geometry and topology (russian)higeom.math.msu.su/people/taras/teaching/panov-topology2.pdf ·...

67

Upload: others

Post on 31-Jan-2021

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • ����������

    ����� ���� �������

    ������������������� ��������� ��� �� ���� ��������

    ��������� �������� ����������

    �������� ����� ��! " ����#�� $%&" '�

  • ��������

    ���������� $()��� ���������� $�������� *&� (�)�� ������� '����'�� +&�&� (�)�� ������� ��)���� � �����'��� �� +&�$� �����)�� ������� ��)���� ,&�*� (�)�� ������� '����'�� ,-����� � �)��.����� "$� (��'������� '����'�� "$�&� /)��������� � )����� ������ "$�$� 0�������������� � '����)������ ������������� &%$�*� 1������ ������ )��������������� '����'�� &$$�+� /����������� '��))� '����'�� � ������ )��������������� )��� &+$�2� 3����� ��������� � �4 ������� &2$�,� 1������������ ������ ��������� &5$�5� 3����� )��������������� ������6�������� $%$�"� 7������������� �)�� ������� � ��'������� '����'�� $&-����� � �)��.����� $$*� 8�������� '����'�� $+*�&� 8�������� �)��� ��)��� � �'� '����'�� $+*�$� 9���� ��� '�������'� '�������� $,*�*� 7������� ������������� $"-����� � �)��.����� $"+� �����)������ '��))� � '��))� '����'�� $:+�&� 0������������� '��))� � '����'�� $:+�$� (��#�� '����)������ ;������������� � ��������� �))����� �� *&+�*� 3����� 0���������� � ��������� **+�+� 1������������ ������ ��������� *2+�2� �����)������ '��))� ��������� )�������� *"+�,� (��#������ '����)������ '��))� *:+�5� ������������ �������� � )����������� (������� *:+�"� �������� ��������< ������ �������� � ������ �������� +&-����� � �)��.����� +$2� �����'�� ��;��� ������ � ��'����'�� +22�&� /)��������� � ������� ������ +22�$� 8�;��� ������� ������ )��������������� +"2�*� 0������� Tor � Ext +:2�+� 0����� ������������ ��;��� ������ 2&-����� � �)��.����� 2*,� 8��� � ��'����'�� 2+,�&� ������������ 8���'�����6=���������� 22,�$� /����������� )����������� � ×)����������� 25,�*� 8�������� �)��������� ���.���� 25,�+� 0����� 8>����� 2:,�2� ������ ��������� ���� ��'����'�� ,$

  • -����� � �)��.����� ,+��������� ��������� ,2

    ����������

    ?3�)���'��$@ A ������ ���� #�����'� ���� ��� �� )� ��'�#�������� ��)���'��� �������� ������� ������������8�� )���B4� ����� ������ '����'�� � �4 ���� ������ '����)�� C�����

    ������ '����)�� ����.��� � ���� ?3�)���'��&@D�1����� ����< � ���.� ���� ��� �� ?3�)���'��&@< ����)�� �� ����� �

    3�E� ������ ����������������

    ����������������������� )��� ��� �� C��.��� ��� �� ������� :%6&%% ����D!

    &� ����'���� &�&6&�*� -����� &�"6&�&*�$� ����'���� $�&6$�$� -����� $�$$6$�$2�*� ����'���� $�*6$�2� -����� $�$,6$�*+�+� ����'���� $�,6$�5� -����� $�*26$�*"�2� ����'��� $�"� -����� $�*:6$�++�,� ����'���� *�&6*�*� -����� *�&%6*�&,�5� ����'��� +�&�"� ����'���� +�$6+�*� -����� +�&"6+�$$�:� ����'���� +�+6+�,� -����� +�$*6+�*&�&%� ����'���� +�56+�"� -����� +�*$6+�+5�&&� ����'���� 2�&62�*� -����� 2�562�&&�&$� ����'���� 2�+< ,�&� -����� 2�&$62�$%�&*� ����'���� ,�$6,�2� -����� ,�&$6,�&2�

    ����� ��������

    ���� ���� ������� �������� � �������� ������ ������ ����������� ���� ����� ���� ������� ���� ���������� ��� ���� ��� ���������� ��������

    ������ !��� "#�#��$%&�� '� (� )����� ���������� ���� ������

    ����������������

    ������������������������

    ���� ��'� �� ����� *�+� �,��� ���� ������������� �������� ������ -��,��.� ��/������ �� ���0��� ������������� �������� ������ !��� "#���

  • ��������

    ������ '����)������ '��))��< '��))� '����'�� C� ���.� ���� � ��'�

    ���'��D )��������>� �#�� ���� �� ������� ��'�#�������� ���������� �����#��� ��)���'������ )���������� � ��'��#�������/)��������� '��)) '����'�� )��������� ��������� ��.���< �� �)������

    ��� '����)������ '��))� 3� �� ����< )�������� ��������� ���������� ������

    �� )�� �)��������� '��)) '����'�� � ������ �� ������� �����< � )������

    ���� ;���������� ��'�#�������� ����������< ��������� ������� �� �������)������ )�������� � ��'��#����� ���������� ����������� )��B�< �� '����)������ '��))�� ���< '����)������ '��))� � '��))� '����'�� ����.�� )������ �����

    ����> C���� � ��;�����������>D ������ �> � )��������� � ��������� ������(�����F���� �.�� ��� �)������� ��� ��������� ������������� ��������������< ������� � ���4

    � � �� ��� � ��������))� '����'�� ��)���'�����'� )��������� X �)������>�� )�� )��B�

    )��B� )������ ������ G��� ��������� k � X )���������� �#�� ��)�����������#��.���� ?k����� )���������@ C�� �#��������� ����D � X � /���F���� '�

    ���)���� �������� �������� ����F���� ������������� ����� A ��� '�

    ���'���� %< ��� �� �'���������� ���� )��������� �� & #���F� ����������H�� ������ ?k����� )���������>@ � �)��������� ����I ���#���� �������

    �� #��� #� ��

    �������� ���#��.���� k����� '������ ��'��#����� � X C;������ ������� � ��������D� /�����< )�������� ���� �#���� ������< ���������������� ��������< ���������� ����'� ��.��� ������ '����'��� ( ����� ���������������< #���� ;��������� ���������� )����� � �)��������> ����� ����#J�������� ��������� ���������� ;�������< ���� ������� �'��>� �)������ ���

    ����� )������ )��������� X )���)���'���� ���#��� �� �)����<

    ���� �� �4 )���)���'���� �������� �������� ������������� ��������� K�

    ������>�� ��������� �������� ��#��� �� �)�����< ��������� ������������� �����< � ������� �)�� ������� '�������� �)������� 3�'�� �����)������>�� ��� �)�� ������� �)�< '���� � ������� ����� ���>� ���))� k

    ����� '����'�� Hk(X) �)��������� ��� ������'��))� '��))� k����� �����)� )��'��))� �����< '����'����� ���>� 7�� )������� � ���� ��#����������'�#�������� ������ ������������ ��������< ������� )���B4� ������ &�1�� ��)���'������ )����.���� ��������� ���#����� ���������� ����������'��))� Hk(X) �� )��#� ���#����� )��������� X �� �)�����L���� �#B�� )����� � �)��������> '��)) '����'��< )�� ������ �� )���������

