giÁo trÌnh toÁn cao cẤp a2 -...

BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM

GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên

ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY

GIÁO TRÌNH

TOÁN CAO CẤP A2 PHẦN ĐẠI SỐ

KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ )

TP HỒ CHÍ MINH 2013

TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN

2

Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn


3

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán

trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn TOÁN CAO CẤP A2 dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật. Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn, trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt. Nội dung cuốn sách là phần Đại số tuyến tính và Tính gần đúng, giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện. Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo chương trình đào tạo tín chỉ. Trong quá trình giảng dạy, giáo trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ [email protected] Xin chân thành cảm ơn. BỘ MÔN TOÁN


4


5

MỤC LỤC

PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Trang CHƯƠNG I SỐ PHỨC 7

1.1 TẬP HỢP 7 1.2 ANH XẠ 12 1.3 TẬP HỢP SỐ THỰC 14 1.4 SỐ PHỨC 16

BÀI TẬP CHƯƠNG I 22 CHƯƠNG II

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 23

2. 1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 23 I. Định nghĩa ma trận II. Phân loại ma trận III. Các phép toán về ma trận IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

2. 2 ĐỊNH THỨC 30 I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông II. Tính chất của định thức III. Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp

2. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 37 I. Định nghĩa II. Các định lý III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

2. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 42 I. Định nghĩa II. Phương pháp tìm hạng của ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG II 45 CHƯƠNG III

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 49

3.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 49 I. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính


6

II. Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli 3.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH 53

I. Phương pháp Cramer II. Phuơng pháp Gauss-Jordan III. Hệ thuần nhất

3.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN 61 BÀI TẬP CHƯƠNG III 65 CHƯƠNG IV

MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH GẦN ĐÚNG

68

4.1 LÝ THUYẾT SAI SỐ 68 I. Số gần đúng và sai số II.Sai số tính toán

4.2 TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN SỐ

75

I.Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm. II.Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm

4.3 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 84 I.Phương pháp hình thang. II. Phương pháp Simpson. BÀI TẬP CHƯƠNG IV 89 ĐỀ THI THAM KHẢO 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93


7

CHƯƠNG I SỐ PHỨC

Tập R rất phong phú. Nhưng phương trình x2 + 1 = 0 không có nghiệm là số thực. Vì vậy, người ta xây dựng thêm những số mới ,gọi là số phức.

1.1 TẬP HỢP

I. Khái niệm về tập hợp.

1. Khái niệm. Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học,

người ta không định nghĩa khái niệm tập hợp qua những khái niệm khác đơn giản hơn được.

Để kí hiệu một tập hợp người ta dùng chữ cái in: A,B…

Một vật, một đối tượng nằm trong tập hợp gọi là một phần tử của tập hợp, thường ký hiệu bằng chữ cái thường: a,b,c,…

Để chỉ rằng x là một phần tử của tập hợp E, ta viết x ∈E.

Để chỉ rằng x là một phần tử không thuộc tập hợp E,

ta viết x ∉E hoặc x∉ E.

Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp trống ( rỗng) kí hiệu ∅

2. Các phương pháp biểu diễn một tập hợp : a. Biểu diễn theo kiểu liệt kê: Liệt kê tất cả các phần tử của

tập hợp trong dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết 1 lần.


8

Ví dụ : { }2,3,4,7

b. Biểu diễn theo thuộc tính đặc trưng : Chỉ ra các đặc tính của tập hợp .

Ví dụ : Tập hợp

A = { }2 2. 1 0x x x+ + =

c. Biểu diễn theo giản đồ VENN: Minh họa tập hợp bởi 1 miền phẳng giới hạn bởi 1 đường cong hay đường gấp khúc kín. Xem hình 1-1.

3. Quan hệ giữa các tập hợp a) Tập con : Cho 2 tập hợp E, F .Nếu mọi phần tử của E đều là phần tử của F thì ta nói E bao hàm trong F hay E là tập con của F.

Kí hiệu E⊂F . Minh họa hình học xem hình 1-2

b) Tập hợp bằng nhau:

Hai tập E và F được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của E đều là một phần tử của F và ngược lại.Kí hiệu : E = F.

4. Một số tập hợp thường gặp. N : là tập hợp các số tự nhiên .

2

4

3

7

A

Hình 1-1

EF

Hình 1-2


9

Z : là tập hợp các số nguyên.

Q : là tập hợp các số hữu tỉ.

R : là tập hợp các số thực.

II. Các phép toán về tập hợp.

1. Phép hợp : Hợp của 2 tập hợp A và B

là một tập hợp các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B,

kí hiệu:

A∪B = { }x x A x B∈ ∨ ∈

Minh họa hình học xem hình 1-3

2. Phép giao Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc phần tử chung của A và B,

Kíhiệu: A∩B={ }x x A x B∈ ∧ ∈


Các tính chất cơ bản:

- Tính chất 1 : Tính giao hoán :

A∪B = B∪A ; A∩B= B∩A

- Tính chất 2 : Tính kết hợp :

A ∪B∪C = A∪ (B∪C);

A∩B∩C = A∩ (B∩C).

Hình 1-3

A

B

AB


10

B

A

Hình 1-6

A

- Tính chất 3 : Tính phân bố :

A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C);

A (B C)=(A B) (A C)∪ ∩ ∪ ∩ ∪ .

3. Phép hiệu hai tập hợp Cho 2 tập A và B. Tập hợp gồm mọi phần tử của A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của tập A với tập B.

Ký hiệu A\B={ }: vaø ∈ ∉x x A x B .


4. Phần bù

Tập hợp A⊂B, thì ta gọi tập B\A là tập bù của tập A đối với tập B.

Ký hiệu là CBA. Hay A


Hình 1-5

B

A


11

III. Khái niệm về các kí hiệu lôgic 1. Mệnh đề toán học: là một khẳng định toán học chỉ có thể đúng hoặc sai.

Để diễn tả các lập luận toán học một cách thuận lợi người ta sủ dụng các kí hiệu logic.

2. Các kí hiệu.

Kí hiệu: A ⇒ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B.

Kí hiệu : A⇔ B, nghĩa là mệnh đề A suy ra mệnh đề B và ngược lại. Hay nói một cách khác là A và B là hai mệnh đề tương đương.

Kí hiệu : = được hiểu là được định nghĩa.

Kí hiệu ∀ x ∈A: α nghĩa là với mọi x thuộc A mệnh đề α đươc thỏa mãn.

Kí hiệu ∃x ∈A: α nghĩa là tồn tại phần tử x thuộc A mệnh đề α được thỏa mãn.

Kí hiệu x : nghĩa là “không x ” .

Ta có : : :x E x Eα α∀ ∈ ⇔ ∃ ∈

: :y E y Eβ β∀ ∈ ⇔ ∃ ∈


12

1.2 ÁNH XẠ.

Mở đầu: Ánh xạ là một khái niệm rất quan trọng trong toán học. Ánh xạ dùng để khảo sát các tính chất, các mối quan hệ của một tập hợp và các phần tử của nó.

I.Các định nghĩa 1. Định nghĩa ánh xạ: Anh xạ từ tập E vào tập F là một luật tương ứng sao cho với mỗi phần tử x∈E có một phần tử tương ứng xác định y ∈ F.

Kí hiệu : f: E F ; E là tập nguồn ; F là tập đích.

Phần tử y ứng với x được gọi là ảnh của x qua f

kí hiệu y=f(x) hay x y=f(x); x y.

Tập ảnh : f(E) = { }( );y y f x x E= ∈

VÍ DỤ 1 : E = F = R; x∈R liên hệ với y∈R bởi y=x3 lá ánh xạ f: R R. Xác định bởi y=x3

VÍ DỤ 2 : f: R R : xác định bởi y=x2.

VÍ DỤ 3 : E={ }: 1x x R x∈ ≤ ; F=2 ; x∈E liên hệ với y∈R

theo qui luật y=cung có sin là x Là ánh xạ f: E R

Chẳng hạn x=1/2 ∈E thì các cung .2.6

kπ π+ và 5. .2.6

kπ π+

đều có sin là 1/2.

2. Đơn ánh. f:E F được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f(x’) , suy ra x = x’

Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của nhiều nhất một phần tử x∈E. Hay phương trình f(x)=y; y∈F với ẩn x có nhiều là một nghiệm với mọi y.


13

VÍ DỤ: f : R R, xác định y=x3 là đơn ánh.

Giải phương trình x2 = y ; y ∈R có 2 nghiệm khác nhau nếu y>0.

3. Toàn ánh .

f:E F được gọi là toàn ánh nếu f(E)=F. Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của ít nhất một phần tử x∈E. Hay phương trình f(x)=y; y∈F có nghiệm với mọi y∈F.

VÍ DỤ : f : R R, xac định y=x3 là toàn ánh còn f:R R xác định y=x2 không phải là toàn ánh vì phương trình x2=y có nghiệm khi y≥ 0.

4. Song ánh

E F được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

Nghĩa là một phần tử y∈F là ảnh của một và chỉ một phần tử x∈E. Hay phương trình f(x)=y; có duy nhất một nghiệm.

VÍ DỤ: f : R R, xác định y = 3x + 5 là 1 song ánh .

5.Anh xạ ngược.

f: E→F là một song ánh thì y∈F có một phần tử duy nhất x∈E sao cho f(x)=y. Khi đó ánh xạ từ F→E gọi là ánh xạ ngược của f.Kí hiệu f -1.

Vậy f-1 : F→E ⇒ f(x) = y ⇒ f-1(y) = x ; x∈E; y∈F

VÍ DỤ: f: R→R xác định y=x3 ⇒ f-1 : R→R được xác định y∈R x= 3 y ∈R .

II. Tích của hai ánh xa (ánh xa hợp)

g:E→F ; f:F→G ; h: E→G xác định h(x) = f(g(x)) với mọi x thuộc E được gọi là ánh xạ tích. Kí hiệu h = f.g.

Chú ý : f.g ≠ g.f


14

1.3. TẬP HỢP SỐ THỰC

I. Khái niệm về số hữu tỉ – vô tỉ và số thực.

1. Số hữu tỉ là tất cả các số có thể viết dưới dạng tỉ số của 2 số nguyên kể cả số không.

VÍ DỤ : 1/3 ; 6/7; 0,18 …..

Số hữu tỉ có thể viết thành một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn nhưng tuần hoàn.

VÍ DỤ: 3 0,754= 4 1,33...

3=

2. Số vô tỉ

Một số có thể viết thành một phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.

VÍ DỤ : 3,1415926...; 2 1, 414...= =π

Suy ra : số vô tỉ không thể là tỉ số của hai số nguyên.

3. Số thực là các số hữu tỉ và các số vô tỉ hợp lại.

Ký hiệu R : là tập số thực

II. Các định lí: Định lí 1 : Tập Q là đếm được

Định lí 2 : Tập hợp tất cả các phân số thập phân vô hạn là không đếm được

Hệ quả : Tập R không đếm được

III. Khoảng số thực

Cho a, b, ∈ R, a < b ta định nghĩa


15

[a,b] = {x∈ R : a ≤ x ≤ b }

(a,b) = {x∈ R : a < x < b }

[a,b) = {x∈ R : a ≤ x < b }

(a,b] = {x∈ R : a < x ≤ b }.

Cho x∈ R và ε > 0. Ta gọi Bε (x) = (x - ε, x + ε) là ε - lân cận

của điểm x.

Tập con E ∈ R gọi là mở nếu ∀x∈E, ∃ε > 0 : Bε (x) ⊂E. Với

mọi a, b ∈R, a < b, ta có (a, b) là tập mở.

IV. Trị tuyệt đối của số thực

1. Định nghĩa a

aa

⎧= ⎨−⎩

nếu 0

0a

a≥

− <

2. Các tính chấ:

Tính chất 1 : Nếu x < a ⇔ -a < x < a.

Tính chất 2 : Nếu x >b ⇔ x > b hoặc x< -b.

Tính chất 3 : a+b a b≤ +

Tính chất 4 : a-b a b≤ −

Tính chất 5 : a.b .a b≤

Tính chất 6 : aa

b b=


16

1.4 SỐ PHỨC

I. Định nghĩa số phức. 1.Định nghĩa 1 :(Dạng hình họccủa số phức)

Số phức là một cặp số thực (a,b)

a∈ R là thành phần thứ nhất. b∈ R là thành phần thứ hai.

Tập tất cả các số phức kí hiệu là C.

2.Định nghĩa 2 (Về sự bằng nhau của hai số phức).

( , )a b C∀ ∈ ( ', ')a b C∀ ∈ : (a,b) = (a’,b’) ⇔ a=a’ ; b=b’.

3.Định nghĩa 3 : Dạng chính tắc của số phức.

(Dạng đại số của số phức)

z= a+b.i ; i2 = -1 ; a,b ∈ R

a : gọi là phần thực ; a= Re (z).

b: gọi là phần ảo ; b= im(z). i :đơn vị ảo.

