Geometrijski liki in telesa

Geometrijski liki in telesa 1

Kazalo 1 Liki ...................................................................................................................................................................................................... 2

1.1 Pravokotnik .............................................................................................................................................................................. 2

1.2 Kvadrat .................................................................................................................................................................................... 2

1.3 Paralelogram............................................................................................................................................................................ 3

1.4 Romb ....................................................................................................................................................................................... 3

1.5 Deltoid ..................................................................................................................................................................................... 4

1.6 Trapez ...................................................................................................................................................................................... 4

1.6.1 Enakokraki trapez .......................................................................................................................................................... 4

1.6.2 Pravokotni trapez .......................................................................................................................................................... 5

1.7 Trikotnik: .................................................................................................................................................................................. 5

1.7.1 Enakokraki trikotnik (kota ob osnovnici sta enaka) ....................................................................................................... 5

1.7.2 Enakostranični trikotnik (vsi notranji koti merijo 60°) ................................................................................................... 6

1.7.3 Pravokotni trikotnik ....................................................................................................................................................... 6

1.7.4 Poljuben trikotnik .......................................................................................................................................................... 7

1.8 Krog ......................................................................................................................................................................................... 7

2 Telesa: ................................................................................................................................................................................................ 8

2.1 Prizma ...................................................................................................................................................................................... 8

2.1.1 Tristrana prizma ............................................................................................................................................................. 8

2.1.1.1 Pravilna 3-strana prizma ........................................................................................................................................... 9

2.1.2 Štiristrana prizma .......................................................................................................................................................... 9

2.1.2.1 Pravilna 4-strana prizma ........................................................................................................................................... 9

2.1.2.2 Kvader .................................................................................................................................................................... 10

2.1.2.3 Kocka ...................................................................................................................................................................... 11

2.2 Piramida ................................................................................................................................................................................. 11

2.2.1 3-strana piramida ........................................................................................................................................................ 12

2.2.1.1 Pravilna 3-strana piramida ..................................................................................................................................... 12

2.2.1.2 Enakorobna 3-strana piramida ............................................................................................................................... 13

2.2.2 4-strana piramida ........................................................................................................................................................ 13

2.2.2.1 Pravilna 4-strana piramida ..................................................................................................................................... 13

2.2.2.2 Enakorobna 4-strana piramida ............................................................................................................................... 14

2.3 Stožec .................................................................................................................................................................................... 14

2.3.1 Enakostaranični stožec ................................................................................................................................................ 15

2.4 Valj ......................................................................................................................................................................................... 15

2.4.1 Enakostranični valj ....................................................................................................................................................... 16

2.5 Krogla ..................................................................................................................................................................................... 16

Geometrijski liki in telesa 2

1 Liki

1.1 Pravokotnik

A,B,C,D so ogljišča pravokotnika

a je stranica pravokotnika

e in f sta diagonali pravokotnika in sta enako dolgi

OBSEG: o = 2a + 2b ; (a+a+b+b)

PLOŠČINA: p = ab

e=f = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

1.2 Kvadrat

Kvadrat je enakostranični pravokotnik

A,B,C,D so ogljišča kvadrata

a je stranica kvadrata

d je diagonal kvadrata

OBSEG: o =4a; (a+a+a+a)

PLOŠČINA: p =a2 ; (a*a)

d je diagonala. Kot med obema diagonalama kvadrata je 90°.

Torej kvadrat je sestavljen iz dveh pravokotnih trikotnikov

d = a 𝟐

Geometrijski liki in telesa 3

1.3 Paralelogram

Paralelogram je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih

stranic.Daljici, ki vežeta nasprotni oglišči paralelograma,

imenujemo diagonali, ki ju označimo z e in f.

OBSEG: 𝒐 = 𝟐 𝒂 + 𝒃

PLOŠČINA: 𝒑 = 𝒂𝒗𝒂

1.4 Romb

Romb je posebne vrste štirikotnik, je paralelogram, ki ima vse štiri stranice

enako dolge.

Daljici, ki vežeta nasprotni oglišči kvadrata, imenujemo diagonali, ki ju označimo

z e in f. Diagonali e in f se sekata pravokotno in se razpolavljata.

Diagonali e in f se izračuna s pomočjo Pitagorovega izreka, saj dobimo kar nekaj pravokotnih trikotnikov.

