giáo trình xác suất thống kê nguồn gốc: trường Đh tôn Đức thắng, 2008

8/12/2019 Giáo trình Xác suất thống kê Nguồn gốc: Trường ĐH Tôn Đức Thắng, 2008

http://slidepdf.com/reader/full/giao-trinh-xac-suat-thong-ke-nguon-goc-truong-dh-ton-duc 1/116

Giaùo trình

XAÙC SUAÁT THOÁNG KE Â

www.daykemquynhon.ucoz.com



1

ÑAÏI CÖÔNG VEÀ GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP

1. TAÄP HÔÏPTaäp hôïp laø moät khaùi nieäm nguyeân thuûy, khoâng coù ñònh nghóa. Söï gom goùp

moät soá ñoái töôïng laïi vôùi nhau cho ta hình aûnh cuûa taäp hôïp vaø caùc ñoái töôïng ñöôïc

gom goùp naøy trôû thaønh phaàn töû cuûa taäp hôïp. Ngöôøi ta thöôøng kyù hieäu taäp hôïpbaèng caùc kyù töï in nhö A, B, C, ..., X, Y, ... vaø phaàn töû baèng caùc kyù töï thöôøng nhö

a, b, c, ..., x, y. Neáu x laø moät phaàn töû cuûa A, ta vieát x A∈ . Ngöôïc laïi, neáu x khoânglaø phaàn töû cuûa A, ta vieát x A∉ .

1.1. Caùc phöông phaùp xaùc ñònh taäp hôïp.

Coù ba phöông phaùp xaùc ñònh taäp hôïp : Phöông phaùp lieät keâ, phöông phaùp

tröng tính vaø phöông phaùp duøng giaûn ñoà Venn.

Phöông phaùp lieät keâ : Caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp ñöôïc vieát xuoáng giöõa hai

ngoaëc nhoïn, “{“ vaø “}”, phaàn töû khaùc nhau ñöôïc phaân caùch bôûi daáu phaåy vaø thoûahai ñieàu kieän :

− Khoâng chuù yù thöù töï lieät keâ,

− Moãi phaàn töû chæ ñöôïc lieät keâ moät laàn, khoâng laëp laïi.

Chaúng haïn, caùc taäp hôïp { } A a, b,c= vaø { }B c, b,a= laø nhö nhau do chuùng

chæ khaùc nhau ôû thöù töï lieät keâ caùc phaàn töû; { }C 1,0,1= khoâng hôïp leä vì phaàn töû 1

ñöôïc lieät keâ hai laàn.

Phöông phaùp tröng tính : Ñöa ra moät tính chaát maø chæ coù phaàn töû cuûa taäphôïp töông öùng ñöôïc thoûa. Chaúng haïn, goïi A laø taäp caùc soá nguyeân chaün. Tính chaát

soá nguyeân chaün laø tính chaát ñaëc tröng cho taäp A. Khi ñoù, 12

2, A∉ vì chuùng

khoâng laø soá nguyeân; 3,5 A∉ vì chuùng laø soá nguyeân nhöng khoâng laø soá chaün;

10,100 A∈ vì chuùng laø soá nguyeân vaø laø soá chaün.

Toång quaùt, ngöôøi ta duøng moät haøm meänh ñeà p(x) theo moät bieán x X∈ , nghóa

laø öùng vôùi moãi x X∈ , ta coù moät meänh ñeà p(x). Taäp A caùc phaàn töû x X∈ sao cho

meänh ñeà p(x) coù chaân trò ñuùng ñöôïc kyù hieäu laø

{ } A x X p(x)= ∈ .

Khi ñoù, ta coù

x X, x A p(x)∀ ∈ ∈ ⇔ .

Noùi khaùc ñi, x thuoäc veà A neáu vaø chæ neáu p(x) laø meänh ñeà ñuùng.

Chaúng haïn, taäp A caùc soá nguyeân chaün ñöôïc vieát laïi laø

{ } A x x chia heát cho 2= ∈ .




2

Phöông phaùp duøng giaûn ñoà Venn : Ngöôøi ta duøng moät ñöôøng cong ñôn kheùp

kín, chia maët phaúng ra laøm hai mieàn, mieàn phía trong ñöôøng cong daønh ñeå lieät

keâ caùc phaàn töû cuûa taäp hôïp, mieàn phía ngoaøi ñöôøng cong daønh ñeå lieät keâ caùc phaàntöû khoâng naèm trong taäp hôïp.

Chaúng haïn, ta coù x, a A∈ , y, b A∉ .

x

y

a

b

2. CAÙC PHEÙP TOAÙN TAÄP HÔÏP.

Vôùi hai taäp hôïp A vaø B, ta noùi A laø moät taäp con cuûa B, kyù hieäu A B⊂ , khi

moïi phaàn töû cuûa A ñeàu laø phaàn töû cuûa B,

x, x A x B∀ ∈ ⇒ ∈ .

Taäp taát caû caùc taäp con cuûa moät taäp X cho tröôùc ñöôïc kyù hieäu laø (X)P ,

{ }(X) A A X= ⊂P .

Hieån nhieân X X⊂ vaø do ñoù X (X)∈P . Ngoaøi ra, taäp hôïp khoâng coù phaàn töû

naøo caû ñöôïc goïi laø taäp hôïp roãng, kyù hieäu ∅ vaø ta quy öôùc taäp hôïp roãng laø taäp concuûa moïi taäp hôïp, nghóa laø X∅ ⊂ hay (X)∅ ∈P , vôùi moïi taäp hôïp X.

Ví duï, vôùi { } A a, b,c,d= , { }B a, b, c= vaø { }C b,c,d= , ta coù B,C A⊂ vì moïi

phaàn töû cuûa B cuõng nhö cuûa C ñeàu laø phaàn töû cuûa A. Tuy nhieân B C⊂/ vì toàn taïi

phaàn töû a B∈ nhöng a C∉ vaø C B⊂/ vì toàn taïi phaàn töû d C∈ nhöng d B∉ .

Cho X laø moät taäp hôïp khoâng roãng vaø A, B laø hai taäp con baát kyø cuûa X, tañònh nghóa

Phaàn giao cuûa A vaø B, kyù hieäu A B∩ , laø taäp caùc phaàn töû vöøa thuoäc veà A,

vöøa thuoäc veà B,

{ } A B x X x A x B= ∈ ∈ ∧ ∈∩ .

Phaàn hoäi cuûa A vaø B, kyù hieäu A B∪ , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà A hay

thuoäc veà B,

{ } A B x X x A x B= ∈ ∈ ∨ ∈∪ .

Phaàn hieäu cuûa A cho B, kyù hieäu A \B , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà A nhöng

khoâng thuoäc veà B,




3

{ } A \ B x X x A x B= ∈ ∈ ∧ ∉ .

Phaàn buø cuûa A trong X, kyù hieäu A , laø taäp caùc phaàn töû thuoäc veà X maø khoângthuoäc veà A,

{ } A x X x A= ∈ ∉ .

Phaàn giao, phaàn hoäi, phaàn hieäu cuûa A vaø B cuõng nhö phaàn buø cuûa A trong Xcoù theå bieåu dieãn bôûi giaûn ñoà Venn nhö sau

X

A B

X

A B

A B∩ A B∪

X

A B

A

X

A \B A

Vôùi X laø moät taäp hôïp khoâng roãng, A, B, C laø caùc taäp con cuûa X, ta coù moät soá

tính chaát thöôøng duøng sau :

(i) ( ) ( ) ( ) A B C A B A C=∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ,

( ) ( ) ( ) A B C A B A C=∩ ∪ ∩ ∪ ∩ .

(ii) A B A B=∪ ∩ , A B A B=∩ ∪ .

(iii) A A = ∅∩ , A A X=∪ . Khi ñoù, ta noùi A vaø A taïo thaønh moät phaân

hoaïch cho X vaø vôùi moät taäp con B baát kyø cuûa X, ta coù ( ) ( )B B A B A= ∩ ∪ ∩ ,

( ) ( )B A B A = ∅∩ ∩ ∩ , nghóa laø B A∩ , B A∩ taïo thaønh moät phaân hoaïch cho B.

A

A−

B B A−

B A

Toång quaùt, vôùi n taäp con 1 A , 2 A , ..., n A , cuûa X sao cho i j A A = ∅∩ khi

i j≠ , nghóa laø caùc taäp con naøy ñoâi moät khoâng coù phaàn töû chung, vaø




4

1 2 n A A ... A X=∪ ∪ ∪ , ta noùi 1 A , 2 A , ..., n A taïo thaønh moät phaân hoaïch cho X.

Khi ñoù, vôùi moät taäp con baát kyø B cuûa X, ta coù

( ) ( ) ( )1 2 nB B A B A ... B A= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ , ( ) ( )i jB A B A = ∅∩ ∩ ∩ khi i j≠ . Noùikhaùc ñi, 1B A∩ , 2B A∩ , nB A∩ taïo thaønh moät phaân hoaïch cho B.

A1 A2

An

B X

B A1

B A2

B An

3. QUY TAÉC ÑEÁM.

Trong phaàn coøn laïi, ta chæ khaûo saùt caùc taäp hôïp höõu haïn, nghóa laø caùc taäp X

maø phaàn töû cuûa noù coù theå lieät keâ theo thöù töï laø 1x , 2x , ..., nx ,

{ }1 2 n X x , x , ..., x= .

Ta noùi X coù n phaàn töû, kyù hieäu X n= . Ta coù

Coâng thöùc coäng. Cho X vaø Y laø hai taäp hôïp höõu haïn vaø khoâng coù phaàn töû

chung, nghóa laø X Y = ∅∩ . Ta coù

X Y X Y= +∪ .

Noùi khaùc ñi, soá phaàn töû cuûa X Y∪ chính laø toång soá phaàn töû cuûa X vaø cuûa Y.

Toång quaùt, neáu k taäp hôïp 1 X , 2 X , ..., k X ñoâi moät khoâng coù phaàn töû chung,

nghóa laø i j X X = ∅∩ khi i j≠ , thì soá phaàn töû cuûa 1 2 k X X ... X∪ ∪ ∪ chính laø

toång soá phaàn töû cuûa caùc taäp 1 X , 2 X , ..., k X ,

1 2 k 1 2 k X X ... X X X ... X= + + +∪ ∪ ∪ .

Ngoaøi ra, vôùi hai taäp hôïp X vaø Y, taäp taát caû caùc boä thöù töï ( )x, y , vôùi x X∈

vaø y Y∈ ñöôïc goïi laø taäp hôïp tích cuûa X vaø Y, kyù hieäu X Y× ,

( ){ } X Y x, y x X y Y× = ∈ ∧ ∈ .

Khi ñoù, ta coù

Coâng thöùc nhaân. Soá phaàn töû cuûa taäp hôïp tích X Y× chính laø tích soá caùc

phaàn töû cuûa X vaø cuûa Y.

X Y X Y× = ⋅ .




5

Toång quaùt, vôùi k taäp hôïp höõu haïn 1 X , 2 X , ..., k X , taäp hôïp tích

1 2 k X X ... X× × × xaùc ñònh bôûi

( ){ }1 2 k 1 2 k 1 1 2 2 k k X X ... X x , x , ..., x x X x X ... x X× × × = ∈ ∧ ∈ ∧ ∧ ∈

coù soá phaàn töû chính laø tích cuûa soá caùc phaàn töû cuûa caùc taäp 1 X , 2 X , ..., k X ,

1 2 k 1 2 k X X ... X X X ... X× × × = ⋅ ⋅ ⋅

Töø caùc keát quaû naøy, ta khaùi quaùt thaønh caùc quy taéc ñeám nhö sau :

Quy taéc coäng : Giaû söû moät coâng vieäc coù theå thöïc hieän baèng moät trong k

phöông phaùp, trong ñoù

phöông phaùp 1 coù 1n caùch thöïc hieän,

phöông phaùp 2 coù2

n caùch thöïc hieän, ...,

phöông phaùp k coù kn caùch thöïc hieän,

vaø hai phöông phaùp khaùc nhau khoâng coù caùch thöïc hieän chung.

Khi ñoù, ta coù 1 2 kn n ... n+ + + caùch thöïc hieän coâng vieäc.

Quy taéc nhaân : Giaû söû moät coâng vieäc ñöôïc thöïc hieän tuaàn töï theo k böôùc,

trong ñoù

böôùc 1 coù 1n caùch thöïc hieän,

böôùc 2 coù 2n caùch thöïc hieän, ...,

böôùc k coù kn caùch thöïc hieän.

Khi ñoù, ta coù 1 2 kn n ... n× × × caùch thöïc hieän coâng vieäc.

Chaúng haïn, neáu ta coù 4 aùo sô mi ngaén tay vaø 5 aùo sô mi daøi tay thì ta coù caûthaûy 4 5 9+ = caùch choïn aùo. Neáu ta coù 9 aùo sô mi vaø 8 quaàn taây thì ta coù

9 8 72× = caùch choïn quaàn aùo.

4. GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP

Cho { }1 2 n X x , x , ..., x= laø moät taäp hôïp coù n phaàn töû. Töø X, laáy ra thöù töï k

phaàn töû, 1a , 2a , ..., ka , ta ñöôïc moät boä thöù töï caùc phaàn töû cuûa X,

( ) k1 2 kk laàn

a , a ,..., a X X X ... X∈ ≡ × × × , maø ta coøn goïi laø moät chænh hôïp n chaäp k. Ta

coù hai tröôøng hôïp :

- Tröôøng hôïp 1 : Töøng phaàn töû sau khi laáy ra ñöôïc hoaøn laïi vaøo X tröôùc khi

laáy phaàn töû keá tieáp. Khi ñoù, caùc phaàn töû laáy ra coù theå truøng nhau, vaø chænh hôïp

töông öùng ñöôïc goïi laø chænh hôïp laëp n chaäp k.

- Tröôøng hôïp 2 : Caùc phaàn töû laáy ra khoâng ñöôïc hoaøn laïi, nghóa laø caùc phaàn

töû laáy ra khaùc nhau töøng ñoâi moät, vaø chænh hôïp töông öùng ñöôïc goïi laø chænh hôïp

khoâng laëp n chaäp k.




6

Ngoaøi ra, neáu ta khoâng chuù yù tôùi thöù töï laáy ra caùc phaàn töû cuûa X. Noùi khaùc

ñi, töø X ta laáy ra k phaàn töû, ta ñöôïc moät taäp con { }1 2 ka ,a , ...,a cuûa X maø ta coøn

goïi laø moät toå hôïp n chaäp k. Hieån nhieân laø caùc phaàn töû cuûa moät toå hôïp phaûi khaùcnhau töøng ñoâi moät.

Vôùi caùc keát quaû veà pheùp ñeám, ta ñöôïc

i) Soá chænh hôïp laëp n chaäp k laø kn ,

ii) Soá chænh hôïp khoâng laëp n chaäp k laø

( ) ( ) ( ) ( )k

nn!

A n k 1 n k 2 ... n 1 nn k !

= = − + − + −−

,

(iii) Soá toå hôïp n chaäp k laø

( )

kn

n!C

k ! n k !

=

−

.

Ví duï 1. (a) Töø moät nhoùm goàm 10 öùng vieân cho moät ban caùn söï lôùp goàm 3chöùc danh : Lôùp tröôûng, lôùp phoù hoïc taäp vaø lôùp phoù vaên theå. Neáu öùng vieân ñöôïc

pheùp kieâm nhieäm, nghóa laø moät öùng vieân coù theå phuï traùch cuøng luùc nhieàu chöùc

danh, thì moãi caùch thaønh laäp ban caùn söï lôùp laø moät chænh hôïp laëp 10 chaäp 3 vaø

do ñoù, coù 310 1000= caùch thöïc hieän.

Neáu ta khoâng chaáp nhaän kieâm nhieäm, thì moãi caùch thaønh laäp ban caùn söïlôùp laø moät chænh hôïp khoâng laëp 10 chaäp 3 neân coù caû thaûy

( )

310

10! A 8 9 10 720

10 3 !

= = ⋅ ⋅ =

−

caùch choïn.

(b) Töø nhoùm sinh vieân neâu treân, moãi caùch choïn ra 3 sinh vieân ñeå döï ñaïi hoäi

ñoaøn laø moät toå hôïp 10 chaäp 3 neân ta coù( )

310

10! 8 9 10C 120

3! 10 3 ! 1 2 3

⋅ ⋅= = =

− ⋅ ⋅ caùch

choïn.

Ví duï 2. Moät hoäp ñöïng 10 vieân bi trong ñoù coù 4 bi traéng vaø 6 bi ñen. Moãi

caùch laáy ra 5 vieân bi laø moät toå hôïp 10 chaäp 5 neân coù

( )510

10! 6 7 8 9 10C 252

5! 10 5 ! 1 2 3 4 5

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ caùch choïn.

Ñeå laáy ra 5 vieân bi trong ñoù coù 2 bi traéng, ta thöïc hieän tuaàn töï hai böôùc :

Böôùc 1 : Laáy 2 bi traéng trong 4 bi traéng. Coù( )

24

4!C 6

2! 4 2 != =

− caùch thöïc

hieän.

Böôùc 2 : Laáy 3 bi coøn laïi trong 6 bi ñen. Coù( )

36

6!C 20

3! 6 3 != =

− caùch.

Do ñoù, ta coù caû thaûy 6 20 120× = caùch thöïc hieän.




7

Baøi taäp.

1. Cho { } A 1,2,3= vaø { }B 3,4,5,6= .

a) Xaùc ñònh A B∪ , A B∩ vaø A \ B .

b) Tìm taát caû caùc taäp con cuûa A.

2. Cho A vaø B laø hai taäp hôïp höõu haïn. Chöùng toû

a) A A \ B A B= + ∩ .

b) A B A B A B= + −∪ ∩ .

3. Cho A, B vaø C laø ba taäp hôïp höõu haïn. Chöùng toû

A B C A B C A B A C B C

A B C

= + + − − −

+

∪ ∪ ∩ ∩ ∩

∩ ∩

4. Moät khoùa soá goàm ba voøng khoùa, moãi voøng coù möôøi chöõ soá : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9. Hoûi coù taát caû bao nhieâu maõ khoùa ?

5. Trong moät lôùp goàm 30 sinh vieân, caàn choïn ra ba sinh vieân ñeå laøm lôùp tröôûng,

lôùp phoù vaø thuû quyõ. Hoûi coù taát caû bao nhieâu caùch baàu choïn ?

6. Moät hoäp ñöïng 6 bi traéng vaø 4 bi ñen.

a) Coù taát caû bao nhieâu caùch laáy ra 5 bi ?

b) Coù bao nhieâu caùch laáy ra 5 bi trong ñoù coù 2 bi traéng ?

7. Trong moät nhoùm öùng vieân goàm 7 nam vaø 3 nöõ,

a) coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät uûy ban goàm 3 ngöôøi ?

b) coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät uûy ban goàm 3 ngöôøi trong ñoù coù ñuùng 1 nöõ ?

c) coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät uûy ban goàm 3 ngöôøi trong ñoù coù ít nhaát 1 nöõ ?




8

Chöông 1

ÑAÏI CÖÔNG VEÀ XAÙC SUAÁT

1. HIEÄN TÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN

Ngöôøi ta chia caùc hieän töôïng xaûy ra trong ñôøi soáng haøng ngaøy thaønh hailoaïi : Hieän töôïng ngaãu nhieân vaø hieän töôïng taát ñònh. Nhöõng hieän töôïng maø khiñöôïc thöïc hieän trong cuøng moät ñieàu kieän nhö nhau seõ cho keát quaû nhö nhau ñöôïcgoïi laø nhöõng hieän töôïng taát ñònh. Chaúng haïn, ñoát noùng moät thanh kim loaïi trong

ñieàu kieän bình thöôøng thì noù daøi ra; ñun nöôùc ñeán o100 C trong ñieàu kieän bình

thöôøng thì noù boác hôi. Ngöôïc laïi, nhöõng hieän töôïng maø duø ñöôïc thöïc hieän trongcuøng moät ñieàu kieän nhö nhau vaãn coù theå cho nhieàu keát quaû khaùc nhau ñöôïc goïi laønhöõng hieän töôïng ngaãu nhieân. Chaúng haïn, tung moät con xuùc xaéc, ta khoâng theåchaéc chaén raèng maët naøo seõ xuaát hieän; laáy ra moät saûn phaåm töø moät loâ haøng goàmcaû haøng chính phaåm laãn pheá phaåm, ta khoâng chaéc chaén seõ nhaän ñöôïc haøng chínhphaåm hay pheá phaåm.

Hieän töôïng ngaãu nhieân laø ñoái töôïng khaûo saùt cuûa lyù thuyeát xaùc suaát vaø ñeåkhaûo saùt caùc hieän töôïng ngaãu nhieân, ngöôøi ta cho caùc hieän töôïng naøy xuaát hieännhieàu laàn ñeå quan saùt. Moãi laàn cho xuaát hieän moät hieän töôïng ngaãu nhieân ñöôïc goïilaø thöïc hieän moät pheùp thöû. Khi ñoù, duø ta khoâng theå döï ñoaùn ñöôïc keát quaû naøo seõ

xaûy ra nhöng thöôøng ta coù theå lieät keâ taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra. Taäp hôïptaát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra cuûa moät pheùp thöû ñöôïc goïi laø khoâng gian maãu cuûapheùp thöû ñoù. Moãi phaàn töû cuûa khoâng gian maãu ñöôïc goïi laø moät bieán coá sô caáp vaømoãi moät taäp con cuûa khoâng gian maãu ñöôïc goïi laø moät bieán coá .

Ta thöôøng kyù hieäu τ cho pheùp thöû, Ω cho khoâng gian maãu töông öùng,ω ∈ Ω chæ caùc bieán coá sô caáp vaø caùc taäp con A, B, C, ... cuûa Ω ñeå chæ caùc bieán coá .

Ví duï 1. Xeùt pheùp thöû τ : "tung con xuùc xaéc” vaø quan saùt caùc maët xuaát hieän.Ta coù khoâng gian maãu

{ }1,2,3,4,5,6Ω = ,

trong ñoù 1,2,...ω = laø caùc bieán coá sô caáp chæ vieäc nhaän ñöôïc maët 1, 2, ..., taäp con

{ } A 2,4,6= cuûa Ω chæ bieán coá : "nhaän ñöôïc maët chaün", ...

Ví duï 2. Laáy ngaãu nhieân moät saûn phaåm töø moät loâ haøng laø moät pheùp thöû τ maø khoâng gian maãu chính laø loâ haøng ñoù. Caùc taäp con CP caùc chính phaåm vaø PPcaùc pheá phaåm laø caùc bieán coá maø ta coøn goïi laø bieán coá “nhaän ñöôïc chính phaåm” vaø“nhaän ñöôïc pheá phaåm” .




9

Xeùt khoâng gian maãu Ω cuûa moät pheùp thöû τ vaø A ⊂ Ω laø moät bieán coá. Saukhi thöïc hieän pheùp thöû τ , ta nhaän ñöôïc bieán coá sô caáp ω . Neáu Aω ∈ , ta noùi :

"bieán coá A xaûy ra"; ngöôïc laïi, neáu Aω ∉

, ta noùi : "bieán coá A khoâng xaûy ra".Chaúng haïn, vôùi pheùp thöû τ : "tung con xuùc xaéc" vaø bieán coá A : "nhaän ñöôïc

maët chaün". Khi ta tung con xuùc xaéc, neáu nhaän ñöôïc maët 4, ta noùi bieán coá A xaûyra, neáu nhaän ñöôïc maët 1, ta noùi A khoâng xaûy ra, ...

Töø ñònh nghóa, xeùt khoâng gian maãu Ω töông öùng vôùi pheùp thöû τ . Ta luoânluoân coù hai bieán coá ñaëc bieät :

- Bieá n coá chaéc chaén A = Ω : laø bieá n coá luoân luoân xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû,

- Bieán coá khoâng theå coù A = ∅ : laø bieán coá khoâng bao giôø xaûy ra khi thöïchieän pheùp thöû.

Chaúng haïn, xeùt pheùp thöû "tung hai con xuùc xaéc", quan saùt toång soá caùc nuùtxuaát hieän, vaø xeùt caùc bieán coá

A : "toång soá nuùt 13≤ ” ,

B : "toång soá nuùt 1= ".

Ta coù A laø bieán coá chaéc chaén vaø B laø bieán coá khoâng theå coù.

Ngoaøi ra, do moãi moät bieán coá laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu Ω neânbaèng caùc pheùp toaùn taäp hôïp, vôùi hai bieán coá A, B ⊂ Ω , ta coù theå thaønh laäp caùc

bieán coá :

C A B AB= ≡∩ chæ bieán coá "A vaø B cuøng xaûy ra". Khi AB = ∅ , ta noùi A vaøB laø hai bieán coá xung khaéc (A vaø B khoâng bao giôø cuøng xaûy ra).

C A B A B= ≡ +∪ chæ bieán coá "A xaûy ra hay B xaûy ra".

C \ A A= Ω = chæ bieán coá ñoái laäp cuûa A : A xaûy ra neáu vaø chæ neáu A khoângxaûy ra.

Chaúng haïn, vôùi khoâng gian maãu { }1,2,3,4,5,6Ω = cuûa pheùp thöû "tung xuùc

xaéc" vaø caùc bieán coá { } A 2,4,6= , { }B 1,3,5= , { }C 4= , ta coù : A B+ laø bieán coá

chaéc chaén, AB laø bieán coá khoâng theå coù vaø do ñoù A, B laø hai bieán coá ñoái laäp (vaø

ñöông nhieân laø hai bieán coá xung khaéc), B vaø C laø hai bieán coá xung khaéc (nhöngkhoâng ñoái laäp).

2. XAÙC SUAÁT.

Quan saùt caùc bieán coá ñoái vôùi moät pheùp thöû, maëc duø khoâng theå khaúng ñònhmoät bieán coá coù xaûy ra hay khoâng nhöng ngöôøi ta coù theå phoûng chöøng cô may xaûyra cuûa caùc bieán coá naøy laø ít hay nhieàu. Chaúng haïn, vôùi pheùp thöû "tung xuùc xaéc",bieán coá "nhaän ñöôïc maët 1" ít xaûy ra hôn bieán coá "nhaän ñöôïc maët chaün". Do ñoù,ngöôøi ta tìm caùch ñònh löôïng khaû naêng xuaát hieän khaùch quan cuûa moät bieán coá maøta seõ goïi laø xaùc suaát cuûa bieán coá ñoù.




10

Xaùc suaát cuûa moät bieán coá laø moät con soá ñaëc tröng cho khaû naêng xaûy ra

khaùch quan cuûa bieán coá ñoù.

Xaùc suaát cuûa bieán coá A, kyù hieäu laø P(A), coù theå ñöôïc ñònh nghóa baèng nhieàucaùch.

2.1. Ñònh nghóa coå ñieån.

Xeùt moät pheùp thöû τ vôùi n keát quaû coù theå xaûy ra, nghóa laø khoâng gian maãuΩ coù n bieán coá sô caáp, vaø bieán coá A ⊂ Ω coù k phaàn töû. Neáu caùc bieán coá sô caáp coù

cuøng khaû naêng xaûy ra thì xaùc suaát cuûa A ñöôïc ñònh nghóa laø

soá phaàn töû cuûa A kP(A)

soá phaàn töû cuûa n= =

Ω.

Ví duï 3. a) Xeùt pheùp thöû "tung xuùc xaéc" vôùi caùc bieán coá A ≡ "nhaän ñöôïc maët 6",

B ≡ "nhaän ñöôïc maët chaün".

Ta coù 16P(A) = vaø 3

6P(B) 0.5= = .

b) Xeùt pheùp thöû "laáy ngaãu nhieân moät vieân bi trong moät hoäp ñöïng 4 bi xanh

vaø 6 bi ñoû" vôùi caùc bieán coá

X ≡ "nhaän ñöôïc bi xanh",

D ≡ "nhaän ñöôïc bi ñoû".

Ta coù 410P(X) 0.4= = vaø 6

10P(D) 0.6= = .

Löu yù raèng, ñoái vôùi ñònh nghóa coå ñieån, ta caàn hai ñieàu kieän :

− Soá keát quaû cuûa pheùp thöû laø höõu haïn,

− Caùc keát quaû ñoàng khaû naêng xaûy ra.

Khi moät trong hai ñieàu kieän treân khoâng xaûy ra, ta khoâng theå duøng ñònhnghóa coå ñieån ñeå xaùc ñònh xaùc suaát cuûa moät bieán coá. Tuy nhieân, baèng caùch vieát laïiñònh nghóa coå ñieån naøy,

soá tröôøng hôïp thuaän lôïi cho AP(A) soá tröôøng hôïp xaûy ra= ,

ta coù theå ñònh nghóa xaùc suaát baèng phöông phaùp thoáng keâ nhö sau

2.2. Ñònh nghóa xaùc suaát baèng taàn suaát.

Giaû söû pheùp thöû τ coù theå laäp laïi nhieàu laàn trong ñieàu kieän gioáng nhau. Neáutrong n laàn thöïc hieän pheùp thöû maø bieán coá A xaûy ra k laàn thì tyû soá k

n ñöôïc goïi laø

taàn suaát xuaát hieän cuûa A trong n pheùp thöû.




11

Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng, khi n ñuû lôùn, taàn suaát cuûa bieán coá A seõ daoñoäng xung quanh moät giaù trò naøo ñoù maø ta goïi laø xaùc suaát cuûa A, kyù hieäu P(A) .

Trong thöïc teá, vôùi n ñuû lôùn, ngöôøi ta laáy taàn suaát cuûa A laøm giaù trò gaàn ñuùng choxaùc suaát cuûa bieán coá A,

kP(A)

n= .

Ví duï 4. a) Thoáng keâ treân 10.000 ngöôøi daân thaønh phoá cho thaáy coù 51 ngöôøibò beänh cao huyeát aùp, ta noùi xaùc suaát cuûa bieán coá "bò beänh cao huyeát aùp" laø

510.005

10000 ≈ .

b) Moät nhaø maùy goàm ba phaân xöôûng A, B, C. Kieåm tra moät loâ haøng cuûa nhaø

maùy goàm 1000 saûn phaåm, ngöôøi ta thaáy coù 252 saûn phaåm cuûa phaân xöôûng A, 349cuûa phaân xöôûng B vaø 399 cuûa phaân xöôûng C. Ta noùi xaùc suaát

− nhaän ñöôïc saûn phaåm töø phaân xöôûng A laø 2521000P(A) 0.25= ≈ ,

− nhaän ñöôïc saûn phaåm töø phaân xöôûng B laø 3491000P(B) 0.35= ≈ , vaø

− nhaän ñöôïc saûn phaåm töø phaân xöôûng C laø 3991000P(C) 0.4= ≈ .

Ta coøn noùi, caùc phaân xöôûng A, B, C töông öùng laøm ra 25%, 35% vaø 40% toångsaûn löôïng nhaø maùy.

Töông töï, ñeå tìm xaùc suaát laøm ra saûn phaåm hoûng cuûa phaân xöôûng A, ngöôøita thoáng keâ treân moät soá saûn phaåm cuûa phaân xöôûng A vaø quan saùt soá saûn phaåmhoûng. Chaúng haïn, neáu trong 400 saûn phaåm cuûa phaân xöôûng A neâu treân coù 4 saûnphaåm hoûng, ta noùi xaùc suaát laøm ra moät saûn phaåm hoûng cuûa phaân xöôûng A laø

4400 0.01= .

Ví duï 5. Trong pheùp thöû τ : “thaûy ñoàng xu” , moät caùch tröïc giaùc, ta cho raèngcaùc bieán coá sô caáp 1ω : “nhaän ñöôïc maët saáp” vaø 2ω : “nhaän ñöôïc maët ngöûa” laø

ñoàng khaû naêng xaûy ra, neân do ñònh nghóa coå ñieån,

( ) ( )1 2P P 0.5ω = ω = .

Khi ñoù, ngöôøi ta noùi ñoàng xu naøy laø “coâng baèng” , “ñoàng chaát ñaúng höôùng” , ...Baèng thöïc nghieäm, moät soá nhaø khoa hoïc ñaõ thaûy moät ñoàng xu nhieàu laàn vaø nhaänñöôïc keát quaû sau

Ngöôøi thöïc hieän Soá laàn thaûy Soá laàn maët ngöûa Taàn suaát

Buffon 4.040 2.048 0.5069

Pearson 12.000 6.019 0.5016

Pearson 24.000 12.012 0.5005




12

vaø khi ñoù, ta noùi xaùc suaát nhaän ñöôïc maët ngöûa 0.5≈ .

Toång quaùt hôn, ñoäc laäp vôùi caùc quan saùt chuû quan, ta coù

2.3. Ñònh nghóa xaùc suaát baèng tieân ñeà cuûa Kolmogorov.

Xaùc suaát laø haøm soá xaùc ñònh treân taäp hôïp caùc bieán coá ( )ΩP ,

P : ( )

A P(A)

Ω →

P

thoûa caùc tính chaát sau

(i) P( ) 1Ω = ,

(ii) P(A) 0≥ , A ( )∀ ∈ ΩP , vaø

(iii) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 nP A A ... A P A P A ... P A= + + +∪ ∪ ∪ ,

vôùi moïi daõy höõu haïn caùc bieán coá 1 A , 2 A , ..., n A xung khaéc töøng ñoâi, nghóa laø

i j A A = ∅∩ khi i j≠ .

Töø ñònh nghóa, deã daøng suy ra theâm caùc tính chaát sau

(iv) P( ) 0∅ = ,

(v) Neáu A vaø B xung khaéc, AB = ∅ , thì

P(A B) P(A) P(B)+ = + ,

(vi) Coâng thöùc coäng : Vôùi hai bieán coá baát kyø A vaø B,

( )P A B P(A) P(B) P(AB)= + −∪

(vii) ( )P A 1 P(A)= − , nghóa laø toång xaùc suaát hai bieán coá ñoái laäp luoân luoân

baèng 1.

Ví duï 6. Qua ñieàu tra trong sinh vieân, ta bieát 40% hoïc theâm ngoaïi ngöõ, 55%hoïc theâm tin hoïc vaø 30% hoïc theâm caû hai moân naøy. Choïn ngaãu nhieân 1 sinh vieânvaø xeùt caùc bieán coá

A : “nhaän ñöôïc sinh vieân hoïc theâm ngoaïi ngöõ” ,

B : “nhaän ñöôïc sinh vieân hoïc theâm tin hoïc” .

