1

KEK Winter School 2005

第一講義の前半 弦理論の現状

０．はじめに

“第 1 期”ストリングブーム 1984～1988 頃 弦の摂動論

弦理論は現実的でありうる。

時空の次元 ― Ｄ＝４へのコンパクト化

ゲージ場 ― 標準模型のゲージ群

重力場 ― 紫外発散のない重力理論

クォーク・レプトン ― いろいろな世代数

低エネルギーでの超対称性―あってもなくてもよい

摂動論的に安定な真空は∞個ある。

どの真空が現実の真空か？

摂動論的には mass scale は のみ。 GeVmst1810~

weak scale はどうして出るか？ GeV100~

超対称性の破れのスケール は？ GeV1000~

→非摂動効果が非常に重要。

→非摂動的な定式化ができてはじめて、超弦理論は

予言能力を持つ。

2

非摂動的な定式化の試み（その１）

行列模型による非臨界弦の非摂動的定式化 1988～1992 頃

2 次元重力と Liouville 理論 世界面の離散化

と足し上げ 力学的単体分割と行列模型

→・弦理論は場の理論より大きな非摂動効果を持つ。ge1

−

・この行列模型の臨界弦への直接の拡張は困難？

“第２期”ストリングブーム 1995～2000 頃

（１）摂動論の近くで見える非摂動効果の解析

（ⅰ）弦のソリトン（インスタントン） D-brane

場の理論でいえばモノポールのようなもの

空間的に局在した場の古典解

・・

D-2 brane D-0 brane D-1 brane

( D particle) ( D string )

3

（ⅱ）強結合と弱結合のデュアリティ S-duality

電磁場 Ｅ ⇔ Ｂ

電荷 ⇔ モノポール

)4~(e

g π e ⇔ g

D=10 の場合：

Type IIB は self-dual

fundamental string ⇔ D-string

Heterotic と Type I は dual

Het. の f-string ⇔ Type I の D-string

（ⅲ）M-theory

TypeIIA の強結合極限は 11 次元理論とみなせる

その低エネルギーでの有効理論 11 次元 SUGRA.

それをコンパクト化することにより、１０次元の

弦理論が得られる。

M-theory

88 EE ×

1S 21 / ZS

)32(SOHet. IIA

IIB Het.

II H

コ

コ

11D

10D

9D

ンパクト化

ンパクト化 T-dual

4

→ 摂動論的には、TypeII, Het., TypeI は独立な理論に

見えるが、強結合領域まで見ると、実は１つの理論。

Het.

Type IIA Type IIB

・ M-theory ・ Het. )32(SO

88 EE ×

・

TypeI

（２）弦理論の非摂動的な定式化の試み（その２）

行列模型による定式化が見えてきた。

M(-atrix) theory ← M-theory を意識

IIB matrix model ← Type IIB を意識

・・・

→ Theory of everything の可能性。

時空の次元、ゲージ群、世代数、gauge coupling、Yukawa

coupling、weak scale と Planck scale の比、もし低エネル

ギーで SUSY があればその破れのスケール、その他すべてが

パラメーターのない理論から導き出せる可能性がある。

5

（３）その他の結果

（ⅰ）ブラックホールのエントロピー

D-brane から作った特別

な BPS 状態

いくつかの charge をもった

extremal black hole ≅

状態数 ＝ black hole のエントロピー

D5

141,4 STR ×× D1

どの程度 non-trivial か？

T=0 のみ。

蒸発、特にその最終段階のことには答えていない。

6

（ⅱ）弦の低エネルギー有効理論と超対称 Yang-Mills 場

基本的なアイデア

≈

graviton の交換 gauge 場の loop

planar graph の和 ≈ 重力の古典論

・11 次元 SUGRA (M-theory) の 5-brane MQCD

1,101,3 RR ⊂Σ× ≅ N =1 or N =2 の超対称 YM

２次元

(複素１次元)

