georges ifrah - rakamların evrensel tarihi 1- bir gölgenin peşinde

7/25/2019 Georges Ifrah - Rakamlarn Evrensel Tarihi 1- Bir Glgenin Peinde

1/221

G E O R G E S I F R A H

IR A KA M LA R IN E V R E N S E L T AR H

T B T A K9.

Basm


2/221

llstrasyon dl Evren


3/221

RAKAMLARIN EVRENSEL TARH -I-

B l R G L G E N N P E N D EG e o r g e s I f r a h


4/221

B ir Glgenin Peinde

RAKAMLARIN EVRENSEL TARH-I-

Georges Ifrah

eviri: Kurtulu Diner

L i z z i e N a p o l i n i n i z i m l e r i ek il 1 .3 0 - 1 3 6 , e k il 2 .1 0 1 d n d a , b u y a p t t a b u l u n a n b t n a k l a y c

r e s im l e r , l e v h a l a r , k a l i g r a f i l e r - g r a v r l e r i n , r e s i m l e r i n v e b e lg e l e r in y e n i d e n i z i m l e r i d a h i l -

y a z a r t n k e n d i s i n c e y a p lm t r .

Histoire Universelle Des Chiffres

L intelligence Des Hom mes Racontee Par Les Nombres Et Le Calcul

Editions Robert Laffont, S.A., Paris, 1994

Trkiye Bilimsel ve Teknik Aratrma Kurumu, 1995

TBTAK Po p l er B i l i m K i tap l ar n n Se i m i ve D eer l end i r il mes i T BT AK Y a y n K o m is y o n u T a r a f n d a n Y a p l m a k t a d r

ISBN 975-403-037-5ISBN 975-403-027-8

lk basm Eyll 1995te yaplan

Bir Glgenin Peinde

bugne kadar 20.000 adet baslmtr.

9. Basm Ekim 1999 (2500 adet)

Yayn Ynetmeni: Zafer KaracaYayn Koordinatr: Sedat Sezgen

Teknik Ynetmen: Duran Aka

Tasarm: dl Evren TngrUygulama: Ylmaz zben

Dizgi: Nurcan ztop

TBTAKAtatrk Bulvar No:221 06100 Kavakldere/Ankara

Tel: (312) 427 33 21 Faks: (312) 427 13 36e-posta: [email protected]

nternet: www.biltek.tubitak.gov.tr

Rekmay Ltd. ti. - Ankara
mailto:[email protected]://www.biltek.tubitak.gov.tr/http://www.biltek.tubitak.gov.tr/mailto:[email protected]


5/221

G E O R G E S I F R A H

Bir

GlgeninPeinde

1VR

Kurtulu Diner

IR A K A M L A R I N E V R E N S E L TA RHTI5TAK POPLER BLM KTAPLARI


6/221


7/221

Yayncnn Notu

Rakamlarn Evrensel Tarihi/ Saylarla ve Hesapla An

latlan nsan Zeks adl bu kitap Fransada 1994 yl balarnda yaymland. Ayn yl iinde 130 000 adet satlarak, beklen

medik bir biimde en ok satlan kitaplar listesine ikmamacas-

na yerleti; bir Fransz gazetecinin deyiiyle, Franszlarn yeni

Incili oldu.

1995 ylnn ilk aylarndan balayarak bu kitab Trkeye evirip yaymlama fikri TBTAKta uzun sre tartld. Binlerce e

kil ieren, ciddi bir "iilik gerektiren byle bir yaptn Trke ya

ymlanmas olanakl myd? Yaklak iki bin sayfa tutan bu kitab

Trkeye evirmeye gnll olacak biri bulunabilir m iydi?

Tartmalarn sonucu olumluydu; gnll kii de bulundu. Teksorun, Franszca iki cilt halinde yaymlanan bu kitabn Trkesi-

nin ka cilt olacayd.

Bizim biner sayfalk iki cilt halinde yaymlamamz olanaksz

d. nk, ilkin, iki bin sayfas iki kk cilt oluturacak kt

Trkiyede retilmiyordu; kincisi, TBTAK Popler Bilim Ki

taplar dizisinin belirli lleri vard. Okurun satn alma gcn

de hesaba katarak, kitab dokuz cilt halinde yaymlamaya karar

verdik.

Yazarn deyiiylematematikle ilgisi olmayan bu kitabn Trk

okurunun ilgisini ekeceini umuyoruz.


8/221


9/221

indekiler

Okuyucuya...

Giri"Rakamlar" Nereden Geliyor?

Bir Glgenin Uzun Uzun Aran zerine!

Birinci KsmRakamlarn Serveni Ya Da Byk Bir cadn yks

1. BlmSaylarn Budunbilimi Ve Ruhbilimi:Kkenler zerine Bir Aklama

2. BlmTaban lkesi ve Saylama Dizgelerinin Douu

3. BlmEl, lk "Hesap Makinesi"

4.BlmCro-Magnon nsannn Saymanl

5. BlmKertme UygulamasYa Da Okumamlarn Saymanl

6. BlmSicimden Saylar

7. BlmSay, Deer, Para


10/221

Bu g iin bana verdii kayglarn,

yllar boyu ektirdii skntlarn,

sabrl, taplas tan olan,

sana, karcm.

Sevecenliin ve eletirilerinin incelii iin,

bu kitabn ve yazarnn ok ey borlu olduu,

sana, Hanna.

Size, Gabrielle ve Emanuelle, kzlarm,

tutkum...


11/221

Okuyucuya...

iki ciltlik bu yaptn* ana amac, rakamlarn ve hesabn evrensel ta

rihi hakknda, tarihncesinden bilgisayarlar ana uzanan, en temel ilemlerden yola kp kurgulayc, mistik, dinsel, bysel ya da khinlikle ilgili aritmetiklerde gezinen, sfrn ve konumlu saylamann kefinden geip sonunda en genel hesaplara ulaan karmak ve okbiimli evrim hakknda halkn kendi kendine sorduu tm sorulan yaln ve anlalr ifadelerle, olabildiince tam bir biimde yantlamaktr.

lkinden be kat daha byk olan buRakamlarn Evrensel Tarihi

ninmetne, imgeye, yapya ve olgularn sunuluuna getirilen ayrntlarbakmndan epeyce zenginletirilmi olduu sylenebilir. Yapt yalnzmantksal ve zamandizinsel bir biimde dzenlenmi bir tarihsel belgeolarak deil, ayn zamanda ve zellikle byk ksmlar ierisinde konu

bakmndan beklemeler oluturan gerek bir izleksel ansiklopediolarak tasarlanmtr.

Dolaysyla bu yapt, saysz resimlemenin, kk yklerin,

yeniden kurmalarn yardmyla, gerekli btn aklamalar ve uzunluksal ereveler iinde birok aydnlatc bilgiyi, ie yarayacakreniyi okura sunarak, onu alar ve uygarlklar ierisinde heyecanverici bir yolculua davet etmektedir. Yani okur bu ansiklopediye,merakna ve kendi ilgilerine gre, nerede olursa olsun serbeste

bavurabilir. (rnek: Babillilerden ya da Msrllardan nce Mayalar;Araplarn, Hintlilerin ya da inlilerin hesaplarndan nce ya da sonra

yapay hesabn tarihi vb.)Blmlerin numaralan sreklidir; yani yaptn ciltlere blnm

olmasndan bamszdr. ekiller ise her blmn iindeki ardllksrasna gre, o blmn numarasyla birlikte numaralanmtr (rnek:ekil 21.15 21. blmn onbeinci ekline gndermede bulunur.)

te yandan, blmlere gndermeler cilt belirtilmeden yaplmakta,her cildin bandaki iindekiler ksm istenen gsterimi salamaktadr. Bununla birlikte bir istisna bulunmaktadr: 24.blmn ilk ksm


12/221

birinci cildin sonunda yer alm aktadr ve ona yle gndermedebulunulur: Bk. l.cilt, 24. blm. ** Buna karlk bu blmn ikinci

ksmna yaplan her trl gnderme (bu ksm ikinci cildin*** bandayer almaktadr) yle yaplr: Bk.Hint Uygarlnn Saysal SimgelerSzl.Bu szle btn geri kalandan bamsz olarak baklabilir,bal bana bir szlk olarak bavurulabilir. Szln maddelerineyaplan gndermeler bir yldzla iaretlenmitir. (rnek: *Hiit astrolo

jisi; *Sonsuz; ...).Son cildin sonundaki nemli kaynakann belirli bir konuda bilgisi

ni derinletirmeyi dileyen okura istedii btn kaynaklan bulmasn,ayn zamanda eitli bilgilerin ve sergilenen belgelerin kaynaklarnaulamasn salayacam da belirtelim. Okurun bunun iin unlara

bavurmas yeterlidir.-Ksaltmalar balkl liste. Bu liste dnemli yaynlara, dergilere,

uzmanlk yaynlarna gndermede bulunan ksaltlm adlarnaklanmasn yapmaktadr.

-Yazarlara gre Kaynaka Gndermeleri. Burada yazar adlarnnalfabetik srasyla verilen yaynlar, ayn yazann birok yayn szkonusu olduunda [1] den [X] e kadar numaralanmtr.

-Konulara gre Kaynaka Gndermeleri. Bunlar alfabetik srayladzenlenmi, o konuda yayj olan yazarlarn alfabetik listesi de herbirine eklenmitir.

Ksaca, bu olaan dRakamlarn Evrensel Tarihi ierisinde

insanln ve insan zeksnn byleyici tarihini kefedecek okuruniini kolaylatrmak iin her trl aba gsterilmitir.Byle derin bir boluu dolduran, daha imdiden kazbilimcileri,

budunbilimcileri, tarihileri ve saysz kltrlerin uzmanlarn etkileyen bu kesinlikle esiz yapt, airleri, saybilim yandalarn, sayaklarn, mantk oyunlarn sevenleri de byleyecek, ruhbilimciyi,fizikiyi, retmeni, mhendisi ve bilgisayar bilimcisini de kendine

ekecektir.

* Burada 9 cilt olarak yaymlanacak.** Burada S.cilt, 24.blm.*** gurada 6.cilt.


13/221

Giri

"Rakamlar" Nereden Geliyor?Bir Glgenin Uzun Uzun Aran zerine!

Saint-Exupery'nin Kk Prensi Gibi

Bu kitap1ocuklarn sorularyla balad. Matematik retmeniydim ve her iyi eitimci gibi, ne denli tuhaf ya da ne denli ocuka grnrse grnsn, hibir soruyu yantsz brakmamaya abalyor

dum. Zek ou kez merakla beslenir.O sabah gndemde saylama dizgeleri zerine alma vard. Dersimi zenle hazrlamtm ve saylar Arap rakamlaryla yazdmzher ynyle, eksiksiz bir biimde aklamam, ayn vesileyle, saylarnzelliklerini ve bizim kullandmz ilem tekniklerinin yapsn hideitirmeden, onlu tabandan baka bir tabana gemenin kuramsalolarak olanakl olduunu gstermem gerekiyordu. Son derece sradan

bir matematik dersine hazrlanyorduk. Hani u herhangi bir Franszlisesinde grdnz ve retmenlerin Orta retim denen bu saygdeer kurumun varoluundan beri her yl bkp usanmadan yineledikleri derslerden biri.

Ne olduysa o zaman oldu! Tanr alak gnll bendenizin o gnnn tamamen tekiler gibi olmasn istemedi.

Birka renci -grnmeleriyle varoluunuzu bakalatrabilen

byle rencilerin her gn yolunuza kmasn istemezsiniz- btnhinlikleriyle karma dikildiler. yle basit sorular sordular ki, bir ansustum kaldm: "Efendim, rakamlar nereden geliyor? - Sfr kim icatetti?

Gerekten, nereden geliyor rakamlar? Bu allm simgeler bize yle ak geliyor ki, onlar -ok yanl olarak- bir tanrnn ya da bir uygarlk kahramannn eksiksiz bir armaan olarak birdenbire ortaya

km sanyoruz. Soru artcyd ve itiraf edeyim ki bu soruyu benkendime hi sormamtm.


14/221

- ...ok eski alardan geliyor, diye yantladm, bilgisizliimi glkle gizleyerek, byk bir ikircikle.

Oysa, saylarn her zaman bugnk gibi yazlmadndan emin olmak iin Latin saylamasm (bir yzyln says gibi belli bir sayy belirtmek zere kullanmaya devam ettiimiz u nl Roma rakamlarn)anmsamam yeterdi.

- Efendim, diye sordu bir bakas, Romallarn nasl hesap yaptklarn biliyor musunuz? Gnlerdir onlarn rakamlaryla bir arpma yapmaya almaktan kafam patlad.

- Bu rakamlarla hesap yapmak olanakszdr, diye yantlad snf arkadalarndanbiri. Babam bana Romallarn ilemlerini hl rkylehesap yapan bugnk inliler gibi yaptklarn syledi.

Benim bile veremeyeceim, hemen hemen tam bir yant.- Her halde, diye ekledi renci, kk arkadalarna dnerek, bir

in lokantasna gidersiniz bir gn; greceksiniz ki, bu insanlarn bi

zim kadar iyi hesap yapmak iin rakamlara da, hesap makinesine deihtiyalar yok. rkleriyle dnyann en iyi bilgisayarndan milyonlarca kere daha hzl gidebiliyorlar.

Burada bir para abartyordu. Evet, rk kullanm, onu kullanmasn bilenlerin, yazyla hesap yaphrkenkinden son derece daha abuk,hatt basit bir hesap makinesinden daha hzl gitmesini salar. Amaalet bilgisayarlarla ve gelimi hesap makineleriyle oktan almtr.