Pitagorov izrek: hipotenuza na kvadrat je enaka prva kateta na kvadrat plus druga kateta na kvadrat

𝒉𝟐 = 𝒌𝟏𝟐 + 𝒌𝟐

𝟐 .

Hipotenuza je najdaljša stranica v pravokotnem trikotniku ter je vedno nasproti pravega kota. Ostale dve

stranice sta kateti.

OBSEG: 𝒐 = 𝟒𝒂

PLOŠČINA: 𝒑 = 𝒂𝒗𝒂

Geometrijski liki in telesa 4

1.5 Deltoid

Deltoid je štirikotnik z dvema paroma enako dolgih

sosednjih stranic (a=b, c=d). Daljici, ki vežeta nasprotni

oglišči kvadrata, imenujemo diagonali, ki ju označujemo

z e in f. Diagonali e in f se sekata pravokotno, zato ju

lahko izračunamo s pomočjo pItagovorevega izreka.

OBSEG: 𝒐 = 𝟐(𝒂 + 𝒄)

PLOŠČINA: 𝒑 =𝒆𝒇

𝟐

1.6 Trapez

Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic, kjer sta a in c

osnovnici ter b in d kraka. s - srednjica je daljica, ki veže razpolovišči

krakov.

𝒔 =𝒂+𝒄

𝟐

OBSEG: 𝒐 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅

PLOŠČINA: 𝒑 = 𝒂+𝒄 𝒗

𝟐= 𝒔𝒗

1.6.1 Enakokraki trapez

V enakokrakem trapeze sta kraka b in d enako dolga (b = d). Diagonali e

in f sta ravnotako enako dolgi in se sekata pravokotno.

𝒔 =𝒂+𝒄

𝟐 𝒆𝒇 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅 𝒗𝟐 = 𝒃𝟐 −

𝒂−𝒄

𝟐 𝟐

OBSEG: 𝒐 = 𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 𝑎𝑙𝑖 𝒐 = 𝒂 + 𝟐𝒅 + 𝒄

PLOŠČINA: 𝒑 = 𝒂+𝒄 𝒗

𝟐= 𝒔𝒗

A B

C D

a

b d

=

=

=

=

=

=

0

0

0

0

0

c

𝑎 − 𝑐

2

𝑎 − 𝑐

2

f

e

s

v v

Geometrijski liki in telesa 5

1.6.2 Pravokotni trapez

V pravoktnem trapeze sta dva notranja prava kota in dva para

pravokotnih stranic, oziroma en krak d je pravokoten na obe osnovnici a,

c.

Diagonali e in f se sekata pravokotno

𝒔 =𝒂+𝒄

𝟐

OBSEG: 𝒐 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅

PLOŠČINA: 𝒑 = 𝒂+𝒄 𝒅

𝟐= 𝒅𝒔

1.7 Trikotnik:

1.7.1 Enakokraki trikotnik (kota ob osnovnici sta enaka)

A, B, C so ogljišča trikotnika

a, c sta stranici trikotnika

v je višina trikotnika

OBSEG: o= 2a+c; (a+a+c)

PLOŠČINA: 𝒑 =𝟏

𝟒 𝟐𝒂 + 𝒄 𝟐𝒂 − 𝒄 𝒄𝟐 ali 𝒑 = 𝒔 𝒔 − 𝒂 𝟐 𝒔 − 𝒄 ; 𝑘𝑗𝑒𝑟 𝑗𝑒 𝒔 =

𝟐𝒂+𝒄

𝟐

𝒗𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒄

𝟐 𝟐

Geometrijski liki in telesa 6

1.7.2 Enakostranični trikotnik (vsi notranji koti merijo 60°)

A, B, C so ogljišča trikotnika

a je stranica trikotnika (vse stranice so enake)

v je višina trikotnika

OBSEG: o= 3a; (a+a+a)

PLOŠČINA: 𝒑 = 𝒂𝟐 𝟑

𝟒

𝒗 = 𝒂 𝟑

𝟐

1.7.3 Pravokotni trikotnik

Pravokotni trikotnik je trikotnik, ki ima točno en pravi kot.

