gitman cap4

ECONOMA Y FINANZAS MATEMTICAS FINANCIERAS

Captulo IV

Valor del dinero en el tiempo*

GITMAN, L. (1999) Principios de la Administracin Financiera

Objetivos de aprendizaje Explicar el papel del valor del tiempo en las finanzas, el uso de las

herramientas de clculo y los patrones bsicos del flujo de efectivo Comprender los conceptos de los valores futuro y presente, su clculo para

cantidades nicas y la relacin del valor presente con el valor futuro. Encontrar los valores futuro y presente de una anualidad ordinaria, as como el

valor presente de una perpetuidad. Calcular los valores futuro y presente de una serie combinada de flujos de

efectivo. Entender el efecto que la capitalizacin en periodos menores de un ao tiene

sobre el valor futuro y la tasa de inters anual efectiva. Describir los procedimientos implicados en 1) la determinacin de los depsitos

para acumular una suma futura, 2) la amortizacin de prstamos, 3) el clculo de tasas de inters o de crecimiento y 4) el clculo de un nmero de desconocido de periodos.

A travs de las disciplinas Por qu es importante para usted este captulo Contabilidad: Necesita entender el clculo del valor del dinero en el tiempo para contabilizar ciertas transacciones como amortizacin de prstamos, pagos de arrendamiento y tasas de inters de bonos. Sistemas de informacin: Necesita comprender el clculo del valor del dinero en el tiempo para disear sistemas que optimicen los flujos de efectivo de la empresa. Administracin: Necesita entender el clculo del valor del dinero en el tiempo para poder planear cobranzas y desembolsos en efectivo de manera que la empresa obtenga el mayor valor de su dinero. Marketing: Necesita comprender el valor del dinero en el tiempo porque los fondos para nuevos programas y productos se deben justificar financieramente mediante tcnicas del valor del dinero en el tiempo. * Este material se ha preparado de manera exclusiva para los participantes del MBA Virtual y en concordancia con lo dispuesto por la legislacin sobre derechos de autor.

D. Leg. 822 Artculo 44

1


2

Operaciones: Necesita comprender el valor del dinero en el tiempo porque las inversiones en equipo nuevo, en inventarios y en las cantidades de produccin se vern afectadas por las tcnicas del valor del dinero en el tiempo. Puesto que vemos a la empresa como un negocio en marcha, evaluamos las decisiones de sus administradores financieros y, finalmente, el valor de la empresa misma a la luz de sus flujos de efectivo. La oportunidad de ganar intereses sobre los fondos de la empresa hace que el periodo de ocurrencia de sus flujos de efectivo sea importante porque el dinero que se reciba en el futuro no es igual al que se recibe hoy. Por consiguiente, el dinero tiene un valor en el tiempo, el cual afecta a todos los individuos, empresas y gobiernos. En este captulo exploramos los conceptos relacionados con el valor del dinero en el tiempo.

El papel del valor del tiempo en las finanzas Los administradores y los inversionistas financieros siempre tienen oportunidades de ganar tasas positivas de rendimiento sobre sus fondos, ya sea a travs de inversiones en proyectos atractivos o en valores o depsitos que devengan intereses. Por consiguiente, el periodo de ocurrencia de los flujos positivos y negativos de efectivo tiene consecuencias econmicas importantes, mismas que los administradores financieros reconocen explcitamente como valor del dinero en el tiempo. El valor en el tiempo se basa en la creencia de que el dinero actual tiene un valor mayor que el que se recibir en una fecha futura. Empezamos nuestro estudio del valor en el tiempo en las finanzas considerando los dos puntos de vista del valor en el tiempo: el valor futuro y el valor presente, las herramientas de clculo que se utilizan para agilizar el clculo del valor en el tiempo, y los patrones bsicos del flujo de efectivo.

Valor futuro en comparacin con valor presente Los valores y decisiones financieros se pueden evaluar mediante las tcnicas de los valores futuro o presente. Aunque estas tcnicas darn como resultado las mismas decisiones, mediante ellas se tiene una visin diferente de las decisiones. Por lo general, las tcnicas del valor futuro miden los flujos de efectivo al final de la vida de un proyecto, mientras que las tcnicas del valor presente los miden al inicio de la vida de un proyecto (en el tiempo cero). El valor futuro es el efectivo que usted recibir en una fecha futura, y el valor presente es como tener el dinero en la mano hoy. Para ilustrar los flujos de efectivo asociados con una inversin podemos usar una lnea de tiempo, que es una lnea horizontal en la que el tiempo cero aparece en el extremo izquierdo y los periodos futuros estn marcados de izquierda a derecha. En la figura 4.1 se presenta una lnea que cubre cinco periodos (en este caso cinco aos). El flujo de efectivo que ocurre en el tiempo cero y el que ocurre al final de cada ao se muestran sobre la lnea; los valores negativos representan las salidas de efectivo ($ 10,000 en el tiempo cero) y los valores positivos representan las entradas de efectivo ($3,000 al final del ao 1, $5,000 al final del ao 2 y as sucesivamente).


Puesto que el dinero tiene un valor en el tiempo, todos los flujos de efectivo asociados con una inversin, como los que se muestran en la figura 4.1, se deben medir en el mismo punto en el tiempo. En general, este punto est ya sea al final o al inicio de la vida de la inversin. La tcnica del valor futuro utiliza capitalizacin para encontrar el valor futuro de cada flujo de efectivo al final de la vida de la inversin y luego suma estos valores para encontrar el valor futuro de la inversin. Este mtodo se ilustra sobre la lnea de tiempo de la figura 4.2. La figura muestra que el valor futuro de cada flujo de efectivo se mide al final de la vida de 5 aos de la inversin. Por otro lado, la tcnica del valor presente utiliza el descuento para encontrar el valor presente de cada flujo de efectivo en el tiempo cero y luego suma estos valores para encontrar el valor actual de la inversin. La aplicacin de este mtodo se ilustra bajo la lnea de tiempo de la figura 4.2. Este captulo trata el sentido y la mecnica tanto de la capitalizacin como del descuento, para encontrar el valor futuro de la primera y el valor presente del segundo. Aunque el valor futuro y el valor presente dan como resultado las mismas decisiones, los administradores financieros ya que ellos toman decisiones en el tiempo cero tienden a basarse sobre todo en las tcnicas del valor presente.

Herramientas de clculo A menudo se requieren clculos que consumen tiempo para encontrar los valores presente y futuro. Aunque usted debe conocer los conceptos y la matemtica que suponen estos clculos, la aplicacin de las tcnicas del valor en el tiempo se puede agilizar. Por esta razn nos enfocamos en el uso de tablas financieras, calculadoras

3


4

financieras manuales, as como computadoras y hojas de clculo como auxiliares de clculo. Tablas financieras Las tablas financieras incluyen varios factores de inters de los valores presente y futuro que simplifican los clculos del valor en el tiempo. Los valores que se muestran en estas tablas se desarrollan fcilmente a partir de frmulas con varios grados de redondeo. Por lo comn, las tablas se indexan por la tasa de inters (en las columnas) y por el nmero de periodos (en las filas). La figura 4.3 muestra este esquema general. El factor de inters a una tasa de 20% a 10 aos se encontrara en la interseccin de la columna 20% y la fila del periodo 10, como se muestra en el cuadro con las equis. En el apndice A, al final del libro, se incluye un grupo completo de las cuatro tablas financieras bsicas. Estas tablas se describen ms ampliamente en el transcurso del captulo.

Tasa de inters FIGURA 4.3 Tablas financieras Esquema y uso de una tabla financiera

Periodo 1% 2% L 10% L 20% L 50%

1 L L M L 2 L L M L 3 L L M L M M M L M L M L M 10 L L L L L x.xxx L L M M M L M L M L M 20 L L L M M M L M L M L M 50 L L L

Calculadoras financieras Tambin se pueden usar calculadoras financieras para hacer clculos del valor en el tiempo. Por lo general, las calculadoras financieras contienen numerosas rutinas financieras programadas de antemano. ste y los siguientes captulos muestran las teclas que sirven para calcular factores de inters y realizar otros clculos financieros. Por conveniencia, utilizamos las teclas financieras importantes, clasificadas de manera que concuerden con las principales calculadoras financieras. Nos enfocaremos principalmente en las teclas ilustradas y definidas en la figura 4.4. Por lo comn utilizamos cuatro de las primeras cinco teclas que se muestran en la columna izquierda, junto con la tecla para iniciar el clculo (CPT). Una de las cuatro teclas representa el valor desconocido que se va a calcular. (A veces se utilizan las cinco teclas, y una representa el valor desconocido.) Las pulsaciones de tecla en algunas de las calculadoras ms sofisticadas son controladas por mens: despus de que usted selecciona la rutina apropiada, la calculadora le pide que introduzca cada valor; en estas calculadoras no se necesita una tecla de clculo para obtener una solucin. No obstante, en lugar de las tablas financieras se puede usar cualquier


calculadora que tenga las funciones bsicas de valor presente y valor futuro. Las teclas de otras calculadoras financieras se explican en las guas de referencia que las acompaan.

N Nmero de periodos I Tasa de inters por periodo

PV Valor presente PMT Monto de pago (slo para anualidades)

FV Valor futuro

CPT Tecla que se usa para iniciar clculos financieros una vez que se han introducido todos los valores

FIGURA 4.4 Teclas de la calculadora

Teclas financieras importantes de una calculadora tpica

Una vez que ha entendido los conceptos bsicos, probablemente desee utilizar una calculadora para agilizar clculos financieros de rutina. Con un poco de prctica puede aumentar la velocidad y la exactitud de sus clculos financieros. Tenga presente que, debido a la mayor precisin de una calculadora, es posible que haya ligeras diferencias entre los valores calculados con las tablas financieras y los que se obtienen con una calculadora financiera. Recuerde que el objetivo es la comprensin conceptual del material. La capacidad para resolver problemas con la ayuda de una calculadora no refleja necesariamente tal comprensin, por lo que no debe conformarse con las respuestas. Trabaje con el material hasta que est seguro de que tambin comprende los conceptos. Computadoras y hojas de clculo Al igual que las calculadoras, las computadoras y las hojas de clculo tienen rutinas integradas que simplifican los clculos del valor en el tiempo. En el texto proporcionamos varias soluciones en hojas de clculo que identifican las entradas de celda para el clculo de valores en el tiempo. El valor de cada variable se escribe en una celda de la hoja de clculo y el clculo se programa mediante una ecuacin que vincula las celdas individuales. Si se cambian los valores de las variables, la solucin cambia automticamente como resultado de la ecuacin que vincula las celdas. En las soluciones de las hojas de clculo de este libro, la ecuacin que determina el clculo se muestra en la parte inferior de la hoja de clculo. El uso de hojas de clculo se ha convertido en una de las principales habilidades de los administradores de hoy. Como dice la cancin: Sbete al tren de los triunfadores o te arrollar. Las soluciones en hojas de clculo que presentamos en este libro le ayudarn a subirse a ese tren!

