7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)

1/26

85

Geometra

18reasdeRegionesCirculares

PROPIEDADES1. En todo tringulo rectngulo la suma de las reas de

las figuras semejantes construidas sobre los catetos, esigual al rea de la figura semejante construida sobre lahipotenusa.

CRCULO

A= R2

Demostracin:

A : reaR : radio

R

A

SECTOR CIRCULAR

RA

R

R

..R2

360A=

CORONA CIRCULAR

A= (R2-r2)

R

A

r

TRAPECIO CIRCULAR

R

Ar ..

360A= (R2-r2)

SEGMENTO CIRCULAR

R

A

R

R

O

A B

A=A(sector AOB)-A( AOB) R2

360A= - sen

R2

2

S1+S

2=S

B

A C

S1

S2

S

AB2

AC2

Sumando:

Pero:AB2+BC2=AC2

S1+S

2=S

=

= =1

S1+S2S

AC2

AC2

S1+S2S

AB2+BC2

AC2

= =S

1

S2

BC2

AC2S

2

S

Por ser semejantes

7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)

2/26

86

5to Secundaria

LNULAS DE HIPCRATES

S1+S2=S

Por la propiedad anterior:(S

1+M)+(S

2+N)=S+M+N

S1+S

2=S

Demostracin:

B

A C

L

S

S2

S1

NM

2.

3.

SABC=x-y

B

A C

x

y

A B

Sx

S

C DO

1) En el grfico mostrado, ABCD es un rectngulo.Si S

1-S

2=12 m2, halla el rea de la semicircunferencia menor.

(Z+y+P)+(y+W+Q)=P+Q+xy+Z+W=x-ySABC=x-y

Demostracin:

A D

S1

B C

S2

Resolucin:

Se observa que AD=2CD

S1+S= =2R2 ...................(1)

S2+S= ....................................(2)

(1)-(2):

S1-S

2=

= .........................................(3)

(2)=(3) S+S2=4

Rpta.: 4 m2

(2R)2

2

r2

2

3

2r2

12

3r2

2

2) En la figura se muestra dos semicircunferenciasconcntricas en el punto O. Calcula S

x si S=2m2 y

AC=OC.

B

A C

x

Z W

QP

y

A D

S1

B C

S2

Sr

r

2r2r

2r

Resolucin:

A B

Sx

S

C DO

T

r r r r

r2r

P

Se observa que las figuras de reas Sxy S son semejantes,

siendo PO y TO los lados homlogos.

= = =4

Sx=4S=8 m2

Rpta.: 8 m2

SxS

TOPO

2rr( )( )

2 2

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3/26

87

Geometra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

Calcula A-B.

Resolucin:

A120

4u

4u

30

B

8u

8u

Halla el rea de un crculo inscrito en el sectorcircular mostrado si R=6.

Resolucin:

A

B

O 60

R

R

Si el lado del cuadrado ABCD es 6, calcula elrea de la regin sombreada (A y D: centros).

Resolucin:

B C

A D

P

En la figura se pide calcular el rea de la regin

sombreada si el lado del cuadrado ABCD mide

6m.

Resolucin:

B C

A D

7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)

4/26

88

5to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6 Halla el rea sombreada si AO=OB=10,

adems PRQS es un cuadrado.

Resolucin:

A O BSP

RQ

7. Halla el rea Sxsi: S

1+S

2+S

3=100u2.

Halla el rea de la regin sombreada si el trin-

gulo ABC es equiltero de lado 4 y M, N

y P son puntos medios.

Resolucin:

A

B

C

M N

P

8. En la figura, calcula el rea de la regin sombreadasi AO=OB=2m.

9. En la figura, halla el rea de la regin sombreadasi AP=3 y QC=4.

10. Calcula S1-S

2.