4.Định nghĩa 4 :

Số phức liên hợp của z=a+b.i là số phức z = a-b.i

II. Biểu diễn số phức trên mặt phẳng. Cho z= a+b.i . Trên mặt phẳng Oxy bằng điểm A(a,b)

Nếu b = 0 ⇒ A∈ Ox ⇒ z = a:số thực

Nếu a= 0 ⇒ A∈ Oy⇒ z = b.i:số thuần ảo.

Nối A với O ta được OA là biểu diễn hình học số phức đã cho.

III. Dạng đại số của số phức.

1. Phép cộng và trừ.


17

Cho Z1 = a1 + i. b1 ; Z2 = a2 + i. b2 thì

Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) +i. ( b1 + b2 ).

Z1-Z2 = (a1- a2) + (b1-b2) .i.

Đặc biệt ( a + i.b ) +(a-i.b) = 2.a.

VÍ DỤ: (3 +2.i) +(5 – 4.i) = (3+5) + (2-4).i=8-2i

VÍ DỤ: (3 +2.i) -(5 – 4.i) = (3-5) + (2+4).i.=-2+6i.

VÍ DỤ: (3 +2.i) +(3 -2.i) = 2.3=6

2. Phép nhân số phức:

Cho Z1 = a1 + i. b1 ; Z2 = a2 + i. b2 thì

Z1.Z2 = (a1.a2 – b1.b2) +(b1.a2+a1.b2).i .

Đặc biệt : ( a+ i.b ).(a-i.b) = a2+b2.

VÍ DỤ: (3 +2.i) .(5 – 4.i) = (3.5-2(-4) )+ (2.5+3.(-4)).i=23-2i

VÍ DỤ: (3 +2.i) (3 – 2.i) = 9+ 4=13

3. Phép chia số phức.

( ) ( )1 1 2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

. . .. . . . . ..

+ −+ − += = = +

+ + + +a i b a i bZ a i b a a b b a b a b i

Z a i b a b a b a b

VÍ DỤ: 2 3. (2 3. )(4 5. ) 7 22.... .4 5. (4 5. )(4 5. ) 41 41+ + +

= = = − +− − +

i i i ii i i

4.Phép lũy thừa: zn = . ...... . lann

z z z z

VÍ DỤ TỔNG QUÁT :

Tính 2 3

3 2

(2. 1) (1 )(3 2. ) (2 )

i iSi i

+ − −=

+ − +

BÀI GIẢI


18

Khai triển, rút gọn, nhân liên hợp, ta được:

1 6. 264 30 44 512 42. 1908 318 318

i iS ii

− + −= = = −− +

5. Phép khai căn bậc n: =n z ε nếu =n zε .

IV. Dạng lượng giác của số phức 1. Định nghĩa : Cho z= a + i.b.

Gọi r≥ 0 và ϕ là tọa độ cực của A(a,b) đối với trục Ox và Oy

r gọi la môđun của số z; ϕ gọi là acgumen của z

Kí hiệu: z = a + i.b

ϕ = Arg (a +i.b)⇒ a= r cos ϕ ; b = r.sin ϕ

Vậy dạng lượng giác của số phức là z = r ( cosϕ + i.sin ϕ )

Ngược lại r = 2 2a b+ ; tg ϕ = b/a.

Chú ý: tg ϕ = b/a có 2 gócϕ ta chọn gócϕ sao cho sinϕ cùng dấu với b.

VÍ DỤ Viết số sau dưới dạng lượng giác: Z= 1+i.

Ta có: r = 2 21 1 2+ =

tg ϕ = 1/1 =1 chọn ϕ = π /4 vì b=1>0

Vậy dạng lượng giác của số phức Z = 1+ i là

Z= 2 (cos4π +i.sin

4π )

VÍ DỤ tương tự :

1 = 1. (cos 0+i.sin0); -1 =1. (cosπ +i.sinπ )


19

-i =1. (cos 3.2π +i.sin 3.

2π ); i =1. (cos

2π +i.sin

2π )

2.Các phép toán

Cho Z1= r1.(cosϕ 1+i.sin ϕ 1); Z2= r2.(cosϕ 2+i.sin ϕ 2)

a)Phép nhân

Z1.Z2 = r1.r2.[cos(ϕ 1+ϕ 2) +i.sin(ϕ 1+ϕ 2)]

Đặc biệt : Z1.Z1 = r12[cos2.ϕ 1 +i.sin2.ϕ 1]

VÍ DỤ

Cho Z1= 2 (cos4π +i.sin

4π ) và Z2 =1. (cos 3.

2π +i.sin 3.

2π ) thì

Z1.Z2 = 2 .1[cos(4π + 3.

2π )+i sin(

4π + 3.

2π )]

Z1.Z1 = 2 . 2 [cos(2.4π )+i sin(2.

4π )]

b) Phép chia

1 1

2 2

Z rZ r

= .[cos(ϕ 1-ϕ 2) +i.sin(ϕ 1-ϕ 2)]

Đặc biệt: 1

1Z

=1

1r

[cos(-ϕ 1) +i.sin(-ϕ 1)]

VÍ DỤ

Cho Z1= 2 (cos4π +i.sin

4π ) và Z2 =1. (cos 3.

2π +i.sin 3.

2π ) thì

1

2

21

=ZZ

.[cos(4π - 3.

2π ) +i.sin(

4π - 3.

2π )]


20

1

1Z

=12

[cos(-4π ) +i.sin(-

4π )]

c) Phép lũy thừa

Cho Z= r. (cos ϕ +i.sinϕ ) thì Zn= rn. (cos .n.ϕ +i.sin.n.ϕ )

VÍ DỤ Cho Z= 2 (cos4π +i.sin

4π ) thì

Z3 = ( )32 . (cos .3.

4π +i.sin.3.

4π )

Công thức Moivre:

Từ Zn= rn. (cos ϕ +i.sinϕ )n Và Zn= rn. (cos .n.ϕ +i.sin.n.ϕ )

ta có : (cos ϕ +i.sinϕ )n = cos nϕ +i.sin nϕ

Công thức đúng với mọi n ∈ Z.

VÍ DỤ 3

cos sin cos3. sin 3.4 4 4 4

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

iπ π π π

d) Phép khai căn : =n z ε nếu ε n = z.

Giả sử : Z= r.(cosϕ +i.sin ϕ )

ε = (cosθ +i.sinθ )⇒ ρ n(cosθ +i.sinθ )n = r.(cosϕ +i.sin ϕ )

⇒ ρ n(cosnθ +i.sinnθ ) = r.(cosϕ +i.sin ϕ )

2. .. 2. .

nn rr

kn kn

ρρϕ πθ ϕ π θ

⎡ =⎡ = ⎢⇒ ⇒⎢ +⎢= + =⎣ ⎢⎣

Vậy :


21

n z = n r (cos 2. .kn

ϕ π+ +i.sin 2. .kn

ϕ π+ ).

với k = 0,1,2…..n-1

VÍ DỤ Khai căn bậc 3 của 1 .

BÀI GIẢI

Ta đặt 3 1ε = thì

3 0 2. . 0 2. . 2. . 2. .cos sin cos sin3 3 3 3

k k k kr i iπ π π πε + +⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Với k=0,1,2

Ta có 3 căn bậc 3 khác nhau của 1 là :

ε 0= cos 0 + i. sin 0 = 1.

ε 1 = cos 2.3π + i. sin 2.

3π = 1 3.

2 2i−

+

ε 2 = cos 4.3π + i. sin 4.

3π = 1 3.

2 2i−

−

VÍ DỤ Khai căn bậc 3 của số phức z= 31 i−−

BÀI GIẢI

Ta đặt 3 1 3= − − iε thì

3

4 42. . 2. .3 32 cos sin

3 3

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= +⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

k ki

π ππ πε Với k=0,1,2


22

BÀI TẬP CHƯƠNG I

1. 1 Hãy tính 33)1( i+ dưới dạng đại số

1. 2 Hãy tính số phức i31−

1. 3 Tính căn bậc ba của số phức z= 31 i−−

1. 4 Xác định m để số phức immz )2(1 21 −+−= và

iz 212 += bằng nhau ?

1.5 Thực hiện các phép tính:

5

5

( 1) 1( 1) 1

iSi− + −

=+ +

1.6 Tìm dạng lượng giác của số phức và rút gọn

a) 25(1 )= +Z i

b) 1 . 33iZ

i+

=+

, tính Z100

1.7 Giải phương trình :

a) x4 + 6.x3 + 9.x2 + 100 = 0.

b) z2 – (1 + i. 3 ).z -1+i. 3 = 0.


23

CHƯƠNG II MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

2.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I. Định nghĩa về ma trận

Ma trận cấp m×n là một bảng số hình chữ nhật có m hàng n cột. Ký hiệu: A, B, C,...

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11 11 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a

Aa a a a

a a a a

aij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A Có thể viết gọn ma trận ở dạng A = (aij)mxn hoặc A=[aij]mxn Tập tất cả các ma trận cấp m n× , có các phần tử là số thực thì ký hiệu là: ( ) ( ) { | }mxn ij ijmxn

M A a a= = ∈

II. Phân loại ma trận 1. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không, kí hiệu θ . 2. Ma trận hàng là ma trận có dạng 1 hàng và n cột (còn gọi là véctơ hàng).

( ) ( )11 12 1 1n ij nA a a a a

×= =…

3. Ma trận cột là ma trận có dạng m hàng và 1 cột (còn gọi là véctơ cột)


24

( )×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11

21

1

1

ij m

m

aa

A a

a

4. Ma trận vuông cấp n là ma trận cấp n có số dòng bằng số cột.

( )×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11 11 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

ij n ni i ij in

n n nj nn

a a a a

a a a a

A aa a a a

a a a a

Các phần tử a11, a22, a33, ….aii,…... ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Các phần tử an1, an-1 2, an-2 3, ….aii,….. a1n. được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. 5. Ma trận đường chéo (ma trận chéo) là ma trận vuông cấp n, trong đó aij = 0; ∀ ≠i j , tức là các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng không.

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11

22

0 0 00 0 0

0 0 0

0 0 0

ii

nn

aa

Aa

a


25

6. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Kí hiệu: I; E

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

7. Ma trận tam giác trên, tam giác dưới a) Ma trận tam giác trên là ma trận vuông, trong đó = 0ija

∀ > =____

; , 1,i j i j n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11 11 1 1

22 2 20

0 0

0 0 0

j n

j n

ii in

nn

a a a a

a a a

Aa a

a

b) Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông, trong đó = 0ija

∀ < =____

; , 1,i j i j n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11

21 22

1 2

1 2

0 0 00 0

0i i ii

n n nj nn

aa a

Aa a a

a a a a


26

8. Ma trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí phải bằng nhau. Tức là: cho ( )ij m n

A a×

= và ( )ij m nB b

×= thì A B=

khi và chỉ khi ij ija b= ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= . 9. Ma trận chuyển vị (transposition = sự chuyển vị, sự đảo ngược )Cho ma trận ( )ij m n

A a×

= , ta đổi hàng thành cột và cột

thành hàng thì được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. Ký hiệu: AT, Ac, A' ; ( )T

ji n mA a

×=

VÍ DỤ 1 Cho 1 2 34 5 6

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

thì 1 42 53 6

TA⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

VÍ DỤ 2 Cho

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 -2 3 -1 4-2 2 5 4 -73 5 -1 2 6

-1 4 2 -3 84 -7 6 8 1

A

thì TA=A . Khi đó ta nói ma trận A là ma trận đối xứng. 10. Ma trận bậc thang và bậc thang chính tắc a) Ma trận bậc thang là ma trận luôn thoả mãn hai tính chất

i) Các hàng khác không luôn ở trên các hàng bằng không ii) Phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của hàng trên.

Chú ý: hàng khác không là hàng có ít nhất một phần tử khác không. VÍ DỤ 3 Các ma trận sau là ma trận bậc thang:


27

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 0 -1 30 1 3 -40 0 0 10 0 0 0

A ;

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 -2 40 -2 9 1

B =0 0 6 50 0 0 0

b) Ma trận bậc thang chính tắc là ma trận bậc thang có các phần tử khác không đầu tiên của mỗi hàng đều bằng 1, phần tử này gọi là phần tử chính, mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác sẽ bằng không. VÍ DỤ 4 Các ma trận sau là ma trận bậc thang chính tắc

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 0 0 50 1 0 0 60 0 1 0 -40 0 0 1 7

C ;

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 4 0 50 1 3 0 60 0 0 1 -40 0 0 0 0

D

II. Các phép toán về ma trận 1. Phép cộng hai ma trận a) Định nghĩa: cho ( )ij m n

A a×

= và ( )ij m nB b

×= .