5


6

Patrones bsicos de flujo de efectivo Los flujos de efectivo entradas y salidas de una empresa se pueden describir por su patrn general. Se pueden definir como una cantidad nica, una anualidad o una serie combinada.

Cantidad nica: cantidad global que se tiene actualmente o que se espera en una fecha futura. Como ejemplo, podramos tener hoy $1,000 y $650 que se recibiran al final de 10 aos. Anualidad: nivel de serie peridica de flujo de efectivo. Para nuestros propsitos, trabajaremos sobre todo con los flujos de efectivo anuales. Por ejemplo, pagar o recibir $800 al final de cada uno de los prximos 7 aos. Serie combinada: una serie de flujo de efectivo que no es una anualidad; una serie de flujos de efectivo peridicos desiguales que no refleja un patrn particular. Por ejemplo, las dos series de flujo de efectivo A y B que se presentan a continuacin.

Serie combinada de flujos de efectivo

Final del ao A B

1 $ 100 $ 50 2 800 100

3 1,200 80

4 1,200 60 5 1,400

6 300

Observe que ninguna serie tiene flujos de efectivo peridicos iguales, y que A es una serie combinada a 6 aos y B es una serie combinada a 4 aos.

En las tres secciones siguientes de este captulo desarrollamos los conceptos y tcnicas para encontrar valores futuros y presentes de cantidades nicas, anualidades y series combinadas, respectivamente. Se incluyen demostraciones detalladas de patrones de flujo de efectivo.

Preguntas de repaso Cul es la diferencia entre valor futuro y valor presente? Qu mtodo

prefieren en general los administradores financieros? Por qu? Defina y diferencie entre los tres patrones bsicos de flujos de efectivo: 1) una

cantidad nica, 2) una anualidad y 3) una serie combinada.


7

Cantidades nicas Los conceptos y clculos ms bsicos de valores futuro y presente se refieren a cantidades nicas, ya sean cantidades presentes o futuras. Empezamos considerando el valor futuro de cantidades presentes. Luego usamos los conceptos fundamentales para aprender a determinar el valor presente de cantidades futuras. Ver que aunque el valor futuro es ms atractivo por naturaleza, el valor presente es ms til para la toma de decisiones financieras.

Valor futuro de una cantidad nica Imagine que a los 25 aos empez a hacer depsitos anuales de $2,000 en una cuenta de ahorro que gana un 5% anual garantizado. Al final de 40 aos, a la edad de 65, usted habra invertido un total de $80,000 (40 aos X $2,000 por ao). Suponiendo que todos los fondos estn invertidos, cunto habr acumulado al final del ao 40? $100,000? $150,000? $200,000? No, sus $80,000 habrn crecido a $242,000! Por qu? Porque el valor del dinero en el tiempo habr permitido que sus ahorros generen rendimientos compuestos durante los 40 aos. El concepto del valor futuro Hablamos de inters compuesto para indicar que la cantidad de inters que se gana en un depsito dado se vuelve parte del principal al final de un periodo especificado. El trmino principal se refiere a la cantidad de dinero sobre la que se paga un inters. El tipo ms comn es la capitalizacin (o composicin) anual. El valor futuro de una cantidad presente se obtiene capitalizando durante un periodo especificado. Las instituciones de ahorro ofrecen rendimientos con inters compuesto a una tasa de x%, o x% de intereses, capitalizados cada ao, semestre, trimestre, semana, da o continuamente. El concepto del valor futuro con capitalizacin anual se puede ilustrar mediante un ejemplo sencillo.


8

EJE

MP

LO

Si Fred Moreno deposita $100 en una cuenta de ahorros que paga 8% de inters capitalizado anualmente, al final de un ao tendr $108 en la cuenta - el principal inicial de $100 ms 8% ($8) de intereses. El valor futuro al final del primer ao se calcula mediante la ecuacin 4.1:

Valor futuro al final del ao 1 = $100 (1 + 0.08) = $108 (4.1)Si Fred dejara este dinero en la cuenta durante otro ao, se le pagara un inters de 8% sobre el nuevo principal de $108. Al final de este segundo ao habra $116.64 en la cuenta. Esta cantidad representara el principal al inicio del ao 2 ($108) ms 8% de los $108 ($8.64) de intereses. El valor futuro al final del segundo ao se calcula mediante la ecuacin 4.2:

Valor futuro al final del ao 2 = $108 (1 + 0.08) (4.2) = $116.64 Sustituyendo la expresin entre los signos de igual de la ecuacin 4.1 por la cifra $108 de la ecuacin 4.2, obtenemos la ecuacin 4.3:

Valor futuro al final del ao 2 = $100 (1 + 0.08) (1 + 0.08) (4.3) = $100 (1 + 0.08)2 = $116.64

Inters compuesto Inters que se gana en un depsito dado y que se vuelve parte del principal al final

de un periodo especificado.

Principal Cantidad de dinero sobre la que se pagan intereses

Valor futuro

Valor de una cantidad presente en una fecha futura, que se obtiene capitalizando durante un perodo especificado.

Las ecuaciones del ejemplo anterior conducen a una frmula ms general para el clculo del valor futuro. Ecuacin para calcular el valor futuro La relacin bsica de la ecuacin 4.3 se puede generalizar para encontrar el valor futuro despus de cualquier nmero de periodos. Utilizamos la siguiente notacin para las diversas entradas:

FVn = valor futuro al final del periodo PV = principal inicial o valor presente i = tasa de inters anual pagada. (Nota: por lo general, en las

calculadoras financieras se usa la I para representar esta tasa.)


n = nmero de periodos (por lo comn, aos) que se deja el dinero en

depsito La ecuacin general para el valor futuro al final del periodo n es:

FVn = PV x (1 + i)n (4.4) Un ejemplo sencillo ilustrar cmo aplicar la ecuacin 4.4.

Jane Farber deposita $800 en una cuenta de ahorro que paga 6% de inters capitalizado anualmente. Jane desea saber cunto dinero habr en la cuenta al final de los 5 aos. Sustituyendo PV=$800, i = 0.06 y n = 5 en la ecuacin 4.4, obtenemos la cantidad al final del ao 5.

FV5 = $800 x (1+0.06)5 = $800 x (1.338) = $1,070.40 Este anlisis se puede ilustrar en la lnea de tiempo como sigue:

EJE

MP

LO

Lnea de tiempo para el valor futuro de una cantidad nica ($800 de principal inicial, con una ganancia de 6% al final de 5 aos

Uso de herramientas de clculo para encontrar el valor futuro Para obtener la solucin del ejemplo anterior se requiere elevar 1.06 a la quinta potencia. El uso de una tabla de intereses de valor futuro, una calculadora financiera o una hoja de clculo electrnica simplifica el clculo en gran medida. En este libro se incluye una tabla que proporciona los valores de (1 + i)n de la ecuacin 4.4, la tabla A-1 del apndice A1 El valor de cada celda de la tabla se llama factor de inters del valor futuro. Este factor es el multiplicador que se usa para calcular, a una tasa de inters especificada, el valor futuro de una cantidad presente a partir de un tiempo dado. El factor de inters del valor futuro para un principal inicial de $1 capitalizado al i% durante n periodos se conoce como FVIFi,n (por sus siglas en ingls):

Factor de inters del valor futuro = FVIFi,n = (1 + i)n (4.5) Buscando la interseccin de la tasa de inters anual, i, y los periodos apropiados, n, encontrar el factor de inters del valor futuro que sea pertinente para un problema en particular2 Usando FVIFi,n, como el factor apropiado, podemos reescribir la ecuacin general para el valor futuro (ecuacin 4.4) como sigue:

1 Esta tabla se conoce como la tabla de inters compuesto o tabla del valor futuro de un dlar, peso, etctera. Si comprende el origen de los valores de la tabla, la nomenclatura no debe confundirlo porque siempre puede hacer un clculo de prueba de un valor para un factor como una verificacin. 2 Aunque por lo comn usamos aos ms que periodos, las tablas financieras se suelen presentar en trminos de periodos para dar un mximo de flexibilidad.

9


10

FVn=PV x (FVIFi,n) (4.6)

Esta expresin indica que para encontrar el valor futuro al final del periodo n de un depsito inicial, slo tenemos que multiplicar el depsito inicial, PV, por el factor de inters del valor futuro apropiado.3

Factor de inters del valor futuro Multiplicador utilizado para calcular, a una tasa de inters especificada, el valor

futuro de una cantidad presente a partir de un tiempo dado.

EJE

MP

LO

En el ejemplo anterior, Jane Farber deposit $800 en su cuenta de ahorros a 6% de inters capitalizado anualmente y desea saber cunto dinero habr en la cuenta al final de los cinco aos. Uso de la tabla. El factor de inters del valor futuro para un principal inicial de $1 en depsito a 5 aos con inters de 6% capitalizado anualmente, FVIF6%,5aos, que se encuentra en la tabla A-1, es de 1.338. Usando la ecuacin 4.6, $800 X 1.338 = $ 1,070.40. Por lo tanto, el valor futuro del depsito de Jane al final del ao 5 ser de $1,070.40.

3 En ocasiones podra necesitar estimar aproximadamente durante cunto tiempo una suma dada debe devengar intereses a una tasa anual para duplicar la cantidad. Para hacer esta estimacin se utiliza la Regla del 72; se divide la tasa de inters anual entre 72 para obtener el nmero aproximado de perodos que le tomar duplicar su dinero a la casa dada. Por ejemplo, duplicar su dinero a una tasa de inters anual de 10% le tomar alrededor de 7.2 aos (72 10 = 7.2). En la tabla A1 podemos ver que el factor de inters del valor futuro para 10% y 7 aos est ligeramente por debajo de 2 (1.949); por lo tanto, esta aproximacin parece ser razonablemente precisa.


