geometrİk kavramlar
DESCRIPTION
GEOMETRİK KAVRAMLAR. Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. 1. Nokta:. “.” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur. 2. Doğru:. İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir. 3. Düzlem:. Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
11
GEOMETRİK KAVRAMLARGEOMETRİK KAVRAMLAR
Geometride “Nokta”, “Doğru”, Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.olarak kabul edilir.
22
1. Nokta:1. Nokta:
““.” biçiminde gösterilir. Boyutu .” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.yoktur.
33
2. Doğru:2. Doğru:
İki uçtan sınırsız noktalar İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir.kümesidir.
44
3. Düzlem:3. Düzlem:
Her yönde sonsuza giden noktalar Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir.kümesidir.
E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar gider.gider.
E düzlemi yandaki gibi gösterilir.E düzlemi yandaki gibi gösterilir.
55
4. Doğru Parçası :4. Doğru Parçası :
İki nokta ile bu iki nokta arasında İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşimidir.kalan noktaların birleşimidir.
[AB] sembolüyle gösterilir.[AB] sembolüyle gösterilir.[AB] AB doğru parçası[AB] AB doğru parçası|AB| AB doğru parçasının |AB| AB doğru parçasının
uzunluğuuzunluğu
66
5. Işın :5. Işın :
Bir başlangıç noktası olup sonsuza Bir başlangıç noktası olup sonsuza giden noktalar kümesidir.giden noktalar kümesidir.
[AB AB ışını[AB AB ışını
77
6. Yarı Doğru:6. Yarı Doğru:[AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde [AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde
edilen kümeye AB yarıdoğrusu denir.edilen kümeye AB yarıdoğrusu denir.
]AB sembolüyle gösterilir.]AB sembolüyle gösterilir.Doğrusal nokta kümelerinin gösterimiDoğrusal nokta kümelerinin gösterimi[AB]: A ve B noktaları dahil.[AB]: A ve B noktaları dahil.[AB[: A noktası dahil, B noktası dahil değil[AB[: A noktası dahil, B noktası dahil değil]AB[: A ve B noktaları dahil değil]AB[: A ve B noktaları dahil değil
88
AÇILARAÇILARBaşlangıç noktaları ortak iki Başlangıç noktaları ortak iki
ışının birleşimine açı denir.ışının birleşimine açı denir.şekilde [AC ve [AB ışınının şekilde [AC ve [AB ışınının
oluşturduğu açı BAC açısıdır.oluşturduğu açı BAC açısıdır.[ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC, [ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC,
CAB olarak veya A ilegösterilir.CAB olarak veya A ilegösterilir.[AB ve [AC ışınları açının [AB ve [AC ışınları açının kenarları,A noktası açının kenarları,A noktası açının köşesidir.köşesidir.
Açı yazılırken açının köşesi Açı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır.olan nokta ortada yazılır.
99
1. Açının Ölçüsü1. Açının Ölçüsü
[AB ile [AC arasındaki [AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açıklığın ifadesine açının ölçüsü denir. açının ölçüsü denir. BAC açısının ölçüsü a BAC açısının ölçüsü a dır.m(BAC) = a veya dır.m(BAC) = a veya m(A) = a olarak m(A) = a olarak gösterilir.ölçüleri eşit gösterilir.ölçüleri eşit olan açılara eş açılar olan açılara eş açılar denir.denir.
1010
2. Açının Düzlemde Ayırdığı 2. Açının Düzlemde Ayırdığı BölgelerBölgeler
Bir açı düzlemi Bir açı düzlemi üç bölgeye üç bölgeye ayırır. ayırır. a.a. Açının Açının kendisi[AB ve kendisi[AB ve [AC ışınları.[AC ışınları.b.b. İç İç bölge (taralı bölge (taralı alan)alan)c. c. Dış bölgeDış bölge
1111
3. Açı ölçü birimleri3. Açı ölçü birimleriAçı ölçüsü birimi olarak genelde Açı ölçüsü birimi olarak genelde
derece kullanılır. Dereceden başka derece kullanılır. Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de Grad ve Radyan birimleri de kullanılır. Açı ölçüsü birimleri kullanılır. Açı ölçüsü birimleri arasında,arasında,
360° = 400 G(grad) = 2 (radyan) 360° = 400 G(grad) = 2 (radyan) eşitliği vardır.eşitliği vardır.
Bir ışının başlangıç noktası etrafında Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir.açı 360° dir.
Derecenin alt birimleriDerecenin alt birimleri1° = 60' (dakika)1' = 60" (saniye) 1° = 60' (dakika)1' = 60" (saniye)
1° = 3600" dir.1° = 3600" dir.
1212
4. Ölçülerine göre açılar4. Ölçülerine göre açılara. a. Ölçüsü 0° ile 90° arasında Ölçüsü 0° ile 90° arasında
olan açılara dar açı denir.olan açılara dar açı denir.b.b. Ölçüsü 90° olanaçılara dik Ölçüsü 90° olanaçılara dik
açı deniraçı denircc. Ölçüsü 90° ile 180° . Ölçüsü 90° ile 180°
arasında olan açılara geniş arasında olan açılara geniş açı denir.açı denir.
d.d. Ölçüsü 180° olan açılara Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir.doğru açı denir.
e.e. Ölçüsü 360° olan açıya Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.tam açı denir.