Khi ñoù, A B∩ laø bieán coá “nhaän ñöôïc sinh vieân hoïc theâm caû hai moân ngoaïi

ngöõ vaø tin hoïc” , vaø

( )P A 0.4= ; ( )P B 0.55= ; ( )P A B 0.3=∩ .

Töø ñoù, ta coù theå tính moät soá xaùc suaát nhö

( ) ( )P A 1 P A 1 0.4 0.6= − = − = ,

nghóa laø coù 60% sinh vieân khoâng hoïc theâm ngoaïi ngöõ,




13

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

0.4 0.55 0.3 0.65,

= + −

= + − =

∪ ∩

nghóa laø coù 65% sinh vieân hoïc theâm (ngoaïi ngöõ hay tin hoïc),

( ) ( )P A B 1 P A B 1 0.65 0.35= − = − =∪ ∪ ,

nghóa laø coù 35% sinh vieân khoâng hoïc theâm moân naøo caû.

3. XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN.

Xeùt pheùp thöû τ : "tung hai con xuùc xaéc" vôùi khoâng gian maãu töông öùng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1, 2 , ..., 1, 6 , 2,1 , 2, 2 , ..., 6, 6Ω =

(coù 36 phaàn töû) vaø xeùt caùc bieán coá

A : "toång soá nuùt xuaát hieän 8= ",

B : "soá nuùt cuûa xuùc xaéc thöù nhaát laø soá chaün" .

Ta coù

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } A 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }B 2,1 , 2, 2 , ..., 2,6 , 4,1 , ..., 6, 6= ,

neân töø ñònh nghóa coå ñieån,

A 5P(A)

36= =

Ω vaø

B 18 1P(B)

36 2= = =

Ω.

Baây giôø, ta tung hai con xuùc xaéc vaø giaû söû ta nhaän ñöôïc thoâng tin theâm laø soánuùt cuûa xuùc xaéc thöù nhaát ñaõ laø soá chaün (nghóa laø bieán coá B ñaõ xaûy ra). Khi ñoù,pheùp thöû τ trôû thaønh pheùp thöû ′τ : "tung hai con xuùc xaéc khaùc nhau vôùi soá nuùt

cuûa xuùc xaéc thöù nhaát laø soá chaün". Do ñoù, khoâng gian maãu Ω bò thu heïp laïi laø

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,1 , 2,2 , ..., 2, 6 , 4,1 , ..., 6, 6 B′Ω = =

vaø hieän töôïng bieán coá A xaûy ra khi bieát bieán coá B ñaõ xaûy ra trôû thaønh hieän töôïngbieán coá

( ) ( ) ( ){ } A 2,6 , 4,4 , 6,2 AB′ = =

xaûy ra ñoái vôùi pheùp thöû ′τ vaø do ñoù coù xaùc suaát laø

( ) A 3 1

P A18 6

′′ = = =

′Ω.

Ta kyù hieäu A A B′ ≡ vaø ( ) ( )P A B P A′≡ ñöôïc goïi laø xaùc suaát ñeå bieán coá A

xaûy ra khi bieát bieán coá B xaûy ra. Töø nhaän xeùt

( ) ( )P AB1

P A B6 P(B)

= = ,




14

ta ñöa ra ñònh nghóa toång quaùt

3.1. Ñònh nghóa. Xeùt bieán coá B vôùi P(B) 0> . Xaùc suaát cuûa bieán coá A, khi bieát

bieán coá B xaûy ra laø

( ) ( )P AB

P A BP(B)

= .

Ví duï 7. Vôùi ví duï 4 b), xeùt bieán coá H : "nhaän ñöôïc moät saûn phaåm hoûng", thìxaùc suaát nhaän ñöôïc saûn phaåm hoûng khi bieát saûn phaåm ñoù cuûa phaân xöôûng A laø

( )P H A 0.01=

vaø xaùc suaát cuûa bieán coá HA : "nhaän ñöôïc moät saûn phaåm hoûng töø phaân xöôûng A" laø

( )P(HA) P H A P(A) 0.01 0.25 0.0025= = ⋅ = .

3.2. Ñònh lyù (Quy taéc nhaân xaùc suaát). Vôùi hai bieán coá A vaø B baát kyø, ta coù

( ) ( )P AB P(A)P B A= .

Toång quaùt, vôùi n bieán coá baát kyø 1 A , 2 A , ..., n A , ta coù

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 1 3 1 2 n 1 2 nP A A ...A P A P A A P A A A ...P A A A ...A=

Ví duï 8. Moät thuû quyõ coù moät chuøm chìa khoùa goàm 9 chieác chìa gioáng heätnhau trong ñoù chæ coù 2 chìa coù theå môû ñöôïc tuû saét. Anh ta thöû ngaãu nhieân töøng

chìa (chìa khoâng truùng ñöôïc boû ra trong laàn thöû keá tieáp). Tìm xaùc suaát ñeå anh tamôû ñöôïc tuû vaøo ñuùng laàn thöù ba.

Ñaët i A laø bieán coá "laàn thöù i, môû ñöôïc tuû". Vôùi quy öôùc raèng khi bieán coá i A

xaûy ra thì caùc bieán coá 1 A , ..., i 1 A − vaãn coù theå ñaõ xaûy ra, bieán coá "môû ñöôïc tuû vaøo

ñuùng laàn thöù ba" laø 1 2 3 A A A vaø do quy taéc nhaân xaùc suaát, ta coù

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2P A A A P A P A A P A A A= .

Do

( ) ( )1 1

2 7

P A 1 P A 1 9 9= − = − = ,

( ) ( )2 1 2 12 6

P A A 1 P A A 18 8

= − = − = ,

( )3 1 22

P A A A7

= ,

ta suy ra

( )1 2 37 6 2 1

P A A A9 8 7 6

= = .




16

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n

i ii 1

1 1 2 2 n n

P(A) P A B P B

P A B P B P A B P B ... P A B P B

=

=

= + + +

∑

Chöùng minh. Do AB vaø AB laø hai bieán coá xung khaéc vaø A AB AB= + neân

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P A P AB P AB

P A B P B P A B P B

= +

= +.

Toång quaùt, do caùc bieán coá 1 AB , 2 AB , ..., n AB xung khaéc töøng ñoâi neân do

coâng thöùc coäng xaùc suaát

( ) ( )

n n

i ii 1i 1P A P AB P AB==

⎛ ⎞

⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑∪

vaø do coâng thöùc nhaân xaùc suaát,

( ) ( ) ( )i i iP AB P A B P B=

vôùi moïi i, ta suy ra

( ) ( ) ( )n

i ii 1

P A P A B P B=

= ∑ .

Ví duï 10. Moät nhaø maùy coù 3 phaân xöôûng A, B, C töông öùng laøm ra 25%, 35%vaø 40% toång saûn phaåm cuûa nhaø maùy. Giaû söû xaùc suaát laøm ra moät saûn phaåm hoûngcuûa caùc phaân xöôûng A, B vaø C laàn löôït laø 0,01; 0,02 vaø 0,025.

Ñeå tính xaùc suaát laøm ra moät saûn phaåm hoûng cuûa nhaø maùy, ta xeùt pheùp thöûτ : "Choïn ngaãu nhieân moät saûn phaåm cuûa nhaø maùy" vaø xeùt caùc bieán coá

A : "nhaän ñöôïc saûn phaåm cuûa phaân xöôûng A",

B : "nhaän ñöôïc saûn phaåm cuûa phaân xöôûng B",

C : "nhaän ñöôïc saûn phaåm cuûa phaân xöôûng C", vaø

H : "nhaän ñöôïc saûn phaåm hoûng",

thì A, B, C taïo thaønh hoï ñaày ñuû caùc bieán coá, vôùi

( )P A 0.25= ; ( )P B 0.35= ; ( )P C 0.4= .

Ngoaøi ra,

( )P H A 0.01= ; ( )P H B 0.02= ; ( )P H C 0.025= ,

neân do coâng thöùc xaùc suaát toaøn phaàn,




17

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P H P H A P A P H B P B P H C P C

0.01 0.25 0.02 0.35 0.025 0.4 0.0195.

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

3.4. Ñònh lyù (Coâng thöùc Bayeøs). Cho 1B , 2B , ..., nB laø moät hoï ñaày ñuû caùc bieán

coá vaø xeùt bieán coá A vôùi ( )P A 0> . Vôùi moãi k 1, 2, ..., n= , ta coù

( ) ( ) ( )

( ) ( )

k kk n

i 1 i i

P A B P BP B A

P A B P B=

=∑

.

Chöùng minh. AÙp duïng coâng thöùc nhaân xaùc suaát

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k kP B A P A P B A P A B P B= =

vaø coâng thöùc xaùc suaát toaøn phaàn

( ) ( ) ( )n

i ii 1

P A P A B P B=

= ∑ ,

ta suy ra

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

k k k kk n

i 1 i i

P A B P B P A B P BP B A

P A P A B P B=

= =∑

.

Ví duï 11. Vôùi caùc döõ kieän cho trong ví duï 10. Giaû söû laáy moät saûn phaåm vaøthaáy raèng ñoù laø saûn phaåm hoûng. Ta coù theå tính xaùc suaát ñeå saûn phaåm ñoù do phaân

xöôûng B saûn xuaát baèng coâng thöùc Bayeøs

( ) ( ) ( )

( )

P H B P B 0.02 0.35 7P B H

P H 0.195 195⋅

= = = .

Chuù yù. Trong coâng thöùc Bayeøs, xaùc suaát ( )1P B , ( )2P B , ..., ( )nP B ñeå caùc

bieán coá 1B , 2B , ..., nB xaûy ra ñöôïc bieát tröôùc neân thöôøng ñöôïc goïi laø caùc xaùc suaát

tieân nghieäm. Sau khi thöïc hieän pheùp thöû, thaáy bieán coá A xaûy ra, xaùc suaát ñeå caùcbieán coá 1B , 2B , ..., nB xaûy ra ñöôïc tính laïi vôùi thoâng tin theâm naøy (nghóa laø caùc

xaùc suaát coù ñieàu kieän ( )1P B A , ( )2P B A , ..., ( )nP B A ) neân ñöôïc goïi laø caùc xaùc

suaát haäu nghieäm.Hai bieán coá A, B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp neáu bieán coá naøy xaûy ra khoâng aûnh

höôûng ñeán vieäc xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa bieán coá kia. Cuï theå, ta coù

3.5. Ñònh nghóa. Hai bieán coá A, B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp neáu xaùc suaát ñeå bieán coánaøy xaûy ra khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc bieán coá kia xaûy ra, nghóa laø

( ) ( )P A B P A=

vaø do ñoù

( ) ( ) ( )P AB P A P B= .




18

Toång quaùt, n bieán coá 1 A , 2 A , ..., n A ñöôïc goïi laø ñoäc laäp neáu moãi bieán coá

i A , vôùi i 1, 2, ..., n= , ñoäc laäp vôùi tích baát kyø caùc bieán coá coøn laïi.

Ví duï 12. Thaûy moät ñoàng xu vaø moät con xuùc xaéc , ta coù khoâng gian maãu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }S,1 , S, 2 , ..., S, 6 , N,1 , N, 2 , ..., N, 6Ω = .

Xeùt caùc bieán coá

A : "nhaän ñöôïc maët ngöûa cuûa ñoàng xu", vaø

B : "nhaän ñöôïc nuùt chaün cuûa xuùc xaéc".

Moät caùch tröïc giaùc, ñoàng xu xuaát hieän maët xaáp hay ngöûa khoâng aûnh höôûnggì ñeán soá nuùt xuaát hieän treân con xuùc xaéc, nghóa laø A, B ñoäc laäp nhau. Cuï theå, tacoù

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } A N,1 , N,2 , N,3 , N,4 , N,5 , N,6= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }B S,2 , S,4 , S, 6 , N,2 , N,4 , N,6= , vaø

( ) ( ) ( ){ } AB N,2 , N,4 , N,6= .

Do ñoù,

( )6 1

P A12 2

= = , ( )6 1

P B12 2

= = , ( )3 1

P AB12 4

= = .

Vì ( ) ( ) ( )1

P AB P A P B 4= = neân A, B ñoäc laäp vôùi nhau.

Do ñònh nghóa, neáu ba bieán coá A, B, C laø ñoäc laäp thì A ñoäc laäp vôùi B, C vaøBC neân

( ) ( ) ( )P AB P A P B= ,

( ) ( ) ( )P AC P A P C= ,

( )( ) ( ) ( )P A BC P A P BC= ,

vaø vì B, C cuõng ñoäc laäp vôùi nhau, neân

( ) ( ) ( )P BC P B P C=

vaø do ñoù

( ) ( ) ( ) ( )P ABC P A P B P C= .

Toång quaùt, n bieán coá i A , i 1, 2, ..., n= laø ñoäc laäp neáu vôùi baát kyø k bieán coá

1i A ,

2i A , ...,

ki A khaùc nhau, vôùi k n≤ ,

( ) j j

k k

i i j 1 j 1

P A P A==

⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∏∩ .




19

Chuù yù raèng, neáu töø n bieán coá ñoäc laäp i A , i 1,2, ...,n= , ta thaønh laäp hoï bieán

coá iB , i 1,2, ...,n= , vôùi i iB A= hay i iB A= , thì hoï bieán coá iB , i 1,2, ...,n= , cuõng

ñoäc laäp.Ví duï 13. Töø moät hoäp ñöïng 10 vieân bi trong ñoù coù 4 bi traéng, laáy laàn löôït ra

2 bi. Goïi kT , vôùi k 1,2= , laø bieán coá "nhaän ñöôïc bi traéng ôû laàn laáy thöù k". Ta coù

hai tröôøng hôïp, tuøy thuoäc vaøo laàn laáy thöù nhaát coù hoaøn laïi bi vaøo hoäp hay khoâng

hoaøn laïi bi vaøo hoäp :

i) Tröôøng hôïp coù hoaøn laïi : Khi ñoù, moät caùch tröïc giaùc, ta thaáy 1T , 2T laø hai

bieán coá ñoäc laäp. Chính xaùc hôn, ta coù

( )14

P T10

= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 1 1P T P T T P T P T T P T

4 4 4 6 4,

10 10 10 10 10

= +

= + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 14 4

P T T P T T P T P T P T .10 10

= = =

ii) Tröôøng hôïp khoâng hoaøn laïi : Trong tröôøng hôïp naøy, ta thaáy 1T , 2T laø hai

bieán coá khoâng ñoäc laäp vì ta caûm giaùc raèng cô may ñeå laàn thöù nhì ñöôïc bi traéngtuøy thuoäc vaøo bi nhaän ñöôïc ôû laàn thöù nhaát coù laø bi traéng hay khoâng. Cuï theå, ta coù

( )1 4P T 10= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 1 1P T P T T P T P T T P T

3 4 4 6 36 4.

9 10 9 10 90 10

= +

= + = =

nhöng

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 2 1 1

2 1

3 4P T T P T T P T

9 10P T P T .

= =

≠

Toång quaùt, neáu ta laáy laàn löôït ra n bi, vôùi 1 n 10≤ ≤ , thì caùc kT , 1 k n≤ ≤

laø moät hoï caùc bieán coá ñoäc laäp khi moãi laàn laáy bi ra coù hoaøn laïi, nhöng khoâng laømoät hoï caùc bieán coá ñoäc laäp khi moãi laàn laáy bi ra khoâng hoaøn laïi. Tuy nhieân, chuù yùraèng trong caû hai tröôøng hôïp, ta ñeàu coù

( )k4

P T ,10

=

vôùi moïi k.




20

Ví duï 14. Ba xaï thuû cuøng baén vaøo moät muïc tieâu vôùi xaùc suaát baén truùng muïctieâu cuûa xaï thuû thöù 1, 2 vaø 3 laàn löôït laø 0.4; 0.5 vaø 0.8. Tính xaùc suaát ñeå

a) coù ñuùng moät xaï thuû baén truùng.b) coù ít nhaát moät xaï thuû baén truùng.

Goïi i A , vôùi i 1, 2,3= , laø bieán coá : “xaï thuû i baén truùng” . Ta coù ( )1P A 0.4= ,

( )2P A 0.5= vaø ( )3P A 0.8= . Khi ñoù,

1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A A A A A A A A A= ∪ ∪

laø bieán coá : “coù ñuùng moät xaï thuû baén truùng” , vaø

1 2 3B A A A= ∪ ∪

laø bieán coá : “coù ít nhaát moät xaï thuû baén truùng” .Do 1 2 3 A A A , 1 2 3 A A A , 1 2 3 A A A laø hoï caùc bieán coá xung khaéc töøng ñoâi vaø

ñoàng thôøi caùc bieán coá i A cuõng nhö caùc bieán coá ñoái i A , vôùi i 1, 2, 3= , laø caùc bieán

coá ñoäc laäp neân töø coâng thöùc coäng vaø coâng thöùc nhaân (cho caùc bieán coá ñoäc laäp), tacoù

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

P A P A A A P A A A P A A A

P A P A P A P A P A P A

P A P A P A

0.4 0.5 0.2 0.6 0.5 0.2 0.6 0.5 0.8 0.34.

= + +

= + +

+

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2

1 3 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 1 3

2 3 1 2 3

P B P A P A P A P A A

P A A P A A P A A A

P A P A P A P A P A P A P A

P A P A P A P A P A

= + + − −

− − +

= + + − −

− +

neân

( )P B 0.4 0.5 0.8 0.4 0.5 0.4 0.8 0.5 0.8 0.4 0.5 0.8

0.94.

= + + − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

=

Chuù yù raèng ta coøn coù theå duøng ñaúng thöùc ( ) ( )P B 1 P B= − , trong ñoù

1 3 3B A A A= laø bieán coá : “caû ba xaï thuû ñeàu khoâng baén truùng” ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3P B 1 P A A A 1 P A P A P A

1 0.6 0.5 0.2 1 0.06 0.94.

= − = −

= − ⋅ ⋅ = − =




21

4. LÖÔÏC ÑOÀ BERNOULLI.

Ñeå khaûo saùt moät bieán coá, chaúng haïn nhö trong ñònh nghóa xaùc suaát baèng

phöông phaùp thoáng keâ, ngöôøi ta phaûi thöïc hieän pheùp thöû töông öùng nhieàu laàn moätcaùch ñoäc laäp vaø quan saùt soá laàn bieán coá ñoù xaûy ra ñeå tính ñöôïc taàn suaát cuûa bieáncoá ñoù. Phöông phaùp khaûo saùt naøy ñöôïc goïi laø löôïc ñoà Bernoulli.

Xeùt moät pheùp thöû τ vôùi khoâng gian maãu Ω vaø xeùt bieán coá A ⊂ Ω vôùi xaùcsuaát ( )P A p= . Ta thöïc hieän pheùp thöû naøy n laàn moät caùch ñoäc laäp vaø quan saùt soá

laàn xaûy ra bieán coá A. Ñaët

kH : "bieán coá A xaûy ra ñuùng k laàn",

vôùi 0 k n≤ ≤ . Ta coù

4.1. Ñònh lyù (Coâng thöùc Bernoulli). ( ) ( )

n kk kk nP H C p 1 p −

= − .

Chöùng minh. Duøng quy naïp treân n. Hieån nhieân coâng thöùc ñuùng vôùi n 1= vìkhi ñoù 0H A= vaø 1H A= . Do ñoù

( ) ( )1 00 0

0 1P H 1 p C p 1 p −= − = −

vaø

( ) ( )1 11 1

1 1P H p C p 1 p −= = − .

Giaû söû coâng thöùc ñuùng vôùi n 1≥ , nghóa laø khi thöïc hieän n laàn pheùp thöû τ moät caùch ñoäc laäp thì xaùc suaát ñeå bieán coá A xaûy ra ñuùng k laàn laø

( ) ( )n kk k

k nP H C p 1 p −= − .

Baây giôø, thöïc hieän pheùp thöû τ theâm moät laàn nöõa moät caùch ñoäc laäp vaø goïi Xlaø bieán coá : “A xaûy ra trong laàn thöû thöù n 1+ ” thì bieán coá : “A xaûy ra ñuùng k laàn

trong n 1+ pheùp thöû” laø

k k 1H A H A−+ .

Do caùc bieán coák

H A vaøk 1

H A−

laø xung khaéc,k

H vaø A cuõng nhök 1

H −

vaø

A laø caùc bieán coá ñoäc laäp neân

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

k k 1 k k 1

k k 1

n k n k 1k k k 1 k 1n n

n 1 kk k 1 kn n

n 1 kk kn 1

P H A H A P H A P H A

P H P A P H P A

C p 1 p 1 p C p 1 p p

C C p 1 p

C p 1 p .

− −

−

− − +− −

+ −−

+ −+

+ = +

= +

= − − + −

= + −

= −




22

Ví duï 15. Xaùc suaát thaønh coâng moät thí nghieäm sinh hoùa laø 40%. Moät nhoùmgoàm 9 sinh vieân cuøng tieán haønh thí nghieäm naøy ñoäc laäp vôùi nhau. Tìm xaùc suaát ñeå

a) coù ñuùng 6 thí nghieäm thaønh coâng,b) coù ít nhaát moät thí nghieäm thaønh coâng,

c) coù ít nhaát 8 thí nghieäm thaønh coâng.

Xeùt pheùp thöû τ : "tieán haønh thí nghieäm sinh hoùa" vaø bieán coá A : " thí

nghieäm thaønh coâng". Ta coù ( )P A 0.4= vaø vì thí nghieäm ñöôïc thöïc hieän 9 laàn ñoäc

laäp nhau neân noù thoûa löôïc ñoà Bernoulli vôùi n 9= . Goïi kH laø bieán coá "thí nghieäm

thaønh coâng ñuùng k laàn" vaø kK laø bieán coá "thí nghieäm khoâng thaønh coâng ñuùng k

laàn", ta coù

a) Xaùc suaát coù ñuùng 6 thí nghieäm thaønh coâng laø

( ) ( ) ( )6 9 66

6 9P H C 0.4 1 0.4 0.0743−= − = .

b) Xaùc suaát coù ít nhaát moät thí nghieäm thaønh coâng laø

( ) ( ) ( ) ( )0 9 00

0 0 9P K 1 P H 1 C 0.6 1 0.6 0.9899−= − = − − = .

c) Xaùc suaát coù ít nhaát 8 laàn thaønh coâng laø

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

8 9 8 9

8 9 8 9 9 98 99 9

P H H P H P H

C 0.4 1 0.4 C 0.4 1 0.4

0.00354 0.00026 0.0038.

− −

+ = +

= − + −

= + =

Ví duï 16. Xaùc suaát chöõa khoûi beänh A cuûa moät phöông phaùp ñieàu trò laø 95%. Vôùi 10 ngöôøi bò beänh A ñöôïc ñieàu trò baèng phöông phaùp naøy, tính xaùc suaát ñeå

a) coù 8 ngöôøi khoûi beänh.

b) coù nhieàu nhaát 9 ngöôøi khoûi beänh.

Do vieäc khoûi beänh cuûa ngöôøi naøy vaø ngöôøi khaùc laø ñoäc laäp nhau neân soángöôøi khoûi beänh trong 10 ngöôøi ñieàu trò thoûa löôïc ñoà Bernoulli vôùi n 10= vaøp 0.95= . Do ñoù,

a) Xaùc suaát ñeå coù 8 ngöôøi khoûi beänh laø

( ) ( )8 10 88

10C 0.95 1 0.95 0.0746−− = .

b) Bieán coá : “coù nhieàu nhaát 9 ngöôøi khoûi beänh” laø bieán coá ñoái cuûa bieán coá :“coù 10 ngöôøi khoûi beänh” neân coù xaùc suaát laø

( ) ( )10 10 1010

101 C 0.95 1 0.95 1 0.5987 0.4013−− − = − = .




23

5. ÑAÏI CÖÔNG VEÀ BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN VAØ PHÖÔNG PHAÙP LAÁY MAÃU.

Trôû laïi vôùi löôïc ñoà Bernoulli nhöng vôùi pheùp thöû

Τ : "thöïc hieän pheùp thöû τ ñuùng n laàn".

Goïi X laø soá laàn bieán coá A xaûy ra trong n laàn thöïc hieän pheùp thöû τ . Baáy giôø,öùng vôùi moãi moät bieán coá sô caáp cuûa pheùp thöû Τ , ta gaùn vôùi moät con soá (chæ soá laànbieán coá A xuaát hieän). Khi ñoù, ta noùi X laø moät bieán soá ngaãu nhieân (öùng vôùi pheùpthöû Τ ) vaø bieán coá

kH : "bieán coá A xaûy ra ñuùng k laàn"

coøn ñöôïc kyù hieäu laø X k= .

Chuù yù raèng bieán soá ngaãu nhieân X chæ laáy caùc giaù trò laø 0, 1, 2, ..., n vaø do

ñònh lyù Bernoulli,

( ) ( ) ( )n kk k

k nP X k P H C p 1 p −= ≡ = − .

Baûng caùc giaù trò cuûa k vôùi xaùc suaát ( )P X k= töông öùng,

X 0 1 2 ... n

P 0p 1p 2p ... np

trong ñoù ( )kp P X k= = , ñöôïc goïi laø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X.

Chaúng haïn, vôùi ví duï 15, ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát cho bieán soá ngaãu

nhieân X chæ soá laàn thí nghieäm sinh hoùa thaønh coâng X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P 0p 1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p 8p 9p

trong ñoù

( ) ( )k 9 kk

k 9p C 0.4 1 0.4 −= − ,

vaø khi ñoù, töø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X, ta coù vieát laïi

- Xaùc suaát coù ñuùng 6 thí nghieäm thaønh coâng laø

( ) 6P X 6 p= = ,- Xaùc suaát coù ít nhaát moät thí nghieäm thaønh coâng laø

( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

P X 1 p p p p p p p p p

1 p ,

≥ = + + + + + + + +

= −

do9

kk 0

p 1=

=∑ , vaø

- Xaùc suaát coù ít nhaát 8 thí nghieäm thaønh coâng laø




24

( ) ( ) ( )P X 8 P X 8 P X 9≥ = = + = .

Ta xeùt moät ví duï khaùc :

i) Moät hoäp goàm 10 bi trong ñoù coù ñuùng 4 bi traéng. Thöïc hieän vieäc laáy laànlöôït 9 bi töø hoäp, moãi laàn laáy ra ñeå quan saùt roài traû laïi vaøo hoäp. Goïi X laø soá bitraéng nhaän ñöôïc. Khi ñoù, bieán coá nhaän ñöôïc bi traéng ôû moãi laàn laø ñoäc laäp nhauneân ta coù theå duøng löôïc ñoà Bernoulli vaø do ñoù X laø bieán ngaãu nhieân coù baûng phaânphoái xaùc suaát nhö trong ví duï treân. Töø ñoù, ta coù theå tính ñöôïc xaùc suaát ñeå nhaänñöôïc : ñuùng 6 bi traéng, ít nhaát moät bi traéng, ít nhaát 8 bi traéng, ...

ii) Cuõng vôùi hoäp bi nhö treân nhöng ta laáy laàn löôït ra 9 bi (nhöng khoânghoaøn laïi vaøo hoäp sau moãi laàn laáy). Khi ñoù soá bi traéng X nhaän ñöôïc cuõng laø moätbieán soá ngaãu nhieân nhöng do moãi laàn laáy bi ra, ta khoâng traû laïi vaøo hoäp neân bieán

coá nhaän ñöôïc bi traéng ôû moãi laàn laáy laø khoâng ñoäc laäp vôùi nhau.Ñeå tính ( )P X k= , ta xeùt pheùp thöû τ : "laáy 9 bi". Baáy giôø, moãi phaàn töû cuûa

khoâng gian maãu Ω chính laø moät toå hôïp 10 chaäp 9 neân soá phaàn töû cuûa Ω laø 910C .

Maët khaùc, moãi phaàn töû cuûa bieán coá X k= ñöôïc taïo bôûi pheùp choïn k phaàn töûtöø 4 phaàn töû (bi traéng) vaø 9 k− phaàn töû töø 6 phaàn töû (khoâng laø bi traéng) neân soáphaàn töû cuûa bieán coá X k= laø

k 9 k4 6C C −⋅ .

Do ñoù,

( )

k 9 k4 6

910

C C

P X k C

−⋅

= = .

Chuù yù raèng caùc bieán coá X k= , vôùi k 2≤ hay vôùi k 5≥ laø caùc bieán coá khoângtheå coù, neân ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P 0 0 0 3p′ 4p′ 0 0 0 0 0

trong ñoù

3 9 34 6

3 910

C C 4

p 10C

−⋅′ = =

;

4 9 44 6

4 910

C C 6

p 10C

−⋅′ = =

.

Baøi taäp.

1. Cho A, B, C laø ba bieán coá. Chöùng minh

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P A B C P A P B P C

P AB P AC P BC P ABC .

+ + = + + −

− − − +




25

2. Cho ( ) 13P A = , ( ) 1

2P B = vaø ( ) 34P A B+ = . Tính ( )P AB , ( )P A.B , ( )P A B+ ,

( )P A.B vaø ( )P A.B .

3. Theo doõi döï baùo thôøi tieát treân ñaøi truyeàn hình (naéng, söông muø, möa) vaø sosaùnh vôùi thôøi tieát thöïc teá xaûy ra, ta coù baûng thoáng keâ sau

döï baùothöïc teá

naéng söông muø möa

naéng 30 5 5

söông muø 4 20 2

möa 10 4 20

nghóa laø coù 30 laàn döï baùo naéng, trôøi naéng; 4 laàn döï baùo naéng, trôøi söông muø; 10

laàn döï baùo naéng, trôøi möa, v.v...a) Tính xaùc suaát döï baùo trôøi naéng cuûa ñaøi truyeàn hình.

b) Tính xaùc suaát döï baùo cuûa ñaøi truyeàn hình laø ñuùng vôùi thöïc teá.

c) Ñöôïc tin döï baùo laø trôøi naéng. Tính xaùc suaát ñeå thöïc teá thì trôøi möa ? trôøi söôngmuø ? trôøi naéng ?

4. Hai nhaø maùy X, Y cuøng saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm. Xaùc suaát nhaän ñöôïc saûnphaåm hoûng ôû nhaø maùy X laø Xp 0.03= vaø ôû nhaø maùy Y laø Yp 0.05= .

a) Moät ngöôøi mua 3 saûn phaåm ôû nhaø maùy X. Tính xaùc suaát coù ít nhaát moät saûn

phaåm hoûng.b) Neáu mua 3 saûn phaåm ôû nhaø maùy X vaø 2 saûn phaåm ôû nhaø maùy Y. Tính xaùc suaátcoù ít nhaát moät saûn phaåm hoûng.

5. a) Cho A, B laø hai bieán coá ñoäc laäp. Chöùng minh raèng A , B ; A , B vaø A , B cuõng laø caùc caëp bieán coá ñoäc laäp.

b) Cho 1 A , 2 A , ..., n A laø n bieán coá ñoäc laäp. Chöùng minh raèng 1 A , 2 A , ..., n A

cuõng laø n bieán coá ñoäc laäp. Suy ra raèng neáu xeùt n bieán coá 1B , 2B , ..., nB , vôùi

i iB A= hay i iB A= , thì 1B , 2B , ..., nB cuõng laø n bieán coá ñoäc laäp.

6. Moät thieát bò goàm 3 cuïm chi tieát, moãi cuïm bò hoûng khoâng aûnh höôûng gì ñeán caùccuïm khaùc vaø chæ caàn moät cuïm bò hoûng thì thieát bò ngöøng hoaït ñoäng. Xaùc suaát ñeåcuïm thöù nhaát bò hoûng trong ngaøy laø 0.1, cuïm thöù hai laø 0.05 vaø cuïm thöù ba laø0.15. Tìm xaùc suaát ñeå thieát bò khoâng ngöøng hoaït ñoäng trong ngaøy.

7. Tyû leä ngöôøi maéc beänh tim trong moät vuøng daân cö laø 9%, maéc beänh huyeát aùp laø12%, maéc caû hai beänh naøy laø 7%. Choïn ngaãu nhieân moät ngöôøi trong vuøng. Tínhxaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù

a) bò beänh tim hay bò beänh huyeát aùp.

b) khoâng bò beänh tim cuõng khoâng bò beänh huyeát aùp.




26

c) khoâng bò beänh tim hay khoâng bò beänh huyeát aùp.

d) bò beänh tim nhöng khoâng bò beänh huyeát aùp.

e) khoâng bò beänh tim nhöng bò beänh huyeát aùp.

8. Moät daây chuyeàn laép raùp nhaän caùc chi tieát töø hai nhaø maùy khaùc nhau. Tyû leä chitieát do nhaø maùy thöù nhaát cung caáp laø 60%, cuûa nhaø maùy thöù hai laø 40%. Tyû leächính phaåm cuûa nhaø maùy thöù nhaát laø 90%, cuûa nhaø maùy thöù hai laø 85%. Laáyngaãu nhieân moät chi tieát treân daây chuyeàn vaø thaáy raèng noù toát. Tìm xaùc suaát ñeå chitieát ñoù do nhaø maùy thöù nhaát saûn xuaát.

9. Moät ngöôøi baén bia vôùi xaùc suaát baén truùng laø p 0.7= .

a) Baén lieân tieáp 3 phaùt. Tính xaùc suaát coù ít nhaát 1 laàn truùng bia.

b) Hoûi phaûi baén ít nhaát maáy laàn ñeå coù xaùc suaát ít nhaát moät laàn truùng bia 0.9≥ .10. Moät hoäp ñöïng 10 phieáu trong ñoù chæ coù 2 phieáu coù truùng thöôûng. Coù 10 ngöôøilaàn löôït ruùt thaêm. Tính xaùc suaát nhaän ñöôïc phaàn thöôûng cuûa moãi ngöôøi.

11. Coù hai hoäp ñöïng bi :

- Hoäp 1H ñöïng 20 bi trong ñoù coù 5 bi ñoû vaø 15 bi traéng,

- Hoäp 2H ñöïng 15 bi trong ñoù coù 6 bi ñoû vaø 9 bi traéng.

Laáy moät bi ôû hoäp 1H , boû vaøo 2H , troän ñeàu roài laáy ra moät bi. Tính xaùc suaát nhaän

ñöôïc bi ñoû ? bi traéng ?

