geometrija 2. aksiomatski sistemi in incidencna geometrijamatijac/aksiomatski(2)(2).pdf · 2018. 1....

Aksiomatski sistemi in incidenčna geometrija

GEOMETRIJA2. Aksiomatski sistemi in incidenčna

geometrija

Matija Cencelj

PeF UL 2008

Matija Cencelj GEOMETRIJA, 2. Aksiomatski sistemi in incidenčna geometrija

Definirani in nedefinirani pojmiAksiomiIzrekiModeliPrimer aksiomatskega sistemaAksiomi o vzporedniciAksiomatski sistemi in realni svet

V uvodu smo se v grobem seznanili z Evklidovo shemoorganizacije geometrije.Z zgodovinskim razvojem se je Evklidov sistem razvil vaksiomatski sistem.Osnova vsakega aksiomatskega sistema geometrije jeEvklidova shema, v večih pogledih pa se današnji aksiomatskisistemi razlikujejo od Evklidovega.Mi bomo temelje geometrije prestavili kot aksiomatski sistem.

Nasploh se pogosto pričakuje, da bi se morala vsakamatematična teorija formalizirati v aksiomatski sistem, a v celotiza matematiko ni bilo nikdar povsem doseženo.

Od vseh osnovnih matematičnih disciplin je ravno v geometrijinajbolj uspel aksiomatski pristop in je zato tudi najbolj razširjenin znan.V tem poglavju bomo podali osnovne definicije aksiomatskegasistema, si ogledali njegovo zgradbo in odnose med njegovimisklopi.Pogledali si bomo tudi neki enostavni aksiomatski sistem zageometrijo.S tem bomo položili temelje za aksiomatski sistem ravninskegeometrije, ki ga bomo obravnavali v naslednjih poglavjih inhkrati bolje razumeli, kaj pomeni, da je Evklidov aksiom ovzporednicah neodvisen od ostalih aksiomov.

Prvi sklop aksiomatskega sistema je spisek nedefiniranihpojmov. To so nekateri od strokovnih izrazov, ki jih bomouporabljali.Kot smo že poudarili, je Evklid poskušal definirati vse pojme.Danes vemo, da se tega ne da doseči.V jezikovnih slovarjih sicer najdemo ‘definicije’ za vsakobesedo, a ne da se izogniti temu, da v takem primeru pridemodo začaranega kroga, kjer neko besedo definiramo z drugo,drugo s tretjo itd., dokler neke besede ne definiramo z eno odprejšnjih.

Zato bomo mi privzeli nekatere ključne pojme za nedefinirane.V geometriji so take med drugimi ponavadi točka in premica (vdrugih disciplinah pa npr. množica in element).

Seveda pa bo še vedno veliko pojmov, s katerimi bomo delali,definiranih.

Cilj aksiomatskega sistema je, da je nedefiniranih pojmov čimmanj. Ostale pa definiramo z nedefiniranimi in s prejdefiniranimi pojmi.

Vloga definicij je, da naredimo naše trditve bolj koncizne(natančne in jedrnate).

Primer take definicije je kolinearnost treh točk (pomeni, da vsetri ležijo na isti premici). Precej bolj koncizno je reči, da so tritočke nekolinearne, kot pa reci, da ne obstaja nobena takapremica, na kateri bi vse te tri točke ležale.

Naslednji sklop aksiomatskega sistema je spisek aksiomov.Aksiomi (za nas bo to pomenilo odslej isto kot postulati) sotrditve, ki jih sprejmemo brez dokaza. To so nekako izhodiščenašega dela. Vsaka druga trditev mora biti dokazana (zaksiomi ali z že prej iz aksiomov dokazanimi trditvami).

Aksiomi dajo pomen nedefiniranim pojmom.

Tako, na primer, ne definiramo, kaj je točka ali kaj premica, zaksiomi pa natanko povemo, kaj (katere lastnosti ali odnosimed njimi) o točkah in premicah bomo uporabili pri našemrazvoju geometrije.