Khi đó, ma trận ( )ij m nA B C c

×± = =

trong đó ij ij ijc a b= ± , ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= .

VÍ DỤ 5 1 2 5 6 1 5 2 6 6 83 4 8 7 3 8 4 7 11 11

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

VÍ DỤ 6 1 2 5 6 1 5 2 6 4 43 4 8 7 3 8 4 7 5 3

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Tính chất A +B = B + A

A + θ = θ + A = A Nếu gọi - A = (-aij)mxn thì A + (-A) = θ (A + B) + C = A + (B + C)


28

2. Phép nhân ma trận với một số thực a) Định nghĩa: cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k thì ma trận ( )ij m n

kA B b×

= =

trong đó .ij ijb k a= , ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= .

Ví DỤ 7 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛8642

4321

2

b) Tính chất: k(A +B) = kA + kB; k R∈ (k + h)A = kA + hA; k, h R∈ k(hA) = khA; k, h R∈

3. Phép nhân hai ma trận a) Điều kiện để thực hiện phép nhân ma trận A với ma trận B là số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. b) Định nghĩa: cho ( )ij m p

A a×

= và ( )ij p nB b

×= .

Khi đó ma trận tích ( ).× × ×= =m p p n ij m n

A B C c trong đó

1 1 2 21=

= = + + +∑ …n

ij ik kj i j i j in njk

c a b a b a b a b ,

1,i m∀ = ; 1,j n= . Nghĩa là lấy các phần tử ở hàng i của ma trận A nhân tương ứng với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng lại. VÍ DỤ 8

+ + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − + − + − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3 1 3 2.1 3.2 2.3 3.( 5) 8 9.

1 4 2 5 ( 1).1 4.2 ( 1).3 4.( 5) 7 23

VÍ DỤ 9

−⎛ ⎞

−⎛ ⎞ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 3 11 2 3

. 3 4 64 4 0

2 1 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

11 14 138 28 28


29

Vì 11c =(-1).1+2.3+3.2=11; 21c =4.1+(-4).3+0.2=-8

12c =(-1).3+2.(-4)+3.(-1)=-14; 22c =4.3+(-4).(-4)+0.(-1)=28

13c =(-1).(-1)+2.6+3.0=13; 23c =4.(-1)+(-4).6+0.0=-28 c) Tính chất Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thì A.B ≠ B.A A(B + C) = AB + AC (B + C) A = BA + CA k (AB) = (kA) B = A(kB) ; k R∈ (AB)T = BT AT

AI=IA=A IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Có 3 phép biến đổi sơ cấp cho hàng (hoặc cột) đối với ma trận 1. Nhân 1 hàng với 1 số 0.k ≠ 2. Đổi chỗ 2 hàng cho nhau. 3. Nhân 1 hàng với 1 số 0k ≠ rồi cộng vào hàng khác. Nhận xét: Giống như biến đổi trên hệ phương trình

VÍ DỤ 10 121 2 3 2 4 64 5 6 4 5 6

h⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

VÍ DỤ 11 1 21 2 3 4 5 64 5 6 1 2 3

h h↔⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

VÍ DỤ 12 1 241 2 3 1 2 34 5 6 0 3 6

h h− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠


30

2.2. ĐỊNH THỨC

I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông 1. Ma trận con của ma trận vuông

Cho ma trận ( )×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …… …

… … … … … …… …

… … … … … …… …

11 11 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

ij n ni i ij in

n n nj nn

a a a a

a a a a

A aa a a a

a a a a

Xét phần tử aij, ma trận thu được khi bỏ dòng i cột j được gọi là ma trận con cấp (n-1)× (n-1) tương ứng với phần tử aij. Ký hiệu: Mij 2. Định thức Định thức của ma trận A vuông là một số Ký hiệu det(A) hoặc |A|, được định nghĩa như sau: a) Định thức cấp 1: ( )11A a= 11det A a⇒ =

VÍ DỤ 1 ( )5A = − det 5A⇒ = − b) Định thức cấp 2:

⎛ ⎞= ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

11 1211 22 21 12

21 22

deta a

A A a a a aa a

VÍ DỤ 2 1 2

A det A 1.4 2.3 23 4⎛ ⎞

= ⇒ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Định thức cấp 3: Cho ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a athì

= + + − − −11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 21 12 33 23 32 11det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a


31

VÍ DỤ 3 −

= − = − + − − = −−

3 4 6det 2 2 3 0 12 60 12 45 9

1 5 0A

Cách nhớ: dùng hình sao hoặc các đường thẳng song song II. Tính chất của định thức 1. Tính chất 1: det det TA A= 2. Tính chất 2: Đổi chỗ 2 hàng của một định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. 3. Tính chất 3: Định thức có 1 hàng là số 0 thì định thức bằng không. 4. Tính chất 4: Định thức có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng không. 5. Tính chất 5: Định thức có 2 hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) thì bằng không

= −11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

21 22 23

11 12 13

31 32 33

a a aa a aa a a

; =11 12 13

11 12 13

31 32 33

0a a aka ka kaa a a

6. Tính chất 6: Định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì bằng không.

− − − =11 12 13

11 31 12 32 13 33

31 32 33

0a a a

ka ta ka ta ka taa a a

7. Tính chất 7: Khi nhân tất cả các phần tử của 1 hàng với số k thì định thức đó được nhân lên k lần.

=11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 3331 32 33

a a a a a aka ka ka k a a a

a a aa a a


32

8. Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của 1 hàng của 1 định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì có thể phân tích thành 2 định thức.

+= +

+11 12 12 11 12 11 12

21 22 22 21 22 21 22

' '' ' ''' '' ' ''

a a a a a a aa a a a a a a

9. Tính chất 9: Khi ta nhân một hàng với một số k khác không rồi cộng vào hàng khác thì định thức không thay đổi

= + + +11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 11 22 12 23 13

31 32 33 31 32 33

a a a a a aa a a a ka a ka a kaa a a a a a

10. Tính chất 10: Ma trận có dạng tam giác thì định thức bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính

= =… …11 1 11

11 22 11 22

1

0... ; ...

0

n

nn nn

nn m mn

a a aa a a a a a

a a a

III. Khai triển định thức theo hàng hoặc theo cột 1. Khai triển định thức theo hàng thứ nhất

( ) ( )( )

1 1 1 211 11 12 12

11 1

det 1 det 1 det

1 detnn n

A a M a M

a M

+ +

+

= − + − +

+ −

…

2. Khai triển định thức theo hàng thứ i

( ) ( )( )

1 21 1 2 2det 1 det 1 det

1 det

i ii i i i

i nin in

A a M a M

a M

+ +

+

= − + − +

+ −

…

3. Khai triển định thức theo cột thứ j


33

( ) ( )( )

1 21 1 2 2det 1 det 1 det

1 det

j jj j j j

n jnj nj

A a M a M

a M

+ +

+

= − + − +

+ −

…

Chú ý: ( )1 deti jij ijA M+= − được gọi là phần phụ đại số của

phần tử ija . VÍ DỤ 4 Tính định thức của ma trận sau bằng cách khai triển theo hàng một:

2 1 3 02 0 0 33 1 2 20 2 1 4

A

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎝ ⎠

BÀI GIẢI

( ) ( ) ( )+ + +

− −= − − + − − + − −

− −

1 1 1 2 1 30 0 3 2 0 3 2 0 3

1 2 1 2 2 1 1 3 2 2 1 3 3 1 22 1 4 0 1 4 0 2 4

A

+ 0 = - 3 Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính định thức thì ta chọn khai triển theo hàng 2 vì hàng 2 có nhiều số không nhất. IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp

Cơ sở Lý thuyết Biến đổi sơ cấp Tác dụng

Tính chất 7 Nhân một hàng với số k≠ 0

Định thức nhân lên k lần

Tính chất 2 Đổi chỗ 2 hàng cho nhau Định thức đổi dấu Tính chất 9 Nhân hàng r với số k rồi

cộng vào hàng s Định thức không đổi


34

Chú ý: Dựa vào định nghĩa và tính chất trên thì thông thường để tính định thức ta có những cách sau: 1. Nên biến đổi về dạng đường chéo rồi tính định thức của nó 2.Biến đổi cho một hàng hoặc một cột có nhiều số không nhất rồi khai triển định thức theo hàng hoặc cột đó. VÍ DỤ 5 Tính định thức sau

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

BÀI GIẢI

1 2 1 3

1 4

2 ; 3

4

1 2 3 4 1 2 3 42 3 4 1 0 1 2 73 4 1 2 0 2 8 104 1 2 3 0 7 10 13

h h h h

h h

− + − +

− +

− − −− − −− − −

( )( )

− +

− +2 3

2 4

2

7

1 2 3 4 1 2 3 40 -1 -2 -7 0 -1 -8 -10

= 0 0 -4 4 0 0 -4 0 0 4 36

h h

h h 40 0 0 40

=160.

VÍ DỤ 6 Tính định thức sau bằng cách khai triển theo hàng thứ 3

1 0 1 10 1 1 1

1 1 1 0a b c d

− −− −

− −

BÀI GIẢI


35

( ) ( )3 1 3 2

1 0 1 10 1 1 1 1 1

0 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 01 1 1 0

a ba b c d

+ +

− −− − − −

− −= − − − + − −

− −− −

( ) ( )3 3 3 41 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1

+ +

− −+ − − + − − −

− − − −c d

3 2= − + +a b c d VÍ DỤ 7 Tính định thức sau

5 2 2 22 5 2 22 2 5 22 2 2 5

BÀI GIẢI

taát caû

caùc haøng vaøo haøng 1

5 2 2 2 11 11 11 112 5 2 2 2 5 2 2

2 2 5 2 2 2 5 22 2 2 5 2 2

coäng

2 5

( ) += 1-1 laàn löôït

vaøo caùc haøng coøn laïi

2 2 2 2 2 2 2 22 5 2 2 0 3 0 011 11

2 22 2 5 2 0 0 3 02 2 2 5 0

h

0 0 3

= =311.2.3 2972


36

VÍ DỤ 8 Tính định thức sau

1 0 1 10 1 1 12 1 2 51 1 1 0

−− −

−− −

BÀI GIẢI

1 3

1 4

2

1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 0 1 1 12 1 2 5 0 1 0 31 1 1 0 0 1 0 1

− +

+

− −− − − −

−− − −

h h

h h

( )1 11 1 1

1 1 1 0 3 41 0 1

+

− −= − =

−

VÍ DỤ 9 Tính định thức sau

2 1 3 02 0 0 3

3 1 2 20 2 1 4

−−

−

BÀI GIẢI

2 1 3 0 2 1 3 02 0 0 3 2 0 0 3

3 1 2 2 1 0 1 20 2 1 4 4 0 7 4

− −=

− − −− − −

1 2

2 0 31( 1) 1 1 2 3

4 7 4

+

−= − − − = −

− −


37

2.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa ma trận nghịch đảo 1. Định nghĩa 1 Ma trận suy biến là ma trận có định thức bằng không 2. Định nghĩa 2 Xét ma trận vuông không suy biến A cấp n×n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n×n sao cho AB BA I= = thì ta nói A khả nghịch (khả đảo) và gọi B là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu: 1A− .Vậy 1 1AA A A I− −= = VÍ DỤ 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

-1

7 3- 1 3 7 - 31 8 8 khi ñoù A-8 5 7 -5 1 5 1 -

8 8

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

-1

7 3 - 1 3 1 08 8thaät vaäy AA5 7 5 1 0 1 -

8 8

II. Các định lý 1. Định lý 1 Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo 1A− tồn tại và duy nhất. Chứng minh Thật vậy

( )∈

⎧ = =⎪⎨

= =⎪⎩= = = = =

-1

1 2

1 1

2 2

1 1 1 2 1 2 2 2

( ) ( ) . ( )

mxn

n

n

n n

Laáy A M khaû ñaûo thì toàn taïi A theo ÑN

Giaû söû A coù hai ma traän nghòch ñaûo laø B vaø BAB B A I

khi ñoùAB B A I

maø B B I B AB B A B I B B ñfcm


38

2. Định lý 2 (Điều kiện để ma trận vuông khả nghịch) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi

( ) ( ) ( ) ( )−

−≠ = =1

1

1det( ) 0 vaø ta coù det A hay det A .det 1det

A AA

3. Định lý 3 Giả sử A, B ∈Mnxn( ) khả nghịch khi đó ma trận tích AB cũng khả nghịch và (AB)-1 = B-1 A-1 Chứng minh Thật vậy ( )( )1 1 1 1 1 1( ) n nAB B A A BB A AI A AA I− − − − − −= = = =

Và ( )( ) ( )1 1 1 1 1 1n nB A AB B A A B B I B B B I− − − − − −= = = =

4. Định lý 4 Giả sử A khả nghịch. Khi đó

a) A-1 cũng khả nghịch và ( ) 11A−− = A

b) Am cũng khả nghịch và ( ) ( )1 1 mmA A− −= ; m N∈

c) kA cũng khả nghịch và ( ) 1kA −= 11 Ak

− ; k R∈

III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1. Phương pháp 1 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp phần phụ đại số

( ) ( )i+j

ij ij A = -1 det M laø phaàn phuï ñaïi soá cuûa phaàn töû aijGoïi

( )

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ≠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 21 1

* 12 22 2

1 2

A . . .. . .