A

O B

C

S1

S2

4

6

4

B C

A D

S1

S2

Sx

S3

A O B

45

CD

A

B

C

P Q

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5/26

89

Geometra

A D

B C

O

11. En la figura se tiene un cuadrado de lado2m. Calcula el rea sombreada (O:centro delcuadrado).

12. Halla el rea de la regin sombreada donde loslados del cuadrado ABCD son dimetros de lossemicrculos, adems AB=6.

1. El rea del crculo es 64u2. Calcula el radioR.

a) 2 u b) 4 u c) 6 ud) 8 u e) 10 u

R

2. Calcula el rea de la regin sombreada.

a) 4(-2)m2 b) (4-2)m2 c) (8-4)m2

d) 2(-4)m2 e) (-1)m2

A

O

4m

B4m

3. Halla el rea sombreada si el lado del cuadradoABCD mide 2u.

a) ( - 2) u2

b) (+2) u2

c) 2(-2) u2

d) 2(-1) u2

e) 2(+2) u2

B C

A D

4. En un trapecio rectngulo el permetro es 18 uy el lado mayor no paralelo es 7 u. Entonces elrea del crculo inscrito en el trapecio es:

a) 2 u2

b) u2

c) /2 u2

d) 4 u2

e) 3/2 u2

A D

B C

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6/26

90

5to Secundaria

5. Halla r si S1+S

2=16 u2.

a) 4 u b) 8 u c) 2 ud) 2 2 u e) 4 2 u

O

S2

S1

r

r

6. Halla el rea de la corona circular mostrada siAB=2 m. (T: punto de tangencia)

a) m2 b) 2m2 c) 3m2

d) 4m2 e) 6m2

A BT

7. En la figura, halla S2-S

1 si el lado del cuadrado

ABCD es igual a 4cm.

a) (3-8)cm2 b) 2(3-8)cm2c) 2(3-4)cm2

d) 2(3+4)cm2 e) N.A.

B C

A D

S1

S2

8. Si AO=OB, calcula x/y.

a) 1/2 b) 2/3 c) 1d) 3/4 e) 4/5

BO

A

x

y

9. Determina el rea de la regin sombreada, siABCD es un cuadrado de lado 4u.

a) (16-9) u2 b) (32-9)/2 u2c) (32-9) u2

d) (16-5) u2 e) N.A.

B C

A D

10. En la figura si O y O1 son centros, calcula

el rea de la regin sombreada, adems R=2.

a) (-1)u2 b) (-2)u2 c) (-4)u2

d) u2 e) 2u2

11. Calcula el rea de la regin sombreada siCF=6.

a) 9u2 b) 18u2 c) 12u2

d) 6u2 e) 20u2

A F B

C

12. Calcula el rea de la regin sombreada MNPQsi MQ=8 u y mNP=90.

a) 16 u2

b) 18 u2

c) 24 u2

d) 36 u2 e) 32 u2

A Q B

P

OM

N

O O1

R

7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)

7/26

91

Geometra

19 Nociones Bsicas de laGeometra del Espacio

INTRODUCCINHasta el momento conocemos figuras geomtricas ubicadasslo en un plano, tales como el tringulo, el cuadriltero,el crculo, etc. Sin embargo, en nuestra vida cotidiana ob-servamos que en nuestro entorno existen objetos que noestn ubicados en un solo plano; tales como una caja, unacolumna, un edificio, etc. Esto nos hace ver la necesidadde analizar la forma y extensin de los objetos ubicados enel espacio, lo cual se puede hacer representndolos medi-ante figuras geomtricas espaciales denominados slidosgeomtricos, para esto tambin ser necesario tener unmanejo adecuado de las rectas, planos, ngulos diedros,

etc., y sobre todo paciencia, orden y perseverancia por partedel alumnado.

PFigura en el plano

P

Figura en el espacio

A) Punto

Representacin grfica de un punto.

B RECTARepresentacin grfica de una recta.

A Notacin.- Punto A

B

A

Notacin.- Segmento de rectaAB o AB

L

Notacin.- Recta L: L

C PLANO

Se denomina superficie plana o plano a una superficietal que la recta que une a dos puntos cualesquiera tienetodos sus otros puntos en la misma superficie. Todoplano se supone de extensin ilimitada. La mayor partede los objetos planos que observamos son porcionesde plano de forma rectangular; por esta razn y antela imposibilidad de representar los planos indefinidosadoptaremos la representacin convencional porregiones paralelogrmicas que es el aspecto que tiene

aproximadamente los rectngulos vistos en perspectivadesde cierta distancia.

Notacin.- Plano P: P

B

P

L

Un plano P queda determinado por uno de los cuatrocasos.

Determinacin de un plano

Conceptos previos

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92

5to Secundaria

Tres puntos no colineales determinan un plano.

1. Teorema

B

P

AC

Si A, B y C son puntos no colineales.

A, B y C determinan el plano P.