V tem smislu z aksiomi ‘definiramo’ nedefinirane pojme.

Vse relevantne predpostavke moramo formulirati v aksiomih inedine lastnosti nedefiniranih pojmov, ki jih bomo smeliuporabljati bodo tiste, ki so neposredno zapisane v aksiomih(katere koli druge lastnosti točk in premic, ki jih čutimo alipoznamo od prej, ne bomo smeli uporabljati, dokler jih nedokažemo iz aksiomov).

Da bomo predstavili geometrijo kot aksiomatski sistem, bomomorali, seveda, privzeti precej več akiomov kot Evklid, saj se nesmemo razen na aksiome, sklicevati na nobene skice alinepredpostavljene lastnosti točk in premic.

Vse relevantne predpostavke moramo formulirati v aksiomih inedine lastnosti nedefiniranih pojmov, ki jih bomo smeliuporabljati bodo tiste, ki so neposredno zapisane v aksiomih(katere koli druge lastnosti točk in premic, ki jih čutimo alipoznamo od prej, ne bomo smeli uporabljati, dokler jih nedokažemo iz aksiomov).

Da bomo predstavili geometrijo kot aksiomatski sistem, bomomorali, seveda, privzeti precej več akiomov kot Evklid, saj se nesmemo razen na aksiome, sklicevati na nobene skice alinepredpostavljene lastnosti točk in premic.

Zadnji sklop aksiomatskega sistema je sklop izrekov in njihovihdokazov. To je ponavadi daleč najobsežnejši del teorije.

Bolj ali manj isti pomen imajo izrazi izrek, lema, trditev (aponavadi jih razumemo tako napisane kot razverščene popadajočem pomenu). Posledica (ali korolar) ima isti pomen, anekako bolj naravnost sledi iz prejšnje (-ih) trditve.

Podobno kot pri Evklidu bomo našo geometrijo strogo logičnoorganizirali: prvi izrek bomo dokazali le s pomočjo aksiomov,drugega z aksiomi in prvim izrekom itd.

Kasneje se bomo še vrnili k logični zgradbi naše geometrije. Toje k logičnim pravilom, ki jih bomo v dokazih uporabljali.

V aksiomatskem sistemu nedefinirani pojmi sami po sebinimajo nobenega pomena (razen tistega, kar je formulirano vaksiomih).

Zato smemo razumemo te pojme na kakršen koli način, ki je vskladu z aksiomi.

Interpretacija aksiomatskega sistema je konkretni način, skaterim damo nedefiniranim pojmom v aksiomatskem sistemuneki pomen.

Interpretaciji pravimo model za aksiomatski sistem, če soaksiomi pravilne izjave v tej interpretaciji.

Ker so vsi izreki dokazani (logično sledijo) iz aksiomov, vemo,da so v vsakem modelu tudi vsi izreki avtomatično pravilneizjave.

Za neko trditev pravimo, da je neodvisna od aksiomov, če nimogoče iz aksiomov dokazati niti pravilnosti niti nepravilnosti tetrditve.

Neodvisnost neke trditve od aksiomov lahko dokažemo tako, danajdemo model za dani sistem, v katerem je trditev pravilna indrugi model, v katerem je ista trditev nepravilna. Kot bomokasneje videli, so ravno tako dokazali, da je Evkliov aksiom ovzporednici neodvisen od ostalih aksiomov.

Aksiomi nekega aksiomatskega sistema so konsistentni, če iznjih ne sledi nobeno protislovje.

Konsistentnost je seveda lastnost, ki si jo za aksiomatski sistemzelo želimo.Tudi to lastnost lahko preverimo z modelom.Če za dani aksiomatski sistem obstaja model, mora biti sistemkonsistenten.

Obstoj modela za evklidsko geometrijo (in s tem konsistentnostevklidske geometrije) se je dolgo kar privzel.