・Type IIB の古典解

IIB の低エネルギー有

µνµν χφ BBg ,,, )2(,

)1(

5EAdS

低エネルギー

AdS/CFT 対応 55 SAdS ×

効理論

µνλρµν C, ≅

N=4 super

4S

4S 上の N=4 large-N

super Yang-Mills

同じ対称性

SO(5,1)×SO(6)

conformal

7

（ⅲ）不安定な D-brane の崩壊と open string tachyon

不安定な D-brane の集団座標には、不安定性を反映した

タキオンが現れる。D-brane の崩壊はそのタキオンの凝

縮として理解できる。

→弦の場の理論に対する手がかり？

（ⅳ）非可換幾何学との関係

に constant background があると、open string の µνB

低エネルギー有効理論は非可換空間上の場の理論のように

見える。

→行列模型とのつながり。

それ以上に深い内容があるか？

(ⅴ) その他の発展

AdS-CFT の stringy excitation? pp-wave limit

Dijkgraaf-Vafa 理論

8

１．D-brane

string の古典解

string の古典解 ⇔ worldsheet のコンフォーマル不変性

0=

emission vertex

この拡張として、worldsheet に穴を開けてコンフォーマル

不変な境界条件をおく。

1~0 −= pµ に対し

Neumann 条件 0=∂ µXn

9~p=µ に対し

Dirichlet 条件 µµ aX =

すなわち、boundary は p 次元超平面

µµ aX = ( 9~p=µ ) 上に拘束されているとする。

9

∑=穴の数

amplitude

=

･・・

２点の amplitude（string の伝播）の場合

µµ aX =

･・・

10

D-brane = monopole のようなもの

closed string の(場の)古典解

古典解の作る場（monopole の作る磁場のようなもの）

D-brane の

境界条件

D-brane の集団座標

D-brane の集団座標

＝コンフォーマル不変性をこわさないような

境界条件の変形

T-dual で Dirichlet 条件 ⇔ Neumann 条件

（T-dual とは µX ⇔ ′

µX の入れ替え。）

境界条件がすべて Neumann のときは普通の open string の

端であり、この場合の境界条件の変形は open string の

emission vertex を境界に insert することで得られる。

11

open string の emission vertex

open string の質量ゼロ状態はベクトルとスピノルでその低

エネルギー有効作用は super Yang Mills 理論。

D-brane の場合

T-dual によって上に帰着するが、境界上で

(

µµ aX =

9~p=µ )は定数。

))(exp()())(exp()(1

0

91

0

1

0σσξσσξ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µµ

µ

µµ ∑∑∑∑

−

==

−

=

−

=

+′ p

p

pp

XkiXXkiX

σ τ

brane と垂直な方向 p 次元ベクトル

低エネルギー有効作用は super Yang Mills 理論を p 次元に

dimensinal reduction したもの。

12

∑それぞれの穴の数

別の書き方

D-brane が N 枚あるとき

集団座標

13

２．AdS-CFT 対応

(1) open string と closed string の duality とゲージと重力の

duality の一般論

ゲージ理論の loop の効果 ～ 重力の tree ？

低エネルギーで

cylinder = open string の 1-loop ← super Y-M の loop？

= closed string の propagator ← SUGRA の tree？

open string closed string

14

pants= open string planar 2-loop

= closed string 3-point

+ 他

重力の自己相互作用も取り入れると、ゲージ場の高次の輻射補

正が取り入れられる。

15

本当はずっと微妙

open string が super Yang-Mills で近似できるのは open string

が短いとき。すなわち、brane が近いとき。

一方、closed string が SUGRA で近似できるのは遠距離、すな

わち、brane が遠いとき。

しかし、SUSY のおかげで、かなりよい。

p 次元 super Yang-Mills 理論で Higgs 場として

