PredmetMetodika nastave matematike II

Geometrija

Njena sistematizacija kroz istoriju

Profesor Studentdr Lucic Zoran Sarajlic Mina 121-01

1

1 Geometrija

Geometrija je grana matematike koja se bavi proucavanjem osobina imedusobnih odnosa prostornih oblika, geometrijskih tela, povrsina, linija itacaka. U svom prvobitnom znacenju geometrija se shvatala kao nauka ofigurama, o uzajamnom polozaju i razmerama njihovih delova, i takode otransformisanju figura.

2 Istorijski razvoj geometrije

Istorija geometrije seze do antickog doba, ali je njena kolevka nesumljivoIstok. Razvoj geometrije se moze podeliti na cetiri perioda, cije je granicenemoguce obeleziti odredenim datumima:1. period nastanka, do oko V veka stare ere2. period sistematskog izlaganja, anticka Grcka3. analiticka geometrija, od nastanka kapitalizma u Evropi4. izgradnja neeuklidskih geometrija, do danas.

3 Period nastanka

Geometrija se kao nauka prvi put pojavila u drevnom Egiptu, Vavilonijii Grckoj u vezi sa razvojem kulture premeravanja tla. Otuda i potice nazivgeometrije. Egipcani su razvili induktivan metod zakljucivanja od poje-dinacnog ka opstem (npr. primetili su da jedan trougao ima tri ugla, pa sunacrtali drugi trougao i primetili isto, itd. dok nisu zakljucili da svi trougloviimaju po tri ugla, tada su to uzeli za neku osnovnu vrednost - aksiomu). Re-ligiozni obredi su bili povezani s konstrukcijom zrtvenika (Delski problem), aprakticne potrebe ljudi ucinile su nuznim da se izmere povrsine delova zemlje,zapremine sudova i ostava za zetvu. Geometrijska razmatranja su se svodilana pravila izracunavanja povrsina i zapremina i treba pretpostaviti da suova pravila imala vise empirijski nego logicki karakter. U VII veku stare eregeometrijsko znanje je, po misljenju grckih istoricara, preneseno iz Egipta iVavilonije u Grcku. Oko IV-V veka p.n.e. Grcki filozofi su se poceli upoz-navati sa egipatskom i vavilonskom mudroscu. Od tada nastaje drugi periodrazvoja geometrije, period sistematskog izlaganja geometrije kao nauke, kadase sve tvrdnje(iskazi) dokazuju.

2

4 Period sistematskog izlaganja

U ovom periodu su vec poznate u Grckoj Talesove teoreme (VI vek stareere). Tales iz Mileta je putovao u Egipat i tamo od svestenika upoznao njihovegeometrijske i astronomske zakljucke o sumi uglova u trouglu, o upisanomuglu (u krug) itd. Grci su razvili novi metod zakljucivanja - deduktivanmetod (obrnuto od induktivnog - od opsteg ka pojedinacnom). Anaksagora(VI vek stare ere) se bavio kvadraturom kruga i perspektivom. Pitagoraje otkrio nesamerljive duzi (iracionalni brojevi). Pitagora je osnivac cuveneskole ”Polukrug”koja je dala veliki doprinos matematici. Pitagorejci su za-kljucili da je zbir uglova u trouglu 180 stepeni, otkrili su prvi, treci i cetvrtistav podudarnosti trougla, i naravno cuvenu Pitagorinu teoremu da je zbirkvadrata kateta u pravouglom trouglu jednak kvadratu hipotenuze, iz kojesu izvedene mnoge slozenije formule. Hipokrat Hionski (V vek stare ere),Pitagorin sledbenik, izlozio je sistematski geometriju (”Elementi geometrije”)i odredio povrsinu mesecevog srpa. Platon i njegov ucenik Aristotel (IV vekstare ere), ako i nisu ostavili nikakvih dela u geometriji, pridavali su velikiznacaj sistemu i osnovama geometrije. Platon je prvi po ceo da postavljaaksiome (osnovne zakone, koji se uzimaju pri izvodenju slozenijih), medutimu njegovo vreme mnogo aksioma su iskljucivale jedna drugu, i bilo je veomatesko znati sta je tacno, a sta ne. Tako je geometrija u Grckoj dostigla onajstepen kad je postalo nuzno da se ona sistematizuje. Sistematizaciju (ele-mentarne) geometrije je ucinio Euklid (III vek stare ere) izlozivsi je na baziosnovnih formulacija-aksioma u svojim znamenitim knjigama Elementi, kojeobuhvataju trinaest tomova.Euklid je koristio postulate:1.Pretpostavlja se da je moguce da se od svake tacke, do svake druge tackemoze povuci linija2.Pretpostavlja se da je moguce da se svaka prava, prateci njen pravac,produzi neograniceno3.Pretpostavlja se da je moguce da se oko svake tacke u nekoj ravni mozeopisati krug bilo kojeg precnika4.Pretpostavlja se da su svi pravi uglovi medu sobom podudarni. Ako sepravom preseku dve prave, tako da grade unutrasnje uglove ciji je zbir manjiod zbira dva prava ugla, tada se te dve prave seku sa one strane, sa koje se tiuglovi nalaze. Posle Euklida javlja se u Grckoj niz istaknutih matematicara:Arhimed, Apolonije, Eratosten i drugi, koji su obogatili geometriju novim

3

otkricima. Raspad antickog robovlasnickog uredenja doveo je do zastoja urazvoju geometije u Grckoj, ali se ona i dalje razivjala u zemljama arapskogIstoka, u srednjoj Aziji i Indiji.

5 Nastanak analiticke geometrije

Nastanak kapitalizma u Evropi je doveo do novog, treceg perioda razvojageometrije. U prvoj polovini XVII veka nastala je analiticka geometrija,ciji su tvorci bili Dekart i Ferma. Analiticka geometrija izucava svojstva ge-ometrijskih figura na osnovu njihovih algebarskih jednacina, oslanjajuci se nakoordinatni metod. U vezi s razvojem diferencijalnog racuna i ispitivanjemgeometrijskih svojstava figura lokalnog karaktera ponikla je u XVIII vekudiferencijalna geometrija u delima Ojlera i Monza. Radovima Z. Dezarga iB. Paskala rada se u prvoj polovini XVII veka projektivna geometrija, kojaje nastala u pocetku pri izucavanju predstava perspektive i posle toga serazvijala pri izucavanju onih svojstava figura koje se ne menjaju ako se figu-re projektuju s jedne ravni na drugu iz bilo koje tacke prostora (centralnaprojekcija), i na kraju bila zavrsena radovima Z. Ponselea.

6 Izgradnja neeuklidskih geometrija

Cetvrti period razvoja geometrije obelezen je izgradnjom neeuklidovihgeometrija od kojih je prva bila geometrija Lobacevskog koju je Lobacevski iz-gradio istrazujuci osnove geometrije, i posebno, aksiome o paralelnim pravama.Sadrzaj svoje geometrije Lobacevski je prvi put izneo na sednici fizicko-matematickog fakulteta Kazanskog univerziteta 1826. godine. Rad je biopublikovan 1829. g. Madarski matematicar Janos Bojai je publikovao rad oistom ovom pitanju, u manje razvijenoj formi, 1832. godine. Od nastankageometrije Lobacevskog uloga aksiomatickog metoda u matematici uopste i ugeometriji posebno postala je veoma znacajna. Euklidova geometrija (obicnaelementarna geometrija koja se izucava u skoli) je posle toga dobila takodesvoju aksiomaticku osnovu. Hilbert je na kraju XVIII veka prvi postaviokonkretan sistem aksioma Euklidove geometrije, tzv. Hilbertove aksiome.Aksiomatske osnove dobile su i druge geometrija: Lobacevskog, projektivna,afina, visedimenzionalna Euklidova (n dimenzija) i drude.

4

7 Teorija relativnosti

Istoricari prirodnih nauka jos uvek nisu resili dilemu da li je specijalnarela-tivnost zaceta u danas cuvenom Ajnstajnovom clanku iz 1905. godine,ili je postojala i ranije u radovima Lorenca (Lorentz) i Poenkarea (Poincar).Ustvari pojam ”odgovarajucih stanja”koji Lorenc koristi u svom clanku iz1904. u mnogo cemu je preteca relativistickih ideja, mada se jos uvek oslanjana besmisleni pojam etra. Medutim, medu istoricarima ima veoma malodilema oko tvrdnje da je Ajnstajn skoro potpuno sam stvorio opstu teorijurelativnosti. Isto tako moze se reci da koreni ove teorije leze u dalekoseznimgeometrijskim istrazivanjima G. F. Rimana (G. F. B. Riemann), koji je sasvoje strane bio inspirisan Gausovim (Gauss) remek delom Disquistionesge-nerales circa superficies curvas, o diferencijalnoj geometriji zakrivljenihpovrsi. Glavna tema u opstoj teoriji relativnosti je da prisustvo materije uticena geometriju prostora, koji, usled toga prestaje da bude eulidski. Ajnstajn jeimao prethodnike koji su imali cudne, snazne slutnje o buducem toku razvojanauke. Riman se jedno vreme poigravao idejom da je realni prostor zakrivl-jen. Poznati fizicar i fiziolog Helmholc (H. Helmholtz, 1821-1894.) istrazivaoje fizicke aspekte Rimanove teorije, i postavio je, na osnovu astronomskihposmatranja, granice moguce zakrivljenosti prostora. Geometar Kliford (W.K. Clifford, 1845-1879.) zamisljao je materiju kao talasanje u zakrivljenomprostoru. Mnoge njegove ideje kasnije su se ponovo pojavile u opstoj rel-ativnosti. Svi ovi pokusaji, koliko god da budu briljantni, bili su preuran-jeni. Fizicarima je nedostajao pojam prostorno-vremenske visestrukosti, atakode nije bila shvacena kljucna uloga elektrodinamike. Potpuno stvaranjerelativisticke teorije gravitacije desilo se tek na kraju Prvog svetskog rata.Ajnstajn nije lako dosao do krajnjih rezultata. Bile su mu potrebne godineintelektualnih lutanja dok je otkrio oblik jednacina polja. Neki od njegovihnajboljih kolega i prijatelja su cak smatrali da je skrenuo, zanet nekom neost-varljivom fantazijom. Moze se pretpostaviti da ga je princip ekvivalentnostiinteresovao cak 1911. godine. Kad se vratio iz Praga u Cirih, 1912. godine,sreo je Marsela Grosmana (M. Grossmann) i poceo da proucava Gausovekrivolinijske koordinate i njihova uopstenja. Preko Grosmana upoznao je iapsolutni diferencijalni racun, koji su razvili italijanski matematicari Gre-gorio Rici i Tulio Levi - Civita (G. Ricci, T. Levi - Civita). Iz istorijskihizvora je poznato da je Luidi Bijanki (L. Bianchi), veoma uticajna licnostmedu matematicarima onog doba u Italiji, bio veoma skeptican kriticar ap-

5

solutnog diferencijalnog racuna, tako da je ova matematicka tehnika steklazaslueno priznanje tek zahvaljujuci razvoju teorije relativnosti. Posle nizaneuspesnih poksaja, konacna verzija teorije bila je zavrsena 1916. godine,samo godinu dana posto je Karl Svarcsild (K. Schwarzchild) nasao resenjejednacina gravitacionog polja koje danas nosi njegovo ime. Spektakularnupotvrdu ispravnosti, teorija je dobila 1919. godine, kada je jedna ekspedi-cija na Princevo ostrvo (Prince Island), pod vodstvom Edingtona, prilikomposmatranja pomracenja Sunca uspela da izmeri skretanje svetlosnih zrakau gravitacionom polju Sunca.