12. Trong moät loâ thuoác (raát nhieàu) vôùi xaùc suaát nhaän ñöôïc thuoác hoûng laø p 0.1= .

Laáy ngaãu nhieân 3 loï ñeå kieåm tra. Tính xaùc suaát ñeå

a) caû 3 loï ñeàu hoûng,

b) coù 2 loï hoûng vaø 1 loï toát,

c) coù 1 loï hoûng vaø 2 loï toát,

d) caû 3 hoï ñeàu toát.

13. Moät baøi thi traéc nghieäm goàm 12 caâu hoûi, moãi caâu coù 5 caâu traû lôøi, trong ñoù chæ

coù moät caâu ñuùng. Giaû söû moãi caâu traû lôøi ñuùng, thí sinh ñöôïc 4 ñieåm, moãi caâu traûlôøi sai, thì sinh bò tröøñi 1 ñieåm. Moät thí sinh laøm baøi baèng caùch choïn ngaãu nhieân caùc caâu traû lôøi. Tìmxaùc suaát ñeå

a) thí sinh ñöôïc 13 ñieåm,

b) thí sinh bò ñieåm aâm.

14. Moät caëp treû sinh ñoâi coù theå do cuøng moät tröùng (sinh ñoâi thaät) hay do haitröùng khaùc nhau sinh ra (sinh ñoâi giaû). Caùc caëp sinh ñoâi thaät luoân luoân coù cuønggiôùi tính. Caùc caëp sinh ñoâi giaû thì giôùi tính cuûa moãi ñöùa ñoäc laäp nhau vaø coù xaùc




27

suaát laø 0.5. Thoáng keâ cho thaáy 34% caëp sinh ñoâi laø trai; 30% caëp sinh ñoâi laø gaùivaø 36% caëp sinh ñoâi coù giôùi tính khaùc nhau.

a) Tính tyû leä caëp sinh ñoâi thaät,b) Tìm tyû leä caëp sinh ñoâi thaät trong soá caùc caëp sinh ñoâi coù cuøng giôùi tính.

15. Moät phaân xöôûng coù 5 maùy. Xaùc suaát ñeå trong moät ca, moãi maùy bò hoûng laø 0.1.Tìm xaùc suaát ñeå trong moät ca, coù ñuùng 2 maùy bò hoûng.

16. Baïn queân maát soá cuoái cuøng trong soá ñieän thoaïi caàn goïi (soá ñieän thoaïi goàm 6chöõ soá) vaø baïn choïn soá cuoái cuøng naøy moät caùch ngaãu nhieân. Tính xaùc suaát ñeå baïngoïi ñuùng soá ñieän thoaïi naøy maø khoâng phaûi thöû quaù 3 laàn. Neáu bieát soá cuoái cuøng laøsoá leû thì xaùc suaát naøy laø bao nhieâu ?

17. Tính xaùc suaát ñeå gieo con xuùc xaéc 10 laàn, maët moät nuùt xuaát hieän khoâng quaù 3 laàn.

18. Moät ngöôøi vieát n laù thö vaø boû ngaãu nhieân n laù thö naøy vaøo trong n phong bìñaõ vieát saün ñòa chæ. Tìm xaùc suaát sao cho coù ít nhaát moät laù thö ñöôïc boû vaøo ñuùngphong bì.

19. Tyû leä pheá phaåm cuûa moät loâ haøng (lôùn) laø 1%. Töø loâ haøng naøy, laáy ra n saûnphaåm. Hoûi n ít nhaát phaûi laø bao nhieâu ñeå xaùc suaát nhaän ñöôïc ít nhaát moät pheáphaåm 0.95> .

20. Moät trung taâm chaån ñoaùn beänh duøng moät pheùp kieåm ñònh T. Xaùc suaát ñeå moätngöôøi ñeán trung taâm maø coù beänh laø 0.8. Xaùc suaát ñeå ngöôøi khaùm coù beänh khipheùp kieåm ñònh döông tính laø 0.9 vaø xaùc suaát ñeå ngöôøi khaùm khoâng coù beänh khipheùp kieåm ñònh aâm tính laø 0.5. Tính caùc xaùc suaát

a) pheùp kieåm ñònh laø döông tính,

b) pheùp kieåm ñònh cho keát quaû ñuùng.

21. Trong moät vuøng daân cö, cöù 100 ngöôøi thì coù 30 ngöôøi huùt thuoác laù. Bieát raèngtyû leä ngöôøi bò vieâm hoïng trong soá ngöôøi huùt thuoác laù laø 60%, trong soá ngöôøikhoâng huùt thuoác laù laø 30%. Khaùm ngaãu nhieân moät ngöôøi vaø thaáy ngöôøi ñoù bò vieâmhoïng. Tìm xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù huùt thuoác laù. Neáu ngöôøi ñoù khoâng bò vieâm hoïngthì xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù huùt thuoác laù laø bao nhieâu ?




28

Chöông 2

BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN

Xeùt pheùp thöû τ vôùi khoâng gian maãu Ω . Giaû söû, öùng vôùi moãi bieán soá sô caáp

ω ∈ Ω , ta lieân keát vôùi moät soá thöïc ( ) X ω ∈ , thì X ñöôïc goïi laø moät bieán soá ngaãu

nhieân.

Ví duï 1. Vôùi troø chôi saáp ngöûa baèng caùch thaûy ñoàng xu, giaû söû neáu xuaát hieän

maët saáp, ta ñöôïc 1 ñoàng; neáu xuaát hieän maët ngöûa, ta maát 1 ñoàng. Khi ñoù, ta coù

Pheùp thöû τ : "thaûy ñoàng xu",

Khoâng gian maãu { }S,NΩ = ,

Bieán soá ngaãu nhieân X vôùi ( ) X S 1= vaø ( ) X N 1= − .

Toång quaùt, bieán soá ngaãu nhieân X cuûa moät pheùp thöû τ vôùi khoâng gian maãu

Ω laø moät aùnh xaï

( )

X :

X

Ω →

ω ω

Khi ( ) X Ω laø moät taäp hôïp höõu haïn { }1 2 kx , x , ..., x hay laø moät daõy

{ }1 2 nx , x , ..., x , ... , ta noùi X laø moät bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc. Khi ( ) X Ω laø moät

khoaûng cuûa (hay caû ), ta noùi X laø moät bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc.

Trong thöïc nghieäm, caùc bieán soá ngaãu nhieân thöôøng laø rôøi raïc. Tuy nhieân,khi bieán soá ngaãu nhieân khaûo saùt laáy giaù trò tuøy yù treân moät khoaûng cuûa (hay caû

), ta coi noù nhö moät bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc. Chaúng haïn, bieán soá ngaãu

nhieân trong ví duï 1 laø moät bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc. Coøn laáy ngaãu nhieân moät

sinh vieân trong tröôøng vaø ño chieàu cao (pheùp thöû τ : "laáy moät sinh vieân trong

tröôøng", khoâng gian maãu Ω laø taäp hôïp taát caû caùc sinh vieân vaø vôùi sinh vieânω ∈ Ω thì ( ) X ω laø chieàu cao cuûa ω ), ta ñöôïc moät bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc vôùi

caùc giaù trò ñuû nhieàu treân neân ta coi noù laø moät bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc.

Thöïc chaát, caùc bieán ngaãu nhieân lieân tuïc ñöôïc duøng laøm xaáp xæ cho caùc bieán ngaãu

nhieân rôøi raïc khi taäp caùc giaù trò cuûa bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc ñuû lôùn.Do caùc bieán soá ngaãu nhieân X laø caùc aùnh xaï coù giaù trò trong neân vôùi moät

haøm soá u : → , ta coù theå thaønh laäp bieán soá ngaãu nhieân ( )u X , vôùi

( )( )( )

u X :

u X

Ω →

ω ω

Chaúng haïn, vôùi u(x) x= − μ , μ ∈ , ta coù bieán soá ngaãu nhieân ( )u X X= − μ ,

vôùi




29

( ) ( ) ( ) X X− μ ω = ω − μ

vôùi moïi ω ∈ Ω , vaø vôùi ( )2

u(x) x= − μ , ta coù bieán soá ngaãu nhieân ( ) ( )2

u X X= − μ ,

vôùi

( ) ( ) ( )( )22

X X− μ ω = ω − μ

vôùi moïi ω ∈ Ω .

Hôn nöõa, treân thöïc teá, khi nghieân cöùu moät ñoái töôïng, ngöôøi ta thöôøng quantaâm ñeán nhieàu tham soá cuøng moät luùc. Neáu moãi tham soá khaûo saùt ñeàu laø moät bieán

soá ngaãu nhieân, ta nhaän ñöôïc moät vectô ngaãu nhieân. Chaúng haïn, khi nghieân cöùu

taàm voùc con ngöôøi, ngöôøi ta quan taâm ñeán chieàu cao X vaø söùc naëng Y. Do caû X laãn Y ñeàu laø caùc bieán soá ngaãu nhieân, ta nhaän ñöôïc vectô ngaãu nhieân ( ) X, Y .

Toång quaùt, vôùi n bieán soá ngaãu nhieân k X : Ω → , k 1, 2, ..., n= , ta noùi

( ) n1 2 n V X , X , ..., X := Ω → , xaùc ñònh bôûi

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 n V X , X , ..., Xω = ω ω ω

vôùi moïi ω ∈ Ω , laø moät vectô ngaãu nhieân. Caùc k X , k 1, 2, ..., n= ñöôïc goïi laø caùc

bieán ngaãu nhieân thaønh phaàn cuûa V.

Vectô ngaãu nhieân V ñöôïc goïi laø rôøi raïc (lieân tuïc) neáu taát caû caùc bieán soá ngaãu

nhieân thaønh phaàn laø rôøi raïc (lieân tuïc).

Ngoaøi ra, vôùi ( )1 2 n V X ,X ,..., X= laø moät vectô ngaãu nhieân vaø vôùi haøm n bieán

( ) ( )

n

1 2 n 1 2 n

u :

x , x , ..., x u x , x , ..., x

→

ta coù theå thaønh laäp bieán soá ngaãu nhieân ( )1 2 nu X , X ,..., X , vôùi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 n 1 2 nu X , X ,..., X u X , X , ..., Xω = ω ω ω


Chaúng haïn, vôùi hai bieán soá ngaãu nhieân X, Y vaø haøm soá

( ) ( ) ( )u x, y x y= − μ − λ , vôùi ( ) 2x, y ∈ vaø ,μ λ ∈ , ta coù bieán soá ngaãu nhieân

( ) ( ) ( )u X, Y X Y= − μ − λ , vôùi

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) X Y X Y− μ − λ ω = ω − μ ω − λ





30

1. XAÙC ÑÒNH BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN

Ñeå xaùc ñònh moät bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc, ngöôøi ta caàn xaùc ñònh caùc giaù

trò ix , i 1, 2, ...= coù theå nhaän ñöôïc bôûi bieán ngaãu nhieân naøy vaø ñoàng thôøi cuõng caànxaùc ñònh xaùc suaát ñeå X nhaän giaù trò naøy laø bao nhieâu, nghóa laø, caàn xaùc ñònh

( ){ }( ) ( )i iP X x P X xω ω = ≡ = , vôùi i 1, 2, ...= . Ta coù

1.1. Baûng phaân phoái xaùc suaát

Xeùt bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc X : Ω → , vôùi ( ) { }1 2 X x , x , ...Ω = . Giaû söû

1 2 nx x ... x ...< < < < . Baûng caùc boä giaù trò töông öùng

X 1x 2x ... nx ...

P 1p 2p ... np ...vôùi ( )i ip P X x= = , ñöôïc goïi laø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X.

Ví duï 2. Thaûy hai ñoàng xu, neáu ñöôïc moät saáp moät ngöûa thì ñöôïc 10ñ, neáuñöôïc hai maët saáp thì maát 4ñ, hai ngöûa thì maát 5ñ. Goïi X ñeå chæ soá tieàn ñöôïc hay

maát. Ta coù X laø bieán ngaãu nhieân nhaän caùc giaù trò laø 5− , 4− vaø 10 , vôùi

( ) ( )1

P X 5 P NN 0.254

= − = = = ,

( ) ( )1

P X 4 P SS 0.254

= − = = = ,

( ) { }( ) 2P X 10 P SN,NS 0.54= = = = ,

vaø ta nhaän ñöôïc baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X

X 5− 4− 10

P 0.25 0.25 0.5

Ví duï 3. Moät cô quan coù 3 xe oâtoâ : 1 xe 4 choã; 1 xe 50 choã vaø 1 xe taûi. Xaùc

suaát ñeå trong moät ngaøy laøm vieäc, caùc xe ñöôïc xöû duïng laø 0.8; 0.4 vaø 0.9. Haõy laäpluaät phaân phoái xaùc suaát cho soá xe ñöôïc xöû duïng trong moät ngaøy cuûa cô quan.

Goïi X laø soá xe ñöôïc xöû duïng trong moät ngaøy cuûa cô quan. Ta coù

{ } X 0,1,2,3∈ . Ñaët 1 A , 2 A , 3 A laø bieán coá “xe 4 choã; xe 50 choã; xe taûi ñöôïc xöû

duïng trong ngaøy” . Khi ñoù, 1 A , 2 A , 3 A laø caùc bieán coá ñoäc laäp, ( )1P A 0.8= ;

( )2P A 0.4= ; ( )3P A 0.9= vaø

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 1 2 3p P X 0 P A A A P A P A P A

0.2 0.6 0.1 0.012

= = = =

= ⋅ ⋅ =




31

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

p P X 1 P A A A A A A A A A

P A A A P A A A P A A A


P A P A P A

0.8 0.6 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 0.6 0.9 0.164

= = = + +

= + +

= + +

+

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

p P X 2 P A A A A A A A A A

P A A A P A A A P A A A


P A P A P A

0.8 0.4 0.1 0.2 0.6 0.9 0.2 0.4 0.9 0.536

= = = + +

= + +

= + +

+

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 3 1 2 3p P X 3 P A A A P A P A P A

0.8 0.4 0.9 0.288

= = = =

= ⋅ ⋅ =

Do ñoù, quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø

X 0 1 2 3

P 0.012 0.164 0.536 0.288

Chuù yù raèng ip 0.012 0.164 0.536 0.288 1= + + + =∑ .

Khi X laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc thì X coù theå laáy voâ soá giaù trò x ∈ neân takhoâng theå laäp baûng phaân phoái xaùc suaát cho noù. Do ñoù, trong phaàn sau, ta seõ khaûo

saùt caùc haøm soá xaùc ñònh bôûi moät bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc vaø töø ñoù nôùi roäng cho

caùc bieán ngaãu nhieân lieân tuïc : Haøm maät ñoä (xaùc suaát) vaø haøm phaân phoái (tích

luõy).

A. Bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc

Töø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc X,

X 1x 2x ... nx ...

P 1p 2p ... np ...

ta ñònh nghóa

1.2. Haøm maät ñoä (xaùc suaát)

Haøm soá f : → xaùc ñònh bôûi

i i

i

p khi x xf(x)

0 khi x x , i

=⎧= ⎨

≠ ∀⎩




32

ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä xaùc suaát, hay vaén taét laø haøm maät ñoä, cuûa X. Töø tính chaát

cuûa baûng phaân phoái xaùc suaát, deã thaáy raèng

(i) x∀ ∈ , f (x) 0≥ , vaø

(ii)x

f (x) 1=∑ .

Ví duï 4. Tung ñoàng xu 3 laàn. Goïi X laø soá maët saáp nhaän ñöôïc. Ta coù khoâng

gian maãu

{ }SSS,SSN,SNS,SNN,NSS,NSN,NNS,NNNΩ =

vaø ( ) { } X 0,1,2,3Ω = , vôùi

( ) { }( )1

P X 0 P NNN

8

= = = ,

( ) { }( )3

P X 1 P SNN,NSN,NNS8

= = = ,

( ) { }( )3

P X 2 P SSN,SNS,NSS8

= = = ,

( ) { }( )1

P X 3 P SSS8

= = =

vaø ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát

X 0 1 2 3

P18 38 38

18

Töø ñoù, ta nhaän ñöôïc haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X

18383818

khi x 0

khi x 1

f(x) khi x 2

khi x 3

0 khi x 0,1, 2,3

⎧ =⎪

=⎪⎪

= =⎨⎪

=⎪⎪ ≠⎩

1.3. Haøm phaân phoái (tích luõy) Vôùi f : → laø haøm maät ñoä cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X, haøm soá

F : → , xaùc ñònh bôûi

( ) ( )i

ix x

F(x) P X x f x≤

= ≤ = ∑ ,

ñöôïc goïi laø haøm phaân phoái tích luõy, hay vaén taét laø haøm phaân phoái, cuûa X.

Baèng caùch lieät keâ caùc giaù trò cuûa ( ) X Ω theo thöù töï taêng daàn, khi X chæ laáy

höõu haïn giaù trò




33

1 2 nx x ... x< < <

ta coù haøm phaân phoái

( ) ( ) ( )1

1 2 k 1 k 1 k

n

0 khi x x

F(x) f x f x ... f x khi x x x

1 khi x x− −

<⎧⎪

= + + + ≤ <⎨⎪ ≥⎩

vaø khi X laáy giaù trò taïo thaønh moät daõy

1 2 nx x ... x ...< < < <

ta coù haøm phaân phoái

( ) ( ) ( )1

1 2 n 1 n 1 n

n

0 khi x x

F(x) f x f x ... f x khi x x x

1 khi x x , n− −

<⎧⎪

= + + + ≤ <⎨⎪ ≥ ∀⎩

Töø tính chaát cuûa haøm maät ñoä vaø ñònh nghóa cuûa haøm phaân phoái, ta coù

(i) 0 F(x) 1≤ ≤ , x∀ ∈ ,

(ii)xlim F(x) 0→−∞

= vaøxlim F(x) 1→+∞

= ,

(iii) F laø haøm taêng, vaø

(iv) F lieân tuïc beân phaûi taïi moïi x ∈ .

Ví duï 5. Vôùi bieán soá ngaãu nhieân X cho bôûi ví duï 4, ta coù haøm phaân phoái

184878

0 khi x 0

khi 0 x 1

khi 1 x 2F(x)

khi 2 x 3

1 khi 3 x

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ ≤ <= ⎨⎪ ≤ <⎪⎪ ≤⎩

Nhaän xeùt. Toång quaùt, khi ta tung ñoàng xu n laàn vaø xeùt bieán ngaãu nhieân X

chæ soá maët saáp nhaän ñöôïc thì ta coù haøm maät ñoä f : → , vôùi

x

nnCf(x)2

= ,

khi x 0,1,2, ...,n= vaø baèng 0 khi x 0,1,2, ...,n≠ . Haøm phaân phoái F : → ñöôïc

xaùc ñònh bôûi

nk i1i 0 n2

0 khi x 0

F(x) C khi k x k 1, vôùi k 0,1, ..., n 1

1 khi x n

=

⎧ <⎪⎪

= ∑ ≤ < + = −⎨⎪

≥⎪⎩

.




34

Khi ñoù, ta coù theå xaáp xæ ñoà thò cuûa haøm maät ñoä f cuõng nhö haøm phaân phoái F

cuûa X baèng moät ñöôøng cong lieân tuïc. Cuï theå hôn, bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc X

ñöôïc xaáp xæ baèng moät bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc sao cho caùc haøm maät ñoä cuõngnhö haøm phaân phoái cuûa noù xaáp xæ haøm maät ñoä cuõng nhö haøm phaân phoái cuûa X.

Töø caùc ñònh nghóa 1.2, 1.3 vaø vôùi nhaän xeùt treân, ta xeùt caùc haøm maät ñoä vaø

phaân phoái cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc nhö sau

B. Bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc

Ñoái vôùi caùc bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc X, nghóa laø ( ) X Ω laø moät khoaûng cuûa

, ta coù

1.4. Haøm maät ñoä (xaùc suaát)

Haøm soá f : →

ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä xaùc suaát, hay vaén taét laø haøm maätñoä, cuûa bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc X neáu

( ) ( ){ }( )b

aP a X b P a X b f (x)dx≤ ≤ ≡ ω ∈ Ω ≤ ω ≤ = ∫

vôùi moïi a, b ∈ , a b≤ .

Töø ñònh nghóa, deã daøng suy ra

(i) x∀ ∈ , f (x) 0≥ , vaø

(ii) f (x)dx 1+∞

−∞=∫ .

vaø

1.5. Haøm phaân phoái (tích luõy)

Haøm soá F : → ñöôïc goïi laø haøm phaân phoái tích luõy, hay vaén taét laø haøm

phaân phoái, cuûa bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc X neáu

( ) ( ){ }( )F(x) P X x P X x= ≤ ≡ ω ∈ Ω ω ≤

vôùi moïi x ∈ .

Tröïc tieáp töø ñònh nghóa, ta ñöôïc

(i) 0 F(x) 1≤ ≤ , x∀ ∈ ,

(ii)xlim F(x) 0→−∞

= vaøxlim F(x) 1→+∞

= ,

(iii) F laø haøm taêng, vaø

(iv) F lieân tuïc beân phaûi taïi moïi x ∈ .

Hôn nöõa, ta ñöôïc söï lieân heä giöõa haøm maät ñoä f vaø haøm phaân phoái F cuûa

bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc X nhö sau




35

xF(x) f (t)dt

−∞= ∫

vôùi moïi x ∈ .Ví duï 6. Cho X laø bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc coù haøm maät ñoä xaùc suaát

0 khi x 0

x khi 0 x 1f(x)

2 x khi 1 x 2

0 khi 2 x

≤⎧⎪ < ≤⎪= ⎨

− < ≤⎪⎪ <⎩

a) Tìm haøm phaân phoái xaùc suaát cuûa X.

b) Tính ( )12

P X < .

Ta coù ( )x

F(x) P X x f (t)dt−∞

= ≤ = ∫ . Do ñoù

Khi x 0≤ , F(x) 0= ;

Khi 0 x 1< ≤ ,2x

0

xF(x) tdt

2= =∫ ;

Khi 1 x 2< ≤ , ( )21 x

0 1

xF(x) tdt 2 t dt 2x 1

2= + − = − + −∫ ∫ ;

vaø khi 2 x< ,( )

1 2

0 1F(x) tdt 2 t dt 1= + − =

∫ ∫.

Do ñoù, ta ñöôïc haøm phaân phoái xaùc suaát cho X laø

2

2

x2

x2

0 khi x 0

khi 0 x 1F(x)

2x 1 khi 1 x 2

1 khi 2 x

≤⎧⎪

< ≤⎪⎪= ⎨

− + − < ≤⎪⎪

<⎪⎩

vaø ta ñöôïc ( ) ( ) ( )21 1 1 1 1

2 2 2 2 8P X F< = = = .

Ví duï 7. Cho X laø bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc coù haøm phaân phoái xaùc suaát

( )3x3

0 khi x 1

F(x) a b x khi 1 x 1

1 khi x 1

≤ −⎧⎪⎪= + − − < ≤⎨⎪

>⎪⎩

Tìm caùc haèng soá a, b.

Do X laø bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc neân haøm phaân phoái xaùc suaát lieân tuïc

beân phaûi taïi moïi x ∈ . Ñaëc bieät, taïi x 1= ± ,x 1lim F(x) F( 1)

+→−= − cho




36

( )23

a b 0− = , (1)

vaøx 1

lim F(x) F(1)+→

= cho

( )23

a b 1+ = . (2)

Töø (1) vaø (2), ta suy ra 34

a = vaø 23

b = .

2. THAM SOÁ ÑAËC TRÖNG CUÛA BIEÁN NGAÃU NHIEÂN

Trong phaàn naøy, ta ñònh nghóa moät soá tham soá ñaëc tröng cho moät bieán soá

ngaãu nhieân maø quan troïng nhaát laø kyø voïng vaø phöông sai.

2.1. Ñònh nghóa. Cho X laø bieán ngaãu nhieân vôùi haøm maät ñoä xaùc suaát f (x) vaø

( )u X laø moät haøm theo bieán soá ngaãu nhieân X. Kyø voïng cuûa ( )u X ñöôïc xaùc ñònh laø( )( ) ( ) ( )i i

i

E u X u x f x= ∑

khi X laø bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, vôùi ( ) { }1 2 n X x , x ,..., x , ...Ω = , vaø

( )( )E u X u(x)f (x)dx+∞

−∞= ∫

khi X laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.

Ñaëc bieät, khi ( )u X X= , thì ( )E X ñöôïc goïi laø trung bình cuûa X, kyù hieäu Xμ ,

hay vaén taét laø μ , nghóa laø

( ) X i ii

x f xμ = ∑

khi X laø bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc, vaø

X xf(x)dx+∞

−∞μ = ∫


Ví duï 8. Moät hoäp ñöïng 3 bi ñoû vaø 7 bi traéng. Moãi laàn laáy 1 bi (roài traû laïi vaøohoäp). Neáu ñöôïc bi ñoû thì thöôûng 5000ñ, neáu ñöôïc bi traéng thì phaït 2300ñ. Xeùt xem

coù neân tham gia troø chôi naøy nhieàu laàn khoâng ?

Goïi X laø soá tieàn nhaän ñöôïc sau moãi laàn laáy bi. X laø bieán ngaãu nhieân vôùibaûng phaân phoái xaùc suaát

X 2300− 5000

P 710

310

Trung bình cuûa X laø

( ) 7 3 X 10 10

2300 5000 110μ = − ⋅ + ⋅ = − .




37

Ñieàu naøy coù nghóa laø neáu ta chôi nhieàu laàn thì bình quaân moãi laàn laáy moät bi,

ta bò loã 110ñ. Ñeå thaáy roõ ñieàu naøy, ta töôûng töôïng raèng, neáu tham döï troø chôi

1000 laàn, ta coù cô may laáy ñöôïc bi ñoû 300 laàn vaø ñöôïc bi traéng 700 laàn. Do ñoù, soátieàn nhaän ñöôïc sau 1000 laàn chôi laø

( )2300 700 5000 300 110.000− ⋅ + ⋅ = − .

Töø ñoù suy ra, trung bình moãi laàn chôi, ta ñöôïc

110.000110

1.000 = − .

Vaäy, khoâng neân chôi troø chôi naøy nhieàu laàn.

2.2. Ñònh nghóa. Cho X laø moät bieán soá ngaãu nhieân coù haøm maät ñoä f (x) vaø trung

bình Xμ . Phöông sai cuûa X, kyù hieäu2

Xσ , ñöôïc ñònh nghóa laø kyø voïng cuûa bieánngaãu nhieân ( )

2 X X − μ , nghóa laø

( )( )( ) ( )

( )

22 X X

2i X i

i

2 X

E X

x f x khi X laø bieán rôøi raïc, vaø

x f (x)dx khi X laø bieán lieân tuïc,+∞

−∞

σ = − μ

⎧ − μ⎪⎪

= ⎨⎪ − μ⎪⎩

∑

∫

Vì ( )2

X X − μ chính laø bình phöông sai bieät giöõa ( ) X ω vaø trung bình cuûa noù,

Xμ , vaø vì phöông sai 2 Xσ chính laø trung bình cuûa caùc sai bieät naøy neân phöông sai

cuûa moät bieán ngaãu nhieân cho ta hình aûnh veà söï phaân taùn cuûa caùc soá lieäu : 2 Xσ

caøng nhoû, caùc soá lieäu caøng taäp trung xung quanh trung bình cuûa chuùng. Ngoaøi ra,

vì ñôn vò ño cuûa phöông sai ñöôïc tính theo bình phöông ñôn vò ño cuûa bieán ngaãu

nhieân, vaø do ñoù, Xσ coù cuøng ñôn vò ño vôùi bieán ngaãu nhieân neân trong thöïc teá,

ngöôøi ta coøn goïi Xσ laø ñoä leäch chuaån cuûa X.

Ví duï 9. Xeùt hai bieán ngaãu nhieân rôøi raïc X, Y vôùi caùc giaù trò cho bôûi baûngsau

X 4 4 5 6 4 6 8 7 6 5 Y 3 2 4 9 8 9 3 7 3 10

Ta coù X Y 6μ = μ = nhöng 2 X 1.9σ = nhoû hôn khaù nhieàu so vôùi 2

Y 8.2σ = . Hai

bieán naøy coù cuøng trung bình nhöng roõ raøng X ít phaân taùn hôn Y.

Ví duï 10. Cho X laø bieán soá ngaãu nhieân vôùi haøm maät ñoä xaùc suaát

( )234

1 x khi x 1f(x)

0 khi x 1

⎧ − ≤⎪= ⎨>⎪⎩




38

Tính Xμ vaø 2 Xσ .

Ta coù

( )1

23x X 41

xf (x)dx 1 x dx 0+∞

−∞ −μ = = − =∫ ∫ ,

( ) ( )

( ) ( )( )

2

2 3 5

122 23x X X 41

123x 3 x x

4 4 3 50

x f (x)dx 1 x dx

12 1 x dx 2 .

5

+∞

−∞ −σ = − μ = −

= − = − =

∫ ∫

∫

2.3. Meänh ñeà. Cho X laø bieán soá ngaãu nhieân vôùi trung bình ( ) XE X = μ . Ta coù

( )2 2 2 X XE Xσ = − μ .

Chöùng minh. Do E tuyeán tính, nghóa laø

( ) ( ) ( )E X Y E X E Yα + β = α + β ,

ta suy ra

( )( )( )

( ) ( )

( )

22 X X

2 2 X X

2 2 X X

2 2 X

E X

E X 2X

E X 2 E X

E X

σ = − μ

= − μ + μ

= − μ + μ

= − μ

Ví duï 11. Vôùi bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc X trong ví duï 4, ta coù baûng phaânphoái xaùc suaát

X 0 1 2 3

P 18 3

8 3

8 1

8

neân ta nhaän ñöôïc trung bình

X x

1 3 3 1 3xf (x) 0 1 2 3

8 8 8 8 2μ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∑

vaø phöông sai

( )

( )

2 2 2 2 2 X X X

x

22 2 2 23 3 3 31 18 8 8 8 2 4

E X x f (x)

0 1 2 3 .

⎛ ⎞σ = − μ = − μ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =

∑




39

2.4. Ñònh lyù (Baát ñaúng thöùc Tchebyshev). Xeùt bieán soá ngaãu nhieân X vôùi trung

bình μ vaø phöông sai 2σ . Ta coù

( )2

2P X

σ− μ ≥ ε ≤ε

,

vôùi moïi 0ε > .

Chöùng minh. Tröôøng hôïp 1 : X laø bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc. Ta coù

( )

( ) ( )

( )

( )

22

x

2 2

x x

2

x

2

x

2

x f (x)

x f (x) x f (x)

x f (x)

f(x)

P X

−μ <ε −μ ≥ε

−μ ≥ε

−μ ≥ε

σ = − μ

= − μ + − μ

≥ − μ

≥ ε

= ε − μ ≥ ε

∑

∑ ∑

∑∑

Tröôøng hôïp 2 : X laø bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc. Töông töï nhö treân, ta coù

( )

( ) ( )

( )

( )

22

2 2

x x

2

x

2

x

2

x f (x)dx

x f (x)dx x f (x)dx

x f (x)dx

f(x)dx

P X

+∞

−∞

−μ <ε −μ ≥ε

−μ ≥ε

−μ ≥ε

σ = − μ

= − μ + − μ

≥ − μ

≥ ε

= ε − μ ≥ ε

∫

∫ ∫∫

∫

Toùm laïi, ta luoân coù

( )2

2P X

σ− μ ≥ ε ≤

ε.

Baèng caùch vieát

( ) ( )2

2P X 1 P X 1

σ− μ < ε = − − μ ≥ ε ≥ −

ε,

ta noùi raèng

Vôùi moïi soá döông ε cho tröôùc, xaùc suaát ñeå X laáy giaù trò trong khoaûng

( ),μ − ε μ + ε ít nhaát phaûi baèng2

21 σε

− .




40

2.5. Ñònh nghóa. Cho X laø bieán soá ngaãu nhieân vôùi haøm maät ñoä f(x) . Haøm soá

( )tXM(t) E e=

ñöôïc goïi laø haøm ñaëc tröng cuûa X.

Töø ñònh nghóa, ta coù

tx

x

M(t) e f (x)= ∑

khi X laø bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc, vaø

txM(t) e f (x)dx+∞

−∞= ∫

khi X laø bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.Khaùc vôùi caùc ñaïi löôïng trung bình vaø phöông sai, haøm ñaëc tröng khoâng

mang yù nghóa cuï theå lieân quan ñeán bieán soá ngaãu nhieân maø chæ laø moät coâng cuï

toaùn hoïc ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn lieân quan ñeán haøm maät ñoä cuûa caùc bieán ngaãunhieân. Ñeå tính trung bình vaø phöông sai cuûa X, ta laáy ñaïo haøm haøm ñaëc tröng

M(t) theo t,

( )tXM (t) E Xe′ =

vaø cho t 0= , ta ñöôïc

( )M (0) E X′ = = μ

vaø vôùi ñaïo haøm baäc hai( )2 tXM (t) E X e′′ =


( )2M (0) E X′′ = .

Suy ra

( ) ( )22 2 2E X M (0) M (0)′′ ′σ = − μ = − .

Ta ñöôïc

2.6. Meänh ñeà. Cho X laø bieán ngaãu nhieân vôùi trung bình μ , phöông sai 2σ vaø

haøm ñaëc tröng M(t) . Ta coù

M (0)′μ = ,

( )22 M (0) M (0)′′ ′σ = − .

Ngoaøi nhöõng tham soá ñaëc tröng cho bieán soá ngaãu nhieân neâu treân, ngöôøi tacoøn coù moät soá tham soá khaùc nhö sau :

Moát : Moát cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X, kyù hieäu ( )Mod X , laø giaù trò

0x cuûa X maø ( )0P X x= laø lôùn nhaát. Ngöôøi ta coøn noùi raèng ( )Mod X laø giaù trò tin




41

chaéc nhaát cuûa X. Trong tröôøng hôïp X laø bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc vôùi haøm maät

ñoä Xf (x) , thì ( )Mod X laø giaù trò 0x cuûa X sao cho ( ) X 0f x laø lôùn nhaát.

Trung vò : Trung vò cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân (rôøi raïc hay lieân tuïc), kyù hieäu( )Me X , laø giaù trò 0x cuûa X sao cho ( ) ( )0 0P X x P X x≤ = ≥ .

Chuù yù raèng Moát cuõng nhö trung vò cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân thì khoâng

duy nhaát.