Uso de la calculadora4 La calculadora financiera se puede usar para calcular directamente el valor futuro.5 Primero introduzca el valor $800 y oprima la tecla PV; luego introduzca 5 y oprima la tecla N; a continuacin introduzca 6 y oprima la tecla I (que es el equivalente a i en nuestra flotacin).6 Por ltimo, para calcular el valor futuro, oprima las teclas CPT y luego FV. El valor futuro de $1,070.58 debe aparecer en la pantalla de la calculadora como se muestra a la izquierda. En muchas calculadoras este valor estar precedido del signo de menos (-1,070.58). Si aparece un signo de menos en su calculadora, ignrelo aqu y en las dems ilustraciones Uso de la calculadora de este texto.7

Puesto que la calculadora es ms precisa que los factores del valor futuro, que se han redondeado a casi 0.001, con frecuencia habr una pequea diferencia en este caso, $0.18 entre los valores obtenidos mediante estos mtodos alternativos. Desde luego, la calculadora goza de mayor preferencia por su precisin y facilidad de uso. (Nota: en ejemplos futuros del uso de la calculadora solamente utilizaremos una pantalla semejante a la que se ilustra a la izquierda. Si necesita un recordatorio de los procedimientos implicados, vuelva y repase el prrafo anterior.)

4 Muchas calculadoras permiten que el usuario determine el nmero de pagos por ao. La mayora de estas calculadoras est programada para pagos mensuales 12 pagos por ao. Puesto que trabajamos principalmente con pagos anuales un pago por ao es importante que se asegure de que su calculadora est programada para un pago por ao. Y aunque la mayora de las calculadoras est programada para reconocer que todos los pagos ocurren al final del periodo, es importante que se asegure de que su calculadora est programada correctamente en el modo END. Consulte la gua de referencia que acompaa a su calculadora para establecer estos valores. 5 Para evitar que se incluya datos anteriores en los clculos actuales, limpie siempre todos los registros de su calculadora antes de introducir valores y hacer cada clculo. 6 Los valores conocidos se pueden introducir en la calculadora en cualquier orden; el orden especificado en sta y en las dems demostraciones de uso de la calculadora que se incluyen en este texto slo reflejan la conveniencia y preferencias personales. 7 La calculadora diferencia entre flujos positivos y flujos negativos de efectivo, anteponiendo el signo de menos a los flujos negativos de efectivo. Por ejemplo, en el problema que acabamos de ver, el valor presente (PV) de $800, puesto que se tecle como nmero positivo (800), se considera un flujo positivo o depsito. Por lo tanto, el valor futuro (FV) calculado de 1,070.58 est antecedido por un signo de menos para mostrar que es el flujo negativo resultante o un retiro. Si se hubiera tecleado el valor presente de $800 como un nmero negativo (800), el valor futuro de $1,070.58 se habra desplegado como un nmero positivo (1,070.58). En pocas palabras, los flujos de efectivo valor presente (PV) y valor futuro (FV) tendrn signos opuestos.

11


Uso de la hoja de clculo. El valor futuro de una cantidad nica tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

Una visin grfica del valor futuro Recuerde que medimos el valor futuro al final del periodo dado. La figura 4.5 ilustra la relacin entre varias tasas de inters, el nmero de periodos en que se gana inters y el valor futuro de un dlar. La figura muestra que 1) cuanto mayor es la tasa de inters, mayor es el valor futuro, y 2) cuanto ms largo es el periodo, ms alto es el valor futuro. Observe que para una tasa de inters de 0%, el valor futuro siempre es igual al valor presente ($1.00). Pero para cualquier tasa de inters mayor que cero, el valor futuro es mayor que el valor presente de $1.00.

Valor presente de una cantidad nica Con frecuencia es til determinar el valor actual de una cantidad futura de dinero. Por ejemplo, cunto tendra que depositar hoy en una cuenta que paga 7% de inters anual para poder acumular $3,000 al trmino de 5 aos? El valor presente es el valor monetario actual de una cantidad futura, la cantidad de dinero que se tendra que invertir ahora a una tasa de inters dada durante un periodo determinado para igualar la cantidad futura. El valor presente depende en gran medida de las oportunidades de inversin y del punto en el tiempo en el que se debe recibir la cantidad. Esta seccin explora el valor presente de una cantidad nica. Concepto del valor presente El proceso de encontrar los valores presentes tambin se conoce como descuento de flujos de efectivo, y est relacionado con la respuesta a la pregunta siguiente: Si puedo ganar un porcentaje i sobre mi dinero, cunto es lo mximo que estara dispuesto a pagar ahora por una oportunidad de recibir FVn dinero en n periodos a partir de hoy? Este proceso es en realidad lo opuesto a la capitalizacin. En vez de encontrar el valor futuro de una cantidad monetaria invertida a una tasa dada, el descuento determina el valor presente de una cantidad futura, suponiendo una oportunidad de ganar un cierto rendimiento sobre el dinero. Esta tasa de rendimiento anual se conoce de varias formas, como tasa de descuento, rendimiento requerido, costo de capital y costo de oportunidad. En este texto utilizaremos de manera indistinta estos trminos.

12


Valor presente Valor monetario actual de una cantidad futura, cantidad de dinero que se tendra

que invertir ahora a una tasa de inters dada durante un periodo determinado para igualar la cantidad futura.

Descuento de flujo de efectivo

El proceso de encontrar los valores presentes; lo opuesto a la capitalizacin.

EJE

MP

LO

Paul Shorter tiene la oportunidad de recibir $300 en un ao a partir de ahora. Si puede ganar 6% sobre su inversin en el curso normal de los eventos, cunto es lo ms que debe pagar ahora por esta oportunidad? Para responder a esta pregunta, Paul debe determinar qu cantidad debe invertir al 6% hoy para tener $300 en un ao a partir de ahora. Haciendo que el PV sea igual a esta cantidad desconocida y utilizando la misma notacin que en la exposicin del valor futuro, tenemos:

PV (1 + 0.06) = $300 (4.7)La solucin de la ecuacin 4.7 para el PV nos da la ecuacin 4.8:

)06.01(

300$+=PV (4.8)

PV = $283.02 El valor actual (valor presente) de los $300 que se recibirn en un ao a partir de hoy, dado un costo de oportunidad de 6%, es de $283.02. Es decir, invertir $283.02 hoy al costo de oportunidad de 6% dara como resultado $300 al trmino de un ao.

13


Ecuacin para el valor presente El valor presente de una cantidad futura se puede encontrar matemticamente resolviendo la ecuacin 4.4 para el PV. En otras palabras, el valor presente, PV, de una cantidad futura, FV, que se recibir en n periodos a partir de ahora, suponiendo un costo de oportunidad i, se calcula como sigue:

== nnnn xFVFVPV 1

++ ii )1()1( (4.9)

Observe la semejanza entre esta ecuacin general para el valor presente y la ecuacin del ejemplo anterior (ecuacin 4.8). Usemos esta ecuacin en un ejemplo.

Pam Valenti desea encontrar el valor presente de $1,700 que recibir en 8 aos a partir de ahora. El costo de oportunidad de Pam es de 8%. Sustituyendo FV8 = $1 ,700, n = 8, e i = 0.08 en la ecuacin 4.9, obtenemos la ecuacin 4.10:

42.918$851.1)08.01( 8

==+=PV700,1$700,1$ (4.10)

La siguiente lnea de tiempo muestra este anlisis.

EJE

MP

LO

Lnea de tiempo para el valor presente de una cantidad nica (cantidad futura de $1,700, descontados al 8%, a partir del trmino de 8 aos)

Uso de herramientas de clculo para encontrar el valor presente El clculo del valor presente se puede simplificar utilizando un factor de inters del valor presente. Este factor es el multiplicador que se utiliza para calcular, a una tasa de descuento especificada, el valor presente de una cantidad que se va a recibir en un periodo futuro. El factor de inters para el valor presente de $1 descontado al i% durante n periodos se conoce como PVIFi,n

14

Factor de inters del valor presente = nni i )1(1

, +=

)( ,nin PVIFFVPV

PVIF (4.11)

La tabla A-2 del apndice A presenta los factores de inters del valor presente para $1. Haciendo que PVIFi,n represente el factor apropiado, podemos reescribir la ecuacin general para el valor presente (ecuacin 4.9) como sigue:

= (4.12) Esta expresin indica que para encontrar el valor presente de una cantidad que se recibir en un periodo futuro, n, slo tenemos que multiplicar la cantidad futura, FVn, por el factor de inters del valor presente adecuado.


Factor de inters del valor presente

Multiplicador utilizado para calcular, a una tasa de descuento especificada, el valor presente de una cantidad que se va a recibir en un periodo futuro.

Como observamos, Pam Valenti desea encontrar el valor presente de $ 1,700 que recibir en 8 aos a partir de ahora, suponiendo un costo de oportunidad de 8%. Uso de la tabla El factor de inters del valor presente para 8% y 8 aos, PVIF8%,8aos, que se encuentra en la tabla A2, es de 0.540. Utilizando la ecuacin 4.12, $1,700 0.540 = $918. El valor presente de los $ 1,700 que Pam espera recibir en 8 aos es de $918.

Uso de la calculadora Utilizando las funciones financieras de la calculadora y las entradas que se muestran a la izquierda, debe encontrar que el valor presente es $918.46. El valor obtenido con la calculadora es ms preciso que los valores que se obtienen utilizando la ecuacin o la tabla aunque, para los propsitos de este texto, estas diferencias son insignificantes.

EJE

MP

LO

Uso de la hoja de clculo El valor presente de una cantidad nica futura tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

Una visin grfica del valor presente Recuerde que los clculos del valor presente suponen que los valores futuros se miden al final del periodo dado. Las relaciones entre los factores en un clculo del valor presente se ilustran en la figura 4.6. La figura muestra claramente que, mantenindose todo igual, 1) cuanto ms alta es la tasa de descuento, ms bajo es el valor presente, y 2) cuanto ms largo es el periodo, ms bajo es el valor presente. Observe tambin que dada una tasa de descuento de 0%, el valor presente siempre es igual al valor futuro ($1.00). Pero para cualquier tasa de descuento que sea mayor que cero, el valor presente ser menor que el valor futuro de $1.00.

15


Comparacin entre el valor presente y el valor futuro Cerraremos esta seccin con algunas observaciones importantes acerca de los valores presentes. Una es que la expresin del factor de inters del valor presente para i% y n periodos, 1/(1 + i)n, es lo inverso del factor de inters del valor futuro para i% y n periodos, (1 + i )n. Puede confirmar esto de una manera muy sencilla: divida un factor de inters del valor presente para i% y n periodos, PVIFi,n, dado en la tabla A-2, entre 1.0 y compare el valor resultante con el factor de inters del valor futuro dado en la tabla A-1 para i% y n periodos, FVIFi,n. Los dos valores deben ser equivalentes. Segunda, debido a la relacin entre los factores de inters del valor presente y los factores de inters del valor futuro, podemos encontrar los factores de inters del valor presente dada una tabla de factores de inters del valor futuro, y viceversa. Por ejemplo, el factor de inters del valor futuro (de la tabla A-1) para 10% y 5 periodos es 1.611. Dividiendo este valor entre 1.0 da 0.621, que es el factor de inters del valor presente (dado en la tabla A-2) para 10% y 5 periodos.

