.M. - Edile A 2002/03 La velocit media Siamo ora in grado di valutare la velocit media nellintervallo tra t=0s e t*. Applicando la definizione: Larea del rettangolo di base t e altezza v m ha un area uguale a quella delimitata dal grafico della curva, lasse delle ascisse e gli estremi dellintervallo t=0s e t* Da cui si ottiene:

G.M. - Edile A 2002/03 Come si risolve lintegrale definito Lintegrale loperazione inversa della derivata Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t), occorre ricercare una qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t) tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia proprio uguale alla funzione integranda: La funzione F(t) si chiama primitiva della funzione f(t) Il valore dellintegrale si ottiene calcolando la differenza tra i valori assunti dalla funzione nellestremo superiore e nellestremo inferiore. In simboli:

G.M. - Edile A 2002/03 Esempio Dalla definizione di velocit sappiamo che: v(t) la velocit allistante t dt un intervallo di tempo infinitesimo che comincia allistante t dx lo spostamento infinitesimo subito dal punto nellintervallo infinitesimo dt questa uguaglianza vale in tutti gli infiniti intervalli infinitesimi in cui ho suddiviso lintervallo di osservazione del moto Luguaglianza continuer a valere se sommo, membro a membro, su tutti gli infiniti intervalli di tempo: 5=3+2 7=5+2 Totale 12=12 Valutiamo variabile di integrazione x funzione integranda f(x)=1 primitiva F(x)=x usualmente t i =0s x(0s)=x o

G.M. - Edile A 2002/03 Propriet degli integrali Lintegrale altro non che una somma, con lunica particolarit che fatta su infiniti termini. Siccome in una somma il risultato non cambia cambiando lordine con cui vengono sommati i vari termini, allora ne deduciamo che lintegrale di una somma di funzioni uguale alla somma degli integrali Inoltre, cos come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore comune, questo pu essere messo in evidenza, cos nellintegrale, eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi infinitesimi da sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale.

G.M. - Edile A 2002/03 Moto uniforme Valutiamo ora il secondo membro: necessario specificare la funzione v x (t). Supponiamo che v x (t) sia costante, moto uniforme, e pari a v xo variabile di integrazione t funzione integranda f(t)=v xo primitiva F(t)= v xo t Si ricava Questa relazione valida comunque noi scegliamo listante t f in cui vogliamo smettere losservazione del moto. Si pu sopprimere lindice f Si ottiene cos la legge oraria del moto uniforme:

G.M. - Edile A 2002/03 Considerazioni La legge oraria trovata soluzione dellequazione differenziale: come ce laspettavamo, la posizione varia linearmente con il tempo : 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 0,005,0010,0015,00 t (s) x (m) xoxo tan =v xo Osserviamo che per qualunque valore di x o, la funzione precedente soluzione dellequazione differenziale. Ci sono infinito alla uno soluzioni delleq. diff. Infatti lequazione differenziale del primo ordine. Lequazione differenziale non determina la costante x o, essa viene determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso x o proprio la posizione iniziale, a t=0s). Lanalisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dellequazione differenziale che soddisfa anche le condizioni iniziali Il numero delle condizioni iniziali pari al grado delleq. diff.

G.M. - Edile A 2002/03 Legge oraria del moto uniformemente accelerato Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocit nel caso in cui laccelerazione costante: Per arrivare alla legge oraria dobbiamo risolvere la seguente eq. diff. Sappiamo che la soluzione di tale eq. diff. data da:

G.M. - Edile A 2002/03 La legge oraria del moto uniformemente accelerato Come gi osservato in precedenza, la legge oraria precedente, per qualunque valore delle costanti x o e v xo soluzione delleq. diff. Lequazione differenziale non determina tali costanti: Esse vanno determinate utilizzando le condizioni iniziali: La posizione x o allistante iniziale t=0 La velocit v ox allistante iniziale t=0 Lanalisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione delleq. diff. che soddisfa anche al problema delle condizioni inziali. Le due equazioni in testa alla pagina vanno interpretate come lintegrale generale dellequazione differenziale del moto uniformemente accelerato e vanno poi adattate al problema specifico inserendo le corrette condizioni iniziali. la soluzione della eq. diff.

G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario del moto uniformemente accelerato Il grafico orario del moto uniformemente accelerato un arco di parabola. x o la posizione allistante t=0s (lintercetta con lasse delle ordinate). v xo la velocit iniziale, ossia la pendenza del grafico allistante iniziale. Landamento della velocit in funzione del tempo lineare. xoxo

G.M. - Edile A 2002/03 Moto uniforme ed uniformemente accelerato Il moto uniformemente accelerato, contiene, come caso particolare il moto uniforme, quando cio laccelerazione a xo uguale a zero.

G.M. - Edile A 2002/03 Moto di caduta dei gravi Galilei ha determinato che in vicinanza della superficie terrestre, in assenza di aria Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc) g, allinterno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende dalla posizione del corpo. g, quindi anche indipendente dal tempo (costante). Se il volume non limitato g dipende dalla quota g dipende dalla latitudine, pi grande ai poli, ed pi piccola allequatore Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81 m/s 2

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