Ví duï 12. Xeùt bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc X trong ví duï 3, vôùi baûng phaân

phoái xaùc suaát

X 0 1 2 3

P 18 3

8 3

8 1

8

Ta coù ( )Mod X 1= hay 2= vaø ( )1 Me X 2< < .

Ví duï 13. Cho bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc X vôùi haøm maät ñoä xaùc suaát

( ) [ ][ ]

Ax 3 x khi x 0,3f(x)

0 khi x 0,3

⎧ − ∈⎪= ⎨

∉⎪⎩

Xaùc ñònh haèng soá A. Vôùi haèng soá A tìm ñöôïc, tính ( )P X 2> , Xμ , Xσ ,

( )Mod X vaø ( )Me X .

Töø ñieàu kieän cho haøm maät ñoä xaùc suaát : f (x) 0≥ , x∀ ∈ , vaø f (x)dx 1+∞

−∞=∫ ,

ta ñöôïc A 0≥ vaø

( )3

0

9A1 Ax 3 x dx

2= − =∫

cho 29

A = .

( ) ( )3

292 2

7P X 2 f (x)dx x 3 x dx

27

+∞> = = − =∫ ∫ ,

( )3

22 X 90

3xf (x)dx x 3 x dx

2

+∞

−∞μ = = − =∫ ∫ ,

( ) ( )3

2 2 3290

27E X x f (x)dx x 3 x dx

10

+∞

−∞= = − =∫ ∫ ,

vaø do ñoù

( ) ( ) ( )222 2 27 3

X X 10 2

9E X

20σ = − μ = − = .

Ñeå tìm ( )Mod X , ta laäp baûng bieán thieân cho haøm maät ñoä baèng caùch xeùt daáu

ñaïo haøm cuûa noù. Töø ñoù suy ra 32

Mod(X) = .

Trung vò a Med(X)= ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän ( ) ( )P X a P X a≤ = ≥ . Ta

suy ra [ ]a 0,3∈ , vaø




42

( )a

3 2290

1 2 1x 3 x dx a a

2 27 3= − = − +∫ .

Töø caùc ñieàu kieän treân, ta ñöôïc 32Med(X) = .

Ngoaøi ra, ngöôøi ta coøn coù moät soá tham soá lieân quan ñeán hình daùng cuûa haøm

maät ñoä nhö sau : Vôùi X laø bieán soá ngaãu nhieân vôùi trung bình Xμ vaø phöông sai2 Xσ , giaù trò

( )( )( )3

X

1 3 X

E X X

− μγ =

σ

ñöôïc goïi laø heä soá ñoái xöùng cuûa X vaø giaù trò

( )( )( )4 X

2 4 X

E X X

− μγ =

σ

ñöôïc goïi laø heä soá nhoïn cuûa X.

Neáu ( )1 X 0γ = thì phaân phoái cuûa X laø ñoái xöùng; leäch phaûi khi ( )1 X 0γ > vaø

leäch traùi khi ( )1 X 0γ < . Ngoaøi ra giaù trò ( )2 Xγ caøng lôùn thì phaân phoái cuûa X

caøng nhoïn.

Cuoái cuøng, vôùi X laø bieán soá ngaãu nhieân coù trung bình Xμ , kyø voïng cuûa k X

ñöôïc goïi laø moâmen goác caáp k cuûa X, kyù hieäu km ,

( )kkm E X= ,

vaø kyø voïng cuûa ( )k

X X − μ ñöôïc goïi laø moâmen quy taâm caáp k cuûa X, kyù hieäu kt ,

( )( )kk Xt E X= − μ .

Chuù yù raèng 1 Xm = μ vaø 22 Xt = σ .

Ví duï 14. Ño ñöôøng kính moät chi tieát maùy (ñôn vò mm). Ta coù caùc soá lieäu :201; 203; 209; 204; 202; 206; 200; 207; 207.

Ta ñöôïc ñoä daøi trung bình chi tieát maùy

( ) X 1 201 203 209 ... 207 207 2049

μ = + + + + + = ,

phöông sai

( ) ( )( )2 22 X

1201 204 ... 207 204 9.5

9σ = − + + − = ,

heä soá ñoái xöùng

( ) ( )( )( )

32

3 319

1

201 204 ... 207 204(X) 0.058

9.5

− + + −γ = = ,

vaø heä soá nhoïn




43

( ) ( )( )( )

4 419

2 2

201 204 ... 207 204(X) 1.33

9.5

− + + −γ = = − .

3. VECTÔ NGAÃU NHIEÂN

Trong phaàn naøy, ta chæ xeùt vectô ngaãu nhieân coù hai thaønh phaàn vaø hôn nöõa,caùc thaønh phaàn cuûa vectô ngaãu nhieân naøy phaûi cuøng loaïi, nghóa laø cuøng laø bieán soá

ngaãu nhieân rôøi raïc hay lieân tuïc. Ta phaân bieät hai tröôøng hôïp

A. Vectô ngaãu nhieân rôøi raïc

Xeùt vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= . Giaû söû X, Y laàn löôït laáy caùc giaù trò

1 2 3 X x , x , x ,...=

1 2 3 Y y , y , y , ...=

Ñaët ( )( ) ( )ij i j i jp P V x , y P X x ; Y y= = ≡ = = . Ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát

Y

X1y 2y 3y ... XP

1x 11p 12p 13p ... 1.p

2x 21p 22p 23p ... 2.p

3x 31p 32p 33p ... 3.p

... ... ... ... ... ...

YP .1p .2p .3p ... 1

3.1. Maät ñoä ñoàng thôøi.

Haøm soá

( ) ( )

( ) ( )

ij i j

i j

p khi x, y x , yf(x,y)

0 khi x, y x , y , i, j

⎧ =⎪= ⎨≠ ∀⎪⎩

ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä ñoàng thôøi, hay vaén taét laø haøm maät ñoä, cuûa ( ) V X, Y= .


(i) f (x, y) 0≥ , ( )x, y∀ , vaø(ii)

x,y

f (x, y) 1=∑ .

3.2. Maät ñoä thaønh phaàn.

Töø baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa ( ) V X, Y= , ta coù theå suy ra ñöôïc caùc baûng

phaân phoái xaùc suaát cho X vaø Y. Cuï theå, do




44

( ) ( )

( ) ( )

( )

k k 1 2 3

k 1 k 2

k 3

k1 k2 k3

kj k. j

P X x P X x ;Y y , y , y , ...

P X x ; Y y P X x ; Y y

P X x ; Y y ...p p p ...

p p

= = = =

= = = + = = +

+ = = += + + +

= ≡∑

neân ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát cho X

X 1x 2x 3x ...

P 1.p 2.p 3.p ...

vaø haøm maät ñoä cuûa X

Xy

f (x) f (x, y)≡

∑

ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä thaønh phaàn X cuûa V. Töông töï,

( ) ( )k 1 2 3 k

1k 2k 3k

ik .k

i

P Y y P X x , x ,x , ...; Y y

p p p ...

p p

= = = =

= + + +

= ≡∑

neân ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát cho Y

Y 1y 2y 3y ...

P .1p .2p .3p ...

vaø haøm maät ñoä cuûa Y

Y

x

f (y) f (x, y)≡ ∑

ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä thaønh phaàn Y cuûa V.

3.3. Maät ñoä coù ñieàu kieän.

Ñeå khaûo saùt bieán soá ngaãu nhieân X khi bieát Y xaûy ra, ta caàn tính xaùc suaát coù

ñieàu kieän ( )P X Y . Cuï theå,

( ) ( )

( )i j ij

i j.j j

P X x ; Y y pP X x Y y

pP Y y

= == = = =

=

vaø ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa ( ) j X Y y=

( ) j X Y y= 1x 2x 3x ...

P 1 j

.j

p

p2 j

.j

p

p3 j

.j

p

p...

Toång quaùt




45

( ) ( )

( ) Y

P X x; Y y f(x,y)P X x Y y

P Y y f (y)

= == = = =

=

vaø haøm soá

X Y Y

f(x,y)f (x)

f (y)=

ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä coù ñieàu kieän cuûa X, khi bieát Y y= .

Töông töï, haøm soá

Y X X

f(x,y)f (y)

f (x)=

ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä coù ñieàu kieän cuûa Y, khi bieát X x= .

3.4. Bieán soá ngaãu nhieân ñoäc laäp.

Vôùi hai bieán soá ngaãu nhieân X, Y, ta noùi X ñoäc laäp vôùi Y neáu haøm maät ñoä coùñieàu kieän cuûa X, khi bieát Y y= , khoâng phuï thuoäc vaøo y, nghóa laø

X X Yf (x) f (x)= ,

vaø do ñoù,

X Yf (x, y) f (x)f (y)= .

Töø ñoù suy ra

Y Y X

X

f(x,y)f (y) f (y)

f (x)= =

vaø do ñoù, Y cuõng ñoäc laäp vôùi X.

Ví duï 15. Cho vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= vôùi baûng phaân phoái xaùc suaát

Y X

0 1

0 0.3 0.35

1 0.15 0.2

Taäp caùc giaù trò cuûa V laø ( ) ( ) ( ) ( ){ }0, 0 , 0,1 , 1, 0 , 1,1 vaø haøm

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0.3 khi x, y 0,0

0.35 khi x, y 0,1

f(x,y) 0.15 khi x, y 1, 0

0.2 khi x, y 1,1

0 caùc tröôøng hôïp khaùc

⎧ =⎪ =⎪⎪= =⎨⎪ =⎪⎪⎩

laø haøm maät ñoä ñoàng thôøi cuûa V.

Ngoaøi ra, do




46

( ) ( ) ( )P X 0 P X 0; Y 0 P X 0; Y 1

0.3 0.35 0.65

= = = = + = =

= + =

( ) ( ) ( )P X 1 P X 1; Y 0 P X 1; Y 1

0.15 0.2 0.35

= = = = + = == + =

neân ta nhaän ñöôïc baûng phaân phoái xaùc suaát cho X,

X 0 1

P 0.65 0.35

vaø haøm maät ñoä thaønh phaàn Xf cuûa bieán soá ngaãu nhieân X,

X

0.65 khi x 0

f (x) 0.35 khi x 1

0 khi x 0,1

=⎧⎪

= =⎨⎪ ≠⎩

Töông töï, ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát cho Y vaø haøm maät ñoä thaønh phaàn

Yf ,

Y 0 1

P 0.45 0.55

Y

0.45 khi y 0

f (y) 0.55 khi y 1

0 khi y 0,1

=⎧⎪

= =⎨⎪

≠⎩

Do X Yf (x, y) f (x)f (y)≠ neân hai bieán soá ngaãu nhieân X vaø Y khoâng ñoäc laäp vôùi

nhau.

B. Vectô ngaãu nhieân lieân tuïc

Môû roäng caùc khaùi nieäm cuûa vectô ngaãu nhieân rôøi raïc cho vectô ngaãu nhieân

lieân tuïc ( ) V X, Y= , ta coù

3.5. Maät ñoä ñoàng thôøi.

Haøm soá f(x,y) ñöôïc goïi laø haøm maät ñoä ñoàng thôøi, hay vaén taét laø haøm maät

ñoä, cuûa ( ) V X, Y= , neáu vôùi moïi a,b,c,d ∈ , a b≤ , c d≤ , ta coù

( )d b

c aP a X b; c Y d f (x, y)dxdy≤ ≤ ≤ ≤ = ∫ ∫ .


(i) f (x, y) 0≥ , ( )x, y∀ , vaø

(ii) f (x, y)dxdy 1∞ ∞

−∞ −∞=∫ ∫ .




47

3.6. Maät ñoä thaønh phaàn.

Haøm maät ñoä thaønh phaàn X vaø Y cuûa V ñöôïc laàn löôït xaùc ñònh theo haøm maät

ñoä ñoàng thôøi f(x,y) cuûa V bôûi

Xf (x) f (x, y)dy∞

−∞= ∫ ,

Yf (y) f (x, y)dx∞

−∞= ∫ .

3.3. Maät ñoä coù ñieàu kieän.

Haøm maät ñoä coù ñieàu kieän cuûa X, khi bieát Y y= vaø haøm maät ñoä coù ñieàu kieän

cuûa Y, khi bieát X x= laàn löôït cho bôûi

X Y Y

f(x,y)

f (x) f (y)= ,

Y X X

f(x,y)f (y)

f (x)= .

3.7. Bieán soá ngaãu nhieân ñoäc laäp.

Vôùi hai bieán soá ngaãu nhieân X, Y, ta noùi X ñoäc laäp vôùi Y neáu haøm maät ñoä coù

ñieàu kieän cuûa X, khi bieát Y y= , khoâng phuï thuoäc vaøo y, nghóa laø

X X Yf (x) f (x)=

vaø do ñoù, X Yf (x, y) f (x)f (y)=

Töø ñoù suy ra

Y Y X X

f(x,y)f (y) f (y)

f (x)= =

vaø do ñoù, Y cuõng ñoäc laäp vôùi X.

4. THAM SOÁ ÑAËC TRÖNG VECTÔ NGAÃU NHIEÂN

Xeùt vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= vôùi haøm maät ñoä xaùc suaát f(x,y) vaø

( )u X, Y laø moät haøm theo vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= . Kyø voïng cuûa ( )u X, Y ñöôïc

xaùc ñònh laø

( )( )x,y

E u X, Y u(x, y)f (x, y)= ∑

khi X, Y laø caùc bieán ngaãu nhieân rôøi raïc, vaø

( )( )E u X, Y u(x, y)f (x, y)dxdy+∞ +∞

−∞ −∞= ∫ ∫




48


Ta coù

4.1. Trung bình thaønh phaàn.

Ñeå tính trung bình cuûa X hay Y, ta coù theå söû duïng caùc coâng thöùc cho bieán soá

ngaãu nhieân baèng caùch duøng caùc haøm maät ñoä thaønh phaàn Xf (x) vaø Yf (y) . Ngoaøi

ra, ta cuõng coù theå tính trung bình cuûa X hay Y töø haøm maät ñoä ñoàng thôøi f(x,y)

baèng caùch laáy ( )u X, Y X= vaø ( )u X, Y Y= , nghóa laø

X

x,y

xf(x,y)μ = ∑

khi X laø bieán rôøi raïc, vaø

X xf(x, y)dxdy+∞ +∞

−∞ −∞μ = ∫ ∫

khi X laø bieán lieân tuïc. Töông töï cho Yμ .

4.2. Phöông sai thaønh phaàn.

Töông töï nhö treân, ñeå tính phöông sai cuûa X hay Y, ta coù theå söû duïng caùccoâng thöùc cho bieán soá ngaãu nhieân baèng caùch duøng caùc haøm maät ñoä thaønh phaàn

Xf (x) vaø Yf (y) . Ngoaøi ra, ta cuõng coù theå tính töø haøm maät ñoä ñoàng thôøi f(x,y)

baèng caùch laáy ( ) ( )2

Xu X, Y X= − μ vaø ( ) ( )2

Yu X, Y Y= − μ , nghóa laø

( )22

X X

x,y

x f (x, y)σ = − μ∑

khi X laø bieán rôøi raïc, vaø

( )22

X Xx f (x, y)dxdy+∞ +∞

−∞ −∞σ = − μ∫ ∫

khi X laø bieán lieân tuïc. Töông töï cho 2 Yσ .

Quan troïng hôn, ta coøn coù ñaïi löôïng ñaùnh giaù söï thay ñoåi phuï thuoäc tuyeán

tính vaøo nhau giöõa caùc bieán soá ngaãu nhieân thaønh phaàn cuûa moät vectô ngaãu nhieân

maø ta goïi laø heä soá töông quan nhö sau

Cho ( ) V X, Y= laø moät vectô ngaãu nhieân vôùi Xμ , Yμ laàn löôït laø trung bình

cuûa X, Y. Kyø voïng cuûa ( ) ( ) ( ) X Yu X, Y X Y= − μ − μ ñöôïc goïi laø moment töông quan

hay hieäp phöông sai cuûa ( ) X, Y , kyù hieäu ( )cov X,Y . Ta coù

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) X Y X Y

x,y

cov X, Y E X Y x y f (x, y)≡ − μ − μ = − μ − μ∑

khi X, Y rôøi raïc, vaø




49

( ) ( ) ( ) X Ycov X, Y x y f (x, y)dxdy+∞ +∞

−∞ −∞= − μ − μ∫ ∫

khi X, Y lieân tuïc.Ta coù keát quaû sau

4.3. Meänh ñeà.

( ) ( ) X Ycov X, Y E XY= − μ μ .

Chöùng minh. Ta coù

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

X Y

X Y X Y

X Y X Y X Y

cov X, Y E X Y

E XY Y X

E XY E Y E X

E XY

= − μ − μ

= − μ − μ + μ μ

= − μ − μ + μ μ

= − μ μ

Heä soá töông quan cuûa ( ) X, Y , kyù hieäu ( ) X, Yρ , ñöôïc ñònh nghóa laø

( ) ( )

X Y

cov X,Y X, Yρ =

σ σ.

Ví duï 16. Vôùi vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= cho bôûi baûng phaân phoái xaùc suaát

Y X

1 1− 0 X

P

0 0.1 0.3 0.1 0.5

1 0 0.2 0.3 0.5

YP 0.1 0.5 0.4 1

ta coù

X Xx

xf (x) 0 0.5 1 0.5 0.5μ = = ⋅ + ⋅ =∑ ,

2 2 2 2 2 2 X X X

xx f (x) 0 0.5 1 0.5 0.5 0.25σ = − μ = ⋅ + ⋅ − =∑ ,

( ) Y 1 0.1 0 0.5 1 0.4 0.3μ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ,

( ) ( )2 22 2 2

X 1 0.1 0 0.5 1 0.4 0.3 0.41σ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ,

( ) X X Yx,y

cov X, Y xyf (x, y) 0.15= = −μ μ =∑ ,

( ) ( )

X Y

cov X,Y 0.15 X, Y 0.47

0.25 0.41ρ = = =

σ σ ⋅.




50

4.4. Ñònh nghóa. Haøm soá hai bieán ( )sX tYM(s, t) E e += ñöôïc goïi laø haøm ñaëc tröng

cuûa vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= .


sx ty

x,y

M(s, t) e f (x, y)+= ∑

khi X, Y rôøi raïc, vaø

sx tyM(s, t) e f (x, y)dxdy+∞ +∞

+

−∞ −∞= ∫ ∫

khi X, Y lieân tuïc.

4.5. Ñònh lyù. Xeùt vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= , ( )u X vaø ( )v Y laàn löôït laø hai

haøm theo X vaø Y. Neáu X, Y ñoäc laäp, ta coù ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )E u X v Y E u X E v Y= .

Chöùng minh. Khi X, Y rôøi raïc, ta coù

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

x,y

X Yx,y

X Yx y

E u X v Y u(x)v(y)f (x, y)

u(x)v(y)f (x)f (y)

u(x)f (x) v(y)f (y)

E u X E v Y

=

=

=

=

∑

∑

∑ ∑

Töông töï cho tröôøng hôïp X, Y lieân tuïc.

4.6. Ñònh lyù. Xeùt vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= . Neáu X, Y ñoäc laäp vaø Z X Y= + thì

Z X YM (t) M (t)M (t)= .


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

t X YtZ tX tYZ

tX tX X Y

M (t) E e E e E e e

E e E e M (t)M (t)

+= = =

= =

Baøi taäp.

1. Coù hai thuøng thuoác A vaø B, trong ñoù :

− thuøng A coù 20 loï goàm 2 loï hoûng vaø 18 loï toát,

− thuøng B coù 20 loï goàm 3 loï hoûng vaø 17 loï toát,

a) Laáy ôû moãi thuøng 1 loï. Goïi X laø soá loï hoûng trong 2 loï laáy ra. Tìm haøm maät ñoä

cuûa X.




51

b) Laáy ôû thuøng B ra 3 loï. Goïi Y laø soá loï hoûng trong 3 loï laáy ra. Tìm haøm maät ñoä

cuûa Y.

2. Moät xaï thuû baén bia vôùi xaùc suaát baén truùng bia laø p 0.6= . Coù 5 vieân ñaïn ñöôïcbaén laàn löôït vaø xaï thuû seõ döøng baén khi heát ñaïn hay ngay khi coù moät vieân ñaïn

truùng bia. Goïi X laø soá laàn baén. Tìm haøm maät ñoä cuûa X. Tính trung bình μ vaø

phöông sai 2σ .

3. Moät thuøng ñöïng 10 loï thuoác trong ñoù coù 1 loï hoûng. Ta kieåm tra töøng loï (khoânghoaøn laïi) cho ñeán khi phaùt hieän ñöôïc loï hoûng thì döøng. Goïi X laø soá laàn kieåm tra.

Tìm haøm maät ñoä cuûa X. Tính trung bình μ vaø phöông sai 2σ .

4. Goïi X laø tuoåi thoï cuûa con ngöôøi. Moät coâng trình nghieân cöùu cho bieát haøm maät

ñoä cuûa X laø

( )22cx 100 x khi 0 x 100

f(x)0 khi x 0 hay x 100

⎧⎪ − ≤ ≤= ⎨< >⎪⎩

a) Xaùc ñònh haèng soá c,b) Tính trung bình vaø phöông sai cuûa X,

c) Tính xaùc suaát cuûa moät ngöôøi coù tuoåi thoï 60≥ ,

d) Tính xaùc suaát moät ngöôøi coù tuoåi thoï 60≥ , bieát raèng ngöôøi ñoù hieän nay ñaõ 50

tuoåi.

5. Cho vectô ngaãu nhieân coù baûng phaân phoái xaùc suaát

Y X

1 2 3

0 0.1 0.2 0.1

1 0.2 0.2 0.2

a) Tìm caùc haøm maät ñoä thaønh phaàn Xf (x) , Yf (y) ,

b) Tìm caùc trung bình Xμ , Yμ , caùc phöông sai 2 Xσ , 2

Yσ vaø heä soá töông quan

( ) X, Yρ .

6. Cho vectô ngaãu nhieân coù haøm maät ñoä

( ) ( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

2c x y khi x, y 0,1 0,1

f(x,y)0 khi x, y 0,1 0,1

⎧ + ∈ ×⎪= ⎨

∉ ×⎪⎩

a) Tìm caùc haøm maät ñoä thaønh phaàn Xf (x) , Yf (y) ,

b) Tìm caùc trung bình Xμ , Yμ , caùc phöông sai 2 Xσ , 2

Yσ vaø heä soá töông quan

( ) X, Yρ .




52

7. Cho vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= , vôùi X, Y ñoäc laäp. Giaû söû X, Y coù trung bình

laàn löôït laø Xμ , Yμ vaø phöông sai 2 Xσ , 2

Yσ . Ñaët Z X Y= α + β . Chöùng minh raèng

a) Z X Yμ = αμ + βμ ,

b) 2 2 2 2 2Z Z Zσ = α σ + β σ

8. Cho vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= . Ñaët Z X Y= + . Chöùng minh raèng

Z X Yμ = μ + μ vaø ( )2 2 2Z X X Y Y2 X, Yσ = σ + ρ σ σ + σ

Suy ra raèng, neáu X vaø Y khoâng töông quan, nghóa laø ( ) X, Y 0ρ = , thì

2 2 2Z X Yσ = σ + σ .

9. Cho vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= coù baûng phaân phoái xaùc suaát

Y

X

0 1

1− 13

0

0 0 13

1 13

0

a) Tính trung bình vaø phöông sai cuûa X vaø Y,

b) Tính heä soá töông quan ( ) X, Yρ ,

c) X vaø Y coù ñoäc laäp khoâng ?

10. Chöùng minh raèng neáu vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= coù X, Y ñoäc laäp thì

( ) X, Y 0ρ = .

11. Chöùng minh raèng vôùi moïi vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= , ta coù heä soá töông

quan ( ) X, Yρ thoûa

( )1 X, Y 1− ≤ ρ ≤ .




53

Chöông 3

PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁTTrong chöông naøy, chuùng ta laàn löôït khaûo saùt caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng

duïng cuûa bieán soá ngaãu nhieân. Tröôùc heát, xuaát phaùt töø löôïc ñoà Bernoulli khi tathöïc hieän nhieàu laàn moät pheùp thöû τ moät caùch ñoäc laäp vaø xeùt X laø soá laàn xuaáthieän moät bieán coá A vôùi ( )P A 0> trong n laàn thöïc hieän pheùp thöû τ .

Tröôøng hôïp n 1= , ta coù X 0,1= vaø ta coù baûng phaân phoái xaùc suaát

X 0 1

P 1 p− p

Do ñoù, ta coù haøm maät ñoä

( )1 xx

1 p khi x 0

f (x) p khi x 1

0 khi x 0,1

p 1 p khi x 0,1

0 khi x 0,1

−

− =⎧⎪

= =⎨⎪ ≠⎩

⎧⎪ − == ⎨≠⎪⎩

vaø ta noùi X tuaân theo luaät phaân phoái Bernoulli, kyù hieäu ( ) X B 1;p∼

. Ta suy raTrung bình : ( ) X 0 1 p 1 p pμ = − + ⋅ = ,

Phöông sai : ( ) ( )2 2 2 2 X 0 1 p 1 p p p 1 pσ = − + ⋅ − = − ,

Haøm ñaëc tröng : tM(t) 1 p pe= − + .

Toång quaùt, ta coù

1. PHAÂN PHOÁI NHÒ THÖÙC ( )B n; p

Trong löôïc ñoà Bernoulli, khi ta thöïc hieän pheùp thöû τ moät caùch ñoäc laäp n laànvaø xeùt X laø soá laàn xuaát hieän cuûa bieán coá A, vôùi ( )P A 0> , thì X 0,1,2,..., n= vaø do

Ñònh lyù Bernoulli,( ) ( )

n kk knP X k C p 1 p −= = − ,

vôùi k 0,1,2, ...,n= , vaø do ñoù, haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laø

( )n xx x

nC p 1 p khi x 0,1,2,...,nf(x)0 khi x 0,1, 2, ..., n

−⎧⎪ − == ⎨≠⎪⎩

vaø ta coù

1.1. Ñònh nghóa. Bieán soá ngaãu nhieân X goïi laø coù phaân phoái theo luaät nhò thöùc, kyùhieäu ( ) X B n;p∼ , neáu haøm maät ñoä cuûa X coù daïng




54

( )n xx x

nC p 1 p khi x 0,1,2,...,nf(x)0 khi x 0,1, 2, ..., n

−⎧⎪ − == ⎨≠⎪⎩

Ví duï 1. Trong moät vuøng daân cö coù 65% gia ñình coù maùy giaët, choïn ngaãunhieân 12 gia ñình. Goïi X laø soá gia ñình coù maùy giaët trong soá 12 gia ñình naøy.

Ta coù ( ) X B 12;0.65∼ vaø ta coù theå tính moät soá xaùc suaát treân X nhö :

Xaùc suaát ñeå nhaän ñöôïc ñuùng 5 gia ñình coù maùy giaët laø

( ) ( ) ( )5 12 55

12P X 5 C 0.65 1 0.65 0.0591−= = − ≈ ,

vaø xaùc suaát ñeå coù ít nhaát 2 gia ñình coù maùy giaët laø

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )12 11

P X 2 1 P X 0 P X 1

1 0.35 12 0.65 0.35 0.999.

≥ = − ⎡ = + = ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + ≈⎣ ⎦

1.2. Meänh ñeà. Cho bieán soá ngaãu nhieân ( ) X B n;p∼ . Vôùi q 1 p= − , ta coù

i) trung bình : X npμ = ,

ii) phöông sai : 2 X npqσ = ,

iii) giaù trò tin chaéc nhaát : ( ) 0Mod X k= , vôùi 0k laø soá nguyeân thoûa baát

phöông trình 0np q k np q 1− ≤ ≤ − + .

Chöùng minh. Ta coù haøm ñaëc tröng cuûa X laø

( ) ( ) ( )

( )

n n xn x n xtx x x x tn n

x 0 x 0

nt

M(t) e C p 1 p C pe 1 p

1 p pe

− −

= =

= − = −

= − +

∑ ∑

Laáy ñaïo haøm, ta coù

( )n 1t tM (t) n 1 p pe pe

−′ = − +


( )E X M (0) np′μ = = = .

Laáy ñaïo haøm baäc hai,( ) ( ) ( ) ( )

n 2 2 n 1t t t tM (t) n n 1 1 p pe pe n 1 p pe pe− −

′′ = − − + + − +

vaø do ñoù,

( )

( ) ( )

22

22 2

M (0) M (0)

n n 1 p np np np np

np(1 p).

′′ ′σ = −

⎡ ⎤= − + − = −⎣ ⎦= −

Ví duï 2. Moät nhaân vieân tieáp thò baùn haøng ôû 5 choã khaùc nhau trong ngaøy. Xaùc suaát baùn ñöôïc haøng ôû moãi nôi ñeàu laø 0.4.




55

a) Tìm xaùc suaát ñeå nhaân vieân naøy baùn ñöôïc haøng trong ngaøy.

b) Moãi naêm nhaân vieân naøy ñi baùn haøng 330 ngaøy. Goïi Y laø soá ngaøy baùn

ñöôïc haøng trong naêm. Tìm giaù trò tin chaéc nhaát cuûa Y, nghóa laø tìm soá ngaøy baùnñöôïc haøng nhieàu khaû naêng nhaát trong moät naêm.

Goïi X laø toång soá nôi baùn ñöôïc haøng trong ngaøy. Ta coù ( ) X B 5;0.4∼ . Do ñoù,

xaùc suaát ñeå baùn ñöôïc haøng trong ngaøy laø

( ) ( ) ( ) ( )0 5 00

5P X 1 1 P X 0 1 C 0.4 1 0.4 0.92224.−≥ = − = = − − ≈

Ta coù ( ) Y B 330;0.92224∼ vaø do ñoù, soá ngaøy baùn ñöôïc haøng nhieàu khaû naêng

nhaát laø ( )0k Mod Y= , vôùi 0k ∈ thoûa

0330 0.92224 0.07776 k 330 0.92224 0.07776 1⋅ − ≤ ≤ ⋅ − + .

Töø ñoù, suy ra 0k 305= . Vaäy soá ngaøy baùn ñöôïc haøng coù nhieàu khaû naêng

trong moät naêm laø 305.

Ví duï 3. Moät loâ thuoác goàm 10 loï trong ñoù coù 2 loï thuoác hoûng. Laáy ngaãunhieân 5 loï töø loâ thuoác, coù hoaøn laïi. Goïi X laø soá loï hoûng trong 5 loï laáy ra. Tìm haømmaät ñoä cuûa X.

Xeùt pheùp thöû τ : “laáy moät loï töø loâ thuoác” vaø bieán coá A : “nhaän ñöôïc loï

hoûng” . Ta coù ( ) 210p P A 0.2= = = . Vieäc laáy 5 loï coù hoaøn laïi töø loâ thuoác cuõng chính

laø vieäc thöïc hieän pheùp thöû τ naêm laàn ñoäc laäp nhau vaø X laø soá laàn bieán coá A xuaáthieän trong 5 laàn thöïc hieän pheùp thöû. Do ñoù ( ) X B 5;0.2∼ vaø ta ñöôïc haøm maät ñoä

cuûa X( ) ( )

x 5 xx5C 0.2 0.8 khi x 0,1,2, 3, 4,5f(x)

0 khi x 0,1, 2, 3,4,5

−⎧⎪ == ⎨≠⎪⎩

Chuù yù raèng trong ví duï treân, neáu ta laáy 5 loï thuoác töø loâ thuoác nhöng khoânghoaøn laïi thì X khoâng thoûa phaân phoái nhò thöùc. Baèng caùch xeùt pheùp thöû τ : “laáy 5

loï thuoác töø loâ thuoác” vôùi khoâng gian maãu Ω vaø xeùt bieán coá k A : “nhaän ñöôïc ñuùng

k loï hoûng” , ta coù X 0,1,2,3,4,5= vaø ( ) ( )kP X k P A= = . Khi k 3, 4, 5= , k A = ∅

vaø khi k 0,1, 2= thì do Ω coù 510C phaàn töû vaø k A coù k 5 k

2 8C C − phaàn töû (xem ví duï 2

chöông 0 vaø ví duï 13 chöông 1), ta coù

( ) ( )k 5 k2 8

k 510

C CP X k P A

C

−

= = =

vaø do ñoù, ta nhaän ñöôïc haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laøx 5 x2 8

210

C C

Ckhi x 0,1, 2

f(x)0 khi x 0,1,2

−⎧ =⎪= ⎨

⎪ ≠⎩

Toång quaùt, neáu ta laáy n phaàn töû töø moät taäp hôïp coù N phaàn töû, trong ñoù coù Kphaàn töû mang tính chaát Τ vaø goïi X laø soá phaàn töû mang tính chaát Τ nhaän ñöôïctrong n phaàn töû laáy ra, thì X chæ coù theå laáy caùc giaù trò töø 0 ñeán n vaø




56

( )k n kK N K

nN

C CP X k

C

−−= = .

Hôn nöõa, chuù yù raèng khi k K > hay k n N K < − + thì bieán coá X k= laøkhoâng theå coù. Do ñoù, ta coù haøm maät ñoä cho X,

x n xK N K

nN

C Cf(x)

C

−−=

khi ( )x max 0,n N K ≥ − + vaø ( )x min n,K ≤ , vaø f (x) 0= trong caùc tröôøng hôïp coøn

laïi.

Töø ñoù, ta coù

2. PHAÂN PHOÁI SIEÂU BOÄI( )

H N, K, n

2.1. Ñònh nghóa. Bieán soá ngaãu nhieân X goïi laø coù phaân phoái theo luaät sieâu boäi, kyùhieäu ( ) X H N,K, n∼ , neáu haøm maät ñoä cuûa X coù daïng

x n xK N K

nN

C Cf(x)

C

−−=

khi ( )x max 0,n N K ≥ − + vaø ( )x min n,K ≤ , vaø f(x) 0= trong caùc tröôøng hôïp coøn

laïi.

Ta coù moät soá tính chaát sau :

(i) ( )x n xK N K

nNx x

C CP X x 1

C

−− = = =∑ ∑ ,

(ii)x 1 (n 1) (x 1)x n xK 1 (N 1) (K 1)K N K

n (n 1)N (N 1)

C CC C K k n

NC C

− − − −−− − − −−

−−

= ,

(iii)x 2 (n 2) (x 2)x n xK 2 (N 2) (K 2)K N K

n (n 2)N (N 2)

C CC C K(K 1)n(n 1)k(k 1)

N(N 1)C C

− − − −−− − − −−

−−

− −− =

−.