A, B, C so ogljišča trikotnika

a, b in c so stranice trikotnika

OBSEG: 𝒐 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄

PLOŠČINA: 𝒑 =𝒂𝒃

𝟐

S pomočjo Pitagovorevega izrega lahko zapišemo: 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Geometrijski liki in telesa 7

1.7.4 Poljuben trikotnik

A, B, C so ogljišča trikotnika

a, b in c so stranice trikotnika

Vsota notranjih kotov v poljubnem trikotniku je 180°, vsota

zunanjih kotov pa je 360°, torej:

α + β + γ = 180°

α' + β' + γ' = 360°

OBSEG: 𝒐 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄

PLOŠČINA: 𝒑 = 𝒔 𝒔 − 𝒂 𝒔 − 𝒃 (𝒔 − 𝒄) 𝑝𝑟𝑖 č𝑒𝑚𝑒𝑟 𝑗𝑒 𝒔 =𝒂+𝒃+𝒄

𝟐

1.8 Krog

Krog je množica točk v ravnini, ki so kvečjemu za polmer r oddaljene od središča (je

lik, ki ga omejuje krožnica).

S je središče kroga

r je polmer kroga (daljica od središča do krožnice)

R je premer kroga (daljica, ki povezuje dve točki na krožnici čez središče ter je dvakrat daljši od polmera)

𝜋 je približno enak 3,14

OBSEG: 𝒐 = 𝟐𝝅𝒓

PLOŠČINA: 𝒑 = 𝝅𝒓𝟐

Geometrijski liki in telesa 8

2 Telesa:

Osnovna ploskev VEDNO predstavlja nek lik . Računamo jo kot ploščino tega lika.

Plašč je nekaj kar obdaja osnovno/-e ploskev/-ve in jeVEDNO sestavljen iz enega ali

več geometrijskih likov ter predstavlja vsoto ploščin posameznih likov iz katerih je

sestavljen.

2.1 Prizma

Prizma je geometrijsko telo, ki ga omejujeta dva vzporedna in skladna n-

kotnika (to sta osnovni ploskvi) in n paralelogramov oz pravokotnikov (to je

plašč prizme).

P = površina; sestavljena je iz ploščine osnovnih ploskev plus plašča

V = prostornina; sestavljena je iz ploščine osnovne ploskve krat višina

pl = plašč, sestavljen iz vsote ploščin posameznih likov oz je obseg osnovne ploskve krat višina

S = osnovna ploskev

POVRŠINA: 𝑷 = 𝟐𝑺 + 𝒑𝒍

PROSTORNINA: 𝑽 = 𝑺𝒗

PLAŠČ: 𝒑𝒍 = 𝒐𝒗

2.1.1 Tristrana prizma

a, b in c so stranice lika, ki predstavlja osnovno ploskev (trikotnik), v je višina prizme

Pri 3-strani prizmi sta osnovni ploskvi VEDNO trikotnik (lahko je poljuben), plašč pa

je sestavljen iz treh pravokotnikov (v tem primeru stranice pravokotnika sta c in v)

𝑷 = 𝟐𝑺 + 𝒑𝒍; (S je ploščina trikotnika, 𝒑𝒍 = 𝒗 ∗ (𝒂 + 𝒃 + 𝒄))

𝑽 = 𝑺𝒗

Formula za površino, prostornino

in plašč velja za vse oblike prizem.

Geometrijski liki in telesa 9

2.1.1.1 Pravilna 3-strana prizma

Pri pravilni 3-strani prizmi osnovni ploskvi sta enakostranični trikotniki (vse

stranice trikotnika so enake)

𝑷 = 𝟐𝑺 + 𝒑𝒍; (S je ploščina enakostraničnega trikotnika, 𝒑𝒍 = 𝟑𝒂𝒗)

𝑽 = 𝑺𝒗

2.1.2 Štiristrana prizma

Osnovna loskev pri 4-strani prizmi je 4-kotnik

(kvadrat, pravokotnik, deltoid, paralelogram, romb)

POVRŠINA: 𝑷 = 𝟐𝑺 + 𝒑𝒍; (S je ploščina 4-kotnika,

𝑝𝑙 = 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑔 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑛𝑒 𝑝𝑙𝑜𝑠𝑘𝑣𝑒 ∗ 𝑣)

PROSTORNINA: 𝑽 = 𝑺𝒗

2.1.2.1 Pravilna 4-strana prizma

Osnovna ploskev je vedno kvadrat, plašč pa je sestavljen iz štirih pravokotnikov

POVRŠINA: 𝑷 = 𝟐𝑺 + 𝒑𝒍; (S je ploščina kvadrata, 𝒑𝒍 = 𝟒𝒂𝒗)

PROSTORNINA: 𝑽 = 𝑺𝒗

Geometrijski liki in telesa 10

2.1.2.2 Kvader

Kvader je določen z dolžino a, širino b in višino c.