Una recta y un punto, que no pertenece a ella,determinan un plano.

2. Teorema

P

A L

A y L determinan al plano P.

Si AL

Si L1L

2= {Q}

P

QL

1

L2

L1y L

2determinan al plano P.

Dos rectas paralelas determinan un plano.

4. Teorema

P

L1

L2

L1y L

2determinan al plano P.

Si L1// L

2

Posiciones Relativas de dos planos

: Vaco o Nulo

Si P Q =

P // Q

Dos planos son paralelos o paralelos entre s, cuando notienen un punto en comn, es decir, no se intersecan.

A. Planos Paralelos

P

Q

Son dos planos que tienen una recta en comndenominada arista o traza de un plano sobre el otro.

B. Planos Secantes

AristaP

Q

L

P y Q son secantes.

Si P Q = L

Posiciones Relativas de una Recta y un Plano

Una recta est contenida en un plano cuando todos lospuntos de dicha recta pertenecen al plano.

1. Recta contenida en un plano

P A

BL

Observacin

Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, dicharecta est contenida en dicho plano.

Si A P y B P

Dos rectas secantes determinan un plano.

3. Teorema

L P

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93

Geometra

2. Recta secante al plano

Una recta se denomina secante a un plano, si slotiene un punto en comn con el plano, al cual se ledenomina punto de interseccin o traza de la recta sobre

el plano.

P

M

L

L y P : Secantes

Punto M : Pie de la recta secante

Si L P = {M}

El Dato

Dos rectas son no coplanares si no son paralelas nisecantes.

POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

1. Rectas Secantes

P

ba

a y b son secantes y pertenecen al plano P.

2. Rectas Paralelas

m y n son paralelas y pertenecen al plano P.

P

mn

3. Recta paralela a un plano

Una recta y un plano son paralelos si no tienenningn punto en comn.

P

L

L // P

Si L P =

3. Rectas Cruzadas o Alabeadas

a

b

P

Q

d

Recta perpendicular a un plano

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendiculara dos rectas contenidas en dicho plano.

L1 L

2

P

a

Si a L1y L

2 a al plano P.

Teorema de las tres perpendiculares

Si se cumple: a plano Q b est contenida en el plano Q HE b F es un punto cualquiera de a.

EF b

a P b Q d : distancia entre a y b

Q b

a

E

H

F

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94

5to Secundaria

Es el ngulo determinado por dos rayos respectivamenteparalelos a las rectas dadas y cuyo origen es un puntocualquiera en el espacio.

Observacin

Si una recta es perpendicular a un plano, entoncesser perpendicular a todas las rectas contenidas endicho plano.

NGULO ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS

m

A B

O

n

P

Por un punto de una de ellas se traza una recta paralelaa la otra determinandose as el ngulo que se busca.

OTRA FORMA

l

mn

P

P

Es el ngulo formado por la proyeccin ortogonal de larecta respecto al plano.

NGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

P

A

H

l

Si AH P

TEOREMA DE TALES EN EL ESPACIO

A D

B E

C FR

Q

P

Si P // Q // R

ABBC

DEEF

=

Si OA // m y OB // n

es el ngulo entre m y n

Si n // m

es el ngulo entre ly n

es el ngulo entre l y el P

Resolucin:

A

F

B

CH

M8

4

3

x

O6

C

1) En una circunferencia de dimetro AB; se traza AFperpendicular al plano de la circunferencia. Si la cuerdaBC de la circunferencia mide 6 m y AF = 8 m, calculala longitud del segmento que une el punto medio deAB con el punto medio de FC.

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95

Geometra

Resolucin:

A

F

B

C

M

l

l

l

2l

x

Resolucin:

A

F

ME

C

D

H

P

N

B

Q

2 2

3

22

2

4

4

Resolucin:

4) Los cuadrados ABCD y ABMN se encuentran en

planos perpendiculares, siendo O centro del cuadrado

ABMN. Calcula el permetro de ABCD si CO = 3 u.