をとると、

=

i

ii

ba0

0φ

位置 と にある2枚のD(p-1)-braneに対応して

いるはず。場の非対角要素を積分すると SUSY があれば 1-loop

で、有効作用は となっており、10 次元中の p-brane

の間の SUGRA の長距離の相互作用を正しく再現している。

ii aX = ii bX =

8()( ba −−− )p

基本予想

（ⅰ）超重力は量子化された超対称ゲージ理論の有効理論にな

っているだろう。ゲージ理論の量子効果のかなりの部分は、重

力の古典論に含まれているだろう。

（ⅱ）ゲージ理論としてうまいものをもってくると、低エネル

ギーのみならず、string そのものを記述できるかもしれない。

16

(2) AdS-CFT

N 枚の D-p brane を考え、外の 10 次元から眺める。

N 枚

closed string を打ち

込んで反応を見る

N 枚分の tension = 1+pss lg

N.

この brane によるまわりの時空のゆがみの曲率半径 R

1~17 +− pss

p lgN

RG

, . 82

ss lgG =

⇒ sp

s lNgR −= 71

)(

以下 p＝3 を主に考える。

17

1<<Ngs ならば . slR <<

sl 位ひろがっているものから見たとき、時空の曲がりは重

要ではない。D-brane の記述はよい。

1>>Ngs ならば . slR >>

ここでは、 1<sg は成り立っていて、string 理論による記

述はいいとする。このとき、

⇒ 882

Pss llgG == Rll sP <<< . すなわち、古典重力がよい記述になっている。

IIB (IIA) SUGRA の black p-brane 解

)()()()(

1 28

22

1

222p

p

ii drdrrHdxdt

rHds −

=

Ω+++−= ∑ ,

p

p

rRrH −

−

+= 7

7

1)( ,

, pss

p lNgconstR −− = 77

43

))((p

s rHge−

=φ .

p=3 のとき、 const=φ , 曲率半径 > R.

horizon r = 0 までいっても発散しない。

18

sl≅

N 枚

D-brane black p-brane

Yang-Mills による記述は brane の近くでよい。(Higgs 場は

brane の平行点からのずれを表す。)

⇒

12 >>= NgNg YMs

Rrls <<<<

の 4D N =4 super Yang-Mills は IIB SUGRA

の の領域と等価かも。ｐ＝３のときは、 Rr << と

してもいいだろう。

near horizon 領域 Rr <<

28

22

12

222

2

22 )( p

p

ii dRdr

rRdxdt

Rrds −

=

Ω+++−= ∑

28

22

2

1

22

2p

p

ii

dRy

dydxdtR −

= Ω+++−

=∑

.

19

ここで、 rRy

2

= .

これは、 55 SAdS × .

ss lNgR 41

)(=

∞=r

0=y

)( ∞=r

r~R が AdS の無限遠

とみなされる。

外部から打ち込む粒子

は、AdS では

すなわち、ｙ＝０のと

ころにあるとしてよ

い。

Euclid 化

2

82

2

21

1

2

22p

p

ii

dRy

dydxRds −

+

= Ω++

=∑

boundary は y＝0.

AdS-CFT

)().(04

0))(exp())()(exp(

xyxSUGRAIxOxdxφεφ

φφ==

=∫

CFT AdS

20

bulk の重力の自由度が“boundary 上の”ゲージ場で現される。

重力の正準形式では時間変数は意味がなく、constraint のみ。

WDW eq.

古典解のもつ作用は boundary だけできまる。

holography

重力を含む系の自由度は素朴に考えた場の自由度より 1 次元低い。

black hole のエントロピーは表面積に比例。

AdS では自由度は boundary の上にある。

boundary bulk

0)( =ΨxH

termsurfaceRgxdS D += ∫

運動方程式でゼロ

21

どこまで本質的か？ 似ている事実 large-N reduction

large-N ゲージ理論では時空の次元は本質的ではない。

D 次元 Yang-Mills N が無限大

↓dimensional reduction のとき

低い次元の理論 実は等価

µµ AD →

[ ]22 ,41

41

νµµν AATrFdxS D == ∫

N が有限のゲージ理論は N が無限大の低い

次元の理論にいつでも埋め込まれる。

とすると、

.