Preguntas de repaso Cmo est relacionado el proceso de capitalizacin con el pago de intereses

en ahorros? Cul es la ecuacin general para el valor futuro? Qu efecto tendra una reduccin en la tasa de inters sobre el valor futuro de

un depsito? Qu efecto tendra un incremento en el nmero de periodos sobre el valor futuro?

Qu se entiende por el valor presente de una cantidad futura? Cul es la ecuacin general para el valor presente?

De qu manera se ve afectado el valor presente de una cantidad futura por un incremento en el rendimiento requerido? Por qu?

Cmo estn relacionados los clculos del valor presente y del valor futuro?

16


17

Anualidades Cunto tendr usted al final de 5 aos si su patrn retiene e invierte $ 1,000 de su bono anual al final de cada uno de los prximos 5 aos, garantizndole una tasa de rendimiento anual de 9%? Cunto pagara usted hoy, dado que puede ganar 7% sobre inversiones de bajo riesgo, para recibir $3,000 garantizados al final de cada uno de los prximos 20 aos? Para responder a estas preguntas, necesita comprender la aplicacin del valor del dinero en el tiempo a las anualidades. Una anualidad es una serie de flujos de efectivo peridicos iguales durante un periodo determinado. Estos flujos de efectivo suelen ser anuales pero pueden ocurrir en otros intervalos, como los mensuales (renta, pagos de automvil). Los flujos de efectivo de una anualidad pueden ser positivos (los $3,000 recibidos al final de cada uno de los prximos 20 aos), o negativos (los $1,000 invertidos al trmino de cada uno de los prximos 5 aos).

Tipos de anualidades Hay dos tipos bsicos de anualidades. Para una anualidad ordinaria, el flujo de efectivo ocurre al final de cada periodo. Para una anualidad vencida, el flujo de efectivo ocurre al inicio de cada periodo.

Anualidad Serie de flujos de efectivo peridicos iguales durante un periodo determinado. Estos flujos pueden ser flujos positivos de efectivo de rendimientos obtenidos en inversiones, o flujos negativos de efectivo de fondos invertidos para obtener rendimientos futuros

Anualidad ordinaria Anualidad para la cual el flujo de efectivo ocurre al final de cada periodo.

Anualidad vencida Anualidad para la cual el flujo de efectivo ocurre al inicio de cada periodo.

EJE

MP

LO

Fran Abrams tiene que elegir una de dos anualidades. Ambas son anualidades de $ 1,000 a 5 aos; la A es una anualidad ordinaria y la B es una anualidad vencida. Para entender mejor la diferencia entre estas anualidades, Fran ha listado sus flujos de efectivo en la tabla 4.1. Observe que la cantidad de cada anualidad hace un total de $5,000. Las dos anualidades se diferencian en el periodo de ocurrencia de sus flujos de efectivo: los flujos de efectivo se reciben ms rpido con la anualidad vencida que con la ordinaria.

Aunque los flujos de efectivo de las dos anualidades de la tabla 4.1 hacen un total de $5,000, la anualidad vencida tendra un valor futuro ms alto que la ordinaria porque cada uno de sus flujos de efectivo anuales puede ganar intereses durante un ao ms que cada uno de los flujos de efectivo de la anualidad ordinaria. Del mismo modo, el valor presente de la anualidad vencida sera mayor que el de la anualidad


ordinaria porque el flujo de efectivo de cada anualidad vencida se descuenta de nuevo un ao antes que para la anualidad ordinaria. En general, tanto el valor futuro como el valor presente de una anualidad vencida son siempre mayores que los valores futuro y presente de una anualidad ordinaria idntica. Dado que las anualidades ordinarias se usan con ms frecuencia en las finanzas, a menos que se especifique otra cosa, el trmino anualidad se usa en este libro para referirse a las anualidades ordinarias. Adems, en este libro las exposiciones sobre anualidades se concentran en las anualidades ordinarias. Para explicaciones y clculos de anualidades vencidas, vea el sitio Web del libro en www.pearsonedlatino.com/gitman.

Cmo encontrar el valor futuro de una anualidad ordinaria Los clculos que se requieren para encontrar el valor futuro de una anualidad ordinaria se ilustran en el ejemplo siguiente.

EJE

MP

LO

Fran Abrams desea determinar cunto dinero tendr al final de los 5 aos si elige la anualidad A (ordinaria). Eso significa depsitos de $1,000 anualmente, al final de cada uno de los prximos 5 aos, en una cuenta de ahorros que paga 7% de inters anual. Esta situacin se ilustra en la siguiente lnea de tiempo:

18


Lnea de tiempo para el valor futuro de una anualidad ordinaria (depsitos de $1000 al final de ao, con una ganancia de 7% al final de 5 aos)

Como muestra la figura, al final del ao 5 Fran tendr $5,751 en su cuenta. Observe que como los depsitos se hacen al final del ao, el primer depsito ganar intereses durante 4 aos, el segundo durante 3 aos, y as sucesivamente.

Uso de herramientas de clculo para encontrar el valor futuro de una anualidad ordinaria Los clculos de una anualidad se pueden simplificar utilizando una tabla de intereses, una calculadora financiera o una hoja de clculo electrnica. En la tabla A3 del apndice A se da el valor futuro de una anualidad ordinaria de $1. Los factores de la tabla se obtienen sumando los factores de inters del valor futuro para el nmero correspondiente de aos. Por ejemplo, el factor para la anualidad del ejemplo anterior es la suma de los factores para los cinco aos (aos 4 a 0): 1.311 + 1.225 + 1.145 + 1.070 + 1.000 = 5.751. Como los depsitos se hacen al final de cada ao, ganarn intereses a partir del final del ao en que se haga cada uno hasta el final del ao 5. En consecuencia, el primer depsito gana intereses durante 4 aos (el final del ao 1 hasta el final del ao 5) y el ltimo depsito gana intereses durante cero aos. El factor de inters del valor futuro para cero aos a cualquier tasa de inters, FVIFi,0, es 1.000, como ya vimos. La frmula para el factor de inters del valor futuro de una anualidad ordinaria cuando se capitaliza anualmente al i% durante n periodos, FVIFAi,n, es:8

(4.13) =

+=n

t

tni iFVIFA

1

1, )1(

Factor de inters del valor futuro de una anualidad ordinaria Multiplicador utilizado para calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria a una tasa de inters determinada durante un periodo dado.

8 A continuacin se muestra una expresin matemtica que se puede aplicar para calcular de manera ms eficiente ci factor de inters del valor futuro para una anualidad ordinaria:

[ ]1)1(1, += nni iiFVIFA (4.13a) El uso de esta expresin es especialmente atractivo cuando no se cuenta con las tablas financieras adecuadas ni con una calculadora financiera o una hoja de clculo electrnica

19


Este factor es el multiplicador que se utiliza para calcular el valor futuro de una anualidad ordinaria a una tasa de inters determinada durante un periodo dado. Usando el FVAn para el valor futuro de una anualidad a n aos, el monto de pago (MDP, o PMT, por sus siglas en ingls) para la cantidad que se deposita anualmente al final de cada ao y el FVIFAi,n, para el factor de inters del valor futuro correspondiente para una anualidad ordinaria de un dlar capitalizada anualmente al i% durante n aos, podemos expresar la relacin entre estas variables como:

)( ,nin FVIFAPMTFVA = (4.14) El ejemplo siguiente ilustra este clculo usando una tabla, una calculadora y una hoja de clculo electrnica.

Como vimos antes, Fran Abrams desea encontrar el valor futuro (FVAn) al final de los 5 aos (n) de un depsito anual de $1,000 (PMT) al final de ao en una cuenta que paga intereses anuales (i) de 7% durante los prximos 5 aos. Uso de la tabla El factor de inters del valor futuro para una anualidad ordinaria de 5 aos al 7% (FVIFA7%,5aos), que se encuentra en la tabla A3, es 5.751. Utilizando la ecuacin 4.14, el depsito de $1,000 5.751 da como resultado un valor futuro para la anualidad de $5,751.

Uso de la calculadora Utilizando las entradas de la calculadora que se muestran a la izquierda, encontrar que el valor futuro de la anualidad ordinaria es de $5,750.74, una respuesta un poco ms precisa que la que encontr utilizando la tabla.

EJE

MP

LO

Uso de la hoja de clculo El valor de una anualidad ordinaria tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel:

20


Cmo encontrar el valor presente de una anualidad ordinaria En finanzas, con mucha frecuencia existe la necesidad de encontrar el valor presente de una serie de flujos de efectivo que se recibirn en periodos futuros. Desde luego, una anualidad es una serie de flujos de efectivo peridicos iguales. (En una seccin posterior exploraremos el caso de las series combinadas de flujos de efectivo.) El mtodo para encontrar el valor presente de una anualidad ordinaria es semejante al mtodo que acabamos de ver. Hay mtodos largos y cortos para hacer estos clculos.

Braden Company, un pequeo fabricante de juguetes de plstico, desea determinar cunto es lo ms que debe pagar hoy por la compra de una anualidad ordinaria particular. La anualidad consta de flujos de efectivo de $700 al final de cada ao durante 5 aos. La empresa requiere que la anualidad proporcione un rendimiento mnimo de 8%. Esta situacin se ilustra en la lnea de tiempo siguiente:

Lnea de tiempo para el valor presente de una anualidad ordinaria (flujos de efectivo de $700 al final del ao, descontados al 8% durante 5 aos)

EJE

MP

LO

La tabla 4.2 muestra el mtodo largo para encontrar el valor presente de la anualidad. Este mtodo implica encontrar el valor presente de cada pago y sumarlos. Este procedimiento da como resultado un valor presente de $2,795.10

21


Uso de herramientas de clculo para encontrar el valor presente de una anualidad ordinaria Los clculos de la anualidad se pueden simplificar utilizando una tabla de intereses para el valor presente de una anualidad, una calculadora financiera o una hoja de clculo electrnica. Los valores para el valor presente de una anualidad ordinaria de $1 se dan en la tabla A4 del apndice A. Los factores de la tabla se obtienen sumando los factores de inters del valor presente (en la tabla A2) para el nmero correspondiente factor de inters del valor te de aos a la tasa de descuento dada. La frmula para el factor de inters del valor presente de una anualidad ordinaria con flujos de efectivo que se descuentan al i% durante n periodos, PVIFAi,n , es:9

= n tniPVIFA , 1= +t i1 )1( (4.15)

Este factor multiplicador que se usa para calcular el valor presente de una anualidad ordinaria a una tasa de descuento determinada durante un periodo dado. Haciendo que PVAn sea igual al valor presente de una anualidad ordinaria a n aos, que PMT sea igual a la cantidad que se va a recibir anualmente al final de cada ao y que PVIFAi,n represente el factor de inters del valor presente apropiado para una anualidad ordinaria de un dlar descontada al i% durante n aos, podemos expresar la relacin entre estas variables como: PVAn = PMT x (PVIFAi,n) (4.16)

Factor de inters del valor presente de una anualidad ordinaria Multiplicador utilizado para calcular el valor presente de una anualidad ordinaria a una tasa de descuento determinada durante un periodo dado.