A

D

C

M

NO

l

l

B

3

Si AF C AF AC

AB dimetrom ACB = 90

MH // AF MH CMH HO

Pero: AH = HC y MH = FA/2 = 4

(T. Puntos medios)En ACB: AO = OB AH = HC

HO = 6/2 = 3

En MHO:

x2= 32+ 42 x = 5

Rpta.: 5

2) Por el vrtice A de un tringulo equiltero ABC se traza

AF perpendicular al plano del tringulo, adems

2 AF = AB. Calcula el ngulo que forma FM con elplano del tringulo si M es punto medio de BC.

MN // AF MNAB; MN ABCD MNNCEn MNC: QH // MNQHNC;QH = MN/2QH = 2; NH = HC(Teorema puntos medios)

En el trapecio DANC: PH es mediana

PH = PH = 3

Como QH // MN QH ABCD QH PH

PHQ:

T. Pitgoras: x2= 32+ 22 x = 13

Rpta.: 13 u

4 + 22

3) Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicados en

planos perpendiculares. Calcula la distancia entre lospuntos medios de AD y MC (M punto medio de EF) siAB = 4 u.

AF ABC AFAM FAM rectngulo: AM = l 3 FAM notable: x = 30 Rpta.: 30

Si ABCD ABMN CB BOSi AB = lOB = l 2/2; BC = l CBO: (OC)2= (BC)2+ (BO)2

( 3)2= l2+ (l 2/2)2

3 = l= 2

2pABCD

= 4 2 u

Rpta.: 4 2 u

3l

2

2

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12/26

96

5to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Indica verdadero (V) o falso (F). segn corres-ponda:

( ) Una recta y un punto, que no pertenece a

ella, determinan un plano.

( ) Dos rectas secantes no forman un plano.

( ) Dos rectas paralelas determinan un plano.

Resolucin:

Indica verdadero (V) o falso (F) segn corres-

ponda:

( ) Tres puntos cualquiera determinan un plano.

( ) Una recta y un punto determinan un plano.

( ) Dos puntos no colineales forman un plano.

Resolucin:

Con K rectas paralelas se determinan 66planos como mximo. Halla K.

Resolucin:

Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubica-

dos en planos perpendiculares y cuyos centros

son P y Q, respectivamente. Calcula la distancia

PQ si AB = 4 u.

Resolucin:

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97

Geometra

Rpta:

5

Rpta:

6Si OA es perpendicular al plano P, OA = 5,

r = 2 y T es punto de tangencia. Halla AM

si TM = 8.

Resolucin:

A

MTL

Or

P

A B C

P

Q

En el grfico A, B y C pertenecen al

plano Q. Si PA, PB y PC forman en el plano

ngulos de 45, 30 y 53, adems PC = 15,

calcula PA/PB.

Resolucin:

7. Si AB y CD son dos segmentos ortogonalesque miden 6 y 8 cm respectivamente, calcula lalongitud del segmento que une los puntos mediosde AD y BC.

A

B

C

D

P

8. En el grfico, BF es perpendicular al plano delcuadrado ABCD. Si AB = BF = BC = a y Mes punto medio de CD. Halla el rea de la reginsombreada.

A

B C

D

M

F

9. Se traza PQ perpendicular a un plano H (Qen el plano H). Haciendo centro en Q se

traza una circunferencia de radio 9 m; y por un

punto B de sta se traza la tangente BC que

mide 8 m. Calcula PC si PQ = 12 m.

10. En un plano se ubican los puntos A y B, exterioral plano se ubica el punto P de modo que AP yBP forman ngulos que miden 30 y 45 con dichoplano. Si AP = 4, calcula BP.

A

B

C

DL

1

L2

11. El ngulo entre L1y L2es 60. Si DA = AB = BC = 6, calcula CD.

12. En la figura, G es el baricentro de la regintriangular ABC y PG es perpendicular al planoque contiene al tringulo ABC. Si mPBA= mCBP; AC = 12 y PG = 17, calcula ladistancia de P a AB.

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98

5to Secundaria

1. Indica si es verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:

( ) Tres puntos determinan siempre un plano.

( ) Dos rectas determinan siempre un plano.

( ) Un plano queda determinado cuando una

recta se desplaza paralelamente a s misma.

a) VVV b) VVF c) FFVd) FVF e) FFF

2. La distancia de un punto A a otro B con-

tenido en un plano P es 8 m. La distancia deA al plano P es 5 m. Halla la longitud de laproyeccin del segmento AB sobre el plano P.

a) 4 m b) 3 m c) 37 md) 39 m e) N.A.