1313
5. Komşu açılar5. Komşu açılar
Köşeleri ve birer Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak iç bölgesi ortak olmayan açılara olmayan açılara komşu açılar komşu açılar denir.CAD ile DAB denir.CAD ile DAB komşu açılardır.komşu açılardır.
1414
6. Açıortay6. AçıortayAçıyı iki eşit parçaya Açıyı iki eşit parçaya
bölen ışına açıortay bölen ışına açıortay denir.[AD, CAB denir.[AD, CAB açısının açısının açıortayıdır.Açıortay açıortayıdır.Açıortay üzerinde alınan her üzerinde alınan her noktanın açının noktanın açının kollarına olan dik kollarına olan dik uzaklıkları eşittir.uzaklıkları eşittir.
1515
7. Tümler açı7. Tümler açı
Ölçüleri toplamı 90° olan iki Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.açıya tümler açılar denir.
m(CAD)+m(DAB)=90m(CAD)+m(DAB)=90°°a+b=90°a+b=90°a açısının tümlerinin ölçüsü a açısının tümlerinin ölçüsü
(90° – a) dır.(90° – a) dır.Komşu tümler iki açının Komşu tümler iki açının
açıortay doğruları arasındaki açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir.açının ülçüsü 45° dir.
[OA] ^ [OB]m(KOL) = 45°[OA] ^ [OB]m(KOL) = 45°
1616
8. Bütünler açı8. Bütünler açıÖlçüleri toplamı 180° olan iki Ölçüleri toplamı 180° olan iki
açıya bütünler açılar denir.açıya bütünler açılar denir.m(DAB)+m(CAD)=180° m(DAB)+m(CAD)=180°
x+y=180°x+y=180°x açısının bütünlerinin x açısının bütünlerinin
ölçüsü (180° – x) dir.ölçüsü (180° – x) dir.Komşu bütünler iki açının Komşu bütünler iki açının
açıortay doğruları arasındaki açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.açının ölçüsü 90° dir.
m(KOL) = 90°m(KOL) = 90°
1717
9. Ters Açılar9. Ters Açılar
Kesişen iki doğrunun Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara komşu olmayanlara ters açılar denir.ters açılar denir.
Ters açıların Ters açıların ölçüleri eşittir. ölçüleri eşittir. m(x)=m(z) ve m(x)=m(z) ve m(t)=m(y) dir.m(t)=m(y) dir.
1818
a. Yöndeş açılara. Yöndeş açılard1 // d2 ise d1 // d2 ise
Yöndeş açıların Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.ölçüleri eşittir.
m(a) = m(x) ; m(a) = m(x) ; m(b) = m(y)m(b) = m(y)m(c) = m(z) ; m(c) = m(z) ; m(d) = m(t)m(d) = m(t)
1919
b. İçters açılarb. İçters açılar
d1 // d2 ise a ile d1 // d2 ise a ile z ve b ile t içters z ve b ile t içters açılarıdır. açılarıdır.
İçters açıların İçters açıların ölçüleri eşittir.ölçüleri eşittir.
m(a) = m(z); m(a) = m(z); m(b) = m(t)m(b) = m(t)
2020
Dışters açılarDışters açılar
d1 // d2 ise d1 // d2 ise Dışters Dışters açıların ölçüleri açıların ölçüleri eşittir.eşittir.
m(c)=m(x)m(c)=m(x)m(d)=m(y)m(d)=m(y)
2121
d. Karşı durumlu açılard. Karşı durumlu açılard1 // d2 ise d1 // d2 ise Karşı Karşı
durumlu açıların durumlu açıların toplamı 180° dır.toplamı 180° dır.
m(a) + m(t) = 180°; m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z)=180°m(b) + m(z)=180°
Karşı durumlu açıların Karşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.açının ölçüsü 90° dir.
2222
e. Birden fazla kesenli durumlare. Birden fazla kesenli durumlar
d1 // d2 ise B noktasından d1 d1 // d2 ise B noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel ve d2 doğrularına paralel çizersek çizersek
m(ABC) = a + b olur.m(ABC) = a + b olur.B noktasından paralel çizersek B noktasından paralel çizersek
m(ABD) + x = 180°m(ABD) + x = 180°
m(DBC) + z = 180° buradanm(DBC) + z = 180° buradan
x + y + z = 360° dir.x + y + z = 360° dir.
2323
f. Paralel doğrular arasındaki f. Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılarardışık zıt yönlü açılar
d1 // d2 ise d1 // d2 ise
a + b + c = x + y a + b + c = x + y olur. Bu tür soruları olur. Bu tür soruları kırılma kırılma noktalarından noktalarından paralellerçizerek de paralellerçizerek de çözebiliriz.çözebiliriz.
2424
g. Kolları paralel ve kolları dik g. Kolları paralel ve kolları dik açılaraçılar
Açıları oluşturan ışınlar aynı Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.Açıları iki açının ölçüsü eşittir.Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı;a + b = iki açının ölçüleri toplamı;a + b = 180° olur.Kenarları birbirine dik 180° olur.Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri karşılıklı iki açının ölçüleri toplamı a + b = 180° toplamı a + b = 180° olur.Kenarları şekildeki gibi olur.Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri birbirine dik açıların ölçüleri eşittir.eşittir.