Hi kuku yok ki, sra d evrelerden gelen gen bir toplulua retmenlik yapmak benim iin bir ans ve ayn zamanda ayrcalk olmutu. Onlarla iliki kurmak bilgimi ve grgm kesinlikle ok artrd.

- Babam budunbilimcidir, dedi bir bakas. Afrika'da ve Avustralya'da hl ikiden tesim sayamayan odun kafal yabanlar bulunduunu syledi bana. Maara insan neyse onlar da hl yle!

Ne byk adaletsizlik bu ocuun azndan kanlar! Peki o ocuk

gibi, uzun zaman bu szde "ilkelleri" insan trnn evriminin ilk aamasnda kalm insanlar olarak gren yazara ne demeli? Oysa, dnnce, bu "yabanlarn" o kadar aptal olmadklar anlalr; zekdanhi de yoksun deiller; bu yabanlarn glklerden syrlmak iin icatettii eyleri grmek ok artcdr. Gerekte bfeimle ayn yetenekleritayan, ama "uygar" insanlardan ok farkl olan insanlardr onlar.Onlan merdivenin en alt basamana indirmemizin nedeni belki de bu

farktr (ya da eh azndan onlarn farkl olma konusundaki meru haklarn reddediimizdir).


15/221

Ama btn bunlar henz bilmiyordum. Geliigzel bir biimdeyzyllarn akn geriye doru izlemeye altm. Bizim "Arap" ra

kamlarndan nce: Roma rakamlar. Ama, "nce"nin bir anlam varm? Olmasa bile bu rakamlardan nce ne vard? Bir say ya da hesaparkeolojisinde say saymay akl eden ilk insamn dahice icadnn kalnts bulunabilir miydi?

rencilerimin kafasndan biribiri ardna bir sr baka "ocuksu"(ya da en azndan szde ocuksu) soru kverdi ortaya. Kimisi sirklerdeya da panayrlarda grebileceimiz "bilgin" hayvanlar zerinde durdu:

Hesap yapmay biliyorlar dendi; hatt aralarndan matematikiler k-mm(!) Kimi renciler, kh uursuzluk kh uur getirdii dnlen "13 rakam" bilmecesini ortaya att. Kimileri de 15 rakaml bir saynn kp kkn alan ve ayn zaman aral ierisinde size 7 000 000 ile10 000 000 arasndaki asal saylar tablosnu veren u gerek insan fe-nomenlerinin, "olaanst hesap^makinelerinin" neyin nesi olabilecei-m sordular.

zetle, bir sr bunaltc (ama ok heyecan verici) soru, bilgisizliinin derecesini grp, bilim tarihinin ne yazk ki yer almad bir retimin zayflnn bilincine varan, neredeyse aalanm bir reticinin suratnda patlad.

Ben de o anda aklma gelen beceriksiz, zet, yarm yamalak ve kesinlikle doru olmayan yamtlar verdim.

Yine de bir zrm vard. alma aralarm olan aritmetik kitaplarnda, okul el kitaplarnda sorunun sz bile edilmiyordu. Tarih kitaplarnda Hammurabi'den Caesar'dan, Vereingetorix'ten, Charlemag-ne'dan, ayn ekilde Marco Polo'nun, Christophe Colomb'un yolculuklarndan sz ediliyordu. Vin^ kdn, matbaacln, buhar makinesinin. parann, ekonominin, takvimin tarihine, hatt yaznn ve alfabenin kkenleri sorumuna varasva insanlk dlerininJarihine deiniliyordu. AmarsarM bir elbirlii varm da, insanln en olaanst bulularndan birini, insamn dnyay lmeye girimesini, onu daha iyianlamasn, saysz gizlerinden bazlarm kendi hizmetine sokmasnsalayaca iin belki de en verimli bulularndan birini giz iinde, yada daha da kts, bilmezlik, bilinmezlik iinde tutuyormu gibi, rakamlara ilikin tek sz yoktu.

Bununla birlikte, u ok gzel alak gnlllk dersiyle balarsak,sorularn kii zerinde derin etkileri oldu: Ustalarndan grlr biimde daha merakl olan renciler retmenlerine bir ders vermi, onu


16/221

byk bir buluun tarihini, ksa bir sre sonra sreksizlii kadar evrenselliini de kefedeceim tarihi incelemeye tevik etmilerdi.

"Rakam-Graal"n Aran

Bir daha aklmdan kmayacak olan bu sorular, yaknda beni en byleyici aratrmalardan birine srkleyecek, varlmn en heyecanverici servenlerinden birine sokacakt.

Bu sorulan yantlama dncesi, ama zellikle de arzusu beni nce istemeden de olsa, Ortaada Graal'n aran kadar lgnca grnebilecek bir araya (ok kstl olanaklarla) girimek zere, retmenlie ara vermeye itti. Ortaada rma gerilmi sa'nn kanyladoldurulmu olduuna inanlan bu byl kap, Tann'nm simgesi ha-

1 line gelmiti. ok sayda dindar hristiyan valyeyle birlikte, Lancelot, Perceval ve Gauvain de dnyann her yannda bu kab bulmaya

alm, ama yeterince saf olmadklan, Tann'nn hakikatlerine yaklaacak inanc ve temizlii tamadklan iin kutsal araylanndabaansz olmulard.

Temizlik ve saflk bende de yoktu. Ama inan ve gnlmdeki Tannans beni ruha ya da kii olarak be ktada dolatracak, sonundasaf matematiin manastmndan ok daha engin bilgi ufuklanna gzlerimi amam salayacakt. Ama gzler dnyaya ne kadar iyi alrsa,

bilgisizliin bilinci de o kadar ok olmutur.insan zeksnn bu olaanst serveni nerede, ne zaman ve naslbalad? Asya'da m? Avrupa'da m? Yoksa Afrika'da bir yerde mi?Balangc yaklak 30 000 yl nce Cro-Magnon insan anda m oldu, yoksa aa yukan 50 000 yl nce Neandertal insan anda m?Be yz bin yl nce, ya da hatt niye olmasn, bir milyon yl nceolamaz m?

Tarihncesindeki uzaktan atalanmz rakamlan dnmeye itenhangi drtlerdi? Salt gkbilimsel ilgiler mi (ayn evreleri, gnler ilegecelerin yinelendii takvimler, mevsim dnmleri vb.)? Yoksa srftopluluk yaamnn gereksinmeleri mi? insan, rnein bir elin parmaklan ile bir ayan parmaklanmn ayn kavramn temsilcileri olduunu, nasl ve ne kadar zaman iinde kefetti? Hesap yapma gerei insan zihnine kendini nasl dayatt. Tam saynn sayal say hali ile

sral say hali arasnda bir ncelik sras oldu mu? ilk szl sayla-mann balangc hangi aa gider? Eklemli dil soyut bir say anlay


17/221

ndan nce mi gelir? nsan szl olarak say saymay bilmezken so

mut imarlarla ve seslerle mi saymtr? Yoksa tersi mi? Say kavram deneyden mi kt? Yoksa deney, trmzn ilk rneklerinin ruhunda gizli halde zaten varolan eyin kesin olarak aa kmas iinkatalizr rol m oynad? Ya bu soyutlamann kendisi: insann derinbir dnnn meyvesi mi yoksa nesnelere ok somut bir boyuneile balam ar bir evrimin sonucu mu?

Sorulmas olaan olan, ama uzaktan atalarmzn dnme bii

minin artk hibir izi kalmad iin, ne yazk ki ou kez yapc biradm atma olanandan yoksun bir sr soru. Olay ya da daha iyisibir yn olay, tarihncesinin ok eski alarnda yitip gitmi ve bugn onlara tanklk edecek hibir kazbilimsel kalnt yok.

Peki sorunu zmenin tek yolu kazbilim miydi? Sorulara yaklakolarak ayn yant vermeyi salayacak bir disiplin yok muydu? rnein ruhbilimsel ya da budunbilimsel almalardan yola karak bir

yeniden kurma olanakl myd?Saynn aran m yoksa bir Glgenin aran m? Btn soru buydu. Sz oyunlaryla da, sz oyunlar olmadan da ayrm yapmak gt. Her ne olursa olsun, beni neredeyse hemen dnyann fethine, rakamlar oralarda m diye bakmak iin Amerika Birleik Devletlerinden Msr'a, Hindistan'dan Meksika'ya, Peru'dan in'e gtrecekolan bahse girilmiti. Mal yardm olmadndan, kendi yamla kav

rulmaya karar verdim ve yolculuklanm boyunca, gnlk gereksinimleri karlamak iin, eitli iler, kh yamaklk ya da ofrlk, khkahvede garsonluk ya da bir otelde gece bekilii yaptm.

Bu kltrel turizm, gezegenimizin en nemli mzelerini, Kahire,Badat, Pekin, Mexico mzelerini, British Museum'u, Londra Bilimler Mzesini, Washingtondaki Smithsonian Institution', VatikanKtphanesini, Yale, Columbia ve Philadelphia'daki Amerikan ni

versitelerinin alt katlarn gezmemi salad; Conservatoire des artset mtiers'nin, Guimet'nin, Louvre'un, Bibliothque national de Pa-risnin szn etmeme gerek yok. Ayrca Pompei ve Massada ykntlarn gezdim. Nil vadisindeki birka nl site, Teb'e, Luxor'a, AbuSimbele, Gizeh'e uradm. Atina Akropolne ve ncesiz sonraszKentin Forumuna gidip yle bir gz attm. Quirigua ve Chichem It-za'daki Maya piramitlerinin tepesinden yzyllarn geiini seyret

tim. urdan burdan hesabn tarihiyle ilgili olarak gemi ya da imdiki detler zerine deerli bilgiler ya da tanklklar topladm.


18/221

Bu heyecan verici say-budunbilimsel ve rakam-kazbilimsel ge

zintilerden dnnce, gnler boyu halk dzeyindeki yaptlar, ansiklopedi maddelerini, uzmanlk dergilerini, bilim kitaplarn yiyip yuttum, her alandan uzmanlara, aratrmaclara, niversitelilere binlerce soruyla saldrdm.

Bununla birlikte, bu kiiler balangta pek az konutular ve zellikle de konuya burun kvrdlar.

Ortalk, cidd insanlar bir yana, sz durmadan kendi uzmanlkla

rna getirmek isteyen tuhaf insanlarla doluydu dorusu. Ama onlarikna etmek gerekiyordu, nk, grnte deersiz olan nemli gelimelerden srekli olarak haberdar olmak ve ayrca benim gibi ie yenigirmi birinin yapaca her trl yorum hatasndan kanmak iin,aratrmay onlarn denetimine brakmak kanlmazd. Benim matematikten baka bireyle ilgim olmad iin, onlar yalnz ciddiyetime,drstlme, iin nemine inandrmam yetmiyor, "rakamlar" ile

"matematiin" tamamen ayn ey olmad dncesine de altrmamgerekiyordu. Olaylarn ak bu konuda beni hakl karacakt.

Hereye karn, olgu ilgin. Rakamlar ylesine cisimsizlemi ki, sonunda ok insanca olduklar, hatt iirsel bir tz oluturduklar alarunutulup gitmi. O kadar ki, matematie hi yetenei olmayanlar, onlar kendi yoksunluklarnn ya da horgrlerinin nesnesi haline getirmiler. Yine de, Antoine de Saint-Exupery'nin KkPreras'inde pek

ho bir biimde sylettii gibi, salt madd bak as onlan kullanmaktan geri durmam:

"Bykler rakamlar sever. Onlara yeni bir dostunuzdan sz ettiinizde, size hibir zaman nemli eyler sormazlar. Hibir zaman: "Sesinin tonu nasl? Hangi oyunlar sever? Kelebek biriktiriyor mu? diyesormazlar size. Hep "Ka yanda? Ka kardei var? Ka kilo? Babasne kadar kazanyor?" diye sorarlar. Ancak o zaman tandklarn sanr

lar onu. Byklere "pembe tuladan, pencerelerinde sardunyalar, atsnda gvercinler olan... gzel bir ev grdm" derseniz, bu evi bir trlgzlerinde canlandramazlar. Onlara: "Yz bin franklk bir ev grdm"demeniz gerekir. O zaman haykrrlar: "Ne ho".

Bu, teknisyen ve maddeci toplumumuzda niceliin anlamnn niteliin anlamna nasl ak bir biimde baskn geldiini sylemektir.

Ardndan btn bunlar beni iki temel saptamaya gtrd. Konu

zerine ok sayda, zengin ve salam belgeler vard: Onlara ok eyborluyum ve bu kitapta sk sk szleri edilecek. Ama makalelerin ve


19/221

yaptlarn her biri tek bir uzmanlk alanyla ilgiliydi; hemen hemen

aratrmaclar, uzmanlar iin yazlmlard ve gsterdikleri btn bilginlie karn, eksiksiz ve bireimsel olmaktan uzaklard. Elbette, sonradan kefedeceim ve bana ok k tutacak baz genel yaptlar vard;ama bunlar alarnn bilgilerini yansttklarndan, tarih alanndakison gelimelerle olduu kadar, en son kazbilimsel keiflerle, ruhbilim-sel ya da budunbilimsel zmlemelerle de oktan almt.

Yani uygarlklarn ve dinlerin tarihinden bilimlerin tarihine, ta

rihncesi kazbiliminden dilbilime ve filolojiye, olgularn matematikselya da sylensel yorumundan budunbilime varasya, bu belgeleri btnl iinde ele alan, bir utan br uca, be ktann hepsini hesabakatan bir bireimin eksiklii vard.