8 Podela geometrije

Danas geometrija sadrzi mnogobrojne geometrije i teorije, izmedu kojihnema tacnih granica. Pri tome se pojedine geometrijske teorije usko preplicus analizom (diferencijalna geometrija), s teorijom skupova (teorija skupovatacaka, topologija). Svaka geometrija se razlikuje od druge prema tome kakavprostor izucava (Euklidov, Lobacevskovljev), kakvim metodama se sluzi (naprimer,analiticka teorija krivih drugog reda u analitickoj geometriji, ili cistogeometrijska, sinteticka teorija krivih drugog reda u Sintetickoj geometriji),kakve objekte (figure) ili njihova svojstva izucava (na primer, mogu se razma-trati poliedri i njihova svojstva, krive i povrsi, itd). Pitanja metrike (merenjeduzina, uglova i povrsina) dovode do pojma metricke geometije, dok pitanjaincidencije (pripadanja, rasporeda) dovode do pojma geometrije polozaja, tj.projektivna geometrija. Pitanja o osnovama geometrije dovode do odeljka el-ementarna geometrije, koja izucava njene logicke osnove, njenu aksiomatikui ustrojstvo. Ova naucna disciplina se naziva osnovima geometrije. Svakaod geometrija moze se okarakterisati (definisati), po predlogu Klajna ( Er-langenski program), odgovarajucom grupom onih transformacija koje onaizucava. Tako se elementarna geometrija karakterise grupom Euklidovih kre-tanja, afina - grupom afinih transformacija, projektivna - grupom svih kolin-eacija (projektivnih transformacija).

6

9 Euklidova geometrija

Geometrija izgradena na aksiomama apsolutne geometrije i Euklidovomaksiomu (postulatu) o paralelnim pravama: kroz tacku A koja ne lezi napravoj a, u ravni koja je odredena tackom A i pravom a, moze se povucisamo jedna prava koja ne sece pravu a. Euklidovu geometriju cesto nazivajuelementarna geometrija. Geometriju koja se izucava u srednjoj skoli takodenazivaju Euklidova geometrija i to je u vezi s cinjenicom da je njenu prvusistematsku izgradnju izlozio starogrcki geometar Euklid u III veku pre n.e.u svojoj knjizi Elementi ( Euklidovi Elementi). Prva geometrija razlicita odEuklidove geometrije bila je geometrija Lobacevskog, koju je izgradio velikiruski matematicar Lobacevski.

10 Elementarna geometrija

Geometrija odredena u osnovi grupom kretanja i grupom slicnosti. Sadrzajelementarne geometrije ne iscrpljuje se navedenim transformacijama. U ele-mentarnoj geometriji izucavaju se takode transformacija inverzije, elementisferne geometrije, elementi geometrijskih konstrukcija, teorija merenja ge-ometrijskih velicina i druge oblasti matematike. Medutim, ne postoji cakni priblino jasno skiciran sadrzaj elementarne geometrije. Elementarna ge-ometrija poput drugih geometrija, nastavlja se razvijati i danas. U vecinisrednjoskolskih programa, elementarna geometrija se naziva Euklidova ge-ometrija ili euklidovska geometrija.

11 Osnovne oblasti geometrije

1.Planimetrija - geometrija ravni2.Stereometrija (trodimenziona geometrija) prostora3.Trigonometrija - merenje uglova i duziRavninska trigonometrija - na Euklidskoj ravniSferna trigonometrija - na sfernim povrsinamaHiperbolicka trigonometrija - na pseudosferamaHiperbolicke funkcije - sinus, kosinus, ..., kosekans hiperbolni4.Analiticka geometrija - izrazavanje koordinatama5.Diferencijalna geometrija - proucavanje metodama diferencijalnog racuna.

7

12 Planimetrija

Planimetrija(latinski: planum - ravan, grcki: µετρεω - merim) je deo ele-mentarne geometrije u kojem se izucavaju svojstva figura koje leze u ravni. Usrednjoj skoli, u nastavi matematike, obicno se nakon planimetrije prelazi naizucavanje drugog dela elementarne geometrije - stereometrije, koja izucavasvojstva figura u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru. Metodika nas-tave matematike, kada se oba dela elementarne geometrije izucavaju is-tovremeno, naziva se fuzionizam. Najpotpunije, sistematizovano izlaganjeplanimetrije prvi put je bilo sprovedeno u knjizi Elementi starogrckog naucnikaEuklida.Osnovni pojmovi planimetrije su:1. Mnogougao (poligon)2. Elementi pravilnih mnogouglova3. Trougao4. Pravougli trougao5. Cetvorougao6. Paralelogram7. Pravougaonik i kvadrat8. Romb9. Trapez10. Kruznica11. Odsecak (segment) i isecak (sektor) kruga12. Kruzni prsten

12.1 Mnogougao

Mnogougao(poligon) je zatvorena izlomljena linija. Segmenti izlomljenelinije nazivaju se stranice mnogougla, a krajevi segmenata - temena. Zbirunutrasnjih uglova mnogougla je 360, n-to ugla je 180(n-2), gde je n = 3, 4,5, ...

8

AD

BC

EF

a

S

Mnogougao

Zbir spoljasnjih uglova je 360. Povrsinu odredujemo tako da mnogougaorastavimo na trouglove. Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i sviuglovi medusobno jednaki. Druga definicija, mnogougao je pravilan, ako seoko njega i u njega moze upisati kruznica. Za pravilne mnogouglove sa nstranica vazi: centralni ugao α=360/n; spoljasnji ugao β=360/n; unutrasnjiugao γ=180-β; ako je R poluprecnik opisane i r poluprecnik upisane krunice(apotema), onda je stranica

a = 2√

R2 − r2 = 2R sinα

2

Povrsina pravilnog n-to ugla je:

P =1

2nar = nr2 tan

α

2=

1

2nR2 sin α

12.2 Trougao

Nejednakost trougla: zbir dve stranice trougla uvek je veci od trece stra-nice

b + c > a.

Zbir uglova u trouglu jednak je ispruzenom uglu

α + β + γ = 180.

9

A B

C

A1

ta

b

c

Trougao

Trougao je potpuno odreden ako su zadate sve tri stranice; dve stranice iugao medu njima; stranica i dva ugla na njoj; ako su zadate dve stranice iugao nasuprot jednoj od tih stranica, onda su odredena dva, jedan ili nijedantrougao. Tezisna linija (medijana) trougla je duz (prava) koja spaja vrh sasredinom suprotne stranice trougla. Teziste je tacka u kojoj se seku tezisnice.Teziste deli tezisnicu u odnosu 2:1 pocev od vrha.Duzina tezisne linije na stranicu a je:

ta =

√

2(b2 + c2) − a2

2.

Simetrala ugla trougla je duz (prava) koja polovi unutrasnji ugao trougla.Simetrale uglova seku se u jednoj tacki koja je centar upisane kruznicetrougla.Duzina simetrale ugla α je:

Sα =

√

bc[(b + c)2 − a2]

b + c

Ako simetrala ugla deli stranicu a na odsecke m i n, onda je

m : n = c : b.

Visina trougla je spustena iz vrha trougla na suprotnu stranicu. Ortocentarje tacka u kojoj se seku visine trougla.

10

A B

C

H

Ortocentar

Centar opisane kruznice trougla je tacka preseka simetrala stranica trougla.Tezisnica, visina i simetrala ugla, ka istoj strani trougla, podudaraju seako su druge dve stranice trougla jednake, tj. ako imamo jednakokrakitrougao. Obrnuto, ako se dva od tih pravaca podudaraju, trougao ce bitijednakokrak. Jednakostranicni trougao je onaj kod kojeg su sve tri stranicejednake (a=b=c). Sva tri njegova ugla su po 60 stepeni. U njemu se podu-daraju sve cetiri znacajne tacke trougla: teziste, ortocentar, centar upisanekruznice, centar opisane kruznice. Srednja linija trougla (sredisnjica) je duz(prava) koja spaja sredine dve stranice trougla. Ona je paralelna sa trecomstranicom trougla i jednaka polovini njene duzine. Povrsina trougla:

P =aha

2=

ab sin γ

2= rp =

abc

4R=

√

p(p − a)(p − b)(p − c)

p =a + b + c

2

gde je poluobim, r poluprecnik upisane, R poluprecnik opisane kruznicedatog trougla. Trouglovi (mnogouglovi, sa jednakim brojem stranica) suslicni ako su im odgovarajuci uglovi jednaki i odgovarajuce stranice pro-porcionalne. Za slicnost trouglova dovoljno je da su ispunjena dva od ovihuslova: (1) tri stranice jednog trougla proporcionalne su trima stranicamadrugog trougla; (2) dva ugla jednog trougla jednaki su sa dva ugla drugogtrougla; (3) dve stranice jednog trougla proporcionalne su sa dve stranicedrugog trougla, a uglovi medu njima su jednaki. Povrsine slicnih likovaproporcionalne su kvadratima odgovarajucih linearnih elemenata (stranica,visina, dijagonala itd.)