Tudi mi bomo sledili zgodovinskemu razvoju: najprej bomoobravnavali različne geometrije kot aksiomatske sisteme, šelekasneje bomo obravnavali vprašanje konsistentnosti in nanjodgovorili z modelom.

Bolj bežno si poglejmo primer aksiomatskega sistema –incidenčno geometrijo. Tu si oglejmo le njene aksiome inmodele, bolj se ji bomo posvetili v naslednjem poglavju.

Za nedefinirane izraze vzemimo samostalnika točka, premica inglagol ležati na (kot npr. ”točka P leži na premici `”) .

Namesto izraza ”leži na” bi lahko uporabili tudi izraze ”se sreča”ali ”ima neprazen presek z” ali, s tujko ”je incidenten(a) z”.Odtod izraz incidenčna geometrija.

V incidenčni geometriji imamo tri aksiome.

Incidenčni aksiom IZa vsak par različnih točk P in Q obstaja natanko ena premica`, na kateri ležita obe točki P in Q.

Incidenčni aksiom IIZa vsako premico ` obstajata vsaj dve različni točki P in Q, kiležita na `.

Incidenčni aksiom IIIObstajajo tri točke, ki ne ležijo na isti premici.

Temu aksiomatskemu sistemu rečemo incidenčna geometrija,pa tudi modelom zanjo ponavadi rečemo kar incidenčnageometrija.

Preden pa si pogledamo nekaj primerov modelov, pa vpeljimoše eno definicijo.

Definicija

Poljubne točke A, B in C so kolinearne, če obstaja premica `,na kateri ležijo točke A, B in C. Če taka premica ` ne obstaja,so točke A, B in C nekolinearne.

Definicija

S to definicijo lahko tretji incidenčni aksiom izrazimokoncizneje: obstajajo tri nekolinearne točke.

Primer interpretacije: Ravnina treh točk

Naj točka pomeni katerikoli od simbolov A, B in C; premica najbo katerikoli par točk; izraz leži na pa naj pomeni je elementmnožice.

Beseda par tu ne pomeni nič drugega kot množica, ki josestavljata dva različna elementa.

V tej intepretaciji imamo tri različne točke (A, B in C), tri različnepremice ({A, B}, {A, C}, {B, C}). Ker vsak par točk določanatanko eno premico in nobena premica ne vsebuje vseh trehtočk, je ta interpretacija tudi model za incidenčno geometrijo.

Ta ‘geometrija’ torej vsebuje le tri točke. To je primer končnegeometrije (ker ima le končno mnogo točk). Ponavadi takegeometrije predstavimo z diagramom, kjer je vsaka točkapredstavljena s piko, premica pa z daljico. Seveda pa moramoto znati prav prebrati – točke na daljici niso točke v našigeometriji, točke so le krajišča daljic.

B•

A•

•C

Ta ‘geometrija’ torej vsebuje le tri točke. To je primer končnegeometrije (ker ima le končno mnogo točk). Ponavadi takegeometrije predstavimo z diagramom, kjer je vsaka točkapredstavljena s piko, premica pa z daljico. Seveda pa moramoto znati prav prebrati – točke na daljici niso točke v našigeometriji, točke so le krajišča daljic.

B•

A•

•C

Protiprimer - premica treh točk

Tokrat naj točka pomeni kateregakoli od simbolov A, B in C.Premica pa naj bo kar cela množica {A, B, C}.

V tem primeru veljata prva dva incidenčna aksioma, tretji pa nevelja (nimamo teeh nekolinearnih točk), torej to ni modelincidenčne geometrije.

A•

B•

C•

Protiprimer - premica treh točk

Tokrat naj točka pomeni kateregakoli od simbolov A, B in C.Premica pa naj bo kar cela množica {A, B, C}.

V tem primeru veljata prva dva incidenčna aksioma, tretji pa nevelja (nimamo teeh nekolinearnih točk), torej to ni modelincidenčne geometrije.

A•

B•

C•

Geometrija štirih točk

Točka naj bo katerikoli od simbolov A, B, C ali D. Premica najbo poljuben par teh simbolov, ”ležati na” naj spet pomeni ”bitielement”.