    X �� )���)���'���� ������� ������� ��)����������� ��#��������� ��������<����>����� � ��

    ������� ����������� ���������< ���� ���#��.���� Δk → X< '��Δk A �)��� ��������� k� 0�������� �������� ��#��� �� ��'������� �)����� ������>�� ����������� ������ 7�� )������� � )�����> ��'�������'����'��< ������ )���B4� ������ $�

    ������ � )��������� � ��'�� ��� ����� ��)���'������ )���������< � �����#��.���� )���)���'�>�� ��)��������< ��� �� �'������� )���������

  • &� ������������� ���������

    &�&� ������������� ������� � ������������� �� �.� ��������� )������� �)���� � �)�� ������'� ��)���� � ���� ?3�)���'��&@ )�� ������������� ������ � ��������� �))����� �����)���< ��� n����� ������� A ;�� ��)����� �#������ ��#��� �� n+1 �����

    v0, v1, . . . , vn � �������� ��������� )��������� RN < �� ��.�B�� � ����� (n− 1)

    ����� )������ C'�� )�� )������> � )���������� �������� )��)������

    ���D� 7������������ ������ ����� � ��< ��� ������� v1− v0, . . . , vn− v0 ���������������� 3���� v0, v1, . . . , vn ������>�� �������� �)����< � � �)���

    � #��� �#�������� [v0, . . . , vn]� ��)����� �#������ )����#���� ��.���� ���F��

    �)���� ������>�� �'� ������� ����� ����>�� �)����� ��������� � n������ ���� �������� n����� �)��� ���

    Δn ={(t0, t1, . . . , tn) ∈ Rn+1 :

    ∑i

    ti = 1 � ti � 0 ��� ��� i}.

    E'� ���F���� ����>�� ��� � ��������� �������� ����� ������������ ����

    1���� ���F��� �)����� � #��� ��'�� ������ �)�����������< � )�� ?n

    ���� �)����@ � #��� ���� ����� ?n����� �)��� �������� )������ �'� ���F��@� ���F��� '����� �)���� ��'�� #���� �)������������ �'������ )������ � #���F� �)�����-������ )������ ���F�� �)�������� ����������� �������� '�������� )��

    ������'� n����'� �)���� Δn �� �>#�� n����� �)��� [v0, . . . , vn]< ������>B�� )������ ���F��< � �����

    (t0, . . . , tn) �→∑i

    tivi.

    8�;��� ����� t0, . . . , tn ������>�� ���������������� ����������� �����∑i tivi � �)���� [v0, . . . , vn]�/#J�������� ��� �#������� '����� �)���� Δn ��������� �'� �������� �

    �#��������� ∂Δn� ����������� Δn \ ∂Δn �)���� Δn ��������� ��������������� � �#��������� Δ̇n� ��� ;�� ��� n = 0 )�������� �'��F����< �������������� %�)���� C�����D ��)����� �� ���!����������� ������� A ;�� ����� ��#�� �)����� )����������� �������

    �� � �������� RN < ��� �>#�� ��� �)���� �� ;��'� ��#��� ��#� �� )������>��<��#� )������>�� )� ���� '����� �������< ��� ��������� )����.���� K ��������� )��������� RN ���������������< ��� ��� )���������� � ���� �#J��������

    �)�����< ������� �#����>� �)�� ������� ��)���� "������������ ��)���'�����'� )��������� X ��������� '�������� f : K → X �.�� ��������

    �����'���������� )����.���� K ⊂ RN � X � H��� '������< ��� �� )������

    ��� X ������ ��������� ������������� ��������< ��� �����< ��� ������ �'������'��� ���3��� �#����< �����'��� �� )��������� X ����4�� ��#��� ���#��.����

    σα : Δnα → X C�'��������� '��������� f : K → X �� �)���� ��.�

    ��� K ⊂ RND � ��.��� ����� )��������� X ����.��� � �#���� ����� ����'��'��������� σα|Δ̇nα �� ����������� �)����� 1��'�� �����< X )����������� ���� �������'� �#J�������� '��������� �#����� ������������ �)������

  • ����� ����

    &� ����� � n����'� �)���� Δn ����4� �����'��� �> (n−1)����� ����� ��������< '���� � �����;��� ����4� �����'��� �� $����� ����� 1��'�� )��

    ���� �����'��� �� $����� ���� ����>�� '���� � ����;��� ��� ����;���< ����.� '���� � �>#�'� *����'� ��'�'�������< � ������'� �� $����� '���� A����'������� C����� ��'�'������� ������>�� ������������D�$� �� ��� & �D )������� �����'��� �� ���� T 2 : ���F����� �� ��� & #D )�

    ������ �����'��� �� ���� T 2 5 ���F����� �������)���.��� ������ ������������.������>�� � ���������� � ��������

    ��

    ���

    ������

    ���������

    ������

    ���

    �D

    ���

    ������

    ������

    ����

    ��

    ���

    ���

    ������

    ����

    ��

    ���

    ������

    #D

    ����

    ���

    ���������

    ���������

    ���

    ���

    ��

    �����

    ���

    ��

    �����

    ��

    �D

    ���� �� 3����'��� �� ���� T 2 � )���������� )������ RP 2�

    *� �� ��� & �D )������� �����'��� �� )���������� )������ RP 2 , ���F����� �� '���� � ��'��'������� )���������� ���.��������� � ���������� �

    ������� � ����� ��� ���F���3����'��� �� �� ��� & #D � �D �������� )� ���� ���F�� C������D�

    � ���

    ����� )������ �)�� ������� '����'�� )�������� �)�������������� �� �����'��� ��� /����� � ����< ��� ��.� ��� )����� �������� )���������� �����'��� �� ����.�� #���F�� ��������� �)�����< ��� )�������� '������� ���������� /#�#B���� )������ �)�� ������'� ��)����< )�������� �)���� �'�� )����������� ���' � ���'� )� ���� '���� �< � �� ������ )� ����� �)����< )������� � #���� ;������ ���#����� )�������� ��

    �)����� ������ ���#��.��� �� ��� $< � �)��������� )�������� � ����>B�

    )����������

    ����

    ��

    v

    e

    � �

    ���������

    ������

    � �

    � �a a

    b

    b

    c

    U

    V

    v v

    v v

    � �

    ���������

    ������

    � �

    � �a a

    b

    b

    c

    U

    V

    v w

    w v

    � �

    ���������

    ������

    � �

    � �a a

    b

    b

    c

    U

    V

    v v

    v v

    �D S1 #D T 2 �D RP 2 'D L������ 8�����

    ���� � �����)�� ������� ��)����

  • &�$� ���������������� �������� (�������� ����������������� ��������� �� )��������� X A ;�� ����� ��#�� ���#��.���� σα : Δ

    n → X < '�� n �������� ������ α< ��� ��)����>�� ����>B�� �������

    �D /'��������� σα|Δ̇n ��J�������< � ��.��� ����� )��������� X ����.���� �#���� ����� ����'� ����'� �'��������� σα|Δ̇n�

    #D 8�.��� �'��������� ���#��.���� σα �� '���� �)���� Δn A ;�� ���� ��

    ���#��.���� σβ : Δk → X < k � n�

    �D ���.���� A ⊂ X ������� ��'�� � ������ ��'��< ��'�� ��.���� σ−1α (A)������� � Δn ��� ��� σα�

    M� ������ �D ������< ��� X �.�� )������� ��� ������)��������� ��#�����)������>B��� �)����� Δnα< )� ����� ��� ��.��'� ���#��.���� σα : Δ

    n →X � /�>�� ������< ��� )��������� X ���.�� #��� ����������< � ��.��� �'��������� σα|Δ̇n ������� '��������� �� ��� �#���< ������� )�;��� �������������� �)���� � X C������D� 3� �� �������� �)���� σα|Δ̇n ����>� ��������� ���#����� )��������� X � /����� )����)�� ������� ��)�����#����>� ���� �'���������� ���

    ��������� )���������

    ����� �� �

    &� �� ��� &�& �D ���#��.��� )����)�� ������� ���#����� ����.���� ��������F���� v � ���� ��#�� C&���� �)����D e�$� �� ��� &�& #D ���#��.��� )����)�� ������� ���#����� ���� ����� ���F����

    v< ���� �4#��� a, b, c � ���� ����'�������� C$����� �)�����D U, V �*� �� ��� &�& �D ���#��.��� )����)�� ������� ���#����� )���������� )����

    �� ���� ���F���� v, w< ���� �4#��� a, b, c � ���� ����'�������� U, V �+� �� ��� &�& 'D ���#��.��� )����)�� ������� ���#����� #������ 8�����

    ����� ���F���� v< ���� �4#��� a, b, c � ���� ����'�������� U, V �

    &�*� ������������� ���������� ���� X A )����)�� ������� ��)����/)������ ��#����> �#����� '��))� Δn(X)< )���.�4���> n����� �)����

    � σα : Δ

    n → X ��)���� X � 7������ '��))� Δn(X) ������>�� n����� ������������� ����� ��� X � 8�.��� �)�� ������� �)� �.�� #��� ��)����� ���� �������� ��������� �

    ∑α kασα ��;��� ������ kα ∈ Z�

    /)������ ��������� �����#�� ∂n : Δn(X)→ Δn−1(X)< ����� �'� �������� ��;������� #���� σα : [v0, . . . , vn]→ X !C&D ∂n(σα) =

    ∑i

    (−1)iσα|[v0,...,v̂i,...,vn],

    '�� σα|[v0,...,v̂i,...,vn] �#�������� (n − 1)����> '���� �)���� σα< )�������> �)������ i� ���F��� vi� ��)����<

    ∂1[v0, v1] = [v1]− [v0],∂2[v0, v1, v2] = [v1, v2]− [v0, v2] + [v0, v1].

    ��#�� ������ �#������� �'�������� ������� ��< ��������� )������ ���F��<�� �)���� � �'� '������

    !��� ��"� $�������� Δn(X)∂n−→ Δn−1(X) ∂n−1−→ Δn−2(X) �������� ������

    ������%����&

  • '������������& M� �����F���� C&D ��������

    ∂n−1∂n(σ) =∑ji

    (−1)i(−1)j−1σ|[v0,...,v̂i,...,v̂j ,...,vn].

    �������� ��� �

    � ����B�>��< ��� ��� )��� )���������� i � j �� ������ �

    ���� �������� )����� �

    �� � ����� ���� �

    3� �� � ������

    � � ����>B�� ��'�#�������� ���� ��� M���� )��������������� '��������� �#������ '��))

    . . . −→ Cn+1 ∂n+1−→ Cn ∂n−→ Cn−1 −→ . . . −→ C1 ∂1−→ C0 ∂0−→ 0,)���4 ∂n∂n+1 = 0 ��� ��� n� 3���� )��������������� C• = {Cn, ∂n} �������������� ��������� M� �������� ∂n∂n+1 = 0 ������< ��� Im ∂n+1 ⊂ Ker ∂n� ��;���

    � �.� �)�������� n> ������ �������� �)��'� ��)���� ��� ������'��))�Hn = Ker ∂n/ Im ∂n+1� 7������ ���� Ker ∂n ������>�� ������< � ;������ �#����Im ∂n+1 A ��������� 7������ '��))� Hn ������>�� ������� ��������� 8��

    '����'�� ���� c ∈ Ker ∂n �#��������� ����� [c]� 1�� ����< )��������>B�� ����� ��� .� ���

    '����'��< ������>�� ������������ 7�� ��������< ��� �� �������������� '���� ���������B��� � ����> Cn = Δn(X)< '��))� '����'�� Ker ∂n/ Im ∂n+1 #��� �#�

    ������� HΔn (X) � �������� n� ������� ������������ �������� ��)���� X �

    ����� ��#� ���� X = S1 ����� ���F���� v � ���� ��#�� e< � ��� &�& �D�3�'�� �#� '��))� Δ0(X) � Δ1(X) ����� Z< � '�������� ���#��.���� ∂1 �������< ������ ∂1e = v − v� 8��� ��'�< Δn(S1) = 0 )�� n � 2< ��� ��� � ;��� ���������� ���

    �)������ (������������<

    HΔn (S1) ∼=

    {Z )�� n = 0, 1;0 )�� n � 2.

    ����� ��$� ���� X = T 2 A ��� ����� ���F���� v< ���� �4#��� a, b, c ����� ����'�������� U, V < � ��� &�& #D� 8�� � � )������B� )�����< ∂1 = 0<)�;��� HΔ0 (T

    2) = Z� 3�� ��� ∂2U = ∂2V = a+ b− c< � a, b, a+ b− c A #��� '��))�∂1(T

    2)< )������< ��� HΔ1 (T2) ∼= Z⊕Z #������ ���

    �� '����'�� [a] � [b]� 3��

    ��� ��4������ �)����� ���< HΔ2 (T2) = Ker ∂2< � '��))� Ker ∂2 ∼= Z )���.����

    ���� U − L� 3��� �#����<

    HΔn (T2) ∼=

    ⎧⎪⎨⎪⎩Z⊕ Z )�� n = 1;Z )�� n = 0, 2;

    0 )�� n � 3.

    ����� ��%� ���� X = RP 2 ���� ���F���� v, w< ���� �4#��� a, b, c � ��������'�������� U, V < � ��� &�& �D� 3�'�� '��))� Im ∂1 )���.���� �)�> w − v<)�;��� HΔ0 (RP

    2) ∼= Z< )���4 � ������� �#����>B�� �.�� ����� [v] ��� [w]�3�� ��� ∂2U = −a + b + c � ∂2V = a − b + c< � ����< ��� Ker ∂2 = 0< )�;���HΔ2 (RP

    2) = 0� 1����< Ker ∂1 ∼= Z ⊕ Z #���� a − b � c� /�>�� �����< ��� Im ∂2������� )��'��))�� ������ $ � Ker ∂1< ��� ��� � ������� #���� � Ker ∂1 �.������� a−b+c � c< � � ������� #���� � Im ∂2 A a−b+c � (−a+b+c)+(a−b+c) = 2c�

  • 3��� �#����< HΔ1 (RP2) ∼= Z2 � � ���

    HΔn (RP2) ∼=

    ⎧⎪⎨⎪⎩Z )�� n = 0;

    Z2 )�� n = 1;

    0 )�� n � 2.