11

12.3 Pravougli trougao

Za pravougli trougao vezujemo Pitagorinu teoremu:

a2 + b2 = c2

A B

C

H pq

ab

Pravougli trougao

Povrsina pravouglog trougla je:

P =1

2ab =

1

2b2 tanα =

1

4c2 sin 2α

12.4 Cetvorougao

Zbir (unutrasnjih) uglova svakog konveksnog cetvorougla je 360 stepeni.Povrsina cetvorougla je:

P =1

2d1d2 sin α

B

C

A

D

a

bd1

d2

a

c

d

Cetvorougao

Tangentni cetvorougao je onaj u kojeg mozemo upisati kruznicu. U cetvorougaomozemo upisati kruznicu ako i samo ako je a + b = c + d. Tetivni cetvorougao

12

je onaj oko kojeg se moze opisati kruznica. Oko cetvorougla mozemo opisatikru”nicu tada i samo tada ako je

α + β = γ + δ = 180,

tj. ako su mu naspramni uglovi suplementni. Za upisani cetvorougao je

a + b = d1d2.

Povrsina upisanog cetvorougla je:

P =√

p(p − a)(p − b)(p − c)(p − d)

p =a + b + c + d

2

gde je poluobim cetvorougla.

12.5 Paralelogram

Paralelogram je cetvorougao koji ima jednu od sledecih osobina: suprotnestranice su paralelne; suprotne stranice su jednake; jedan par suprotnih stra-nica je paralelan i jednak; dijagonale se polove (seku se u tacki koja je sredinasvake od njih posebno) suprotni uglovi su jednaki.

B

C

A

D

H a

bd1

d2

Sh

Paralelogram

Dijagonale i stranice paralelograma su u relaciji:

d21 + d2

2 = 2(a2 + b2)

Povrsina paralelograma je:P = ah.

13

12.6 Pravougaonik i kvadrat

Paralelogram je pravougaonik ako ima: sve uglove jednake, jednake di-jagonale. Svaka od dve navedene osobine je posledica one druge.

B

C

A

D

a

bd

Pravougaonik

Povrsina pravougaonika je:P = ab

gde su a,b susedne stranice. Pravougaonik je kvadrat, ako su mu susednestranice jednake.Osobine kvadrata su:

a = b

d =√

2a

Povrsina kvadrata je:

P = a2 =1

2d2.

12.7 Romb

Paralelogram je romb ako ima: sve stranice jednake; dijagonale medusobnonormalne. Dijagonale su simetrale uglova. Kada je ispunjeno jedno od ovihosobina onda su kao posledica ispunjena i ostala dva.

14

B

C

A

D

H

a

d1

d2

Sh

Romb

Povrsina romba je:

P = ah = a2 sin α =1

2d1d2.

12.8 Trapez

Trapez je cetvorougao koji ima jedan par paralelnih strana. Paralelnestrane trapeza nazivaju se osnovice, a neparalelne su kraci trapeza. Neka sua i b su osnovice trapeza, h visina, m je srednja linija (sredisnjica), tj. duzkoja spaja sredine neparalelnih stranica. Ona je paralelna sa osnovicama ijednaka njihovom poluzbiru,

m =a + b

2

Povrsina trapeza je:

P =a + b

2h = mh

B

C

A

D

H a

b

hc d

Trapez

15

Trapez je jednakokrak ako je d = c. U tom slucaju je:

P = (a − c cos γ)c sin γ = (b + c cos γ)c sin γ.

12.9 Kruznica

Kruznica k ima poluprecnik (radijus) i precnik (dijametar). Tetiva jeduz koja spaja dve tacke na kruznici (AB). Centralni ugao ACB dvostrukoje veci od perifernog APB nad istom tetivom AB. Tangenta je prava t kojadodiruje kruznicu u (jednoj) tacki A. Ugao izmedu tangente i tetive u istojtacki jednak je perifernom uglu nad istom tetivom. Secica (sekanta) je pravakoja sece kruznicu.Ugao izmedu tetiva jednak je poluzbiru centralnih uglovanad krajevima tih tetiva.

P =a + b

2h = mh

C

k

A B

t

P

Kruznica

Za tetive AB i CD koje se seku u tacki E vazi:

EA · EB = EC · ED

gde je r poluprecnik kruznice, a m je udaljenost od centra kruga do tackepreseka tetiva E. Ugao izmedu secica jednak je polurazlici centralnih uglovanad krajevima pridruzenih tetiva. Ugao izmedu tangente i secice jednak jepolurazlici centralnih uglova nad krajevima pridruzene tetive i dodirne tacketangente. Ugao izmedu tangenti jednak je polurazlici centralnih uglova nad

16

dodirnim tackama tangenti. Moc tacke u odnosu na krug je broj jednakproizvodu duzina odsecaka

MA · MB

svake secice koja prolazi kroz tacku M i preseca kruznicu u tackama A i B.Moc tacke se naziva i potencija tacke u odnosu na krug. Za obim kruga s ipovrsinu kruga P (r je poluprecnik, d je precnik) vazi:

s = 2rπ

P = r2π

Broj π je odnos obima i precnika kruga, tj:

π =s

d= 3, 14159265...

12.10 Odsecak (segment) i isecak (sektor) kruga

Za poluprecnik r kruga, duzinu luka l, tetivu a, centralni ugao α u ste-penima i visinu segmenta h vaze izrazi:

a = 2√

2hr − h2 = 2r sinα

2

h = r −√

r2 − a2

4=

a

2tg

α

2

Povrsina isecka (sektora):

Pi =r2π

360

Povrsina odsecka (segmenta):

Po =r2

2(πα

180− sin α)

Priblizno je:

Po =h

15(6a + 8b).

17

12.11 Kruzni prsten

Kruzni prsten prikazan je kruzni prsten. Precnik veceg kruga je D = 2R,

precnik manjeg kruga d = 2r, srednji poluprecnik

ρ =R + r

2

sirina prstena b = R - r. Povrsina kruznog prstena:

P = π(R2 − r2) =π

4(D2 − d2) = 2π.

Povrsina dela kruznog prstena sa centralnim uglom φ u stepenima je:

Pφ =φπ

360(R2 − r2) =

φπ

140(D2 − d2) =

φπ

180.

13 Stereometrija

Stereometrija je deo elementarne geometrije koja izucava svojstva figurasmestenih u prostoru. U oblike stereometrije spadaju:kocka, kvadar, pi-ramida, prizma, valjak, lopta, kupa, zarubljena kupa, kuglina kapa, sferniisecak.

13.1 Kocka

Geometrijsko telo koje je jedno od Platonovih tela. Kocka spada u par-alelepipede, to je pravilna cetverostrana prizma. Sastoji se od sest jednakihkvadrata, njenih stranica. Mreza kocke sastoji se od 6 jednakih kvadrata.

18

A B

CD

A′ B′

C′D′

Kocka

Formule:(a - duzina stranice)V (zapremina): a3

O (obim): 6a2

d (manja dijagonala): a√

2D (prostorna dijagonala): a

√3

r (radijus upisane kruznice): a2

R (radijus opisane kruznice):√

3a2

13.2 Kvadar

Geometrijsko telo ograniceno sa sest medusobno normalnih pravougaonihpovrsi. Ove povrsi se dele na tri para medusobno naspramnih, paralelnihi jednakih povrsi, koje se mogu opisati sa tri duzine a, b i c (c je nekadoznacceno i sa h). Ove tri duzine se jos redom zovu sirina, duzina i visinakvadra.

19

A B

CD

A′ B′

C′D′

a

b

c

Kvadar

Specijalan slucaj kvadra kome su sve ivice jednake se zove kocka.Formule:Povrsina S = 2(ab + ac + bc),Zapremina V = abc,

Male dijagonale dab =√

a2 + b2 dac =√

a2 + c2 dbc =√

b2 + c2

Velika dijagonala d =√

a2 + b2 + c2

Polupreccnik opisane sfere ro = d2

= 12·√

a2 + b2 + c2

Ugao izmedu velike dijagonale i baze ϕ = arctan dab

c

13.3 Piramida

Piramida je poliedar ogranicen osnovom i stranicama koje se spajaju ujednoj tacki - temenu, koje se nalazi na suprotnoj strani od osnove. Piramidamoze biti pravilna ili nepravilna. Pravilna piramida je ona kod koje osnovucini pravilan mnogougao. Piramida moze biti prava ili kosa. Prava piramidaje ona kod koje se projekcija temena na osnovu poklapa sa tezistem osnove.Povrsina piramide jednaka je zbiru povrsina osnove i stranica. Osnova mozebiti bilo koji mnogougao, dok su stranice zapravo trouglovi.

20

A B

A′ B′

H

V

S

Piramida

Povrsina piramide se izracunava:

P = B + M

M - povrsina omotacaZapremina piramide se racuna po formuli:

V =B ∗ H

3

B - povrsina osnove H - visina piramide

13.4 Prizma

Obim i povrsina prizme:

O = 2B + P

V = B ∗ h

B-je povrsina baze,P je povrsina omotaca,h-visina.

13.5 Valjak

Valjak je konveksna geometrijska prostorna figura koja se moze definisatikao neprekidna familija elipsi koje pripadaju medusobno paralelnim ravnima,

21

imaju iste parametre oblika, a centri su im rasporedeni na jednoj neprekid-noj pravoj ili duzi. Prava koja sadrzi sve centre elipsi valjka se zove osavaljka, a radijusi elipsi su takode radijusi valjka. Ove elipse mogu biti ikrugovi. U ovom sluccaju se valjak jos zove kruzni valjak. U zavisnosti odtoga da li su ravni koje sadrze elipse koje cine valjak normalne na osu valjkaili ne, valjak moze biti prav ili kos. Povrsina valjka se odreduje kao zbirpovrsine omotaca valjka i dve njegove baze. Povrsina omotaca se odredujekao proizvod obima bazne elipse i duzine ivice valjka. Duzina ove ivice je istvari jednaka duzini osne duzi koja sadrzi centre elipsa. Zapremina valjka seodreduje kao proizvod povrsine bazne elipse i visine valjka. Visina valjka seodreduje kao maksimalno rastojanje izmedu dve ravni koje sadrze dve elipsevaljka.