Ñaët A = vaø neáu det A 0...........................

. . .

n

n

n n nn

A AA A A

A A A


39

( )=

-1

-1 *

ñaûo A theo coâng thöùc1 A

det

Thì ma traän nghòch

AA

VÍ DỤ 2 Cho ma trận ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

801852321

A . Tìm 1A− ?

Vì 40 0 16 15 0 32 9 0detA = + + − − − = ≠

Nên A có ma trận nghịch đảo

1A− =

⎡ ⎤⎢ ⎥∗ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 21 31

12 22 32

13 23 33

A1 1

det det

A AA A A A

A AA A A

11

5 840

0 8= =A ; 12

2 88

1 8= − = −A ; 13

2 55

1 0= = −A

21

2 316

0 8= − = −A ; 22

1 35

1 8= =A ; 23

1 22

1 0= − =A

31

2 31

5 8= =A ; 32

1 32

2 8= − = −A ; 33

1 21

2 5= =A

1

40 16 11 8 5 29

5 2 1

−

−⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

A


40

2.Phương pháp 2 Phương pháp Gauss-Jordan

Bước 1: Từ A ∈Mnxn( )

Xét ma trận mở rộng ( )∈nA I Mnx2n( )

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng để

đưa ma trận ( )nA I về dạng ma trận ( )nI B khi đó ma trận

nghịch đảo của ma trận A là A-1 = B

VÍ DỤ 3 1 -1 20 3 12 3 5

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Tìm 1A− (nếu có)

BÀI GIẢI

( ) 1 323

1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0| 0 3 1 0 1 0 0 3 1 0 1 0

2 3 5 0 0 1 0 5 1 2 0 1

h hA I − +

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 3

3

1315

1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 01 1 1 10 1 0 0 0 1 0 03 3 3 31 2 1 2 2 1 10 1 0 0 05 5 5 15 5 3 5

h h h

h

− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 12 1

3 3 3

73

15 12 3

7 1 11 71 0 1 0 63 3 2 21 0 01 1 1 10 1 0 0 0 1 0 13 3 2 2

0 0 1 5 30 0 1 5 3 332 22 2

h hh h

h h h

−++

− −+

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là


41

1

11 762 21 11

2 25 332 2

A−

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

VÍ DỤ 4 Cho

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Tìm 1A− ?

Tương tự như trên, ta có: 1

1 0 0 01 1 0 0

0 1 1 00 0 1 1

A−

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎝ ⎠

VÍ DỤ 5 Cho

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A . Tìm 1A− ?


42

2.4 HẠNG CỦA MA TRẬN I. Định nghĩa hạng của ma trận 1. Định nghĩa Xét ma trận A = (aij) , A ∈Mmxn ( ) .

Gọi k { } sao cho 1 k min ; m n∈ ≤ ≤ B là ma trận vuông cấp k trích từ ma trận A bằng cách lấy phần giao của k hàng và k cột bất kỳ của A. Ma trận B được gọi là ma trận con cấp k của ma trận A. det(B) gọi là định thức con cấp k của ma trận A. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A, Ký hiệu: Rank(A) hoặc R(A) Nếu A = Onxm thì Rank(A) = 0

VÍ DỤ 1 Tìm hạng của ma trận A =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 -1 00 1 1 21 1 0 2

Min(m,n)= min{3,4} = 3 Các định thức con cấp 3 của A là:

= = = =

≠

1 0 -1 1 0 0 1 -1 0 0 -1 00 1 1 0; 0 1 2 0; 0 1 2 0 ; 1 1 2 01 1 0 1 1 2 1 0 2 1 0 2

1 0 con caáp 2 cuûa laø =1 0 vaäy Rank( ) =

0 1ñònh thöùc A A 2

2. Các tính chất về hạng của ma trận Định lý a) Rank(AT) = Rank(A) b) Phép biến đổi sơ cấp trên hàng hay trên cột của ma trận

A không làm thay đổi hạng của ma trận A


43

c) Gạch bỏ hàng toàn số không, hoặc hàng là tổ hợp tuyến tính của những hàng khác thì hạng của nó không thay đổi.

II. Cách tìm hạng của ma trận Nhận xét: Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác không của nó.Vì vậy muốn tìm hạng của ma trận bất kỳ ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang, khi đó hạng của nó bằng số hàng khác không của ma trận bậc thang VÍ DỤ 2 Tìm hạng của ma trận sau:

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4 1 -1 3 2-2 2 3 0 12 3 2 3 3

4 1 3 1 1

A

+ →+ →+ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1 12 3 3

2 4 4

2

2

0 5 5 3 4-2 2 3 0 10 5 5 3 40 5 9 1 3

h h hh h hh h h

− + →− + →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3 31 4 4

0 5 5 3 4-2 2 3 0 10 0 0 0 00 0 4 -2 -1

h h hh h h

↔↔

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1

3 4

h

2 2 3 0 10 5 5 3 40 0 4 -2 -10 0 0 0 0

ñoåi choã hñoåi choã h h ( )Vaäy rank A = 3


44

VÍ DỤ 3 Biện luận theo λ hạng của ma trận sau

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 -1 1 2 -1-1 -1 1 -1 1 1 0 11 -1 2 2 1

Aλ

λ

+ →− + →− + →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 21 3 3

1 4 4

1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -10 2 -1 -2 20 0 1 0 2

h h hh h hh h h

λλ

+ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3

1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -10 0 1 -1 +10 0 1 0 2

h h h λλ λ

− + →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟

+⎝ ⎠

3 4 4

1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -10 0 1 -1 +10 0 0 1- - 1

h h h λλ λ

λ λ( )( )

λ λ

λ

⇒ = =

≠ =

* 1- =0 1 thì rank A 3

* 1 4

Neáu

Neáu thì rank A


45

VÍ DỤ 4 Biện luận theo m hạng của ma trận sau

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

-1 0 2 1 0 2 1 -1 2 2 1 1 1 3 2 -2 -1 1 m -2

A …

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 0 2 1 0 0 1 3 4 2 0 0 0 m+2 0 0 0 0 0 0

( )( )

⇒ = − =

≠ − =

* m+2=0 2 thì rank A 2

* m 2 3

Neáu m

Neáu thì rank A

BÀI TẬP CHƯƠNG II

2.1. Thực hiện phép toán trên ma trận và tính các yêu cầu đã chỉ ra

a) Cho 5 24 7

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

và 1 26 3

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

. Tính 3 2C A B= −

b) 2 1

30 4 ?

21 3

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠


46

c) Cho 1 2 12 3 21 4 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

và 0 0 10 1 01 0 0

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Tính AB và BA

d) Cho 2 13 2

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. Tính ( ) 3 2

22 2f A A A A I= + + +

2.2. Tính định thức của các ma trận sau

a) 1 2 20 4 65 3 7

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

b) 1

11

a aB a a

a a

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

c) x y x y

C y x y xx y x y

+⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

d) 1 2 32 4 73 3 10

D mm

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

e)

3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

E

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

f)

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

F

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2.3. Giải các phương trình sau

a) 0 1

4 0 4 01 2 1

xx

x

−− − =− −

b) 32 1 3 0

3 1 1

x x

x

−− =

+


47

c) 1 1 22 2 5 01 1 2

xx x+ =+ +

2.4. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có)

a) 1 2 30 1 20 0 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 1 2 12 3 21 3 1

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

c)

1 3 5 70 1 2 30 0 1 20 0 0 1

C

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

d)

1 2 3 42 1 1 03 0 2 14 1 0 3

D

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2.5. Tìm hạng của các ma trận sau

a)

1 3 5 12 1 3 45 1 1 77 7 9 5

A

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

b)

0 2 41 4 5

3 1 70 5 102 3 0

B

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c)1 2 1 01 2 4 23 2 6 2

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1 2 3 2 62 1 2 3 8

)3 2 1 2 42 3 2 1 8

−⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

− −⎝ ⎠

d D


48

2.6. Tìm λ để hạng của các ma trận sau bằng 2

a) 1 1 5 11 1 2 33 1 8 2

Aλ

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

b)

1 1 3 33 2 8 83 2 8 32 1 5

Bλλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

2.7. Tìm m để hạng của ma trận sau bằng 3

2 2 5 61 3 2 23 1 8 105 1 12

A

m

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

2.8. Biện luận theo tham số m hạng của các ma trận sau

a) 1 1 22 1 51 10 6

mA m

m

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

b) 1 1 32 11 3

B mm

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c)

1 1 11 1 11 1 11 1 1

mm

Cm

m

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

d)

3 1 1 44 10 1

1 7 17 32 2 4 3

mD

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2.9. Cho ma trận

1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 2 3

X

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Tìm giá trị của a để hạng của ma trận X là nhỏ nhất.


49

CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1.KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Các khái niệm 1. Định nghĩa. Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .. . .

................................................... . .

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

(I)

Trong đó:

= =_____

( 1, ; 1, ) laø caùc heä soá thöïc; ija i m j n

1 2, , . . ., laø aån soá,nx x x n 1 2b , , . . ., caùc haèng soá.mb b laø

=* Khi thì ta coù heä phöông trình n aån soám n n

( )= ∀ =* Khi 0 ( 1, ) thì heä I ñöôïc goïi laø heä PTTT huaàn nhaátib i n t 2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Từ hệ (I) nếu ta đặt: A là ma trận hệ số; B là ma trận tự do; X là ma trận ẩn số

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

…11 1

1

n

m mn

a aA

a a


50

( )

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

1 2

b

.B= . . .

.

.

T

m

m

b

b b b

b

( )

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

1 2

x

.X= . . .

.

.

T

n

n

x

x x x

x

( ) ( )Khi ñoù heä I ñöôïc vieát döôùi daïngma traän laø: AX=B II

( )

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

…11 1 1

1

. b traän A

.

goïi laø ma traän heä soá môû roäng

n

m mn m

a aMa A B

a a b

3. Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Bộ n số thực ( nααα ,..., 21 ) gọi là nghiệm của hệ nếu thỏa các

đẳng thức trong hệ. Tập tất cả các nghiệm của hệ gọi là tập

nghiệm

4. Định nghĩa hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình có cùng số phương trình và cùng số ẩn

được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Các phép biến đổi sau đây chuyển một hệ phương trình

thành một hệ phương trình tương đương

+ Đổi vị trí 2 phương trình

+ Nhân 1 phương trình nào đó với 1 số khác 0


51

+ Cộng vào 1 phương trình nào đó 1 phương trình khác

đã được nhân với 1 số khác 0

Nghiệm ( )= 0,0, . . .,0X được gọi là nghiệm tầm thường II. Định lý Kronecker_Capelli (về sự tồn tại nghiệm của hệ) Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng có hạng bằng nhau: R(A)=R( A ) VÍ DỤ 1 Hệ phương trình sau có nghiệm hay không?

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 42 5 7 8

3 4 4

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

BÀI GIẢI Xét ma trận mở rộng

3 1 32 1 2

3 1 3

2

1 2 3 42 5 7 81 3 4 4

1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 0 0 1 1 00 1 1 0 0 0 0 0

=− +=− +=− +

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

h h hh h hh h h

A A B

Suy ra ( )A A Br r= =2 vậy hệ phương trình có nghiệm.

VÍ DỤ 2 Hệ phương trình sau có nghiệm hay không ?