El ejemplo siguiente ilustra este clculo utilizando una tabla, una calculadora y una hoja de clculo.

9 Una expresin matemtica que se puede aplicar para calcular con ms eficiencia el factor de inters del valor presente para una anualidad ordinaria es:

+= nni iiPVIFA )1(111, (4.15a)

El uso de esta expresin es especialmente atractivo cuando no se cuenta con las tablas financieras adecuadas ni con una calculadora financiera o una hoja de clculo electrnica.

22


Braden Company, como ya vimos, desea encontrar el valor presente de una anualidad ordinaria de $700 a 5 aos, suponiendo un costo de oportunidad de 8%. Uso de la tabla El factor de inters del valor presente para una anualidad ordinaria a 8% durante 5 aos (PVIFA8%,5 aos), que se encuentra en la tabla A4, es de 3.993. Si utilizamos la ecuacin 4.16, la anualidad de $700 3.993 da como resultado un valor presente de $2,795.10.

Uso de la calculadora Utilizando las entradas de la calculadora que se muestran a la izquierda, encontrar que el valor presente de una anualidad ordinaria es de $2,794.90. El valor obtenido con la calculadora es ms preciso que el que se encuentra usando la ecuacin o la tabla. EJ

EM

PLO

Uso de la hoja de clculo El valor presente de la anualidad ordinaria tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

Cmo encontrar el valor presente de una perpetuidad Una perpetuidad es una anualidad con una vida infinita, en otras palabras, una anualidad que nunca deja de proporcionar a su poseedor un flujo de efectivo al final de cada ao (por ejemplo, el derecho a recibir $500 al final de cada ao por siempre). A veces es necesario encontrar el valor presente de una perpetuidad. El factor de inters del valor presente para una perpetuidad descontada a la tasa i es:

i

PVIFAi1

, = (4.17) Como muestra la ecuacin, el factor adecuado, PVIFAi,, se encuentra con slo dividir entre 1 la tasa de descuento, i (establecida como un decimal). La validez de este mtodo se puede comprobar viendo los factores de la tabla A4 para 8, 10, 20 y 40%: como el nmero de los periodos (por lo comn aos) se aproxima a 50, estos factores se aproximan a los valores calculados mediante la ecuacin 4.17: 1 0.08 = 12.50; 1 0.10 = 10.00; 1 0.20 = 5.00, y 1 0.40 = 2.50.

23


24

Perpetuidad Anualidad con una vida infinita, que proporciona un flujo de efectivo anual continuo.

EJE

MP

LO

Ross Clark desea donar una ctedra en finanzas en su alma mter. La universidad indic que requiere $200,000 al ao para sostener la ctedra y la donacin ganara 10% anual. Para determinar la cantidad que Ross debe dar a la universidad para costear la ctedra, debemos determinar el valor presente de una perpetuidad de $200,000 descontada al 10%. El factor de inters del valor presente adecuado se puede encontrar dividiendo 1 entre 0.10, como se muestra en la ecuacin 4.17. Sustituyendo el factor resultante, 10, y el monto de pago, PMT = $200,000, en la ecuacin 4.16, el resultado es un valor presente de $2,000,000 para la perpetuidad. En otras palabras, para generar $200,000 cada ao durante un periodo indefinido se requieren $2,000,000 hoy si el alma mter de Ross Clark puede ganar 10% sobre sus inversiones. Si la universidad gana 10% de intereses anualmente sobre los $2,000,000, puede retirar $200,000 al ao indefinidamente sin tocar los $2,000,000 iniciales, que nunca se retiraran.

Preguntas de repaso Qu diferencia hay entre una anualidad ordinaria y una anualidad vencida?

Cul tiene siempre valores futuro y presente mayores para anualidades y tasas de inters idnticas? Por qu?

Cules son las formas ms eficientes de calcular el valor presente de una anualidad ordinaria? Qu relacin hay entre los factores de inters PVIF y PVIFA que se dan en las tablas A2 y A4, respectivamente?

Qu es una perpetuidad? Cmo se puede determinar el factor de inters del valor presente para esta serie de flujos de efectivo?

Series combinadas Hay dos tipos bsicos de series de flujo de efectivo: la anualidad y la serie combinada. Mientras que una anualidad es un patrn de flujos de efectivo peridicos iguales, una serie combinada es una serie de flujos de efectivo en periodos desiguales que no refleja un patrn particular. Con frecuencia los administradores financieros necesitan evaluar las oportunidades que se espera que proporcionen series combinadas de flujos de efectivo. Aqu consideramos tanto el valor futuro como el valor presente de las series combinadas.

Valor futuro de una serie combinada Determinar el valor futuro de una serie combinada de flujos de efectivo es muy fcil. Encontramos el valor futuro de cada flujo de efectivo a la fecha futura determinada y luego sumamos todos los valores futuros individuales para encontrar el valor futuro total.


Shrell Industries, fabricante de vitrinas, espera recibir la siguiente serie combinada de flujos de efectivo durante los prximos 5 aos de parte de uno de sus clientes pequeos.

Final del ao Flujo de efectivo

1 $11,500 2 14,000 3 12,900 4 16,000 5 18,000

Si Shrell espera ganar 8% sobre sus inversiones, cunto acumular al final del ao 5 si invierte inmediatamente estos flujos de efectivo cuando los reciba? Esta situacin se ilustra en la siguiente lnea de tiempo:

Lnea de tiempo para el valor futuro de una serie combinada (flujos de efectivo al final del ao, capitalizados al 8% al final del ao 5)

EJE

MP

LO

Uso de la tabla Para resolver este problema, determinamos el valor futuro de cada flujo de efectivo capitalizado al 8% durante el nmero adecuado de aos. Observe que el primer flujo de efectivo de $11,500, recibido al final del ao 1, ganar intereses durante 4 aos (del final del ao 1 al final del ao 5); el segundo flujo de efectivo de $14,000, recibido al final del ao 2, ganar intereses durante 3 aos (del final del ao 2 al final del ao 5) y as sucesivamente. La suma de los valores futuros individuales al final del ao 5 es el valor futuro de la serie combinada de flujos de efectivo. Los factores de inters del valor futuro requeridos son los que se muestran en la tabla A1. La tabla 4.3 presenta los clculos que se necesitan para encontrar el valor futuro de la serie de flujos de efectivo, que resulta ser de $ 83,601.40.

25


Uso de la calculadora Usted puede usar su calculadora para encontrar el valor futuro de cada flujo de efectivo individual, como se demostr antes (pgina 9), y luego sumar los valores futuros para obtener el valor futuro de la serie. Por desgracia, a menos que pueda programar su calculadora, la mayora de las calculadoras carecen de una funcin que le permita introducir todos los flujos de efectivo, especificar la tasa de inters y calcular directamente el valor futuro de toda la serie de flujos de efectivo. Si hubiera utilizado su calculadora para encontrar los valores futuros del flujo de efectivo individual y luego los hubiera sumado, el valor futuro de la serie de flujos de efectivo de Shrell Industries al final del ao 5 habra sido de $83,608.15, un valor ms preciso que el obtenido mediante una tabla financiera.

Uso de la hoja de clculo El valor futuro de la serie combinada tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

EJE

MP

LO

Si Shrell Industries invierte a 8% de inters los flujos de efectivo que reciba de su cliente durante los prximos 5 aos, la compaa acumular alrededor de $83,600 al final del ao 5.

Serie combinada Serie de flujos de efectivo en periodos desiguales que no refleja un patrn particular.

Valor presente de una serie combinada Encontrar el valor presente de una serie combinada de flujos de efectivo es semejante a encontrar el valor futuro de una serie combinada. Determinamos el valor presente de cada cantidad futura y luego sumamos todos los valores presentes individuales para encontrar el valor presente total.

26


A Frey Company, fabricante de zapatos, se le ha ofrecido una oportunidad de recibir la siguiente serie combinada de flujos de efectivo durante los prximos 5 aos:

Final del ao Flujo de efectivo 1 $400 2 800 3 500 4 400 5 300

Si la empresa debe ganar al menos 9% sobre sus inversiones, cunto es lo ms que debe pagar por esta oportunidad? Esta situacin se ilustra en la siguiente lnea de tiempo.

Lnea de tiempo para el valor presente de una serie combinada (flujos de efectivo al final del ao, descontados al 9% durante el nmero correspondiente de aos)

EJE

MP

LO

Uso de la tabla Para resolver este problema, determine el valor presente de cada flujo de efectivo descontado al 9% durante el nmero de aos adecuado. La suma de estos valores individuales es el valor presente de toda la serie. Los factores de inters del valor presente requeridos son los que se muestran en la tabla A2. La tabla 4.4 presenta los clculos necesarios para encontrar el valor presente de la serie de flujos de efectivo, que resulta ser de $1,904.60.

27


Uso de la calculadora Puede utilizar una calculadora para encontrar el valor presente de cada flujo de efectivo individual, como se demostr anteriormente (pgina 13), y luego sumar estos valores para obtener el valor presente de la serie. Sin embargo, la mayora de las calculadoras financieras tiene una funcin que le permite introducir todos los flujos de efectivo, especificar la tasa de descuento y calcular directamente el valor presente de toda la serie de flujos de efectivo. Puesto que las calculadoras proporcionan soluciones ms precisas que las basadas en los factores redondeados de tablas, el valor presente de la serie de flujos de efectivo de Frey Company obtenido utilizando una calculadora es de $1,904.76, que est cerca del valor de $1,904.60 calculado antes.