Gerekten, memelilerde ya da kularda say algs, tarihncesininkertilmi kemiklerinin say saymadaki ilevi, Hint-Avrupa ya da Smikkenli saylamalar, Avustralya, Amerika ya da Afrika'nn "ilkel" de

nen halklarndaki saylar ve say teknikleri gibi ok farkl trden veriler, tarihi ar yalnlatrmalara indirgeyen kalplara dmeden vezden hibirey yitirmeden nasl biretirilir? Eskiler ile modernlerinparmak hesab; Gney Amerikallarn ya da Polinezyallarn akllasaymalar, "sicimden saylan"; Firavun dnemi yaztlan ile Babil tabletleri nasl ayn kalp iinde biraraya getirilir? Yunanllar ile inlilerin aritmetik kitaplar, Mayalann gkbilimi ve yaztlan, Hint iiri ve

matematii, Arap cebiri ve Ortaa quadrivium'u*, son olarak da zaman ve uzay ierisindeki gelimeleri tutarl bir biimde grebilmekzere, modem saylamann, insann bu ok nemli icadnn btn nasl birarada anlr? Zaten karmak olan bu btn ierisine hayvannasl yerletireceiz? Ya bebei?

Girdiim bahsi kazanmam besbelli olacak i deildi. Btn insanbilimlerim biraraya getirince, alanmz insanln dnsel evriminin

koskoca evrenini iine alyordu. yle zengin, yle engin bir aland kibu, kimse onu tek bana katetmeye kalkamazd.Elbette, byle bir arayn sonu yoktur. Kukusuz, elinizdeki bu ki

tap ok deerli bir ciltler topluluu ierisinde alak gnll bir yer tutmaktadr. Sonuncu olmayacaktr, kefedilecek eyler, zlecek gizemler hep kalr. Ben yine de, sayy kendi mant ve kendi tarihi iindeele alan say bilimlerinin bize gerekten retebilecei eyler hakknda

nemli grnen hereyi klgn bakmdan biraraya getirmi olduumusanyorum. Aynca bu kitap, rakamlann ve hesabn, olgular mantk


20/221

sal-zamandizinsel bir dizge ierisinde dzenleyen ve biribirine bala

yan hemen hemen evrensel ve bireimsel bir tarihini, sradan bir biimde, yaln terimlerle, metinle olduu kadar imgeyle, matematik bilgisi gerektirmeden, ok ok biraz dikkat isteyerek, geni bir kitleye sunan belki de ilk kitaptr.

Her aratrma bir yenilik getirdiinden, ben de birok konuda imdiye dek grlmemi kesinlikler getirdim, rakamlar evreninin uzunzaman aa kmam kimi blgelerini aydnla kavuturdum. rne

in bundan yaklak 5000 yl nce eski ran Elmllannca kullanlansaylama imlerinin okunmasndaki iinden klmaz sorunun zmn buldum; okur bu kitabn blmlerinden birinde yntemimi izlerkenelenebilir. Yine, uzun zaman Yunan dizgesinden tredii sanlan,ama gerekte binlerce yllk kertme uygulamasndan gelen tarihncesi

bir fosil oluturan Roma saylamas sorunu var. Ayrca, Mezopotamya-llann saylamalan ve hesap yntemleri konusunda baz yepyeni ay

rntlarn yan sra, birok dncenin olmadk birleimiyle yaklakonbe yzyl nce Hindistan'da doan ve "Arap rakamlar" denen "bizim" rakamlarmzn kkenine ilikin o byleyici ama pek ince soruna yeni bir k tutan bir sergilemeyi de burada bulacaksnz. Ayn ekilde, bilgisayarlarn kyla tamamlanan yapay hesap tarihinin higrlmemi sergileniini de ekleyelim.

Binlerce Yllk Bir Destan

Saylamann tarihi emalatnlmak istense, artk bizim teknisyentoplumumuzun simgeleri haline gelmi kavramlar olan Bir'i Sfr'danayran btn yoldur denirdi.

mdi, bugn sfrdan bire gitmek iin, modem matematikteki ustalarmz kadar bilgisayar bilimi uzmanlarnn da kafalara yerletirmi

olduu, yokluk hep birlikten nce gelmitir biimindeki u szde kesinlie dayanarak, gle oynaya atacamz tek bir adm vardr. Gerektezamandizinsel bakmdan bile btn saylarn ilki olan "bir" saysnnicadm, bu tarihin en son byk icad olan sfrn icadndan ayran devler devi bir zamansal admn sz konusu olduunu bir an bile aklmzagetirmeyiz. nk bu adm, geriye doru dnrsek, insann yokluun "hi" ile eanlaml olduunu farkettii a, yaam ile lm karsndaki yalnzlnn, kendi trnn teki canl varlklara gre zel durumunun, kendi kiiliinin trdeleri karsndaki tekilliinin ve ayn


21/221

zamanda kendi cinsiyetinin ei karsndaki tekliinin bilincine vara

rak birliin anlamm kefettii adan ayran tm insanlk tarihidir.Ama bu tarih, matematiin tarihi gibi -kimi zaman yanl olarak yle

dnlr- soyut ve izgisel bir tarih deildir; yani biribirine zincirlenmi kavramlarn kusursuz bir ardardal deildir. Tersine, yln gnlerini saymaya, deitoku ve tecimsel ilemler yapmaya, yelerinin, evliliklerinin, llerinin, mallarnn, srlerinin, askerlerinin, kayplarnn,tutsaklarnn saysn bilmeye, kimi zaman kentlerinin kuruluunu ya

da zaferlerinden birini tarihlemeye alan ok eitli kltrlerin ve toplumsal gruplarn gereksinimlerinin, kayglarnn tarihidir.

rnein koyun ya da kei srs gdenlerin, her otlak seferindendnte, hayvanlarn hepsinin ala sa salim dnp dnmediindenemin olmalar gerekiyordu. Toplu yaamn gereksinimlerini karlamak iin alet ya da silh stou yapanlarn, yiyeceklerini saklayanlarn, silhlarnn, aletlerinin, yiyeceklerinin durumunun daha nce b

raktklaryla ayn olup olmadn dorulamalar gerekiyordu. Komutopluluklarla dosta olmayan ilikilere girenlerin, her asker seferinsonunda, askerlerin saysnn tam olup olmadn bilmeleri gerekiyordu; gerektiinde, savata verilen kayplarn saysn bilmeleri gerekiyordu. Deitoku ii yapanlarn da besin maddesi satn alacak ya dabir maln karlnda baka bir mal verebilecek durumda olabilmeleriiin "deer biebilmeleri" gerekiyordu. rn kaldrmak iin, ya da yine, nemli bir dinsel trene vaktinde gidebilmek iin say saymay, zaman lmeyi ya da hi deilse benzer durumlarda doan glklerdenkurtulmay salayan klgn bir yol bulmalar gerekiyordu.

Tek szckle sylersek, bu, eylemindeki, dnndeki zek sayesinde ve ayn zamanda eylerin de zorlamasyla bir "saysal deerlendirme" gerektiren hereyi gz nnde bulundurmaya itilen bir insanln tarihidir. Bunun iin, insanlk elindeki her arac kullanmtr.Aralar balangta somut, deneysel ve geliigzel olmu, giderek soyutlam, yetkinlemi ve nce tuhaf bir biimde gizemli, mitolojik tasarlanm (nk bu gruplar tarihleri boyunca nyarglarn bol bolsergilemekten geri durmamlardr), sonra da onlara bir genelletirme

biimi almaya yatkn, yansz bir adan baklmtr.Kimisi kendini faydac olarak gstermi ve tutkularm salt hesapla

ilgili amalarla snrlamtr.Kimileri, snrszlk ve ncesiz-sonraszlk ierisine yerlemek iin,

yeri g sayp dkmeye, dnyann yaratlm olduuna inandklar


22/221

gnden ya da hi deilse yitip gitmi bir ilk tarihten balayarak, gn

lerin, aylarn, yllarn niceliini dile getirmeye girimitir. Bylece, bukincilerin ok byk saylar tasarlamak zorunda kalmalar, onlarsimge okluunu amaya gtrm, yalnz belli bir balang ilkesinideil, her matematiin hareket noktas olan, "sfr" denen ok soyut

bir kavram aramaya itmitir.

tik Denemeler

Bu tarih ok zaman nce balamtr; nerede baladn pek bilmiyoruz. O zamanlar saylan kendinde, kendi bana tasarlayamayaninsan, henz "say saymay" bilmiyordu. Olsa olsa teki, ifti ve okutasarlayabiliyordu.

Ruhbilimcilerin ve budunbilimcilerin almalan, kargadan balaypbebekten, Pigmeden ya da Fuegoludan geip uygar insana giden gzlem

lere ya da deneylere dayanarak, insann say algsna ilikin temel ilkenin ortaya konmasn salamtr (bu kitabn okuruna bunu gsteren birgrnt testi sunulacaktr): Baz "yksek" hayvanlar gibi, hibir n eitim (rnein domino talannn ve oyun katlanmn 5'i, 6'y ya da 9'u birdenbire tanmay bize retmesi gibi bir eitim) grmemi yetikin insann da dorudan say algs ancak l'den 4'e kadardr. Ondan sonrasn"saymas" ya da henz renim grmemise saymay renmesi gerekir.Bu da nce ileri bir say tekniini, sonra toplumsal bellek ve iletiim iindilsel bir aletin (say adnn) -ancak ok sonraki bir aamada gelen, izgilerle dile getirilmi bir saptama dizgesinin- gelitirilmesini gerektirir.

Ama bir trenin tarihim renebilmek ve iletebilmek iin ya da sabahleyin dan kanlan koyunlann, keilerin, srlann akam sa salim geri dndn saptayabilmek iin ille de bizim gibi "saymay" bilmek gerekmez. Dil, bellek ya da soyut dnce zayf olsa bile, bu eitilemleri gerekletirmek iin eit eit aracdan yardm alnabilir. Okyanusya'nn, Amerika'nn, Asya'mn, Afrika'nn, dillerinde "say adlan"olarak bir, iki ve oktan bakas bulunmayan, ama yine de birebir uygunluu bilen kimi ada "yabanlan" kemik ya da aa kertme yolunukullanyorlar rnein. Kimileri akllan, kavklan, aklan, omaklanst ste yma ya da yan yana dizme yolunu kullanyorlar. Kimileri ise,bedenin eitli paralanna yneliyor, el ve ayak parmaklanna, kol vebacaklann eklemlerine, gzlere, buruna, aza, kulaklara, memelere,gse bavuruyorlar.


23/221

lk Hesap Makineleri

Yalnz niteliksel deil niceliksel de olan bir evrene frlatlm insan,ister istemez, glklerden syrlmak iin, yava yava eline geenhereyi kendi yararna kullanmtr. Doa kendisine btn olanaklasal modelleri (ikiyi simgelemek iin kuun kanatlarn, iin yoncann yapraklann, drt iin bir hayvann ayaklann, be iin elin parmaklann vb.) ve ayn ekilde her eit ardardalk ilikisinin rnekle

rini verdiinden, insan derece derece saylann ve hesabn soyutlamasna ulamtr.

Herkes say saymaya on parmayla baladndan, u anda varolan saylama dizgelerinin ou on tabanna dayanr. Oniki tabannsemi baz ilgin rnekler de olmutur. Mayalar, Aztekler, Keltler veBasklar, bir para eilince ayak parmaklanyla da saylabileceini farketmiler, bylece yirmi tabanm benimsemilerdir.

Bilinen en eski yaznn icats olan Smerlere ve srf tarihin en eskisfnn kefettikleri iin sonsuza dek yllklarda kaytl kalmay hakeden Babillilere gelince, onlar, nedendir bilinmez, altm tabanyla sayyorlard. Btn okul ocuklanmn bildii, ayn zamanda pek korktuuu nl zamam saatlere, dakikalara, saniyelere blme sorunlann, aynekilde 60 dakikaya blnm dereceleri ve 60 saniyeye blnm da-kikalan olan, tuhaf bir biimde 360 dereceye blnm o daireyi bize

brakan onlardr. Ama burada zaten ince hesaplar sz konusudur.Bat Avrupa'da kefedilmi, 20 000 - 35 000 yllk, zerinde bir ya

da birok kertik dizisi bulunan bir sr nkol kemii ve baka hayvankemikleri, kazbiliminin imdiye dek bilinmezlikten kurtarabildii eneski "hesap makinelerini" oluturuyor.

Bu kemik ubuklan kullanm olan uzaktan atalanmz belki mthi avclard. Ne zaman bir hayvan ldrseler bir kemik zerine bir

kertik atyorlard. Her hayvan tr iin farkl kemikler kullanlabiliyordu: Biri aylar iin, bir bakas bizonlar iin, yine bir bakas kurtlar iin vb.

