Geometriai érdekességek M. C. Escher rajzaiban

Gábor Ferenc Pályázat Matematika 2007-2008

Készítette: Meszéna Dóra 11.F osztályos tanuló

„A matematika bizonyos tekintetben mindig is az összekötő kapocs szerepét játszotta

a különböző tudományok, valamint a tudomány és a művészet között. Meggyőződésem, hogy e tekintetben

a matematikára a jövőben még fokozottabb szerep hárul.„

/Rényi Alfréd/

Bevezetés:

Még tizedikes koromban figyeltem fel M. C. Escher rajzaira, mikor Ritter Betty tanárnő az egyik matematika óránk alkalmával behozott egy Escher-ről szóló könyvet, és mutatta az általa készült sajátos stílusú képeket, műveket. Az én érdeklődésem már régóta a matematika és a rajz irányába fordult, talán emiatt tűnt annyira közelinek és számomra igen érdekesnek a téma. Már akkor eldöntöttem, hogy kicsit többet fogok ezzel a témával foglalkozni, mint hogy megnézem a képeket a könyvben. Bár Escher grafikus művésznek vallotta magát, aki főként fametszeteket és litográfiákat készített, a képeit tanulmányozó néző óhatatlanul észre veszi, hogy nem egyszerű grafikákat csodál. Művészet és tudomány karöltve figyelhető meg ezekben az alkotásokban. Dolgozatomban elsősorban nem Escher életét és személyiségét szeretném bemutatni, habár valamennyit érdemes róla tudni. De ennek a munkámnak a témája inkább azoknak a matematika alakzatoknak a vizsgálata, amelyeket ő is alkalmazott rajzaiban, műveiben.

2

Maurits Cornelis Escher (1898—1972) élete:

1898. június 17-én a Hollandia északi részén elterülő Friesland tartomány székhelyén Leeuwardenben született. Két bátyjával és szüleivel – George Arnold Escher, Sarah Gleichman Escher – azonban csakhamar Arnhembe költözött maga mögött hagyva a ma múzeumként működő családi házat. Az arnhemi középiskolában tanára, F. W. van der Haagen felfigyelt az ifjú Escher rajztehetségére. Irányítása alatt Escher megtanulta a linómetszés technikáját, ami nagymértékben hozzájárult grafikai készségének kialakításához. Középiskola után apja tanácsára építészetet kezdett tanulni a haarlemi Építészeti és Díszítő Művészeti Főiskolán, ahol megismerkedett Samuel Jessurun de Mesquita-val. A holland művész Escher tehetségét felismerve építészet helyett grafikai tanulmányokra buzdította újdonsült ismerősét. Az építészet iránt egyébként sem lelkesedő Escher boldogan folytatta immár grafikai tanulmányait 1919 és 1922 között Mesquita tanítványaként, akinek erős egyénisége döntően befolyásolta további pályafutását. Tőle tanulta a fametszet készítés technikáját, s azt hogy hogyan bánjon a fával, mint anyaggal. Tanulmányai befejeztével, 1922-ben Olaszországba utazott új inspirációk után kutatva, majd 1924-ben, Rómában telepedett le. Az elkövetkező években számos tanulmányutat tett, főként vidékre. Ellátogatott az Amalfi tengerpartra, Abruzzóba, Calabria eldugott városaiba, Szicíliába, az Etna környékére, Korzikára és Spanyolországba. Ebben az időszakban elsősorban tájak, épületek és természeti formák hatották rá. Környezetét természethű módon ábrázolta, minek során a különféle grafikai technikák elsajátítására fektette a hangsúlyt. Nem is annyira a tartalom, mintsem az ábrázolás mikéntje volt lényeges számára. Az ekkor készült fametszetek és litográfiák nagy részét Escher nem tartotta túl értékesnek, inkább mint ujjgyakorlatot tartotta számon őket. 1934-ben maga mögött hagyva Olaszországot először Svájcban, Belgiumban majd Spanyolországban telepedett le. A tájak és épületek itt már kevésbé hatottak rá, egyre inkább elfordult a minket körülvevő világ, a látható valóság többé-kevésbé direkt módon való ábrázolásától. Grafikai munkái fokozatosan új irányt vettek. 1936-ban Spanyolországba látogatott, ahol nagy alapossággal tanulmányozta az iszlám építőművészet díszítőelemeit és remekműveit. A granadai Alhambra – 13-14. században épült arab fejedelmi palota – és a cordobai La Mezquita – a nyugati arab világ egykori főmecsetje – a falak és padlók díszítésére használt egybevágó színes majolikacsempéivel ragadta meg Eschert. Számos metszetében fedezhető fel a mór csempézés ihlette szabályos felületfelosztás. Az iszlám művészet vallási okokból részesítette az absztrakt mintákat előnyben. A II. világháború kitörését követően családjával hazaköltözött Hollandiába, Baarn városába. A német megszállás zaklatott időszakában Escher nem találta meg a kreatív gondolkodáshoz nélkülözhetetlen nyugalmat, így főként csak kézügyességet igénylő alkotásokat készített. A háború után a térbeli konstrukciók ábrázolása felé fordult. Elkészítette a lehetetlen tárgyak, épületek és a relativitások metszeteit. Bár Escher egyre több munkamegbízást kapott, s 1949-ben, Rotterdamban ismertetővel egybekötött kiállítást is rendeztek képeiből, a világ csak később ismerte meg a nevét. Az 50-es évek eleje hozta meg számára az áttörést, amikor az amerikai sajtó felfigyelt rá, s munkásságáról cikkek jelentek meg a Time és Life magazinokban. Az Európában és Amerikában tartott előadásai iránt a társadalom egyre szélesebb rétege, beleértve a tudományos világot is, fokozódó érdeklődést tanúsított. Az 50-es évek végén mindinkább elmélyedt a végtelen megközelítésének és a sík parkettázásának témájában. Egészsége lassú romlásával aktivitása fokozatosan csökkent, és már nem készített új terveket, 73 évesen bekövetkezett haláláig (1972. március 27. Baarn), azért folyamatosan dolgozott, nyomatokat készítve korábbi metszeteiről.