    (�)�� ������� '����'�� � �������������� ����>�� ��)���'������ ����������� )��������� X < ���� �� ������ �� )��#� �'� ���#����� �� �)�����L���� ��'�< '��))� �)�� ������� '����'�� '����)����� ;������������ )��

    ������ ���������� 1�� ��'�< ���#� �������� ;�� ������< � �)������ ���'����) '����'�� )�������� A '��))� ��'������� '����'��< �)��������� ��������� #���� �)��������� ���#����� )��������� �� �)����� -��� � ����.�< ���'��))� �)�� ������� � ��'������� '����'�� )����)�� ������'� ��)����

    ��)���>��

    &�'��� � ����(�����

    ��)� 1���.���< ��� ��������� ���� ���F�� � �����'��� �� ���� ����� 5< � ������'��� �� )���������� )������ A ,�

    ��*� 1���.���< ��� �������� )����)�� ������'� ��)���� �� )��������� X����4� �� �� �������� ��������'� )����������

    ���+� ��������� )���� ��������'� ���#����� )���������< ������� �� �������

    ��������� )����)�� ������'� ��)�����

    ����� �������� ����>��#��� �����'��� �> #������ 8������ 8���� ������������� ���F�� � ����� �����'��� ��I

    ����� �������� �)�� ������� '����'�� #������ 8�����< ��)��������F��

    ��������� )����)�� ������'� ��)�����

    ��� � �������� �)�� ������� '����'�� $����� ���� S2 ��)��������F�������'��� ��� ��� ��������� )����)�� ������'� ��)�����

    $� ��������� ���������

    $�&� ���'��� � ���� ��,���� !��������� n����� �������� C���)���� n���������D � )��������� X ��������� ��)�������� ���#��.����σ : Δn → X � /)������ ��#����> �#����� '��))� Cn(X)< )���.�4���> ��.����

    ��'������� n����� �)����� �X � 7������ '��))� Cn(X)< ��������� ������������ n������ �����< ����>�� �������� ��������� �

    ��

    ∑i kiσi<

    '�� ki ∈ Z � σi : Δn → X� ��������� ���#��.���� ∂n : Cn(X) → Cn−1(X) ����4����� .� �������< ��� � ��� �)�� ������� �)��!

    ∂n(σ) =∑i

    (−1)iσ|[v0,...,v̂i,...,vn],

    '�� σ : [v0, . . . , vn]→ X A ��'������� �)������ ���� #��� )���� )���� ∂ ���� ∂n� 3�� .�< ��� � ��� �)�� �������

    �)��< �����������< ��� ∂n∂n+1 = 0< ���� ∂2 = 0� 3��� �#����< �.�� �)��������

    '��))� ����������� �������� Hn(X) = Ker ∂n/ Im ∂n+1�

  • M� �)��������� ��������< ��� '��������� )��������� ��>� ����������'��))� ��'������� '����'�� Hn< � ������� �� ���� �� �)�� ������� '�

    ���'��� HΔn � ( ���'�� ������< ��� ��� ���� ��'������� n����� �)���

    �� � X �#���� ���4���< '��))� �)�� Cn(X) ���� ������< ��� ��)������< )������� �������'� �)�� ������'� ��)���� X '��))� ��'������� '����'�� Hn(X)���.�� #��� ������� )���.������ � ������� )�� n > dimX� 7�� ������ #������������� ��� �)�� ������� '����'���(��'������� '����'�� � �������������� �.�� ��

    �������� ��� ������

    ����� �)�� ������� '����'�� )�� )��B� ����>B�� ������� ��� 1�� )����������'� )��������� X �)������ ������ ����������� ������� S(X) ��� )����)�� ������� ��)���< ��>B�� )� ����� �)���� ��� ��.��'� ��'������'� �)���� σ : Δn → X� M� �)��������� ���< ��� HΔn (S(X)) = Hn(X) ������ n� 8�)��� S(X) ����4� �� X �������� )����)�� ������'� ��)�����7�� ������� �� �#������ ������ ��������������� C���� ���#��.���� X → Y���� ����� ���#��.���� S(X) → S(Y )< )�������B�� �)���� � �)����D< ������ ��)��� S(X) ��F�� �����< ���#� �'� �.�� #��� �)��������� ��� ���������������������4 � �)����> )�����F�� ����� ��'������� '����'���

    ��'��(�� ���� (��� ������������ X ������������ � ���� ��)��������⊔αXα

    �������� �������� ���������* �� Hn(X) =⊕

    αHn(Xα)&

    '������������& 3�� ��� �#��� ��'������'� �)���� ������� �����< � ��� Cn(X) =

    ⊕αCn(Xα)� ��������� ���#��.���� ∂n �������� ;�� �����.����< ����

    ∂nCn(Xα) ⊂ Cn−1(Xα)< )�;��� )��)��������� Ker ∂n � Im ∂n �����'���� ���������>�� � )���> �

    �� /�>�� ������ �����.���� ��� '����'��� �1�� �������F�'� �� )�����#��� ����>B�� ������� �� ��'������'� �)

    ��'� ��)����� /)������ '������� ���������� ε : C0(X) → Z )� ������ε(∑

    i kiσi) =∑

    i ki� 3�)��� ��

    ���� )���������������

    C$D . . . −→ C2(X) ∂2−→ C1(X) ∂1−→ C0(X) ε−→ Z −→ 0�� ��� ε∂1 = 0< ��� ��� ��� �>#�'� 1�)���� σ : [v0, v1] → X ��)������ε∂1(σ) = ε(σ|[v1] − σ|v0) = 1 − 1 = 0� (������������< C$D ������� �)�� ��)���

    �< �������� �������������� ���������� ����� �������� ��� X � E'�'����'�� ������>�� ������+���� ������� �������� � �#������>�� H̃n(X)�3�� ��� ��'���� �� ε �#��B���� � ���� �� Im ∂1< ��� ���� ����� ���#��.����

    H0(X)→ Z ���� H̃0(X)� (������������<H0(X) ∼= H̃0(X)⊕ Z.

    /�������< ��� Hn(X) ∼= H̃n(X) )�� n > 0���'��(�� ���� (��� ������������ X ������� ������* �� H0(X) ∼= Z* �&�&H̃0(X) = 0&

    '������������& H��#� ��������< ��� H̃0(X) = 0< ��������� �#������< ��� Ker ε ⊂Im ∂1< � C$D� ���� ε(

    ∑i kiσi) = 0< ����

    ∑i ki = 0� (��'������� %�)����

    σi : [v0] → X A ;�� )���� ����� � X � 1�� ��.��'� σi ��#��� )��� τi : I → X�� ������������ ����� x0 ∈ X � ����� σi(v0)� ���� σ0 A ��'������� %�)���

  • �#���� x0� 8�.��� )��� τi �.�� ��

    �������� ��� ��'������� &�)���τi : [v0, v1]→ X< )���4 ∂τi = σi − σ0� �� ���

    ∂(∑

    i

    kiτi)=

    ∑i

    kiσi −∑i

    kiσ0 =∑i

    kiσi,

    ��� ���∑

    i ki = 0� (������������<∑

    i kiσi A '���� �< � ������ Ker ε ⊂ Im ∂1� ���'��(�� �� � ,������� ����� X = pt ��� ��� H0(pt) = Z � Hn(pt) = 0��� n > 0&