Bylece saymanln ilk kavramlanm icat etmilerdi, nk gerekterakamlan olabilecek en yaln saysal iaretleme dizgesiyle yazyorlard.

ok ilkel ve gelecei olmayan bir teknik diye dnlecektir. Geriilkel, ama kesinlikle gelecekten yoksun deil. Hemen hemen hibir de

iiklie uramadan bize kadar ulam. Bu tarihncesi insanlan tmalann en uzun mrl rekorlanndan birini oluturacak bir icat orta


24/221

ya koymular. Tekerlek bile bu kadar eski deildir. Bu icatla yalnz

atein kullanm yarabilir ve belki yar kazanabilir.Tarihncesi maaralarn kayalk i duvarlar zerindeki eitli hay

van izimlerinin yannda bulunmu birok kertiin hesap ilevi grd hi (ya da hemen hemen hi) kuku gtrmez ve modern ada butekniin pek deimedii grlmtr. ok eskiden, Alpli, AvusturyalI, Macar obanlar ve yine onlarn trdeleri olan Keltler, Toscanallar,Dalmayallar srlerindeki ba saysn kk tahta paralan zeri

ne dikey izgiler, V'ler, X'lar izerek kaydediyorlard.XVIII. yzylda, ok cidd Ingiliz Parlamentosu'nun arivleme diz

gesi de ayn kaba hesap tutma uslyle oluturuluyordu. arlk Rus-yasyla birlikte Cermen ve skandinav dnyasnda da dn para verme ilerinde ya da takvim hesaplarnda bu usl yrrlkteydi. OysaFransa'nn krsal yrelerinde ayn kertikli ubuklar bizim hesap defterlerimizin ve yazl anlamalanmzm yerini tutuyor, halk pazarla-

nnda bile veresiye hesabnn aleti olarak i gryordu. ok ok yirmikadar yl nce, Dijon yaknlarndaki kk bir kasabann frncs,mterilerinin her birinin veresiye ald ekmek somunlarnn saysnhesaplamak iin tahta ularnda kertikler ayordu. Geen yzylnHindiin'inde bu usl ayn ekilde veresiye defteri olarak, ama aynzamanda yasaklama etelesi olarak ya da kolera bulam kiileri kaydetme yolu olarak kullanlyordu.

svire'de de kertikleme herkes gibi dn para ilerinde, ama ayn-ca szlemelerde, st teslimlerinde, hatt kimi otlaklann gereksinimlerine aynlan suyun miktarlarn belirtmek iin kullanld.

Bu say tekniinin, gerekte, ok tank olduumuz iin ou kez"Arap" rakamlannm yan sra (hatt kimi zaman onlarn yerine) kullandmz Roma rakamlannm kkeninde de bulunmas, byle bir sreklilii daha da dikkat ekici klyor.

Somut saymn kalc olmayan bir baka yolu kkence ok daha eskidir. Bunda alacak birey yok, nk el tm alarn ilk "saym vehesap makinesi"dir. Yeryznn tm halklan tarihlerinin u ya da buannda ona bavurmutur. Auvergne'de, in'de, Hindistan'da, Trkiye'de, eski SSCB'de hl yer yer, baka hibir yapay malzemeye bavurmadan, verilerin yaln ifadesine dayanarak parmaklarla arpma ilemi yaplr. Parmak kemiklerinin ve eklemlerinin ie kartrlmas

herkesin bildii yaln ilemden ok daha teye gitmeyi salar. Bu uslrnein Msrllarn, Romallarn, Araplann, Acemlerin -Bat Ortaa-


25/221

mn Hristiyan halklarn unutmayalm- sar-dilsizlerin el kol iareti

diline benzer bir yol izleyerek l'den 9999a kadarki saylan somutlatrmalarn salar. Ayn usl, daha ustalkl bir dizgeyle, inlilere birelle 100 000'e, iki elle on milyara kadar saymann bir yolunu hayal etme olanan vermitir!

Ama numaralann tarihi parmaklarla anlatldndan baka trlanlatlabilir size. rnein, Peru'da, Bolivya'da, Bat Afrika'da, Havaive Caroline adalannda, aynca Japon takmadalarnn ok yaknndaki

Ryu-Kyu'da saylan dmlenmi sicimler araclyla kayda geirmeyntemi vardr. Bu yntem ayn zamanda Gney Amerika'daki okgl nka ynetiminin ustalkl arivleme dizgesini de oluturmutur.

Aritmetik tarihinde ayn ekilde ihmal edilemez bir nem tayanbaka bir eski dizge de akl yn dizgesidir; insan onun sayesindehesap sanatna balamtr. rklerin kkeninde, rakamlarn henzbilinmedii alarda ilem yapmak iin kullanlm u boncuklu er

evelerin kkeninde de bu yntem vardr. Ayn ekilde, in'de, Japonya'da ve Dou lkelerinde hl kullanlan say boncuklannn atas daodur.

Ayrca, hesap (calcul) dediimiz zaman, szcn kendisi biziuzak alardan gelen bu ynteme gnderir, nk Latince calculus(hesap) szc "kk akl" anlamna gelir.

Tarihin lk Rakamlar

Tarihin ilk yazl saylamasmn kkeninde de bu yntem bulunur. Birgn birka saymann aklna, sradan akllann yerine uzlama dayal

biimler tayan, farkl boylarda, pimemi topraktan yaplm nesnelerikoyma fikri geldi; nesnenin boyutu ve biimi onu bir saylama dizgesinin basamaklanndan birinin karl yapacakt: Birler basama iin

bir ubuk, onlar basama iin bir bilya, yzler basama iin bir kre...Bu, M.. IV. binde, Arap-Iran krfezinin yaknlannda bulunan bir Irantopranda, Elm'da olmutu. Fikir oktandr ortalkta olduundan vebir kil uygarl bile kurulduundan, ayn ada, Aa Mezopotamya'daki Smer lkesinin sakinlerince, benzer bir dizge ayn ekilde kullanlmtr. Ama bu sonunculann say yetenei onluk yerine altmlkolduundan, yntem birka aynnt farkyla iletilmitir: 1 iin kk bir

koni, 10 iin bir bilya, 60 iin byk bir koni, 600 iin delikli bir bykkoni, 3600 iin bir kre...


26/221

Bu ada bu uygarlklar iyice yaylmt, ama henz yalnzca szl

olarak. Yalnzca "insan-bellek'n ok kstl olanaklarna dayanyordu.Bununla birlikte, yukardaki temellere dayah hesap dizgesinin, nesneleri kilden yaplm toplar ierisine koyma fikri sayesinde, ok yararlolduu grld. Yalnz aritmetik ilemleri yapma gereksinimini deil,her eit mal saymnn ve tecimsel ilemlerin belgesinin arivlerdesaklanmas gereini de karlamay salad: Denetlemek iin topu krmak yeterliydi. Sonra bir gn topun kili zerinde topun iine konan

nesneleri simgeletirme fikri geldi akla; kk bir koni kk bir kertikle, bir bilya kk bir yuvarlak delikle, byk bir koni kaim bir kertikle, bir kre bir daireyle... betimlendi. Tarihin en eski rakamlarolan Smer rakamlar, M.. 3200'e doru, ite byle dodu.

Bu tarih yaznn tarihiyle bitiik gibidir, ama elbette onunla ayndeildir. nk yaz yalnzca grsel betimleme ve dnceyi belleeyerletirme gereksinimlerini karlamak iin deil (gelimi bir top

lumsal grupta yaayan her insan bu gereksinimleri duyacaktr), aynzamanda ve zellikle eklemli dili kaydetmek iin icat edilmitir.

Zeknn artc Deimezlii

Gerek zaman gerek uzay bakmndan biribirinden ok uzakta olaninsanlarn, aratrmalar ve snamalar srasnda, benzer sonulara

ulamak zere nasl ayn yollan izlemi olduklarm grmek arpcdr.Gerekten insan her yerde bedeni zerinde bir yeri iaret etmeyi,

parmaklaryla saymay renmi, evrensel olarak akllardan, kavklardan, ubuklardan yararlanmtr. inlilerde, Pasifik adallarnda,Bat Afrikallarda, Inkalarda saylanm dml sicimlerin kullanmna rastlyorsak, ille de bilinmeyen yolculuklar varsaymna bavurmamz gerekmez. Kertme uygulamasnn da gerek tarihsel gerek co

raf bakmdan geni lde yaygn olduu grlr. Kemik ya da aazerine oyma ayn gereklilikleri, ayn glkleri, ayn ralayc zellikleri gsterdiinden, Avrupa, Asya, Afrika, Okyanusya, Amerika gibi

biribirinden ok uzak blgelerde bulunan nkol kemikleri ya da aaubuklar zerinde ayn izgileri, ayn Vleri ve ayn X'lan grmek kimseyi artmayacaktr. nk bu imler Romallarn, inlilerin, Hindi-in'in Khas Bolovenlerinin, Yeni-Meksikadaki Amerikan yerlileri olan

Zunislerin kltrleri gibi biribirinden kkten bir biimde farkl kltrlerde, ayn ekilde, ada Dalmaya, svire, Kelt obanlarnda da g


27/221

rlr. Demek ki, evrensel bir biimde dikey bir izgi araclyla belir

tildiini grdmz "bir says gibi, birtakm saysal birimlerin, hemen her yerde ayn rakamla betimlendiini gzleyince amayacaz;5 says da, daha az yaygn olmakla birlikte, sk sk yn farkl bir eit Vyle, 10 says bir eit X'yla ya da yatay izgiyle... betimlenmitir.

Ayrca, Msrllarn, Hititlerin, Yunanllarn, Azteklerin, tabanlar yada imlere karlk gelen rakamlar bir dizgeden tekine hissedilir bir biimde deise de, en azndan yap bakmndan, tamamen ayn yazl sa-

ylamay yaratm olduklarn gzleyeceiz. Smerlerin, Romallarn,Attikallann ve Gney Araplannm dizgelerinde de yledir. Baka baka kltrlerde bir sr benzer olgu saptanmtr ve bunlar aklamakiin zorunlu olduu iddia edilen ilikileri varsaymaya gerek yoktur.

Demek ki insanlk belli bir icad ya da kefi, herhangi bir yerde veyeryznn herhangi bir halknda yeniden yapma yeteneini srekliolarak kendinde tamaktadr; sz konusu halkn (ya da bireyin), ba

langtan itibaren, bu icad ya da bu kefi tarih boyunca hi deilse birkez yapma olanan bulmu kafalarn koullaryla -ayn deilse de-

benzer kltrel, toplumsal, ruhsal koullarda olmas bunun gerekli veyeterli kouludur.

Ayn lkenin ya da iki farkl lkenin ada bilim adamlarnn, biri-birinden tamamen habersiz olarak, hemen hemen ayn anda benzer bilimsel keiflere ulam olmasn aklayan da budur. Fermt ile Des-

cartes'm analitik geometriyi, Newton ile Leibniz'in tretke (diferansi-el) hesabm, Byle ile Mariotte'un gazlara ilikin fizik yasasn, Joule un, Mayer'in ve Sadi Carnot'nun termodinamiin ilkelerini... kefe-diini dnn.

Bununla birlikte, birok durumda, uluslararas ilikilerin artan gelimesi sayesinde icat ya da keif yaplr yaplmaz yaygnlam ve btn halklarca benimsenmitir; ya da hemen hemen btn halklarca,

nk elbette, salt gelenekilikten tr her trl devrimci yeniliireddeden kltrler olmutur.

Rakamlar ile Harfler

Olgu, rnein M.. II. binden itibaren, Fenikeliler ya da en azndankuzeybat Smileri yazlarn tarihinin son aamas olan alfabetik yaz

ilkesini ortaya koyduklar zaman kendini gsterdi. Bu yenilikteki ustalk ve yalnlk onu bir "icat" olmaktan karp, herkesin gznde par


28/221

lak bir rnek deeri kazandrd. Bunun kant, bugn dnya zerinde

varolan hemen hemen btn alfabelerin, brani alfabesinden Arap alfabesine, Berberi alfabesinden ve Hint yaztlarndan geerek Bat dnyasnn btn alfabelerinin kkeninde bulunan Yunan alfabesine kadar, ondan tremi olmasdr.

Ardndan, Yunanllar, Yahudiler, Hristiyanlar, Araplar ve birokbaka halk saylan alfabelerindeki harflerle yazmay akl ettiler. Budizge harflere Fenike kkenindeki sralanna gre (alar boyunca bu

halklarda dikkat ekici bir biimde deimeden kalm bir sra) l'den9'a dek, sonra, onlar basamanda 10'dan 90'a dek ve ardndan yzlerde... saysal deerler vermekten olumutu.

Byle oluturulmu saylamalar harflerin saysal deerlerinin stste eklenmesiyle iliyordu. Eski Yunan matematikileri, temelsaysal harflere belirtme imleri koyma yoluyla onlar basamann okyksek kuvvetlerine ulaarak, bu saylamann kullanmn onluk dizge

erevesinde akla uygun hale getirdiler.Ama iirsel ve yaznsal kullanmda, zellikle de by, gizem ve k

hinlik alanlannda, bir szc oluturan harflerin deerlerini toplamakla urald.

Bu koullarda, szckler saysal bir deer kazandlar; buna karlksaylar da simgesel olarak, bir ya da birok szcn semantik deeriyle yklendiler. rnein, YAHWEH adn oluturan brani harfleri

nin deerlerinin toplamndan baka birey olmayan 26 says (Y + H +W + H=10 + 5 + 6 + 5 = 26) Yahudiler iin kutsal bir say haline geldi,braniler, Yunanllar, Latinler, Araplar (aynca Acemler ve Mslman-lam Trkler), gerekte M.. II. binde ba tannlannm herbirine birsay vermi olan Babillilerin ok eski yaz geleneine kadar giden butr kurgulamalan iyice oalttlar.

Bu ilem, skenderiyeli Leonidas gibi airlerin ok zel trden ya

znsal kompozisyonlarna neden oldu. ok daha sonraki Maripli,Trk ve Acem airleri ile mezar ta yazclannn kronogram (tarihlerihem saysal hem anlamsal olarak dile getiren dizeler) yazma sanatnnkkeninde de bu ilem vard.