3

Síkkitöltések-végtelen mozaikok

A kezdet talán a mór díszítőművészet tanulmányozása lehetett, amelynek geometrikus motívumai, absztrakt alakzatai, szimmetriái igen érdekesek Escher Spanyolországban az Alhambra a cordobai mecset fal- és padlómintáiról sok vázlatot készített, majd "tovább játszott" a témával. Ismétlődő motívumnak már nem absztrakt alakzatokat, hanem hol Pegazusokat (a görög mitológiában a múzsák szárnyas lovai), hol lovasokat vagy bogarakat, máskor gyíkokat stb. választott. Ezek Eschernél hézagmentesen és egyrétűen illeszkednek, és így mozaikot alkotnak. Rengeteg mozaikszerű képe van. Ezek lényegében ugyanúgy, ismétlődnek, ugyanolyan rendszer szerint illeszkednek egymáshoz, mint bizonyos kristályok (persze itt egy térbeli problémakör síkbeli analógiájáról van szó). Ez az, ami miatt több matematikus, krisztallográfus (kristálytannal foglalkozó), fizikus, kémikus, geológus is felfigyelt a művészre. Escher sokat foglalkozott az ilyen "periodikus" rajzok módszeres kiszínezésével: az egybevágó figurákat meghatározott rend szerint, különböző színűre festette. Különösen sok "fekete-fehér" rajzot készített, de többszínűeket is. Ez a színezés a kristálytanban annak felelhet meg, hogy a formailag egybevágó kristály-poliédereknek eltérő fizikai tulajdonságai vannak. Különösen fontosak a fekete-fehér (kétszínű) rajzok. Eschert nem a természettudományos szempontok vezették, hanem a művészi elképzelései, "játék" a formákkal és a színekkel. Így teremtette meg az ún. színes szimmetriák elméletének alapjait. Escher később egyre jobban vonzódott a matematikai és természettudományos témákhoz. Biztos szerepe volt ebben annak is, hogy több tudós (köztük, pl. Coxeter) keresett vele kapcsolatot, matematikai és kristálytani kongresszusokra hívták meg kiállítani. Rajzain gömbök, spirálok, Möbius-szalagok tűnnek fel, máskor különös térszemlélete kelt meghökkenést. Így érthető, hogy több tudományos munkában is találkozhatunk Escher rajzaival. A kétdimenziós kristálytan elmélete a sorminták természetesen adódó kiterjesztése a síkra, a szokásos tapéták, és parketták ismétlődő mintáinak szimmetria csoportja. A végtelen kétdimenziós csoportokat az különbözteti meg a végtelen egydimenziós csoportoktól, hogy független eltolásokat tartalmaznak. Fjodorov, a neves krisztallográfus bebizonyította, hogy összesen 17 különböző kétdimenziós mozgáscsoport létezik.