    '������������& 1�� X = pt ����� ����������� ��'������� n�)��� σn��� �>#�'� n< )���4

    ∂(σn) =n∑i=0

    (−1)iσn−1 ={0, ��� n ���4��� ��� n = 0,

    σn−1, ��� n �4��� � n �= 0.3��� �#����< ��'������� �)��� ��)��� ��� X = pt ���� ���

    . . . −→ Z ∼=−→ Z 0−→ Z ∼=−→ Z 0−→ Z −→ 0,� �'� '����'�� ���������� �� ���>����� H0 ∼= Z� �$�$� -�������������� � ������������ �������������� -��� � )���.�< ��� '����)����� ;������������ )��������� ��>� ��������� '��))�'����'��� 1�� ;��'� � ������ �#���

    �< ��� '����'�� ����>�� �������� ������'���� ��)���'������ )�������� � ����'���> �#������ '��))< ���� ��)�������� ���#��.���� f : X → Y ���� ����� '������� f∗ : Hn(X)→ Hn(Y )� -��� �����.�< ��� f∗ ������� ���������< ��� f A '����)������ ;��������������1�� ���#��.���� f : X → Y �)������ '������� �)�� f# : Cn(X)→ Cn(Y )<

    ���� ��)��� �> ��'������� �)����� σ : Δn → X f < ���� f#(σ) = fσ : Δn → Y <

    )�����>B� )�����.���� )� ���������� ��� ;�� f#∂ = ∂f#< ��� ���

    f#∂(σ) = f#(∑

    i

    (−1)iσ|[v0,...,v̂i,...,vn])=

    ∑i

    (−1)ifσ|[v0,...,v̂i,...,vn] = ∂f#(σ).

    3��� �#����< � ��� ��

    ��������> ���'��

    . . . −−−→ Cn+1(X) ∂−−−→ Cn(X) ∂−−−→ Cn−1(X) −−−→ . . .⏐⏐�f# ⏐⏐�f# ⏐⏐�f#

    . . . −−−→ Cn+1(Y ) ∂−−−→ Cn(Y ) ∂−−−→ Cn−1(Y ) −−−→ . . .7�� ���� �� �)������� ����>B�� ��'�#�������� )�������� ���� C• ={Cn, ∂} � C ′• = {C ′n, ∂} A ��� �)��� ��)����� ��#�� '��������� f ={fn : Cn → C ′n n � 0}< ��������� ����� ������%���� �)��'� ��)���� C•� �)��� ��)��� C ′•< ��� ��)������ �����F���� f∂ = ∂f �

    ��'��(�� ��"� -����� ������%���� f : C• → C ′• ���������� �����#�������� �������� .��� ���������* f∗ : Hn(C•)→ Hn(C ′•)* ����+

    �D (fg)∗ = f∗g∗ ��� ��������� ������%���� C•f−→ C ′• g−→ C ′′• /

    #D (id)∗ = id* ��� id ���������� ��%���������� ������%����&

  • ��

    '������������& (�����F���� f∂ = ∂f ����4�< ��� f )�������� ���� � ���� C��∂c = 0 ������< ��� ∂f(c) = f(∂c) = 0D � )�������� '���� � � '���� � C��� ���f(∂b) = ∂f(b)D� (������������< f ���� ����� '������� f∗ : Hn(C•) → Hn(C ′•)�(������ �D � #D ��������� �������B��� � ��)���'������ ���� ��< � )������< ��� ���#��.���� ��)���

    '������ )�������� f : X → Y ���� ����� '�������� �� '��)) ��'�������'����'�� f∗ : Hn(X) → Hn(Y )< �����������>B�� �����F���� �D � #D �� )�����.���� $�+� 7�� ������ � ��������� ���������������> '��)) '����'���1���� � )���.�< ��� '����)��� ���#��.���� )�������� ���� ���>� ���

    ������� '�������� �� '��)) '����'��� 1�� ;��'� �� )�����#��� ��'�#�������� �����' '����)���1�� �)��� ���#��.���� f : C• → C ′• � g : C• → C ′• ������>�� ����� ���������

    �< ��� �B������ ��#�� ���#��.���� P = {Pn : Cn → C ′n+1, n � 0} C��������������� ��������� �.�� f � gD< �����������>B�� �����F����

    ∂P + P∂ = g# − f#.7�� �)������� ��

    ��������� ���'��

    ��

    . . . �� Cn+1∂n+1 ��

    g#−f#��

    Cn∂n ��

    Pn����

    �����

    ��

    Cn−1 ��

    Pn−1���

    ����� ��

    . . .

    . . . �� C ′n+1 ∂n+1�� C ′n ∂n

    �� C ′n−1 �� . . .

    ��'��(�� ��#� -���� ��������� ������%���� f, g : C• → C ′• ������������� � ��� %� �����#�� ��������0 f∗ = g∗&

    '������������& E�� c ∈ Cn A ���< �� g(c) − f(c) = ∂P (c) + P∂(c) = ∂P (c)< ������ ∂c = 0� 3��� �#���� g(c)− f(c) A '���� �< ���� g∗[c]− f∗[c] = 0� �3�)��� � ���� ����4

    � � ��'������ '����'���

    ����� ��$� ,�������� ������%���� ����������� f, g : X → Y ������������� � ��� %� �����#�� ����������� ��������0 f∗ = g∗&

    '������������& 1�� ������������� ��������� )������� �)��> '����)�>P : Cn(X) → Cn+1(Y ) �.�� f# � g#� �� )�����#��� �����'��� �� C���#����� �� �)����D )���� Δn × I� ���� v0, . . . , vn A ���F��� �������� Δn ×{0}< � w0, . . . , wn A ���F��� �������� Δn × {1}� ��F� �����'��� �� )����Δn × I ���� n + 1 �)����� ��������� n + 1< ��.��� �� ������� ���� ���[v0, . . . , vi, wi, . . . , wn]< i = 0, . . . , n� ��.�� )�������� C������D< ��� ;�� A ������������ �)�� ������� ��)���� (����� n = 1 � n = 2 )������� �� ��� *����� ��)��� ���� '����)�� F : X × I → Y �.�� ���#��.����� f � g� /)��

    ���� ��������� ��������� P : Cn(X)→ Cn+1(Y ) )� ������P (σ) =

    ∑i

    (−1)iF ◦ (σ × id)|[v0,...,vi,wi,...,wn],

    '�� σ : Δn → X < � F ◦ (σ× id) A ��)��� �� Δn × I → X × I → Y � �� )���.�< ���)�������� �)������� ����>� �)��> '����)�> �.�� f# � g#< ���� �����������>�

    �����F���>

    ∂P = g# − f# − P∂.

  • ��

    ���������

    v0 v1

    w0 w1

    ���

    ������

    ����

    ����

    ����

    �����

    ��

    ���������

    ��

    ��

    ��

    ��

    ��

    ��

    ���������

    v0

    w0

    v1

    w1

    v2

    w2

    ���� �� 3����'��� �� )���� Δn × I�

    ����������� ����� ���� ;��'� �����F���� )���������� '���� � )����< � �������� � )����� ���� )��������>� ������� �������� Δn × {1}< ��.��� ��������Δn × {0} � #�����> )��������� ∂Δn × I )����� 1�� ������������� �����F����)�����4 ���������!