Eskiadan gnmze dek eitli blgelerin kabalaclan, gnostikle-ri, bycleri, khinleri, mistikleri her trden kurgulamalannda, yorumlarnda, ngrlerinde, varglarnda bu ilemin sunduu btn

olanaklan kullanmaktan geri durmadlar. rnein gnostikler zmyolunu bulduklarn, inanlarna gre, btn tanrsal gizleri kavra


29/221

makta kullanabileceklerini dndkleri Tann'nn Adn belirleyebil

diklerini sandlar. Zaten birok mezhep (Islamdaki Hurufler, "harfi-ler" gibi) byle ortaya konmu inanlarn evresinde olumutur ve

bunlarn yandalan, Avrupa dahil, gnmzde hl yaamaktadr.ilk rakaml alfabeyi yapanlar, Yunanllar ya da Yahudiler, be yz

ya da iki bin yl sonra, Petrus Bungus adl bir katolik tannbilimcinin,Martin Luther admn 666 deerinde olduunu "tantlamak" (bir orto-rafa biraz gzden geirilmi ve dzeltilmitir) iin 700 sayfalk bir sa-

ybilim kitab yazma zahmetine katlanacan kesinlikle tahmin etmemilerdi. an "izopsefik" hesaplanna yeni balayanlar iin parlakbir tantlama: Havari Yuhannaya gre, 666 gerekte Deccal'n, "Kyamet Hayvannn" saysdr... Ama Bungus adl kii bu tutumun ne ncsdr ne de onu kullanacak son kii. Dorusu, baz Hristiyanlannimparator Neron'un adna 666 deerini bime iine kafay takt Roma imparatorluu andan, peygamberlik taslayan saybilimcilerin

herkesin hesap yapmadan kendi abasyla renmi olduu eyi (yaniHitler'in gerek Kyamet hayvan olduunu) "tantlamay" baardkla-n ikinci Dnya Sava ama kadar, bu ilemle dncelerin desteklenmesine katkda bulunulmutur. Burada byk caddelerde hl kolgezen, bir ke banda sizi aka zavall czdannzdaki bozuk para-lann falna bakmaya aran say arlatanlan sz konusu deil.

Byk Bir cadn Tarihi

Demek ki bu tarihin k yolu mantk olmamtr. Saylama dizgelerinin icadna ve evrimine yn vermi olan, ilkin saymanlann, amaayn zamanda din adamlanmn, gkbilimcilerin, mneccimlerin, ve ancak son srada matematikilerin kayglandr. En azndan ilk nntutucu olduu herkese bilinen bu toplumsal kesimler, kukusuz say

lama dizgelerinin hem sonuna kadar yetkinlemesini hem de halkayaylmasn engellemitir. Bizim gzmzde ok eksik bile olsa, atala-nmzn gznde ok incelmi olan bir bilgi, g ya da en azndan ayn-calik kazandnnca, onu paylamak korkun, dine aykn birey gibi grnr. Belki de bu konuda, ama baka alanlarda belli bir mandarin iktidarnn tutumu hep ayn olmutur.

Ama burada baka nedenler var. Temel bilim bilginlerin bilincindeki bir i gereksinimi karlad iin geliirken, bir icat, bir keif ancakbir uygarln toplumsal isteine yant veriyorsa geliebilir. Bilimin


30/221

bir uygarla verip verecei, o uygarl deitirmek ya da altst et

mektir. Bilindii gibi, ileri gitmi bilim adamlar rahat etmemilerdir,nk toplumsal isten onlar reddetmitir.

Matematiksel dncenin biribirini izleyen aamalarna tanklketmek byleyici bireydir. Konumlu saylamay kefetmek tarihtekihalklarn ounun akima gelmemitir.

(Konumlu bir saylama, rnein dokuzun birinci, ikinci ya da nc basaman birimleri arasna yerletirildiinde ayn deeri tama

d bir dizgedir.)Gerekte bu temel kural tarih boyunca yalnzca drt kez akla gelmi

tir. lk kez M.. II. binin banda Babil bilginlerinde ortaya kmtr.Sonra, Hristiyan ann balamasndan biraz nce inli matema-

tikilerce, ardndan M.S. III. ile V. yzyl arasnda Maya gkbilimcilerince, son olarak da V. yzyl yaknlarnda Hint matematikilerinceyemden kefedilmitir.

Bu drt halkn dnda kesinlikle kimse bir sfr sahibi olma gereksinimini yaamamtr. Ama konum ilkesinin kullanmnn dizgeli hale getirilmesinden sonra, sfr zorunlu bir kavram olmutur.

Bununla birlikte, yalnzca halk, Babilliler, Mayalar ve Hintlilerbu son soyutlamaya ulaabilmi. inliler onu ancak Hint etkisiyle dizgelerine sokmulardr.

Ama ne Babillilerin sfn, ne Mayalarn sfin bir say olarak grle

bilir: Bizim bugn kullandmz olanaklarla aa yukar ayn olanaklar yalnz Hintlilerin sfin tamtr. Zaten kullanmla, zamanla veyolculuklarla bir para biim deitirmi Hint rakamlanndan baka

birey olmayan ve Araplann adm tayan rakamlarla ayn zamanda*Araplarca bize aktanlan sfr da odur.

Biz onu para blk biliyor olsak da, bu tarih bugn kullandmzve btn gezegene daha dn yaylm olan bu saylama dizgesine do

ru ok kararl bir biimde ynelir.

Hesap, Rakamlar ve Saylar

Ama aritmetiin btn tarihi "rakamlar" deildir. Bu izgeli (grafik)simgeler grece ge ortaya kmtr ve saylann saysz betimlemelerinden yalnzca birini olutururlar. Rakamlann tarihi, modem yazl hesa

bn gelitirilmesiyle biraraya geldii, yapay hesabn byk serveniylekendisinden aynld gerek anlamyla "hesabn" tarihine kouttur.


31/221

Rakamlarn kabuu olan saylan yle ok kullanyoruz ki, ou kezonlan, bize kendiliinden gelen ve trmzn ata mirasnn parasn

oluturan hareket etme ve konuma yetenei gibi, insan varlnndutan yatknlklan olarak grme eilimindeyiz.Oysa, uygarlmzn bir ediniminin, icat edilmi ve dil gibi -dil de bir

renim gerektiren baka bir "alet"- aktanlmas gereken bir eyin szkonusu olduunu tasarlayabilmek iin, okuldaki o sk renimi, saylankullanma renimini (zellikle de ocuklukta arpm cetvelini ezberlemekle geen uzun ve dayamlmaz saatleri) anmsamak yeter. nk

rakamlarn da kendi tarihi vardr. ok uzun, ok karmak bir tarih.Avrupa'da, ok deil birka yzyl nce, rakamlarla deil, parmaklaya da levhalar zerindeki iaretlerle hesap yapldn, kertikli ubuklar zerinde muhasebe defleri tutulduunu grnce annz belki de.Ortaada zengin bir tccarn olunun arpma ve blme sanatnn srlarn ele geirebilmek iin bir dizi yolculukla tm Avrupa'da mekikdokumas bir yana, yllarca renim grmesi gerekiyordu. Sonu

olarak bu, gnmzn doktorasyla edeerdi.Saylarn insanolunun ulaabilecei uzaklkta bulduu en karmak, en soyut kavramlar arasnda yer ald dorudur. Bu icat, kukusuz, insanln en byk fetihi deilse de, en byk fetihlerindenbiridir. nk dil, yaz ve aritmetik arasnda, insann en ok vakit harcad, sindirmekte en ok sknt ektii, sonuncusudur. yle ki, insanlar alar boyu ondan gizemli bir korku duymu, hatt ou kez tan-

nsal glerle tek tek numaralan zdeletirmi, saylann simgeleriniadn ve bireyin szde temel bir esi saymaya kadar gtrmtr ii.rnein Babil mneccimleri, tapnaklanndaki tannlann her birine,

kiiliklerin sradzenini gsteren bir biimde azalarak ilerleyen bellibir say vermemiler midir (Gn tanns Anu'ya 60; Yerin tanns En-lil'e 50; Sularn tanns Ea'ya 40...)? Belki de bu yolla, en soyut kavranlan nitelik olarak onlara ykleyip, tannlann insanlar zerindeki

varlksal stnln belirtmek istemilerdi.Saylar "bilginin en yksek derecesi" olarak da grlmtr: rnein byk Platon saylarn kosmik ve i uyumun zn oluturduunu sylyordu. Bu dnceyi daha sonra "saylarn tanrsalhakikatlere yaklamann en iyi arac" olduu konusunda bu felsefenintm yandalarna gven verecek olan Nicolaus Cusanus yineleyecekti.Ama dnce yeni deildi. Daha nce Philolaes "bilinenlerden her-

eyin bir says vardr, nk say olmadan bireyin tasarlanabilmesi


32/221

ya da bilinebilmesi olanakszdr" buyurmutu. Bu gizemli felsefeyi "ev

renin gerek yapsn kavramay ancak saylar salar diyen bir dizgehaline getiren saf Pythagoras geleneinde, bu bir inan iiydi.

Yirmi be yzyl sonra, bir gn Bertrand Russell, saylarn adabilimde oynad temel rol (zellikle Albert Einstein 'n "genelgrelilik kuramn", Max Planck'm "kuantum kuramn", Louis deBroglie'nin "dalga mekaniini") dnerek, "Modem bilimin en artc yan Pythagorasla dndr" dedi.

Modem simgesel mantn byk kurucularndan biri (dan Russellsorunu tersinden ele alyordu, nk evreni yneten saylar deildir:Dorusu, dnya saylarla soyut olarak dile getirilebilen fizik zelliklertar. nk say nesnelerden deil, nesneler zerinde i gren dncenin yasalarndan gelir. Gereklik elbette sayy esinler, ama onuoluturmaz. nk insanolu bu gerekliin nesnelerini, bilinen

btn ilerlemeleri eksiksiz bir biimde gerekletirmesini salayan

dncenin yaln nesnelerine dntrmeyi bilmitir. Rivarol ylediyordu: "insan evinde merdivende oturmaz, ama onu kullanarak heryere kar, her yere ular; ayn ekilde insan akl da saylarda yaamaz, ama onlarla bilime ve her trl sanata varr."

Son Derece nsanca Bir Tarih

Btn bu alma ve sorgulama yllarndan sonra, galiba bugn rencilerimin sorularn eskisinden daha iyi yantlayabilirim. Buradaonlara iten bir kanm belirtiyor, btn merakl gen kafalara kranlarm iletiyorum. ocuklarn "ocuksu" denen sorularna herzaman dikkat gstermek ve onlan her zaman yantlamaya almakgerekir. Ama meraknz uyanmaya grsn, bu sorular sizi gitmeyihayal ettiinizden ok daha uzaklara gtrverir. Bu konuda bazenraklarn byk ustalar olduu ortaya kabilir.

Buna karlk, kimi kez nne kan ilk glk karsnda cesaretikrlan bir ksm genlere de, abalarmn, inadmn ve sabrmn umduumun ok tesine giden bir baaryla dllendirildiini sylemekisterim: Bu alma bugn gerek Fransa'da gerek baka yerlerdetannyor, biliniyor, hatt birok yabanc dile evrildi.

Balangtan beri talihimin bana ok yardm ettii doru, ilkin karlk beklemeyen ilgisiyle, anlayyla, bitmek bilmeyen hizmetiyle

bana en deerli destei veren olaanst karm kard karma. Son


33/221

ra talih her bir insana tek bir kltr bahederken, ben Fas'ta domak

la Arapay ve o byleyici Arap-slm kltrnn temellerinin nemlice bir ksmm bilme ayrcalna erdim. brahimolu olduum iin Ib-ranice rendim ve Yahudiliin ralayc zellikleri olan insanclkla,hogryle, evrenselcilikle yorulmu derin dnsel ve ahlksalyapy iyice sindirdim. Ayrca Marib'de dou ve bat kltrlerininkoyarnda yaadm ve bir bakma dounun kaynaan -ama ylesine ince- kafasn Dekartln ve ussal dnmenin derin kalb iinde bir

dzene sokarak, bu kltrlerin biribiriyle uyumlu bir iliki iindekitemellerini abucak zmlemek istedim. Matematik tutkunu olduumdan, saylarla, bu karmak dizgenin temel kurallarm saptamam salayan bir tanklm vard. Elimden az ok i geldii iin, bu kitabacan veren saysz izimi, kaligrafiyi ve ekli, kimi kez balanacanumduum ocuksu izgilerle de olsa, resmetmenin altndan kalkmayrendim. Ayrca, yllar boyunca, btn bildiklerimi kendilerine borlu

olduum ok sayda sekin bilim adamnn ortaya kard, ou kezyepyeni deerli bilgilerden, onlarn yreklendirmelerinden, bir zamanlar karlarnda ders verdiim dinleyicilerin sorularndan ve okurlarmn heyecan verici eletirilerinden, dncelerinden destek aldm.Editions Robert Laffont'un yardmlarndan, gsterdii titizlikten,yayncm ve dostum Grard Klein'n sorularndan, tavsiyelerinden,eletirilerinden, bu kitab deerli koleksiyonuna alarak beni onurlan

dran, almay derinlemesine gzden geiren ve eskisinden yolakarak yepyeni bir kitap hazrlamam iin bana bu olaanst firsatsunan Guy Schoellerin okusundan, yreklendirmelerinden sz etmeme bile gerek yok.