EJE

MP

LO

Uso de la hoja de clculo El valor presente de la serie combinada de flujos de efectivo futuros tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

Pagar $1,905 proporcionara exactamente un rendimiento de 9%. Frey no debe A pagar ms que esa cantidad por la oportunidad de recibir estos flujos de efectivo.

Pregunta de repaso Cmo se calcula el valor futuro de una serie combinada de flujos de efectivo?

Cmo se calcula el valor presente de una serie combinada de flujos de efectivo?

28


Capitalizacin en periodos menores de un ao Con frecuencia, el inters se capitaliza en lapsos menores de un ao. Las instituciones de ahorro capitalizan cada semestre, trimestre, mes, semana, da, o incluso continuamente. Esta seccin presenta varios aspectos y tcnicas relacionados con estos intervalos de capitalizacin ms frecuentes.

Capitalizacin semestral La capitalizacin semestral La capitalizacin semestral de intereses implica dos periodos de capitalizacin en el Capitalizacin de intereses ao. En vez de pagar una vez en el ao la tasa de inters establecida, se paga dos veces durante dos periodos en el ao. al ao la mitad de dicha tasa de inters.

EJE

MP

LO

Fred Moreno ha decidido invertir $100 en una cuenta de ahorros que paga 8% de inters capitalizado semestralmente. Si deja su dinero en la cuenta durante 24 meses (2 aos), se le pagar un inters compuesto de 4% durante cuatro periodos, cada uno de 6 meses de duracin. La tabla 4.5 utiliza factores de inters para mostrar que al final de los 12 meses (1 ao) con una capitalizacin de 8%, Fred tendr $108.16; al final de los 24 meses (2 aos), tendr $116.99.

Capitalizacin semestral Capitalizacin de intereses durante dos periodos en el ao.

29


Capitalizacin trimestral La capitalizacin trimestral de intereses implica cuatro periodos de capitalizacin en el ao. Se paga cuatro veces al ao una cuarta parte de la tasa de inters establecida.

EJE

MP

LO

Fred Moreno encontr una institucin que le pagar un inters de 8% capitalizado trimestralmente. Si deja su dinero en esta cuenta durante 24 meses (2 aos) se le pagar un inters compuesto de 2% durante ocho periodos, cada uno de los cuales tiene una duracin de 3 meses. La tabla 4.6 utiliza factores de inters que muestran la cantidad que tendr Fred al final de cada periodo. Al final de los 12 meses (1 ao), con una capitalizacin trimestral de 8%, Fred tendr $108.24; al final de los 24 meses (2 aos), tendr $117.16.

La tabla 4.7 compara los valores para los $100 de Fred Moreno al final de los aos 1 y 2 dados los periodos de capitalizacin anual, semestral y trimestral a una tasa de 8%. Como se muestra, cuanto ms frecuentemente se capitaliza el inters, mayor es la cantidad de dinero acumulado. Esto es verdad para cualquier tasa de inters durante cualquier periodo.

30


Capitalizacin trimestral Capitalizacin de intereses durante cuatro periodos en el ao.

Ecuacin general para capitalizar en periodos menores de un ao La frmula para la capitalizacin anual (ecuacin 4.4) se puede reescribir para utilizarla cuando se capitaliza con ms frecuencia. Si m es igual al nmero de veces por ao que se capitalizan los intereses, la frmula para la capitalizacin anual se puede reescribir como:

mxnin mPVFV )1( += (4.18)

Si m = 1, la ecuacin 4.18 se reduce a la ecuacin 4.4. Por tanto, si el inters se capitaliza anualmente (una vez al ao) la ecuacin 4.18 dar el mismo resultado que la 4.4. El uso general de la ecuacin 4.18 se puede ilustrar con un ejemplo sencillo.

EJE

MP

LO

Los ejemplos anteriores calcularon la cantidad que Fred Moreno tendra al final de los 2 aos si deposit $100 al 8% de inters capitalizado semestral y trimestralmente. Para la capitalizacin semestral, m sera igual a 2 en la ecuacin 4.18; para la trimestral, m sera igual a 4. Sustituyendo los valores apropiados para las capitalizaciones semestral y trimestral en la ecuacin 4.8, encontramos que: 1. Para capitalizacin semestral:

( ) 99.116$04.01100$2

1100$ 42 =+= +=FV08.0 22

2. Para capitalizacin trimestral:

( ) 16.117$02.01100$2

1100$ 82 =+= +=FV08.0 24

Estos resultados concuerdan con los valores para FV2 de las tablas 4.5 y 4.6 Si el inters se capitalizara mensual, semanal o diariamente, m sera igual a 12,52 365, respectivamente.

Uso de herramientas de clculo para capitalizar en periodos menores de un ao Podemos utilizar los factores de inters del valor futuro para un dlar, dados en la tabla A1, cuando el inters se capitaliza m veces cada ao. En vez de indexar la tabla para i% y n aos, como hacemos cuando el inters se capitaliza anualmente, la indexamos para (i m) % y (m x n) periodos. Sin embargo, la tabla es menos til

31


porque slo incluye tasas seleccionadas para un nmero limitado de periodos. Es ms efectiva una calculadora financiera o una hoja de clculo electrnica.

Fred Moreno deseaba encontrar el valor futuro de $100 invertidos al 8% de inters capitalizado semestral y trimestralmente durante 2 aos. El nmero de periodos de capitalizacin, m, la tasa de inters y el nmero de periodos que se usa en cada caso, junto con el factor de inters del valor futuro, son los siguientes:

Periodo de capitalizacin m

Tasa de inters (im)

Periodos (mn)

Factor de inters del valor futuro tomado de la tabla A-1

Semestral 2 8%2=4% 22=4 1.170 Trimestral 4 8%4=2% 42=8 1.172

Uso de la tabla Multiplicando cada uno de los factores de inters del valor futuro por el depsito inicial de $100, obtenemos un valor de $117.00 (1.70 x $100) para la capitalizacin semestral y un valor de $117.20 (1.172 x $100) para la capitalizacin trimestral. Uso de la calculadora Si utilizramos la calculadora para calcular la capitalizacin semestral, el nmero de periodos sera de 4 y la tasa de inters, de 4%. En la pantalla de la calculadora aparecer el valor futuro de $116.99, como se muestra en la primera pantalla de la izquierda.

EJE

MP

LO

Para el caso de la capitalizacin trimestral, el nmero de periodos sera de 8 y la tasa de inters, de 2%. En la pantalla de la calculadora aparecer el valor futuro de $117.17, como se muestra en la segunda pantalla de la izquierda.

32


E

JEM

PLO

Uso de la hoja de clculo El valor futuro de la cantidad nica con capitalizacin semestral y trimestral tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

Comparando los valores de la calculadora, la tabla y la hoja de clculo, podemos ver que los valores de la calculadora y de la hoja de clculo coinciden en general con los valores de la tabla 4.7, pero son ms precisos porque los factores de la tabla se han redondeado.

Capitalizacin continua En el caso extremo, los intereses se pueden capitalizar continuamente. La capitalizacin continua se realiza cada microsegundo, el periodo ms pequeo imaginable. En este caso, en la ecuacin 4.18 m podra aproximarse al infinito. Utilizando clculo infinitesimal, sabemos que como m se acerca al infinito, la ecuacin se convierte en: FVn (capitalizacin continua) = PV (e in) (4.19)

donde e es la funcin exponencial,10 cuyo valor es 2.7183. Por consiguiente, el factor de inters del valor futuro para la capitalizacin continua es:

FVIFi,n (capitalizacin continua) = e i n (4.20)

10 . La mayora de las calculadoras tiene integrada la funcin exponencial, expresada normalmente como ex. Esta tecla es muy til para calcular el valor futuro cuando el inters se capitaliza continuamente.

33


Para encontrar el valor al final de 2 aos (n = 2) del depsito de $100 de Fred Moreno (PV = $100) en una cuenta que paga 8% de inters anual (i = 0.08) capitalizado continuamente, podemos sustituir en la ecuacin 4.19: FV2 (capitalizacin continua) = $100 e0.08X2 = $100 2.71830.16

= $100 1.1735 = $117.35 Uso de la calculadora Para encontrar este valor utilizando la calculadora, necesita encontrar antes el valor de e0.16 introduciendo 0.16, presionando luego 2nd y luego ex para obtener 1.1735. A continuacin multiplique este valor por $100 para obtener el valor futuro de $117.35 como se muestra a la izquierda (Nota: en algunas calculadoras tal vez no tenga que oprimir 2nd antes de presionar ex) E

JEM

PLO

Uso de la hoja de clculo El valor futuro de la cantidad nica con capitalizacin continua tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

Por consiguiente, el valor con capitalizacin continua es igual a $117.35. Como se esperaba, el valor capitalizado continuamente es mayor que el valor futuro del inters capitalizado semestral ($116.99) o trimestralmente ($117.16). La capitalizacin continua ofrece la cantidad ms grande que resultara de capitalizar el inters periodos menores de un ao.

Tasas de inters anuales nominales y efectivas Tanto las empresas como los inversionistas necesitan hacer comparaciones objetivas de los costos de prstamos o de rendimientos de inversiones en periodos de capitalizacin diferentes. A fin de poner las tasas de inters en una base comn, para permitir una comparacin, distinguimos entre tasas anuales nominales y efectivas. La tasa anual nominal o establecida, es la tasa anual contractual de inters cobrada por un prestamista o prometida por un prestatario. La tasa anual efectiva (TAE, o EAR, por sus siglas en ingls), o real, es la tasa de inters anual

34


pagada o devengada realmente. La tasa anual efectiva refleja el impacto de la frecuencia de la capitalizacin, mientras que la tasa anual nominal no lo refleja. Utilizando la notacin que vimos anteriormente, podemos calcular la tasa anual efectiva, EAR, sustituyendo valores de la tasa anual nominal, i, y la frecuencia de capitalizacin, m, en la ecuacin 4.21:

1)1( += miEARm

(4.21)

Podemos aplicar esta ecuacin usando datos de ejemplos anteriores.

EJE

MP

LO

Fred Moreno desea encontrar la tasa anual efectiva asociada con una tasa anual nominal de 8% (i=0.08) cuando el inters se capitaliza 1) anualmente (m = 1); 2) semestralmente (m = 2), y 3) trimestralmente (m = 4). Sustituyendo estos valores en la ecuacin 4.21, obtenemos:

1. Para capitalizacin anual:

%808.0108.011)08.01(1)1( ==+=+=+=EAR108.0 11

2. Para capitalizacin semestral:

%16.80816.010816.11)04.01(1)1( 22 ===+=+=EAR208.0

3. Para capitalizacin trimestral:

%24.80824.010824.11)02.01(1)4

1( ===+=+=EAR 08.0 44 Estos valores demuestran dos puntos importantes es que las tasas anuales nominal y efectiva son iguales cuando la capitalizacin es anual. El segundo es que la tasa anual efectiva se incrementa al incrementarse la frecuencia de capitalizacin, hasta un lmite que ocurre con la capitalizacin continua11.