Töø ñoù, ta chöùng minh ñöôïc

2.2. Meänh ñeà. Cho bieán soá ngaãu nhieân ( ) X H N,K, n∼ . VôùiK pN

= vaø q 1 p= − ,

ta coù

i ) trung bình : X npμ = ,

ii) phöông sai : 2 X

N nnpq

N 1−

σ =−

.




57

Ví duï 4. Töø moät hoäp ñöïng 15 quaû cam trong ñoù coù 5 quaû hö, laáy ra 3 quaû.Goïi X laø soá quaû hö trong 3 quaû laáy ra. Ta coù ( ) X H 15,5,3∼ . Xaùc suaát ñeå caû 3 quaû

ñeàu hö laø( )

3 05 10

315

C CP X 3 0.021978

C= = ≈ .

Ngoaøi ra, trung bình (kyø voïng) vaø phöông sai cuûa X laø 5 X 153 1μ = ⋅ = vaø

( )2 5 5 15 3 12 X 15 15 15 1 213 1 −

−σ = ⋅ ⋅ − = .

Hôn nöõa, neáu tyû leäK

pN

= khoâng ñoåi vaø N → ∞ (khi ñoù, ta cuõng coù K → ∞ )

thì quy luaät phaân phoái sieâu boäi tieán veà quy luaät phaân phoái nhò thöùc, nghóa laø neáu( ) X H N,K, n∼ , thì

( ) ( )n kk k

nP X k C p 1 p −= → − ,

khi N → ∞ , vôùi moïi k 0,1, ..., n= .

Noùi khaùc ñi, neáu ( ) X H N,K, n∼ vaø n khaù nhoû so vôùi N, thì ñeå tính xaùc suaát

( )P X k= , ta coù theå xaáp xæ noù baèng phaân phoái nhò thöùc ( ) X B n;p∼ , vôùiK

pN

= .

Ví duï 5. Moät loâ thuoác lôùn coù tyû leä thuoác hoûng laø p 0.2= , laáy ngaãu nhieân 5

loï. Goïi X laø soá loï hoûng trong 5 loï laáy ra. Tìm haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X.

Ta coù ( ) X H N,K, 5∼ , vôùi N laø soá loï trong loâ thuoác vaø K laø soá loï hoûng. Do Nlôùn vaø K

N 0.2= neân ta coù theá xaáp xæ baèng phaân phoái nhò thöùc, ( ) X B 5;0.2∼ , vôùi

haøm maät ñoä

( ) ( )x 5 xx

5C 0.2 0.8 khi x 0,1, ...,5f(x)0 khi x 0,1, ...,5

−⎧⎪ == ⎨≠⎪⎩

vaø baûng phaân phoái xaùc suaát

X 0 1 2 3 4 5

P 0.328 0.409 0.205 0.051 0.007 0.000

Vieäc xaáp xæ phaân phoái sieâu boäi baèng phaân phoái nhò thöùc neâu treân coøn coù theåphaùt bieåu laïi nhö sau :

Cho moät toång theå Ω coù N phaàn töû, trong ñoù coù K phaàn töû mang tính chaát Τ naøo ñoù. Xeùt pheùp thöû τ : “laáy moät phaàn töû cuûa toång theå” vaø bieán coá A : “nhaän

ñöôïc phaàn töû coù tính chaát Τ ” , ta coù ( ) K NP A p= ≡ . Laáy n phaàn töû töø Ω vaø goïi X

laø soá phaàn töû mang tính chaát Τ trong n phaàn töû laáy ra, ta coù :

Neáu ta laáy maãu coù hoaøn laïi, thì ( ) X B n;p∼ ;




58

Neáu ta laáy maãu khoâng hoaøn laïi, thì ( ) X H N,K, n∼ . Tuy nhieân, neáu côõ maãu

n khaù nhoû so vôùi kích thöôùc toång theå N thì ta coù theå xaáp xæ phaân phoái xaùc suaát

cuûa X baèng phaân phoái nhò thöùc, ( ) X B n;p∼ , vôùi ( )K NP A p= ≡ . Noùi khaùc ñi,

Khi côõ maãu khaù nhoû so vôùi kích thöôùc toång theå thì vieäc laáy maãu coù hoaøn laïi

hay khoâng hoaøn laïi laø nhö nhau.

Ngay caû vôùi phaân phoái nhò thöùc, ( ) X B n;p∼ . Khi côõ maãu n lôùn, vieäc tính

toaùn caùc xaùc suaát

( ) ( )n kk k

nP X k C p 1 p −= = − ,

vôùi k 0,1, ..., n= , khoâng ñôn giaûn do ta phaûi tính caùc giai thöøa m! vaø caùc luõy thöøamp , mq , vôùi m lôùn. Do ñoù, khi côõ maãu n lôùn, ngöôøi ta laïi xaáp xæ X baèng phaân

phoái Poisson hay phaân phoái chuaån tuøy theo giaù trò cuûa n vaø p. Tröôùc heát, ta coù

3. PHAÂN PHOÁI POISSON

3.1. Ñònh nghóa. Bieán soá ngaãu nhieân X goïi laø coù phaân phoái Poisson, kyù hieäu( ) X P μ∼ , neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X coù daïng

x

x !e khi x 0,1, ..., n, ...f(x)

0 khi x 0,1, ...,n, ...

μ−μ⎧ =⎪= ⎨

≠⎪⎩

Baèng caùch vieát

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

n k n kk k kn

k n kkk

n n 1 ... n k 1C p 1 p p 1 pk !

n n 1 ... n k 11np p 1 p

k ! n

− −

−

− − +− = −

− − += −

vaø vôùi np = μ khoâng ñoåi, khi n → ∞ , ta coù p 0→ vaø

( ) ( )kn

n n 1 ... n k 1lim 1

n→∞

− − += ,

( ) ( )pn k k

n p 0lim 1 p lim 1 p e

μ− − −μ

→∞ →− = − = .

Töø ñoù, suy ra

( )k

n kk knC p 1 p e

k !− −μ μ

− ≈

khi n khaù lôùn.

Noùi caùch khaùc, neáu ( ) X B n;p∼ , trong ñoù p ñuû nhoû vaø n ñuû lôùn, thì X ñöôïc

xem nhö coù phaân phoái Poisson ( )P μ , vôùi npμ = .




59

Ví duï 6. Tyû leä thuoác hoûng trong moät loâ thuoác lôùn laø p 0.05= . Laáy ngaãu

nhieân 20 loï. Goïi X laø soá loï hoûng nhaän ñöôïc. Tìm haøm maät ñoä cuûa X vaø so saùnh

vôùi giaù trò xaáp xæ bôûi phaân phoái Poisson.Do ( ) X B 20;0.05∼ neân noù coù haøm maät ñoä

( ) ( )x 20 xx

20C 0.05 1 0.05 khi x 0,1, ..., 20f(x)0 khi x 0,1, ..., 20

−⎧⎪ − == ⎨≠⎪⎩

Neáu ta xaáp xæ bôûi phaân phoái Poisson, nghóa laø ( ) X P μ∼ , vôùi

np 20 0.05 1μ = = ⋅ = , thì haøm maät ñoä trôû thaønh

x1 1x!e khi x 0,1, ..., 20

f(x)

0 khi x 0,1, ..., 20

−⎧ =⎪= ⎨

≠⎪⎩

vaø ta coù baûng so saùnh caùc phaân phoái xaùc suaát ( )B B 20;0.05≡ vaø ( )P P 1≡ nhö

sau

X 0 1 2 3 4 5 6 7

B 0.358 0.378 0.189 0.059 0.013 0.003 0.000 0.000

P 0.368 0.369 0.184 0.061 0.015 0.003 0.001 0.000

Keát quaû cho thaáy caùc sai soá khaù beù khi ta xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc ( )B n;p

bôûi phaân phoái Poisson ( )P np .

Trong öùng duïng, khi ( ) X B n;p∼ , trong ñoù

n 50> , p 0.01< vaø np 5< ,

thì ta coù theå duøng xaáp xæ ( ) X P np∼ .

Ñaëc bieät khi n 100≥ , p 0.01≤ vaø np 5< thì haøm maät ñoä cuûa ( )B n;p vaø

( )P np coi nhö truøng nhau.

Baây giôø, vôùi ( ) X B n;p∼ , ta coù

X npμ = = μ vaø ( )2 X np 1 pσ = −

neân khi n → ∞ ( p 0→ vaø np = μ ) thì 2 Xσ → μ vaø ta nhaän ñöôïc

3.2. Meänh ñeà. Cho ( ) X P μ∼ . Ta coù

2 X Xμ = σ = μ .

Ví duï 7. Moät maùy deät coù 5000 oáng sôïi. Xaùc suaát ñeå trong 1 phuùt, moät oángsôïi bò ñöùt laø 0.0002. Tìm xaùc suaát ñeå trong 1 phuùt, coù khoâng quaù 2 oáng sôïi bò ñöùt.




60

Goïi X laø bieán soá ngaãu nhieân chæ soá oáng sôïi bò ñöùt trong 1 phuùt. Ta coù( ) X B 5000;0.0002∼ vaø do ñoù, coù theå xaáp xæ baèng phaân phoái Poisson

( ) ( )P 5000 0.0002 P 1⋅ ≡ . Khi ñoù, xaùc suaát ñeå trong 1 phuùt, coù khoâng quaù 2 oáng sôïibò ñöùt laø

( )0 1 2

1 1 1

P 0 X 2 P(0) P(1) P(2)

1 1 1e e e

0! 1! 2!0.920

− − −

≤ ≤ = + +

= + +

≈

Ví duï 8. Taïi moät ñaïi lyù böu ñieän, caùc cuoäc goïi ñeán xuaát hieän ngaãu nhieân, ñoäclaäp vôùi nhau vaø coù toác ñoä trung bình 2 cuoäc goïi trong 1 phuùt. Bieát raèng soá cuoäc goïitrong moät khoaûng thôøi gian coá ñònh coù phaân phoái Poisson. Tìm xaùc suaát ñeå

a) coù ñuùng 5 cuoäc goïi trong 2 phuùt.

b) khoâng coù cuoäc goïi naøo trong khoaûng thôøi gian 30 giaây.

c) coù ít nhaát moät cuoäc goïi trong khoaûng thôøi gian 10 giaây.

Goïi X laø soá cuoäc goïi xuaát hieän trong khoaûng thôøi gian 2 phuùt. Ta coù

( ) X P 4∼ vaø do ñoù ( )54 4

5!P X 5 e 0.156−= = ≈ .

Goïi Y laø soá cuoäc goïi xuaát hieän trong khoaûng thôøi gian 30 giaây. Ta coù

( ) Y P 1∼ vaø do ñoù ( )01 1

0!P Y 0 e 0.3679−= = ≈ .

Goïi Z laø soá cuoäc goïi xuaát hieän trong khoaûng thôøi gian 10 giaây. Ta coù( )13Z P∼ vaø do ñoù

( ) ( ) ( )

011330!P Z 1 1 P Z 0 1 e 0.2835

−≥ = − = = − ≈ .

Vôùi caùc nhaän xeùt vaø ví duï neâu treân, ta coù theå noùi raèng khi côõ maãu n lôùn,phaân phoái Poisson duøng ñeå xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc ñoái vôùi caùc hieän töôïng

hieám, nghóa laø khi p vaø tích np nhoû.

Ñoái vôùi caùc hieän töôïng bình thöôøng, nghóa laø khi p cuõng nhö tích np khoâng

nhoû, ngöôøi ta duøng coâng thöùc Stirling ñeå xaáp xæ caùc giai thöøa,

mm mm! 2 m m e eθ−= π ⋅ ,

trong ñoù 1m 12mθ ≤ .

Töø ñoù, ngöôøi ta coù theå xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc cho caùc hieän töôïng bìnhthöôøng baèng phaân phoái chuaån nhö sau




61

4. PHAÂN PHOÁI CHUAÅN

Tröôùc heát, ta coù

4.1. Ñònh nghóa. Bieán soá ngaãu nhieân X goïi laø coù phaân phoái Gauss, kyù hieäu( ) X N 0;1∼ , neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laø

2x2

1f (x) e

2−

=π

, x−∞ < < ∞ .


4.2. Meänh ñeà. Cho bieán soá ngaãu nhieân ( ) X N 0;1∼ . Ta coù

i) trung bình X 0μ = ,

ii) phöông sai 2 X 1σ = .

Chöùng minh. Ta coù haøm ñaëc tröng cuûa X,2t2M(t) e= .

Do ñoù2t2M (t) te′ = ,

2 2t t2 22M (t) e t e′′ = + .

Töø ñoù suy ra

( )

X

22 X

M (0) 0

M (0) M (0) 1

′μ = =

′′ ′σ = − =

Toång quaùt, ta coù

4.3. Ñònh nghóa. Bieán soá ngaãu nhieân X goïi laø coù phaân phoái chuaån, kyù hieäu

( )2 X N ;μ σ∼ , neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laø

( )2x22

1f (x) e

2

−μ

σ−

=σ π

, x−∞ < < ∞ .

4.4. Meänh ñeà. Cho ( )2 X N ;μ σ∼ . Ta coù

i) trung bình Xμ = μ ,

ii) phöông sai 2 2 Xσ = σ .

Chöùng minh. Ta coù haøm ñaëc tröng cuûa X,2 2t2

tM(t) e

σμ += .




62

Do ñoù,

( )( )

2 2t2

2 2t2

t2

2 t2 2

M (t) t e

M (t) t e

σ

σ

μ +

μ +

′ = μ + σ

⎛ ⎞′′ = σ + μ + σ⎜ ⎟⎝ ⎠

Suy ra

( ) ( ) X

22 2 2 2 2 X

M (0)

M (0) M (0)

′μ = = μ

′′ ′σ = − = σ + μ − μ = σ

Phaân phoái chuaån vaø phaân phoái Gauss lieân heä vôùi nhau qua keát quaû sau

4.5. Meänh ñeà. Neáu ( )2 X N ;μ σ∼ vaø X Y −μσ

= , thì ( ) Y N 0;1∼ .

Chöùng minh. Ta coù haøm ñaëc tröng cho Y,

( )

( )

X tt

2t t2

t XtY Y

t X

M (t) E e E e E e e

e M e

−μ μσ σ σ

μσ

−

−σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

Do ñoù, ( ) Y N 0;1∼ .

Ví duï 9. Giaû söû raèng chieàu cao ngöôøi ta coù phaân phoái chuaån

( )

2 X N 160(cm);100(cm )∼ . Tính tyû leä soá ngöôøi coù chieàu cao trong khoaûng töø

150cm ñeán 170cm.

Do ( )2 X N 160;10∼ neân X 16010 Y N(0,1)−= ∼ . Vaäy

( ) ( )( )

150 160 170 16010 10P 150 X 170 P Y

P 1 Y 1 0.6826

− −≤ ≤ = ≤ ≤

= − ≤ ≤ =

nghóa laø coù khoaûng 68% soá ngöôøi coù chieàu cao trong khoaûng töø 150cm ñeán 170cm.

Phaân phoái nhò thöùc cho bieán soá ngaãu nhieân, ( ) X B n;p∼ , ñöôïc xaáp xæ baèng

phaân phoái chuaån thoâng qua caùc keát quaû sau maø ngöôøi ta goïi laø caùc ñònh lyùMoivre-Laplace.

4.6. Ñònh lyù giôùi haïn ñòa phöông Moivre-Laplace. Vôùi k 0,1, ..., n= baát kyø vaøk npnpq

x −= ,

( )2x2

n 12

npqP X klim 1

e→∞ −

π

== .




63

4.7. Ñònh lyù giôùi haïn tích phaân Moivre-Laplace. Vôùi moïi a, b ∈ , a b< ,

( )b np 2xnpq 2

a np

npqn

1lim P a X b e dx

2

−

−

−

→∞

≤ ≤ =

π ∫.

Caùc ñònh lyù Moivre-Laplace treân cho thaáy, khi ( ) X B n;p∼ vôùi n ñuû lôùn vaø

X

X

X X npnpq

Y −μ−σ= ≡ ,

( ) ( )( )2k X

22 X X

X

k

X

1P X k P Y e

2

−μ

σ−

−μσ

= = = ≈σ π

.

Suy ra ( ) Y N 0,1∼ vaø do ñoù ( )2 X X X N ;μ σ∼ . Töông töï, vôùi a, b ∈ , a b< ,

( ) ( )b X 2x

X X X 2a X X X

X

a b 1P a X b P Y e dx

2

−μσ

−μ

σ

−−μ −μσ σ

≤ ≤ = ≤ ≤ ≈π ∫ ,

vaø do ñoù ( ) Y N 0,1∼ . Töø ñoù suy ra ( )2 X X X N ;μ σ∼ .

Toùm laïi, vôùi ( ) X B n;p∼ vaø n ñuû lôùn thì ta coù theå xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc

baèng phaân phoái chuaån ( )2 X X X N ;μ σ∼ .

Ví duï 10. Trong 10.000 saûn phaåm treân moät daây chuyeàn saûn xuaát, coù 2.000saûn phaåm khoâng ñöôïc kieåm tra chaát löôïng. Tìm xaùc suaát ñeå trong 400 saûn phaåmsaûn xuaát ra

− coù 80 saûn phaåm khoâng ñöôïc kieåm tra,

− coù töø 70 ñeán 100 saûn phaåm khoâng ñöôïc kieåm tra.

Xeùt bieán soá ngaãu nhieân X chæ soá saûn phaåm khoâng ñöôïc kieåm tra trong soá400 saûn phaåm laáy ra. Ta coù ( ) X H 10.000, 2.000,400∼ vaø vì côõ maãu nhoû so vôùi

toång theå neân ta coù theå xaáp xæ baèng phaân phoái nhò thöùc, ( ) X B 400;0,2∼ . Töø ñoù

suy ra

( ) ( ) ( )80 32080

400P X 80 C 0.2 0.8= =

vaø

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

70 33070400

71 329 100 30071 100400 400

P 70 X 100 P X 70 P X 71 ... P X 100

C 0.2 0.8 ...

C 0.2 0.8 C 0.2 0.8

≤ ≤ = = + = + + =

= + +

+

Tuy nhieân, thay vì tính coâng thöùc phöùc taïp naøy, ta duøng caùc ñònh lyù Moivre-

Laplace ñeå xaáp xæ X bôûi phaân phoái chuaån ( )2N ;μ σ , vôùi np 80μ = = vaø

npq 8σ = = . Töø ñoù, suy ra ( ) X 808 Y N 0;1−= ∼ vaø ta ñöôïc

( ) ( )

( )

P X 80 P 79.5 X 80.5

P 0.0625 Y 0.0625 0.0478

= ≡ ≤ ≤

= − ≤ ≤ ≈




64

( ) ( )P 70 X 100 P 1.25 Y 2.5 0.8882≤ ≤ = − ≤ ≤ ≈ .

Chuù yù. Cho bieán soá ngaãu nhieân ( ) X B n;p∼ . Neáu ñoà thò cuûa haøm maät ñoä f

cuûa noù töông ñoái ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng x np= thì X ñöôïc xaáp xæ bôûi phaân

phoái chuaån ( )2N ;μ σ , vôùi npμ = vaø ( )2 npq np 1 pσ = = − .

Trong öùng duïng, xaáp xæ treân coù hieäu quaû khi

np 5≥ vaø nq 5≥ .

Khi np 5< hay nq 5< thì ñoà thò cuûa haøm maät ñoä töông öùng seõ leäch vaø luùc

ñoù, neáu n töông ñoái lôùn, chaúng haïn n 50> ,

ta xaáp xæ X baèng phaân phoái Poisson ( )P μ , vôùi npμ = khi np 5μ = < .

5. PHAÂN PHOÁI GAMMA VAØ CHI-BÌNH PHÖÔNG, 2χ .

Trong lyù thuyeát laáy maãu cuõng nhö kieåm ñònh, ngöôøi ta caàn khaûo saùt bieán soángaãu nhieân laø caùc tham soá ñaëc tröng cuûa maãu. Ngoaøi phaân phoái chuaån, moät trong

nhöõng phaân phoái xaùc suaát quan troïng laø phaân phoái 2χ . Tröôùc heát, ta ñònh nghóa

haøm Gamma ( ): 0,Γ ∞ → ,

x 1 t

0(x) t e dt

∞− −Γ = ∫ .

Ta coù

5.1. Ñònh nghóa. Bieán soá ngaãu nhieân X goïi laø coù phaân phoái Gamma, kyù hieäu( ) X ;Γ α β∼ , vôùi , 0α β > , neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laø

( )

x11 x e khi x 0

f(x)0 khi x 0

βα

−α−Γ α β

⎧ >⎪= ⎨⎪ ≤⎩

Khi ñoù, haøm ñaëc tröng cuûa X laø

( )

1M(t)

1 t α=

− β

vaø ta ñöôïc

5.2. Meänh ñeà. Cho bieán ngaãu nhieân ( ) X ;Γ α β∼ . Ta coù

i) trung bình : Xμ = αβ ,

ii) phöông sai : 2 2 Xσ = αβ .

5.3. Ñònh nghóa. Bieán soá ngaãu nhieân X goïi laø coù phaân phoái 2χ , kyù hieäu ( )2 rχ ,

neáu haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laø




65

( )

r x2 2

rr 22

1

2r e khi x 0

f(x)

0 khi x 0

−

Γ

⎧ >⎪= ⎨

⎪≤⎩

nghóa laø ( )r2 X ; 2Γ∼ .

Khi ñoù, ta coù haøm ñaëc tröng cuûa X

( )r2

1M(t)

1 2t=

−

vaø ta ñöôïc

5.4. Meänh ñeà. Cho bieán soá ngaãu nhieân ( )2 X rχ∼ . Ta coù

i) trung bình : X rμ = ,

ii) phöông sai : 2 X 2rσ = .

Caùc keát quaû sau cho thaáy nguoàn goác cuûa phaân phoái 2χ : noù xuaát phaùt töø caùc

bieán soá ngaãu nhieân coù phaân phoái Gauss, vaø cuõng laø töø caùc bieán soá ngaãu nhieân coùphaân phoái chuaån.

5.5. Ñònh lyù. Neáu bieán soá ngaãu nhieân X coù phaân phoái chuaån, ( ) X N 0;1∼ , thì

bieán soá ngaãu nhieân 2 Y X≡ coù phaân phoái 2χ , ( )2 Y 1χ∼ .


( ) ( )

( )

2 2

2x2

12

tY tX tx Y

2

M (t) E e E e e f (x)dx

1 1tx e dx

2 1 2t

+∞

−∞

+∞ −

−∞

= = =

= =π −

∫

∫

Vaäy ( )2 Y 1χ∼ .

Hôn nöõa, xeùt vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= , vôùi X, Y laø caùc bieán soá ngaãu

nhieân ñoäc laäp. Baèng caùch aùp duïng ñònh lyù 4.6,

chöông 2, ta coù söï lieân quan giöõa caùc haøm ñaëc tröng cuûa X, Y vaø Z X Y= + ,

Z X YM (t) M (t)M (t)= .

Do ñoù, töø luaät phaân phoái cuûa X vaø Y, ta coù theå tìm ñöôïc caùc haøm ñaëc tröng

XM (t) , YM (t). Töø ñoù, ta suy ra haøm ñaëc tröng cuûa Z X Y≡ + vaø luaät phaân phoái

cuûa Z.




66

Ví duï 11. Xeùt vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= , vôùi X, Y ñoäc laäp. Giaû söû

( ) X B n;p∼ , ( ) Y B m;p∼ . Ñaët Z X Y= + .

a) Tính ( )P Z k= . Suy ra luaät phaân phoái cuûa Z.

b) Tìm laïi keát quaû treân baèng haøm ñaëc tröng.

a) Ta coù, vôùi q 1 p= − ,

( ) ( )P Z k P X Y k= = + =

( ) ( ) ( )P X 0; Y k P X 1; Y k 1 ... P X k; Y 0= = = + = = − + + = =

( )

( )

m k 10 0 n 0 k k m k 1 1 n 1 k 1 k 1n m n m

k k n k 0 0 m 0

n m0 k 1 k 1 k 0 k n m k k k n m kn m n m n m n m

C p q C p q C p q C p q ...

C p q C p q

C C C C ... C C p q C p q

− −− − − − −

− −

− + − + −+

= + + +

+

= + + + =

Do ñoù ( ) X B n m;p+∼ .

b. Duøng haøm ñaëc tröng, ta ñöôïc

( ) ( )

( )

Z X Yn mt t

n mt

M (t) M (t)M (t)

1 p pe 1 p pe

1 p pe +

=

= − + − +

= − +

Do ñoù ( ) X B n m;p+∼ .

Toång quaùt, vôùi hai bieán soá ngaãu nhieân ñoäc laäp X, Y vaø vôùi Z X Y= + , ta coùmoät soá keát quaû quan troïng sau

5.6. Ñònh lyù.

(i) Neáu ( )1 X P μ∼ , ( )2 Y P μ∼ thì ( )1 2Z P μ + μ∼ ,

(ii) Neáu ( )2 X rχ∼ , ( )2 Y sχ∼ thì ( )2Z r sχ +∼ ,

(iii) Neáu ( )21 1 X N ;μ σ∼ , ( )2

2 2 Y N ;μ σ∼ thì

( )2 21 2 1 2Z N ;μ + μ σ + σ∼ .

6. NGUYEÂN LYÙ XAÙC SUAÁT LÔÙN VAØ NHOÛ

Trong nhöõng baøi toaùn thöïc teá, ta thöôøng gaëp nhöõng bieán coá coù xaùc suaát raátnhoû (gaàn baèng 0) hay coù xaùc suaát raát lôùn (gaàn baèng 1). Chaúng haïn, neáu ta thaûyñoàng xu n laàn vaø xeùt bieán soá ngaãu nhieân X chæ soá laàn maët saáp nhaän ñöôïc, thì

( ) X B n;0.5∼ vaø

− Khi n 5= , ta coù ( )P X 3 0.312= ≈ ,




67

− Khi n 10= , ta coù ( )P X 3 0.117= ≈ ,

− Khi n 20= , ta coù ( )P X 3 0.001= ≈ ,

vaø ta coù theå noùi raèng xaùc suaát ñeå thaûy ñoàng xu 20 laàn maø chæ nhaän ñöôïc ñuùng 3laàn maët saáp laø nhoû.

Taát nhieân, ta khoâng theå keát luaän raèng bieán coá coù xaùc suaát nhoû khoâng theåxaûy ra cuõng nhö bieán coá coù xaùc suaát lôùn chaéc chaén xaûy ra. Tuy nhieân, trong thöïcteá, ngöôøi ta quy ñònh moät möùc xaùc suaát maø qua ñoù, bieán coá naøo coù xaùc suaát nhoûhôn möùc naøy ñöôïc coi nhö khoâng xaûy ra; töông töï, ta cuõng coù möùc xaùc suaát maøbieán coá coù xaùc suaát lôùn hôn möùc naøy coi nhö chaéc chaén xaûy ra.

Möùc cho xaùc suaát nhoû thöôøng ñöôïc choïn laø 0.1α = , 0.05 hay 0.01 vaø möùccho xaùc suaát lôùn töông öùng laø 1 0.9γ = − α = , 0.95 vaø 0.99.

Chaúng haïn, ta coù theå keát luaän raèng khoâng theå thaûy ñoàng xu 20 laàn maø chænhaän ñöôïc ñuùng 3 laàn maët saáp. Dó nhieân, coù theå moät laàn naøo ñoù, ta thaûy ñoàng xu20 laàn vaø nhaän ñöôïc ñuùng 3 laàn maët saáp. Khi ñoù, ta noùi ta bò sai laàm loaïi 1 (xemchöông "Kieåm Ñònh Giaû Thuyeát"). Tuy nhieân, nguy cô sai laàm naøy khoâng quaù

0.001α = , nghóa laø, cöù trung bình 1000 laàn thaûy ñoàng xu 20 laàn thì coù 1 laàn nhaänñöôïc ñuùng 3 maët saáp.

Vieäc quy ñònh caùc möùc xaùc suaát nhoû vaø lôùn tuøy thuoäc vaøo töøng baøi toaùn cuïtheå. Chaúng haïn, xaùc suaát ñeå maùy bay bò rôi laø 0.01 (nghóa laø cöù 100 laàn bay coù 1laàn rôi) thì khoâng theå coi laø nhoû nhöng xaùc suaát ñeå maùy bay haï caùnh treã giôø laø

0.01 coù theå coi laø nhoû. Xeùt bieán soá ngaãu nhieân X. ÖÙng vôùi moãi möùc xaùc suaát nhoû α , neáu ta coù caùc

giaù trò a, b ∈ sao cho a b≤ vaø

( )P a X b 1≤ ≤ ≥ − α

thì ta noùi

Bieán coá A ≡ "X laáy giaù trò trong khoaûng [ ]a, b " chaéc chaén xaûy ra, vaø

Bieán coá A ≡ "X khoâng laáy giaù trò trong khoaûng [ ]a, b " khoâng theå xaûy ra.

vôùi möùc sai laàm khoâng quaù α .Luùc ñoù, ta noùi [ ]a, b laø moät khoaûng tin caäy cuûa X vôùi xaùc suaát sai laàm (nguy

cô sai laàm) α , hay vôùi ñoä tin caäy 1γ = − α .

Cuï theå, ta coù




68

6.1. Tröôøng hôïp ( ) X N 0;1∼

Trong tröôøng hôïp naøy, do ñoà thò cuûa haøm maät ñoä ñoái xöùng qua truïc tung neân

ngöôøi ta thöôøng choïn khoaûng tin caäy ñoái xöùng [ ]C,C− , vôùi

( ) ( )P X C P X C2α

≤ − = ≥ = .

Giaù trò C öùng vôùi möùc xaùc suaát α neâu treân thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø 122

z zγ −α≡

( 1γ = − α ) vaø ñöôïc tìm thaáy trong baûng phaân phoái Gauss. Caùc giaù trò thoâng duïng

cuûa α vaø 12

z −α töông öùng ñöôïc cho bôûi baûng sau

α 12

z −α

0.1 1.64

0.05 1.96

0.01 2.58

6.2. Tröôøng hôïp ( )2 X nχ∼

Do ñoà thò cuûa haøm maät ñoä khoâng ñoái xöùng neân vôùi möùc xaùc suaát α chotröôùc, ta choïn a b≤ sao cho

( ) ( )P X a P X b2α≤ = ≥ = .

ÖÙng vôùi moãi ñoä töï do n, caùc giaù trò a, b naøy thay ñoåi theo α , thöôøng ñöôïc kyù

hieäu laø2

21a α−≡ χ ,

2

2b α≡ χ vaø ñöôïc laäp thaønh baûng. Ngoaøi ra, theo lyù thuyeát kieåm

ñònh, ñeå ñôn giaûn, khoaûng tin caäy coøn ñöôïc choïn döôùi daïng [ ]0,C , vôùi

( )P X C≥ = α

vaø giaù trò 2C α≡ χ naøy cuõng ñöôïc tra trong baûng.

Baøi taäp.

1. Giaû söû tyû leä sinh trai gaùi laø baèng nhau vaø baèng 12 . Moät gia ñình coù 4 ngöôøi con.

Tính xaùc suaát ñeå 4 ñöùa con ñoù goàm

a) 2 trai vaø 2 gaùi,

b) 1 trai vaø 3 gaùi,

c) 4 trai.




69

2. Moät nhaø maùy saûn xuaát vôùi tyû leä pheá phaåm laø 7%.

a) Quan saùt ngaãu nhieân 10 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå

i) coù ñuùng moät pheá phaåm,ii) coù ít nhaát moät pheá phaåm,

iii) coù nhieàu nhaát moät pheá phaåm.

b) Hoûi phaûi quan saùt ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm ñeå xaùc suaát nhaän ñöôïc ít nhaátmoät pheá phaåm 0.9≥ .

3. Moät trung taâm böu ñieän nhaän ñöôïc trung bình 3 cuoäc ñieän thoaïi trong moãiphuùt. Tính xaùc suaát ñeå trung taâm naøy nhaän ñöôïc 1 cuoäc, 2 cuoäc, 3 cuoäc goïi trong 1phuùt, bieát raèng soá cuoäc goïi trong moät phuùt coù phaân phoái Poisson.

4. Ñöôøng kính cuûa moät chi tieát maùy do moät maùy tieän töï ñoäng saûn xuaát coù phaânphoái chuaån vôùi trung bình 50mmμ = vaø ñoä leäch chuaån 0.05mmσ = . Chi tieát maùy

ñöôïc xem laø ñaït yeâu caàu neáu ñöôøng kính khoâng sai quaù 0.1mm.

a) Tính tyû leä saûn phaåm ñaït yeâu caàu.

b) Laáy ngaãu nhieân 3 saûn phaåm. Tính xaùc suaát coù ít nhaát 1 saûn phaåm khoâng ñaïtyeâu caàu.

5. Cho bieán soá ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä

x1 e khi x 0f(x)

0 khi x 0

λ−

λ⎧⎪ >= ⎨

≤⎪⎩

vôùi 0λ > .

a) Tính trung bình μ vaø phöông sai 2σ .

b) Tìm haøm ñaëc tröng M(t) . Duøng haøm ñaëc tröng, tính laïi trung bình μ vaø

phöông sai 2σ .

6. Khoái löôïng X (tính baèng gam) moät loaïi traùi caây coù phaân phoái chuaån ( )2N ;μ σ ,

vôùi 500(gam)μ = vaø 2 216(gam )σ = . Traùi caây thu hoaïch ñöôïc phaân loaïi theo khoái

löôïng nhö sau :− Loaïi 1 : treân 505 gam,

− Loaïi 2 : töø 495 ñeán 505 gam,

− Loaïi 3 : döôùi 495 gam.

Tính tyû leä moãi loaïi.

7. Khi tieâm truyeàn moät loaïi huyeát thanh, trung bình coù 1 tröôøng hôïp phaûn öùngtreân 1000 tröôøng hôïp. Duøng loaïi huyeát thanh naøy tieâm cho 2000 ngöôøi. Tính xaùcsuaát ñeå




70

a) coù 3 tröôøng hôïp phaûn öùng,

b) coù nhieàu nhaát 3 tröôøng hôïp phaûn öùng,

c) coù hôn 3 tröôøng hôïp phaûn öùng.