Gemiin btn bu yanklan gsteriyor ki, ou kiinin teknisyentoplumumuzun silhlan ve yneyleri olduunu syledii bu kuru, cansz simgelerden ok baka birey olan rakamlar, ayn zamanda dn,

dlemin, metafizik kurgulamann dayana, edebiyatn malzemesi,belirsiz gelecein ya da en azndan gelecei kestirme arzusunun iskandili olmutur. Rakamlarn iirsel bir z vardr. Szckler kadar ya dahemen hemen szckler kadar, hem airin gereci, hem saymann vebilim adamnn aleti olmulardr. Ayrca, rakamlar, saylama sorununa getirilen zmlerin okluu arkasnda yatan evrensellikleriyle,yava yava ama emin admlarla bugn her yerde baskn km olan

bu zm yoluna doru ilerleyen tarihleriyle, insan kltrnn derinbirliine, dillerin karmaasndan daha iyi, daha ok tanklk eder. On


34/221

lara baknca, toplumlarn ve tarihlerin artc bolluu, neredeysemutlak bir sreklilik duygusu karsnda silinir gider. Rakamlar insann tm tarihi deildir, ama u Goethe'nin, ngiliz donanmasnn

btn halatlarnn bir ucundan br ucuna giden, tahta ait olduunukabul etmeden en kk parasn ayramadnz krmz ipi gibi, insann tarihini batan sona biraraya getirir, zetler. Rakamlar insanlktan baka birey deildir.

Bunu da belki en iyi, onlan kefetmeyi renirken, ocuklar hisseder.

nsan ruhunun bu heyecan verici serveninin sonunu bilen bizleriin, insanolunun deneme-yanlmalarla, kmazlarla, unutularla,vazgemelerle iaretlenmi bu dolakan, el yordamyla yrynntpk bir sarhoun sendeleyerek yryne benzedii bir tarih, geiciyollarla, dp kalkmalarla dolu karmakark, kpr kpr bir tarihtirbu. nsanlarn ve onlarn kendilerine zg zeklarnn tarihindeki enbaskn izgilerden biri de bu deil mi?

1- Son tarihsel gelimeler, en son kazbilimsel keifler ve halihazrdaki biliim gerekleri (1981deSeghers'de yaymlanan) ilk Rakamlarn Evrensel Tarihinde ne srlen olgularn ve ok saydadncenin sunuluunu tamamen yeniden ele almaya itti beni. Uzun dnme yllarnn rn olanimdiki yapt, onun btnyle gzden geirilmi, dzeltilmi, bytlm ve tamamen yenidendzenlenmi bir biimini oluturuyor. Gerekte daha geni al, daha ansiklopedik bir bakla, akltalarndan balayp dinlerden ve mistiklerden geerek bilgisayara kadar giden say ve simge alanlarnn oluturduu bu sonsuz mozayiin saysz oluturucu esini kapsamay amalyor. Bu bakmdan da nc oluyor.* Ortaada aritmetik, geometri, gkbilim ve mzii ieren drt bilimin ad (ev.)


35/221

Birinci KsmRakamlarn Serveni Ya Da Byk Bir cadn yks


36/221


37/221

1. Blm

Saylarn Budunbilimi Ve Ruhbilimi:Kkenler zerine Bir Aklama

Say Bilgisinin Sfr Derecesi

Bir zamanlar insanlarn say sayabilmeleri gerekmiyordu.Onlarn kafasnda say kavram, varsaymamz olanaklysa,madd okluun bir eit dolaysz algsna indirgenen, nesnelerin yapsna ayrlmazcasna bal somut bir gereklik gr

nm tayor olsa gerekti. Uzaktan atalarmzn, ok olasdrki, saylar say olarak, yani, gn ile gece, bir ift tavan, birkuun kanatlan ya da bir insann gzleri, kulaklar, kollan,bacaklan gibi kmelerin ortak bir zellik, tam tam na iki olma zellii tadnn bilincinde olmas hi gerekmeden, soyutlama yoluyla tasarlayabilecek zihinsel yetenekleri yoktu.

Matematik biliminin grece yakn alarda ok hzl, ok a

rtc gelimeler gstermi olmasndan, basit saylama sorununun modem insan iin ocuk oyunca haline gelmi olmasndan tr, bunu kabul etmek g gelebilir bize.

Gerek kk ocuun davranlan zerine yaplan incelemeler gerek ada ilkel topluluklara ilikin budunbilimselzmlemeler de bu yaklam glendirmektedir.

Say ve Kk ocuk

Aada ereve iinde grlecei gibi (Hayvanlar say saymaybilir mi?, s.26) kimi hayvan trleri say kavrayyla az ok donanmtr: Soyut sayma yeteneinden aynlmas uygun olan ve bizimdaha iyi bir adlandrma bulunmad iin say duyusudiyeceimiz

bir eit gelimemi dolaysz nicelik alglan vardr.

Oysa, st bebeklii dneminde, insan yavrusu bundan bileyoksundur.


38/221

Hayvanlar Say Saymay Bilir Mi?

Uzun zaman haksz olarak zeknn insana vergi olduu, hayvanlara yalnz

igdlerinin klavuzluk ettii dnlmtr; birtakm yaban hayvanlar

nn en olaanst kurnazlklar bile, grece yakn bir dneme dek, hibir zek

belirtisi gstermeyen doutan davranlar diye grlmtr.

Gerekte, ada budunbilimcilerin, ruhbilimcilerin, toplumsal ruhbilimcilerin ortak almalarnn kantlad gibi,st hayvanlar somut sorunlar zme

yetisiyle donanmlardr. rnein, kamn doyurmak iin kargalarn dikkatini

ekmek amacyla lm gibi yapan a tilkiler filme ekilebilmitir. Yine, tek

bana avlanan Kenya aslanlarnn, avlarn bir aslann pusuya yatt merkez

bir noktaya doru srerken grup halinde avlanmaya baladklar anlatr. st

maymunlar ise, yalnz alet retmeye deil, szl olmayan bir simge kullanma

y gerekli klan pratik deneylerden baaryla gemeyi renmeye yatkndr.Elinin ulamad muzlara uzanabilmek iin bambu kamlarn biribiri iine

sokarak uzun bir s nk yapan maymun rneini verelim. Baka bir maymun in

ce uzun bir tp ierisine sktrlm bir yemi karmak iin, kendi zerine sa

rlm bir demir teli dzeltmeyi akl etmitir. Kimileri de iki tur saa, iki tur

sola, sonra bir tur saa gibi on kadar dnten oluan karmak yollan izleye

rek, kark labirentlerden baaryla geebilmilerdir. Hatt kimi empanzeler

de somut durumlara bal soyut bir simgeletirmeyi kavrama yetenei grlmtr: Her markann rengine ok kesin bir anlam verilerek (bir marka muz,

teki zm, bir bakas su almaya, bir drdncs kafese dnmek iin bir ka

py amaya... yanyor), maymunlara bir datm aygtndan marka alp gelme

leri retiliyor ve grlyor ki bu hayvanlar her bir parann neye yaradn

ok iyi anlyorlar; hatt bazlar, karnlan doydu mu, ileride kullanmak zere

marka toplamaya balyor.

Hayvan davranlarnn incelenmesi grece yeni bir alandr, ruhbilimcile

rin inam yalnz benzerleriyle karlatrarak deil, onu canl varlklar btn

ierisine yerletirerek de tanmlama isteinden domutur.Hayvan sabrl, de

netlenmesi kolay bir deney malzemesi oluturur. Onunla, deney koullanm

sonsuza dek deitirebilir, bunu u snrlanna dek gtrebiliriz. Ustaca ara

trmalar, hayvann refleks davranlarndan balayp renme, bellek, dil ya

da akl yrtme gibi karmak beyin ilevlerine dek neleri gerekletirmeyi ba

ardn gn na karmay salamtr. (J.Feller). Bu alan byle bir sr

kolaylk salyor. Hayvanlann birtakm zellikleri insanlarda da bulunduu,

insann ok sayda gizilgc hayvanlarda zaten var olduu iin, trlerin evri


39/221

minde kullanlan modelleri izleyerek, insann ruhsalln, zdevinimlerden ve

duygusal kklerden balayan gelimesini kavramakta deerli anahtarlar veriyor zellikle.

Bununla birlikte, bu ortak noktalara sakmmla bakmak ve ok acele varlan

sonulara gvenmemek yerinde olur, insanla hayvan dizgeli olarak ve tam ta

mna biribirine yaklatrma dknlnn nereye gtrebileceini bilirsiniz.

Sirk hayvanlan bunun ralayc bir rneini oluturur. Bilgin denen bu hay

vanlar hakknda, geen yzyldan beri, verimli olduu kadar ipe sapa gelmez de

olan belli bir edebiyatn yandalarnca, ne akla gelmedik savlar ortaya atlmtr.Kimileri saylarn biribirini izleyen dzgn srasyla, birden ona kadar ka

birim varsa o kadar ayaklarn vuran kimi kpekleri rnek vererek, bunlann

say sayabildiklerini ve ona kadar saylan kavrayabildiklerini ileri srm

lerdir. Ama efendilerinin ynetiminde pek ok kez havlayarak saydklann

grnce, ya da daha iyisi, iitince, abucak anlalr ki, bu yazarlar gizleme sa

natnda olduu kadar hayvanlan eitme sanatnda da usta birka hokkabaznenayisi olmular. Kimi yazarlar da, toplama, karma, arpma yapmakla kal

mayp problem zebilen ve kare kk, kp kk hesaplayabilen^!) birtakm k

pekleri, atlann ya da fillerin grlmemi hnerlerini verek -ktla

bavurup, okurlann ustaca aldatmaya almadlarsa- byk bir saflk rnei

gstermilerdir. Hatt, kimilerinin kafasnda harfleri ve alfabeyi tanma ve

kullanma gc bulunduunu, bu hayvanlara gerektiinde istedikleri eyi bil

dirmek iin yaz yazabildiklerini ileri srmeye kadar vardrmlardr ii. Bu

lkrdlara boluu ve ocuksuhu yle ak ki, stnde durmaya demez.

zellikle seyirciyi artmaya ynelik byle numaralar gerekte hayvan ei

timi alanna, en ok da ktlk alanna girer.

Baka bir an rnek, yaptklan ilk bakta artc gelebilen, yabanans

adyla bilinen bcek rneidir. Ana an, diye anlatyor T. Dantzig, yumurtala-

nnn her birini bir delie brakr ve yanlanna yavrulara yumurtadan knca

yiyecei belli sayda trtl koyar. mdi, bu yabananlannm herbir trnde, bu

trtllara says dikkat ekici bir biimde ayndr: Kimi trler be, kimileri oni-ki tane ngrr, kimileri ise delik bana yirmi bee kadar gider. Ama en ilgin

rnek erkei diisinden daha kk olan, Genus eumenus denen trdr. Ana

gizemli bir igdyle u yumurtadan erkek mi dii mi kacan her zaman bi

lir ve yiyecek deliklerini ona gre seer. Trtllara ne boyunu ne trn dei

tirir; ama yumurta erkekse be trtl, diiyse on trtl koyar.Yabanansmn bu yapt son derece incelmi olsa da, bir itiraz gelir dayatr:

Yabanansmn davran bilinli deildir; yaplan ey temelde bcein yaam


40/221

nn genetik bir ileviyle ilgili bir srece bal olduundan, davran tamamenbcein zdevinimlerine dayaldr.

Buna karlk u rnek daha anlamldr: Grece daha basit koullarda, evcil

bir hayvann, rnein kpein, kedinin, maymunun, tank olduu kstl bir

kme iindeki bir nesnenin kayboluunu abucak farkettii grlr. Baz tr

lerde, ana yavrularndan birinin mi yoksa birkamn m kendisinden alndn

bildiini ak bir davranla kantlar.

Bu kez davrann bilinli olduu ve say kavramnn onlara hepten yabancolmad aka grlr: Hayvan ikinci kez alglad, sayca kk bir birara-

dalm, bir ya da birka oluturucunun karlmasyla bir deiiklie urad

n bilmesini salayan doal bir yatknlk tar.

Bir n retimden gemi baz kularda daha da belirgin bir yetenek saptan

mtr. ok sayda ustalkla yaplm deney, yiyeceini iki kk tahl yn ara

sndan semeyi renmi bir saka kuunun, genel olarak birden, ikiden,

drd ikiden, drd ten ve alty ten ayrmay baardm gstermitir.n retim olmakszn birden e ya da drde kadar giden somut nicelikleri

aka tamyabilen blbllerin, saksaanlarn ve kargalarn durumu daha da

dikkate deer. te nl bir rnek: Bir ato sahibi atonun gzetleme kulesine

yuva yapan bir kargay ldrmeye karar vermi. Kuu birok kez anszn yaka

lamaya alm, ama o yaklanca karga yuvasn terkedip yakndaki bir aa

ca konuyor, adam kuleden aynlr ayrlmaz geri dnyormu. Sonunda bir gn

bir hileye bavurmu adam: Arkadalarndan ikisini kuleye karm; bir sresonra biri ekip giderken teki kulede kalm. Ama bu oyunu yutmayan karga,

yerine dnmek iin kincinin de gitmesini beklemi. Sonraki sefer ikisi daha

sonra uzaklaacak olan kii klm: nc adam kargay yakalama frsat

bulurum diye bekleyedursun, kanatl kurnaz ondan ok daha sabrl km.

Deney birok kez batan alnm, ama hep baarsz. Sonunda hilenin drt ya

da be kiiyle ie yarad, kargann ayn anda ya da drt kiiden fazlasnn

varln grsel olarak kavrayamad ortaya km.Bu davranlar ok ilgin, nk hayvanlarda zaten bulunan insan gleri

nin modellerini oluturuyorlar.