6. Si la distancia de un punto a un plano Q es 6 u yla distancia del punto a una recta contenida en elplano es 9 u. Halla la distancia desde la proyeccin

de dicho punto al plano hacia la recta.

a) 2 6 u b) 3 5 u c) 4 6 ud) 2 7 u e) 5 3 u

3. El cuadrado ABCD y el tringulo equiltero

ABE se encuentran en plano perpendiculares.

Calcula la distancia entre los puntos medios de

BE y AD si AB =8 u.

a) 8 u b) 10 u c) 12 ud) 16 u e) 6 u

4. Calcula la longitud de un segmento exterior a unplano sabiendo que su proyeccin sobre el planomide 15 cm y las distancias de sus extremos alplano se diferencian en 8 cm.

a) 16 cm b) 17 cm c) 18 cmd) 20 cm e) 23 cm

5. La distancia de un punto P a una recta conte-nida en un plano es de 13 cm, y adems la dis-

tancia de la recta al pie de la perpendicular queva de P al plano es 12 cm. Calcula la distanciade P al plano.

a) 3 cm b) 1 cm c) 5 cmd) 6 cm e) 8 cm

7. Tres planos paralelos determinan sobre una rectasecante L1, los segmentos AE y EB, sobre otra

recta secante L2los segmentos CF y FD.

Si AB = 8, CD = 12 y FD - EB = 1, halla CF.

a) 6 b) 8 c) 9d) 4 e) 2

8. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7 m. Si selevanta por C la perpendicular CE, y EB mide 25m, calcula EC + ED.

a) 24 m b) 25 m c) 49 md) 50 m e) 59 m

10. En un cuadrado ABCD, con dimetro AB setraza la semicircunferencia perpendicular al

plano del cuadrado. Si M, N y P son puntos me-dios de AB, AC y CD respectivamente, calculamMNP.

a) 100 b) 120 c) 90d) 150 e) 135

11. Las rectas L1y L

2son alabeadas y forman un

ngulo de 60, adems AB es la menor distancia

entre ellas (A L1; B L

2). Si se ubica P en

L1y Q en L

2; AB = 2 5u; AP = 4u; BQ = 6u,

calcula el rea del tringulo PBQ.

a) 12 2 u2 b) 24 u2 c) 24 2 u2

d) 12 u2 e) 36 u2

12. Las rectas L1y L2son alabeadas y ortogonalessiendo AB la menor distancia entre ellas (A L1; B L2); adems se ubican R y S en L1y L2respectivamente, AB = 17; AR = 2 3;BS = 2 13. Calcula RS.

a) 10 b) 9 c) 8d) 11 e) 12

9. Cuntos planos como mximo determinan 8puntos no colineales en el espacio?

a) 28 b) 20 c) 36d) 56 e) 60

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15/26

99

Geometra

20 Slidos GeomtricosIIPrisma - Cilindro

PRISMAEs el poliedro donde dos de sus caras son polgonos planosparalelos y sus otras caras son regiones paralelogrmicas.Un prisma se nombra de acuerdo al nmero de lados quetenga la base; por ejemplo: si la base tiene seis lados, se ledenomina prisma hexagonal.

A

B C

D

EF

h

Base

Cara lateral

Arista lateral

D'

E'F'A'

B' C'

Arista bsica

CLASES DE PRISMA

Es el que tiene las aristas laterales oblicuas con respecto

a la base (ver la figura anterior).

A Prisma Oblicuo

Es el que tiene sus aristas laterales perpendiculares ala base.

B Prisma Recto

h : altura S : rea de la base

rea lateral

Permetro de la base

h

Desarrollo de un prisma recto.

AL: rea lateral A

T: rea total V : volumen

Es el prisma recto cuyas bases son polgonos regulares.

C Prisma Regular

AL= . hPermetro

de la base( )

AT= 2Sbase+ AL

V = Sbase

. h

S

S

h

S

S

h

S

S

h

Es el prisma cuyas caras son regiones rectngulares.

D) Paraleleppedo rectangular (Rectoedro uOrtoedro)

c

b

a

d

A: rea total d: diagonal V : volumen

A = 2(ab+ac+bc)

d = a2+ b2+ c2

V = abc

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16/26

100

5to Secundaria

CILINDRO

Es el slido limitado por una superficie cilndrica cerrada y pordos planos abiertos entre s y secantes a todas las generatrices.