22

AdS-CFT はどこまで成り立っていると思うか？

もっとも安全な立場。

（１）AdS 空間上の古典重力が CFT の低エネルギー有効理論に

なっている。

Chiral Lagrangian が QCD の低エネルギー有効理論

というのと同じ意味。QCD の量子論の低エネルギーの振

る舞いが Chiral Lagrangian の古典論であたえられる。

4 次元 N =4 super Yang-Mills の量子論の BPS に近い状

態の振る舞いが 55 SAdS × 上の IIB SUGRA の古典論

で与えられる。

大事なのは対称性のみ。

QCD の低エネルギーで見える対称性は chiral

symmetry. その対称性を持っているもっとも単純

な理論が Chiral Lagrangian.

4 次元 N =4 super Yang-Mills の低エネルギーで見

える対称性、あるいは near BPS 状態がもつ対称性

は、N =4 super conformal symmetry.

この対称性を isometry として実現しているのが

上の IIB SUGRA. 55 SAdS ×

これは恐らく、強結合領域 では OK. 12 >>= NgNg YMs

23

次 元 が 上 が っ て い る の は 自 明 で は な い 。 chiral

Lagrangian のように対称性だけから説明できると面白い。

逆にもっとも強気なのが、

（２）4 次元 N =4 super Yang-Mills の量子論は string そのも

のである。

あまり根拠はない。

24

(3) pp-wave

もし、上の(２)が正しければ、

4 次元 N =4 super Yang-Mills の operatorで Tr(…) の形のもの

が、bulk の closed string の生成消滅になっているはず。

y

このとき、

operator のスケール次元 ＝ string のスペクトル

のはず。

∵ yy λ→ , がスケール変換だから、 ii xx λ→

としたとき、ｔについての hamiltonian tey =

の固有値はスケール次元。

28

22

21

1

2

22p

p

ii

dRy

dydxRds −

+

= Ω++

=∑

25

AdS 空間上の string は難しいので、とける極限を考える。

AdS 空間の metric

)sincossinhcosh( 322222

32222222 Ω′+++Ω++−= ddddddtRds θϑϑψρρρ

を null geodesic, τ=t , τψ = のまわりで拡大して見る。

2ψ+

=+ tx , 22 ψ−

=− tRx , ρRr = , ϑRy = とし、

∞→R とすると、 222222 ))((4 ydrddxyrdxdxds +++−−= +−+ となる。

この極限を energy-momentum の方で見ると

, Jiipp tx−∆=∂+∂=∂=−= ++

− )(2 ψ

22 )(12R

JiR

ipp tx

+∆=∂−∂=∂=−= −−

+ψ

つまり、 とすれば、 は有限。 2/12 ~~ NRJ≈∆ ±p

いいかえると、 と R が を ∆ 2/12 ~~ NRJ≈∆

満たしていれば、metric は 222222 ))((4 ydrddxyrdxdxds +++−−= +−+

と思ってよい。

このback ground上の free stringは light-cone gaugeで解ける。

（注）ここでの t はスケール変換のｔと同じではないが…

Dobashi, Shimada, Yoneya

26

light-cone gauge τ++ = pX

∫ ∫+′

Γ+∂/+−−

′=

pSSizzzddS

απστ

απ2

0

1234222 )(21

21

21

21

z は r と をまとめた８成分量。 y

worldsheet 上では massive free field.

2

2

)(12 +

∞

−∞=+

−

′+==−= ∑ p

nNHppn

nlc α

22R

Jp +∆=+ , だったから、J~∆ απ ′

==+

NgJ

RJp

s42 .

よって、2

22

2 41)(

1 nJ

Ngpn sπ

α+=

′+ + .