8. Tyû leä moät loaïi beänh baåm sinh trong daân soá laø p 0.01= . Beänh naøy caàn söï chaêm

soùc ñaëc bieät luùc môùi sinh. Moät nhaø baûo sinh thöôøng coù 20 ca sinh trong moät tuaàn.Tính xaùc suaát ñeå

a) khoâng coù tröôøng hôïp naøo caàn chaêm soùc ñaëc bieät,

b) coù ñuùng moät tröôøng hôïp caàn chaêm soùc ñaëc bieät,

c) coù nhieàu hôn moät tröôøng hôïp caàn chaêm soùc ñaëc bieät.

Tính baèng quy luaät nhò thöùc roài duøng quy luaät Poisson ñeå so saùnh keát quaû khi ta

xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc ( )B n;p baèng phaân phoái Poisson ( )P np .

9. Cho vectô ngaãu nhieân ( ) V X, Y= , vôùi X, Y ñoäc laäp, ( ) X X P μ∼ vaø ( ) Y Y P μ∼ .

a) Tính xaùc suaát ( )P X Y n+ = ,

b) Tính xaùc suaát ( )P X k X Y n= + = .




71

Chöông 4

MAÃU THOÁNG KEÂ&

ÖÔÙC LÖÔÏNG THAM SOÁ

Giaû söû muoán nghieân cöùu veà troïng löôïng ngöôøi Vieät Nam. Phöông phaùp chínhxaùc nhaát laø ño troïng löôïng taát caû moïi ngöôøi, ghi laïi soá lieäu, vaø töø ñoù coù theå tínhñöôïc troïng löôïng trung bình, ñoä phaân taùn, tyû leä ngöôøi coù troïng löôïng trongkhoaûng ( )a, b , v.v... Ñieàu naøy khoâng thöïc teá, vì nhö vaäy thì soá lieäu thoáng keâ quaù

nhieàu, raát toán keùm. Ngoaøi ra, trong baøi toaùn chaát löôïng saûn phaåm, chaúng haïn baøi

toaùn kieåm tra haøm löôïng chaát beùo trong moät loaïi thöïc phaåm, ngöôøi ta khoâng theåphaù huûy toaøn boä saûn phaåm ñeå thu thaäp soá lieäu... Thoáng keâ hoïc ñeà nghò moätphöông phaùp laø quan saùt moät soá tröôøng hôïp ñöôïc goïi laø maãu vaø treân cô sôû caùc soálieäu quan saùt naøy, ta suy roäng ra cho toång theå. Muoán cho söï suy roäng ít bò sai laàmthì maãu phaûi ñaïi dieän cho toång theå, vaø do ñoù, vieäc laáy maãu phaûi ñöôïc thöïc hieänsao cho moïi caù theå coù cô hoäi ñöôïc quan saùt ñoàng ñeàu nhö nhau.

Coù hai caùch laáy maãu :

- Laáy maãu coù hoaøn laïi : Phaàn töû vöøa quan saùt xong ñöôïc traû laïi cho toång theåtröôùc khi quan saùt laàn sau.

- Laáy maãu khoâng hoaøn laïi : Phaàn töû vöøa quan saùt xong khoâng traû laïi chotoång theå tröôùc khi quan saùt laàn sau.

Neáu toång theå coù töông ñoái nhieàu phaàn töû thì hai caùch laáy maãu ñöôïc coi laønhö nhau. Thoâng thöôøng, ta laáy maãu ñeå öôùc löôïng nhöõng tham soá caàn bieát nhötrung bình, phöông sai, tyû leä, v.v...

1. LYÙ THUYEÁT LAÁY MAÃU

Goïi 1 X , 2 X , ..., n X laø nhöõng keát quaû quan saùt. Ta xem nhö ñaõ quan saùt n

laàn, moãi laàn ñöôïc moät keát quaû laø moät bieán soá ngaãu nhieân i X , i 1,2, ...,n= vaø vì ta

thöôøng laáy maãu trong moät toång theå coù nhieàu phaàn töû neân caùc bieán soá ngaãu nhieân

1 X , 2 X , ..., n X ñöôïc coi nhö ñoäc laäp vaø coù cuøng phaân phoái.

1.1. Thoáng keâ

Thoáng keâ laø moät bieåu thöùc theo maãu 1 X , 2 X , ..., n X vaø khoâng phuï thuoäc

vaøo caùc tham soá chöa bieát. Kyù hieäu ( )1 2 nT T X ,X ,..., X= .

Khi ñaõ quan saùt ñöôïc maãu, ta coù theå tính ra giaù trò cuûa moät thoáng keâ. Tuøytheo töøng vaán ñeà nghieân cöùu, ta coù theå ñaët ra moät hay nhieàu thoáng keâ khaùc nhau.Caùc thoáng keâ thöôøng duøng laø




72

1. Trung bình maãu : 1 2 n X X ... X X

n

+ + += ,

2. Phöông sai maãu : ( ) ( )2 21 n2 X

X X ... X XS

n 1

− + + −=

−,

3. Giaù trò nhoû nhaát cuûa maãu : { }1 1 2 n Y min X ,X ,..., X= ,

4. Giaù trò lôùn nhaát cuûa maãu : { }n 1 2 n Y max X ,X ,..., X= ,

5. Taàm cuûa maãu : n 1R Y Y= − .

Ví duï 1. Quan saùt chieàu cao X (cm) cuûa 10 ngöôøi, ta ghi ñöôïc

158, 163, 157, 162, 154, 152, 160, 159, 165, 156.

Vôùi maãu treân, ta tính ñöôïc

Chieàu cao trung bình maãu : X 158.60cm= ,

Phöông sai cuûa maãu : 2 2 XS 16.49cm= ,

Ngöôøi thaáp nhaát : 1 Y 152cm= ,

Ngöôøi cao nhaát : 2 Y 165cm= ,

Taàm cuûa maãu : R 13cm= .

Töông töï nhö caùc tham soá ñaëc tröng cho moät bieán ngaãu nhieân, trung bình

maãu laø giaù trò maø ta hy voïng nhaän ñöôïc khi xem xeùt moät phaàn töû cuûa maãu,phöông sai maãu cho ta bieát möùc ñoä phaân taùn cuûa soá lieäu maãu. Phöông sai caøngnhoû, soá lieäu caøng ít phaân taùn.

Ñeå coù theå tính toaùn phöông sai moät caùch nhanh choùng, ta coù theå duøng keátquaû sau

1.1.1. Meänh ñeà. Xeùt maãu 1 X , 2 X , ..., n X vôùi trung bình X vaø phöông sai 2 XS , ta

coù

n2 2 2 X i

i 1

1S X nX

n 1 =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎜ ⎟− ⎝ ⎠

∑ .

Chöùng minh.

( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 n2 X

X X X X ... X XS

n 1

− + − + + −=

−

( ) ( )2 2 2 21 1 n n X 2XX X ... X 2XX X

n 1

− + + + − +=

−




73

( ) ( )2 2 21 n X ... X 2X nX nX

n 1

+ + − +=

−

n2 2i

i 1

1 X nX

n 1=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎜ ⎟− ⎝ ⎠∑ .

Löu yù raèng trong tröôøng hôïp soá lieäu maãu coù laëp laïi vaø ta ghi nhaän caùc taànsoá xuaát hieän soá lieäu nhö sau

X 1 X 2 X ... k X

Taàn soá 1n 2n ... kn

thì côõ maãu laø 1 2 kn n n ... n= + + + vaø caùc coâng thöùc tính trung bình cuõng nhö

phöông sai trôû thaønhk

1 1 2 2 k ki i

i 1

n X n X ... n X X n X ,

n=

+ + += = ∑

( )k

22 X i i

i 1

k2 2

i ii 1

1S n X X

n 1

1n X nX

n 1

=

=

= −−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎜ ⎟− ⎝ ⎠

∑

∑

Hôn nöõa, trong tính toaùn thöïc haønh, ta coù keát quaû sau

1.1.2. Meänh ñeà. Vôùi maãu 1 X , 2 X , ..., n X , xeùt i i Y aX b= + , i 1, 2, ..., n= . Ta coù

Y aX b= + ,

2 2 2 Y XS a S= .


n n

i ii 1 i 1

n

ii 1

1 1 Y Y a X nb

n n

a X b aX bn

= =

=

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

= + = +

∑ ∑

∑

( ) ( )

( )

n n2 22

Y i ii 1 i 1

n2 2 2 2i X

i 1

1 1S Y Y aX b aX b

n 1 n 1

a X X a S

n 1

= =

=

= − = + − −− −

= − =−

∑ ∑

∑




74

Do ñoù, trong tính toaùn thöïc haønh, ta choïn caùc giaù trò a, b ñeå bieán ñoåi caùc giaùtrò 1 X , 2 X , ..., n X thaønh caùc giaù trò ñôn giaûn hôn 1 Y , 2 Y , ..., n Y . Töø ñoù, tính

toaùn Y ,2 YS vaø suy ra giaù trò cuûa X ,

2 XS theo meänh ñeà treân.

Ví duï 2. Quan saùt söùc naëng X (Kg) cuûa moät nhoùm ngöôøi, ta ghi ñöôïc

X 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70

Soá ngöôøi 4 9 17 14 10 2

Ñeå tính X vaø 2 XS , ta laäp baûng

Lôùp Taàn soá i X i X 52.5i 5 Y −= i in Y 2

i in Y

40-45 4 42.5 2− 8− 1645-50 9 47.5

1− 9− 9

50-55 17 52.5 0 0 055-60 14 57.5 1 14 1460-65 10 62.5 2 20 4065-70 2 67.5 3 6 18

Toång coäng 56 23 97

Töø ñoù, suy ra

k

i i

i 1

1 23 Y n Y 0.41

n 56=

= = =∑

Do X 52.55 Y −= , ta suy ra

X 52.5 5Y 54.5kg= + = .

Ngoaøi ra,

( )2k

2 2 2 2 Y i i

i 1

97 56 0.411S n Y nY 1.5919kg

n 1 55=

⎛ ⎞ −= − = =⎜ ⎟

⎜ ⎟− ⎝ ⎠∑

vaø vì ( )22 21

Y X5S S= , ta suy ra

2 2 2 X YS 25S 39.7971kg= =

vaø do ñoù XS 6.31kg= .

1.2. Laáy maãu töø phaân phoái chuaån

Nhö ta ñaõ khaûo saùt trong caùc chöông tröôùc, caùc bieán soá ngaãu nhieân X nhaänñöôïc töø vieäc quan saùt caùc pheùp thöû coù phaân phoái gaàn ñuùng so vôùi phaân phoái chuaån

( )2N ;μ σ . Do ñoù, baèng soá lieäu thoáng keâ treân maãu laáy töø toång theå coù phaân phoái




75

chuaån, ta caàn khaûo saùt caùc phaân phoái cuûa thoáng keâ nhaän ñöôïc töø maãu, ñaëc bieät laøphaân phoái cuûa trung bình maãu vaø phöông sai maãu. Ta coù

1.2.1. Ñònh lyù Lindeberg-Leùvy. Neáu maãu 1 X , 2 X , ..., n X laáy töø toång theå coù phaân phoái chuaån ( )2N ;μ σ , nghóa laø ( )2

i X N ;μ σ∼ , vôùi moïi i, thì

( )2

n X N ; σμ∼

vaø

( )2

2 X2

(n 1)Sn 1

−χ −

σ ∼ .

Chöùng minh. Do ( )2 X N ;μ σ∼ neân X coù haøm ñaëc tröng

( )2 2t X 2M (t) exp t σ= μ + .

Suy ra haøm ñaëc tröng cuûa X laø

( )

( ) ( )

( )( )( )

X ... X1 nn

X X1 nn n

1 n

2 2

2

2 2

ttX X

t t

t t X Xn n

nt t

n 2n

t2n

M (t) E e E e

E e ... E e

M ... M

exp

exp t

+ +

μ σ

σ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ⋅ ⋅

= +

= μ +

vaø do ñoù ( )2

n X N ; σμ∼ .

Ngoaøi ra, vì

( ) ( ) ( ) ( )( )n n 222

X i ii 1 i 1

n 1 S X X X X= =

− = − = − μ − − μ∑ ∑

vaø

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n n2 22

i i ii 1 i 1 i 1

n22

ii 1

X X X 2 X X n X

X n X

= = =

=

− = − μ − − μ − μ + − μ

= − μ − − μ

∑ ∑ ∑∑

Do ñoù

( ) ( ) ( )n n

2 22i i

i 1 i 1

X X X n X= =

− μ = − + − μ∑ ∑

vaø




76

( ) ( ) ( )n n

2 22i i2 2 2

i 1 i 1

1 1 n X X X X

= =

− μ = − + − μσ σ σ∑ ∑

Ñaúng thöùc treân ñöôïc vieát laïi thaønh

U V W= +

vôùi

( )n

2i2

i 1

1U X

=

= − μσ ∑

( )n

2i2

i 1

1 V X X

=

= −σ ∑

( )2

2nW X= − μ

σ

Vì ( )2

n X N ; σμ∼ , nghóa laø

( )( )

X nN 0;1

−μ

σ ∼ vaø do ñoù

( )2W 1χ∼

Ngoaøi ra vì ( )2i X N ;μ σ∼ , vôùi moïi i, neân ( )i X N 0;1−μ

σ ∼ vaø ( )( )

2i

2

X 2 1−μ

σ χ∼ .

Suy ra

( )2U nχ∼ .

Vì bieán soá V chæ phuï thuoäc vaøo phöông sai maãu 2 XS vaø W chæ phuï thuoäc vaøo

trung bình maãu X neân V vaø W ñoäc laäp. Do ñoù

U V WM (t) M (t) M (t)= ⋅ ,

nghóa laø

( ) ( )n n2 2

V 1 1

M (t)1 2t 1 2t

= ⋅− −

vaø do ñoù

( )n 12

V 1

M (t)1 2t

−=−

vaø heä thöùc naøy chöùng toû raèng ( )2 V n 1χ −∼ .

Cuoái cuøng, töø hai bieán soá ngaãu nhieân ñoäc laäp nhau, ngöôøi ta coøn caàn khaûosaùt moät soá bieán soá ngaãu nhieân khaùc, ñöôïc thaønh laäp baèng bieåu thöùc theo hai bieán




77

soá ngaãu nhieân naøy, vaø nhaän ñöôïc hai loaïi phaân phoái quan troïng khaùc : phaân phoáiStudent vaø phaân phoái Fisher.

1.2.2. Phaân phoái Student Xeùt hai bieán soá ngaãu nhieân ñoäc laäp X, Y vôùi ( ) X N 0;1∼ vaø ( )2 Y nχ∼ . Ñaët

Yn

XT =

Thì T ñöôïc goïi laø bieán soá Student vôùi n ñoä töï do, kyù hieäu ( )T St n∼ , hay

vaén taét T t(n)∼ .

Haøm maät ñoä cuûa T laø

( )( ) ( )

n 12 2

n 12

tn2 n

g(t)

n 1+

+Γ=

π Γ +

.

Daïng ñoà thò cuûa g(t) gaàn gioáng vôùi daïng ñoà thò haøm maät ñoä cuûa phaân phoái

Gauss ( )N 0;1 . Phaân phoái Student ñöôïc söû duïng nhieàu trong thoáng keâ suy ñoaùn vaø

do ñoù, ngöôøi ta thieát laäp saün baûng tính cho nhöõng giaù trò caàn thieát cho phaân phoáiStudent.

Ñoà thò caùc haøm maät ñoä cuûa phaân phoái ( )St n tieán gaàn ñeán ñoà thò haøm maät

ñoä cuûa phaân phoái Gauss ( )N 0;1 khi n taêng daàn. Trong thöïc teá, khi ñoä töï do

n 30≥ , ta coi nhö phaân phoái ( )St n truøng vôùi phaân phoái Gauss ( )N 0;1 . Hôn nöõa,

vì ñoà thò cuûa haøm maät ñoä trong phaân phoái ( )St n ñoái xöùng qua truïc tung neân caùc

khoaûng tin caäy vôùi möùc xaùc suaát α cuõng ñöôïc choïn döôùi daïng [ ]C,C− , vôùi

( ) ( )P X C P X C2

α≤ − = ≥ =

vaø caùc giaù trò C naøy thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø C tα≡ .

1.2.3. Phaân phoái Fisher

Xeùt hai bieán soá ngaãu nhieân ñoäc laäp X, Y, vôùi ( )2

X nχ∼ , ( )2

Y mχ∼ . Ñaët X

n Y

m

F = .

Ta noùi F laø bieán soá Fisher vôùi ñoä töï do ( )n,m , kyù hieäu ( )F F n,m∼ .

Daïng ñoà thò haøm maät ñoä cuûa phaân phoái Fisher töông ñoái gioáng vôùi phaân

phoái 2χ . Caùc trò soá suy ñoaùn thoáng keâ lieân quan ñeán phaân phoái Fisher cuõng ñöôïc

tính saün trong baûng keâ. Ngoaøi ra, do daïng ñoà thò cuûa phaân phoái Fisher gioáng vôùi




78

phaân phoái 2χ neân caùc khoaûng tin caäy vôùi möùc xaùc suaát α cuõng ñöôïc choïn döôùi

daïng [ ]a, b , vôùi

( ) ( )P X a P X b2α≤ = ≥ = ,

vaø ta thöôøng kyù hieäu2

1a f (n,m)α−≡ ,2

b f (n,m)α≡ .

Phaân phoái Student duøng ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn lieân quan ñeán trung bìnhvaø tyû leä. Phaân phoái Fisher duøng ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn lieân quan ñeán phöôngsai.

2. LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG

Öôùc löôïng laø phoûng ñoaùn moät giaù trò chöa bieát cuûa toång theå baèng caùch döïavaøo caùc quan saùt treân maãu laáy ra töø toång theå. Thoâng thöôøng, ta caàn öôùc löôïngtrung bình, tyû leä, phöông sai, heä soá töông quan. Coù hai hình thöùc öôùc löôïng :

a. Öôùc löôïng ñieåm : Keát quaû caàn öôùc löôïng ñöôïc cho bôûi moät trò soá.

b. Öôùc löôïng khoaûng : Keát quaû caàn öôùc löôïng ñöôïc cho bôûi moät khoaûng.

Ví duï 3. Ta laáy maãu vaø öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa ngöôøi Vieät Nam.

a. Keát luaän chieàu cao trung bình laø 160cm laø moät öôùc löôïng ñieåm.

b. Keát luaän chieàu cao trung bình trong khoaûng [ ]158cm,162cm laø moät öôùc

löôïng khoaûng.

Öôùc löôïng ñieåm coù öu ñieåm laø cho chuùng ta moät giaù trò cuï theå, coù theå duøngñeå tính toaùn caùc keát quaû khaùc, nhöng khoâng cho ta bieát ñöôïc sai soá öôùc löôïngnhieàu hay ít. Öôùc löôïng khoaûng cho ta hình dung ñöôïc sai soá nhieàu hay ít (tuøytheo khoaûng öôùc löôïng roäng hay heïp) nhöng khoâng cho ta ñöôïc giaù trò cuï theå cuûañaïi löôïng caàn öôùc löôïng.

Trong öùng duïng, tuøy theo nhu caàu cuûa baøi toaùn, ta duøng öôùc löôïng ñieåm, öôùclöôïng khoaûng hoaëc caû hai.

2.1. Öôùc löôïng ñieåm

Cho 1 X , 2 X , ..., n X laø maãu ñoäc laäp, coù haøm maät ñoä ( )f x,θ phuï thuoäc vaøo

moät tham soá θ caàn öôùc löôïng ( θ coù theå laø trung bình, phöông sai, tyû leä,...). Goïi( )1 2 nT T X ,X ,..., X≡ laø thoáng keâ duøng ñeå öôùc löôïng tham soá θ . Ta coù caùc tieâu

chuaån sau

2.1.1. Öôùc löôïng ñuùng

Ta noùi T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa θ neáu

( )E T = θ .

Khi ( )E Tθ ≠ , ta noùi T laø öôùc löôïng khoâng ñuùng cuûa θ vaø




79

− khi ( )E T < θ , ta noùi T öôùc löôïng thieáu,

− khi ( )E T > θ , ta noùi T öôùc löôïng thöøa.

2.1.2. Ít phaân taùn

Goïi 1T vaø 2T laø caùc öôùc löôïng ñuùng cuûa θ . Ta noùi 1T toát hôn 2T neáu 1T ít

phaân taùn hôn 2T , nghóa laø

( ) ( )2 21 2T Tσ ≤ σ

Vaäy, neáu 1T toát hôn 2T thì khi duøng 1T ñeå öôùc löôïng θ , ta nhaän ñöôïc sai soá

öôùc löôïng ít hôn so vôùi duøng 2T .

2.1.3. Öôùc löôïng toát nhaát

Töø hai tieâu chuaån neâu treân, ta ñònh nghóa öôùc löôïng toát nhaát cuûa θ nhö sau :

Thoáng keâ T ñöôïc goïi laø öôùc löôïng toát nhaát cuûa θ neáu T laø öôùc löôïng ñuùng vaø

ít phaân taùn nhaát.

Töø 2.1.1 vaø 2.1.2, ta suy ra raèng T laø öôùc löôïng toát nhaát cuûa θ neáu

(i) ( )E T = θ , vaø

(ii) Vôùi moïi öôùc löôïng T′ sao cho ( )E T′ = θ , ta coù

( ) ( )2 2T T′σ ≤ σ .

Ví duï 4. Giaû söû chieàu cao ngöôøi Vieät Nam coù phaân phoái chuaån ( )2 X N ;μ σ∼ .

Quan saùt maãu 1 X , 2 X , ..., n X ñeå öôùc löôïng chieàu cao trung bình θ . Ta coù theå ñaët

ra nhieàu thoáng keâ ñeå öôùc löôïng θ nhö sau :

1 1T X= ,

1 22

X XT

2

+= ,

1 23

X 2XT

3

+= ,

1 n4

X ... XT

n

+ += .

Duøng thoáng keâ 1T ñeå öôùc löôïng θ nghóa laø, quan saùt ngaãu nhieân moät ngöôøi

naøo ñoù, laáy chieàu cao cuûa ngöôøi ñoù laøm giaù trò öôùc löôïng.

Duøng thoáng keâ 2T nghóa laø, quan saùt ngaãu nhieân 2 ngöôøi naøo ñoù, laáy trung

bình coäng chieàu cao laøm giaù trò öôùc löôïng ...

Ta ñaùnh giaù caùc öôùc löôïng 1T , 2T , 3T , 4T . Ta coù

( ) ( )1 1E T E X= = θ ,




80

( ) ( )1 2 X X2 2 2E T E + θ+ θ= = = θ ,

( ) ( )1 2 X 2X 2

3 3 3E T E + θ+ θ

= = = θ ,

( ) ( )1 n X ... X ...4 n nE T E + + θ+ + θ= = = θ ,

nghóa laø 1T , 2T , 3T , 4T ñeàu laø caùc öôùc löôïng ñuùng cuûa θ .

Tieáp tuïc ñaùnh giaù, ta tính phöông sai cuûa chuùng

( ) ( )2 2 21 1T Xσ = σ = σ ,

( ) ( )1 22

X X2 2 2 22 2

1 1T

4 4 2+ σ

σ = σ = σ + σ = ,

( ) ( )1 2 X 2X2 2 2 2 23 3

1 4 5T

9 9 9+σ = σ = σ + σ = σ ,

( ) ( )1 n2

X ... X2 2 2 24 n 2 2

1 1T ...

nn n

+ + σσ = σ = σ + + σ = .

Ta thaáy 2T toát hôn 1T , nghóa laø quan saùt ngaãu nhieân chieàu cao cuûa 2 ngöôøi,

laáy trung bình coäng ñeå öôùc löôïng seõ toát hôn chæ quan saùt ngaãu nhieân moät ngöôøi.

4T laø öôùc löôïng toát nhaát trong caùc öôùc löôïng 1T , 2T , 3T , 4T vì khi n caøng

lôùn thì2

nσ caøng beù, nghóa laø 4T caøng ít phaân taùn. Ñieàu naøy coù nghóa laø : Neáu ta

chòu khoù quan saùt maãu caøng lôùn thì öôùc löôïng caøng toát.

Ñeå coù theå ñaùnh giaù öôùc löôïng naøo laø toát nhaát, ta xeùt bieán soá ngaãu nhieân Xcoù haøm maät ñoä ( )f x,θ phuï thuoäc vaøo tham soá θ . Ta ñònh nghóa tin löôïng Fisher

cuûa X laø haøm soá

( ) ( )( )2

I E ln f x,∂∂θθ = θ .

Ví duï 5. Cho ( ) X B 1;θ∼ . Haøm maät ñoä cuûa X laø

( ) ( )

1 xx 1 khi x 0,1

f x, 0 khi x 0,1

−⎧⎪θ − θ =

θ = ⎨ ≠⎪⎩

thì ( ) ( ) ( )ln f x, x ln 1 x ln 1θ = θ + − − θ neân ta coù

( )( )

x 1 x xln f x,

1 1

∂ − − θθ = + =

∂θ θ − θ θ − θ

vaø do ñoù




81

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

2

22

X 2221

22

1I E E X

1

1 1111

−θ

θ −θ

⎛ ⎞θ = = − θ⎜ ⎟⎝ ⎠ θ − θ

= θ − θ =θ − θθ − θ

Tin löôïng Fisher laø moät ñaïi löôïng thuaàn tuùy toaùn hoïc, khoâng coù yù nghóa cuïtheå nhö trung bình vaø phöông sai. Ta duøng tin löôïng Fisher trong vieäc ñaùnh giaùöôùc löôïng. Ta coù

2.1.4. Ñònh lyù (Baát ñaúng thöùc Rao-Cramer). Neáu T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa θ ,thì

( )( )

2 1T

nIσ ≥

θ.

Baát ñaúng thöùc Rao-Cramer cho ta moät chaän döôùi (giaù trò nhoû nhaát coù theå coù

ñöôïc) cuûa ( )2 Tσ . Vaäy neáu ta tìm ñöôïc moät thoáng keâ T sao cho ( )( )

2 1nI

Tθ

σ = thì

ñoù laø öôùc löôïng toát nhaát vì khoâng coøn öôùc löôïng naøo coù ñoä phaân taùn thaáp hôn

( )1

nI θ ñöôïc.

2.1.5. Caùch tìm öôùc löôïng.

Coù nhieàu phöông phaùp tìm öôùc löôïng, trong ñoù, phöông phaùp öôùc löôïng côhoäi cöïc ñaïi thöôøng duøng hôn caû. Baèng caùch duøng haøm cô hoäi xaùc ñònh bôûi

( ) ( ) ( ) ( )1 2 nL X, f X , f X , ...f X ,θ = θ θ θ Khi ñaõ quan saùt ñöôïc maãu, ta bieát ñöôïc giaù trò 1 X , 2 X , ..., n X . Do ñoù, bieåu

thöùc ( )L X, θ chæ coøn phuï thuoäc moät ñaïi löôïng chöa bieát θ . Haøm ( )L X, θ ñaït cöïc

ñaïi choã naøo thì laáy giaù trò ñoù laøm öôùc löôïng cho θ .

Ñeå yù raèng, ( )L X, θ vaø ( )ln L X, θ coù cuøng chieàu bieán thieân neân neáu ( )L X, θ

cöïc ñaïi thì ( )ln L X, θ cuõng cöïc ñaïi. Trong thöïc teá, tìm cöïc ñaïi cuûa ( )ln L X,θ

thöôøng tieän hôn tìm cöïc ñaïi cuûa ( )L X, θ .

Ví duï 6. Ñeå öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm hoûng θ trong moät loâ haøng lôùn, tröôùc

heát ta quan saùt maãu. Trong laàn quan saùt thöù nhaát, ñaët

11, neáu ñöôïc saûn phaåm hoûng, vaø

X0 neáu ñöôïc saûn phaåm toát.

⎧= ⎨

⎩

Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa 1 X ,

( ) ( ) 11 1 X X1f X , 1

−θ = θ − θ .

Töông töï, sau n laàn quan saùt, ta ñöôïc maãu 1 X , 2 X , ..., n X vaø ta nhaän ñöôïc

haøm cô hoäi




82

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

nni i 1 ii i 1 i

1 2 n

n1 X n X X X

i 1

L X, f X , f X , ...f X ,

1 1 ==− −∑∑

=

θ = θ θ θ

= θ − θ = θ − θ

∏

vaø do ñoù

( ) ( )n n

i ii 1 i 1

ln L X, X ln n X ln 1= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ = θ + − − θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

neân

( )

( )

( )

( )

n n

i ii 1 i 1

n

ii 1

1 1ln L X, X n X

1

n f 1 X n1 1

= =

=

⎛ ⎞∂θ = − −⎜ ⎟

⎜ ⎟∂θ θ − θ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ − θ

= − θ =⎜ ⎟⎜ ⎟θ − θ θ − θ⎝ ⎠

∑ ∑

∑

vôùi n1i 1 inf X== ∑ .

Ta suy ra raèng ( )ln X, θ ñaït cöïc ñaïi khi f θ = . Do ñoù, ( )ln X, θ ñaït cöïc ñaïi taïi

θ vaø ta coù öôùc löôïng f θ = .

Ñeà ñaùnh giaù öôùc löôïng, ta xeùt

( ) ( )1 2 n X X ... Xn

...E f E

n+ + + θ + θ + + θ

= = = θ

( ) ( ) ( )

1 2 n X X ... X2 2

n2 2 2 2

2 2 2

f 1

...n nn n n

+ + +

σ = σθ − θσ σ σ σ

= + + + = =

vaø ta coù tin löôïng Fisher

( )( )

1I

1θ =

θ − θ.

Maët khaùc, ta coù chaän döôùi Rao-Cramer

( )

( )11

nI n

θ − θ=

θ.

So saùnh hai ñaúng thöùc treân, ta suy ra ( ) ( )2 1

nI θσ θ = vaø do ñoù f θ = laø öôùc

löôïng toát nhaát.

2.2. Öôùc löôïng khoaûng

Trong phaàn naøy, ta chæ ñeà caäp ñeán öôùc löôïng trung bình vaø phöông sai trong

phaân phoái chuaån ( )2N ;μ σ vaø öôùc löôïng tyû leä trong phaân phoái Bernoulli ( )B 1; p .




83

Cuï theå, ñeå öôùc löôïng tham soá θ cuûa moät toång theå coù phaân phoái chuaån hay coù

phaân phoái Bernoulli, ta laäp maãu ngaãu nhieân 1 X , 2 X , ..., n X vaø xaùc ñònh moät

thoáng keâ ( )1 2 nG f X , X , ..., X ,= θ sao cho maëc duø θ chöa ñöôïc xaùc ñònh nhöng quyluaät phaân phoái cuûa G vaãn ñöôïc xaùc ñònh. Töø phaân phoái cuûa G vaø vôùi möùc xaùc suaátα cho tröôùc, ta tìm ñöôïc khoaûng tin caäy [ ]a, b sao cho

( )P a G b 1≤ ≤ = − α = γ

vaø töø caùc baát ñaúng thöùc ( )1 2 na f X ,X , ..., X , b≤ θ ≤ , ta suy ra öôùc löôïng khoaûng cho θ .

2.2.1. Öôùc löôïng μ trong phaân phoái ( )20N ;μ σ , ( 2

0σ bieát).

Ñeå öôùc löôïng trung bình μ trong phaân phoái chuaån coù phöông sai ñaõ bieát 20σ ,

ta duøng 1 X , 2 X , ..., n X laø maãu ñoäc laäp, ( )2i 0 X N ;μ σ∼ ñeå öôùc löôïng μ . Ta coù, doñònh lyù Lindeberg-Leùvy,

20

n

i ni 1

1 X X N ;

nσ

=

⎛ ⎞= μ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∼

neân

( )( )

0

X nZ N 0;1

− μ≡

σ ∼ .

Töø ñoù, ngöôõng xaùc suaát γ cho tröôùc (0 1< γ < ), ta tìm giaù trò2

C z γ≡ sao cho

( )P C Z C− ≤ ≤ = γ

(giaù trò2

C z γ≡ naøy ñöôïc tìm thaáy trong baûng phaân phoái chuaån ( )N 0;1 ).

Töø ñoù, suy ra

( )

( )

( )( )

0

0 0

0 0

X n

n n

n n

P C Z C

P C C

P C X C

P X C X C

−μ

σ

σ σ

σ σ

γ = − ≤ ≤

⎛ ⎞= − ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ≤ − μ ≤= − ≤ μ ≤ +

Do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cho μ laø

0 0

n n X C ; X C

σ σ⎡ ⎤− +⎣ ⎦

maø ta coù theå vieát taét0

n X C

σμ = ± .




84

Heä soá γ ñöôïc goïi laø heä soá tin caäy (hay ñoä tin caäy) cuûa öôùc löôïng. Caùc trò soá

thöôøng duøng cuûa γ vaø2

C z γ≡ töông öùng cho bôûi baûng sau

Heä soá tin caäy γ Giaù trò C

0.90 1.64

0.95 ( )1.96 2≈

0.99 ( )2.58 3≈

Neáu duøng ñoä tin caäy caøng lôùn thì giaù trò C caøng lôùn vaø do ñoù, khoaûng öôùc löôïng caøng

roäng vaø sai soá öôùc löôïng seõ lôùn.Ngoaøi ra, ta coù theå giaûm bôùt sai soá öôùc löôïng baèng caùch taêng côõ maãu n,

nghóa laø phaûi quan saùt nhieàu hôn.Ví duï 7. Phaân tích Vitamin cuûa 17 maãu, ta ñöôïc X 20mg= . Öôùc löôïng trung

bình μ bieát löôïng vitamin coù phaân phoái chuaån ( )2N ;μ σ , vôùi 3.98mgσ = , ôû ñoä tin

caäy 0.95γ = .

Vôùi ñoä tin caäy 0.95γ = , ta ñöôïc C 1.96= . Öôùc löôïng cuûa μ laø3.98

n 17 X C 20 1.96σμ = ± ⋅ = ± ⋅ vaø do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cho trung bình μ laø

[ ]18.11mg;21.89mg .

Trong baøi toaùn öôùc löôïng neâu treân, ta coù ba tham soá quan troïng− Heä soá tin caäy γ ,

− Sai soá öôùc löôïng 0

nC

σε = , vaø

− Côõ maãu quan saùt n.