Tasa anual nominal (establecida) Tasa anual contractual de inters cobrada por un prestamista o prometida por un

prestatario.

Tasa anual nominal efectiva (EAR) Tasa de inters anual pagada o devengada realmente.

11 La tasa anual efectiva para este caso extremo se puede encontrar mediante la siguiente ecuacin: (4.21a) 1)( = kecontinuacincapitalizaEARPara la tasa anual nominal de 8% (k=0.08), la sustitucin en la ecuacin 4.21a da como resultado una tasa anual efectiva de:

%33.80833.010833.1108.0 ===e en el caso de capitalizacin continua. sta tasa anual efectiva ms alta que se puede obtener con una tasa nominal de 8%.

35


36

l nivel del consumidor, las leyes de la verdad en los prstamos exigen que se d a conocer la tasa porcentual anual (TPA, o APR, por sus siglas en ingls) en tarjetas de crdito y contratos de prstamos. La APR es la tasa anual nominal que se obtiene multiplicando la tasa peridica por el nmero de periodos en un ao. Por ejemplo, una tarjeta de crdito bancaria que cobra un porcentaje de 1 1/2 mensual (la tasa peridica) tendra una APR de 18% (1.5% mensual 12 meses por ao). Por otra parte, las leyes de la verdad en los ahorros exigen que los bancos coticen el rendimiento anual al vencimiento (RAV, o APY, por sus siglas en ingls) de sus productos de ahorros. El APY es la tasa anual efectiva pagada por un producto de ahorros. Por ejemplo, una cuenta de ahorros que paga 0.5% mensual tendra un APY de 6.17% [(1.005)12 1]. El hecho de cotizar tasas de inters de prstamos a su tasa anual nominal ms baja (la APR) y tasas de inters de ahorros a la tasa anual efectiva ms alta (el APY) ofrece dos ventajas: tiende a estandarizar la divulgacin de informacin a los consumidores y permite que las instituciones financieras coticen las tasas de inters ms atractivas: tasas de prstamo bajas y tasas de ahorro altas.

A

Tasa porcentual anual (APR) Tasa anual nominal de inters, que se obtiene multiplicando la tasa peridica por el nmero de periodos en un ao, que se debe dar a conocer a los usuarios de tarjetas

de crdito y prstamos como resultado de las leyes de la verdad en los prstamos..

Rendimiento anula al vencimiento (APY) Tasa anual efectiva de inters que los bancos deben dar a conocer a los

consumidores por sus productos de ahorros como resultado de las leyes de la verdad en los ahorros.

Preguntas de Repaso Qu efecto tiene la capitalizacin de intereses en periodos menores de un ao

sobre (a) el valor futuro y (b) la tasa anual efectiva? Por qu? Cmo se compara el valor futuro de un depsito sujeto a capitalizacin

continua con el valor obtenido mediante capitalizacin anual? Mencione la diferencia que hay entre una tasa anual nominal y una tasa anual

efectiva. Defina la tasa porcentual anual y el rendimiento anual al vencimiento.


37

os, ) tasas de inters o de crecimiento y 4) bsqueda de un nmero desconocido de

na casa dentro de 5 aos y estima que para ese empo necesitar dar un enganche de $20,000. Para reunir los $20,000 har

nteriormente en este captulo encontramos el valor futuro de una anualidad ordinaria a n aos, FVAn al, PMT, por el factor de inters apropiado, FVIFA riables se defini con la

)nn

Aplicaciones especiales del valor en el tiempo Las tcnicas del valor presente y el valor futuro tienen varias aplicaciones importantes en las finanzas. En esta seccin estudiaremos cuatro de ellas: 1) depsitos necesarios para acumular una suma futura, 2) amortizacin de prstam3periodos.

Depsitos necesarios para acumular una suma futura Suponga que desea comprar utidepsitos anuales iguales a fin de ao en una cuenta que paga intereses anuales de 6%. La solucin a este problema est estrechamente relacionada con el proceso de la bsqueda del valor futuro de una anualidad. Usted debe determinar de cunto debe ser la anualidad que le dar una cantidad nica igual a los $20,000 al final del ao 5. A

, multiplicando el depsito anu. La relacin de las tres vai,n

ecuacin 4.14, que se repite aqu como la ecuacin 4.22:

( ,iFVIFAPMTFVA = (4.22) Podemos encontrar el depsito anual requerido para acumular FVAn dlares resolviendo la ecuacin 4.22 para el ecuacin obtenemos

PMT. Separando el PMT a la izquierda de la :

ni

n

FVIFAFVAPMT

,

= (4.23)

na vez hecho esto, slo tenemos que sustituir los valores conocidos de FVAn y o de la ecuacin para encontrar el depsito anual

UFVIFAi,n en el lado derechrequerido.


38

nuales de fin de ao requeridos para acumular $20,000 al final de los 5 aos, dada una tasa de

uyendo EVA5 = $20,000 y FVIFA6%,5aos 5.637 en la ecuacin 4.23, obtenemos que se requiere un depsito anual, PMT, de $3,547.99. Por lo tanto,

n inters de 6%,

Como se estableci, usted desea determinar los depsitos a

inters de 6%. Uso de la tabla La tabla A3 indica que el factor de inters del valor futuro para una anualidad ordinaria al 6% durante 5 aos (FVIFA6%,5aos) es de 5.637. Sustit

si se depositan $3,547.99 al final de cada uno de los 5 aos a ual final de los 5 aos habr $20,000 en la cuenta. Uso de la calculadora Utilizando las entradas de calculadora que se muestran a la izquierda, encontrar que la cantidad anual del depsito es de $3,547.93. Observe que este valor, excepto por una ligera diferencia de redondeo, coincide con el valor que se encuentra utilizando la tabla A3.

PLO

E

JEM

Uso de la hoja de clculo El

como seguiente hoja

de clculo en Excel.

depsito anual requerido para acumular la suma tambin se puede calcular muestra en la si

Amortizacin de prstamos El trmino amortizacin de un prstamo se refiere al clculo de pagos peridicos iguales de un prstamo. Estos pagos proporcionan a un prestamista un rendimiento de inters determinado y un reembolso del principal del prstamo durante un periodo determinado. El proceso de amortizacin de un prstamo implica la bsqueda de pagos futuros, durante el periodo del prstamo, cuyo valor presente a la tasa de inters del prstamo es igual a la cantidad del principal prestado inicialmente. Los prestamistas utilizan un programa de amortizacin de prstamos para determinar estas cantidades de pago y la asignacin de cada pago al inters y al principal. En el


39

aso de hipotecas de casas, estas tablas se utilizan para encontrar los pagos mentasa En realidad, la amortizacin de un prstamo implica la creacin de una anualidad a partiy seencouna Esteanua Ante sente, PVAn, de una anualidad a n el factor de inters del valor pres , que se expres originalmente como n 4.24:

csuales iguales que se necesitan para amortizar, o liquidar, la hipoteca a una de inters especificada durante un periodo de 15 a 30 aos.

r de una cantidad presente. Por ejemplo, digamos que le prestan $6,000 a 10% compromete a hacer pagos iguales cada fin de ao durante 4 aos. Para ntrar de cunto deben ser los pagos, el prestamista determina la cantidad de anualidad a cuatro aos descontada al 10%, con un valor presente de $6,000. proceso es en realidad lo opuesto a la bsqueda del valor presente de una lidad.

riormente en el captulo encontramos el valor preaos, multiplicando la cantidad anual, PMT, porente para una anualidad, PVIFAi,n. Esta relacin la ecuacin 4.16, se repite aqu como la ecuaci

( ,nin PVIFAPMTPVA )= encontrar el pago anual requerido para liquidarnte cierto nmero de aos a una

(4.24)

a , o amortizar, el prstamo PVAn, a tasa de inters determinada, necesitamos lver la ecuacin 4.24 para el . Se separamos el PMT a la izquierda de la

ecuacin, obtenemos.

Pardurreso PMT

ni

n

PVIFAPMT

,

= (4.25)

Una v ustituir los valores conocidos en el lado dere ar el pago anual requerido.

PVA

ez hecho esto, slo tenemos que scho de la ecuacin para encontr

Amortizacin de un prstamo D os iguales de un prstamo, necesarios para eterminacin de pagos peridic

proporcionar a un prestamista un rendimiento de inters especificado y reembolsarel principal del prstamo durante un periodo especificado.

Programa de amortizacin de un prstamo Programa de pagos iguales para el reembolso de un prstamo. Muestra la

asignacin de cada pago del prstamo al inters y al principal


Como ya dijimos, usted quiere determinar los pagos necesarios anuales de fin de ao para amortizar totalmente el prstamo de $6,000 al 10% durante 4 aos.

Uso de la tabla La tabla A4 indica que el fa

s a 4 aos, se

ctor de inters del valor presente para una anualidad que corresponde al 10% a 4 aos (PVIFA10%4aos) es de 3.170. Sustituyendo PVA4 = $6,000 y PVIFA10%,4aos = 3.170 en la ecuacin 4.25 y resolviendo el PMT obtenemos un pago anual del prstamo de $1,892.74. As, para liquidar el inters y el principal de un prstamo de $6,000, con 10% de inter

40

necesitan pagos anuales de $1,892.74.

EJE

MP

LO

Uso de la calculadora Utilizando lasde la calculadora que se muestran a la

la solucin de la tabla.

codecada pago que representan los intereses (columna 3) se reduce reembolso, y l

un amortizados; conforme el principal se reduce, el componente de inters disminuye, dejando una porcin mayor de cada pago subsecuente del prstamo para liquidar el principal.

entradas

izquierda encontrar que la cantidad del pago anual es de $1,892.82. Excepto por una ligera diferencia de redondeo, este valor coincide con

La asignacin de cada pago del prstamo a intereses y principal se puede ver en las

lumnas 3 y 4 del programa de amortizacin un prstamo de la tabla 4.8. La porcin de

durante el periodo de a porcin que va al reembolso del

principal (columna 4), se incrementa. Este es patrn comn de los prstamos


41

rograma de amortizacin que asigna cada pago del prstamo a los intereses y al principal tambin se puede calcular con precisin como se muestra en la segunda hoja de clculo.