極限は 2JN

fix で ∞→N .

27

４D N =4 super Yang-Mills との比較

J を R-symmetry の 5-6 面での回転と同一視

∆は operator のスケール次元

基底状態は次の対応とするのが自然。

+p,0 ⇔ , )( JZTr 65 φφ iZ +=

Z の J は１, ∆は１だから、この operator は

J も も値は J. ∆

exitatation は次の対応で与えられると思われる。

⇔ i=1,..,4 ia ZDi

⇔ i=5,..,8 ia 4−iφ

⇔ aS a

J 2/1=χ

（例） +

− paa nn ,078 ††

⇔ J

lnilJl

J

leZZTr

π

φφ2

4

1

3 )( −

=∑

これでうまくいくことがチェックできる。

string の３点相互作用などもここで考えている 2JN

を固定

して をとる極限で OK. ∞→N J 依存性のおかげで、1/N がキャンセル。

28

３．Dijkgraaf-Vafa 理論

AdS-CFT のとき、string と large-N ゲージ理論がある意味

でデュアル。

同様の対応を N =1 super Yang-Mills の F-term に応用して

gluino super potential を厳密に求めた。

ゲージ理論 ⇔ (topological) string ⇔ large-N 行列模型

→種明かし Cachazo, Douglas, Seiberg, Witten

29

考える理論

U(N) をゲージ群としてもつ

N =1 super Yang-Mills + adjoint matter φ :

ccWTrdxdWWTrg

dxdeeTrdxdS VV .))(()(41)( 24

22444 +++= ∫∫∫ − φθθφφθ α

α

ここでは、一般のポテンシャル 1

0 1)( +

=∑ +

= kn

k

k

kg

W φφ を考える。

U(N)の N は有限でよい。

この理論に対応して次のような作用をもつ、１つの エ

ルミート行列 M に対する理論を考える。

NN ˆˆ ×

)(ˆ

MTrWgNS

m

−=

ここで、W は上のゲージ理論と同じものをとる。 は無限大

にする極限をとる。

N

結論

−=

−

−Mz

TrNg

zWWTr m 1

ˆ321

2 φπ

αα

30

基本方針

両辺の量が同じ Schwinger-Dyson eq. を満たすことを示す。

行列模型の Schwinger-Dyson eq.

))(ˆ

exp(1∫ −

−MWTr

gN

MztTrdM

m

a の被積分関数で

M のシフト をしても値は変わらないから、 atMM +→

))(ˆ

exp(110 ∫ −

−−= MWTr

gN

Mzt

MztTrdM

m

aa

( ) ))(ˆ

exp()(1ˆ∫ −′

−− MWTr

gNMWtTr

MztTrdM

gN

m

aa

m

U(N)の Gell-Mann 行列に対する完全性の式

)()()( ABTrBtTrAtTra

aa =∑ および

)()()( BTrATrBAttTra

aa =∑ より以下を得る。

))(ˆ

exp(110 ∫ −

−

−= MWTr

gN

MzTr

MzTrdM

m

))(ˆ

exp()(1ˆ∫ −

′

−− MWTr

gNMW

MzTrdM

gN

mm

ここで、 での factorization を使うと、 ∞→N

))(1(ˆ)1(ˆ

2

MWMz

TrNg

MzTr

Ng mm ′

−=

− を得る。

31

superYang-Mills の Schwinger-Dyson eq.

)exp(),(

),(),(][00

0000∫ −

−

Syz

yWyWtTrd a

θφθθφ

αα

の被積分関数で

φ のシフト をし

ても値は変わらないから、

atyyyy )()(),(),( 12

14 θθδδθφθφ −−+→

)exp(),(

1)()(),(

),(),(][000

102

104

00

0000∫ −

−

−−−

= Syz

tyyyz

yWyWtTrd aa

θφθθδδ

θφθθφ

αα

( ) )exp(),((),(

),(),(][ 1100

0000∫ −′

−

− SyWtTryz

yWyWtTrd aa θφθφ

θθφα

α

＋kinetic term の寄与

ここで、φ の kinetic term の寄与は 10 θθ = と置くと消える。す

なわち 1φ , 2φ ,..が chiral super field の時 021 =φφXD .