Evcil hayvanlar rneinde kmelerin eitlii ya da eitsizlii kavramnn

gelimemi bir eit algs sz konusu, ama ancak sayca dk beklemelerde

kendini gsteren bir alg.

Saka kularnda kavram ok daha belirgin: Geri kuun beyninde olup bi

ten eylerin dorudan bir lmne karlk gelmiyor, ama burada artk bu

eylerin niteliinin yaln bir algs yok, eitlik ve eitsizlik duyusu da yok; bas


41/221

baya bir art ya da eksi kavray var. Bir de eitilince, bu kular (greceimiz gibi, belli bir eiin tesinde bir lm ieren) nicelik algs ile, yalnz

her trl lm deil, bu art ya da eksi leini de darda brakan nitelik

algs arasndaki ara algyla, bir eit younluk algsyla donanm hale geli

yorlar. Bununla birlikte bu alg olduka duyulur farkllklarda kendini gsteri

yor, nk ku be ile drd, yedi ile bei, sekiz ile alty, on ile alty her za

man kartracaktr. Baka deyile, iki bekleme arasndaki younluk fark ye

terince oksa (rnein ile drt srasndaki gibi), saka onu dorudan doruyaalglar, ama azalnca bunu yapamaz hale gelir.

Kargalar ise ok daha fazlasn yapabilir. Iralayc kurnazlklarndan, eit

lik ve eitsizlik duyularndan baka ve tadklar belli bir younluk duyusunu

gelitirme olanann bulunmas dnda, bu kularn, ayn yapdaki elerden

olumu iki derlemin greli nemini gerek uzay gerek zaman bakmndan ayr-

detme yeteneiyle donanm, hatr saylr bir bellekleri vardr. Bununla birlik

te kargalar bizim gibi say saymazlar, nk soyutlama ve genelleme yetisinden yoksundurlar, dolaysyla, ne olursa olsun mutlak bir nicelik tasarlaya-

mazlar. Ama yine de kimi somut nicelikleri alglayabilirler. Daha nceki yat

knlklardan ok daha fazlas, gerek bir say duyusu sz konusudur burada.

Demek ki, baz hayvan trleri say kavrayyla az ok donanmlardr, ama

bu kavray dolaysz bir algyla bir bakta tannabilen sayya indirgenmi bu

lunan ok dar snrlar iinde kalmtr. Gerekte hibir hayvan say saymay

bilmez ve sayamaz, nk E. Goblotnun belirttii gibi nesnelerin niceliini niteliinden ayran bu soyutlama, insan zeksna zg bir zelliktir. Soyut say

ma yetisi ok karmak bir zihinsel sre gerektirir ve insan zeksmn grece

yakn zamanlardaki bir edinimidir.

Gerekten, hayvan zeks znde pratiktir: Ancak somutta rahat eder.

Hayvanlar, hatt en gelimi olanlar bile, diyor P.Oleron, zihinsel edimlerin

de duruma ok bah kalrlar ve insana zg eyler olan geri ekilmeyi, uzak

durmay bilmezler. Hayvan ancak somut yetenekler gsterebilir. Kavramsalzek hayvan iin zellikle kusur oluturur. nk bir hayvan soyutlama yap

may bilmedii iin, szl, tamamen simgesel bir malzemeyi kullanmaya yat

knl yoktur: Belli bir nesnedeki belli bir zellii ayrca ele almak zere ayra-

mayacaktr...


42/221

insan yavrusunun, hayvanlarn tersine, doutan ok az yetenei olduu dorudur. Buna karlk onda hayvanlarda bulunmayan birey vardr: in sa n yavrusu uygarln tm fetihlerini aama aama zmleme, yeniden yaratma gcn kendindetohum olarak tar. evresindeki (yetikin ve ocuk) kiilerin, evriminin elverili bir annda bir eitim sayesinde ve uygun bir retimlegelitirmesini salayaca kaltmsal bir gizilgtr bu. Ama bu ola

naklar ancak ocuk srekli olarak toplumsal bir ortamla1iliki iindeolursa, bu gerekli ve yeterli koulla serpilip geliebilecektir; nk P.Chauchardm dedii gibi, insan tamamlanmam, olgunlamam,yalnzca olanaklar bakmndan zengin bir beyinle doar; bu olanaklarda, evresindekileri taklit ederek gelitirmeyi renecektir.

Bununla birlikte, ocuun bir yetikinin kk bir modelinden baka birey olmadn, bir tek yargdan ve bilgiden yoksun olan sizin be

nim gibi bir insan olduunu da sanmayalm. ocuk ruhbilimi, tersine,kendine zg dnce yapsyla, kendine zg ruhsal yasalaryla veapayr zgnlyle ayr bir dnyada yaayan bir bireyin sz konusuolduunu kantlamaktadr. stelik yetikin o dnyaya giremez: Birzamanlar kendi de ocuk olduu halde, ocukluuna ilikin anlar yanltc olduundan, bu gemiin yeniden kurulmas yetikinlere zg

bir dnme biimiyle, ok bulank bir grntyle gerekletiinden,

geriye doru ilem yapamaz.Ama ocuklukst bebeinin bir gn yetikin haline gelmesi iin zorunlu aamadr. Koskoca bir hazrlanma ve yeniden yaratma almasna karlk gelir; insan zeksnn eitli gelime aamalarn barndran, uzak atalarmzn ok eski alardan bu yana geirmi olmalargereken evrimin biribirini izleyen aamalarnn kukusuz yeniden geildii ok uzun bir hazrlk dnemidir.

insann uyum salamas gerekecek karmak kltrel yaplar anlamas ve zmlemesi iin bu uzun dnem gereklidir. Dorusu, insanyetikin anda esnekliini, (E. Claparedein dedii gibi) olumayayatknln yitirmitir. ocuk renir, yeniden yaratr, yenilik yapar.Edinimleri sayesinde, gemi kuaklardan ald miras sayesinde ilerlemeye yol aar. ocuk hem sonu hem nszdr der A. Gesell. Gelimenin ayn anda her alanda olduu bu dinamik ve son derece zengin

dnemde (eitimcilerin de belirtmi olduu) byk aama grlr: yana dek ilk ocukluk, yandan alt ya da yedi yama dekikinci ocukluk, ergenlikle sona eren nc ocukluk. ocuun geli


43/221

mesi ilerleyen bir farkllama sreciyle olur. Stten kesme ocuunanasndan farkllamasn ve gerein tam olarak bilincine varmasnsalayan ilk ruhsal olgulardan biridir. Ruhdevimsel (psychomoteur)alanlarda (elin kullanm, ayakta durmann ve yrmenin renilmesi) ve szl alanlarda (szckler, tmceler) gsterilen ilerlemelerle evreni geniler, ilgileri artar, dn salamlar. yanda kiiliini kefeder ve ben ya da beni-bana adllarm kullanarak, kendini bi

linli olarak tekinin karsna koyarak bunu benimser. Bu andan balayarak, edinimleri gittike daha hzl bir ritmle olur. Ama insanndnsel ve duygusal gelimesi dzenli, izgisel bir modele gre olmaz; bu gelime her seferinde bir ilerlemeyi ve btndeki yeni birdzenlenii ieren birtakm aamalardan geer. Piagetye gre, ocuun dnsel gelimesi ok belirli be aamadan geer:

1- ocuun para para alglardan yola karak nesne kav

ramm ve bakalarnn imgesinden ayr olarak kendi beninioluturduu (doumdan iki yana dek uzanan) bir sensori-motrice dnemi.

2- Temelde benmerkezli ve insanbiimli bir dnn(Anne bak, ay peimden geliyor!) baskn olduu (iki yandan drt yana uzanan) b ir hazrlk aamas.

3- Akl yrtmenin bulunmad dnsel kavray dne

mi, sezgisel dnem (drt yandan yedi yama dek): ocuk dnceyle ak bir biimde tasarlayam ad eylemleri gerekletirir, rnein bir svy farkl biimdeki bir kab a ak tarm ak gibi(hacmin biimle birlikte deitiini sanr).

4- Birtakm kavramlar (snf, dizi, say, nedensellik) edinmi olmasna karn, dnm enin som uta bal kald somutilemler aamas(drt yandan onbir yana dek).

5-Biimsel ilemler dnemi (onbir ile ondrt ya arasnda,ergenlik dolaylarnda ortaya kar). Dnme soyutta iler,varsaym lar oluturur, onlar snar (N. Sillamy).

Beikteki yeni domu ocuk evresindeki dnyay ancakk ve grlt farkllklaryla alglar. Sonra nesneleri ve sesleri gittike d aha seik iitmeye balar.

A lt ile dokuz ay arasnda ise, bebek evresindeki nesnele

rin ve kiilerin kaplad uzay hakknda, az ya da ok, belli birtoptan deerlendirme yapmay renir. Dnya ile tanr, yava yava ilikiler kurmay, armlar yaratmay, farkllk-


44/221

la n ya da benzerlikleri alglamay renir. Gerek yaps gerek

saysyla tank olduu varlklarn ya da nesnelerin oluturduu grece kstl bekler tasarlar. rnein bu yata genelolarak daha nce biribirinden aynlm kimi benzer nesneleritek bir bekte biraraya getirebilir. Tandk kmelerin birinden birey eksilirse, hemen farkeder. Ama bir para nesnelerin bir nitelii gibi, yaln olarak duyumlanan ve alglanan sayy henz soyut bir biimde dnmemektedir. Asal saylar

dan birini gstermek iin on parman kullanmak aklna bilegelmeyecektir.Dokuz ile onsekiz ay arasnda, gittike ilerleyen bir biimde,

bir, iki ve birok nesne arasnda bir ayrm yapmay, az saydavarlktan ya da nesneden olumu iki derlemin biribirindenfarkn bir bakta grmeyi renir. Ama saysal yeteneklerihenz yle dar snrlar iindedir ki, saylar ile o saylarn tam

olarak says olduu derlemler arasnda ak bir ayrm yapmas olanakszdr. Baka deyile, ocuk doal tam saylarntreyi ilkelerini (2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 4 = 3 + 1 ...) kavramakiin yeterli gelime derecesine ulamadka, saylar onun iinhibir zaman oynad elerin yapsndan ayrlmayan kme-saylardan baka birey olmayacak, onlar ancak yan yana getirme ilkesiyle (rnein, birer birer sralanm nesnelerden

oluan iki bein varlyla) tanyacaktr.Bu dikkat ekici olguyu ben de birok kez gzleme frsat

buldum: ocuk konumay ve btn asal saylan adlandrm ay renir renmez, balangta genel olarak saysn sim-geletirmekte byk bir glkle kar karya kalr. Elbettebir ile ik iden balayarak, am a nc sayy u nu tarak sayar:Bir, iki, drt!Saduyusu birden drde kadar somut nice

likleri grsel olarak tanmasna olanak salad halde, henzsoyut saylar hakknda en ilkel bilgi aamasndadr: Birlik ,ikilikve oklukile snrl olan aama.

Buna karlk, bu aamay aar amaz (Piagetye gre, iledrt ya arasnda olur bu), ksa srede sayabilecek durumagelir: Bundan byle, soyut say kavramnn derlemlerin hemen hemen yalnzca algsal grnm zerindeki artan ege

menliinde kaynan bulan temel ilerleme gerekten balar.Bylece ona gerek bir soyut hesap renimine giden yol a-


45/221

lir. Bundan tr, eitimciler bu yatak i kk ocuun hesap

ncesi dnsel aamadabulunduunu sylerler: ocuk nce,zellikle de parm ak larna dayanarak , ona kad ar saymay, sonra, say soyutlamasna ulat lde, say dizisini giderek a rtan biimde uzatmay renecektir.

nsan Bedeni ve Aritmetik renimi

Georges Duhamel, oullarnn ocukluuna ilikin kkbir an kitapta, ambaba dedikleri Bernardn, daha saylarn adlarm bile bilmezken, parmaklarm kullanarak, saylarn doal sralanm a ilkesini az ok nasl bildiini gsterir bize:

Balang hep g olur. ambaba kendince synlverir glkten. yle der:

- eker almaya geldim. Herkese b irer eker ver.

- Ka tane?- Bir, b ir ve bir.Bu ak ise de, henz gerek aritmetik deildir. Derken,

parmaklaryla saymay renir. Ona kendi ya, Marysein ya, Robertin ya sorulduunda, yeterince tam olarak, u ya da

bu sayda parm an gsterir. Bir el yetm ez, tekine geer.Sonra birdenbire iler karm aklar:

- Jacqueline ka yanda?Bir saniye dnr ve yantlar:- Haa! Jacqueline iin kk ayak parma gerekir!Bu arada aritmetik reniminde elin ve daha genel olarak

bedenin oynad roln apayr nemini belirteceiz. Bu aletin kullanmndaki bir ku su r ou kez bu renimde cidd karklklara yol aar:

Bebek kkken parmaklaryla oynar diye aklyor L.Weyl-Kailey. Bu onun bedenine ilikin ilk kavramdr. Sonradnyayla, zellikle de elleriyle tanmak iin hereye dokunur. Gnn birinde iyi birey yaptn sanan ve matematiindilediince soyut olmasn isteyen bir retmen, ocua parmaklaryla say saymay yasaklar. Fark na varmadan, ocuakendi bedeniyle birlikte bedeninin matematikle ilgili btn

armlarn da yasaklam olur. Benim nmde ellerini yeniden kullanab ildikleri iin rahatlayan ka ocuk grdm: On-


46/221

la n n bedenleri kabul grmt... Uzay-zamansal glkler deher trl matematik almasn engelleyebilir, ...den kk

ya da ... den byk kavramlarn kavramaktaki sknt saynn kendisini, ilemleri ve bantlar da etkiler. Saynn birlerhanesindeki rakam saa, yzler hanesindeki rakam sola yazlmaldr: Sa solu kartran ocuk saylan yanl yazacaktrve bir ileme nereden balayacan zar zor bilecektir. Hattynn bulmakta glk eken yle ocuklar vardr ki, kar-m ak an k bir biimde, nce sa utak i rakam , sonra sol uta-

kini, sonra ortadakileri toplar ya da arparlar. Kimi ocuklarda byk rakam kk rakamdan kanr ya da tersine, biryle bir byle, yahut hi aynm gzetmeden ilem yapar. Demek ki ocuun bedeninin kt kabul edilmesi, sayy da, hertrl akl yrtmeyi de karm k an k edebiliyor.