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ + + =⎩

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 12 4 34 8 3 7

x x xx x xx x x

BÀI GIẢI Xét ma trận mở rộng


52

− + →− + →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 2

1 3 3

24

1 2 1 1 1 2 1 1A 2 4 1 3 0 0 -1 1

4 8 3 7 0 0 -1 3

h h hh h h

+ →

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3 3-h

1 2 1 10 0 -1 10 0 0 2

h h

Ta thấy: ( ) ( )= < = ⇒ [R A 2] 3 heä voâ nghieämR A

VÍ DỤ 3 Cho hệ phương trình

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 12 5 2 4

3 2 7

x x xx x x

x x x m

+ − =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + − = +⎩

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm . BÀI GIẢI

Xét ma trận mở rộng

− + →− + →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 2

1 3 3

2

1 2 -1 1 1 2 -1 1A 2 4 -3 4 0 1 -1 2

1 3 -2 7 0 1 -1 6

h h hh h h

m m

− + →

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

1 3 3

1 2 -1 10 1 -1 20 0 0 4

h h h

m

Để hệ phương trình có nghiệm thì R(A)=R( A ) suy ra m= -4


53

3.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. I. Giải hệ bằng phương pháp Cramer 1. Định nghĩa hệ Cramer: là hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn và có định thức của ma trận hệ số khác không: det(A) ≠ 0 2. Định lý Cramer: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất và nghiệm được tính theo công thức:

det( )

; 1,det( )

jj

Ax j n

A= =

Trong đó j A là ma trận tạo thành từ ma trận A bằng cách thay

đổi cột j bởi cột hằng số j(b ) CHỨNG MINH

( ) ( )−≠ ⇒ =1 *1det A 0

detA A

A

Ta chứng minh -1X=A B là nghiệm của hệ phương trình AX=B

Thật vậy: ( ) = = =-1 -1A A (AA ) (ñuùng)B B I BB

( )

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

11 21 n1 1

-1 12 22 2 2

1 2

A . . . A. . .1A

det ............................... . .

n

nn n nn

A bA A A b

BA

bA A A


54

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

+ +

⇒ = + + +

⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦

=

1 11 1 21 2 1

1 1 1

11 1 1

1

1 . . . det

1 1 det . . . -1 detdet

det

det

n n

n

n n

x A b A b A bA

M b M bA

AA

Tương tự ta có công thức 2 3x , , . . . , nx x Ta chứng minh sự duy nhất nghiệm:

= =Giaû söû heä coù 2 nghieäm vaø ' khi ñoù: ; vaø 'X X AX B AX B

( ) ( )− −⇒ = ⇒ − = =

⇒ − = ⇒ =

1 1- ' 0 ' 0 0

' 0 '

A X X A A X X A

X X X X

3. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp Cramer

* Nếu detA≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất

* Nếu detA= 0 và ∃ ít nhất detA j ≠ 0, =1,j n thì hệ vô nghiệm

* Nếu detA = 0 và detA j = 0, 1,j n∀ = thì hệ có thể có vô số nghiệm

VÍ DỤ 1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer ⎧ − + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + = − = =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 9 1 -1 3 93 5 4 3 - 5 1 ; -4

4 - 7 1 04 7 0

x x xx x x ta coù A Bx x x

BÀI GIẢI Ta thấy ( ) = − ≠det 2 0;A


55

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

9 -1 3detA det 4 -5 1

0 -7 1= 98

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1 9 3detA det 3 -4 1

4 0 1 = 53

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3

1 -1 9detA det 3 -5 -4

4 -7 0= - 21

Suy ra

( )( )( )( )( )( )

⎧= =⎪

−⎪⎪⎪ = =⎨ −⎪⎪

−⎪ = =⎪ −⎩

11

22

33

det 982det

det 532det

det 212det

Ax

A

Ax

A

Ax

A

VÍ DỤ 2 Tìm a để hệ phương trình không có nghiệm duy nhất?

+ =⎧

⎪ + =⎨⎪ + =⎩

- 62 3 - 4 27 - 5

ax y zx y z ax y ax

BÀI GIẢI


56

Ta có ma trận hệ số 1 1

2 3 47 1

aA

a

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Để hệ phương trình không có nghiệm duy nhất thì

= ⇔ − − =2det 0 3 6 5 0A a a Suy ra: ±

=3 2 6

3a

VÍ DỤ 3 Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+−−=++−=+−

5)12(4124732

zmyxzyxzyx

BÀI GIẢI

Ta có ma trận hệ số 2 3 11 4 21 4 2 1

Am

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

9det 22 9 det 022

A m A m= − ⇒ = ⇔ = và ta có

3

2 3 7det det 1 4 1 4 0

1 4 5A

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − ≠⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Vậy hệ phương trình vô nghiệm khi 922

m =

Chú ý: Phương pháp Cramer chỉ dùng được: a)Hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn, khi số phương trình bằng số ẩn lớn hơn 3 thì khối lượng tính toán khá lớn. b) Định thức của ma trận hệ số khác không: det(A) ≠ 0


57

c) Khi det(A) = 0 hoặc số phương trình khác số ẩn thì không dùng được phương pháp Cramer.Khắc phục nhược điểm này ta có phương pháp Gauss-Jordan II. Giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan

Xét hệ

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .. . .

................................................... . .

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

Bước 1: Lập ma trận mở rộng ( )A A B= Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa ma trận A về dạng ma trận bậc thang hoặc tam giác . Bước 3: Căn cứ vào hạng của A và A mà kết luận số nghiệm của hệ phương trình, cụ thể: * Nếu rank(A) ≠ rank( A ) thì hệ vô nghiệm * Nếu rank(A) = rank( A ) = n thì hệ có 1 nghiệm duy nhất * Nếu rank(A) = rank( A ) = r < n thì hệ có vô số nghiệm, trong đó có n - r nghiệm tự do và r nghiệm phụ thuộc tuyến tính vào n – r ẩn tự do đó.

VÍ DỤ 4 Giải hệ phương trình

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 42 5 7 8

3 4 4

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

BÀI GIẢI

Ta có ma trận hệ số 1 2 32 5 71 3 4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

mà det A=0


58


3 1 32 1 2

3 1 3

2

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 42 5 7 8 0 1 1 0 0 1 1 01 3 4 4 0 1 1 0 0 0 0 0

h h hh h hh h hA B =− +=− +=− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vì ( )A A Br r= =2 nên hệ có nghiệm. Từ ma trận bậc thang ta

có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: 1 2 3 1 3

2 3 2 3 3

2 3 4 40 ;

+ + = = −⎧ ⎧→⎨ ⎨+ = = − ∈⎩ ⎩

x x x x xx x x x x R

VÍ DỤ 5 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a

+ + =⎧

⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 12 4 34 8 3

x x xx x xx x x a

BÀI GIẢI


− + →− + →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 2

1 3 3

24

1 2 1 1 1 2 1 1A 2 4 1 3 0 0 -1 1

4 8 3 0 0 -1 4

h h hh h h

a a

+ →

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 3 3-h

1 2 1 10 0 -1 10 0 0 5

h h

a

Từ ma trận bậc thang ta có


59

( ) ( )≠ = < = ⇒* Neáu a 5 thì [r A 2] 3 heä voâ nghieämr A

( )

( ) ( )

=

⎧ ⎧= − − = −⎪ ⎪

⇒ ⇒ =⎨ ⎨⎪ ⎪= − = −⎩⎩

1 2 3 1

2 2

3 3

* Neáu a=5 thì r(A)= 2

x 1 2 2 2

heä coù voâ soá nghieäm = tuyø yù tuyø yù

x 1 1

r A

x x xx x

x

α

α α

III. HỆ THUẦN NHẤT 1. Định nghĩa Xét hệ thuần nhất n phương trình và n ẩn có dạng

( )

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

. . . 0. . . 0

................................................... . . 0

n n

n n

n n nn n

a x a x a xa x a x a x

III

a x a x a x

Dạng ma trận AX=0

Hệ thuần nhất có nghiệm (0 0 0 . . .0)TX = được gọi là nghiệm tầm thường của hệ. 2. Định lý Hệ thuần nhất (III) có nghiệm tầm thường ⇔ ≠det 0A . Hệ quả Hệ thuần nhất (III) có nghiệm không tầm thường khi

=det 0A .


60

VÍ DỤ 6 Giải hệ phương trình

+ − =⎧

⎪ + + =⎨⎪− − + =⎩

2 4 02 0

4 5 2 0

x y zx y zx y z

BÀI GIẢI

Ta có ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1 -4A= 1 2 1

-4 -5 2

Và ( ) =det 0A nên hệ có vô số nghiệm,muốn tìm nghiệm thì phải dùng phương pháp Gauss

↔

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2

2 1 -4 1 2 1A= 1 2 1 2 1 -4

-4 -5 2 -4 -5 2

h h

+− ++

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 31 2

1 3

24

1 2 1 1 2 10 -3 -6 0 -3 -60 3 6 0 0 0

h hh hh h

Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

2 03 6 0

x y zy z

+ + =⎧⎨ − − =⎩

⎧ =⎪⇒ = −⎨⎪ = ∈⎩

32;

xyz R

αα

α α

Vậy hệ có nghiệm là 3 , , );2( Rα α α α ∈− Chú ý: Hệ phương trình thuần nhất mà có số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì sẽ có nghiệm không tầm thường.


61

3.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN I. Hệ phương trình ma trận có dạng AX = B (IV) Cho 3 ma trận A, B, X ∈M nxn( ) CÁCH GIẢI Nếu det(A)≠ 0 thì có ma trận A-1 Từ AX = B ta có A-1 AX = A-1B hay IX = A-1B nên X = A-1B Vậy nếu det(A)≠ 0 thì nghiệm của hệ (IV) là X = A-1B II. Hệ phương trình ma trận có dạng XA = B (V) CÁCH GIẢI Nếu det(A)≠ 0 thì có ma trận A-1 Từ XA = B ta có X AA-1 = B A-1 hay XI =B A-1 nên X =B A-1 Vậy nếu det(A)≠ 0 thì nghiệm của hệ (V) là X = B A-1 VÍ DỤ 7 Giải hệ phương trình ma trận sau

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 - 5 1 - 2 3 4 0 5 , 4 0 5

1 1 - 2 -1 2 3AX B trong ñoù A B

BÀI GIẢI Ta có

= − − + =10 20 5 16 1A 0≠ ⇒ −

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

5 -1 1013 3 -254 1 -8

A

−

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

5 -1 10 1 -2 3 -19 30 1013 3 -25 4 0 5 = 50 -76 -214 1 -8 -1 2 3 16 -24 -7

X A B

VÍ DỤ 8 Giải hệ phương trình sau


62

⎧ − + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + = − = =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 9 1 -1 3 93 5 4 3 - 5 1 ; -4

4 - 7 1 04 7 0

x x xx x x ta coù A Bx x x

BÀI GIẢI

Từ hệ phương trình ta đưa về dạng ma trận là AX=B và có

( ) = − ≠det 2 0A ⇒ -1X=A B

mà ⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎝ ⎠

-1

2 20 141A 1 -11 82

-1 3 -2

nên

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

3

49x 2 20 14 9 531X= 1 - 11 8 4 22

-1 3 -2 0 212

laø nghieäm cuûa heä phöông

trình

xx

VÍ DỤ 9 Giải phương trình ma trận sau

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 3 1 22 5 3 4

X

BÀI GIẢI

Đặt 1 32 5

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; 1 23 4

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ta có

1 1 2 5 3 1 13 4 2 1 7 5

XA B X BA− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠


63

Chú ý: Có thể xác định cấp của ma trận, rồi thực hiện phép nhân ma trận đưa về giải hệ phương trình tuyến tính. Từ đầu bài suy ra X là ma trận vuông cấp 2 ta có ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

3 4

x xx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 32 5

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 23 4

⇒ 1 2

1 2

2 13 5 2x xx x+ =⎧

⎨ + =⎩ và

3 4

3 4

2 33 5 4x xx x+ =⎧

⎨ + =⎩

Nên ta có X=⎛ ⎞−

⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1-7 5

VÍ DỤ 10 Tìm X từ hệ sau

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 -2 1 3 15 6 5 8 2 7 9 4

X

BÀI GIẢI

Đặt 1 2

5 8A

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; 1 32 7

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; 15 69 4

C ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ta có AXB=C Nếu det(A)≠ 0 thì có ma trận A-1

Và nếu det(B)≠ 0 thì có ma trận B-1 Khi đó A-1AXB B-1= A-1C B-1 Nên X= A-1C B-1

Vậy 8 2 15 6 7 315 1 9 4 2 12

X−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

138 56 7 3 427 1791

84 34 2 1 328 1432− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠


64

VÍ DỤ 11 Cho các ma trận

( )1 2 13 1 2 ; B = 4 3 7 2 1

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Am

a) Với giá trị nào của m thì ma trận A khả nghịch? b) Với m = 1, hãy tìm ma trận X sao cho XA =B. BÀI GIẢI a) Ma trận A khả nghịch khi det 0A ≠ .

và 13det 5 13 det 05

A m A m= − + ⇒ ≠ ⇔ ≠

b) Với m = 1 thì 1 2 13 1 22 1 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

⇒ det 10A =

Ta có ma trận nghịch đảo 1

3 1 51 1 3 5

105 5 5

A−

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Từ 1XA B X BA−= ⇔ =

Vậy ( ) ( )3 1 5

14 3 7 1 3 5 2 4 310

5 5 5

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

X

Chú ý: Nếu det(A=0 thì A KHÔNG có ma trận A-1

Ta phải xác định cấp của ma trận, rồi thực hiện phép nhân ma trận đưa về giải hệ phương trình tuyến tính bằng pp GAUSS


65

BÀI TẬP CHƯƠNG III 3.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau

a) 2 6

2 3 7 165 2 16

x y zx y zx y z

+ − =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩

b) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 52 3 12 3 11

x x xx x xx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

c)