V tej interpretaciji imamo šest premic: {A, B}, {A, C}, {A, D},{B, C}, {B, D} in {C, D}. Ker poljubni par točk določa natankoeno premico in nobene tri točke ne ležijo na isti premici, je tomodel incidenčne geometrije.

Geometrija štirih točk

Točka naj bo katerikoli od simbolov A, B, C ali D. Premica najbo poljuben par teh simbolov, ”ležati na” naj spet pomeni ”bitielement”.

V tej interpretaciji imamo šest premic: {A, B}, {A, C}, {A, D},{B, C}, {B, D} in {C, D}. Ker poljubni par točk določa natankoeno premico in nobene tri točke ne ležijo na isti premici, je tomodel incidenčne geometrije.

A•

B•

D•

C•

Primer - železniško omrežje

V tej interpretaciji so tri točke: Ljubljana, Nova Gorica inJesenice. Premica je (najbližja) železniška povezava iz enegamesta do drugega – vsak par teh mest ima natanko enonajbližjo železniško povezavo. Torej imamo tri različne premicev tej interpretaciji. Tudi to je model incidenčne geometrije.

Diagram za ta model je seveda natanko tak kot za prvi primer –geometrijo treh točk.

Primer - železniško omrežje

V tej interpretaciji so tri točke: Ljubljana, Nova Gorica inJesenice. Premica je (najbližja) železniška povezava iz enegamesta do drugega – vsak par teh mest ima natanko enonajbližjo železniško povezavo. Torej imamo tri različne premicev tej interpretaciji. Tudi to je model incidenčne geometrije.

Diagram za ta model je seveda natanko tak kot za prvi primer –geometrijo treh točk.

Primer – Fanova geometrija

Točka naj bo katerikoli od simbolov A, B, C, D, E , F in G.Premica naj bo katerakoli od naslednjih trojic točk.

{A, B, C}, {C, D, E}, {E , F , A}, {A, G, D}, {C, G, F}, {E , G, B},{B, D, F}

Ni težko preveriti, da je Fanova geometrija [Gino Fano,1871-1952] model incidenčne geometrije.

A•

•E

B•

C•

G•

•F •D

Ti primeri so nam pokazali, da se da nedefinirane pojme vaksiomatskem sistemu interpretirati na zelo različne načine.Noben model ni ‘bolj enakopraven’ od ostalih. Posebej smoopazili, da sta geometrija treh točk in primer železniškegaomrežja v bistvu ista stvar; imena točk in premic so drugačna,vsi bistveni odnosi med njimi pa so isti. Z lahkoto bi našlibijektivno preslikavo med množicama točk oziroma premicenega modela in ustreznima množicama drugega modela.Taka bijekcija bi ohranjala vse za geometrijo bistvene odnose(kot je na primer incidenca). Modeloma, ki sta v taki relaciji,pravimo, da sta izomorfna.

Vsi dosedanji primeri so modeli končnih geometrij. Seveda sonam že iz šole bližje neskončne geometrije. Poglejmo si šenekaj takih primerov.

Primer – (Kartezijeva) ravnina R2

Z R2 bomo označevali koordinatno ali Kartezijevo ravnino, vkateri so vse točke – urejeni pari (x , y), x , y ∈ R. Dana realnaštevila a, b in c, od katerih vsaj en od a ali b ni enak 0, določajopremico `, ki jo sestavljajo vse točke (x , y), za katere veljaenačba

ax + by + c = 0 .

Točka leži na premici, če njene koordinate ustrezajo enačbipremice.To je model incidenčne geometrije.

Protiprimer – sfera

Tu je točka točka na 2-sferi (=površina 3-krogle) S2. Torej je totrojica (x , y , z), za katere velja

x2 + y2 + z2 = 1 .

Premica je glavni krog sfere, ‘ležati na’ pa spet pomeni ‘bitielement’.