Las secciones determinadas en los planos paralelos sedenominan bases y son congruentes. La porcin de superficiecilndrica comprendida entre dichos planos es la superficielateral del cilindro, en la cual se ubican segmentos paralelos deigual longitud, cuyos extremos estn ubicados en el contornode sus bases denominadas generatrices.

Generatriz

Directriz

Superficie Cilndrica Abierta

g h

CLASES DE CILINDRO

Es aquel cilindro cuyas generatrices son perpendicularesa sus bases.

A Cilindro Recto

ASR

: rea de la seccin recta.

h = gA

SR= A

base

h = g

RR

Es aquel cilindro recto cuyas bases son crculos. Tambin

es denominado cilindro de revolucin porque esgenerado por una regin rectangular al girar una vueltaen torno a uno de sus lados.

B Cilindro Circular Recto

h : altura del cilindro.g : generatriz o generador del cilindro.R : radio de la base.

Desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto.

AL= 2Rh = 2Rg

AL: rea lateral

AT= 2R (g + R)

AT: rea total

V = R2h

V : volumen

R

h=g rea lateral

2R

1) La arista lateral de un paraleleppedo rectangular mide4 cm y las otras dos medidas estn en relacin de 1 a 3.

Si el rea total es 88 cm2, calcula el volumen (en cm3)del paraleleppedo.

Resolucin:

rea total:2(12k + 4k + 3k2) = 88 k(16 + 3k) = 44 k = 2

V = 4x (2) (3 2)V = 48 cm3

4

k

4

k

3k

3k

4

7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)

17/26

101

Geometra

2) Calcula el volumen de un prisma triangular recto si la basees un tringulo rectngulo circunscrito a una circunferenciaque determina sobre la hipotenusa dos segmentos de 6 y 4 u,adems la arista lateral mide 10 u.

Resolucin:

B

A

C

B'

A'

C'

46

10

Vx= S

A'B'C' BB'

En A'B'C': Propiedad

S = 4 6 = 24u2.

En (1) Vx= (24u2) (10u)

Vx= 240 u3

3) Halla el volumen de un cilindro recto de altura "h" si eldesarrollo de su superficie lateral es un rectngulo cuyadiagonal forma un ngulo de 53/2 con un lado.

Resolucin:

A B

CD

h

53/2

h

R

Vcil

= R2h

El desarrollo lateral es el rectngulo ABCD.

AB = 2

R; longitud de la circunferencia de la base2h = 2R

R =

En (1) : Vcil

= h

Vcil

=

4) Al girar un rectngulo de lados a y b alrededor del ladob se obtiene un cilindro de 288 u3de volumen y al

girar el rectngulo alrededor del lado a, se obtiene uncilindro de 384 u3 de volumen. Determina el readel rectngulo.

Resolucin:

Y

Xb

a

a2

b2

Apliquenos el teorema de Pappus - Guldin.

rea del rectngulo: S = ab

Si gira alrededor del eje X

288= 2s aS = 288

Si gira alrededor del eje Y.

384 = 2s bS = 384

Multiplicando ambos:

abS2= (2 144) (4 96)

S3= 23 123 23

S = 48 u2

a2( )

b2( )

h

( )h

2

h3

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18/26

102

5to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3La base de un prisma recto de 8u de altura esun pentgono regular. Cunto mide el lado

de este pentgono si el rea lateral del prisma

es 120 u2?

Resolucin:

L a b a s e d e u n p r i s m a r e c t o e s

u n t r i n g u l o r e c t n g u l o d e l a d o s

8; 15 y 17 u, y el rea lateral es 400 u 2. Calcula

su volumen.

Resolucin:

Calcula el rea total de un paraleleppedo rec-tangular cuya diagonal mide 50 y la suma de

sus 3 dimensiones es 82.

Resolucin:

Halla el volumen de un cilindro de revolucin

si el rea total es 100y la suma del radio de la

base y la generatriz es 25.

Resolucin:

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19/26

103

Geometra

Rpta:

5

Rpta:

6Calcula el volumen de un cilindro si su altura

mide 20 m y el desarrollo de la superficie late-

ral tiene un rea de 200 m2.

Resolucin:

Un cilindro recto tiene agua hasta un cierto

nivel, se suelta un cubo metlico y el nivel

de agua sube en (4/) unidades. Calcula la

longitud de la arista del cubo si el dimetro dela base del cilindro mide 8u.