    ∂P (σ) =∑j�i

    (−1)i(−1)jF ◦ (σ × id)|[v0,...,v̂j ,...,vi,wi,...,wn]+

    +∑j�i

    (−1)i(−1)j+1F ◦ (σ × id)|[v0,...,vi,wi,...,ŵj ,...,wn].

    H���� i = j � ;��� ���� �

    �� ������ ����B�>��< �� ���>����� ������

    F ◦ (σ× id)|[v̂0,w0,...,wn] = g ◦σ = g#(σ) � −F ◦ (σ× id)|[v0,...,vn,ŵn] = −f ◦σ = −f#(σ).H���� i �= j A ;�� � ������� −P∂(σ)< ��� ���

    P∂(σ) =∑ij

    (−1)i−1(−1)jF ◦ (σ × id)|[v0,...,v̂j ,...,vi,wi,...,wn].

    �� ��������< ��� P A ;�� �)��� '����)�� �.�� f# � g#< � ������ f∗ = g∗� �

    M� ������ $�, � ����� �D< #D �� )�����.���� $�+ ��������� ��������

    ��'��� ��%� (��� f : X → Y 1 ������������� .�������������* �� ��������������� ������%���� �������� f∗ : Hn(X)→ Hn(Y ) �������� �����#��� �������� n&

    ��'��� ��)� ,����������� .������������ ������������ ��� �����#��������� ��������& 2 ���������* ���� X ���������* �� H̃n(X) = 0 ��� ����� n&

    $�*� .������ ������ ���'���������� ��������,� ��)���< ��� )��������������� '��������� �#������ '��))

    . . . −→ An+1 fn+1−→ An fn−→ An−1 fn−1−→ . . .��������� ������< ��� Ker fn = Im fn+1 ��� �>#�'� n� 3���� )���������������������� �)�� ��)���� ����������� '��))�� '����'���

  • ��

    3����� )��������������� ����

    0 −→ A f−→ B g−→ C −→ 0��������� �������� ������ ����������������� � ��� '������� f ��J�������< g >�J������� � C ∼= B/ Im f �8�

    ��������� ���'��

    � ����

    0

    ��

    0

    ��

    0

    ��. . . �� An+1

    ∂ ��

    i��

    An∂ ��

    i��

    An−1 ��

    i��

    . . .

    . . . �� Bn+1∂ ��

    j

    ��

    Bn∂ ��

    j

    ��

    Bn−1 ��

    j

    ��

    . . .

    . . . �� Cn+1∂ ��

    ��

    Cn∂ ��

    ��

    Cn−1 ��

    ��

    . . .

    0 0 0

    � ������� ����� ����>�� �)��� ��)�����< � ���# � A �������� ������)���������������� '��))< ��������� �������� ������ ����������������

    ������ ���������� �� #��� �)��������� �#��������� 0→ A• i−→ B• j−→ C• → 0�3�� ��� ���#��.���� i � j � �������� )��������������� ����>�� �)���< ���

    ���� ���>� '�������� '��)) '����'�� Hn(A•)i−→ Hn(B•) j−→ Hn(C•)�

    1���� � �)�F� �B4 ���� '������� ∂ : Hn(C•) → Hn−1(A•)< ����������������� �����#���� K�

    ���� ���

    '����'�� [c] ∈ Hn(C•)< )������������ ���� c ∈ Cn� 3�� ��� j A ;)������< c = j(b) ��� ��������'� b ∈ Bn� 3�'��j(∂b) = ∂j(b) = ∂c = 0< ���� ∂b ∈ Ker j = Im i� (������������< ∂b = i(a) ��� ��������'� a ∈ An−1� ��� ;�� ∂a = 0< ��� ��� i(∂a) = ∂i(a) = ∂∂b = 0< � i A ���������3�)��� �)������ ∂[c] = [a]� ���#����� )��������< ��� )��������� ���#��.����∂ : Hn(C•)→ Hn−1(A•) �)�������� ��������� C���� �� ������ �� )�������� � ��#���c< b � aD � ������� '��������� 7�� )������� � ������� � ������� ���������� ���� �� )����� ����� '����'������ ��'�#���

    ����� ��*� $������� ������ ���������������� ������ ���������

    0 −→ A• i−→ B• j−→ C• −→ 0���������� 3������4 ����� ���������������� ����� ��������0

    . . . −→ Hn(A•) i∗−→ Hn(B•) j∗−→ Hn(C•) ∂−→ Hn−1(A•) i∗−→ Hn−1(B•) −→ . . .'������������& K�

    �.�����< �)�������� )�� ������������� ������>�� ?���'��

    �� )����@� ���#����� �������� , ���>������Im i∗ ⊂ Ker j∗� 1�����������< �������� ji = 0 ����4� j∗i∗ = 0�Im j∗ ⊂ Ker ∂� E�� [c] ∈ Im j∗< �� c = j(b)< '�� ∂b = 0� 3�� ��� )�� �)���������

    '�������'� '�������� � )���'�� i(a) = ∂b< )������ a = 0< ���� ∂[c] = [a] = 0�Im ∂ ⊂ Ker i∗� ���� [a] = ∂[c]� 3�'�� i(a) = ∂b< � ������ i∗[a] = [∂b] = 0�

  • ��

    Ker j∗ ⊂ Im i∗� ���� j∗[b] = 0� 3�'�� j(b) = ∂c′ ��� ��������'� c′ ∈ Cn+1< 3����� j A ;)������< c′ = j(b′) ��� ��������'� b′ ∈ Bn+1� ��� ;�� j(b − ∂b′) =j(b) − ∂j(b′) = j(b) − ∂c′ = 0� (������������< b − ∂b′ = i(a) ��� ��������'� a ∈ An�7����� a ������� ����< ��� ��� i(∂a) = ∂i(a) = ∂(b − ∂b′) = ∂b = 0< � i A

    ��������� (������������< i∗[a] = [b− ∂b′] = [b]< ���� [b] ∈ Im i∗�Ker ∂ ⊂ Im j∗� ���� ∂[c] = 0� � �#���������� �� �)��������� '�������'� '�

    ������� ∂ � ��� ∂[c] = [a]< ���� � ��F�� ���� �� a = ∂a′ ��� ��������'� a′ ∈ An� 1����< i(a) = ∂b� K�

    ���� ;����� b − i(a′)� 7�� A ���< ����∂(b − i(a′)) = ∂b − i∂(a′) = ∂b − i(a) = 0� 8��� ��'�< j(b − i(a′)) = j(b) = c< ������� j∗[b− i(a′)] = [c]�Ker i∗ ⊂ Im ∂� ���� i∗[a] = 0� 3�'�� i(a) = ∂b ��� ��������'� b ∈ Bn� 7�����

    j(b) ������� ����< ��� ��� ∂j(b) = j(∂b) = ji(a) = 0� 3�'�� )� �)��������>'�������'� '�������� � ��� ∂[j(b)] = [a]� �$�+� ���������� ������ ��������, � ������ ���'���������� �����3�)��� � )����� ��'�#�������� )�������� )������B�'� ������� � ��)���'������ ���� ������� A ⊂ X A )��)���������< �� �� (X,A) A �������������� ����� /#����

    �� ����� Cn(X,A) ������'��))� Cn(X)/Cn(A)� 3�� ��� '�������� '�������

    ∂ : Cn(X) → Cn−1(X) )�������� Cn(A) � Cn−1(A)< �� ���� ����� '�������� '��

    ����� ∂ : Cn(X,A)→ Cn−1(X,A)� � ���������� � )������ �)��� ��)���

    . . . −→ Cn+1(X,A) ∂−→ Cn(X,A) ∂−→ Cn−1(X,A) −→ . . .C�����F���� ∂2 = 0 ��)������< ��� ��� ��� ��)������� �� )������� � ������'��))�D� E'� '����'�� Hn(X,A) ������>�� ������������ ������� ��������)��� (X,A)� 3��� �#����

    �D ;������ �� Hn(X,A) )���������� ������������ ������< �� �� ����� �)�� a ∈ Cn(X)< ��� ∂a ∈ Cn−1(A)N

    #D ������������ ��� a )���������� % � Hn(X,A) ��'�� � ������ ��'��< ��'���� ������� ������������ ��������< �� �� a = ∂b + c ��� ��������� b ∈Cn+1(X) � c ∈ Cn(A)�

    �� ��� �������> �����> )��������������� �)��� ��)�����

    0 −→ C•(A) i−→ C•(X) j−→ C•(X,A) −→ 0M� ������ $�: ��������

    ����� ���+� '�� ���� ����������� (X,A) ���� ���� ������ ����������������� ����� ��������

    . . . −→ Hn(A) i∗−→ Hn(X) j∗−→ Hn(X,A) ∂−→ Hn−1(A) i∗−→ Hn−1(X) −→ . . .M� ��'�#�������'� �)��������� '�������'� '�������� � ������� ������ )�

    �������������� '��)) '����'�� ��)���������� �������� ����>B�� �)�����'�������'� ���#��.���� ∂ : Hn(X,A) → Hn−1(A)� E�� ���

    [a] ∈ Hn(X,A) )���

    ������ ����������� ���� a< �� ∂[a] A ���

    ���� ∂a � Hn−1(A)���.� � )���.�< ��� ��� ��������� ����F�� )�� (X,A) ������������ '��))�

    '����'��Hn(X,A) � ������ )��������������� ��F� �.�� #��� ������� �� ?�#

    ��>���>@ '��))� H̃n(X/A)� ��������� ������ )��������������� ��� �� )����� ;���������� �������� ��� ��������� ��'������� '����'�� )���������

  • ��

    $�2� ����� ���/���� � 0 �'����� (������ ��������� ������� ����

    �� ��>����� ����� ��'������� '����'��< ������ '����)������ �����������

    ��> � ������ )���������������� )��� � ������� ������� �� ������ ��������� � ����>B� )��������� � ����.� �������� Hn(X,A) ∼= H̃n(X/A) ���?����F��@ )��� ��� ���

    ������ ����������� ������ ����������

    ����� ����� ��� ���� ������������ Z ⊂ A ⊂ X* ����+ �������� ������������� Z �����%���� �� ������������ ������������ A& "���� ��������(X \ Z,A \ Z) ↪→ (X,A) ���������� �����#���

    Hn(X \ Z,A \ Z)∼=−→ Hn(X,A), n � 0.

    M���� ����>B�� ;������������ ����������� ������ ���������< ����������.� #���� )������ ��� )����.�����

    ����� ����� ��� ���� ��������������� A,B ⊂ X* ������������ ��������������� X& "���� �������� (B,A ∩B) ↪→ (X,A) ���������� �����#���

    Hn(B,A ∩ B)∼=−→ Hn(X,A), n � 0.

    H��#� �#������< ��� ��� ����������� ������ ��������� ;�����������< )���.� B = X \Z � Z = X \B� 3�'�� A∩B = A \Z< � ������ Z ⊂ intA ;����������������> X = intA ∪ intB< ��� ��� X \ intB = Z�1������������ ������ ��������� #���� ���� � ����>B� )���'����< � )���

    � )����� ��� �4 ��.��� ��������1�� )��� (X,A) ��

    ���� )��������� X ∪CA< ������� )�������� �� X )��

    ��������� ����� CA ��� A C���� ����� ������%���� ���.���� A ↪→ XD���'��(�� ��� � 5�� ���� �����#���

    H̃n(X ∪ CA) ∼= Hn(X,A), n � 0.'������������& �� ���

    H̃n(X ∪ CA) ∼= Hn(X ∪ CA,CA) ∼= Hn(X ∪ CA \ {v}, CA \ {v}) ∼= Hn(X,A),'�� )����� �������� �������� �� ������ )��������������� )��� C��� ��� ����CA ��'����D< ������ �������� ������ �� ������ ��������� C������ $�&&N���� v A ���F��� �����D< � ������ �������� )�������� �� ������ ������

    ������ �� CA \ {v} �−→ A� ���)���< ��� ���#��.���� ���.���� A ↪→ X ��������� ������������< ���

    ��� ������������� ������ )�����.���� '����)�� C� OPQ)&< R+SD� ������� ����>�� ���.���� ��������� )��)�������� � ��������� )��������� C������������� (X,A)D< � ���.� )����.���� A ⊂ X < ������� ����>�� ������ ��������������� ���� ���������� � X �

    ��'��(�� ���"� (��� ���%���� A ↪→ X �������� ������������* �� #������������%���� q : (X,A)→ (X/A,A/A) = (X/A, pt) ���������� �����#���

    q∗ : Hn(X,A)→ Hn(X/A, pt) = H̃n(X/A), n � 0.'������������& E�� A ↪→ X ������� ����

    ������< �� ���������#��.���� X ∪CA→ (X ∪ CA)/CA = X/A ������� '����)������ ;�������������> C� OPQ)&<

    ������� +�2SD< ��� ��� �����.����� ������ �� )�����.���� $�&*� �

  • ��

    ��'��(�� ���#� '�� �#��� Sn* n � 0* ���

    H̃i(Sn) ∼=

    {Z ��� i = n,

    0 ��� i �= n.'������������& ��� n > 0 ��

    ���� )��� (X,A) = (Dn, Sn−1)N ��'�� X/A = Sn�3����� )��������������� ��� )�����4���� '����'�� ���� ���!

    H̃i(Dn) → Hi(Dn, Sn−1) → H̃i−1(Sn−1) → H̃i−1(Dn)‖ ‖ ‖0 H̃i(S

    n) 0

    M� ������� ������< ��� H̃i(Sn) ∼= H̃i−1(Sn−1)� ��� )��B� ����� �� � ����

    �����.����� � ����> n = 0< ��'�� S0 A ��� ����� � ��������� ������ �� )�����.���� $�$ � $�*� �/#�#B���� )������B�'� �����.����� ������� ����>B�� �������

    ����� ���$ C�������� ���������D� '�� ����� ������������ X ��� ����� �����#���

    H̃i(ΣX) ∼= H̃i−1(X).'������������& 7�� �������� �� ������ '����'������ )��������������� )���(CX,X)< '�� CX ��'�����< X ↪→ CX ������� ����

    ������ ��� �>#�'� X �CX/X = ΣX� ������ ���%� ��� (Xα, xα) 1 ����� ����������� � ��������� ������*��� ������� ���%���� xα ↪→ Xα ������� �������������& "���� ��� ���������#���

    H̃n

    (∨α

    ) ∼= ⊕α

    H̃n(Xα), n � 0.