O

O′

r

h

Valjak

Kod pravog kruznog valjka ovi izrazi izgledaju ovako:Povrsina

P = 2rπ · h + 2 · r2π = 2rπ (h + r)

ZapreminaV = r2π · h

gde su r - poluprecnik baznog kruga i h - visina valjka.Kod kosog kruznog valjka ovi izrazi izgledaju ovako:

P = 2rπ · h

sin α+ 2 · r2π = 2rπ

(

h

sin α+ r

)

= 2rπ (l + r)

V = 2r2π · h = 2r2π · l sin α

gde su r - polupreccnik baznog kruga, h - visina valjka, l - duzina ivice valjka,α - ugao koji zaklapaju ivica i ravan baze valjka.

22

13.6 Lopta

Lopta je geometrijsko telo, ograniceno sferom. Lopta se moze posmatratikao kao telo dobijeno obrtanjem kruga oko svoga precnika. Loptin isecak jegeometrijsko telo, dobijeno obrtanjem kruznog isecka oko dijametra precnikakoji nema unutrasnjih tacaka sa lukom kruznog isecka. Svaki presek lopte saravni jeste krug.Povrina povri lopte (povrsina sfere) poluprecnika r odreduje se formulom

S = 4πr2

Zapremina lopte je

V =4

3πr3.

O

r

l

Lopta

Lopta sa centrom O(a,b,c), i poluprecnikom r je geometrijsko mesto tacaka(x,y,z), prostora, cije koordinate zadovoljavaju uslov:

0 ≤√

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 ≤ r

Sferna kalota je deo sfere koji se nalazi sa jedne strani ravni koja sece sferu.Ako je R poluprecnik sfere i H visina odgovarajue kalote tada je povrsinakalote

P = 2 · R · π · HLoptin odsecak je deo lopte ogranicen ravni koja sece loptu i odgovarajucomkalotom. Kad ravan prolazi kroz centar lopte dobivaju se dve polulopte. Akoje R poluprecnik lopte i H visina odgovarajueg otsecka tada je zapremninaotsecka

V =π · h2

3· (3R − h)

23

Loptin sloj je deo lopte ogranicen dvema paralelnim ravnima koje seku loptui odgovarajucom zonom.Ako su r1 i r2 poluprecnici osnova i h visina loptinog sloja tada je zapreminaloptinog sloja

V =π · h

6· (3r2

1 + 3r22 + h2)

Ako je R poluprecnik lopte tada je njena zapremina

V =4

3R3π.

Ako je R poluprecnik sfere tada je njena povrsina

P = 4R2π.

14 Trigonometrija

Trigonometrija(latinski trigonon - trougao, metron - mera) je deo matem-atike koji izucava zavisnost izmedu strana i uglova trougla (trigonometrijau uzem smislu), a takode i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu medunjima (goniometrija).Trigonometrija se deli na sledece tri oblasti:1.Ravninska trigonometrija, trigonometrija u uzem smislu koja proucavatrigonometrijske funkcije, posebno: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekansi kosekans, nverzne trigonometrijske funkcije, tzv. ciklometrijske, ili arkus-funkcije2.Sferna trigonometrija, na povrsi sfere3.Hiperbolicka trigonometrija, trigonometrija Lobacevskog.Funkcije: sinushiperbolicki, kosinus hiperbolicki, tangens hiperbolicki, kotangens hiperbolicki,sekans hiperbolicki i kosekans hiperbolicki, Inverzne hiperbolicke funkcije,tzv. area-funkcije.Osnovna linija razvoja trigonometrija bila je primena u geometrijskim is-trazivanjima. Razvoj prve i druge od nabrojanih trigonometrija isao je uzEuklidsku ravan, tj. elementarna geometrija i povrsinu sfere, a treca odtrigonometrija je bar u pocetku (XIX vek) bila vezana za otkrica neeuk-lidskih geometrija, (geometrija Lobacevskog, zatim Rimanova geometrija).Primene trigonometrija danas su daleko sire.

24

14.1 Poreklo

Prvi koreni trigonometrije su nadeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije.Egipatski papirus Rind (oko 1650. p.n.e.) sadrzi probleme sa odnosima stran-ica trougla primenjenim na piramide. Niti Egipcani, niti Vavilonci nisu imalinase shvatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova,pre nego samih uglova. Vazan napredak napravljen je u Grckoj u vremeHipokrata iz Kiosa (Elementi, oko 430. p.n.e.), koji je proucavao odnoseizmedu centralnih uglova kruznice i tetiva. Hiparhus je 140. p.n.e. napraviotablicu tetiva (prvu pretecu savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Alek-sandrije (Sferna geometrija, oko 100. nove ere) je prvi koristio sferne trou-glove i sfernu trigonometriju. Ptolomej (Almagest, oko 100. n.e.) je napraviotablicu tetiva uglova izmedu 0,5 i 180 sa intervalom od pola stepena. On jetakode istrazivao trigonometrijske identitete. Grcku trigonometriju su daljerazvijali Hindu matematicari koji su ostvarili napredak razmestanjem tetivapreuzetih od Grka na polu tetive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentomnasoj sinusnoj funkciji. Prve takve tablice bile su u Sidhantasu (sistem zaastronomiju) u IV i V veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrijanam dolazi od Hindu matematicara preko Arapskih matematicara. Prevodisa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uveli su trigonometriju u Evropu.Osoba odgovorna za ”modernu”trigonometriju bio je renesansni matematicarRegiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alatza astronomska izracunavanja. Regiomontanus (De triangulis omni modis,1464. publikovano 1533.) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao sub-jekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibusorbium coelestium (1543.) i njegov ucenik Retikus. U Opus palatinum detrianulis (kompletirao njegov ucenik 1596.), Retikus je ustanovio upotrebusest osnovnih trigonometrijskih funkcija, praveci tablice njihovih vrednosti,i drzeci se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglomtrouglu (rade nego tradicionalne polu-tetive krugova). Moderna analitickageometrija datira od vremena Fransoisa Vietea, koji je uradio tablice sestfunkcija do najblize minute (1579). Viete je takode izveo formulu za proizvod,tangensnu formulu i formule za vise uglova. Krajem XV veka je prvi putupotrebljen naziv ”trigonometrija”.

25

15 Analiticka geometrija

Analiticka geometrija predstavlja izucavanje geometrije koricenjem prin-cipa algebre. Geometrijske likove posmatra u dvodimenzionalnom ili trodi-menzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu i predstavlja ih algebarskimjednacinama. Drugim recima, ona definise geometrijske oblike na numerickinacin, i iz takve reprezentacije izdvaja numericke informacije. Numerickirezultat moze biti vektor ili geometrijski lik. Postoje misljenja da je pojavomanaliticke geometrije zapoceta moderna matematika. Smatra se da je ReneDekart objavljivanjem svoje Geometrije, postavio osnove danasnjoj anal-itickoj geometriji. U pitanju je bio jedan od tri dodatka njegovoj Raspravio metodi (Discours de la mthode pour bien conduire sa raison, et chercherla vrit dans les sciences, 1637) - traktatu o naucnim metodama, u komeon, na svega 116 strana, pokazuje primenu svoje opste metode sinteze naprimeru spajanja algebre i geometrije. Ujedno, to je jedino matematickodelo koje je objavio za zivota. Iako je presudno uticala na razvoj anal-iticke geometrije, u Dekartovoj Geometriji, onakvoj kakva je, nema nekihnjenih osnovnih elemenata, kao sto su Dekartove koordinate, jednacina prave,jednacine konusnih preseka (iako se jednom jednacinom drugog reda oznacavakonusni presek), a veci deo izlaganja je posvecen teoriji algebarskih jednacina.Iz sacuvanih pisama Pjera Ferma moze se videti da je on razvio ideju anal-iticke geometrije pre objavljivanja Dekartovog dela o toj temi. Dekart jepredlozio predstavljanje krive jednacinom, izucavanje dobijene jednacine ina taj nacin utvrdivanje osobina same krive, dok je Ferma sustinski uradioisto proglasavajuci jednacinu specijalnom osobinom”krive i izvodeci sve os-tale osobine posmatrane krive iz nje. Cinjenica da je moguce interpretiratieuklidsku geometriju jezikom analiticke geometrije (sto znaci da je svaka teo-rema prve, u isto vreme i teorema druge) je kljucni korak u dokazu AlfredaTarskog da je euklidska geometrija konzistenta i odluciva.Vazni pojmovi analiticke geometrije su:- vektorski prostor- skalarni proizvod, za odredivanje ugla izmedu dva vektora- vektorski proizvod, za odredivanje vektora normalnog na dva data vektora,kao i zapremine paralelopipeda koji oni odreduju- definicija ravni- problem rastojanja- krive drugog reda

26

15.1 Vektorski prostor

Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalaziprimenu u svim glavnim granama matematike. On se definise na sledecinacin: Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na sabiranje.Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element oznacavamo sa 0 izovemo nulti vektor. Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupaF zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dve binarne operacijaoznacavamo sa 0 i 1. Na skupu F V definisano je mnozenje vektora skalarom,tj. preslikavanje F × V → V , koje svakom skalaru α ∈ F i svakom vektorux ∈ V pridruzuje vektor αx ∈ V , tako da su ispunjeni sledeci aksiomi:(I) α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ F, ∀x ∈ V

(II) α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ F, ∀x, y ∈ V

(III) (α + β)x = αx + βx, ∀α, β ∈ F, ∀x ∈ V

(IV) 1x = x.

Ovako definisano preslikavanje se zove mnozenje vektora skalarom, dok seV naziva vektorski prostor nad poljem F i pise V (F ). Uobicajeno je da sevektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivajurealni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Takode, vektorski prostor ukojem je definisan skalarni proizvod naziva se Euklidski vektorski prostor.

15.2 Skalarni proizvod

Skalarni proizvod je binarna operacija koja kao argumente uzima dvavektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskogprostora V, zapis ove operacije je sledeci:

(a, b) 7→ a · b

Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledece osobine:(u + v) · w = u · w + v · w(αu) · v = α(u · v)u · v = v · uu 6= 0 ⇒ u · u > 0pri cemu su u, v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj. Skalarniproizvod vektora koji su pod pravim uglom (90) jednak je 0. Ovo je nacin nakoji se najcesce proverava ortogonalnost dva vektora. Definicija standardnogskalarnog proizvoda dva vektora a = (a1, a2, , an) i b = (b1, b2, , bn) se

27

moze definisati kao:

a · b =

n∑

i=1

aibi = a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn

Primer skalarnog mnozenja vektora (1, 3, -5) i (4, -2, -1) u trodimenzionalnomprostoru:

(1, 3,−5) · (4,−2,−1) (1)

= 1 · 4 + 3 · (−2) + (−5) · (−1) (2)

= 4 − 6 + 5 (3)

= 3 (4)

. Ovaj skalarni proizvod se moze definisati i kao proizvod duzina prvog idrugog vektora i kosinusa ugla izmedu njih:

~a ·~b = ~b · ~a = |~a|∣

∣

∣

~b∣

∣

∣cos φ

Ovakav skalarni proizvod jednog vektora sa samim sobom daje kvadrat nje-gove duine, jer je u tom slucaju kosinus 0 stepeni jednako 1.Geometrijska interpretacija:

a · b = |a| |b| cos θ =⇒ θ = arccos

(

a · b|a||b|

)

.