Resolucin:

8. Un cilindro es generado por la rotacin de un

rectngulo de rea igual a 10 u

2

. Calcula el realateral del cilindro.

7. El desarrollo de la superficie lateral de unprisma hexagonal regular es un cuadrado depermetro 48. Calcula el volumen del prisma.

9. En el desarrollo del rea lateral de un prismatriangular regular, la diagonal mide 6 5 y laaltura del prisma mide 12u. Halla el volumendel prisma.

10. Se tiene un prisma triangular regular. Si ladiagonal de una sus caras mide 4m y el nguloque sta forma con la base mide 60, calcula suvolumen.

11. El largo de un paraleleppedo rectngular es el

triple de la altura y el ancho es el doble de laaltura. Si la diagonal mide 2 14 m, el volumendel paraleleppedo es:

12. Calcula el rea total de un cilindro recto derevolucin cuya base tiene por rea 24 m2ycuya altura es 6 m.

7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)

20/26

104

5to Secundaria

1. La base de un prisma recto de 10u de altura es

un tringulo equiltero. Calcula el lado de este

tringulo, sabiendo que el rea lateral del prisma es

120 u2.

a) 2 u b) 3 u c) 4 u

d) 5 u e) 6 u

2. Calcula el rea lateral de un cilindro recto de

revolucin cuya base tiene por rea 36 m2y cuya

altura es 10m.

a) 100 m2 b) 120 m2 c) 124 m2

d) 130 m2 e) 160 m2

3. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro

recto de revolucin es un cuadrado de rea 64 m2.

Calcula el volumen de dicho cilindro.

a) 112/ m3 b) 100/ m3 c) 142/ m3

d) 128 m3 e) 168 m3

4. Un prisma regular tiene 18 aristas y cada una de

ellas mide 2 cm. Calcula su volumen.

a) 12 3 cm3 b) 18 cm3 c) 15 3 cm3

d) 18 3 cm3 e) 21 3 cm3

5. El desarrollo del rea lateral de un prisma triangular

regular tiene por diagonal 12 m y por altura 6 3 mCalcula el rea total.

a) 24 3 cm2 b) 30 3 cm3 c) 34 3 cm3

d) 38 3 cm3 e) 45 3 cm3

6. La generatriz de un cilindro mide 6m y el radio de

la base mide 5m. Calcula el rea total.

a) 50 cm2 b) 60 cm2 c) 80cm2

d) 100cm2 e) 110cm2

7. El desarrollo de la superficie lateral de un prismacuadrangular regular recto es un cuadrado de 2mde radio. Calcula su volumen.

a) 2 m3 b) 3 m3 c) 2 2 m3

d) 3 2 m3 e) 4 2 m3

8. Calcula el volumen de un rectoedro si su diagonalmide 10 y forma un ngulo de 45con la base y unngulo de 30con una cara lateral.

a) 25 2 u3 b) 50 2 u3 c) 75 2 u3

d) 100 3 u3 e) 125 2 u3

9. Calcula el volumen de un cilindro sabiendo, quetiene un rea lateral de 18cm2y la altura mide3m.

a) 21m3 b) 24m3 c) 27m3

d) 30m3 e) 36m3

10. La altura de un cilindro recto es de 6m y el realateral es de 24m2. Calcula el volumen.

a) 24m3 b) 48m3 c) 32m3

d) m3 e) 36m3

11. Si O es centro de la base, OA = 16 y elmOAF = 15, calcula el rea lateral.

A

FO

a) 64 b) 72 c) 84

d) 96 e) 128

12. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindrorecto de revolucin es un cuadrado de rea "k".Calcula el rea total del cilindro.

a) 2k b)k2

k(2+1) c) (2+1)

d) k2 (2+1) e) k(2+1)

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105

Geometra

21 Slidos GeomtricosIIIPirmide - Cono

PIRMIDEEs el poliedro donde una de sus caras es una regin poligonalcualquiera denominada base y sus otras caras son regionestriangulares que tienen un vrtice en comn. Una pirmidese nombra segn la cantidad de lados que tenga la base; porejemplo: si la base tiene seis lados, se denomina pirmidehexagonal.