Kvader je 4-strana prizma, ki ima za osnovno ploskev

pravokotnik.

𝑷 = 𝟐(𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄)

𝑽 = 𝒂𝒃𝒄

Diagonale kvadra delimo na

ploskovne diagonale d1 , d2 in d3, ki povezujejo nasprotni oglišči iste mejne ploskve.

Dolžine ploskovnih diagonal izračunamo: d1

2 = a2 + b2 d22 = b2 + c2 d3

2 = a2 + c2

telesno diagonalo d, ki povezuje dve nasprotni oglišči, ki ne ležita na isti ploskvi.

Dolžino telesne diagonale izračunamo: d2 = a2 + b2 + c2

Diagonalni presek: To je presek kvadra z ravnino, ki gre skozi nesosednja vzporedna robova. Kvadru lahko določimo tri diagonalne preseke:

Ploščina preseka: a*d2 Ploščina preseka: b*d3 Ploščina preseka: c*d1

Geometrijski liki in telesa 11

2.1.2.3 Kocka

Kocka je enakoroba, pravilna štiristrana prizma.

Osnovna ploskev je kvadrat, plašč je sestavljen iz 4

kvadratov. Torej v=a

𝑷 = 𝟔𝒂𝟐

𝑽 = 𝒂𝟑

Diagonali kocke: Mrežo kocke sestavlja šest kvadratov.

Ploščina vsakega kvadrata, ki je mejna ploskev kocke, ima ploščino a2.

Diagonalni presek : To je presek kocke z

ravnino, ki gre

skozi nesosednja vzporedna robova.

Diagonalni presek kocke je pravokotnik z dolžino d1 in širino a.

ploščina preseka = d1 *a

2.2 Piramida

Piramida je geometrijsko telo omejeno z osnovno ploskvijo in plaščem. Osnovna ploskev je poljuben n-kotnik, plašč pa je sestavljen iz trikotnikov, ki povezujejo osnovno ploskev s točko, ki jo imenujemo vrh piramide.

Stranice osnovne ploskve imenujemo osnovni robovi piramide. Vse ostale robove imenujemo stranski robovi.

Višina piramide je daljica, ki poteka od vrha do ravnine osnovne ploskve in je na to ravnino pravokotna.

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗

Ploskovna diagonala d1 povezuje nasprotni oglišči iste mejne ploskve. Dolžino ploskovne diagonale

izračunamo: 𝒅𝟏 = 𝒂 𝟐

Telesna diagonala d povezuje dve nasprotni oglišči, ki ne ležita na isti ploskvi. Dolžino telesne diagonale izračunamo: d2 = d1

2 + a2 ali

𝒅 = 𝒂 𝟑

Geometrijski liki in telesa 12

2.2.1 3-strana piramida

Osnovna ploskev 3-strane pirame je

lahko poljuben trikotnik

a, b, c so stranice trikotnika

v – je višina

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍 =𝒂(𝒗𝒂+𝒗𝟏)+𝒃𝒗𝟐+𝒄𝒗𝟑

𝟐

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗 =

𝒂𝒗𝒂𝒗

𝟔

V obeh primerih smo uporabili formula za ploščino poljubnega trikotnika: 𝒑 = 𝒂𝒗𝒂

𝟐=

𝒃𝒗𝒃

𝟐=

𝒄𝒗𝒄

𝟐

2.2.1.1 Pravilna 3-strana piramida

Pravilna tristrana piramida ima za osnovno ploskev enakostranični trikotnik ter

stranski rob s.

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍 =𝒂

𝟐 𝒂 𝟑

𝟐+ 𝟑𝒗𝒔

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗 =

𝒂𝟐𝒗 𝟑

𝟏𝟐

Geometrijski liki in telesa 13

2.2.1.2 Enakorobna 3-strana piramida

Enakoroba tristrana piramida ima za osnovno ploskev enakostranični trikotnik ter

stranski rob, ki ima enako dolžino kot stranica a.

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍 =𝒂𝟐

𝟐 𝟑

𝟐+ 𝟐

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗 =

𝒂𝟐𝒗 𝟑

𝟏𝟐

2.2.2 4-strana piramida

Štiristrana piramida ima za osnovno ploskev

pravokotnik, kjer je 𝑎 ≠ 𝑏 ter stranski rob s.