1 2 3 4

2 3 4

3 4

4

2 4 2 2 2 6 2 3 1 1

x x x xx x x

x xx

+ − + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + = −⎪⎪ = −⎩

d)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 2 62 2 3 83 2 2 42 3 2 8

x x x xx x x xx x x xx x x x

+ + − =⎧⎪ − − − =⎪⎨ + − + =⎪⎪ − + + =⎩

3.2. Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm

a)

( )

2 3 74 2 14 2 1 5

x y zx y zx y m z

⎧ − + = −⎪ + + = −⎨⎪ − + − = −⎩

b) 2

2 5 2 2 2 13 7 3 3 1

x y z t mx y z t mx y z t

+ − + =⎧⎪ + − + = +⎨⎪ + − + =⎩

3.3. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

a) 2

2 32 3 13 3 4

x y zx a y zx y z

− + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + + =⎩

b) ( )( ) ( )

2 3 02 4 7 0

2 1 0

x y zx a y z

x a y a z

⎧ − + =⎪

+ − + =⎨⎪− + + + − =⎩


66

3.4. Cho hệ phương trình ( )( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 12 5 2 4

3 1 3

x x xx m x x

x m x m x m

⎧ + − =⎪

+ + − =⎨⎪ + + + − = +⎩

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm.Tìm nghiệm tổng quát trong trường hợp đó. 3.5. Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau

a) ( )

( )( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1

1 1

1 1

a x x x

x a x x

x x a x

+ + + =⎧⎪

+ + + =⎨⎪ + + + =⎩

b) 2

1x y zx y zx y z

λλ λ

λ λ

⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

3.6. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau

a) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

02 2 0

10 6 0

x x xx x x

x x x

+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩

b) 1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

2 2 0 3 5 0

4 6 9 7 0

x x x xx x x

x x x x

+ + + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + + + =⎩

3.7. Tìm ma trận X sao cho 2 0 0

0 0X ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3.8. Cho hệ phương trình ( )( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 02 5 7 0

2 1 0

x x xx m x x

x m x m x

⎧ − + =⎪

+ − + =⎨⎪− + + + − =⎩

a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. b) Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ khi 0m =


67

3.9. Giải các phương trình ma trận sau

a) 1 2 6 43 4 4 2

X⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) 1 3 1 22 5 3 4

X⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 1 0 1 1 20 1 1 3 11 1 0 2 4

X⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

d) 1 2 1 0 1 12 3 3 2 1 13 7 1 1 1 2

X−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.10. Giải các phương trình ma trận sau

a) 3 1 5 6 14 165 2 7 8 9 10

X−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) ( )

2 07 3

3 1X

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) ( )0 3 3

5 1 61 3 4

X−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟−⎝ ⎠ d)

2 4 2 21 2 1 1

3 6 3 3X

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.11. Hãy xác định k để phương trình ma trận XA=B có nghiệm. Tìm ma trận X với k=14 trong đó

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 3 -21 3 5

A= 2 k 3 vaø B=1 2 3

4 k 1


68

CHƯƠNG IV MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÍNH GẦN ĐÚNG

4.1 LÝ THUYẾT SAI SỐ

I. Số gần đúng và sai số

1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối. Số x gọi là số gần đúng (số xấp xỉ) của số đúng x*, ký

hiệu là x x∗≈ , nếu x sai khác với x* một lượng không đáng kể và được dùng thay cho x* trong tính toán. Đại lượng *: | |x xΔ = − được gọi là sai số thực sự của x. Do không biết x* nên ta cũng không biết Δ . Tuy nhiên, ta có thể chọn được 0xΔ ≥ (đủ nhỏ) thoả điều kiện *| |x x x− ≤ Δ , khi đó số xΔ gọi là sai số tuyệt đối của x. Tỷ số : | |

xx xδ Δ= gọi là sai số tương đối của x.

Chú ý: x và Δx cùng đơn vị đo, còn xδ không có đơn vị nên ta tính nó theo %. VÍ DỤ1. Gọi x là số gần đúng của số đúng π = 3.1415926535897. . . Nếu lấy x = 3,14 < π < 3,142 = 3,14 + 0,002 thì chọn Δx = 0,002. Nếu lấy x = 3,142 ta có : x – 0,001 = 3,141 < π < 3,142 = x do đó ta chọn Δx = 0,001. Nếu lấy x = 3,1416 ta có : x – 0,0001 = 3,1415 < π < 3,1416 = x do đó ta chọn Δx = 10-4 . VÍ DỤ 2 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được kết quả sau : AB : x = 20 cm ; Δx = 0,2 cm ; δx = 0,01 = 1%


69

CD : y = 80 cm ; Δy = 0,3 cm ; δy = 0,00375 = 0,375% Tuy sai số tuyệt đối của phép đo đoạn CD lớn hơn sai số tuyệt đối của phép đo đoạn AB nhưng rõ ràng phép đo đoạn CD chính xác hơn phép đo đoạn AB. Ýnghĩa: - Sai số tuyệt đối cho biết mức độ sai khác giữa số đúng và số gần đúng . - Sai số tương đối cho ta biết độ chính xác của số liệu. Số liệu nào có sai số tương đối nhỏ hơn thì số liệu đó chính xác hơn. 2. Quy tắc làm tròn số. Mọi số thập phân x đều có thể viết dưới dạng tổng quát như sau : x=±(an10n+. . +a1101+a0+a-110-1+. . .+a-i10-i+. . .+ a-m10-m) (*) trong đó, ai là một trong 10 chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nếu m = 0 thì x là số nguyên, nếu m > 0 thì x là số thập phân gồm m chữ số sau dấu phẩy, nếu m = +∞ thì x là số thập phân vô hạn. VÍ DỤ 23,74516 = 2.101+3.100+7.10-1+4.10-2+5.10-3+1.10-4+6.10-5

Quy tắc làm tròn số. Cho số thập phân x có dạng (*). Ta muốn giữ lại đến chữ số thứ i sau dấu phẩy. Khi đó số làm tròn có dạng sau :

( )− −− −

⎡ ⎤= ± + + + + + + +⎣ ⎦1

1 0 1.10 ... .10 .10 ... .10n in i ix a a a a a k ,

−=10 iik nếu − + >( 1) 0,5ia hay − + =( 1) 0,5ia và −ia lẻ

= 0ik nếu − + <( 1) 0,5ia hay − + =( 1) 0,5ia và −ia chẵn

VÍ DỤ Cho số đúng π = 3.1415926535897. . .Hãy làm tròn π đến 5, 6, 7, 8 chữ số sau dấu thập phân và tìm sai số tương ứng.


70

3. Cách viết số gần đúng a. Chữ số có nghĩa Chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải. VÍ DỤ 1,204 ; 0,002016 ; 3200 có 4 chữ số có nghĩa ; 32.102 có 2 chữ số có nghĩa. b. Chữ số chắc, chữ số không chắc Cho số gần đúng x có dạng (*). Mọi chữ số ai (i = -m, . . ., 0, . . ., n) của x được gọi là chữ số chắc (đáng tin) nếu Δx ≤ ω.10i và được gọi là chữ số không chắc nếu Δx > ω.10i ( với 0,5 ≤ ω ≤ 1 ). Chữ số chắc (không chắc) ứng với ω = 1 được gọi là chữ số chắc (không chắc) theo nghĩa rộng ; còn ứng với ω = 0,5 được gọi là chữ số chắc (không chắc) theo nghĩa hẹp. Chú ý:

+ Nếu ai là chữ số chắc thì các chữ số ở bên trái nó cũng là các chữ số chắc, còn nếu ai là chữ số không chắc thì các chữ số ở bên phải nó cũng là chữ số không chắc.

+ Khi làm tròn số, ta nên giữ lại một hoặc hai chữ số không chắc bên phải chữ số chắc, những chữ số ấy còn được gọi là chữ số dự bị. VÍ DỤ Số x = 327,548672, Δx = 0,0037 có 5 chữ số chắc theo nghĩa hẹp là 3, 2, 7, 5, 4 và 4 chữ số không chắc theo nghĩa rộng là 8, 6, 7, 2.

Số x = 6,0427108, Δx = 0,5.10-4 có 5 chữ số chắc theo nghĩa hẹp là 6, 0, 4, 2, 7 và 3 chữ số không chắc theo nghĩa rộng là 1, 0, 8.

Số x = 0,138265, Δx = 0,75.10-4 có 4 chữ số chắc theo nghĩa hẹp là 0, 1, 3, 8; một chữ số chắc theo nghĩa rộng là 2; 2 là chữ số không chắc theo nghĩa hẹp; 6, 5 là các chữ số không chắc theo nghĩa rộng.


71

c. Cách viết số gần đúng. Cho số gần đúng x của số đúng x* với sai số tuyệt đối Δx. Có hai cách viết một số gần đúng. + Cách 1 (thông dụng nhất) : x* = x ± Δx. Cách này thường dùng để biểu diễn các số liệu ban đầu, kết quả tính toán hoặc phép đo. + Cách 2: Quy ước các chữ số không chắc khi được giữ lại được gạch trên (hoặc gạch dưới). Khi viết một số gần đúng mà không kèm theo dấu hiệu gì về sai số thì mọi chữ số được viết đều là chữ số chắc. Cách này thường dùng để ghi các bảng số. VÍ DỤ 23,478 ± 0,032 ; 23,478 . 4. Các loại sai số thường gặp. Trong thực tiễn ta thường gặp các loại sai số sau: a. Sai số giả thiết: Do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế. Sai số này không loại trừ được. b. Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng. Sai số này sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể. c. Sai số các số liệu: Các số liệu thường có được bằng thực nghiệm do đó có sai số. d. Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán. e. Sai số hệ thống: Đó là sai số của dụng cụ đo kể cả của người đo, sai số này cũng có thể gọi là sai số phương pháp. Nó có thể khử được. f. Sai số ngẫu nhiên: Sai số ngẫu nhiên trong các kết quả quan trắc là không thể tránh khỏi trong mọi quá trình thực nghiệm. Vì trong quá trình thực nghiệm, các yếu tố như : thể trạng, tâm lý, . . . của người trực tiếp quan trắc; độ chính xác của các thiết bị đo, tác động của môi trường xung quanh, . . . có thể ảnh hưởng tới kết quả quan trắc, do đó xuất hiện sai số ngẫu nhiên.


72

II. Sai số tính toán 1. Biểu thức tổng quát của sai số tính toán. Cho hàm số khả vi liên tục y = f(x1, x2, . . ., xn) .Gọi *

ix , y* là

các giá trị đúng và xi, y ( 1,i n= ) là gần đúng của các đối số và hàm. Theo công thức Taylo cho hàm nhiều biến số, ta có :

= =

− = −

∂ ∂= − ≤ Δ

∂ ∂∑ ∑

* * *1

*1 1

1 1

( ,..., ) ( ,..., )

( ,..., ) ( ,..., ).( )

n i n

n nn n

i i ii ii i

y y f x x f x x

f c c f c cx x x

x x

trong đó ci là số nào đó nằm giữa xi và *ix ( 1,i n= ).

Doi

fx∂∂

liên tục và ixΔ ( 1,i n= ) khá bé nên ta chọn

=

= =

∂Δ = Δ

∂

Δ ∂ ∂δ = = Δ = Δ| | ∂ ∂

∑

∑ ∑

1

1

1 1

( ,..., )

1 . (ln )| |

nn

ii i

n n

i ii ii i

f x xy x

x

y fy x f xy f x x

VÍ DỤ Cho hàm số: ( )= + 2ln 3 2u x y . Hãy xác định giá trị của u tại x = 0,75 ; y = 2,187 và tìm các sai số Δ δ,u u biết : a) Δ = Δ =0,02 ; 0,06x y . b) Mọi chữ số có nghĩa của x, y là những chữ số đáng tin. BÀI GIẢI.

a) Ta có : 2 243 0,049

3 2 3 2yu x y

x y x yΔ = Δ + Δ =

+ +

( )2ln 3 2 2.4695 ; 2%uu x y uuΔ= + = δ = =

b) Theo giả thiết, ta chọn : 2 30,5.10 , 0,5.10x y− −Δ = Δ =


73

-32 2

43 0,79.103 2 3 2

yu x yx y x y

Δ = Δ + Δ =+ +

( )2ln 3 2 2,46945 ; 0,03%uu x y uuΔ= + = δ = =

2. Sai số của các phép toán thông dụng. a. Sai số của các phép tính cộng trừ. y = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn , =| |/

ix if c

δ=

ΔΔ = Δ =| |∑

1

. ,n

i ii

yy c x yy

b. Sai số của các phép tính nhân, phép lũy thừa.