2525
ÜÇGENÜÇGENDoğrusal olmayan üç noktayı birleştiren Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren
üç doğru parçasının birleşimine üç doğru parçasının birleşimine üçgenüçgen denir.denir.
AB] U[AC]U [BC] = ABC dir. Burada; A, AB] U[AC]U [BC] = ABC dir. Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri,[AB], [AC], B, C noktaları üçgenin köşeleri,[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.[BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır.
BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır. |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c açılarıdır. |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir. açılar denir.
ABC üçgeni bir düzlemi; ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin üçgenin kendisi,kendisi, iç bölge, dış bölgeiç bölge, dış bölge, olmak , olmak üzere üç bölgeye ayırır. ABC U {ABC iç üzere üç bölgeye ayırır. ABC U {ABC iç bölgesi} = (ABC) bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)(üçgensel bölge)
2626
a. Çeşitkenar üçgena. Çeşitkenar üçgen
Üç kenar Üç kenar uzunlukları da uzunlukları da farklı olan farklı olan üçgenlere denir.üçgenlere denir.
2727
b. ikizkenar Üçgenb. ikizkenar Üçgen
Herhangi iki Herhangi iki kenarının kenarının uzunluğu eşit uzunluğu eşit olan üçgenlere olan üçgenlere denir.denir.
2828
c. Eşkenar Üçgenc. Eşkenar Üçgen
Üç kenar Üç kenar uzunluğu da eşit uzunluğu da eşit olan üçgenlere olan üçgenlere denir.denir.
2929
2. Açılarına göre üçgenler2. Açılarına göre üçgenlera. Dar açılı üçgen a. Dar açılı üçgen Üç açısının ölçüsü de 90° den Üç açısının ölçüsü de 90° den
küçük olan üçgenlere dar küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.açılıüçgen denir.b. Dik açılı b. Dik açılı üçgen üçgen
Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. Dik üçgen olan üçgenlere denir. Dik üçgen olarak adlandırılır.olarak adlandırılır.c. Geniş açılı c. Geniş açılı üçgen üçgen
Bir açısının ölçüsü 90° den Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.Bir büyük olan üçgenlere denir.Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.üçgende bir tek geniş açı olabilir.
3030
ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI ELEMANLARIELEMANLARI
Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir.elemanlar denir.
1. Yükseklik 1. Yükseklik Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına
çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.ha a kanarına ait yükseklik.ha a kanarına ait yükseklik.hc c kenarına ait yükseklik yüksekliklerin kesim hc c kenarına ait yükseklik yüksekliklerin kesim
noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir. noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir.
3131
AÇIORTAY VE KENARORTAYAÇIORTAY VE KENARORTAY2. Açıortay2. Açıortay
Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran ışına o köşenin eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir.açıortayıdenir.
nA A köşesine ait iç açıortay nA A köşesine ait iç açıortay n'A A köşesine ait dış açıortay n'A A köşesine ait dış açıortay 3. Kenarortay3. KenarortayÜçgenin bir kenarının orta Üçgenin bir kenarının orta
noktasını karşısındaki köşe ile noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. kenara ait kenarortay denir.
|AD| = Va , |BE| = Vb olarak ifade |AD| = Va , |BE| = Vb olarak ifade edilir. edilir.
Dik üçgende, hipotenüse ait Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. |BC| = a (hipotenüs) eşittir. |BC| = a (hipotenüs)
3232
ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ1. Üçgende iç açıların 1. Üçgende iç açıların
ölçüleri toplamı180° dir. ölçüleri toplamı180° dir. [AD // [BC] olduğundan,iç [AD // [BC] olduğundan,iç ters ve yöndeş olan açılar ters ve yöndeş olan açılar bulunur.a + b + c = 180°bulunur.a + b + c = 180°
m(A) + m(B) + m(C) = 180° m(A) + m(B) + m(C) = 180° Üçgenin iç açılarının Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir.toplamı180° dir.
İç açılara komşu ve bütünler İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.olan açılara dış açı denir.
3333
ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ2. Üçgende dış 2. Üçgende dış
açıların ölçüleriaçıların ölçüleri toplamı 360° dir.toplamı 360° dir. a' + b' + c' = 360° a' + b' + c' = 360° m(DAF)+m(ABE)m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360+m(BCF)=360° °
3434
ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ3. Üçgende bir dış açının ölçüsü3. Üçgende bir dış açının ölçüsü
kendisine komşu olmayan iki iç kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.açının ölçüleri toplamına eşittir. [AB] // [CE olduğundan[AB] // [CE olduğundan
m(ACD)=a+b m(ACD)=a+b m(DAC) = m(A') = b + cm(DAC) = m(A') = b + cm(DBE) = m(B') = a + cm(DBE) = m(B') = a + cm(ECF) = m(C') = a + bm(ECF) = m(C') = a + bYandaki şekilde a, b, c Yandaki şekilde a, b, c
bulundukları açıların ölçüleri ise, bulundukları açıların ölçüleri ise, m(BDC) = a+b+c m(BDC) = a+b+c
3535
ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ4. iki kenarı eş olan üçgene 4. iki kenarı eş olan üçgene
ikizkenarikizkenar üçgen denir.ABC üçgen denir.ABC üçgeninde:üçgeninde: lABl=lACl ise lABl=lACl ise m(B)=m(C) m(B)=m(C)
Burada A açısına ikizkenar Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanı denir.kenarına ise tabanı denir.