素朴には U(N)の Gell-Mann 行列に対する完全性の式より、

)exp(),(

1),(

),(),(][)()(00000

000010

210

4 ∫ −

−

−

−−= Syz

Tryz

yWyWTrdyyθφθφ

θθφθθδδα

α

)exp(),((),(

),(),(][ 1100

0000∫ −

′

−− SyW

yzyWyWTrd θφ

θφθθφ

αα

となり、

ここで、 , 10 yy = 10 θθ = と置きたいが、 が出てし

まう。

)0()0( 24 δδ

32

結局、ϑθϑδφ

ϑδφ

′=′=′′

,),(),(

yyb

a

yy

をきちんと評価する必要がある。

もう少し一般的に、 がゲージ群の表現行列 iφ aT をもつ表現だ

とする。heat kernel その他でゲージ不変に評価すると、

jiaa

yyj

i

TWyy

,2

2,

))((32

1),(

),(α

ϑθ πϑδφϑδφ

−=′′

′=′= であることが分かる。

よって、adjoint 表現の場合は、

[ ][ ]b

yyb

aa tWW

yyt ,

321

),(),(

,2,

αα

ϑθ πϑδφϑδφ

−=′′

′=′= となる。

これを使うと、

[ ][ ] )exp(1,][32

10 ,2 ∫ −

−−

−= Sz

tWWz

WWtTrd aa

φφφ

πα

α

αα

)exp()(][∫ −

′

−− SW

zWWTrd φφ

φα

α であることが分かる。

トレースの中にW が３個以上入ったものはゼロであることが

いえるので、 α

)exp(][32

10 2 ∫ −

−

−

−= Sz

WWTrz

WWTrdφφ

φπ

αα

αα

)exp()(][∫ −

′

−− SW

zWWTrd φφ

φα

α が得られる。

33

chiral operator の factorization を使うと、

))((32

1)(32

12

2

2 φφπφπ

αα

αα W

zWWTr

zWWTr ′

−−=

−− を得る。

以上によって

−MzTr

Ngm 1ˆ と

−

−φπ

αα

zWWTr232

1 が

同じ Schwinger-Dyson eq. をみたすことが分かった。

34

４．これから

第２期のストリングブームは終わった。

ストリングを摂動論によらずに完全に定式化することがこれか

らの課題になるだろう。

１９７０年代のゲージ理論の進歩

７０年代初め 摂動論

７０年代中頃 摂動論の延長上で見える非摂動効果

７０年代終り 格子ゲージ理論による完全な定式化

ストリング理論の進歩

１９８４年～ 摂動論

１９９５年～ 摂動論の延長上で見える非摂動効果

２００６年～ ―――――― による完全な定式化

弦理論とゲージ理論、行列模型は密接に関係している。

行列模型は弦理論の構成的な定式化として、なかなかいい線を

いっているようだが、あと一歩およばないようにも見える。

35

第一講義の後半 弦理論の構成的定式化の試み

－IIB matrix model － IIB matrix model

( Ishibashi, Kawai, Kitazawa, Tsuchiya )

The IIB Matrix Model is nothing but the large-N reduced

model of 10D super Yang-Mills theory,

)],[21],[

41(1 2

2 ΨΓΨ+−= µµνµ AAATrg

S

µA ( 10~1=µ ), Ψ (10D Majorana-Weyl) : N×N hermitian

and some time ago we have conjectured that this theory gives

a constructive definition of string theory.

Unfortunately we have no rigorous proof of this conjecture,

but we have a few arguments which support it.