Caùc tham soá naøy coù lieân quan maät thieát vôùi nhau vaø ta thöôøng aán ñònh tröôùchai trong ba tham soá naøy roài tìm tham soá coøn laïi. Chaúng haïn, ta aán ñònh tröôùc ñoätin caäy γ (vaø do ñoù bieát giaù trò C), xaùc ñònh sai soá toái ña ε vaø ta coù theå tính côõ

maãu nhö sau

2 2

0 02

CC nn

σ σ≤ ε ⇒ ≥ ε .

Ví duï 8. Bieát chieàu cao con ngöôøi coù phaân phoái chuaån ( ) X N ;100μ∼ . Neáu

muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa daân soá μ vôùi sai soá khoâng quaù 1cm, ôû ñoä

tin caäy 0.95, thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi ?

Ta coù

( )22 2

02 2

1.96 100Cn 384.16

1

⋅σ≥ = =

ε.




85

Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 385 ngöôøi.

2.2.2. Öôùc löôïng μ trong phaân phoái ( )2N ;μ σ , ( 2σ chöa bieát).

Ñeå öôùc löôïng trung bình μ trong phaân phoái chuaån coù phöông sai 2σ chöa

bieát, ta cuõng duøng 1 X , 2 X , ..., n X laø maãu ñoäc laäp, ( )2i X N ;μ σ∼ ñeå öôùc löôïng μ .

Ta coù, do ñònh lyù Lindeberg-Leùvy,

( )2n

i ni 1

1 X X N ;

nσ

=

= μ∑ ∼

neân

( )( )

X nZ N 0;1

− μ≡

σ ∼ .

Ta khoâng theå duøng bieán soá naøy ñeå öôùc löôïng μ vì trong bieåu thöùc coøn chöùa

tham soá σ chöa bieát. Do ñoù, ta duøng phöông sai maãu 2 XS laøm öôùc löôïng ñieåm thay

theá 2σ , vôùi löu yù raèng, cuõng do ñònh lyù Lindeberg-Leùvy,

( )( )

2 X 2

2

n 1 S Y n 1

−≡ χ −

σ ∼ .

Do Y, Z ñoäc laäp neân baèng caùch ñaët

Yn 1

ZT

−

=

thì T coù phaân phoái ( )St n 1− vaø do ñoù

( )

( )

( )

( )( )

2 X

2

X n

n 1 S Xn 1

X nT St n 1

S

−μ

σ

−

σ −

− μ= = −∼ .

Töø ñoù, vôùi ngöôõng xaùc suaát γ cho tröôùc ( 0 1< γ < ), ta tìm giaù trò 1C t −γ≡

sao cho

( )P C T C− ≤ ≤ = γ

(giaù trò C naøy ñöôïc tìm thaáy trong baûng phaân phoái Student). Nhaéc laïi raèng khi ñoätöï do cuûa phaân phoái Student 30≥ , giaù trò C töông öùng ñöôïc tìm vôùi ñoä töï do = ∞

hay trong baûng phaân phoái Gauss.

Töø ñoù, suy ra




86

( ) ( )

( )( )

X

X X

X X

X n

S

S S

n n

S S

n n

P C T C P C C

P C X C

P X C ;X C

−μ⎛ ⎞γ = − ≤ ≤ = − ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ≤ − μ ≤

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

Do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cho μ laø

X XS S

n n X C ; X C⎡ ⎤− +⎣ ⎦

maø ta coù theå vieát taét XS

n X Cμ = ±

Ví duï 9. Quan saùt chieàu cao cuûa 20 ngöôøi, ta tính ñöôïc X 162cm= ;

XS 14cm= . Haõy öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa daân soá ôû ñoä tin caäy 0.95γ = .

Ta coù X 162cm= , XS 14cm= , 0.95γ = neân ta ñöôïc C 1.729= vaø do ñoù,

XS

n X C 162 6.65cmμ = ± = ± .

Ta cuõng coù baøi toaùn xaùc ñònh maãu baèng caùch aán ñònh tröôùc ñoä tin caäy γ , xaùc

ñònh sai soá toái ña ε . Khi ñoù, ta coù

2 2 X X

2

S C S

nC n

ε≤ ε ⇒ ≥ .

Ví duï 10. Kieåm tra tuoåi thoï tính baèng giôø cuûa 50 boùng ñeøn do moät nhaø maùysaûn xuaát ra, ngöôøi ta coù keát quaû sau

Tuoåi thoï ( i X ) 3300 3500 3600 4000

Soá boùng ñeøn ( in ) 10 20 12 8

Giaû thieát raèng tuoåi thoï cuûa boùng ñeøn coù phaân phoái chuaån.

a) Haõy öôùc löôïng tuoåi thoï trung bình cuûa loaïi boùng ñeøn do nhaø maùy treân saûnxuaát vôùi ñoä tin caäy 95%.

b) Neáu yeâu caàu öôùc löôïng phaûi ñaït ñoä chính xaùc 50giôø vaø ñoä tin caäy 95% thì

caàn phaûi kieåm tra ít nhaát bao nhieâu boùng ñeøn ?Tính toaùn treân maãu, ta ñöôïc n 50= , X 3564= , XS 217.37= .

a) Vôùi ñoä tin caäy 0.95γ = , ta tìm ñöôïc C 1.96= (baèng baûng phaân phoái

Student vôùi ñoä töï do = ∞ hay trong baûng phaân phoái Gauss). Töø ñoù suy ra öôùclöôïng

XS 217.37n 50

X C 3564 1.96μ = ± ⋅ = ± ⋅




87

vaø do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cho tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn laø

[ ]3503.75; 3624.25 .

b) Töø coâng thöùc sai soá öôùc löôïng XSn

Cε = ⋅ vaø vôùi ñoä tin caäy 0.95γ = , ta

ñöôïc C 1.96= neân neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 50, thì 217.37n

1.96 50⋅ ≤ .

Ta suy ra

( )2217.37

50n 1.96 72.6058≥ ⋅ ≈ ,

vaø do ñoù, caàn phaûi kieåm tra ít nhaát 73 boùng.

2.2.3. Öôùc löôïng 2σ trong phaân phoái ( )20N ;μ σ , ( 0μ bieát).

Ñeå öôùc löôïng phöông sai

2

σ trong phaân phoái chuaån coù trung bình 0μ bieát,ta cuõng duøng maãu ñoäc laäp 1 X , 2 X , ..., ( )2

n 0 X N ;μ σ∼ ñeå öôùc löôïng σ . Tröôùc heát,

löu yù raèng

( ) ( )2 i 0i 0

X X N ; N 0;1

− μμ σ ⇒

σ∼ ∼

vaø

( )( )

2i 0 2

2

X1

− μχ

σ ∼ .

Do ñònh lyù 5.6, chöông 3,

( )( )

2ni 0 2

2i 1

X Y n

=

− μ≡ χ

σ∑ ∼ .

Töø ñoù, vôùi ngöôõng xaùc suaát γ cho tröôùc (0 1< γ < ), ta tìm hai soá a, b sao cho

( )P a Y b≤ ≤ = γ

baèng caùch choïn a, b sao cho

( ) ( )1

P Y a P Y b2

− γ≤ = ≥ = .

Caùc giaù trò a, b naøy ñöôïc tìm thaáy trong baûng phaân phoái chi-bình phöông,

( )2

nχ , vaø thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø 1 22

2 2

1a +γ α−≡ χ = χ vaø 1 22

2 2

b −γ α≡ χ = χ , vôùi 1α = − γ .Töø ñoù, suy ra

( ) ( )

( ) ( )

2ni 0

2i 1

n n2 22

i 0 i 0i 1 i 1

XP a Y b P a b

1 1P X X

b a

=

= =

⎛ ⎞− μ⎜ ⎟γ = ≤ ≤ = ≤ ≤⎜ ⎟σ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − μ ≤ σ ≤ − μ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑ ∑

Do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cho 2σ vôùi ñoä tin caäy γ laø




88

( ) ( )n n

2 2i 0 i 0

i 1 i 1

1 1 X ; X

b a= =

⎡ ⎤− μ − μ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ .

2.2.4. Öôùc löôïng 2σ trong phaân phoái ( )2N ;μ σ , (μ chöa bieát).

Ñeå öôùc löôïng phöông sai 2σ trong phaân phoái chuaån coù trung bình μ chöa

bieát, ta cuõng duøng maãu ñoäc laäp 1 X , 2 X , ..., ( )2n X N ;μ σ∼ ñeå öôùc löôïng 2σ .

Ta coù, do ñònh lyù Lindeberg-Leùvy

( )( ) ( )

n22 X 2

i2 2i 1

n 1 S 1 Y X X n 1

=

−≡ = − χ −

σ σ ∑ ∼ .

Töø ñoù, vôùi ngöôõng xaùc suaát γ cho tröôùc (0 1< γ < ), ta tìm hai soá a, b sao cho

( )P a Y b≤ ≤ = γ

baèng caùch choïn 122

2 21a +γ α−≡ χ = χ , 1

22

2 2b −γ α≡ χ = χ töø baûng phaân phoái ( )2 n 1χ − ,

1α = − γ , ta ñöôïc

( ) ( )1

P Y a P Y b2

− γ≤ = ≥ = .

Töø ñoù, suy ra

( ) ( )

( ) ( )

2n

i

2i 1

n n2 22

i ii 1 i 1

X XP a Y b P a b

1 1P X X X X

b a

=

= =

⎛ ⎞−⎜ ⎟γ = ≤ ≤ = ≤ ≤⎜ ⎟σ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞= − ≤ σ ≤ −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑ ∑

Do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cho 2σ vôùi ñoä tin caäy γ laø

( ) ( )n n

2 2i i

i 1 i 1

1 1 X X ; X X

b a= =

⎡ ⎤− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑

2.2.5. Öôùc löôïng tyû leä p trong phaân phoái ( )B 1; p .

Ñeå öôùc löôïng tyû leä p trong phaân phoái Bernoulli, ta cuõng duøng maãu ñoäc laäp

1 X , 2 X , ..., ( )n X B 1;p∼ ñeå öôùc löôïng p. Ñaët

1 2 n X X ... Xf

n

+ + +=

thì

( )

( )( )

f p nZ N 0;1

p 1 p

−≡

−∼ .




89

Töø ñoù, vôùi ngöôõng xaùc suaát γ cho tröôùc (0 1< γ < ), töø baûng phaân phoái

Gauss, ta tìm ñöôïc2

C zα≡ sao cho

( )P C Z C− ≤ ≤ = γ

vaø do ñoù

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

f p n

p 1 p

p 1 p p 1 p

n n

p 1 p p 1 pn n

P C Z C P C C

P C f p C

P f C p f C

−

−

− −

− −

⎛ ⎞γ = − ≤ ≤ = − ≤ ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ≤ − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= − ≤ ≤ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Bieåu thöùc naøy chöa cho ta khoaûng öôùc löôïng cuûa p vì caùc ñaàu muùt coøn leäthuoäc vaøo p chöa bieát. Do ñoù, ta thay p baèng öôùc löôïng ñieåm, p f = , cuûa noù vaø ta

coù khoaûng öôùc löôïng

( ) ( )f 1 f f 1 f n nf C ; f C− −⎡ ⎤

− +⎢ ⎥⎣ ⎦.

Ví duï 11. Quan saùt ngaãu nhieân 200 loï thuoác trong moät loâ haøng lôùn, ta thaáycoù 17 loï khoâng ñaït tieâu chuaån. Haõy öôùc löôïng tyû leä thuoác khoâng ñaït tieâu chuaån (p)ôû ñoä tin caäy 95%.

Ta coù17

f 0.085200

= = .

Do ñoù, vôùi f 0.085= , 0.025C z 1.96= = vaø n 200= , ta coù

( )

( )

f 1 f

np f C

0.085 0.9150.085 1.96

2000.085 0.039

−= ±

⋅= ±

= ±

Ta cuõng coù theå giaûi quyeát baøi toaùn tìm côõ maãu n khi muoán öôùc löôïng tyû leä pvôùi ñoä tin caäy γ vaø sai soá ε cho tröôùc nhö sau

( ) ( )2

2

f 1 f C f 1 f

nC n− −

ε≤ ε ⇒ ≥ (*)

Hôn nöõa, töø nhaän xeùt raèng haøm soá ( )y x 1 x= − ñaït giaù trò lôùn nhaát laø 14 taïi

ñieåm 12x = , ta coù theå vieát




90

( )2

2

21 2C f 1 f 4

2 2

C C

4

−

ε ≤ =

ε ε.

Do ñoù, ta coù theå choïn côõ maãu2

2

Cn

4≥

ε (**)

Löu yù raèng maëc duø ta ñeàu coù theå duøng (*) vaø (**) ñeå tính côõ maãu. Nhöngthöôøng ta aùp duïng (*) neáu ta coù maãu thaêm doø (ñeå tính f). Khi ñoù, giaù trò côõ maãu seõthaáp (nghóa laø, chæ caàn quan saùt ít thoâi cuõng ñuû). Ta aùp duïng coâng thöùc (**) ñeåtính n khi khoâng coù thoâng tin naøo lieân quan ñeán tham soá caàn öôùc löôïng vaø khi ñoù,giaù trò côõ maãu khaù lôùn.

Ví duï 12. Ñeå öôùc löôïng tyû leä beänh soát reùt ôû Ñoàng Baèng Soâng Cöûu Long.

a) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02 ôû ñoä tin caäy 95% thì caàn quansaùt ít nhaát bao nhieâu ngöôøi ?

b) Ta quan saùt ngaãu nhieân 200 ngöôøi, thaáy coù 24 ngöôøi maéc beänh soát reùt.

i) Tìm khoaûng öôùc löôïng cuûa p vôùi ñoä tin caäy 95%,

ii) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02 ôû ñoä tin caäy 95% thì caànquan saùt ít nhaát maáy ngöôøi ?

a) Ta coù C 1.96= , 0.02ε = neân

( )

( )

22

2 2

1.96Cn 2041

4 4 0.02≥ = ≥

ε.

Vaäy caàn quan saùt ít nhaát 2041 ngöôøi.

b) i) Ta coù 24200

f 0.12= = , C 1.96= vaø n 200= neân ta coù öôùc löôïng cuûa tyû leä

p laø

( )f 1 f np f C 0.12 0.045−

= ± = ± .

ii) Vôùi C 1.96= , f 0.12= vaø 0.02ε = , ta coù

( )2

2

C f 1 f n 1014.18

−≥ ≈

ε

vaø do ñoù caàn quan saùt ít nhaát 1015 ngöôøi.

Cuoái cuøng, ta xeùt theâm moät soá ví duï toång hôïp caùc öôùc löôïng.

Ví duï 13. Caân ngaãu nhieân 45 con heo 3 thaùng tuoåi trong moät traïi chaên nuoâi,ta ñöôïc keát quaû sau

i X 35 37 39 41 43 45 47

in 2 6 10 11 8 5 3




91

Giaû söû khoái löôïng X (kg) tuaân theo quy luaät phaân phoái chuaån.

a) Tìm öôùc löôïng ñieåm vaø öôùc löôïng khoaûng cho khoái löôïng trung bình caùc

con heo 3 thaùng tuoåi trong traïi treân vôùi ñoä tin caäy 95%.b) Heo coù khoái löôïng 38kg≥ laø heo ñaït tieâu chuaån. Haõy tìm öôùc löôïng

khoâng cheäch vaø khoaûng tin caäy 90% cho tyû leä heo ñaït tieâu chuaån.

Vôùi soá lieäu, ta coù : côõ maãu n 45= , trung bình X 40.96= , phöông sai2 XS 9.73= . Do ñoù,

a) Öôùc löôïng ñieåm cho khoái löôïng trung bình laø 40.96kg. Öôùc löôïng khoaûng

cho khoái löôïng trung bình laø XS

n X Cμ = ± ⋅ . Vôùi ñoä tin caäy 0.95γ = , ta ñöôïc

C 1.96= , vaø do ñoù, 9.7345

40.96 1.96μ = ± ⋅ . Suy ra khoaûng öôùc löôïng laø

[ ]40.5kg;41.87kg .

c) Tyû leä heo ñaït tieâu chuaån laø 10 11 8 5 345f 0.8222+ + + += ≈ . Vaäy, öôùc löôïng khoâng

cheäch cho tyû leä heo ñaït tieâu chuaån laø 82,22% vaø öôùc löôïng khoaûng töông öùng laøf (1 f )

np f C −= ± ⋅ . Suy ra 0.8222(1 0.8222)

45p 0.8222 1.64 −= ± ⋅ vaø ta ñöôïc khoaûng öôùc

löôïng laø [ ]72.82%;91.62%

Baøi taäp.

1. Ño löôïng cholesterol (ñôn vò mg%) cho moät soá ngöôøi, ta ñöôïc

X (mg%) 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210

Soá ngöôøi 2 4 5 6 4 3

a) Tính trung bình maãu X vaø ñoä leäch chuaån XS .

b) Moät maãu thöù nhì Y cuûa 30 ngöôøi cho Y 180mg%= , YS 16mg%= . Nhaäp hai

maãu laïi, tính trung bình vaø ñoä leäch chuaån cuûa maãu nhaäp.

2. Coù 3 maãu quan saùt söùc naëng con ngöôøi, keát quaû ghi nhaän

Laàn quan saùt Trung bình Ñoä leäch

Maãu 1 70 55kg 8.30kg

Maãu 2 75 57kg 8.60kg

Maãu 3 90 54kg 8.50kg

Nhaäp chung 3 maãu laïi, tính trung bình vaø ñoä leäch maãu nhaäp. Döïa vaøo maãu nhaäpñeå öôùc löôïng trung bình cuûa toång theå ôû ñoä tin caäy 95% vaø 99%.

3. Ño ñöôøng kính cuûa moät chi tieát maùy do moät maùy tieän töï ñoäng saûn xuaát, ta ghinhaän ñöôïc soá lieäu nhö sau




92

X 12.00 12.05 12.10 12.15 12.20 12.25 12.30 12.35 12.40

N 2 3 7 9 10 8 6 5 3

vôùi N chæ soá tröôøng hôïp tính theo töøng giaù trò cuûa X (mm).

a) Tính trung bình X vaø ñoä leäch chuaån XS cuûa maãu.

b) Öôùc löôïng ñöôøng kính trung bình Xμ ôû ñoä tin caäy 0.95.

c) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02mmε = ôû ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi

quan saùt ít nhaát maáy tröôøng hôïp.

4. Ñem caân moät soá traùi caây vöøa thu hoaïch, ta ñöôïc keát quaû sau

X gam 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250

soá traùi 12 17 20 18 15

a) Tìm khoaûng öôùc löôïng cuûa khoái löôïng trung bình μ cuûa traùi caây vôùi ñoä tin caäy

0.95 vaø 0.99.

b) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 2gamε = ôû ñoä tin caäy 99% thì phaûi quan

saùt ít nhaát bao nhieâu traùi ?

c) Traùi caây coù khoái löôïng X 230gam≥ ñöôïc xeáp vaøo loaïi A. Haõy tìm khoaûng öôùc

löôïng cho tyû leä p cuûa traùi caây loaïi A ôû ñoä tin caäy 0.95 vaø 0.99. Neáu muoán sai soáöôùc löôïng khoâng quaù 0.04 ôû ñoä tin caäy 0.99 thí phaûi quan saùt ít nhaát maáy tröôønghôïp ?

5. Ngöôøi ta ño ion Na+ treân moät soá ngöôøi vaø ghi nhaän laïi ñöôïc keát quaû nhö sau

129, 132, 140, 141, 138, 143, 133, 137, 140, 143, 138, 140.

a) Tính trung bình maãu X vaø phöông sai maãu 2 XS .

b) Öôùc löôïng trung bình μ vaø phöông sai 2σ cuûa toång theå ôû ñoä tin caäy 0.95.

c) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng trung bình khoâng quaù 1ε = vôùi ñoä tin caäy 0.95 thì

phaûi quan saùt maãu goàm ít nhaát maáy ngöôøi ?

6. Quan saùt tuoåi thoï X (giôø) cuûa moät soá boùng ñeøn do xí nghieäp A saûn xuaát, ta ghinhaän

X 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800N 10 14 16 17 18 16 16 12 9

vôùi N chæ soá tröôøng hôïp theo töøng giaù trò cuûa X.

a) Tính trung bình maãu, X , vaø ñoä leäch chuaån maãu, XS .

b) Öôùc löôïng tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeøn ôû ñoä tin caäy 0.95.

c) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 30ε = giôø vôùi ñoä tin caäy 0.99 thì phaûi

quan saùt maãu goàm ít nhaát maáy boùng ñeøn ?

7. Ta muoán öôùc löôïng tyû leä vieâc thuoác bò söùt meû p trong moät loâ thuoác lôùn.




93

a) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.01 ôû ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi quan saùtít nhaát maáy vieân ?

b) Quan saùt ngaãu nhieân 200 vieân, thaáy coù 18 vieân bò söùt meû. Haõy öôùc löôïng p ôû ñoätin caäy 0.95. Khi ñoù, neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.01 ôû ñoä tin caäy 0.95thì phaûi quan saùt ít nhaát maáy vieân ?

8. Quan saùt chieàu cao X (cm) cuûa moät soá ngöôøi, ta ghi nhaän

X cm 140-145 145-150 150-155 155-160 160-165 165-170

Soá ngöôøi 1 3 7 9 5 2

a) Tính X vaø 2 XS .

b) Öôùc löôïng μ vaø 2σ ôû ñoä tin caäy 0.95.

9. Moät loaïi thuoác môùi ñöôïc ñem ñieàu trò cho 50 ngöôøi bò beänh B, keát quaû coù 40ngöôùi khoûi beänh.

a) Öôùc löôïng tyû leä khoûi beänh p neáu duøng thuoác ñoù ñieàu trò vôùi ñoä tin caäy 0.95 vaø0.99.

b) Neáu ta muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02 ôû ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi quansaùt ít nhaát maáy tröôøng hôïp ?

10. Moät loaïi beänh coù tyû leä töû vong laø 0.01. Muoán chöùng toû moät loaïi thuoác coù hieäunghieäm (nghóa laø haï thaáp ñöôïc tyû leä töû vong) ôû ñoä tin caäy 0.95 thì phaûi thöû thuoácñoù treân ít nhaát bao nhieâu ngöôøi ?




94

Chöông 5

KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THUYEÁTGiaû söû ta ñi tieáp nhaän moät loâ haøng (raát nhieàu) vaø ta chæ baèng loøng nhaän neáu

tyû leä hoûng p 0.05≤ vaø töø choái neáu p 0.05> .

Vaäy ta coù baøi toaùn kieåm ñònh

H : p 0.05 giaû thuyeátH : p 0.05 nghòch thuyeát

≤⎧⎨

>⎩

Moâ hình toång quaùt cuûa baøi toaùn kieåm ñònh laø : ta neâu leân hai meänh ñeà traùingöôïc nhau, moät meänh ñeà ñöôïc goïi laø giaû thuyeát H vaø meänh ñeà ngöôïc laïi ñöôïc goïi

laø nghòch thuyeát H . Giaûi quyeát moät baøi toaùn kieåm ñònh laø neâu leân moät quy taéchaønh ñoäng (chaáp nhaän giaû thuyeát H hoaëc baùc boû giaû thuyeát H) baèng caùch döïa vaøoquan saùt maãu.

Ta noùi raèng : chaáp nhaän giaû thuyeát H, coù nghóa laø ta tin raèng H ñuùng; töø

choái H coù nghóa laø ta tin raèng H sai. ÔÛ ñaây, ta khoâng theå khaúng ñònh H ñuùng haysai, ta chæ quan saùt ngaãu nhieân moät soá tröôøng hôïp neân khoâng theå khaúng ñònhchaéc chaén ñieàu gì cho caû toång theå.

1. CAÙC LOAÏI LOÃI LAÀM

Quan saùt ngaãu nhieân moät soá tröôøng hôïp roài suy roäng ra cho toång theå, söï suy

roäng naøy coù khi ñuùng, coù khi khoâng ñuùng. Thoáng keâ hoïc phaân bieät hai loaïi loãilaàm :

a. Loãi laàm loaïi 1 : töø choái H, khi H ñuùng,

b. Loãi laàm loaïi 2 : chaáp nhaän H, khi H sai.

Quyeát ñònhThöïc teá

Chaáp nhaän H Töø choái H

H xaûy ra Ñuùng Loãi laàm loaïi 1

H khoâng xaûy ra Loãi laàm loaïi 2 Ñuùng

Ñaët ( )P loãi laàm loaïi 1α = , ( )P loãi laàm loaïi 2β = . Ta muoán caùc cô hoäi loãi laàm

xaûy ra caøng ít caøng toát. Tuy nhieân, neáu haï thaáp α thì β seõ taêng vaø ngöôïc laïi. Do

ñoù, treân thöïc teá thì ta xem giöõa hai loaïi loãi laàm naøy, loãi laàm naøo taùc haïi nhieàuhôn thì caàn traùnh. Trong thoáng keâ, ta quy öôùc raèng loãi laàm loaïi 1 taùc haïi hôn vaøcaàn traùnh hôn. Do ñoù, ta chæ xeùt caùc pheùp kieåm ñònh coù cô hoäi loãi laàm loaïi 1 ( α )khoâng vöôït quaù moät giaù trò aán ñònh tröôùc, thoâng thöôøng laø 1%; 5% hoaëc 10%. Giaùtrò α coøn ñöôïc goïi laø möùc yù nghóa cuûa kieåm ñònh.




95

Gaàn gioáng nhö trong lyù thuyeát veà öôùc löôïng khoaûng, ñeå giaûi quyeát baøi toaùnkieåm ñònh, ta quan saùt maãu 1 X , 2 X , ..., n X vaø ñöa ra giaû thuyeát H. Töø maãu quan

saùt, ta choïn moät thoáng keâ ( )1 2 n 0Q f X , X ,..., X ;= θ sao cho neáu H ñuùng thì phaânphoái xaùc suaát cuûa Q hoaøn toaøn xaùc ñònh. Ta coøn noùi thoáng keâ Q laø tieâu chuaån

kieåm ñònh giaû thuyeát H.

Baáy giôø, vôùi möùc sai laàm α cho tröôùc, ta tìm ñöôïc khoaûng tin caäy [ ]a, b cuûa

Q vôùi ñoä tin caäy 1γ = − α vaø khi ñoù,

− Neáu [ ]Q a, b∈ : ta chaáp nhaän giaû thuyeát H, vaø

− Neáu [ ]Q a, b∉ : ta baùc boû giaû thuyeát H.

Trong öùng duïng, neáu haøm maät ñoä cuûa Q coù ñoà thò ñoái xöùng qua truïc Oy ,

chaúng haïn nhö trong phaân phoái Gauss, ( )N 0;1 , vaø phaân phoái Student, ( )St n , thìta choïn khoaûng tin caäy ñoái xöùng [ ]C,C− vôùi

( ) ( ) 2P Q C P Q C α≤ − = ≥ =

vaø do ñoù, ta coù

− Neáu Q C≤ : Chaáp nhaän giaû thuyeát H, vaø

− Neáu Q C> : Baùc boû giaû thuyeát H.

Neáu haøm maät ñoä cuûa Q khoâng ñoái xöùng, chaúng haïn nhö trong phaân phoái 2χ ,

( )2 nχ , vaø phaân phoái Fisher, ( )F n,m , thì thay vì choïn khoaûng tin caäy [ ]a, b sao cho

( ) ( ) 2P Q a P Q b α≤ = ≥ = ,

ta quy öôùc khoaûng tin caäy trong pheùp kieåm ñònh laø [ ]0,C vôùi

( )P Q C≥ = α .

− Neáu Q C≤ : Chaáp nhaän giaû thuyeát H, vaø

− Neáu Q C> : Baùc boû giaû thuyeát H.

Trong phaàn sau, döïa treân caùc baûng soá lieäu, ta laàn löôït khaûo saùt caùc pheùpkieåm ñònh :

− So saùnh caùc baûng soá lieäu, maø ngöôøi ta coøn goïi laø caùc pheùp kieåm ñònh phitham soá, vaø

− So saùnh tham soá ñaëc tröng cuûa caùc baûng soá lieäu, maø ngöôøi ta coøn goïi laøcaùc pheùp kieåm ñònh tham soá.




96

2. SO SAÙNH CAÙC BAÛNG SOÁ LIEÄU

2.1. Tröôøng hôïp soá lieäu treân moät haøng.

Quan saùt ngaãu nhieân 400 treû sô sinh, ta thaáy coù 218 beù trai. Hoûi raèng tyû leäsinh con trai vaø gaùi coù nhö nhau khoâng ? Keát luaän vôùi 0.05α = .

Goïi ( )p P T= laø tyû leä sinh con trai. Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh

1212

H : p

H : p

⎧ =⎪⎨

≠⎪⎩

Baûng phaân phoái taàn soá quan saùt laø :

ω T G

N 218 182Neáu H ñuùng thì veà maët lyù thuyeát, baûng phaân phoái taàn soá (lyù thuyeát) phaûi laø :

ω T G

N′ 200 200

Neáu hai baûng naøy khoâng khaùc nhau nhieàu, ta nghó raèng quan saùt phuø hôïpvôùi lyù thuyeát neân ta chaáp nhaän giaû thuyeát H. Ngöôïc laïi, neáu hai baûng naøy khaùcnhau nhieàu thì ta nghóa raèng quan saùt khoâng phuø hôïp vôùi lyù thuyeát vaø ta töø choáiH. Ñoä khaùc bieät giöõa quan saùt vaø lyù thuyeát ñöôïc tính bôûi

( )2N NQN

′−=′∑

vaø ta duøng Q laøm tieâu chuaån kieåm ñònh giaû thuyeát H. Ta coù

Ñònh lyù Pearson. Trong ñieàu kieän H ñuùng vaø khoâng gian maãu coù r tröôøng hôïp

xaûy ra thì

1) ( )2Q r 1χ −∼ , neáu khoâng coù tham soá naøo caàn öôùc löôïng.

2) ( )2Q r k 1χ − −∼ , neáu coù k tham soá caàn öôùc löôïng.

Chaúng haïn, neáu öôùc löôïng trung bình μ , thì ( )2Q r 2χ −∼ ; neáu öôùc löôïng caû

trung bình laãn phöông sai ( )2;μ σ thì ( )2Q r 3χ −∼ .

Ta thöøa nhaän keát quaû naøy. Do Q coù phaân phoái 2χ neân vôùi möùc yù nghóa α

cho tröôùc, ta tìm ñöôïc giaù trò 2C α≡ χ sao cho

( )

( )

P Q C

P töø choái H khi H ñuùng

α = >

≡

Trôû laïi ví duï treân, ta coù




97

( ) ( )2 2218 200 182 200

Q 3.24200 200− −

= + =

Trong ñieàu kieän H ñuùng thì ( )2Q 1χ∼ . Khi ñoù, vôùi möùc yù nghóa 0.05α = , ta

ñöôïc 20.05C 3.843≡ χ = .

Keát luaän : So saùnh giöõa Q vaø C, ta coù Q C≤ . Vaäy ta chaáp nhaän H, nghóa laø

tyû leä sinh con trai vaø con gaùi laø nhö nhau.

Chuù yù raèng Q coù phaân phoái gaàn ñuùng vôùi ( )2 r 1χ − . Ñeå coù theå söû duïng phaân

phoái 2χ thì soá laàn quan saùt phaûi khaù lôùn. Theo Cramer, soá laàn quan saùt phaûi ñuû

lôùn ñeå caùc taàn soá quan saùt vaø lyù thuyeát moãi tröôøng hôïp töø 10 trôû leân neân trongtröôøng hôïp coù nhöõng taàn soá quaù beù, ta coù theå xöû lyù baèng moät trong hai caùch sau :

− Quan saùt theâm nöõa (neáu coù ñieàu kieän).

− Nhaäp tröôøng hôïp naøy vôùi tröôøng hôïp beân caïnh (neáu khoâng coù ñieàu kieänquan saùt tieáp tuïc).

Ví duï 1. Ñeám soá hoàng caàu X trong moãi oâ vuoâng cuûa moät hoàng caàu keá, ta ghiñöôïc

Löôïng hoàng caàu 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Soá oâ 3 8 12 20 20 14 10 8 4 1

Hoûi X coù tuaân theo phaân phoái Poisson hay khoâng ? Keát luaän vôùi 0.05α = .

Tröôùc heát, ta öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa X,

( )1i i 100

i

1 X n X 0 3 1 8 ... 9 1 3.99 4

nμ = = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ≈∑

Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh

( )H : X P 4H : H sai

⎧⎨⎩

∼

Vì soá laàn quan saùt ôû tröôøng hôïp X 0= vaø X 8,9= quaù beù, neân ta saùt nhaäp

vôùi caùc tröôøng hôïp beân caïnhLöôïng hoàng caàu 1≤ 2 3 4 5 6 7≥

Soá oâ 11 12 20 20 14 10 13

Neáu H ñuùng thì ( ) X P 4∼ , haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X laø

( )x

4 4f (x) P X x e

x !−= = = , x 0,1,2,3, ...=




98

Töø haøm maät ñoä xaùc suaát, ta coù theå tính ñöôïc xaùc suaát moãi tröôøng hôïp xaûy ra( ) kP X k p= ≡ roài suy ra taàn soá lyù thuyeát kN np′ = .

X N p N np′ = ( )2N NN

′−′

0 vaø 1 11 0.09 9 0.4444

2 12 0.15 15 0.6

3 20 0.2 20 0

4 20 0.2 20 0

5 14 0.16 16 0.25

6 10 0.1 10 0

7, 8 vaø 9 13 0.1 10 0.9

100 Q 2.1944=

Neáu H ñuùng thì ( ) ( )2 2Q 7 2 5χ − = χ∼ neân vôùi möùc yù nghóa 0.05α = , ta tìm

ñöôïc 20.05C 11.07≡ χ = .

Keát luaän : Q C≤ neân ta chaáp nhaän H, nghóa laø ( ) X P 4∼ .

Ví duï 2. Quan saùt söùc naëng X (kg) cuûa moät nhoùm ngöôøi, ta ghi laïi ñöôïc

X 30-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-70

Soá ngöôøi 9 15 24 27 17 8

Hoûi X coù phaân phoái theo luaät chuaån khoâng ? Keát luaän vôùi 0.05α = .