Tepe açısına m(BAC) = a Tepe açısına m(BAC) = a dersekdersek
Taban açıları m(B)=m(C)Taban açıları m(B)=m(C)
3636
EŞKENAR ÜÇGENEŞKENAR ÜÇGEN
5. Üç kenarıeş olan 5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen üçgene eşkenar üçgen denir.denir. ABC üçgeninde |ABC üçgeninde |AB| = |BC| = |AC| AB| = |BC| = |AC| m(A) = m(B) = m(C) = 60° m(A) = m(B) = m(C) = 60° Eşkenar üçgen, ikizkenar Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini üçgenin bütün özelliklerini taşır.taşır.
3737
ÜÇGENDE AÇIORTAYLARÜÇGENDE AÇIORTAYLAR
3838
1.1. Üçgende iç açıortaylar Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet nokta üçgenin içteğet çemberinin çemberinin merkezidir.Açıortayların merkezidir.Açıortayların kesiştiği noktadan kesiştiği noktadan kenarlara çizilen kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları dikmelerin uzunlukları eşittir. (Çemberin yarıçapı)eşittir. (Çemberin yarıçapı)
3939
2. 2. Üçgende iki dış açıortay Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)[AD], [BD] ve çember vardır.)[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsü de kesinlikle üçüncüsü de kesinlikle açıortaydır.açıortaydır.
4040
3.3. iki iç açıortayın iki iç açıortayın kesişmesiyle kesişmesiyle oluşan açı; ABC oluşan açı; ABC üçgeninde ve üçgeninde ve BDC üçgeninde iç BDC üçgeninde iç açılar toplamı açılar toplamı yazılırsayazılırsa
4141
4.4. iki dış iki dış açıortayın açıortayın kesişmesiyle kesişmesiyle oluşan açı; ABC oluşan açı; ABC üçgeninin dış üçgeninin dış açılar toplamı ve açılar toplamı ve BDC üçgeninin iç BDC üçgeninin iç açılar toplamını açılar toplamını yazarsakyazarsak
4242
5.5. Bir iç açıortay ile bir dış Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle açıortayın kesişmesiyle oluşan açı, ABC üçgeninin oluşan açı, ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün açısının ölçüsünün yarısıdır.yarısıdır.
Burada D noktası dış teğet Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D çizilen dış açıortayda D noktasından geçer. noktasından geçer.
4343
6. 6. Açıortayla yükseklik Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; arasında kalan açı; ABC üçgeninde ABC üçgeninde [AD] A açısına ait [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] açıortay ve [AH] yüksekliktir. Açıortayla yüksekliktir. Açıortayla yükseklik arasındaki yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x açıya m(HAD) = x dersekdersek
Bir açı ve açıortayını başka Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar kullanılarak bütün açılar bulunabilir. bulunabilir.
4444
AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının
karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür.uzunluğundan daha büyüktür. ABC ABC üçgeninde üçgeninde m(A) > m(B) > m(C)m(A) > m(B) > m(C) a > b > c a > b > c
Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.
İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.
m(B) = m(C) => |AB| = |AC| m(B) = m(C) => |AB| = |AC| m(A) < m(B) = m(C) ise|BC| < |AB| = |AC| m(A) < m(B) = m(C) ise|BC| < |AB| = |AC|
olur.olur.
4545
AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI2. Bir üçgende herhangi bir 2. Bir üçgende herhangi bir
kenarın uzunluğu diğer iki kenarın kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden farkının mutlak değerinden büyüktür.büyüktür.
ABC üçgeninde lb - c l <a < (b + c) ABC üçgeninde lb - c l <a < (b + c) Diğer kenarlar için de aynı durum Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.|a – c| < b < (a + c) geçerlidir.|a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b) olur.ve |a – b| < c < (a + b) olur.
4646
AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI3. Dik, dar ve geniş açılı 3. Dik, dar ve geniş açılı
üçgenlerde kenarlar arasındaki üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler.ilişkiler.
a. Bir dik üçgende a. Bir dik üçgende kenarlar arasında kenarlar arasında a^2 = b^2 + c^2 bağıntısı vardır.a^2 = b^2 + c^2 bağıntısı vardır.
b. Dar açılı üçgenb. Dar açılı üçgen b ve c sabit b ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür. m(A) < 90°küçülür. m(A) < 90° a^2 < b^2 + c^2 a^2 < b^2 + c^2
c. Geniş açılı üçgen c. Geniş açılı üçgen b ve c sabit b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da tutulup A açısı büyütülürse a da büyür. m(A) < 90° büyür. m(A) < 90° a^2 > b^2 + c^2 a^2 > b^2 + c^2
4747
AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI4. Çeşitkenar bir üçgende aynı 4. Çeşitkenar bir üçgende aynı
köşeden çizilen yükseklik, köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması, uzunluklarının sıralanması, ||AH| = ha ; yükseklikAH| = ha ; yükseklik
|AN| = nA ; açıortay|AN| = nA ; açıortay|AD| = Va ; kenarortay|AD| = Va ; kenarortay
ha< nA <Vaha< nA <Va
4848
AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, 5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay,
kenarortay ve yükseklik arasındaki kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama;sıralama;
ABC üçgeninde a, b, c kenar ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır. m(A) > m(B) > m(C) uzunluklarıdır. m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım. Bu durumda olduğuna varsayalım. Bu durumda üçgende üçgende kenarlar : kenarlar : a > b > ca > b > c
yükseklikler : yükseklikler : ha < hb < hc ha < hb < hcAçıortaylar :Açıortaylar : nA < nB < nC nA < nB < nCKenarortaylar : Kenarortaylar : Va < Vb < VcVa < Vb < Vcşeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin
yardımcı elemanları kenarlarının sırasına yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır.ters olarak sıralanır.
Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir. sıralamalar geçerli değildir.
4949
AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden 6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden
içtekinin çevresi daha küçük olur.içtekinin çevresi daha küçük olur. |BD| + | |BD| + |DC| < |AB| + |AC|DC| < |AB| + |AC|
ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir. [AC] ve [BD] köşegenlerdir.
ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür. toplamından küçüktür. a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD| a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD|
köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha küçük ve çevrenin yarısından daha büyük küçük ve çevrenin yarısından daha büyük olmak zorundadır.olmak zorundadır.
İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından olacağından
|DA| + |AB| + |BC|toplamı |DE| + |EF| + |FC| |DA| + |AB| + |BC|toplamı |DE| + |EF| + |FC| toplamından daha büyüktür. toplamından daha büyüktür.
5050
AÇI KENAR BAĞINTILARIAÇI KENAR BAĞINTILARI7. ABC üçgeninin içindeki 7. ABC üçgeninin içindeki
herhangi bir P noktası için;herhangi bir P noktası için; Eğer ABC üçgeninin çevresi Eğer ABC üçgeninin çevresi
verilirseverilirse
Eğer ABC üçgeninin kenar Eğer ABC üçgeninin kenar uzunlukları (a,b,c) ayrı ayrı uzunlukları (a,b,c) ayrı ayrı verilirse verilirse
5151
DİK ÜÇGENDİK ÜÇGENBir açısının ölçüsü 90° olan üçgene Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene
dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde, m(A) = 90° [BC] kenarıdır. şekilde, m(A) = 90° [BC] kenarı hipotenüs [AB] ve [AC] kenarı hipotenüs [AB] ve [AC] kenarları dik kenarlardır.kenarları dik kenarlardır.
5252
PİSAGOR BAĞINTISIPİSAGOR BAĞINTISIDik üçgende dik kenarların Dik üçgende dik kenarların
uzunluklarının kareleri toplamı uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. ABC üçgeninde eşittir. ABC üçgeninde m(A) = 90° => m(A) = 90° => a^2=b^2+c^2a^2=b^2+c^2
5353
ÖZEL DİK ÜÇGENLERÖZEL DİK ÜÇGENLER(3 - 4 - 5) Üçgeni(3 - 4 - 5) ÜçgeniKenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya
bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi(6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi
(5 - 12 - 13) Üçgeni(5 - 12 - 13) ÜçgeniKenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve
bunların katı olan bütün üçgenler dik bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi.gibi.
Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.olan üçgenler dik üçgenlerdir.
Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.olan üçgenler dik üçgenlerdir.
5454
3. İkizkenar dik üçgen3. İkizkenar dik üçgenABC dik üçgen |ABC dik üçgen |
AB| = |BC| = a |AC| = aAB| = |BC| = a |AC| = a2 2 m(A) = m(C) = 45° m(A) = m(C) = 45°
İkizkenar dik üçgende hipotenüs İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarların dik kenarların 2 katıdır.2 katıdır.
5555
4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni4. (30° – 60° – 90°) Üçgeni(30° - 60° - 90°) dik (30° - 60° - 90°) dik
üçgeninde; 30°'nin üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki 60° nin karşısındaki kenar,30° nin karşısındaki kenar,30° nin karşısındaki kenarın kenarın 3 katıdır.3 katıdır.
5656
5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni(30° - 30° - 120°) üçgeninde (30° - 30° - 120°) üçgeninde
30° lik açıların karşılarındaki 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar açının karşısındaki kenar aa3 olur.3 olur.
5757
6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni (15° - 75° - 90°) üçgeninde (15° - 75° - 90°) üçgeninde
hipotenüse ait yükseklik |AH| = h hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 4h olur. dersek, hipotenüs |BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört katıdır.yüksekliğin dört katıdır.
(22,5 – 67,5 – 90 ) üçgeninde (22,5 – 67,5 – 90 ) üçgeninde hipotenüse ait yükseklik |AH| = h hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs |BC| = 2dersek, hipotenüs |BC| = 22.h 2.h olur. olur.
5858
ÖKLİT BAĞINTILARIÖKLİT BAĞINTILARIDik üçgenlerde hipotenüse ait Dik üçgenlerde hipotenüse ait
yüksekliğin verildiği durumlarda yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır. Yüksekliğin bağıntıları kullanılır. Yüksekliğin hipotenüste ayıldığı parçaların hipotenüste ayıldığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.
h^2 = p.k b^2 = k.a h^2 = p.k b^2 = k.a a.h =b.c c^2 = p.aa.h =b.c c^2 = p.a
5959
İKİZKENAR ÜÇGENİKİZKENAR ÜÇGENİkizkenar üçgenin tepe İkizkenar üçgenin tepe
açısından tabanına çizilen açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.kenarortaydır.