36

Motivations of the IIB matrix model

(ⅰ) World sheet regularization

The IIB matrix model can be regarded as a matrix

regularization of the string world sheet.

The Green-Schwartz action of type IIB string theory in the

Schild Gauge can be expressed in terms of the Poisson

bracket and the integration over the world sheet. If we

formally replace the Poisson bracket by the commutator

and the integration by the trace, we see that the world

sheet action becomes the action of the IIB matrix model.

Green-Schwartz action in the Schild Gauge

),

21,

41( 22 ΨΨ+= ∫ µµνµ γξ XXXdS

Regularization by matrix

],[

41(1 2

2−= νµ AATrg

S

, → [ , ]

∫ → Tr

)],[21

ΨΨ+ µµγ A

37

Furthermore we can expect that multistring states are

naturally embedded, if the size of the matrix is large enough.

・ ・

・ ・

・

⇔

In this picture, each block represents a connected component

of the world sheet, and from this we see that we can express

any number of connected components, if the size of the

matrix is infinitely large. Therefore we conjecture that in the

large-N limit the IIB matrix model describes the system of

infinitely many strings, and gives a constructive definition of

string theory.

38

(ⅱ) Loop equation and string field

( Fukuma, Kawai, Kitazawa, Tsuchiya )

We can show a close relation between the loop equation and the

string field theory, although the argument is not complete.

If we consider a special combination of the loop equations, the

dependence of the Wilson loop correlators becomes identical to that of the light-cone string field.

+x

Wilson loop )))(exp(())(( fermionAkdiPTrkw +=⋅⋅ ∫ µµµ σσ

>

⇔

creation annihilation operator of ⋅⋅)(| µk

0x

9x

.90 constxxx =+=+

.90 −∞=+=+ xxx

ix

39

(ⅲ) effective Lagrangian and gravity

The one-loop integral reproduces the exchange of massless

states of type IIB string theory, which is reminiscent of open

string field theory.

)()(

)()()(

1

)2()2()1()1(

)2()2()1()1(8)2()1(

⋅⋅⋅+⋅−

⋅−

−=

ρλρλνµνµ

λνλµλνλµ

fftrfftrconst

fftrfftrconstxx

Seff

µ)1(xµ)2(x

µµ )1()1( 1 ax +

µµ )2()2( 1 ax +

Integrate out

this part.

40

finiteness of the path integral

The path integral of the IIB matrix model is finite and well

defined. At a first glance, it seems that is a Higgs field of

the zero dimensional theory and because of the flat direction the

path integral is not convergent. However, this observation is

based on the picture of super selection rule and the stability of

each vacuum, which is not true in zero dimensional theories. In

fact, it is rigorously proved that the integral for various

operators

µA

∫ −Ψ SeOddA

is absolutely convergent. Austing and Wheater,

Krauth, Nicolai and Staudacher, Suyama and Tsuchiya, Ambjorn, Anagnostopoulos, Bietenholz, Hotta and Nishimura, Bialas, Burda, Petersson and Tabaczek, Green and Gutperle, Moore, Nekrasov and Shatashvili.

41

Difficulties of the model

The IIB matrix model has the following difficulties.

(ⅰ) compactified space

One problem is that the action

)],[21],[

41(1 2

2 ΨΓΨ+−= µµνµ AAATrg

S

looks like an expansion around the flat space, and it is not very

clear how the compactified space can be described by this theory.

There would be some possibilities:

a. Still it is OK, and compactified space can be described in a

nontrivial way.

b. This theory describes space-time with trivial topology only,

and we need a modification to generalize it.

c. It would be correct, but there is a better formulation.

42

(ⅱ) good method for calculation

Another problem is that we do not have a good way to evaluate

the correlation functions. Even the Monte Carlo method is hard

to apply, because the fermion determinant is not positive

definite.

Because of this difficulty we can not easily determine the

N-dependence of the physical scale : stringl

21

gNlstringα= ， α ?