15.3 Vektorski proizvod

Jos jedan tip proizvoda karakterestican za trodimenzionalne euklidskeprostore (E3) je vektorski proizvod.Definise se na sledeci nacin:

× : (E3, E3) → E3

−→a ,−→b ∈ E3

−→a ×−→b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−→i

−→j

−→k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

−→i (a2b3 − a3b2) −

−→j (a1b3 − a3b1) +

−→k (a1b2 − a2b1) =

a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

,

28

jer su−→i = (1, 0, 0),

−→j = (0, 1, 0) i

−→k = (0, 0, 1) vektori kanonske baze E3.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primetiti sledece osobine:

−→a ×−→b ⊥−→a ,

−→b ,

tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.

|−→a ×−→b | = |a||b| sin ω,

gde je ω ugao izmedu ova dva vektora. Ovo zapravo znaci da je intenzitetvektorskog proizvoda dva vektora jednak povrsini paralelograma koga cineovi vektori.

−→a ×−→b = −(

−→b ×−→a ),

vektorski proizvod nije komutativan.

(α · −→a ) ×−→b = α(−→a ×−→

b )

Vektorski proizvod se lepo ponasa prema mnozenju skalarom sleva.

15.4 Ravan

Ravan je jedan od osnovnih pojmova geometrije kojim se oznacava ravnapovrsina koja se u svakom smeru siri do beskonacnosti. Da je ravna, znacida kroz svaku njenu tacku moe biti povuceno beskonacno mnogo razlicitihpravih koje ona u potpunosti sadrzi. Iz ovoga sledi i da svaka ravan prostoru kome se nalazi razgranicava na dva jednaka dela.Vazne osobine ravni:-Ako dve tacke prave pripadaju ravni, onda sve tacke prave pripadaju ovojravni.-Tri tacke koje ne leze na jednoj pravoj pripadaju samo jednoj ravni.Veliki ruski matematicar N. I. Lobacevski je za definiciju ravni uzimao sledecudefiniciju: Ravan je geometrijsko mesto tacaka u prostoru koje su podjednakoudaljene od dve date tacke. U izgradnji geometrije Lobacevski je polazio odpojma kretanja, i prema tome, i od pojma rastojanja izmedu dve tacke. Ve-liki nemacki matematicar Lajbnic definisao je pojam ravni kao povrs kojadeli prostor na dva kongruentna dela (koja se kretanjem mogu poklopiti).

29

15.5 Ravan u analitickoj geometriji

Ravan A u prostoru Rn se analiticki moze opisati jednom njenom tackomP ∈ A ∈ Rn i vektorom −→a koji je normalan na nju, tj. svaki vektor koji jojpripada.Tada ce za svaku tacku Q ∈ A vaziti:

−→a · −→PQ = 0

, ili

(a1, . . . , an)·(Q1 − P1, . . . , Qn − Pn) = a1 ·(Q1 − P1)+· · ·+an ·(Qn − Pn) = 0

Kako su −→a i P konstante, izraz se moze drugacije zapisati:

−→a · (Q − P ) ⇒ −→a · −→Q = −→a · −→P ⇒ −→a · −→Q = C.

Ovo je takozvana vektorska jednacina ravni koja se nakon razvoja skalarnogproizvoda, kao sto je u izrazu ispod prikazano, naziva opsta jednacina ravni:

a1 · Q1 + · · ·+ an · Qn = C

16 Neeuklidska geometrija

Termin neeuklidska geometrija opisuje hiperbolicku i elipticku geometriju,koje su negacija euklidske geometrije. Sustinska razlika izmedu Euklidske iNeeuklidske geometrije je priroda paralelnih pravih. U Euklidskoj geometriji,ako uzmemo pravu l i tacku A, koja ne lei na l, onda moemo nacrtatisamo jednu pravu kroz tacku A koja je paralelna sa pravom l. U hiper-bolickoj geometriji, nasuprot tome, ima beskonacno mnogo pravih kroz Aparalelnih sa l, dok u eliptickoj geometriji paralelne prave uopte ne postoje.Drugi nacin da opisemo razlike izmedu ovih geometrija je sledeci. Zamis-limo dve linije na dvodimenzionalnoj povrsi koje su obe pod pravim uglomna trecu liniju. U Euklidskoj i hiperbolickoj geometriji ove dve linije sutada paralelne. U Euklidskoj geometriji linije ostaju na konstantnoj udal-jenosti, sekuci se samo u beskonacnosti, dok u hiperbolickoj geometriji one sezakrivljuju”jedna od druge, povecavajuci njihovu udaljenost sto se vise udal-javaju od mesta preseka sa zajednickom normalom. U eliptickoj geometrijilinije se zakrivljuju”jedna ka drugoj i konacno se seku. Prema tome paralelneprave u eliptickoj geometriji ne postoje.

30

16.1 Istorija neeuklidske geometrije

Dok Euklidska geometrija spada medu najstarije poznate oblasti matem-atike, Neeuklidska geometrija nije bila sire prihvacena i priznata sve do XIXveka. Mada, rasprava koja je mogla da eventualno dovede do otkrica Neeuk-lidske geometrije pocela je maltene istog trenutka kada je cuveno Eukli-dovo delo ”Elementi”bilo objavljeno. U Elementima, Euklid zapocinje saogranicenim brojem pretpostavki (23 definicije, 5 osnovnih pojmova i petpostulata) i tezi ka tome da dokaze sve ostale rezultate (propozicije) u ovomesvome radu. Najproblematicniji ali zato i najpoznatiji od postulata, obicnose naziva ”Euklidov peti postulat”, ili jednostavno ”aksioma paralelnosti”,i on u Euklidovoj originalnoj formulaciji glasi: ”Ako prava linija sece dvedruge prave linije na takav nacin da je zbir unutrasnjih uglova sa iste stranemanji od dva prava ugla, tada prave linije, produzene do beskonacnosti, sekuse sa one strane sa koje su uglovi manji od dva prava ugla.Drugi matemati-cari kasnije su izveli postulate koji su ekvivalentni ovom postulatu, ali imajujednostavniju formu. Medutim u bilo kojoj formi pokazalo se da je ovajEuklidov peti postulat mnogo komplikovaniji od njegovih ostalih postulata(medu kojima se nalazi na primer i postulat: ”Kroz bilo koje dve tacke mozese povucı prava linija”).Nekoliko stotina godina, matematicari su se mucili oko kompleksnosti petogpostulata, verujuci da se on moze dokazati kao teorema izvedena iz ostalacetiri postulata. Mnogi su pokusavali da pronadu dokaz zasnovan na metodusvodenja na protivurecnost, medu njima najpoznatiji je Italijan Dovani Sak-eri. U radu naslovljenom Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euklid os-oboden od svih gresaka), objavljenom 1733. on odmah odbacuje eliptickugeometriju kao mogucnost (neke od ostalih Euklidovih aksioma morale bibiti modifikovane da bi elipticka geometrija funkcionisala) i baca se na posaodokazujuci veliki broj rezultata u hiperbolickoj geometriji. Njegova konacnapoenta je u tome da ovi rezultati koji su u suprotnosti sa teoremama euk-lidske geometrije dokazuju nemogucnost hiperbolicke geometrije. Medutim,nikakve logicke protivurecnosti unutar ovih rezultata nije bilo. Pokusavajucida dokaze Euklidovu geometriju on umesto toga u stvari nenamerno otkrivajednu novu geometriju sveta. Ipak u to vreme jos uvek je siroko bilo raspros-tranjeno verovanje da nas Svet ili Univerzum funkcionie u skladu sa prin-cipima Euklidske geometrije. Sto godina kasnije, tacnije 1829. godine, RusNikolaj Ivanovic Lobacevski objavljuje studiju o hiperbolickoj geometriji. Iztog razloga, hiperbolicka geometrija se cesto naziva i geometrija Lobacevskog.Otprilike u isto vreme, Madar Janos Boljaji takode pi”e svoju studiju o hiper-bolickoj geometriji, koju objavljuje 1832. kao dodatak na jedan rad njegovogoca. Veliki matematicar Karl Fridrih Gaus cita ovaj dodatak (apendiks) i