6060
Bir üçgende, açıortay aynı Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. ikizkenar üçgendir. ||AB| = |AC| AB| = |AC|
|BH| = |HC||BH| = |HC|
m(B) = m(C)m(B) = m(C)
6161
Bir üçgende, açıortay aynı Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. üçgen ikizkenar üçgendir. ||AB| = |AC|,AB| = |AC|,
[AH] ^ [BC][AH] ^ [BC]
m(B) = m(C)m(B) = m(C)
6262
Bir üçgende, yükseklik aynı Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. üçgen ikizkenar üçgendir. ||AB| = |AC|AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C)m(B) = m(C)
İkizkenar üçgende açıortay, İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.gereken bir özelliktir.
6363
İkizkenar üçgende ikizkenara ait İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.ayırdığı parçalarda eşit olur.
6464
İkizkenar üçgende ikizkenara ait İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.parçalar da birbirine eşittir.
6565
İkizkenar üçgende eşit açılara İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.bölerler.
6666
İkizkenar üçgende ikiz İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir. yüksekliği verir. |AB| = |AC| => |LC| = ||AB| = |AC| => |LC| = |HP| + |KP|HP| + |KP|
6767
İkizkenar üçgende tabandan İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir. kenarların uzunluğuna eşittir.
6868
EŞKENAR ÜÇGENEŞKENAR ÜÇGENEşkenar üçgende bütün Eşkenar üçgende bütün
açıortay, kenarortay yükseklikler açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir. eşittir. nA = nB = nC = nA = nB = nC =
Va = Vb = Vc = Va = Vb = Vc =
ha = hb = hcha = hb = hc
6969
Eşkenar üçgenin bir Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük kenarına a dersek yük seklik seklik
Bu durumda eşkenar Bu durumda eşkenar üçgenin alanı üçgenin alanı
yükseklik cinsinden yükseklik cinsinden alan değerialan değeri
Alan(ABC) = Alan(ABC) =
7070
Eşkenar üçgenin içindeki Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar kenarı a olan eşkenar üçgende; üçgende;
7171
Eşkenar üçgenin içindeki Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.Bir kenarı a olan ABC eşittir.Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgenindeeşkenar üçgeninde
7272
ÜÇGENDE ALANÜÇGENDE ALAN
1. TEMEL ALAN FORMULU 1. TEMEL ALAN FORMULU Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
Hangi kenarı kullanırsak kullanalım Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir.üçgenin alanı sabittir.
Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir. üçgenin içinde olmayabilir.
7373
2. Dik Üçgende Alan2. Dik Üçgende AlanDik üçgenin alanı dik kenarlarının Dik üçgenin alanı dik kenarlarının
çarpımının yarısına eşittir. çarpımının yarısına eşittir.
3. 3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;üçgenin alanı;
ABC üçgeninde ABC üçgeninde m(ABC) m(ABC) = = αα |AB| = c |BC| = a |AB| = c |BC| = a
7474
a.a. Birbirini 180° ye tamamlayan Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit açıların sinüsleri eşit olduğundan;olduğundan;
eşitliği vardır.eşitliği vardır.
7575
b.b. |BC| = a |AB| = c uzunlukları |BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır.için a = 90° olmalıdır.
7676
c. c. Hipotenüs uzunluğu sabit Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır. ABC |AB| = |AC| olmalıdır. ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.olmalıdır.
7777
4. 4. Üç kenarının uzunluğu verilen Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin üçgenin alanı; ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + c çevresi Çevre(ABC) = a + b + c Çevrenin yarısına Çevrenin yarısına uu dersek dersek
7878
5. 5. Çevresi ve iç teğet çemberinin Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun. yarıçapı r olsun.
Bu üç alanı toplayarak ABC Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz.üçgeninin alanını bulabiliriz.
A(ABC) =u.rA(ABC) =u.r
ABC dik üçgeninde ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|A(ABC) = |BD|.|DC|
7979
6.6. Kenarları ve çevrel Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun. merkezi O ve yarıçapı R olsun.
8080
Orta DikmeOrta DikmeÜçgenin kenarının orta Üçgenin kenarının orta
noktasından çizilen dik noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir. doğrulara orta dikme denir. [EA, a kenarının[FO, b [EA, a kenarının[FO, b kenarının[DO, c kenarının orta kenarının[DO, c kenarının orta dikmeleridir.O noktası çevrel dikmeleridir.O noktası çevrel çemberin merkezidir.çemberin merkezidir.
8181
7. 7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;alanları arasındaki bağıntı;
Yükseklikleri eşit üçgenlerin Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.oranına eşittir.
ABC ve ACD üçgenlerinin ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri olduğuna göre, yükseklikleri eşittir. eşittir.
8282
8. 8. Tabanları eşit üçgenlerin Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir. yüksekliklerinin oranına eşittir.