4

Sorminták előállításánál olyan mozgásokat alkalmazunk egymás után, melyek egy rögzített egyenest mindig változatlanul hagynak. Mozaiknak nevezzük a síkot hézagok és átfedések nélkül beborító sokszög-elrendezést. Egy mozaikot akkor mondunk szabályosnak, ha minden lapja és minden csúcsalakzata szabályos sokszög. A parkettázás: a terület lefedése a parkettakészlet elemeinek megengedett elmozgatásaival úgy, hogy a parketták belsejei diszjunktak legyenek. Vannak olyan parkettakészletek, amelyekkel a sík kiparkettázható, de csak nem teljesen periodikus módon. Sőt mi több a parkettázás lehetősége a parkettakészlet ismeretében nem eldönthető. A definíció szabadsági foka miatt persze a szokásos kérdések mellett nem standard problémák is felvethetők (például a parkettázandó objektum lehet egy végesen generált csoport, a parketták a csoport bizonyos véges részhalmazai).

5

A síknak olyan egyszerű alakzatokkal történő kitöltése, mint a négyzet, téglalap, paralelogramma, tetszőleges háromszög (amiből egy oldalfelező pontra történő tükrözéssel paralelogrammát kaphatunk – ezt a szimmetriát Escher is gyakran alkalmazta) egészen nyilvánvaló. Könnyen felismerhetjük, hogy a síkot kitöltő alakzat bonyolultsága tetszőlegesen fokozható, és ezt használta ki Escher a műveiben:

Möbius szalag és a Klein-kancsó

A matematikust elsősorban a csomók topologikus tulajdonságai érdeklik-azok a sajátosságok, amelyek folytonos deformációk hatására nem változnak meg. Ezek közül a legalapvetőbb a csomózottság. A csomók a térgörbék legközvetlenebb topologikus sajátosságai. A görbék után a felületek következnek, a felületek után, pedig ezek többdimenziós általánosításai. A

6

topológia a folytonosság fogalmának mélyebb hatásait tanulmányozza, és folytonossági meggondolások szinte mindenütt előfordulhatnak. Ezért vált a topológia a matematika fontos részévé. A topológia „előtörténetében” volt fontos személy Gauss is, aki többször is hangsúlyozta mennyire fontos az alakzatok geometriai alaptulajdonságainak a vizsgálata, de ehhez néhány csomókról és láncokról szóló megjegyzésen kívül semmi többel nem járult hozzá. Gauss egy tanítványa, August Ferdinánd Möbius volt az első, aki a topologikus transzformációt definiálta, ahol az egyik alakzat közeli pontjainak a másik alakzatban is közeli pontok felelnek meg. Möbius a felületek és ezeknek a poliéderekhez való viszonyát vizsgálta, ami később a tárgy egyik központi témájává vált. 1858-ban ő és Johann Listing felfedezték, hogy léteznek egyoldalú felületek, amelyek közül a Möbius-szalag lett a leghíresebb. A Möbius-szalagnak sok érdekes tulajdonsága van. A legfontosabb talán, hogy egy ún. egyoldalú, másképpen szólva nem irányítható felület, melynek egyetlen határvonala van. A Möbius-szalag határvonala topológiai szempontból egy körvonal. Ha két Möbius-szalagot a határvonala mentén összeragasztjuk, akkor épp egy Klein-kancsót kapunk. A Klein-kancsó Felix Christian Klein-ről kapta a nevét. A Klein-kancsó egy egyoldalú zárt felület. És amiért ezt megemlítettem: Escher műveiben gyakran ráismerhetünk a Möbiusz-szalagra vagy akár a Klein-kancsóra is.