31

odgovara Boljajiu da je od do istih rezultata i on licno doao neto ranije.Medutim prioritet u ovom otkricu pripao je Lobacevskom zbog ranijeg ob-javljivanja svog rada. Osnovna razlika izmedu ovog i ranijih radova, kaosto je Sakerijev, je u tome to on prvi bez ikakve sumnje tvrdi da Euklidovageometrija nije jedina moguca geometrija, niti je jedina opazajna strukturanaseg Univerzuma. Lobacevski naziva Euklidsku geometriju ”obicnom ge-ometrijom”, a svoju novu hiperbolicku geometriju ”imaginarnom geometri-jom”. Ipak, jos uvek se zadrzala mogucnost da su aksiomi hiperbolicke ge-ometrije logicki nekozistentni. Kao sto on napominje, jos dosta posla treblo bida bude uradeno da bi se potpunije zasnovala elipticka geometrija. BernhardRiman, u svojoj cuvenoj lekciji iz 1854. zasniva oblast Rimanove geometrije,razmatrajuci posebno ideje koje se sada nazivaju mnogostrukost, Rimanovametrika, i zakrivljenost. On konstruise beskonacnu familiju Neeuklidskih ge-ometrija zadajuci ovoj familiji formulu Rimanove metrike na jedinicnoj loptiu euklidskom prostoru. Ponekad je njemu nepravedno pripisivana cast daje jedini otkrivac elipticne geometrije, ali u stvari, ova njegova konstruk-cija pokazuje dalekovidost njegovog rada i cinjenicu da su njegove teoremevazece za sve vrste geometrija. Uobicajeni model za Euklidsku geometriju jeravna povrs. S druge strane, najjednostavnjiji model za elipticku geometrijuje sfera, gde su prave linije (neeuklidske prave) velike kruznice (takve kao stosu ekvator ili meridijani na globusu), dok se tacke suprotne jedna drugoj po-dudaraju (smatraju se istim tackama). Cak i nakon radova Loba—cevskog,Gausa i Boljajia, ostalo je pitanje: Da li postoji model o—ciglednog pred-stavljanja hiperboli—cke geometrije? Na ovo pitanje odgovorio je EugenioBeltrami, 1868, koji je pokazao da povrsina nazvana pseudosfera ima odgo-varajucu zakrivljenost za jedan model delimicnog hiperbolickog prostora, au drugom clanku objavljenom iste godine, definisan je Klajnov model (Fe-liks Klajn), Poenkareov disk model i Poenkareov poluravanski model (AnriPoenkare) koji cine u potpunosti modele ociglednog predstavljanja hiper-bolicke geometrije, a ujedno pokazuju da su Euklidska geometrija i hiper-bolicka geometrija ekvikonzistentne, sto znaci da je hiperbolicka geometrijalogicki konzistentna ukoliko je to i Euklidska geometrija. Razvoj neeuklid-skih geometrija pokazao se veoma znacajnim za fiziku XX veka. Zadajuciogranicenja brzini svetlosti, sabiranje brzina zahtevalo je nuzno koriscenjehiperbolicke geometrije. Ajnstajnova Opsta teorija relativnosti opisuje pros-tor kao generalno ravan (Euklidski), ali i elipticki zakrivljen (Neeuklidski) uoblastima u blizini kojih je prisutna materija. S obzirom da se vasiona siri, cak i prostor gde ne postoji materija ili masa moe se opisivati uz pomochiperbolickog modela. Ova vrsta geometrije, gde se zakrivljenost menja odtacke do tacke nazvana je rimanovska geometrija. Postoje takode i drugimatematicki modeli povr’si na kojima Euklidov postulat paralelnosti vise ne

32

vazi, kao na primer Denova povrs (Dehn plane) koja se sastoji od svih tacaka(x, y), gde su x i y konacni nadrealni brojevi.

17 Geometrija Lobacevskog

Lobacevski Nikolaj Ivanovic je Ruski matematicar, osnivac neeuklidskegeometrije (1792-1856) koja je predstavljala revolucionarnu tacku u razvitkumatematickog misljenja XIX veka. Mnogi istaknuti matematicri pokusavalisu pre Lobacevskog da dokazu peti Euklidov postulat o paralelama: da sekroz jednu tacku izvan neke prave, u ravni odredenoj tom tackom i tompravom, moze povuci samo jedna prava koja nece seci datu pravu. To istopokusao je da dokaze i Lobacevski, sto se vidi iz njegovih predavanja koja jedrzao 1816-1817. Ukazivao je na vazan problem u teoriji paralelnih pravihkoji se sastoji u tome da se osnovno tvrdenje teorije paralelnih primalo bezanalize neophodnosti. Naime, pri preseku treom pravom dveju pravih uravni, obrazuju se osam uslova, ako je pri tom zbir unutrasnjih uglova sjedne strane jednak dvama pravim uglovima, onda su dve prave paralelne.Lobacevski je uvidao uzaludnost pokusaja da se dokaze peti Euklidov pos-tulat, pa na zasedanju Fizicko-matematickog odeljenja 1826. Izlaze svoj radSazeto izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o parale-lama koja obelezava datum rodenja neeuklidske geometrije. Zahtevao je dase rad objavi u Naucnim zapisima Kazanjskog univerziteta, ali, ne shvativsisadrzinu rada, komisija sastavljena od tri profesora nije prihvatila njegovoob-javljivanje. Geometrija Lobacevskog se zasniva na osnovnim stavovima kao IEuklidova, samo sto se peti postulat zamenjuje postulatom da se kroz jednutacku izvan neke prave mogu povuı najmanje dve prave koje leze sa datompravom u istoj ravni i ne seku je. Svoju geometriju je konstruisao polazeciod osnovnih geometrijskih pojmova i svojih aksioma i dokazivao je teoremegeometrijskim metodama, slicno Euklidovoj geometriji. Kao osnova sluzilamu je teorija paralelnih pravih i to razlikuje geometriju Lobacevskog od Eu-klidove. Geometrija Lobacevskog otkriva novi svet geometrijskih objekata:prave paralelne u smislu Lobacevskog sve vise se priblizuju jedna drugoj u jed-nom smeru a u suprotnom smeru njihovo rastojanje se neograniceno uvecava;dve prave prave u istoj ravni koje imaju zajednicku normalu, na obe straneod te normale beskonacno se razilaze; zbir uglova u trouglu manji je od 180stepeni, sto znaci da u geometriji Lobacevskog cetvorougao moze imati na-jvise tri prava ugla a cetvrti je ostar; sve tacke koje se nalaze na jednakomodstojanju od date prave leze na krivoj liniji a ne na pravoj, kao u Eukli-

33

dovoj geometriji. Ravan i prostor Lobacevskog su skupovi tacaka u kojima suodredene prave, kretanje figura, rastojanja, uglovi i drugi elementi. Izradioje odgovarajucu trigonometriju, kao i principe analiticke i diferencijalne ge-ometrije. Kao neeuklidska geometrija, geometrija Lobacevskog imala je pro-tivnike medu matematicarima koji nisu shvatili njenu sadrzinu sve dok velikiitalijanski matematicar Beltrami (Eugenio Beltrami, 1835-1900) nije 1868.pokazao da geometrija Lobacevskog vredi na jednoj posebnoj povrsi naz-vanoj pseudosfera. Ona je postala predmet ispitivanja velikih matematicara.U tom pogledu znacajni su radovi Nemaca Klajna (Felix Klein, 1849-1925)i Rimana i Francuza Poenkarea koji su veoma doprineli u smislu afirmacijegeometrije Lobacevskog i njene primene. Ona je nasla siroku primenu uraznim granama matematike, posebno u modernim tokovima teorijske fizike.Otkrice neeuklidske geometrije spada u red najvecih otkrica u matematici.Ovim otkricem, kao i svojim celokupnim stavom matematicara i filozofamatematike, Lobacevski je otvorio nove puteve u razvitku matematike kojisu usledili aksiomatskim zasnivanjima svih grana matematike i uvrstio se ured genijalnih stvaralaca. Povodom stogodisnjice njegovog rodenja utemel-jena je Nagrada Lobacevskog za dela iz neeuklidske geometrije.

17.1 O geometriji Lobacevskog

Da bismo shvatli ideje koje su dovele do stvaranja ove geometrije,vraticemose daleko unazad,u period klasicne grcke matematike. Prvobitno,a za znaciu starom Egiptu i Vavilonu, geometrija je sadrzavala samo uputstva zaresavanje raznih prakticnih problema koji su nastajali pri gradjenju piramidai hramova,navodnjavanju i ostalim gradanskim poduhvatima.U VII veku prenove ere geometrija prelazi u staru Grcku, gde pocinje period njenog sis-tematskog izgradivanja.Tada nastaje cuvena jonska filozofska skola u MalojAziji, cijim se najznacajnijem predstavniku,Talesu iz Milita, pripisuje daje prvi dokazao neke geometrijske stavove. Zatim nastaje doba procvatagrcke kulture, kad se u matematici i filozofiji javljaju znacajna imena, kaosto su Pitagora, Hipokrat, Platon, Aristotel i drufi. Medutim, anticka ge-ometrija je dostigla vrhunac u vreme osnivanja Aleksandrijske skole(332.god p.n.e), kroz radove velikog grckog matematicara Euklida. Glavno nje-govo delo ”Elementi”, koja je bacila u zasenak sve ranije knjige o geometrijii ostala tokom dva milenijuma skoro jedina osnova svih geometrijskih is-trazivanja. U ”Elementima”je Euklid sistematski i logicno povezao,izloziodo tada prikupljeno znanje iz geometrije. Pri tome je citavo delo izvedenopo sledecem redosledu: definicije, postulati, aksiome, zatim teoreme i njihovidokazi. ”Elementi”imaju ogroman istorijski znacaj jer je to prvi pokusaj

34

aksiomatkog zasnivanja neke oblasti matematike. U odnosu na geometrijskepredstave koje su postojale u to vreme, Euklid je postigao prilicno velikustrogost u izlaganju i logickom povezivanju cinjenica. Tokom vremena mnogimatematicari su popravljali nedostatke u ”elementima”, dodavali neke novedelove, a barocito veliko nteresovanje je pobudivalo je ispitivanje aksioma ipostulata(sa savremene tacke gledista ne razlikujemo te dve vrste osnovnihstavova). Vremenom se pokazalo da su neke aksiome suvise, jer sledi is os-talih, a takode je zapazeno da neke nedostaju. Posebno interesovanje je iza-zvao V postulat. U stvari on je i doveo do stvaranja neeuklidske geometrije.Ovaj postulat glasi: Ako prava u preseku sa druge dve prave sa njima naistoj strani gradi unutrasnje uglove, ciji je zbir manji od dva prava ugla,onda se ove prave seku sa one strane gde je taj zbir manji od dva prava ugla.Zbog manje ociglednosti izgledalo je da ovaj postulat mora biti posledica os-talih, i u tom pravcu vrsena su vrlo opsezna istrazivanja. Treba odmah istaciznacaj ovog postulata: na njemu se zasniva teorija paralelnih pravih, a satim u vezi slicnost geometrijskih likova, triigonometrija itd. Do pocetka XIXbilo je mnogo uzaludnih pokusaja da se ovaj postulat dokaze. Medutim, iaknisu dovela do zeljenog rezultata, ova istrazivanja su bila veoma znacajnau razvoju geometrije, jer su dovela do otkrica logicke povezanosti medjumnogim znacajnim stavovima, kao i do niza teorema, logicki. ekvivalentih Vpostulatu.