8383
8484
AÇIORTAYAÇIORTAYHerhangi bir açının ölçüsünü iki eş Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş
açıya bölen ışınlara açıortay açıya bölen ışınlara açıortay denir.Yandaki şekilde AOB açısını iki denir.Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir. denir. Açıortay üzerindeki herhangi bir Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,AOB bir açı,[OC açıortay[OC açıortaym(AOC) = m(COB)m(AOC) = m(COB) |AC| = |CB| AOC ve BOC eşüçgenler |AC| = |CB| AOC ve BOC eşüçgenler
olduğundan|OA| = |OB|olduğundan|OA| = |OB|
8585
İç Açıortay Bağıntısıİç Açıortay BağıntısıABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve
ANC üçgenlerinin [BC] tabanına göre, ANC üçgenlerinin [BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan yükseklikleri eşit olduğundan
olur .....olur .....(1)(1)ABN üçgeninde [AB] kenarına ait ABN üçgeninde [AB] kenarına ait
yükseklik ANC üçgeninde [AC] yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir. kenarına ait yüksekliğe eşittir.
olur .....olur .....(2)(2)[AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan
oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den olur olur
8686
İç Açıortay Uzunluğuİç Açıortay UzunluğuABC üçgeninde [AN] ABC üçgeninde [AN]
açıortay olmak şartıylaaçıortay olmak şartıyla
dir. Buradan dir. Buradan b.y=c.xb.y=c.x eşitliği de elde eşitliği de elde edilir.edilir.
ABC üçgeninde A köşesinden ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay uzunluğuna çizdiğimiz açıortay uzunluğuna nA dersek nA dersek
8787
Dış Açıortay BağıntısıDış Açıortay BağıntısıABC üçgeninde [AD], A ABC üçgeninde [AD], A
köşesine ait dış açıortaydır.köşesine ait dış açıortaydır.
8888
Dış Açıortay UzunluğuDış Açıortay UzunluğuABC üçgeninde [AD] dış ABC üçgeninde [AD] dış
açıortayının uzunluğuna nA açıortayının uzunluğuna nA dersekdersek
8989
İç açıortayla dış açıortay İç açıortayla dış açıortay arasındaki açıarasındaki açı m(DAE)=90° m(DAE)=90°
ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için[AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°2a + 2b = 180°a + b = 90° dir.a + b = 90° dir.[DA] ^ [AE][DA] ^ [AE]Bir üçgende iç açıortayların kesim Bir üçgende iç açıortayların kesim
noktası iç teğet çemberin merkezidir. noktası iç teğet çemberin merkezidir. P noktasının kenarlara uzaklığı P noktasının kenarlara uzaklığı
eşittir. Merkezden indirilen dikmeler eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur. iç teğet çemberin yarıçapı olur.
9090
ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI
Ağırlık MerkeziAğırlık MerkeziÜçgenlerde kenarortaylar Üçgenlerde kenarortaylar
bir noktada bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına kesişim noktasına ağırlık ağırlık merkezi merkezi denir.denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının ve [CF] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir.merkezi denir.
9191
ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI
a. a. Ağırlık merkezi Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak köşeye 2 birim olacak şekilde böler.şekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları noktaları bulundukları kenarların orta noktaları ve kenarların orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise G ağırlık merkezi ise eşitlikleri vardır.eşitlikleri vardır.
9292
ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI
bb. Bir üçgende iki . Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık oluşan nokta ağırlık merkezidir.merkezidir.
9393
ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI
c. c. ABC üçgeninde [AD] ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası ağırlık olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.merkezidir.
9494
ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI
d.d. ABC üçgeninde [AD] ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.merkezidir.
9595
ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI
e.e. ABC üçgeninde | ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF| eşitliğini |CG| = 2|GF| eşitliğini sağlayan G noktası ABC sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir.üçgeninin ağırlık merkezidir.
9696
ÜÇGENDE KENARORTAY ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARIBAĞINTILARI
Dik üçgende hipotenüse ait Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.yarısına eşittir.
ABC dik üçgeninde [BD] ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay|AG|=|hipotenüse ait kenarortay|AG|=|DC|=|BD|DC|=|BD|
9797
Kenarortayların Böldüğü Kenarortayların Böldüğü AlanlarAlanlar
a.a.Kenarortaylar üçgenin Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya alanını altı eşit parçaya bölerler.bölerler.
b.b.G ağırlık merkezi köşelere G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.üç eşit parçaya bölünür.
c. c. G ağırlık merkezi kenarların G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.üç eşit parçaya bölünür.
9898
Kenarortayların Böldüğü AlanlarKenarortayların Böldüğü Alanlar
ABC üçgeninde kenarortaylar ve ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x|KG| = x |GD| [FE] çizilirse |AK| = 3x|KG| = x |GD| = 2x eşitlikleri bulunur.K noktası = 2x eşitlikleri bulunur.K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.[AD] kenarortayının orta noktasıdır.
[FE] //[BC]2[FE]=[BC][FE] //[BC]2[FE]=[BC]a. a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve ABC üçgeninde kenarortaylar ve
[FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.alan bölünmesi oluşur.
b.b.Kenarların orta noktalarını Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.alanı dört eşit parçaya bölünür.
9999
Kenarortay UzunluğuKenarortay Uzunluğu5. 5. ABC üçgeninde A köşesinden ABC üçgeninde A köşesinden
çizilen kenarortayın uzunluğuna çizilen kenarortayın uzunluğuna Va dersek Va dersek
Bu bağıntı diğer kenarortaylar Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.Kenarortaylar içinde geçerlidir.Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsataraf tarafa toplanırsa
Kenarortaylar taraf tarafa Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa toplanırsa
101000
Dik Üçgende KenarortaylarDik Üçgende KenarortaylarA açısı 90° olan bir dik A açısı 90° olan bir dik
üçgende kenarortaylar üçgende kenarortaylar arasındaarasında
101011
1. Benzer Üçgenler1. Benzer Üçgenler Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları
orantılı olan üçgenlere orantılı olan üçgenlere benzer üçgenlerbenzer üçgenler denir.denir.