7

Fraktálok:

1975-ben Beniot Mandelbrot az egyes természeti formákban fellelt matematikai objektumok megnevezésére a latin fractus (jelentése: szabálytalan, tört) szóból megalkotta a fraktál szót, így adott önálló létet ezeknek az alakzatoknak. Az elnevezés az alakzatok törtszámú dimenziójára utal.

Definíció szerint a fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy felismerhető (tehát matematikai eszközökkel leírható) ismétlődés tapasztalható. Az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb rész felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy nagyobb rész. Ilyen például a természetben a villám mintázata, a levél erezete, a felhők formája, a hópelyhek alakja, a hegyek csipkézete, a fa ágai, a hullámok fodrozódása és még sok más. – A fraktál szóval rendszerint az önhasonló alakzatok közül azokra utalnak, amelyeket egy matematikai formulával le lehet írni, vagy meg lehet alkotni. Ismertebb fraktálok és fraktálcsaládok: Mandelbrot-halmaz, Julia-halmaz, Koch-görbe, Cantor-szőnyeg.

8

Befejezés: A nagy gondolkodókat mindig a gondolkodás élvezete sarkallta. Krisztus előtt a hatodik században Püthagorasz és tanítványai már nekiláttak annak, hogy olyan közös számtani törvényeket találjanak, melyek összekötik a geometriát, a művészeteket, a csillagászatot. A civilizációk fokozatosan egyre összetettebb szabályokat fejlesztettek ki az ismeretek kombinálására. Például mértani ábrákat. Az elvont tudásanyag és mindaz, amit kísérleti

9

tudományként ismerünk, ezekből a szabályokból nőtt ki. A tudomány azért keletkezett és azért indult virágzásnak, mert gondolkodni jó. Az új felfedezések mindig azokat az embereket kedvelik, akik annyira szeretnek játszani, hogy az ismert dolgok határain túlra kóborolva addig ismeretlen területeket kezdenek felfedezni. Ha a gondolkodók nem élvezték volna a rendnek, a tudat rendszerezésének az érzését, akkor nem lennének matematikai és fizikai alapelvek. Kant állítólag az óráját tette be egy edénybe főni, és a tojást fogta a kezében, hogy mérje az időt. Ekkor valószínűleg minden pszichikai energiáját abba fektette, hogy elvont gondolataival foglalkozzon és nem maradt ideje a való világ esetleges problémáira. A gondolatokkal, szabályokkal való játék egész különleges örömet nyújt. Az új ötletek felbukkanását is az az öröm táplálja, amely a valóság megközelítésének, leírásának új módját kíséri. A mindennapi éltünkben is hasznos, ha vannak olyan szabálykészleteink, melyeken elménk dolgozhat. Akinek nincs ilyen belső szimbólumrendszere, azt könnyen manipulálhatják, a média foglyává válhat. Ha függőségbe kerülünk, az azért van, mert kevés olyan belső szabály van a birtokunkban, ami visszatartaná elménket attól, hogy átvegyék felette a hatalmat.

10

Irodalomjegyzék: • M.C.Escher: Grafikák és Rajzok (Taschen1989/Vince Kiadó1992)

• Ian Stewart: A Matematika Problémái

(Oxford University Press1987/Akadémiai Kiadó1991) • Fokasz Nikosz: Káosz és Fraktálok

(1999/Új Mandátum Könyvkiadó2000) • www.jgypk.u-szeged.hu

• www.members.iif.hu • Csíkszentmihályi Mihály: Flow- Az áramlat

(Akadémiai Kiadó1991)

11