18 Projektivna geometrija

Projektivna (nacrtna) geometrija je skup metoda za resavanje prostornihproblema crtanjem u ravni. Nacrtna geometrija je oblast u kojoj se proucavajumetode preslikavanja kojima se prostorni likovi predstavljaju odgovarajucimlikovima u ravni. Na taj nacin se postize da se resavanje prostornog zadatkasvodi na resavanje odgovarajuceg zadatka u ravni. Skup osobina kojima seuspostavlja veza izmedu prostornog zadatka i odgovarajuceg u ravni karak-terise sadrzaj ove oblasti geometrije.Preslikavanje koje se u geometriji koristi je projektovanje, pa se slika u ravninaziva projekcija. Kako je medu likovima u prostoru i njihovim slikamau ravni potrena obostrano jednoznacna korespondencija, utvrdivanje eleme-nata u ravni kojima se jednoznacno predstavljaju likovi prostora definisemetodu projektovanja.Rene Decartes (1596-1650) je uveo koordinatni sistem i povezao algebru i ge-ometriju u analiticku geometriju. Monz Gaspar( Gaspard Monge )francuski

35

matematicar (1746-1818)je osnivac projektivne geometrije (prvi je uveo is-tovremeno posmatranje vise projekcija na jednom crtezu). Njegov talenatse ispoljio u cetrnaestoj godini pri konstrukciji vatrogasnog motora, gde jepokazao neobicnu sposobnost za uocavanje slozenih prostornih odnosa. Kadmu je bilo sesnaest godina samostalno je izradio kartu radnog mesta i odgo-varajue merne instrumente, sto je bio veliki uspeh. Iste godine postao je pro-fesor gimnazije i skole za vojne inzinjere. Tu se detaljno upoznao sa teorijomutvrdivanja, ciji je problem bio izrada plana a da nijedan deo utvrdenja nebude izlozen neprijateljskoj vatri. Monz je dao svoje resenje tog problemasto je predstavljalo pocetak nacrtne geometrije, a Monzova metoda dugose cuvala kao vojna tajna. Tek je 1794. bilo odobreno da se o njoj javnogovori. Potrebe tehnich nauka, posebno vojne inznjerije podstakle su gau radu na nacrtnoj geometriji pa je objavio delo Nacrtna geometrija (Ge-ometrije descriptive,1765. kao skripta i 1795. kao knjiga) u kome definisenacrtnu geometriju. Ima dva glavna cilja: prvo, da na crtezu koji imasamo dve dimenzije tacno predstavi trodimenzionalne objekte koji se mogutacno zadati, i drugo, da iz tacne geometriske predstave tela izvede sve stoneophodno proizlazi iz njihovog oblika i uzajamnog polo’zaja”. Monzovostvaranje nacrtne geometrije bilo je revolucijarno delo za tehnicke nauke,jednostavno po metodama i idejama i neophodno za napredak tih naukai njihovih primera. Niz geometriskih problema koji su se do tada resavalianalitickim putem Monz je pomocu nacrtne geometrije sveo na geometriskukonstrukciju, ali njegovo ime je ostalo istaknuto u teoriji povrsi gde je vestoprimenio infinitezimalne metode. U svom delu Primena analize u geometriji(Application de lanalyse a la geometrie, 1795), napisao jasnim i zivim stilom,bez stare sheme, pretpostavka-tvrdenje-dokaz obraduje analiticku geometrijuu prostoru. Ovde nalazimo probleme u vezi sa diferencijalnim odnosimakod obrtnih, zavojnih, pravoliniskih i razvojnih povrsina. Monz je stvo-rio svoju geometrisku skolu za koju je karakteristuco potpuno prozimanjegeometriske konstrukcije i analiticke formule. Svojom diferencijalnom ge-ometrijom pripremio je put Gausu koji ce inspirisati Rimana u razvijanjugeometrije, neophodne za teoriju relativnosti. Monz je poznat u teoriji difer-encijalnih jednacina koje su usko povezane sa problemima koje je radio ugeometriji. Objavio je brojne radove na podrucju nacrtne i diferencijalnegeometrije, teorije diferencijalnih jednacina i drugih oblasti u tada najis-taknutijim naucnim casopisima Pariza.

36

19 Aksiomatsko zasnivanje geometrije

Sigurno je da osnovni podstrem za razvoj prirodnih nauka i matem-atike lezi u covekovoj potrebi za njihovim primenama.Herodot istice da jegeometrija potekla iz Egipta od stalne potrebe da se izmere granice po-jedinih zemljista posle poplave Nila, jer je voda brisala granicne znake.Stoga je prirodno sto postoje podaci o matematickim znanjima starih kul-tura. Matematicko obrazovanje tih naroda svodilo se poznavanje najosnovni-jih osobina geometrijskih likova,do koga se doslo islustvom, ili induktivnommetodom.U staroj Grckoj matematika pored potrebe postaje i umetnost. Mozda jeto jedan od razloga zasto su se Grci prihvatili sre’djivanja njihovih znanja ujednu logicku celinu, gde osobine objekta koji se posmatraju nisu vise izolo-vane cinjenice, vec sacinjavaju jedan logicni niz u kome se svaki clan nizaizvodi kao posledica prethodnih clanova. Sredivanje nagomilanog znanjanesumljiva je potreba, ali grci su mogli sa sacine jednu enciklopediju, gdenavedeni pojmovi ne moraju imati medusobne veze. Izlaganje u oblikulogickog niza je umetnost kojom pocinje i do danas traje u nauci deduk-tivni metod. Vrhunac grckog deduktivnog metoda predstavljaju Euklidovi

Elementi. Oni predstavljaju najsjajniji spomenik anticke grcke. Elememtipredstavljaju izvrstan model aksiomatskog zasnivanja nauke. Za razliku odformalne, obicna aksiomatska matematicka teorija izgraduje se na sledecinacin: polazi od izvesnog broja reci govornog jezika koje se ne definisu iod izvesnog broja recenica istog jezika u kojima ucestvuju polazne reci. Terecenice po dogovoru smatraju se tacnim i da postoje jaki intuitivni razloziza prihvatanje njihove tacnosti. Te recenice nazivaju se aksiome. Teoremesu one recenice koje se dobijaju iz aksioma primenom nekih logickih prav-ila. Dokaz aksiomatske matematike je konacan niz ciji je svaki clan aksioma,ranije dokazanih teorema, ili clan za koji postoje izvesni prethodni clanoviniza iz kojih se on dobija pomocu nekog pravila izvodenja logickog pravila).Razlika izmedu formalne i aksiomatske matematicke teorije nije velika. Uformalnoj teoriji govorni jezik i intuicija svode se na oaj neizbezni maximum.

Prema Aristotelu, Euklid prvi pravi razliku izmedu postulata i aksioma. Ak-siome su evidentne cinjenice zajednicke svim naukama koje se uzimaju zatacne, a postulati su zahtevi u geometriji. Aksiome kod Euklida su opsteaksiome, a postulati su geometrijske aksiome. Sa savremenog gledista ak-siomatskog zasnivanja geometrije, Euklid pravi nekoliko gresaka jer on ne pri-hvata potrebu za uvodenjem osnovnih pojmova, vec pokusava da ih definise.Aksiome Euklidovog sistema nisu medusobno nezavisne. prilikom dokazi-vanja Eiklid se oslanjao na sliku, i time dokaze ucio nekorektnim. I pored

37

ovih nedostataka, Euklidovi Elementi predstavljaju jedno od najvaznijih delau maematici i posredno su odgovorni za razvitak aksiomatskog metoda. Duginiz godina glavni izvor ideja za matematicko stvaranje bili su Euklidovi el-ementi, i mnogi matemati’cari bavili su se usavrsavanjem i dopunjavanjemElemenata.Nemacki matamaticar David Hilbert(1862-1943) objavio je 1899. godine kn-jigu Grundlagen der Geometrie (osnove geometrije), u kojoj je izlozio ge-ometriju saglasno opstim zahtevima za aksiomatsko zasnivanje teorije. Oneje uzimao za osnovne pojmove tacku, pravu i ravan, i zatim lezi9pripada).izmedu, podudarno, paralelno i neprekidno. On je naveo 20 aksioma u petgrupa tako da su prve bile aksiome veze, druge aksiome rasporeda, zatimaksiome podudarnosti, aksiome paralelnih i aksiome neprekidnosti. Hilbertna odgovarajucim mestima uvodi i potrebne definicije onih pojmova koji sepojavljaju u aksiomama. hilbertov sistem aksioma je neprotivrecen, neza-visan i potpun. Neprotivrecnost Hilbertovog sistema dokazuje se pomocumodela, tako da ispravan zakljucak glasi: Ako je aritmetika sistema realnihbrojeva neprotivrecena, tada je Hilbertiv sistem aksioma za geometriju ne-protivrecen.Od samog pocetka postojali su pokusaji da se dokaze V postulat iz Eukli-dovih Elemenata. Razlog je sto je iskaz tog postulata daleko slozeniji odsvoh ostalih postulata i aksioma koje Euklid navodi. U knjizi Saggio di una

Bibliografia Euclidea od Riccardia, koja je objavljena u Bolonji 1890. go-dine, na dvadeset strana navedeni su naslovi monografija napisanih izmedu1607. i 1887. godine koje se odnose na V postulat. Medu vaznim pokusajimada se dokaze je Ptolomeja, priklusa, Wallis-a i drugi. Pokazalo se da se Vpostulat ne moze dokazati iz ostalih Euklidovih postulata i aksioma, takoda se sa pravom mozemo diviti Euklidu koji je V postulat uvrstio medu os-tale. Medutim ovi stavovi su doveli da mnogih stavova koji su ekvivalenti Vpostulatu u odnosu na ostale aksiome. Pored Hilberta, nevedeni su jos nekistavovi koje zastupaju Lobacevski, J. Bolyai i K.F. Gauss. Ta geometrija jegeometrija Lobacevskog. pored euklidske i geometrije Lobacevskog postoje idruge geometrije koje se takode aksiomatski zasnivaju i za koje se dokazujuda su neprotivrecne.

20 O nastavi geometrije u skoli

Tokom mnogih vekova Elementi su bili jedini udzbenik po kome se pre-davala geometrija. Stoga je nastava geometrije opterecena tradicijom daleko

38

vise od nastave bilo kog drugog predmeta. Zacudujuce je koliko su malo uti-cala vazna otkrica u matematici na nastavu geometrije. Kada se razmi’slja onastavi geometrije ili o nastavi matematike treba na prvom mestu imati naumu da ce samo jedan manji deo ucenika nastaviti da se bavi matematikom.Polazeci od jednostavnijih primera, objasniti neke od osnovnih logickih prav-ila koja se koriste u matematici. Vazno je da ucenik sto pre upozna sapojmovima potrebnog i dovoljnog uslova, metodom dokazivanja, pravilomkontrapozicije. Treba polaziti od jednostavnijih primera.

