giỚi hẠn-liên tỤc - · pdf file5 ví dụ a) 0 b) giai tich 1 nguyen van...

1

GIƠI HAN

Lecture 2

Nguyen Van Thuy

Nôi dung

Review

Đinh nghia giơi han

Giơi han môt phia

Đinh ly kep

Cac dang vô đinh

Cac giơi han cơ ban

Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 2-2

Review-Hàm số

Đinh nghia. Hàm số f là môt quy tắc gan mỗi số

thực x trong D vơi duy nhất môt số thực, ky hiêu

f(x), trong tâp E

Nguyen Van Thuy-University of Science

x f(x)

D E f

•

•

Giai tich 1 2-3

Review-Miên xac đinh–miên gia tri


Miên gia tri

Miên xac đinh

y

x

y = f(x)

O

Giai tich 1 2-4

Review-Đồ thi

Đinh nghia. Nếu hàm số f(x) có miên xac

đinh là D thì đồ thi của hàm số là tâp hợp


{( , ( )) | }x f x x D

O

y

1 2 x

f(x) f(2)

f(1)

(x, f(x))

x

Giai tich 1 2-5

Giơi han khi x

Vi du. 1/x 0 khi x , điêu này y nghia

chinh xac là gì?


x 1/x

100 0.001

1,000 0.001

8,000 0.000125

50,000 0.00002

200,000 0.000005

8,000,000 0.000000125

1,250,000,000 0.000000004

1lim 0x x

Note: nghia là +

Giai tich 1 2-6

2

Giơi han khi x

Không phai là “1/x băng 0 khi x = ”, không

phai là môt số

f(x) L khi x nếu f(x) nhân nhưng gia tri rất

gân L khi x nhân tất ca cac gia tri đủ lơn, ky hiêu

f(x) L khi x - nếu f(x) nhân nhưng gia tri rất

gân L khi x nhân tất ca cac gia tri âm có gia tri

tuyêt đối đủ lơn, ky hiêu


lim ( )x

f x L

lim ( )x

f x L

Giai tich 1 2-7

Giơi han khi xa hưu han

Vi du


sin( ) , 0

xf x x

x

x sinx/x

1.0 0.84147098

0.5 0.95885108

0.4 0.97354586

0.3 0.98506736

0.2 0.99334665

0.1 0.99833417

0.05 0.99958339

0.01 0.99998333

0.005 0.99999583

0.001 0.99999983 Giai tich 1 2-8

0

sinlim 1x

x

x


Nguyen Van Thuy-University of Science Giai tich 1 2-9

0

sinlim 1x

x

x


𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 2

lim𝑥→2

𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4



f(x) L khi x a nếu f(x) nhân nhưng gia tri rất

gân L khi x nhân tất ca cac gia tri đủ gân a, ky

hiêu

f(x) khi x a nếu f(x) nhân nhưng gia tri

rất lơn (âm hoăc dương) khi x nhân tất ca cac gia

tri đủ gân a

Chu y. “x rất gân a”

Xet ca 2 trương hợp x<a và x>a

Không xet tai x = a, f(x) có thê không xac đinh tai a


lim ( )x a

f x L

Giai tich 1 2-11

Ba trường hợp giơi han


lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿

3


Đinh ly (kep). Nếu khi

x gân a và

thì


( ) ( ) ( )f x g x h x

lim ( ) lim ( )x a x a

f x h x L

lim ( )x a

g x L

Giai tich 1 2-13


Vi du. Tìm nếu

Vi du. Chưng minh răng


4lim ( )x

f x

24 9 ( ) 4 7, 0x f x x x x

4

0

2lim cos 0x

xx

Giai tich 1 2-14

Giơi han bên trai

Vi du. Quan sat gia tri của khi cho x

nhân nhưng gia tri rất gân 1 và nho hơn 1


2

1( )

| 1|

xf x

x

x<1 f(x)