To je interpretacija, ni pa model – skozi dan par antipodnih točkgre neskončno različnih glavnih krogov.

x2 + y2 + z2 = 1 .

Primer – Kleinov diskTočka naj tu pomeni točko v enotskem krogu ravnine, tj. (x , y) zx2 + y2 < 1. Premica naj bo tu tisti del premice, ki leži venotskem krogu, ”ležati na” pa naj ima običajni (evklidski)pomen. To je model incidenčne geometrije.

n

m

l

P

Kleinov disk je primer neskončnega modela (neskončnost se tunanaša na število točk, ne na neomejenost razdalj med njimi)za incidenčno geometrijo, podobno kot to velja za Kartezijevoravnino R× R. Očitno pa gre za že na pogled različna modela.Razlika pa je tu tudi globlja – v naslednjem razdelku si bomoogledali to razliko glede na obstoj vzporednic.

V tem razdelku si bomo pobliže ogledali vzporednost vincidenčni geometriji. Namen tega je, da si jasno predočimo,kaj pomeni, da je Evklidov aksiom o vzporednici neodvisen odostalih aksiomov geometrije.

Najprej bomo definirali pojem vzporednosti – to bo drugi pojem,ki ga tu definiramo (prvi je bil kolinearnost). Na voljo imamorazlične možnosti, kako definirati vzporednost. Izbrali bomonajenostavnejšega, ki ga je uporabljal tudi Evklid – premici stavzporedni, če se ne sekata. Seveda je taka definicija uporabnale za geometrijo ravnine, v prostoru se tudi mimobežnici nesekata. A mi se bomo itak omejili na ravninsko geometrijo.Opazimo še tole posledico take definicije: premica sama sebi nivzporedna.

Definicija

Premici m in ` sta vzporedni, če se ne sekata, tj. če ne obstajanobena točka, ki bi ležala na obeh premicah. S simboli tozapišemo: m ‖ `.

Mi bomo uporabljali tri aksiome o vzporednici. Prvemu bomorekli evklidski, čeprav ga Evklid ni tako zapisal. Kasneje bomovideli, da je v pravem kontekstu logično ekvivalentenEvklidovemu petemu aksiomu.

Evklidski aksiom o vzporednici

Za poljubno premico ` in poljubno točko P, ki ne leži na `,obstaja natanko ena premica m, da točka P leži na m in jem ‖ `.

Definicija

Obstajajo pa tudi druge možnosti. Mi si bomo pobliže ogledalinaslednji dve.

Eliptični aksiom o vzporednici

Za poljubno premico ` in poljubno točko P, ki ne leži na `, neobstaja taka premica m, da točka P leži na m in je m ‖ `.

Hiperbolični aksiom o vzporednici

Za poljubno premico ` in poljubno točko P, ki ne leži na `,obstajata vsaj dve premici m in n, da točka P leži na m in na nin velja m ‖ ` in n ‖ `.

Ti (očitno medsebojno nasprotujoči si) aksiomi niso kaki noviaksiomi za incidenčno geometrijo, ampak so trditve, ki veljajo vkakem modelu incidenčne geometrije, v kakem drugem modelupa ne. Oglejmo si nekaj konkretnih primerov.

Primer: vzporednost v geometriji treh ali štirih točk

V ravnini s tremi točkami (kjer so premice pari različnih točk) sepoljubni premici sekata, torej nimamo sploh nobenihvzporednic. Torej za ravnino treh točk velja eliptični aksiom ovzporednici.

V ravnini štirih točk (kjer so premice pari različnih točk) imavsaka premica natanko eno vzporednico: skozi točko C naprimer poteka premici {A, B} natanko ena vzporednica –premica {C, D}. Torej tu velja evklidski aksiom o vzporednici.

V ravnini s tremi točkami (kjer so premice pari različnih točk) sepoljubni premici sekata, torej nimamo sploh no

geometrija 2. aksiomatski sistemi in incidencna geometrijamatijac/aksiomatski(2)(2).pdf · 2018. 1....

Documents