39

21 Veliki umovi

21.1 PitagoraPitagora(oko 596. p.n.e. - oko 475. p.n.e) - anticki filosof i matematicar koji je najpoznatiji po svojoj

teoremi o odnosu hipotenuze c i kateta a i b u pravouglom troglu

c2 = b2 + a2.

Sin Mnesarha, rezaca dragoga kamena. Rodjen na ostrvu Samosu(Jonija). Verovatno je da je po naredenjusamskoga tiranina Polikrata putovao u Egipat, da bolje upozna ustanove egipatskih svestenika. Zbog ne-suglasica s Polikratom, a mozda i samo zbog odvratnosti prema njegovoj tiraniji, preselio se u Krotonu juznoj Italiji ili Velikoj Heladi, gde su se, otkako je Jonija pod persijskom vlas/’cu pocela da opada,stvorila nova sredista helenske prosvete i moı.

21.2 TalesTales(Talet Milecanin, Thales), (oko 625-548. pne.) iz Miletabio je svestrano obrazovan filozof.Aktivan

kao matematicar i kao drzavnik, vazio je u starom veku kao prvi jonski prirodni filozof i ubrajali su gameddu Sedam mudraca. On je prvi pokusao da raznovrsnost pojava svede na jednu jedinu pramateriju- vodu. Nije sigurno da li je ovo ucenje izneo u nekom spisu. Kao matematicar poznat je po Talesovojteoremi. Talesov ucenik takode iz Mileta bio je filozof Anaksimandar (Anaximandros), iz prve polovineVI veka pne.

21.3 PlatonPlaton( 427. p.n.e.-347. p.n.e.)-roden u Atini. Neizmerno uticajan starogrcki filozof, Sokratov ucenik,

a Aristotelov ucitelj, i osnivac Akademije u Atini. Platon je predavao na Akademiji, i pisao u formi dijalogao mnogim filozofskim temama. Njegovo postojanje nam je poznato preko njegovih filozofskih i dramatickihdela koja su ocuvana u rukopisima obnovljenim i izdatim u mnogim izdanjima od pocetka humanistickogpokreta. Platonova pisana dela se skoro u potpunosti sastoje iz dijaloga, epigrama i pisama. Vecinapoznatih platonovih dijaloga je sacuvana, iako savremena izdanja njegovih dela sadrze dijaloge koji se odfilozofske javnosti smatraju ili sumnjivim (Alkibijad, Klitofon) ili verovatno laznim (Demodokus, Alkibi-jad Drugi). Sokrat se kao licnost pojavljuje u vecini Platonovih dijaloga, iako cesto nije jasno koliko sesadrzaj dijaloga i misli mogu pripisati Sokratu a koliko Platonu. U poslednjim Platonovim delima (Zakoni)Sokrat se gubi kao ucesnik u dijalogu. Poznati mesecev krater je dobio ime Platonov krater, u njegovu cast.

21.4 EuklidEuklid(330. god. p.n.e- 275.god. p.n.e.)-Bio je poznati grcki matematicar iz Atine. Ziveo je i radio

u Aleksandriji gde je stvorio matematicku skolu. Napisao je brojna dela, od kojih neka nisu sacuvana ipoznata su samo po naslovu. Sacuvana dela su:Elementi(geometrija kao nauka o prostoru) u 13 knjiga,Data (o uslovima zadavanja nekog matematickog objekta),Optika (sa teorijom perspektive)U odnosu na druge naucne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. god. pne. pojavom dela”Elementi”. Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euk-lid je pokusao da izlaganje bude stogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti ”Elementisu vekovimasmatrani najsavrsenijim matematickim delom. Mnoge generacije matematicara i drugih naucnika su uciliiz ove knjige kako se logicki zakljucuje i novo povezuje sa ranije utvrdenim cinjenicama. Kasnije su”Elementi”analizirani i dopunjavani. Posebnu paznju su privlacili aksiomi i postulati. U ovoj knjizi susadrzana sva saznanja i otkrica do kojih su dosli Euklid i njegovi prethodnici i savremenici u geometriji,teoriji brojeva i algebri.

40

21.5 AristotelAristotel(384. p. n. e. 322. p. n. e.), starogrcki filozof, Platonov ucenik i jedna od najuticajnijih

licnosti u istoriji evropske misli. Aristotel je roden u Stagiri, grckoj koloniji na makedonskom poluostrvu.Njegov otac, Nikomah, radio je kao dvorski lekar kod kralja Amintasa III Makedonskog, dede AleksandraVelikog. Veruje se da su Aristotelovi preci bili na ovoj duznosti i kod ranijih makedonskih kraljeva. Pret-postavlja sa da je, kada je otisao u Atinu sa 18 godina, Aristotel imao i neka znanja iz medicine koja jedobio od oca. Od 18. do 37. godine pohada Akademiju kao Platonov ucenik.

21.6 Nikolaj Ivanovic LobacevskiNikolaj Lobacevski(1793.-1856.)- ruski matematicar; sin arhitekte, roden u Novogordskoj oblasti,

postavio temelje neeuklidske geometrije. Kada mu je bilo sest godina, Lobacevskom je umro otac i postoje njegova majka porodicu preselila u Kazanj, tamo je 1807. pohadao novootvoreni univerzitet. Studijezavrava 1811., docent postaje 1814., vanredni profesor 1816., redovni 1822., a 1827. postaje rektor stoostaje sve do penzionisanja. Njegova vlada ga je odlikovala, ali je 1846, iz nejasnih razloga, pao u ne-milost; tada se penzionise iz zdravstvenih razloga. Za zivota, Lobacevski je kao i Kopernik, bio nepoznati nepriznat cak i u svojoj domovini. Poznati nemac(ki matematic(ar Gaus, jedini je obratio paznju nanjegova velika otkrica i pomagao njegov izbor za dopisnog clana Naucnog udruzenja u Getingenu. Alitek kada je nakon Gausove smrti objavljeno da je on prihvatao teorije i dostignuca Lobacevskog, tada jeiznenadena matematicka javnost prvi put cula za ime velikog ruskog matematicara.

21.7 David HilbertDavid Hilbert(nem. David Hilbert, 23. 01. 1862 14.02.1943) je bio nemacki matematicar koji je dao

vazan doprinos u nekoliko grana matematike. Hilbert je 1888. poopstio jednu vaznu Zordanovu teoremuna sisteme viseg reda, da bi 1899. godine objavio svoje cuvene Osnove geometrije (Grundlagen der Ge-ometrie) u kojima je tu temu, konacno, postavio na stroge aksiomatske osnove (Hilbertove aksiome). Onje takode pokazao da je geometrija jednako konzistentna kao aritmetika realnih brojeva. Godine 1900.Hilbert je postavio deo od 23 problema kao izazov matemati”arima XX veka; resenja ili nekakav napredakje ucinjen za oko tri cetvrtine njih. Kasnije se Hilbert posvetio radu na teorijskoj fizici i osnovama matem-atike. Razvijao je matematicki formalizam to ga je dovelo do dela Osnove matematike (Grundlagen derMathematik, 1934. - 1939.), zajedno sa Paulom Bernajsom. Drugi radovi Hilberta ukljucuju njegov dokazVaringovog problema, tj. pretpostavke koju je postavio Varing 1770, a prvo potpuno resenje je pronasaoHilbert 1909, zatim razvoj tzv. Hilbertovog prostora i doprinos u proucavanju integralnih jednacina ialgebarske teorije brojeva.

21.8 Rene DekartRene Dekart (1596.-1650.) bio je matematicar, filozof i naucnik cije je delo Geometrija (La geometrie)

postavilo osnove danasnjoj analitickoj geometriji. Zacetnik je novovjekovnog filozofskog pravca racional-izma, a cesto se kaze da se u njegovom djelu mogu naci i neke od prvih empiristickih teza. U Meditacijamao prvoj filozofiji dosledno (tzv. metodskom sumnjom) izvodi ono prvo sigurno saznanja i uoblicava ga ucuveno Cogito ergo sum stav koji ce znaciti izvorni preokret u novovekovnoj evropskoj misli, odvajajucije od srednjevekovnog teocentricnog pogleda sholasti’cke provenijencije. U Dekartovoj filozofiji, rekao biHegel, subjekt postaje za sebe, konkretizuje se prevazilazeci anticu objektivnost.

41

Sadrzaj1 Geometrija 2

2 Istorijski razvoj geometrije 2

3 Period nastanka 2

4 Period sistematskog izlaganja 3

5 Nastanak analiticke geometrije 4

6 Izgradnja neeuklidskih geometrija 4

7 Teorija relativnosti 5

8 Podela geometrije 6

9 Euklidova geometrija 7

10 Elementarna geometrija 7

11 Osnovne oblasti geometrije 7

12 Planimetrija 8

12.1 Mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.2 Trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.3 Pravougli trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.4 Cetvorougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.5 Paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.6 Pravougaonik i kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.7 Romb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.8 Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.9 Kruznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.10Odsecak (segment) i isecak (sektor) kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.11Kruzni prsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

13 Stereometrija 18

13.1 Kocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2 Kvadar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913.3 Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.4 Prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.5 Valjak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113.6 Lopta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

14 Trigonometrija 24

14.1 Poreklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

15 Analiticka geometrija 26

15.1 Vektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715.2 Skalarni proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715.3 Vektorski proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2815.4 Ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2915.5 Ravan u analitickoj geometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

16 Neeuklidska geometrija 30

16.1 Istorija neeuklidske geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

17 Geometrija Lobacevskog 33

17.1 O geometriji Lobacevskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

18 Projektivna geometrija 35

19 Aksiomatsko zasnivanje geometrije 37

42

20 O nastavi geometrije u skoli 38

21 Veliki umovi 40

21.1 Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4021.2 Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4021.3 Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4021.4 Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4021.5 Aristotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4121.6 Nikolaj Ivanovic Lobacevski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4121.7 David Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4121.8 Rene Dekart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

43

Literatura[1] Zagorka Snajder, Nacrtna geometrija, Narodna knjiga, 1991.

[2] Slobodanka Keckic, Aksiomatsko zasnivanje geometrije , Beograd, 1973.

[3] Dr Branka Alimpic, O geometriji Lobacevskog , Beograd, 1973.

[4] www.wikipedia.org

[5] http://www.vets.edu.yu/

44