Öôùc löôïng trung bình vaø phöông sai cuûa X,

X 50kgμ = = ,

2 2 2 XS 60kgσ = ≈ ,

XS 7.75kg≈ ,

ta coù baøi toaùn kieåm ñònh

( )H : X N 50;60H : H sai

⎧⎨⎩

∼

Ñeå coù theå laäp baûng taàn soá lyù thuyeát vaø so saùnh vôùi taàn soá thöïc nghieäm, tatính xaùc suaát lyù thuyeát xaûy ra ôû töøng tröôøng hôïp khaûo saùt, vôùi ( ) X 50

7.75Z N 0;1−≡ ∼ ,

( ) ( ) ( )40 507.75P X 40 P Z P Z 1.29

0.0985 0.1

−≤ = ≤ = ≤ −

= ≈




99

( ) ( )( )

40 50 45 507.75 7.75P 40 X 45 P Z

P 1.29 Z 0.66 0.1561 0.16

− −≤ ≤ = ≤ ≤

= − ≤ ≤ − = ≈

( ) ( )( )

45 50 50 507.75 7.75P 45 X 50 P Z

P 0.66 Z 0 0.2454 0.24

− −≤ ≤ = ≤ ≤

= − ≤ ≤ = ≈

( ) ( )( )

50 50 55 507.75 7.75P 50 X 55 P Z

P 0 Z 0.66 0.2454 0.24

− −≤ ≤ = ≤ ≤

= ≤ ≤ = ≈

( ) ( )( )

55 50 60 507.75 7.75P 55 X 60 P Z

P 0.66 Z 1.29 0.1561 0.16

− −≤ ≤ = ≤ ≤

= ≤ ≤ = ≈

( ) ( ) ( )60 507.75P 60 X P Z P 1.29 Z

0.0985 0.10

−

≤ = ≤ = ≤= ≈

vaø ta coù baûng sau

Lôùp N p N np′ = ( )2N N

N′−

′

40≤ 9 0.10 10 0.1

40-45 15 0.16 16 0.0625

45-50 24 0.24 24 0

50-55 27 0.24 24 0.375

55-60 17 0.16 16 0.0625

60≥ 8 0.10 10 0.4

100 100 Q 1.00=

Do ñònh lyù Pearson, neáu H ñuùng thì ( ) ( )2 2Q 6 2 1 3χ − − = χ∼ . Do ñoù, vôùi

möùc yù nghóa 0.05α = , ta tìm ñöôïc 20.05C 7.815≡ χ = .

Keát luaän : Q C≤ , ta chaáp nhaän H, nghóa laø ( ) X N 50;60∼ .

2.2. Tröôøng hôïp soá lieäu trong moät baûng.Coù hai loaïi thuoác A, B duøng ñieàu trò cuøng moät chöùng beänh ñöôïc ñem thöû

nghieäm treân hai nhoùm ngöôøi coù cuøng theå traïng. Keát quaû ghi laïi ñöôïc nhö sau

Khoûi Giaûm Cheát Toång

Thuoác A 118 65 17 200

Thuoác B 182 85 33 300

Toång 300 150 50 500




100

Hoûi raèng taùc duïng cuûa hai loaïi thuoác coù nhö nhau khoâng ? Keát luaän vôùi0.05α = .

Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh :H : Taùc duïng thuoác A vaø B nhö nhauH : Taùc duïng thuoác A vaø B khaùc nhau

⎧⎨⎩

Neáu H ñuùng thì

( )118 182 300

P khoûi 0.6200 300 500

+= = =

+,

( )65 85 150

P giaûm 0.3200 300 500

+= = =

+,

( )

17 33 50

P cheát 0.1200 300 500

+

= = =+ .Baûng phaân phoái taàn soá lyù thuyeát (khi H ñuùng) laø

Khoûi Giaûm Cheát Toång

Thuoác A 120 60 20 200

Thuoác B 180 90 30 300

Toång 300 150 50 500

Ñoä khaùc bieät giöõa quan saùt vaø lyù thuyeát laø

( )

( ) ( )

2

2 2

N NQ

N

118 120 33 30... 1.5

120 30

′−=

′

− −= + + =

∑

Do ñònh lyù Pearson, neáu H ñuùng thì ( )2Q χ ν∼ , vôùi ñoä töï do

( ) ( )soá haøng 1 soá coät 1 1 2 2ν = − ⋅ − = ⋅ = .

Vôùi möùc yù nghóa 0.05α = , ta ñöôïc 20.05C 5.992≡ χ = vaø do ñoù

Keát luaän : Q C≤ , chaáp nhaän H, nghóa laø taùc duïng hai loaïi thuoác laø nhönhau.

2.3. Tröôøng hôïp maãu nhoû

Trong tröôøng hôïp khoâng coù cô hoäi quan saùt ñöôïc nhieàu hoaëc nhöõng hieäntöôïng ít xaûy ra, ta khoâng theå thu thaäp soá löôïng ñuû ñeå quan saùt sao cho caùc taàn soáxaáp xæ 10. Khi ñoù, ta duøng pheùp kieåm ñònh 2χ vôùi hieäu chænh Yates.




102

Keát luaän : Q C≤ neân ta chaáp nhaän H, nghóa laø taùc duïng hai loaïi thuoác nhö nhau.

3. SO SAÙNH THAM SOÁ ÑAËC TRÖNG CAÙC BAÛNG SOÁ LIEÄU

Trong phaàn naøy, thay vì so saùnh toaøn boä caùc soá haïng trong baûng soá lieäu, tachæ so saùnh caùc ñaëc tröng cô baûn cuûa noù bao goàm trung bình, phöông sai vaø tyû leä.

3.1. So saùnh trung bình vôùi moät soá (khi bieát phöông sai)

Quan saùt maãu 1 X , 2 X , ..., n X coù cuøng phaân phoái ( )20N ;μ σ ( μ chöa bieát, 2

0σ

ñaõ bieát).

Ta seõ duøng maãu treân ñeå kieåm ñònh giaû thuyeát 0μ = μ hay khoâng vôùi 0μ laø

moät trò soá cho saün. Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh

00

H :H : μ = μ⎧⎨ μ ≠ μ⎩

Ta coù20

i 0 n1

X X N ;n

σ⎛ ⎞= μ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∼ ,

( )( )

0

00

0n

X n XZ N 0;1

σ

− μ− μ= =

σ ∼ ,

khi H ñuùng.

Ñaïi löôïng Z ño löôøng möùc ñoä khaùc bieät giöõa X vaø0

μ (vaø do ñoù giöõa μ vaø

0μ ). Ta duøng Z laøm tieâu chuaån kieåm ñònh giaû thuyeát H vaø töø phaân phoái Gauss

( )N 0;1 , vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta tìm ñöôïc 12

C z −α≡ sao cho

( )

( )

P Z C


α = >

≡

vaø ta keát luaän

Z C> : töø choái H,

Z C≤ : chaáp nhaän H.

Ví duï 4. Bieát ñöôïc chieàu cao ngöôøi Vieät Nam thoûa ( ) X N ;100μ∼ . Coù taøi lieäu

cho bieát chieàu cao trung bình naøy laø 0 160cmμ = . Ta quan saùt ngaãu nhieân moät

maãu 80 ngöôøi, tính ñöôïc trung bình laø X 162cm= . Hoûi raèng quan saùt naøy coù phuøhôïp vôùi giaù trò cuûa taøi lieäu cho bieát khoâng ? Keát luaän vôùi 0.05α = .

Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh :

H : 160H : 160

μ =⎧⎨

μ ≠⎩




103

( ) ( )0

0

X n 162 160 80Z 1.79

10

− μ −= = =

σ.

Vôùi 0.05α = , ta coù 1 0.052

C z 1.96−≡ = .

Keát luaän : Z C≤ , vaäy chaáp nhaän H, nghóa laø chieàu cao trung bình cuûa ngöôøi

Vieät Nam laø 160cm.

3.2. So saùnh tyû leä vôùi moät soá.

Quan saùt 400 treû sô sinh, ta thaáy coù 218 beù trai. Hoûi tyû leä sinh con trai vaøcon gaùi coù gioáng nhau khoâng ? Keát luaän vôùi 0.01α = .

Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh :

1212

H : pH : p

⎧ =⎪⎨

≠⎪⎩

Duøng

( )( )

f p nZ N 0;1

pq

−= ∼

vôùi q 1 p= − , laøm tieâu chuaån kieåm ñònh giaû thuyeát H. Vì

218f 0.545

400

= =

neân

( )0.545 0.5 400Z 1.8

0.5 0.5

−= =

⋅

vaø vôùi möùc yù nghóa 0.01α = , ta tìm ñöôïc 1 0.012

C z 2.58−≡ = .

Keát luaän : Z C≤ neân ta chaáp nhaän H, nghóa laø tyû leä sinh con trai vaø con

gaùi laø nhö nhau.

ÔÛ ñaây ta chuù yù raèng so saùnh Z 1.8= vôùi C 2.58= cuõng gioáng nhö so saùnh

Q 3.24= vôùi C 3.84= trong pheùp kieåm ñònh 2χ .

Noùi chung, caùc pheùp kieåm ñònh, neáu vaän duïng ñuùng thì cho keát luaän nhönhau, khoâng coù ñieàu gì maâu thuaãn giöõa thuaät toaùn naøy vaø thuaät toaùn khaùc. Trongluùc nghieân cöùu, tuøy theo sôû thích vaø tuøy theo töøng moâ hình, ta löïa choïn thuaättoaùn töông öùng ñeå duøng.




104

3.3. So saùnh trung bình vôùi moät soá (chöa bieát phöông sai)

Quan saùt maãu 1 X , 2 X , ..., n X ñoäc laäp vaø coù cuøng phaân phoái ( )2N ;μ σ (μ ,

2σ chöa bieát).

Ta seõ duøng maãu treân ñeå kieåm ñònh giaû thuyeát 0μ = μ ( 0μ laø moät trò soá cho

saün). Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh

0

0

H :H :

μ = μ⎧⎨

μ ≠ μ⎩

Khi H ñuùng, ta coù

( )2

i 0 n1

X X N ;n

σ= μ∑ ∼ ,

( )( )

0 X nZ N 0;1

− μ=

σ ∼ ,

( )( )

2 X 2

2

n 1 S Y n 1

−= χ −

σ ∼ .

Do ñoù,

( )

( )( )

0

Y Xn 1

X nZT St n 1

S−

− μ≡ = −∼ .

Bieán soá T ño löôøng söï khaùc bieät giöõa X vaø 0μ (vaø do ñoù giöõa μ vaø 0μ ) vaø

ñöôïc duøng laøm tieâu chuaån kieåm ñònh giaû thuyeát H.

Chuù yù raèng phaân phoái Student coù haøm maät ñoä ñoái xöùng qua truïc Oy neân

töông töï nhö trong phaân phoái Gauss, vôùi moãi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta tìmñöôïc C tα≡ sao cho

( )

( )

P T C


α = >

=

vaø ta keát luaänT C> : töø choái H,

T C≤ : chaáp nhaän H.

Ngoaøi ra, löu yù raèng khi n 1 30− ≤ thì C tα≡ ñöôïc ñoïc trong baûng ( )St n 1−

vaø khi n 1 30− > thì C ñöôïc ñoïc trong baûng ( )N 0;1 , 12

C z −α≡ hoaëc trong baûng

phaân phoái Student vôùi ñoä töï do df = ∞ .




105

Ví duï 5. Quan saùt ngaãu nhieân chieàu cao X cuûa 27 ngöôøi, ta tính ñöôïc X 157cm= , XS 12cm= . Coù taøi lieäu cho bieát chieàu cao trung bình laø 0 160cmμ = .

Hoûi raèng quan saùt naøy coù phuø hôïp vôùi giaù trò cuûa taøi lieäu cho bieát khoâng ? Keátluaän vôùi 0.05α = .


H : 160H : 160

μ =⎧⎨

μ ≠⎩

( ) ( )0

X

X n 157 160 27T 1.29

S 12

− μ −= = = −

Neáu H ñuùng thì ( )T St 26∼ vaø do ñoù vôùi möùc yù nghóa 0.05α = , ta thu ñöôïc

0.05C t 2.056≡ = .

Keát luaän : T C≤ neân ta chaáp nhaän H, nghóa laø keát quaû quan saùt phuø hôïp

vôùi taøi lieäu cho bieát.

3.4. So saùnh hai trung bình.

Xeùt hai maãu ñoäc laäp

1 X , 2 X , ..., n X ; ( )2i X X N ;μ σ∼ ;

1 Y , 2 Y , ..., m Y ; ( )2i Y Y N ;μ σ∼ .

Giaû söû raèng caû hai phaân phoái coù cuøng phöông sai2

σ chöa bieát. Döïa vaøo haimaãu quan saùt, ta muoán kieåm ñònh giaû thuyeát X Yμ = μ hay khoâng ?


X Y

X Y

H :H :

μ = μ⎧⎨

μ ≠ μ⎩

Ñaët

( ) ( )2 2 X Y2 n 1 S m 1 S

Sn m 2

− + −=

+ −.

Ta coù

( )1 1n m

X YT St n m 2

S

−= + −

+∼

khi H ñuùng.

Ñaïi löôïng T ño löôøng söï khaùc bieät caùc trung bình ôû hai maãu vaø do ñoù theåhieän söï khaùc bieät cuûa caùc trung bình lyù thuyeát vaø do ñoù T ñöôïc duøng laøm tieâuchuaån kieåm ñònh giaû thuyeát H. Töø ñoù, vôùi möùc yù nghóa α , ta tìm ñöôïc C tα≡ sao

cho




106

( )

( )

P T C


α = >

≡


T C> : töø choái H,

T C≤ : chaáp nhaän H.

Ví duï 6. Goïi X, Y laø khoái löôïng treû sô sinh trai vaø gaùi. Quan saùt ngaãu nhieân20 beù trai, ta tính ñöôïc X 3200g= ; XS 400g= vaø quan saùt 17 beù gaùi, ta tính ñöôïc

Y 3000g= ; YS 380g= . Hoûi raèng khoái löôïng cuûa treû sô sinh trai vaø gaùi coù gioáng

nhau khoâng ? Keát luaän vôùi 0.05α = .

Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh X Y

X Y

H :H :

μ = μ⎧⎨

μ ≠ μ⎩

Ngoaøi ra,

( ) ( )2 2 2 2 X Y2 n 1 S m 1 S 19 400 16 380

S 152686n m 2 35

− + − ⋅ + ⋅= = =

+ −,

S 390.98g= ,

( ) ( ) ( )1 1n m

1 120 17

X YT St 20 17 2 St 35 N 0;1

S

3200 30001.55

390.98

−= + − = ≈

+

−= =

⋅ +

∼

Vôùi 0.05α = , ta coù 1 0.052

C z 1.96−≡ = .

Keát luaän : T C≤ neân ta chaáp nhaän H, nghóa laø khoái löôïng treû sô sinh trai

vaø gaùi nhö nhau.

3.5. Tröôøng hôïp soá lieäu töøng caëp

Giaû söû ta duøng thuoác A cho 10 ngöôøi. Baûng sau ghi laïi nhòp tim/phuùt cuûatöøng ngöôøi tröôùc vaø sau khi duøng thuoác.

Ngöôøi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tröôùc : X 70 77 78 72 81 78 73 74 79 80

Sau : Y 76 75 78 77 85 81 76 74 85 80

Hoûi raèng thuoác A coù laøm thay ñoåi nhòp tim hay khoâng ? Keát luaän vôùi0.05α = .




107

Ñaây laø tröôøng hôïp daõy soá lieäu töøng caëp. Ta khoâng theå caên cöù treân nhòp timtrung bình cuûa töøng daõy soá ñeå so saùnh maø ta phaûi quan taâm ñeán söï thay ñoåi cuûa

töøng caù theå. Ñaëtd Y X= −

ñeå chæ soá löôïng gia taêng nhòp tim. Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh

d

d

H : 0H : 0

μ =⎧⎨

μ ≠⎩

Vì

( ) ( )

d

d 0 n 2.5 0 10T 2.79

S 2.84

− −= = =

vaø neáu H ñuùng thì ( )T St 9∼ . Maø vôùi 0.05α = thì 0.05C t 2.262≡ = .

Keát luaän : Do T C> , ta baùc boû giaû thuyeát H vaø keát luaän raèng thuoác A coù

laøm thay ñoåi nhòp tim.

3.6. So saùnh hai tyû leä.

Giaû söû quan saùt n 100= beù trai thaáy coù 15 chaùu maéc beänh B; cuõng quan saùtm 150= beù gaùi, thaáy coù 18 chaùu bò beänh B. Hoûi raèng tyû leä nhieãm beänh B ñoái vôùibeù trai vaø beù gaùi coù gioáng nhau khoâng ? Keát luaän vôùi 0.05α = .

Goïi

( )1p P B trai= = tyû leä beänh cuûa beù trai, vaø

( )2p P B gaùi= = tyû leä beänh cuûa beù gaùi.


1 2

1 2

H : p pH : p p

=⎧⎨

≠⎩

Ta coù

1f = taàn suaát bò beänh cuûa beù trai15

0.15100

= = ,

2f = taàn suaát bò beänh cuûa beù gaùi 18 0.12150

= = .

Ñaët1 2nf mf 15 18

p 0.312n m 100 150

+ += = =

+ +,

( )( ) ( ) ( )1 2

1 1n m

f f T St n m 2 St 248 N 0;1

pq

−= + − = ≈

+∼

vaø vôùi maãu treân, ta coù




108

( )1 1100 150

0.15 0.12T 0.6865

0.132 0.868

−= =

⋅ +

vaø vôùi 0.05α = , thì 1 0.052C z 1.96−= = .

Keát luaän : T C≤ neân ta chaáp nhaän H, nghóa laø tyû leä nhieãm beänh B cuûa beù

trai vaø beù gaùi nhö nhau.

3.7. So saùnh hai phöông sai

Ta quan saùt hai maãu ñoäc laäp

1 X , 2 X , ..., n X ; ( )2i X X X N ;μ σ∼ ;

1 Y , 2 Y , ..., n Y ; ( )2i Y Y Y N ;μ σ∼ .

Ta muoán so saùnh hai phöông sai 2 Xσ vaø 2

Yσ baèng caùch döïa vaøo caùc giaù trò

quan saùt ôû hai maãu treân.

Giaû söû X YS S≥ (trong tröôøng hôïp ngöôïc laïi thì ta thay ñoåi vai troø cuûa X vaø

Y). Ta coù baøi toaùn kieåm ñònh

2 2 X Y2 2 X Y

H :

H :

⎧ σ = σ⎪⎨

σ > σ⎪⎩

Ta coù

( )( )

2 X 22 X

n 1 S n 1−

χ −σ

∼ ,

( )( )

2 Y 2

2 Y

m 1 Sm 1

−χ −

σ ∼ .

Töø hai bieán soá naøy, ta thaønh laäp bieán soá F,

( )

( ) ( )

2 X

2 X

2 Y

2

Y

n 1 S1 2 2n 1 Y X2 2m 1 S1 X Y

m 1

SF F n 1,m 1

S

−− σ

−− σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ= = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ .

Khi H ñuùng, 2 2 X Yσ = σ , thì

( )2 X2 Y

SF F n 1,m 1

S= − −∼

Do ñoù, ñeå so saùnh hai phöông sai 2 Xσ vaø 2

Yσ , ta ñaët

2 X2 Y

S phöông sai lôùnF

phöông sai beùS= =




109

vaø duøng F laøm tieâu chuaån kieåm ñònh giaû thuyeát H.

Do haøm maät ñoä cuûa phaân phoái Fisher khoâng ñoái xöùng neân vôùi möùc yù nghóa

α cho tröôùc, ta choïn C f α≡ sao cho( )

( )

P F C


α = >

≡


F C> : töø choái H,

F C≤ : chaáp nhaän H.

Ví duï 7. Quan saùt troïng löôïng X cuûa 25 treû sô sinh trai vaø troïng löôïng cuûa

19 treû sô sinh gaùi. Ta tính ñöôïc

2 2

XS 450g= vaø

2 2

YS 360g= . Haõy so saùnh haiphöông sai 2 Xσ vaø 2

Yσ . Keát luaän vôùi 0.05α = .


2 2 X Y2 2 X Y

H :

H :

⎧ σ = σ⎪⎨

σ > σ⎪⎩

2 X2 Y

S 450F 1.25

360S= = = .

Neáu H ñuùng thì( )

F F 24,18∼ neân vôùi 0.05α = , ta ñöôïc0.05

C f 2.15≡ = .

Keát luaän : F C< , chaáp nhaän H, nghóa laø 2 2 X Yσ = σ .

Baøi taäp.

1. Coù moät loâ haøng maø ngöôøi giao haøng cho bieát tyû leä hoûng 0.10; thöù phaåm 0.30;ñaït 0.40; toát 0.20. Ta kieåm tra moät soá tröôøng hôïp thaáy coù 25 saûn phaåm hoûng; 50thöù phaåm; 50 saûn phaåm ñaït; 25 saûn phaåm toát. Hoûi raèng lôøi ngöôøi giao haøng noùicoù ñuùng khoâng ? (keát luaän vôùi 5%α = ).

2. Ño cholesterol (ñôn vò mg%) cho moät nhoùm ngöôøi, ta ghi nhaän laïi ñöôïc

Chol. 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210

Soá ngöôøi 3 9 11 3 2 1

a) Tính trung bình X vaø phöông sai 2 XS ,

b) Tìm khoaûng öôùc löôïng cho trung bình cholesterol trong daân soá, Xμ , ôû ñoä tin

caäy 0.95γ = ,

c) Coù taøi lieäu cho bieát löôïng cholesterol trung bình laø 0 175mg%μ = . Giaù trò naøy coù

phuø hôïp vôùi maãu quan saùt khoâng ? (keát luaän vôùi 0.05α = ).




110

3. Quan saùt söùc naëng cuûa beù trai (X) vaø beù gaùi (Y) luùc sô sinh (ñôn vò gam), ta coùkeát quaû

Khoái löôïng 3000-3200 3200-3400 3400-3600 3600-3800 3800-4000

Soá beù trai 1 3 8 10 3

Soá beù gaùi 2 10 10 5 1

a) Tính X , Y , 2 XS , 2

YS ,

b) So saùnh caùc phöông sai 2 Xσ , 2

Yσ (keát luaän vôùi 5%α = ),

c) So saùnh caùc trung bình Xμ , Yμ (keát luaän vôùi 5% ),

d) Nhaäp hai maãu laïi. Tính trung bình vaø ñoä leäch chuaån cuûa maãu nhaäp. Duøng maãu

nhaäp ñeå öôùc löôïng söùc naëng trung bình cuûa treû sô sinh ôû ñoä tin caäy 95%.4. Moät maùy ñoùng goùi caùc saûn phaåm coù khoái löôïng 2kg. Nghi ngôø maùy hoaït ñoängkhoâng bình thöôøng, ngöôøi ta choïn ra moät maãu ngaãu nhieân goàm 100 saûn phaåm thìthaáy nhö sau :

Khoái löôïng 0.95 0.97 0.99 1.01 1.03 1.05

Soá goùi 9 31 40 15 3 2

Vôùi möùc yù nghóa 0.05, haõy keát luaän veà nghi ngôø treân.

5. Quan saùt soá hoa hoàng baùn ra trong moät ngaøy cuûa moät cöûa haøng baùn hoa sau

moät thôøi gian, ngöôøi ta ghi ñöôïc soá lieäu sauSoá hoa hoàng (ñoùa) 12 13 15 16 17 18 19

Soá ngaøy 3 2 7 7 3 2 1

a) Tìm öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa soá hoa hoàng trung bình baùn ñöôïc trong moätngaøy.

b) Sau khi tính toaùn, oâng chuû cöûa haøng noùi raèng neáu trung bình moät ngaøy khoângbaùn ñöôïc 15 ñoùa hoa thì chaúng thaø ñoùng cöûa coøn hôn. Döïa vaøo soá lieäu treân, anh(chò) haõy keát luaän giuùp oâng chuû cöûa haøng xem coù neân tieáp tuïc baùn hay khoâng ôûmöùc yù nghóa 0.05α = .

c) Giaû söû nhöõng ngaøy baùn ñöôïc töø 13 ñeán 17 ñoùa hoàng laø nhöõng ngaøy "bìnhthöôøng". Haõy öôùc löôïng tyû leä nhöõng ngaøy bình thöôøng cuûa cöûa haøng ôû ñoä tin caäy90%. (Giaû thieát raèng soá hoa baùn ra trong ngaøy coù phaân phoái chuaån).

6. Moät xí nghieäp ñuùc moät soá raát lôùn caùc saûn phaåm baèng theùp vôùi soá khuyeát taättrung bình ôû moãi saûn phaåm laø 3. Ngöôøi ta caûi tieán caùch saûn xuaát vaø kieåm tra 36saûn phaåm. Keát quaû nhö sau :

Soá khuyeát taät treân saûn phaåm 0 1 2 3 4 5 6

Soá saûn phaåm töông öùng 7 4 5 7 6 6 1




111

Giaû söû soá khuyeát taät cuûa caùc saûn phaåm coù phaân phoái chuaån.

a) Haõy öôùc löôïng soá khuyeát taät trung bình ôû moãi saûn phaåm sau khi caûi tieán, vôùi

ñoä tin caäy 90%.b) Haõy cho keát luaän veà hieäu quaû cuûa vieäc caûi tieán saûn xuaát ôû möùc yù nghóa 0.05.

7. Quan saùt ngaãu nhieân moät soá tröôøng hôïp trong 3 loâ thuoác (raát nhieàu), ta ghinhaän ñöôïc

Toát Taïm duøng Hoûng

Loâ A 125 52 23

Loâ B 117 61 22

Loâ C 178 97 25

Hoûi raèng chaát löôïng cuûa 3 loâ thuoác coù nhö nhau khoâng ? (keát luaän vôùi 0.05α = ).

8. Trong moät coâng ty, ngöôøi ta choïn ngaãu nhieân 1000 coâng nhaân vaø theo doõi soángaøy nghæ cuûa hoï trong moät naêm. Keát quaû thu ñöôïc :

Giôùi tínhSoá ngaøy nghæ

Nöõ Nam

0 – 5 300 500

5 – 20 80 70

20> 20 30 Vôùi möùc yù nghóa 0.01, haõy kieåm ñònh giaû thieát cho raèng söï nghæ vieäc khoâng phuïthuoäc vaøo giôùi tính.

9. Nghieân cöùu aûnh höôûng cuûa hoaøn caûnh gia ñình ñoái vôùi tình hình phaïm toäi cuûatreû em vò thaønh nieân, ngöôøi ta thu ñöôïc

Hoaøn caûnh gia ñìnhTình traïng phaïm toäi

Boá hoaëc meïñaõ cheát

Boá meïly hoân

Coøn caûboá meï

Khoâng phaïm toäi 20 25 13

Phaïm toäi 29 43 18

Vôùi möùc yù nghóa 0.05α = , coù theå keát luaän laø hoaøn caûnh gia ñình cuûa treû em ñoäclaäp vôùi tình traïng phaïm toäi hay khoâng ?

10. Coù 90 ngöôøi duøng DDT ñeå trò beänh ngoaøi da thì coù 10 ngöôøi nhieãm beänh; Coù100 ngöôøi khoâng duøng DDT thì coù 26 ngöôøi maéc beänh. Hoûi raèng DDT coù taùc duïngngöøa beänh ngoaøi da khoâng ? (keát luaän vôùi 0.05α = ).

11. Trong moät vuøng daân cö coù 18 beù trai vaø 28 beù gaùi maéc beänh B. Hoûi raèng tyû leänhieãm beänh cuûa beù trai vaø beù gaùi coù nhö nhau khoâng ? (keát luaän vôùi 0.05α = vaøgiaû söû raèng soá löôïng beù trai vaø beù gaùi trong vuøng töông ñöông nhau, vaø raát




112

nhieàu).

12. Thoáng keâ soá tai naïn lao ñoäng taïi 2 xí nghieäp, ta coù caùc soá lieäu sau :

Xí nghieäp Soá coâng nhaân Soá tai naïn lao ñoäng

A 200 20

B 800 120

Vôùi möùc yù nghóa 0.05α = , haõy keát luaän xem chaát löôïng coâng taùc baûo veä an toaønlao ñoäng taïi 2 xí nghieäp treân coù khaùc nhau khoâng ?

13. Ñoái vôùi ngöôøi nöôùc ngoaøi, löôïng huyeát saéc toá trung bình laø 138.3g/l. Khaùm cho80 coâng nhaân ôû nhaø maùy coù tieáp xuùc hoùa chaát, thaáy huyeát saéc toá trung bình laø120g/l; S 15= g/l. Töø keát quaû treân, coù theå keát luaän löôïng huyeát saéc toá trung bình

cuûa coâng nhaân nhaø maùy hoùa chaát naøy thaáp hôn möùc chung hay khoâng ? Keát luaänvôùi 0.05α = .

14. Haøm löôïng ñöôøng trong maùu cuûa coâng nhaân sau 5 giôø laøm vieäc vôùi maùy sieâucao taàn ñaõ ño ñöôïc ôû hai thôøi ñieåm tröôùc vaø sau 5 giôø laøm vieäc. Ta coù keát quaû sau:

Tröôùc 1n 50= ; X 60mg%= ; XS 7= ;

Sau 2n 40= ; Y 52mg%= ; XS 9.2= .

Vôùi möùc yù nghóa 0.05α = , coù theå khaúng ñònh haøm löôïng ñöôøng trong maùu sau 5giôø laøm vieäc ñaõ giaûm ñi hay khoâng ?

15. Ñaùnh giaù taùc duïng cuûa moät cheá ñoä aên boài döôõng maø daáu hieäu quan saùt laø soáhoàng caàu. Ngöôøi ta ñeám soá hoàng caàu cuûa 20 ngöôøi tröôùc vaø sau khi aên boài döôõng :

ix 32 40 38 42 41 35 36 47 50 30

iy 40 45 42 50 52 43 48 45 55 34

ix 38 45 43 36 50 38 42 41 45 44

iy 32 54 58 30 60 35 50 48 40 50

Vôùi möùc yù nghóa 0.05α = , coù theå keát luaän gì veà taùc duïng cuûa cheá ñoä aên boài döôõng

naøy ?16. Trong ñôït thi ñua, phaân xöôûng A baùo caùo chaát löôïng saûn phaåm laøm ra nhö sau :coù 85% loaïi 1; 10% loaïi 2 vaø 5% loaïi 3. Ban thi ñua ñaõ laáy ngaãu nhieân töø loâ saûnphaåm chöa phaân loaïi cuûa phaân xöôûng A ra 100 saûn phaåm, thaáy coù 80 loaïi 1, 13loaïi 2 vaø 7 loaïi 3. Vôùi möùc yù nghóa 0.01α = , coù theå keát luaän gì veà baùo caùo cuûaphaân xöôûng A ?




113

MUÏC LUÏC

Chöông 0 : ÑAÏI CÖÔNG VEÀ GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP .................. 1

1. Taäp hôïp .................................................................................... 1

2. Caùc pheùp toaùn taäp hôïp ........................................................... 2

3. Quy taéc ñeám ............................................................................ 4

4. Giaûi tích toå hôïp ....................................................................... 5

Baøi taäp ......................................................................................... 7

Chöông 1 : ÑAÏI CÖÔNG VEÀ XAÙC SUAÁT ................................. 8

1. Hieän töôïng ngaãu nhieân .......................................................... 8

2. Xaùc suaát ................................................................................... 9

3. Xaùc suaát coù ñieàu kieän ........................................................... 13

4. Löôïc ñoà Bernoulli .................................................................. 21

5. Ñaïi cöông veà bieán soá ngaãu nhieân vaø

phöông phaùp laáy maãu ........................................................... 24

Baøi taäp ....................................................................................... 24

Chöông 2 : BIEÁN SOÁ NGAÃU NHIEÂN ...................................... 28

1. Xaùc ñònh bieán soá ngaãu nhieân ............................................... 30

A. Bieán soá ngaãu nhieân rôøi raïc ................................................. 31

B. Bieán soá ngaãu nhieân lieân tuïc ................................................ 34

2. Tham soá ñaëc tröng cuûa bieán ngaãu nhieân ............................ 36

3. Vectô ngaãu nhieân .................................................................. 43

A. Vectô ngaãu nhieân rôøi raïc ..................................................... 43




114

B. Vectô ngaãu nhieân lieân tuïc ................................................... 46

4. Tham soá ñaëc tröng vectô ngaãu nhieân .................................. 47

Baøi taäp ....................................................................................... 50

Chöông 3 : PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT ...................................... 53

1. Phaân phoái nhò thöùc ( )B n;p ................................................. 53

2. Phaân phoái sieâu boäi ( )H N,K, n ............................................. 56

3. Phaân phoái Poisson ................................................................ 58

4. Phaân phoái chuaån ................................................................... 61

5. Phaân phoái Gamma vaø Chi-bình phöông, 2χ ....................... 64

6. Nguyeân lyù xaùc suaát lôùn vaø nhoû ............................................ 66

Baøi taäp ....................................................................................... 68

Chöông 4 : MAÃU THOÁNG KEÂ & ÖÔÙC LÖÔÏNG THAM SOÁ .. 71

1. Lyù thuyeát laáy maãu ................................................................ 71

2. Lyù thuyeát öôùc löôïng .............................................................. 78

Baøi taäp ....................................................................................... 91

Chöông 5 : KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THUYEÁT ................................. 94

1. Caùc loaïi loãi laàm ..................................................................... 94

2. So saùnh caùc baûng soá lieäu ...................................................... 963. So saùnh tham soá ñaëc tröng caùc baûng soá lieäu .................... 102

Baøi taäp ..................................................................................... 109

MUÏC LUÏC

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO




TAØI LIEÄU THAM KHAÛO.

[1] Ñaëng Huøng Thaéng, Môû ñaàu veà lyù thuyeát xaùc suaát vaø caùc öùng duïng, NXBGD1997.

[2] Jay L. Devore, Probability and statistics for engineering and the sciences,Wadsworth Publishing Company, 1995.

[3] William Feller, An introduction to probability theory and its applications,

Volume I, II , John Wiley & Sons, Inc. 1959, 1966.

[4] Alan H. Kwanli, C. Stephen Guynes and Robert J. Pavur, Introduction to

business statistics, a computer integrated approach, West PublishingCompany, 1996.

giáo trình xác suất thống kê nguồn gốc: trường Đh tôn Đức thắng, 2008

Documents