0.5 -0.666667

0.9 -0.526316

0.99 -0.502513

0.999 -0.500250

0.9999 -0.500025

Nhân xet: f(x) -0.5. Ta nói giơi han bên trai của f(x) tai x=1 là -0.5, viết

21

1lim 0.5

| 1|x

x

x

Giai tich 1 2-15

Giơi han bên trai


L f(x)

a x

x

y

O

lim ( )x a

f x L

a x

lim ( ) lim ( )x a x ax a

f x f x L

Giơi han bên phai

Vi du. Quan sat gia tri của khi cho x

nhân nhưng gia tri rất gân 1 và lơn hơn hơn 1


2

1( )

| 1|

xf x

x

x>1 f(x)

1.5 0.400000

1.1 0.476190

1.01 0.497512

1.001 0.499750

1.0001 0.499975

Nhân xet: f(x) 0.5. Ta nói giơi han bên phai của f(x) tai x=1 là 0.5, ky hiêu

21

1lim 0.5

| 1|x

x

x

Giai tich 1 2-17

Giơi han bên phai


x a

lim ( ) lim ( )x a x ax a

f x f x L

L f(x)

x a

x

y

O

lim ( )x a

f x L

4

Giơi han môt phia

Vi du. Cho hàm số 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thi như hình vẽ.

Xac đinh cac giơi han sau (nếu tồn tai)

𝑎) lim𝑥→2−

𝑔 𝑥 𝑏) lim𝑥→2+

𝑔 𝑥 𝑐) lim𝑥→2

𝑔 𝑥

𝑑) lim𝑥→5−

𝑔 𝑥 𝑒) lim𝑥→5+

𝑔 𝑥 𝑓) lim𝑥→5

𝑔 𝑥


Giơi han môt phia

Giơi han bên phai của f(x) băng L khi x a nếu

f(x) nhân nhưng gia tri rất gân L khi x nhân tất ca

cac gia tri đủ gân a và lơn hơn a, ky hiêu

Giơi han bên trai của f(x) băng L khi x a nếu

f(x) nhân nhưng gia tri rất gân L khi x nhân tất ca

cac gia tri đủ gân a và nho hơn a, ky hiêu


lim ( )x a

f x L

lim ( )x a

f x L

Giai tich 1 2-20

Giơi han môt phia

Đinh ly

Vi du. , nhưng

không tồn tai nên

Vi du. Tìm


2lim 2 0x

x

2

lim 2x

x

lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x L f x L f x

2lim 2x

x

1

1lim

| 1|x

x

x

Giai tich 1 2-21

Vi du


3

) lim 2 | 3 |x

a L x x

6

2 12) lim

| 6 |x

xb L

x

2

2 | |) lim

2x

xc L

x

0

1 1) lim

| |xd L

x x

0

1 1) lim

| |xe L

x x

Chu y

7 dang vô đinh

Cac giơi han cơ ban


0 0.00

, , , ,1 ,0

0,

0

1/

0

01

sin 1lim 1 , lim 1 ( )

lim(1 ) (

0

)1

u

u u

u

u

ue

u u

u e

Giai tich 1 2-23

Vi du


0

sin3) lim

tan5x

xa L

x

0

1) lim cot

sinxb L x

x

1) lim1

2

x

xcL

x

21/

0) limcos

x

xeL x

2 31

) lim1

x

x

xdL

x

5

Vi du

a)

b)


0

1 coslim

sin 2

0

0x

xL

x x

1 1 1) 0 ) ) )

3 2 4a L b L c L d L

2

21

1lim

1

x

x

x xL

x x

2) ) 1 ) )a L b L c L e d L e

Vi du

a)

b)


cot

0lim cos n 1si

x

xL x x

1) 1 ) ) )a L b L e c L d L

e

3cot

2

0lim cos2 1

x

xL x x

1) 1 ) ) )a L b L e c L d L

e

Dùng Maple tinh giơi han

Sử dung tool đã xây dựng sẵn

ToolTutorsCalculus-Single variableLimit

Methods

Dùng lênh trực tiếp

limit(f,x=a)

limit(f,x=infinity); limit(f,x=-infinity)

limit(f,x=a,left); limit(f,x=a,right)


giỚi hẠn-liên tỤc - · pdf file5 ví dụ a) 0 b) giai tich 1 nguyen van...

Documents