Uso de la hoja de clculo El pago anual para reembolsar el prstamo tambin e puede calcular como se muestra en la primera hoja de clculo en Excel. El s

p

EJE

MP

LO

as de inters o de crecimiento

, la tasa del cambio anual de los valores) de una plos incluyen la bsqueda de la tasa de inters de miento de ventas y utilidades. Para hacer esto, ps del valor futuro o del valor presente. En esta ctores de inters del valor presente. La situacin

12

TasA menudo es necesario calcular el inters compuesto anual o tasa de crecimiento (es decir serie de flujos de efectivo. Los ejem un prstamo y las tasas de creci odemos utilizar los factores de inter seccin describimos el uso de los fa ms sencilla es aquella en la que una persona desea encontrar la tasa de inters o de crecimiento de una serie de flujos de efectivo.

12 Puesto que los clculos requeridos para obtener las tasas de inters y las de crecimiento, dada la serie de flujos de efectivo, son los mismos, esta seccin se refiere a los clculos como aquellos que se requieren para encontrar las tasas de inters o de crecimiento.


42

Ao Flujo de efectivo 2003 $ 1,520

Ray Noble desea encontrar la tasa de inters o crecimiento reflejada en la serie de flujos de efectivo que recibi de una inversin en bienes races durante el periodo de 1999 a 2003, La tabla siguiente lista esos flujos de efectivo:

2002 1,440 2001 1,370 2000 1,300 1999 1,250

Utilizando el primer ao (1999) como ao base, vemos que se ha ganado inters (o experimentado crecimiento) durante 4 aos. Uso de la tabla El primer paso para encontrar la tasa de inters o de crecimiento es dividir la cantidad recibida en el primer ao (PV) entre la cantidad recibida en el ltimo ao (FVn). Regresando a la ecuacin 4.12, vemos que sta da como resultado el factor de inters del valor presente de una cantidad nica durante 4 aos, PVIFi,4aos, que es de 0.822 ($1,250 $1,520). La tasa de inters de la tabla A2 asociada con el factor ms cercano a 0.822 durante 4 aos es la tasa de inters o de crecimiento para los flujos de efectivo de Ray. En la fila del ao 4 de la tabla A2, el factor para 5% es de 0.823, casi exactamente el valor de 0.822. Por lo tanto, la tasa de inters o de crecimiento de los flujos de efectivo dados es de 5% aproximadamente (al porcentaje total ms cercano).13

4

3

2

1

EJE

MP

LO

Uso de la calculadora Utilizando la calculadora, tratamos el primer valor como un valor presente, PV, y el ltimo valor como un valor futuro, FVn. (Nota: la mayora de las calculadoras requiere

a tasa de

que el valor PV o el valor FV se introduzca como un nmero negativo para calcular uninters o de crecimiento desconocida. Aqu utilizamos ese mtodo.) Utilizando las entradas que se muestran a la izquierda, encontrar que la tasa de inters o de crecimiento es de 5.01%, que coincide con el valor encontrado mediante la tabla A2, pero es ms precisa.

13 Para obtener estimaciones ms precisas de tasas de intereses o de crecimiento, se puede aplicar la interpolacin una tcnica matemtica para estimar valores intermedios desconocidos. Para obtener informacin sobre cmo interpolar una respuesta ms precisa en este ejemplo, vea la pgina Web del libro en www.pearsonedlatino.com/gitman.


Uso de la hoja de clculo La tasa de inters o de crecimiento para la serie de flujos de efectivo tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

43

EJE

MP

LO

iada con una anualidad, o prstamo de pagos iguales. Otro tipo de problema de tasa de inters implica la bsqueda de la tasa de inters

caso


44

Uso de la tabla Sustituyendo PVA5 $2,000 y PMT = $514.14 en la ecuacin , obtenemos:

Jan Jacobs puede obtener un prstamo de $2,000 que se liquida en cantidades iguales de $514.14 cada fin de ao durante los prximos 5 aos y desea encontrar la tasa de inters de este prstamo.

4.24 y reordenando la ecuacin para resolver PVIFAi,5aos

890.32000$55, === PVAPVIFA aosi 14.514$PMT (4.26)

En la tabla A4, la tasa de inters para 5 aos asociada con el factor de anualidad ms cercano a 3.890 es de 9%. Por lo tanto, la tasa de inters del prstamo es aproximadamente de 9% (para el porcentaje total ms cercano).

Uso de la calculadora (Nota: la mayora de las calculadoras requiere que el valor PV o el valor PMT se introduzca como un nmero negativo para calcular una tasa de inters desconocida sobre un prstamo de pagos iguales. Aqu utilizamos este mtodo.) Utilizando las entradas

valor encontrado usando la tabla A4. que se muestran a la izquierda, encontrar que la tasa de inters es de 9.00%, que coincide con el

EJE

MP

LO

Uso de la hoja de clculo La tasa de inters o de crecimiento de la anualidad tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.

Bsqueda de un nmero desconocido de periodos A veces es necesario calcular el nmero de periodos que se necesitan para generar una cantidad de flujos de efectivo a partir de una cantidad inicial. Aqu consideramos brevemente este clculo para cantidades nicas y anualidades. El caso ms sencillo es el de una persona que desea determinar el nmero de periodos, n, que un


45

epsito inicial, PV, tardar en crecer hasta una cantidad futura especificada, FVn, dada

ar su depsito inicial de $1,000,

so de la tabla De una manera semejante a nuestro mencontrar una tasa de inters o de crecimiento desconocida en una serie

n, de aos (periodos) de la 0.400 para una tasa de ra que los $1,000 crezcan bla A2, el factor para 12 o, el nmero de aos que valor futuro de $2,500 al

d una tasa de inters establecida, i.

nn Bates desea determinar cuntos aos tardAque gana un inters anual de 8%, en crecer hasta llegar a $2,500. Dicho de una manera sencilla, a una tasa de inters anual de 8%, cuntos aos, n, tardarn los $1,000 de Ann, PV, en crecer hasta $2,500, FVn? U todo anterior para

de flujos de efectivo, empezamos dividiendo la cantidad depositada en el primer ao entre la cantidad recibida en el ltimo ao. Esto da como resultado el factor de inters del valor presente de 8% y n aos, PVIF8%,que es de 0.400 ($1,000 $2,500). El nmerotabla A2 asociados al factor ms cercano ainters de 8% son los aos que se requieren paa $2,500 al 8%. En la columna de 8% de la taaos es 0.397, casi el valor de 0.400. Por lo tantse necesitan para que los $1,000 crezcan a un 8% es de 12 aproximadamente (al ao ms cercano).

Uso de la calculadora Utilizando la calculadora, tratamos el valor inicial como valor presente, PV, y el valor final como valor futuro, FVn. (Nota: la mayora de las calculadoras requiere que el valor PV o el valor PV se introduzca como un nmero negativo para calcular un nmero desconocido de periodos. Aqu utilizamos este mtodo.)

s es de 11.91 aos, que coincide con el valor encontrado antes usando la tabla A2, pero ms preciso.

Utilizando las entradas que se muestran a la izquierda, encontramos que el nmero de periodo

EJE

MP

LO

Uso de la hoja de clculo El nmero de aos para que el valor presente crezca a un valor futuro especificado tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.


46

siones deseamos encontrar el tiempo de uracin desconocido, n, de una anualidad, PMT, que se pretende para alcanzar un

objetivo, como liquidar un inter

a fin de ao. Bill desea

Otro tipo de problema de nmero de periodos es encontrar el nmero de periodos asociados con una anualidad. En ocad

prstamo o una calidad dada, PVAn, con una tasa de s determinada, i.

Bill Smart puede obtener un prstamo de $25,000 a una tasa de inters anual e 11%; se requieren pagos iguales de $4,800 cadd

determinar cunto tiempo le tomar liquidar totalmente el prstamo. En otras palabras, quiere determinar en cuntos aos, n, liquidar el prstamo de $25,000 a 11% de intereses, PVAn, si hace los pagos de $4,800, PMT, al final de cada ao. Uso de la tabla Sustituyendo PVA = $25,000 y PMT = $4,800 en la ecuacin 4.24 y reordenando la ecuacin para resolver el PVIFA11%, aos, obtenemos:

208.5800,4$000,25$

%,11 === PMTPVAPVIFA naosn (4.27)

El nmero de periodos para una tasa de inters de 11% asociada con el factor de anualidad ms cercano a 5.208 de la tabla A4 es de 8 aos. Por

itan para liquidar por consiguiente, el nmero de periodos que se necescompleto el prstamo es de 8 aos aproximadamente (al ao ms cercano).

Uso de la calculadora (Nota: la mayora de las calculadoras requiere que el valor PV o el valor PMT se introduzca como un nmero negativo para calcular un nmero desconocido de periodos. Aqu utilizamos este mtodo). Utilizando las entradas que se muestran a la izquierda, encontrar que el nmero de periodos es de 8.15, el cual coincide con el valor encontrado mediante la tabla A4.

EJE

MP

LO

Uso de la hoja de clculo El nmero de aos para liquidar el prstamo tambin se puede calcular como se muestra en la siguiente hoja de clculo en Excel.


47

a amortizar un prstamo en una serie

s aplicable?

ReEnfoque en el valor El valor del dinero en el tiemadmimpadecisefect ia. Las s administradores financieros eval omentos diferentes a fin de

b eneral de maximizacin del c tulos 6 y 7 veremos que la c una parte fundamental del c mos medir el valor de la

emp cisiones podran tener sobre ella. o en e ar decisiones inteligentes de crea

Repaso de los objetivos de aprendizaje 1.

tradores financieros y los inversionistas utilizan las tcnicas del valor del dinero en el tiempo al evaluar el valor de las series de flujos de efectivo esperado asociadas con alternativas de inversin. Las alternativas se pueden evaluar ya sea capitalizando para encontrar el valor futuro o descontando para encontrar el valor presente. Puesto que estn en el tiempo cero cuando toman decisiones, los administradores financieros se basan principalmente en tcnicas de valor presente. Las tablas financieras, las calculadoras financieras y las hojas de clculo electrnicas pueden agilizar la aplicacin de las tcnicas del valor en el tiempo. El flujo de efectivo de una empresa se puede describir por su patrn, cantidad nica, anualidad o serie combinada.

Preguntas de repaso Cmo puede determinar el tamao de los depsitos de fin de periodo anuales

iguales que se necesitan para acumular cierta suma futura al final de un periodo futuro determinado a una tasa de i

gitman cap4

Documents