( )11

1

... ln lnn

n

n i ii

y x x y xαα α=

= ⇒ =∑

= = =

⎛ ⎞Δ∂δ = Δ = α = α δ⎜ ⎟∂ | |⎝ ⎠Δ = δ | |

∑ ∑ ∑1 1 1

(ln )

.

n n ni

i i i ii i ii i

xy y x x

x xy y y

Đặc biệt: Nếu y xα= , thì ta có :δ = α δ Δ = δ | |. ; .y x y y y Nhận xét. - Nếu |α| >1 thì y > x, làm giảm độ chính xác của các số liệu. - Nếu 0 < |α| < 1 thì y < x, làm tăng độ chính xác của các số liệu. - Nếu |α| = 1 thì y = x, không làm thay đổi độ chính xác của các số liệu. VÍ DỤ Cho các số gần đúng : a = 14,23 ; b = 50,43 ; c = 2,8 ; d = 7,35 ; Δa = 0,03 ; Δb = 0,5 ; Δc = 0,1 ; Δd = 0,16.

Tính 2 3

23 3 . 7 ; ;a du a b c u uc b

= − + Δ δ .


74

3. Bài toán ngược của sai số tính toán. Bài toán: Xác định các sai số Δx1, Δx2, . . ., Δxn sao cho kết quả y = f(x1, x2 , . . . , xn) có sai số Δy thoả mãn điều kiện

yΔ < Δ với Δ là hằng số cho trước. Phương pháp

Ta có : =

Δ ≤ Δ ⇔ Δ ≤ Δ∑1

n

i ii

y f x với ∂

=∂1( ,..., )n

ii

f x xf

x

Cách 1: Chọn

=

ΔΔ = =| |∑

1

, 1,i n

ii

x i nf

Cách 2: Chọn ΔΔ = ∀ =1 , 1,ii

x i nn f

Trong trường hợp có số liệu xk nào đó không thể lấy như trên thì ta căn cứ vào bản thân số liệu này để ấn định cho nó một sai số Δxk , sau đó lấy đều cho các Δxi còn lại theo công thức

1 . ,1k k

ii

f xx i kn f

Δ − ΔΔ = ∀ ≠

−


75

4.2 TÍM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN SỐ I. Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm 1. Nghiệm của phương trình một ẩn.

Nghiệm của phương trình một ẩn f(x) = 0 là số α thoả f(α) = 0.

Nghiệm của phương trình một ẩn f(x) = g(x) là số α thoả f(α) = g(α).

2. Sự tồn tại nghiệm thực Định lý 1. Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và thoả f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thực trong (a, b). Định lý 2. Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thoả f(a).f(b) < 0 và f’(x) không đổi dấu trên (a,b) thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực duy nhất trong (a, b). Khi đó ta nói (a,b) là khoảng phân li nghiệm của phương trình f(x) = 0. VÍ DỤ Cho phương trình : f(x) = x2 – 2 – lnx = 0. Hãy chứng tỏ phương trình có hai nghiệm thực phân biệt và tìm các khoảng phân li nghiệm. BÀI GIẢI Ta thấy: + f(x) liên tục ∀ x ∈ (0, +∞)

+ / 1 1( ) 2 02

f x x xx= − = ⇔ = , 1 3 ln 2( ) 022m f − += = <

+ Bảng biến thiên :

y = f(x)

xα

y y = f(x)

y = g(x)

xα

y


76

> < < >1 1( ) 0, ( ) 0 , (1) 0, (2) 010 5

f f f f

+ Vậy các khoảng phân li nghiệm là : ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1;10 5

và (1;2)

II. Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm

1. Phương pháp chia đôi khoảng. a) Mô tả phương pháp.

Giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm α trong khoảng

phân li (a;b). Đặt += = = ∈0 0 1; ; ( , )2a ba a b b c a b .

Nếu f(c1) = 0 thì α = c1 Nếu f(a).f(c1) < 0 thì α ∈ (a;c1) : = (a1;b1) Nếu f(c1).f(b) < 0 thì α ∈ (c1;b) : = (a1;b1) Như vậy, sau một bước ta tìm được khoảng chứa

nghiệm : (a1;b1)⊂(a;b), có độ dài 1 1 2b ab a −− = .

Lại tiếp tục chia đôi khoảng (a1;b1) ta được khoảng chứa nghiệm : (a2;b2)⊂(a1;b1), . . .

Tổng quát : Sau n bước, ta tìm được khoảng chứa nghiệm : α ∈ (an;bn) ⊂ (an-1;bn-1) ⊂ . . . ⊂ (a;b)

Độ dài : 2n n nb ab a −− = .

x

f’(x)

f(x)

012 +∞

+∞+∞

0

M

- +


77

b) Sự hội tụ của phương pháp. Theo mục a), ta có dãy {an} đơn điệu tăng và bị chặn

trên bởi b, dãy {bn} đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi a nên tồn tại lim , limn nn n

a b→∞ →∞

.

Mặt khác ta có :

( )lim lim 02n n nn n

b ab a→∞ →∞

−− = = .

Do đó suy ra *lim lim ( , )n nn na b a b

→∞ →∞= = α ∈ .

Do f(x) liên tục, và f(an).f(bn) < 0, nên :

[ ] 2* *lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( ) ( ) 0 ( ) 0n n n nn n nf a f b f a f b f f

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤= = α ≤ ⇒ α =⎣ ⎦

Vậy *α là một nghiệm của phương trình f(x) = 0. Do tính duy nhất nghiệm nên *α = α.

c) Nghiệm gần đúng và sai số.

Nghiệm gần đúng thứ n là số: 2n n

na bx +

=

Sai số : +

−α − ≤ = Δ1

:2n nn

b ax x

d) Ưu, nhược điểm của phương pháp. Phương pháp chia đôi khoảng rất đơn giản, nhưng hội tụ chậm. VÍ DỤ Cho phương trình f(x) = x2 – 2 – lnx = 0 có khoảng phân li nghiệm là (1;2). Tìm nghiệm gần đúng của phương trình thuộc (1;2) sao cho sai số giữa nó và nghiệm đúng không quá 10-3. BÀI GIẢI

Ta phải có : 31 1 1

2 1 1 10 92 2 2n n nb a n−

+ + +

− −= = ≤ ⇒ ≥

Chọn 9n = . f(1) < 0, f(2) > 0. Lập bảng :


78

STT an bn 2n na b

c+

= f(c)

0 1.00000 2.00000 1.50000 – 1 1.50000 2.00000 1.75000 + 2 1.50000 1.75000 1.62500 + 3 1.50000 1.62500 1.56250 – 4 1.56250 1.62500 1.59375 + 5 1.56250 1.59375 1.57813 + 6 1.56250 1.57813 1.57031 + 7 1.56250 1.57031 1.56641 + 8 1.56250 1.56641 1.56445 – 9 1.56445 1.56641 1.56543 +

Nghiệm xấp xỉ : x = 1,56543, -310 0,977.10

2b ax −Δ = =

2. Phương pháp lặp đơn. a) Mô tả phương pháp. Giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm α trong khoảng phân li (a;b). Ta viết lại phương trình tương đương sau :x = ϕ(x). Cho trước x0 ∈ (a;b) gọi là giá trị lặp ban đầu. Tính các xn theo công thức : xn = ϕ(xn-1), n = 1, 2, 3, . . . b) Sự hội tụ của phương pháp. Định lý. Giả sử hàm ϕ(x) thoả các điều kiện sau : (i) a ≤ ϕ(x) ≤ b, ∀ x ∈ [a;b] , (ii) ϕ(x) khả vi trên (a;b) và thoả điều kiện : | '( ) | 1, ( ; )x q x a bϕ ≤ < ∀ ∈ Khi đó dãy xấp xỉ {xn} hội tụ về nghiệm α.

Hơn nữa ta có đánh giá sai số: 11n n nqx x xq −α − ≤ −−

Chứng minh. Ta có: α = ϕ(α), xn = ϕ(xn-1) Suy ra:


79

− −

−

α− = ϕ α −ϕ = ϕ α−

≤ α− ≤ ≤ α− ∈

/1 1

1 0

( ) ( ) ( )

... , ( ; )n n n

nn

x x c x

q x q x c a b

Vậy lim nnx

→∞= α .

Mặt khác : 1 1 1( ) ( )n n n n n n n nx q x q x x x q x q x x− − −α− ≤ α− ≤ α− + − ≤ α− + −

Hay 11n n nqx x xq −α − ≤ −−

.

Chọn sai số 11n n nqx x xq −Δ = −−

Chú ý. Phương trình f(x) = 0 ⇔ x = x + λf(x). Đặt ϕ(x) = x + λf(x), sau đó chọn λ sao cho

( ) |a x bϕ≤ ≤ , ∀x∈[a;b] v | '( ) | 1, ( ; )x q x a bϕ ≤ < ∀ ∈

Người ta thường chọn 0 2a bx += .

VÍ DỤ Tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình 2( ) 2 ln 0f x x x= − − = trong khoảng phân li (1;2).

BÀI GIẢI Phương trình đã cho tương đương với phương trình :

2 lnx x= + . Đặt ( ) 2 lnx xϕ = + , ta có

/ 1( ) 0, (1,2)2 2 ln

x xx x

ϕ = > ∀ ∈+

.

Suy ra: ( ) ( )ϕ ∈ ϕ ϕ = + ⊂( ) (1), (2) 2, 2 ln 2 (1,2)x

ϕ ≤ ≈ =/ 1( ) 0,3536 :2 2

x q


80

Chọn x0 = 1,5 ; 0,5471qq ≈−

− −= ϕ = +1 1( ) 2 lnn n nx x x

1 10,5471n n n n n nqx x x x x xq − −α − ≤ Δ = − = −−

Lập bảng :

STT 0 1 2 3 4 5 6 xn 1,50000 1,55096 1,56169 1,5639 1,56435 1,56444 1,56446

nxΔ 0,50000 0,02788 0,00587 0,00121 0,00025 0,00005 0,00001

Nghiệm xấp xỉ : x = 1,56446 ; sai số Δx = 10-5. 3. Phương pháp dây cung a. Mô tả phương pháp Giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm α trong khoảng phân li (a;b). Giả sử : f(x), f’(x), f’’(x) liên tục trên [a,b] và f’(x), f’’(x) không đổi dấu trên (a,b). Điểm [ , ]a bβ ∈ được gọi là thoả điều kiện Fourier nếu :

/ /( ). ( ) 0f fβ β > , ta thường chọn β = a hoặc β = b. Không mất tính chất tổng quát, giả sử β = a thoả điều kiện Fourier.

Đặt A(a,f(a)), x0 = b, B0(x0,f(x0)). Dây cung AB0 cắt O0x tại x1, ta có điểm B1(x1,f(x1));

dây cung AB1 cắt Ox tại x2, . . . Giả sử đã có điểm Bn-1(xn-1,f(xn-1)).

Khi đó dây cung ABn-1 có phương trình :

1 1

( )( ) ( )n n

y f ax ax a f x f a− −

−− =− −

ABn-1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xn :


81

1

1

( ).( )( ) ( )

nn

n

f a x ax a f x f a−

−

−= −

−

Tương tự, nếu b là điểm Fourie thì ta cũng có công thức xấp xỉ 1

1

( ).( )( ) ( )

nn

n

f b x bx b f x f b−

−

−= −

−

b. Sự hội tụ của phương pháp. Nếu các giả thiết trong mục a) được thoả mãn thì dãy

xấp xỉ {xn} cho ở công thức sẽ hội tụ về α .

Hay /1 ( ) : , 0 ( ) , [ , ]n n nx f x x m f x x a bmα − ≤ = Δ < ≤ ∀ ∈ .

VÍ DỤ Tìm nghiệm xấp xỉ của pt: 4( ) 32 3 0f x x x= − + = ; / 3 // 2(3) 0, (4) 0, ( ) 4( 8) 76, ( ) 12 0f f f x x f x x< > = − ≥ = > . b = 4 thoả điều kiện Fourier. Do đó x0 = a = 3, công thức

xấp xỉ là ( )10

1

131 43, 4 ( ) 131

nn

n

xx x f x

−

−

−= = −

−

STT 0 1 2 3 4 5 6 7 xn 3,00000 3,08392 3,11912 3,13341 3,13913 3,14141 3,14232 3.14268

nxΔ 0,15790 0,06888 0,02843 0,01146 0,00458 0,00183 0,00072 0.00029 Nghiệm xấp xỉ : x = 3,1426 ; Δx = 0,29.10-3

A y

y= f(x)

0 a x x3 x2 x1 x0 =b α

B0 B1


82

4. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton). a. Mô tả phương pháp.