Ne pozabi: za računanje površine plašča potrebuješ

stransko višino. To izračunaš iz značilnega

pravokotnega trikotnika, ki ga omejujejo višina

piramide, stranska višina in polovica stranica osnovne

ploskve!!!

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍 = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒗𝒂 + 𝒃𝒗𝒃

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗 =

𝟏

𝟑𝒂𝒃𝒗

2.2.2.1 Pravilna 4-strana piramida

Pravilna štiristrana piramida ima za osnovno ploskev kvadrat ter stranski rob s.

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍 = 𝒂(𝒂 + 𝟐𝒗𝒔)

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗 =

𝟏

𝟑𝒂𝟐𝒗

Geometrijski liki in telesa 14

2.2.2.2 Enakorobna 4-strana piramida

Enakoroba štiristrana piramida ima za osnovno ploskev kvadrat ter stranski

rob, ki ima enako dolžino kot stranica a osnovne ploskve. Torej a = s.

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍 = 𝒂𝟐 𝟏 + 𝟑

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗 =

𝒂𝟑 𝟐

𝟔

2.3 Stožec

Stožec je okroglo geometrijsko telo, omejeno s

krogom kot osnovno ploskvijo in krivo ploskvijo,

ki je njegov plašč. Osnovna ploskev stožca je krog. Plašč valja je kriva ploskev. Če plašč pokončnega stožca razgrnemo v ravnino, dobimo krožni izsek.

v-višina stožca (je razdalja med vrhom (V) stožca in

ravnino osnovne ploskve) Plašč stožca

r-polmer osnovne ploskve

s-stranica stožca (je daljica, ki veže vrh (V) s poljubno točko na krožnici)

Osni presek pokončnega stožca je enakokraki trikotnik.

Krožni izsek: 𝒍 = 𝟐𝝅𝒓

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍 = 𝝅𝒓 𝒓 + 𝒔

𝒑𝒍 = 𝝅𝒓𝒔

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗 =

𝟏

𝟑𝝅𝒓𝟐𝒗

Prostornina stožca je enaka tretjini prostornine valja

Geometrijski liki in telesa 15

2.3.1 Enakostaranični stožec

V enakostraničnem stožcu je dolžina stranice enaka

premeru osnovne ploskve ( 2r = s ).

Njegov osni presek je enakostranični trikotnik.

𝒗 =𝟐𝒓 𝟑

𝟐 𝒂𝒍𝒊 𝒗 = 𝒓 𝟑

𝑷 = 𝑺 + 𝒑𝒍 = 𝟑𝝅𝒓𝟐

𝑽 =𝟏

𝟑𝑺𝒗 =

𝝅𝒓𝟑 𝟑

𝟑

2.4 Valj

Valj je okroglo geometrijsko telo, omejeno z dvema skladnima in vzporednima krogoma in eno krivo ploskvijo. Kroga imenujemo osnovni ploskvi, krivo ploskev pa plašč valja. Osnovni ploskvi sta skladna in vzporedna kroga. Plašč valja je

kriva ploskev. Če plašč pokončnega valja razgrnemo v ravnino, dobimo pravokotnik.

Razdaljo med ravninama osnovnih ploskev imenujemo višina valja. Višina valja je razdalja med ravninama osnovnih ploskev. Višino valja označimo z oznako v.

𝑷 = 𝟐𝑺 + 𝒑𝒍 = 𝟐𝝅𝒓(𝒓 + 𝒗)

𝑽 = 𝑺𝒗 = 𝝅𝒓𝟐𝒗

Geometrijski liki in telesa 16

2.4.1 Enakostranični valj

V eakostraničnem valju je višina valja enaka premeru osnovne ploskve (2r = v). Njegov osni presek je kvadrat.

𝑷 = 𝟐𝑺 + 𝒑𝒍 = 𝟔𝝅𝒓𝟐

𝑽 = 𝑺𝒗 = 𝟐𝝅𝒓𝟑

2.5 Krogla

Kroglo obdaja kriva ploskev - SFERA ali OBLA.

r – polmer krogle - je razdalja med središčem krogle in poljubno točko sfere.

S - središče krogle

Vsaka točka sfere je od središča krogle enako oddaljena.

Ko kroglo presekamo z ravnino, dobimo krog.

Površina krogle je po velikosti enaka plašču krogli očrtanega enakostraničnega valja.

𝑷 = 𝟒𝝅𝒓𝟐

𝑽 =𝟒

𝟑𝝅𝒓𝟑