Say ve Yaban Dnce

ok sayda ada ilkel topluluk, kavramsal ve soyut grnmyle dnlen saydan eit lde uzak grnmektedir. Say gerekten duyumlanmakta ve alglanmaktadr:Biraz bizim bir kokuyu, bir rengi bir grlty ya da b ir bireyin yahut d dnyadan bir nesnenin varln algladmzgibi, niteliksel bir biimde kavranr.Baka deyile, bu yabanlar, dorudan bir zne nesne ilikisini izleyerek, grsel alan-lanndaki grnm deiikliinden etkilenirler ancak. Soyutsaylan kavrama yetenekleri, doal donanmlanmn bir bakta tan m ala nna izin verdiiyle snrldr.

Ama bu onlan n hibir nicelik dnm edikleri anlam na gelmez. Ancak, varlklarn ya da nesnelerin okluu nicelikselolarak deil, hibir tekil farkllk gzetmeden, niteliksel olara k hesaplan r. Byle bir asal hesaplamahibir zaman soyuta ynelik deildir, elbette gz nnde bu lundurulan kategorilerin yapsna gre deiiklik gstererek, hep somut b tn lerle ilgilidir.

L.Levy-Bruhln aklad gibi, "gerekte, ilkel ok belirlive yeterince kst l sayda varlklardan ya da nesnelerdenolumu bir bekle ilgilendi mi, o bei onu ralayan hereyle

birlikte akimda tu tar. O bee ilikin tasanm m da bu varlkla-


47/221

n n ya da nesnelerin tam am bulunur: O bei ondan bir ya dabirka fazlasn ieren bekten ve ondan bir ya da birka eksi

ini ieren bekten ayran bir nitelik gibidir bu. Ardndan, bubek yeniden gz nne geldiinde, ilkel onun tam olup olmadn ya da eskisinden daha m kk daha m byk olduunu bilir".

Bir, ki... ok

XX. yzyln banda, birok ilkel2 topluluk henz soyutsay bilgisinin bu sfir derecesindeydi.

rnein Gney Afrikadaki Boimanlar, Orta AfrikadakiZulular ve Pigmeler, Brezilyann Botokudolar, Ate lkesinin Kzlderilileri, Avustralyann Kamilaraylar, Arandalar,(Avustralyada York Burnu yarmadasnn yaknlarndaki)Murray adalar yerlileri, Seylann Veddalar ve bir sr uy

garlamam baka kltr byleydi.I.B. Tylora gre Brezilya Botokudolarnm dilinde tam ta

mna iki say ad bulunuyordu; tekiin bir ad, iftiin bir ad.Bu szcklerden yola karak, iki ve bir ve iki ve iki gibi

birey eklemleyip ve drt saylarn dile getirmeyi baaryorlard. Milyonlarca trilyon trnden nicelikleri tasarmlamak bizim iin ne denli zorsa, bu halkn yeleri iin de drt

ten byk bir saynn ak bir tasarmn oluturmak o denlizordu. yle ki, bu niceliin tesine geince, kimileri, biraz dabataki salar gibi saysz dercesine, salarn gstermekleyetiniyordu.

Yine, A. Sommerfelte gre, Avustralyadaki Aranda kabilesinin yeleri yalnz iki say ad biliyorlard; bir iin nintave iki iin tara. ve drt saylar yle syleniyordu: Tara-

mi-nirta (iki ve bir) ve tara-mi-tara (iki ve iki). Ama Aran-dacanm say adlar dizisi burada duruyordu. tesi belirsizlikti: Bunun iin ok, birok... diye evrilebilecek szcklerya da deyimler kullanyorlard.

Bir tane daha: G. Hunta gre, Murray Adalar yerlileribir ile iki iin netatve neis szcklerini, ile drt iinneis-netat (2+1) ve neis-neis (2+2) deyimlerini kullanyorlard.

tesi iin kalabalk gibi birey sylyorlard.


48/221

Son olarak Torres Boaznn batsndaki baz kabilelerden rnek ve

relim: A.C. Haddona gre, bu kabilelerde mutlak niceliklerle ilgili szl anlatmlarn tamam unlard: Urapun (bir), okosa (iki), okosa-urapur(iki-bir) ve urapur-urapun(iki-iki); tesi iin ok anlamna gelen rasdeniyordu.

Saylara ilikin szl anlatmlarn bu apak yoksulluu soyut saylan tasarlamaktaki dnsel bir zayfl da ele vermektedir. Kimileri,uygarlatrma amacyla birok kez onlara bizim aritmetiimizin te

mel elerini retmeyi denemi, ama bu yerliler bizim say adlanmzaraclyla saydmz gibi saymay inatla reddettiklerinden, bu giriimler baanszlkla sonulanmtr.

M. Dobrizhoffer bu olguyu zel olarak bir zamanlar imdiki SantaFe ve Chaco eyaletinde (Arjantin ile Paraguaydan Bolivyaya kadar)oturan Abiponlarda ortaya koymutur: Aritmetik bilmemekle kalmyor, ondan tiksiniyorlar. Bellekleri onlan genellikle yanltyor (nk

tank olmadklan ilemler yapmaya zorlanyorlar). Saymak zorundakalmaya katlanamyorlar: Canlarn skyor bu. Sonra da kendilerinesorulan sorulardan yakay syrmak iin, ister kendileri yanlyor, istersoru soran yanltyor olsunlar, herhangi bir sayda parmak gsteriyorlar. ou kez, sizin istediiniz say geiyorsa, bir Abipon, parmak-lann gsterme zahmetinden kurtulmak iin barr: Pop (ok), ikleyekalipi (saysz). Yazar tamamen benzer olan Gney Amerika

kltrlerini derinlemesine ele alyor ve bu tanklyla, bu ilkellerin,kendilerine retilen say adlarn ne yapacaklarn bilmediklerinden, bizim aritmetiimizin soyutlamasnn ok gerisinde kaldklanngsteriyor: Gney Amerikallar, Abiponlar gibi, kendilerine saysdrd geen nesneler hakknda soru sorulduu zaman hemen yantlyorlar: Saysz. Genellikle onlara mzik, resim, heykel retirkenaritmetiktekinden daha az sknt ektik. Hepsi saylan spanyolca di

le getirmeyi biliyor; ama say sayarken o kadar sk kantmyorlar ki,byle konularda onlara inanmak szkonusu olduunda ok kuku duyabilirsiniz.

Bizim soyut adan grdmz saylar elbette bu yerliler iin kullanmay bilmedikleri, zaten gerek de duymadklan bir alet oluturuyordu. Ama aleti kullanmaya gerek duymamalarnn nedeni, zellikle, onlar iin ok ok karmak oluuydu. Haksz de deiller: Saylar

her zaman insanlann ulaabildii kavramlann en soyutlan arasndayer alr. Zaten szcklerin, harflerin ve rakamlann retimi arasnda


49/221

olduka geni bir zaman aralna yaylan ve ocuklarmz iin en b

yk glkleri tayan da bu sonuncusu deil mi? Tarihsel adan: Dil,yaz ve aritmetik arasnda, insanln zmlemekte en ok skntsnektii, kukusuz bu sonuncusudur.

Say Duyusundan Daha Gl Bir Duyu

Bununla birlikte, bu topluluklarn elinde temel bir aritmetik kural

vard ve drtten sonrasna dzgnce uygulandnda ok daha ykseksaylara ulamay olanakl klabilirdi. Buna ikili taban ilkesi diyoruz:Gerekten, bu ilkeye uyarak, be iki-iki-birdiye, alt iki-iki-iki diye, yedi iki-iki-iki-birdiye... dile getirilemez miydi? Bu yerlilerin soyut saylar hakknda henz en ilksel bilgi aamasnda, bir ve ikiyle snrl olanaamada bulunduklarm unutmak olurdu bu diye yantlartam olarak L. Gerschel. nk bu ilkeller, say olgusunda, yalnz teki

ve ifti tasarlyorlard.Torres Boaznn bat blgelerinde yaayan kabilelerin yelerini

gzleme frsat bulmu olan A.C. Hadolun, bu kabilelerde ikili beklerle ya da ift ift saymaya ynelik belirgin eilimi saptamtr. Buolguyu ayn ekilde birok Pasifik topluluunda M. Codrington da gzlemitir: York Dukal adasnda ift ift saylr ve iftlere tad sayya gre farkl adlar verilir. Polinezyallanf usl ise, diye ekler, u

kadar nesnenin deil, u kadar iftin sz konusu olduunu sezinletensaylar kullanmakt. Baka bir tanklk, Avustralya kabileleri hakknda Currun almalarn anan T. Dantzigin tankldr. Dantzigbunlarn ounun ifter ifter saydn syler ve u ok ilgin deiniyle szn tamamlar: Bu yerlilerde bu alkanlk yle kklemitirki, yedili bir sradan iki inenin kaldrldn nadiren farkederler,ama bir tanesi karld m hemen grrler.

Bu yerlilerde demek ki iftlik duyusu say kavraylarndan ok daha glyd. ile drd (soyutlayc bakla kavramadklar, amasaduyularnn grsel olarak, yani bir bakta tanmalarm saladsaylar) dile getirmek iin bu iftlerin kavramlarndan baka bireye

bavuruyorlard; yalnzca tekile ifti,sonra da ifti kendiyle yan yanakoyuyorlard. Bizim iin ve drt diye gsterdiimiz zaman tamsay zellii kazanan iki-bir ve iki-ikinin kavramlar onlar iiniftler oluturuyordu. Buradan itibaren -bu yerliler ancak ayr bir eyi ya da bir ift eyi tasarlayabildikleri ve adlandrabildikleri iin-


50/221

nasl olup da, srasyla 2 - 2 - 1 ve 2 - 2 - 2 diye zmlendiinde, eli diziler halinde sergilenecek olan be"in ve altnn kavramlarna ulaabildiklerini anlamakta glk ekeriz.

lkel Kltrler ve Uygar Toplumlar

Buradan yola kp, bu insanlarn zihinsel etkinliini bizimkinin gelimemi bir biimi olarak, insan trnn ilk rneklerinin varsaylan

durumnun evrimlememi bir biimim karmza karan ocuksu birdurum, neredeyse bir hastalk durumu olarak grmeye varmak iin,gemii inceleyen birtakm budunbilimciler ile toplumbilimcilerin, ilkel szcn harfi harfine alarak atmakta sabrszlandklar tek biradm kalmt.

Uzmanlar (zaten kendisi de tamamen uygunsuz olan) ilkel terimiyle, uygarlmzn kltrel katksn grmemi insan topluluklar

nn yelerini adlandrrlar bugn; uygarlmz iyice iimize ilemi olduu iin de, bu adlandrma ok ak gelir bize.Aslnda byle bir zihin yaps zekdan hi de yoksun deildir:Her-

eyden nce ok gelimi bir mant ve belli bir dereceye kadar birkavramlatrma eilimi vardr. Fransz budunbilimci C. Lvi-Strauss,Yaban Dnceadl yaptnda bunlarn deerim ortaya koymakla kalmam, bizim uygar topluinlanmzn birtakm dnme ve anlatm bi

imleriyle ban da gstermitir.Daha nce vurguland gibi, her kim bu ilkel kltrlerden birini incelemek isterse, onlann metafizikleri, kendi dnya anlaylar iine girmedike ve onlann zihinsel yapsn bizimkiyle kktenbir biimde kar karya koymaktan vazgemedike, geerli sonulara ulamay beklememelidir. nk ok eski alarda donup kalm bir durum olmak yle dursun, bu insanlann kendi tarihleri

olmutur ve belli bir anlamda, kendilerine zg olan ve hep kendiyle tutarl kalm bir dizgeye uygun olarak kendi felsefelerinikurmulardr kafalannda.

Bunun iin bu insanlara ilkel terimini yklerken her trl gereklinlemi almalyz. Ar olduu kadar haksz da olan deer yarglan sa-anz ortala; bir zamanlar bu insanlan srf uygar denen toplumlar-la ayn yaam biimini, ayn ltleri, ayn dnme biimlerini pay

lamyorlar diye hemen hemen horgryle geri toplumlar diye nitelerken yapld gibi.


51/221

ileri denen ok sayda halk, aslnda, ok daha az evrimlemi top-lumlarda bulduumuz gerekelerle, ilkel diye nitelenebilecek birta

km ralayc zellikler gsterir.Tersine, ilkel" diye yarglanan toplumlar, srf avadanlklarnn ve ya

ama aralarnn genel zelliklerine verdikleri nemden tr, ok dahaileri diye, sfat olmayan bir sfatla dnlen topluluklarda bulamayabileceimiz gre

georges ifrah - rakamların evrensel tarihi 1- bir gölgenin peşinde

Documents