    '������������& 7�� �������� �� ������ )��������������� )��� (⊔αXα,

    ⊔α{xα})

    � �)��������� #�����∨αXα =

    ⊔αXα/

    ⊔α{xα}� �

    ��� )��B� '����'�� ��'�� ����������� ����>B�� ���

    ������ ����������

    ����� ���) C?������������� ���������@D� (��� �������� �������� ��%������ U ⊂ Rm � V ⊂ Rn ������#��* �� m = n&'������������& 1�� �>#�� ����� x ∈ U � ���

    Hi(U, U \ {x}) ∼= Hi(Rm,Rm \ {x}) ∼= H̃i−1(Rm \ {x}) ∼= H̃i−1(Sm−1) ∼={Z )�� i = m,

    0 )�� i �= m,'�� )����� �������� ������ �� ������ ���������< ������ A �� ������ )�

    �������������� )��� (Rm,Rm \ {x})< � ������ A �� ������ ������ ������ ��Rm \ {x} → Sm−1� =����'����<

    Hi(V, V \ {y}) ∼={Z )�� i = n,

    0 )�� i �= n.3�� ��� '�������� h : U → V ���� ����� ��������� Hi(U, U \ {x})

    ∼=−→Hi(V, V \ {h(x)}) ��� ��� i< ���.�� #��� m = n� �

  • ��

    $�,� .���/������� ����� ���/����� 1������������ #���� ������� ����>����� ��

    �< )������>B�� �������� '��))� '����'��< �)������ ��F� ?����@ ��'������� �)����� ������ � #��� �)�������� � ������� )�������<� ������ ��#�������� ��������� #���� #��� ���������� )����������������� U = {Uj} A �������� )������� )��������� X � /)������ )��'��))�

    CUn (X) � Cn(X)< ����B�> �� ����� �)��∑

    i niσi< ��� �#��� ��.��'� ���#��.����σi : Δ

    n → X ����.��� � �������� ��.���� �� )������� U � ��������� ���#��.���� ∂ : Cn(X) → Cn−1(X) )�������� CUn (X) � CUn−1(X)< )�;��� '��))� CUn (X)�#����>� �)��� ��)���� /#������ �'� '��))� '����'�� ����� HUn (X)�

    !��� ���*� 2������� ι : CUn (X) → Cn(X) �������� ������ ������������� .��������������* �& �& ��6������� ����� ������ ������%���� ρ : Cn(X)→ CUn (X)*��� ιρ � ρι ����� �������� ��%��������� ������%����& !�����������* ι���������� �����#��� HUn (X) ∼= Hn(X)* n � 0&'������������& ��)���< ��� #��� ����� C��� ����� ��.���D �)����[v0, . . . , vn] � )��������� R

    N ��������� ����� b = 1n+1

    (v0 + . . . + vn)� 7��������������� ������������ �)���� [v0, . . . , vn] ��������� �)�� ������� ��)���< ���F���� ������'� ����>�� #��� ����� ��� '����� �)���� [v0, . . . , vn]C���>��� � �)���DN )�� ;�� ��#�� #��� ������ '����� ������� ��.����

    ���F�� �)���� � #��� ��������� )�����#����� ������ ��'��< ��'�� ;�� '�����#����>� �)���� ���.����� ���' � ���'�� �����'�� #��� ���������� )�����#����� �)���� �.�� �)�������� ����������! #��� ���������� )�����#�����0����'� �)���� C�����D ��� �� ;�� �����< � )�� k > 0 #��� ���������� )�����#����� k����'� �)���� )�������� ������ ������ ��� #��� ����������)�����#������ ��� �'� '������ =����'����< ���������� �#���� �)���������#��� ���������� )�����#����� )����������'� �)�� ������'� ��)�����L��� ���������� )�����#����� �#������ ����>B� ��.�� ������! ���

    ������ �)���� [v0, . . . , vn] C��������� ��

    ������ �.�� �'� ������D ����� d< �� ������� �)����� �'� #��� ���������'� )�����#����� �� )���������nn+1

    d C������D� 3��� �#����< ��'������� )������ #��� ���������� )�����#�����< �.�� )������� ���� �'���� ����� �����'��� ���1���� � )����� �)������ )�����#����� S : Cn(X) → Cn(X) � )������< ���

    �� �)�� '����)�� ��.��������� ���#��.���>����� σ : [v0, . . . , vn] → X A ��'������� �)���� 1�� �>#�'� ��#��� �����

    w0, . . . , wk ∈ [v0, . . . , vn] �'��������� ���#��.���� σ ����4� ��'������� k�)���[w0, . . . , wk]→ X � /)������ �� ����� �)����� �)������ bσ )� ������

    bσ[w0, . . . , wk] = [b, w0, . . . , wk],

    '�� b A #��� ���� �)���� [v0, . . . , vn]� �� �)��������> '�������'� �)������� ∂

    � ��� �����F����

    ∂bσ[w0, . . . , wk] = [w0, . . . , wk]− bσ∂[w0, . . . , wk],������� �.�� )���)���� � ����

    ∂bσ + bσ∂ = id .

  • ��

    ���� � 3����'��� �� )���� Δn × I�

    3�)��� �)������ �)������ )�����#����� S : Cn(X)→ Cn(X)< ��� n = 0 )���.��S = id: C0(X)→ C0(X)< � ��� n > 0 )�� )��B� ����������� ������C*D Sσ = bσS∂σ.

    ����������� ;�� ������ ��������< ��� S )�������� ��'������� �)���σ : [v0, . . . , vn] → X � ��'������> �)�< )��������>B�> �#�� �

    � �'��������� σ �� �)���� #��� ���������'� )�����#����� �)���� [v0, . . . , vn]< ������

    ��������� �������/)������ S : Cn(X)→ Cn(X) ������� �)�� ���#��.����� 1�����������< )��

    n = 0 � ��� S = id � ∂ = 0< �� �� ∂S = S∂ = 0< � )�� n > 0

    ∂Sσ = ∂(bσS∂σ) = (id−bσ∂)S∂σ = S∂σ − bσ∂S∂σ = S∂σ − bσS∂∂σ = S∂σ,'�� � )���)������ �������� � ��)���������� )���)���.���� ����� �� C�����F���� ∂S = S∂ ���� ��� ��� ��'������� (n− 1)����� �)� ∂σD�3�)��� �)������ �)������ �)��� '����)�� T : Cn(X) → Cn+1(X) �.�� S �

    ��.�������� ���#��.����� 1�� n = 0 )���.� Tσ = bσσ C;�� A ��'�������&����� �)���< )�������B�� �#� ���F��� � ����� σ[v0]D� 1�� n > 0 �)������

    T )�� )��B� ����������� ������

    Tσ = bσ(σ − T∂σ).������������ �����)���� �� ;��� ������ ����>����� � ����>B�� /)������

    ���������� )�����#����� )���� Δn × I< )��������� � ���������� ��������� ���

    �)����� � Δ× {0} ∪ ∂Δn × I #��� ����� �)���� Δ× {1}< � �