ABC ve DEF üçgenleri için;ABC ve DEF üçgenleri için; oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile
DEF üçgeni benzerdir denir veDEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.ABC ~ DEF biçiminde gösterilir. eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik
oranı yada benzerlik oranı yada benzerlik
katsayısı denir.katsayısı denir. k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı
kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenlereş üçgenler denir. denir.
ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.açıların sıralanmasına dikkat edilir.
101022
2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi
Karşılıklı ikişer açıları eş Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.olan üçgenler benzerdir.
şekilde verilen üçgenlerdeşekilde verilen üçgenlerdeİkişer açıları eş İkişer açıları eş
olduğundan, üçüncü açıları olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. benzer üçgenlerdir.
m(C)=m(F) m(C)=m(F)
101033
3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik 3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik TeoremiTeoremi
İki üçgenin karşılıklı ikişer İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.üçgenler benzerdir.
ABC üçgeni ile DEF ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.iki üçgen benzerdir.
101044
4. Kenar - Kenar - Kenar 4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik TeoremiBenzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı bütün İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.üçgen benzerdir.
Kenarları orantılı olan ABC ve Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar orantılı kenarları gören açılar eştir.eştir.
m(A) = m(D),m(A) = m(D),m(B) = m(E),m(B) = m(E),m(C) = m(F)m(C) = m(F)
101055
5. Temel Benzerlik Teoremi5. Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş olacağından yöndeş açılar eş olacağından
ADE ~ ABC dir. ADE ~ ABC dir.
Ağırlık merkezinden çizilen paralel Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC] ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]
|AK|=2|KB||AL|=2|LC||AK|=2|KB||AL|=2|LC|
101066
6. Tales Teoremi6. Tales TeoremiParalel doğrular kendilerini kesen Paralel doğrular kendilerini kesen
doğruları aynı oranda bölerler. d1 // d2 doğruları aynı oranda bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için// d3 doğruları için
[AB] // [DE] ise oluşan içters açıların [AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. Buradan, Buradan,
eşitliği elde edilir. Buna kelebek eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.benzerliği de denir.
101077
7. Benzerlik Özellikleri7. Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.elemanları orantılıdır.
ABC ~DEF Burada k ABC ~DEF Burada k ya benzerlik oranı ya benzerlik oranı denir.denir.
101088
a.a. Benzer Benzer üçgenlerde orantılı üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarlara ait yüksekliklerin oranı yüksekliklerin oranı benzerlik oranına benzerlik oranına eşittir.eşittir.
101099
b.b. Benzer Benzer üçgenlerde orantılı üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarlara ait kenar-ortay kenar-ortay uzunluklarının uzunluklarının oranı benzerlik oranı benzerlik oranına eşittir.oranına eşittir.
111100
c. c. Benzer Benzer üçgenlerde eş üçgenlerde eş açılara ait açılara ait açıortay açıortay uzunluklarının uzunluklarının oranı benzerlik oranı benzerlik oranına eşittir.oranına eşittir.
111111
d. d. Benzer Benzer üçgenlerin üçgenlerin çevrelerinin çevrelerinin oranı benzerlik oranı benzerlik oranına eşittir.oranına eşittir.
111122
e.e. ABC üçgeninde ABC üçgeninde içteğet çemberin içteğet çemberin yarıçapı rABC ve yarıçapı rABC ve çevrel çemberin çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı çemberin yarıçapı RDEF olsun.RDEF olsun.
111133
f. Alanlar oranıf. Alanlar oranıBenzer Benzer
üçgenlerin üçgenlerin alanlarının oranı alanlarının oranı benzerlik benzerlik oranının oranının karesine eşittir.karesine eşittir.
111144
g.g. Benzerlik oranı k = 1 olan Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.üçgenler eş üçgenlerdir.
Kenarları eşit aralıklı paralellerle Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar. olarak artar.
[AB] // [EF] // [DC] benzerlik [AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden, özelliklerinden,
|AB|.|FC|=|DC|.|BF||AB|.|FC|=|DC|.|BF|
111155
8. Özel Teoremler8. Özel Teoremlera. Menelaüsa. MenelaüsABC üçgeni KM doğru ABC üçgeni KM doğru
parçası ile şekildeki gibi parçası ile şekildeki gibi kesiliyor isekesiliyor ise
b. Seva b. Seva ABC üçgeni içerisinde ABC üçgeni içerisinde
alınan bir P noktası için,alınan bir P noktası için,
111166
111177
111188
111199
121200
121211
121222
121233
121244
121255
121266
121277
121288
121299
131300
131311
131322
131333
131344
131355
131366
131377
131388
131399
141400
141411
141422
141433
141444
141455
141466
141477
141488
141499
151500
151511
151522
151533
151544
151555
151566
151577
151588
151599
161600
161611
161622
161633
161644
161655
161666
161677
161688
161699
171700
171711
171722
171733
171744
171755
171766
171777
171788
171799
181800
181811
181822
181833
181844
181855
181866