Cũng với giả thiết như phương pháp dây cung. Xuất phát từ điểm A0(x0,f(x0)) có hoành độ x0 thoả mãn điều kiện Fourier, vẽ tiếp tuyến với đồ thị, tiếp tuyến này cắt trục hoành tại x1. Vẽ tiếp tuyến với đồ thị tại A1(x1,f(x1)) cắt trục hoành tại x2 , . . . Giả sử ta tìm được xn-1. Phương trình tiếp tuyến tại An-1(xn-1,f(xn-1)) : y – f(xn-1) = f’(xn-1) (x – xn-1) Cho y = 0, ta tìm được xn :

11 /

1

( )( )

nn n

n

f xx xf x

−−

−

= −

b. Sự hội tụ của phương pháp. Nếu các giả thiết trong mục 3a) được thoả mãn thì dãy xấp xỉ {xn} sẽ hội tụ về α . Hơn nữa, ta có đánh giá sai số:

−α − ≤ − = Δ2

1 :2n n n nMx x x xm

A1

A0 y

y= f(x) 0 a x1 x2 α x

b


83

/ //0 ( ) , ( ) , [ , ]m f x f x M x a b< ≤ ≤ ∀ ∈

VÍ DỤ Tìm nghiệm xấp xỉ của pt: 4( ) 32 3 0f x x x= − + = . BÀI GIẢI

/ 3 // 2(3) 0, (4) 0; ( ) 4( 8) 76;0 ( ) 12 12.16 192f f f x x f x x< > = − ≥ < = ≤ = . x0 = 4 thoả điều kiện Fourier. Ta có công thức xấp xỉ là:

41 1 1

0 1 1/ 31 1

( ) 32 314, 4( ) 8n n n

n n nn n

f x x xx x x xf x x

− − −− −

− −

− += = − = −

−

2 2 2

1 1 1192 24

2 2.76 19n n n n n n nMx x x x x x xm − − −Δ = − = − = −

STT 0 1 2 3 4 xn 4 3,41518 3,18153 3,14384 3,14292

nxΔ 0,43202 0,06896 0,00179 0,1086.10-6

Nghiệm xấp xỉ : x = 3,14292 ; Δx = 0,1086.10-6


84

yyi+1 yi

y = f(x) Si

0 a xi xi+1

4.3 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Bài toán. Xét hàm số y = f(x) khả tích trên [a,b]. Nếu tìm được nguyên hàm F(x) của f(x) trên (a;b) thì theo công thức Newton – Leibnit ta có được :

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a= −∫

Song trong nhiều trường hợp ta không tìm được nguyên hàm F(x) hoặc tìm được nhưng rất khó khăn, phức tạp. Mặt khác trong thực tế thường phải tính tích phân xác định của hàm số f(x) cho ở dạng bảng, khi đó khái niệm nguyên hàm không có ý nghĩa. Bài này trình bày một số phương pháp tính tích phân xác định. Phương pháp tổng quát là thay hàm f(x) gần đúng bằng đa thức Pn(x). Khi đó :

( ) ( )b b

na a

f x dx P x dx≈∫ ∫

II. Phương pháp hình thang. 1. Nội dung phương pháp.


85

Xét tích phân : I ( )b

a

f x dx= ∫ .

Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia : , 0, ,i

b ax a ih i n h n−= + = = .

Xét hình thanh thứ i ( 0, 1)i n= − , có diện tích : 1S 2

i ii

y y h++=

Khi đó:

( ) ( )1

0 1 10

I ( ) I S 2 ...2

b n

n i n nia

hf x dx y y y y−

−=

= ≈ = = + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑∫

Công thức trên được gọi là công thức hình thang. Thực chất của phương pháp hình thang là thay thế cung của đường cong y = f(x) trên mỗi đoạn nhỏ bởi một đoạn thẳng. Vì vậy phương pháp này còn gọi là phương pháp nội suy tuyến tính. 2.Sai số của phương pháp.

Sai số của xấp xỉ thứ n được cho bởi công thức :

( )32 //

2 [ , ]

M( ) I M. : I, M max ( )1212

b

n x a ba

b a b af x dx h f xn ∈

− −− ≤ = = Δ =∫

VÍ DỤ Tính gần đúng tích phân

4

0

I 1dx

x=+∫ bằng công thức

hình thang với số đoạn chia n = 8 và đánh giá sai số. BÀI GIẢI

Ta có bước 4 0 0,58b ah n− −= = = . 1( ) 1y f x x= =

+ .

Bảng giá trị :


86

B y2i y2i-1 y2i-2

Parabol

y

y= f(x) Si

C

A

0 a x2i-2 x2i-1 x2i b

xi 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

yi 1 23 1

225 1

327 1

429

15

Vậy:

( ) ( )80,5 8211 2 1 2 1 2 1 2I I 1 2 1,628972 5 3 2 5 3 7 4 9 504

⎡ ⎤≈ = + + + + + + + + = ≈⎢ ⎥⎣ ⎦

Sai số : ( )3

3//

3 2 2

M 2.42 1( ) ,M 2, I 0,16676( 1) 12 12.8b a

f xx n

−= = Δ = = = ≈

+.

Mặt khác ta có: 4

0

I ln51dx

x= =+∫ , do đó : ln5 1,62897≈ .

Chú ý. Giá trị đúng của ln5 là 1.6094379124341004. . . III. Phương pháp parabol(Simpson). 1. Nội dung phương pháp.

Chia đoạn [a,b] thành 2n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia :


87

, 0,2 , 2ib ax a ih i n h n−= + = = .

Trên đoạn [x2i-2;x2i], thay cung y = f(x) bởi parabol đi qua 3 điểm A, B, C (hình vẽ) Theo công thức Newton tiến, ta tìm được phương trình của parabol là :

−−= ⇒ =2 2ix xt dx hdth

−−= + Δ + Δ2

2 2 2 0 0( 1)P ( ) 1! 2!i

t t tx y y y

Do đó, diện tích hình thang parabol này bằng : 2

2 2

22

2 2 2 0 00

( 1)S P ( ) 1! 2!

i

i

x

i ix

t ttx dx h y y y dt−

−−⎛ ⎞= = + Δ + Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

22 3 2

22 2 0 0

0

12 2 3 2

t

it

t t th y t y y=

−=

⎡ ⎤⎛ ⎞= + Δ + − Δ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )22 2 0 0 2 2 2 1 2

12 2 43 3i i i ihh y y y y y y− − −= + Δ + Δ = + +

Khi đó : 1

I ( ) I Sb n

n iia

f x dx=

= ≈ =∑∫

Vậy

( ) ( ) ( )0 2 1 3 2 1 2 4 2 2I I 4 ... 2 ...3n n n nh y y y y y y y y− −≈ = + + + + + + + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

Công thức trên còn được gọi là công thức Simpson. 2. Sai số của phương pháp. Sai số của xấp xỉ thứ n được cho bởi công thức :

( )54 (4)

4 [ , ]

M( ) I M. : I, M max ( )180180(2 )

b

n x a ba

b a b af x dx h f xn ∈

− −− ≤ = = Δ =∫


88

VÍ DỤ Tính gần đúng tích phân 4

0

I 1dx

x=+∫ bằng công thức

simpson với số đoạn chia 2n = 8 và đánh giá sai số. BÀI GIẢI

Ta có bước 4 0 0,52 8b ah n− −= = = ; 1( ) 1y f x x= =

+.

Sai số

: ( )5 5(4)

3 4 4

M 24.424 1( ) ,M 24, I 0,033330( 1) 180(2 ) 180.8b a

f xx n

−= = Δ = = = ≈

+.

Do đó : ln5 1,61085 0,0333= ± .

( ) ( ) ( )40,5 1 2 2 2 2 1 1 1 6089I I 1 4 2 1,610853 5 3 5 7 9 2 3 4 3780

⎡ ⎤≈ = + + + + + + + + = ≈⎢ ⎥⎣ ⎦


89

BÀI TẬP CHƯƠNG IV 4.1 Cho các số gần đúng : a = 3,51472 , Δa = 0,37.10-3 ; b = 0,73561 , Δb = 0,0005 ;c = 12,98753 , Δc = 0,00071 1. Quy tròn các số a, b, c đến 3 chữ số sau dấu phẩy. 2. Xác định số các chữ số có nghĩa trong mỗi số a, b, c. 3. Xác định các chữ số đáng tin trong mỗi số a, b, c. 4.2 Cho số e = 2.718281828459045… Hãy quy tròn số e đến chữ số có nghĩa thứ 7, 8, 9. Xác định sai số quy tròn tương ứng. 4.3 Cho số gần đúng : x = 73,61453 với 0,2%xδ = . Hãy xác định các chữ số đáng tin của x. 4.4 Cho hàm số

20,54 0,23( ) 3 7xf x x−=+

.

Tính ( ), ,f x f fΔ δ tại x = 2,25 với Δx = 0,013. 4.5 Cho hàm số ( )2ln 2 1u x y= + + . Tính giá trị của u tại x = 0,351 ; y = 1,29 ; các sai số Δ δ,u u biết 1. 0,012 ; 0,05x yΔ = Δ = . 2. Mọi chữ số có nghĩa của x, y là những chữ số đáng tin. 4.6 Tìm các sai số aΔ , aδ và số chữ số đáng tin của cạnh a của hình vuông, biết diện tích hình vuông S = 16,45cm2 với ΔS = 0,01 cm2.


90

4.7 Tính gần đúng số e theo công thức ∑∞

=

=0 !

1k k

e chính xác

đến 4 chữ số sau dấu phẩy thập phân và đánh giá sai số 4.8 Cho phương trình x3 + 3x2 – 3 = 0 (1) 1. Chứng minh phương trình (1) có khoảng phân li là (-2,75;-2,5). Tìm các khoảng phân li còn lại. 2. Tìm nghiệm gần đúng của (1) trong khoảng phân li (-2,75;-2,5) với độ chính xác 10-3 bằng phương pháp chia đôi và phương pháp lặp đơn. 4.9 Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình

3 1 0x x− − = với độ chính xác 10-3 bằng phương pháp chia đôi và phương pháp lặp đơn. 4.10 Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình

5 5 3 0x x− + = trong khoảng phân li (1;2) với độ chính xác 10-4 bằng phương pháp lặp đơn. 4.11 Cho phương trình x3 – 2x2 – 4x – 7 = 0 (1) 1. Chứng tỏ rằng phương trình (1) có khoảng phân li là (3;4). Tìm các khoảng phân li còn lại.

2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình (1) trong khoảng phân li là (3;4) với độ chính xác 10-4 bằng phương pháp dây cung và phương pháp tiếp tuyến. 4.12 Chứng minh rằng phương trình 3x – cos2πx = 0 có nghiệm duy nhất. Tìm gần đúng nghiệm đó với độ chính xác 10-4 bằng phương pháp dây cung và tiếp tuyến.


91

4.13 Cho 1

0

I 2xe dxx=+∫ .

a) Nếu tính I theo công thức hình thang thì cần chia đoạn [0,1] thành bao nhiêu đoạn nhỏ (n=?) để sai số 4I 10−Δ ≤ ? b) Tính I theo công thức hình thang với sai số không quá 10-3. Tính sai số tương ứng.

4.14 Cho 1

0

I 1x dxx=+∫ .

a) Tính I theo công thức hình thang với n = 12 và đánh giá sai số. b) Tính I theo công thức Simpson với n = 6 và đánh giá sai số. 4.15 Tính các tích phân sau bằng công thức hình thang :

a) 2

2

0

I xe dx−= ∫ với n = 8;

b) 1

2

0

I cos( )x dx= ∫ với n = 10;

c) 3

52

1I1

dxx

=+∫ với n = 6

4.16 Tính các tích phân sau bằng công thức Parabol:

a) 2

1

Ixe dxx= ∫ với n = 5;

b) 0

1I cos dxx x

π

=+∫ với n = 4;

c) 2

1

0

I cosxe x dx= ∫ với n = 3


92

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN A2 Môn thi: Toán Cao Cấp khối kỹ thuật Thời gian: 60 phút (Sinh viên không sử dụng tài liệu)

Câu 1

Tính căn bậc ba của số phức z= 31 i−−

Câu 2 . Tìm hạng của ma trận sau

0 1 3 4 51 0 2 3 4

A3 2 0 5 124 3 5 0 5

− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Câu 3 Giải phương trình ma trận

2 4 2 21 2 1 1

3 6 3 3X

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Câu 4 Tính các tích phân sau bằng công thức hình thang :

2

2

0

I xe dx−= ∫ với n = 8;


93

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Đại số tuyến tính dùng trong kinh tế

GS. TS Trần Văn Hạo

2. Toán cao cấp

Chủ biên PGS. TS Lê Văn Hốt

Trường đại học Kinh tế TP HCM

3. Phương pháp tính

Tạ Văn Đĩnh

4. Toán cao cấp

Chủ biên Nguyễn Đình Trí

5. Bài tập toán cao cấp

Chủ biên Nguyễn Đình Trí

giÁo trÌnh toÁn cao cẤp a2 -...

Documents