Es la pirmide de base regular que tiene sus caraslaterales congruentes. Estas condiciones originan queen dicha pirmide las aristas laterales tengan longitudesiguales y el pie de la altura sea el centro de la base.

rea lateral (AL):

A) Pirmide Regular

AL= (p

base) . a

p

rea total (AT):

AT= A

L+ A

base

pbase

: Semipermetro de la base.

Es el slido limitado por una superficie cnica cerrada y unplano secante a ella que interseca a todas las generatricesde una misma hoja.

Es aquel cono recto cuya base es un crculo. Tambinse denomina cono de revolucin, porque se genera conuna regin triangular rectangular al girar una vuelta entorno a un cateto.

A) Cono Circular Recto o de Revolucin

CONO

g h

B

A

r

V

g

r

360

0

Vrtice o Cspide

O Arista Lateral

Cara Lateral

D

EF

A

B C

Altura

(h)

Arista BsicaBase

ap: Apotema dela pirmide

h

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22/26

106

5to Secundaria

V =r2h

3

En el grfico, se muestra un cono de revolucin.

: Altura del cono (VO = h) : Eje del cono.

VO

VO

El desarrollo de la superficie lateral de un cono derevolucin es un sector circular cuyo radio es igual a lalongitud de la generatriz de dicho cono, y cuyo arco tieneigual longitud que la circunferencia que limita la base.

B) Desarrollo de la Superficie Lateral de unCono de Revolucin

Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una pirmideO - ABC, sta determinar una seccin MNL (seccintransversal), la cual ser base de otra pirmide O - MNLsemejante a la primera.

MNL // ABC

Pirmide O-ABC ~ PirmideO-MNL

PIRMIDES SEMEJANTES

O

C

LM

H

A

B

G

N

Se cumple:

OA

OM

= = =

OC2

OL2=

OH2

OG2

OC3

OL3 =

OH3

OG3

rea de (O-ABC)

rea de (O-MNL)=

OA2

OM2=

OB2

ON2

=

1

2

3

OB3

ON3 =

Volumen de (O-ABC)

Volumen de (O-MNL) =

OA3

OM3

As como en las pirmides semejantes, tambin para losconos semejantes se cumplen las siguientes relaciones:

Conos Semejantes

R BA

r B

h

H

A

O

Volumen del Cono Mayor

Volumen del Cono Menor=

(OA)3

(OA)3

= R3r3

= H3h3

(OB)3(OB)3

=

3

OAOA

=OBOB

=Rr

=Hh

11

=

R2

r2=

H2

h2(OB)2

(OB)2=

rea del Cono Mayor

rea del Cono Menor=

(OA)2

(OA)22

: Medida del ngulode desarrollo.

rea lateral (AL).

rea total (AT).

r

g

2

r

g

En el grfico, se muestra un cono de revolucin y el desarrollode su superficie lateral.

rg= (360)

AL=rg

AT=r(g+r)

OB

ON

OC

OL

OH

OG

=

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23/26

107

Geometra

Resolucin:

2) En una pirmide triangular, el rea de su base es 18 u2y la

altura 9 u; a la tercera parte de la altura a partir del vrtice

se traza un plano secante paralelo a la base. Calcula el

volumen del tronco de pirmide determinado.

1) El volumen de un cilindro de revolucin es 12 3 m3.

Calcula el volumen de una pirmide cuya base es untringulo equiltero inscrito en la base del cilindro ycuyo vrtice est en la circunferencia de la otra base.

VTP

= [18+S+ 18.S] (1)

O - A'B'C' O - ABC

= S = 2u2

H = 6

En (1):

VTP

= [18+2+ 182]

VTP

= 2 [26]

VTP

= 52 u3 Rpta.:= 52 u3

H3

S18

(3)2

(9)2

63

3) La generatriz de un cono recto mide 10 u y que aldesarrollar su superficie lateral resulta un sector circularde 216 de ngulo central. Calcula el volumen del cono.

VC= (1)

Superficie lateral del cono = Ssector circular

Rg = g2 R = g

R = (10) R = 6

En AHO: g = 10; R = 6 h = 8

En (1):

VC=

VC= 96u3 Rpta.:= 96u3

R2h3

216360

35

35

(6)283

C

BA

R

h

Vcil

= R2h = 12 3

R2h = 12 3 (1)

Vpir

= SABC

h (2)

SABC

= (AB)2

AB = R 3 SABCD

= (R 3)2

En (2):

Vpir = . 3R2

h

Vpir

= R2h

De (1):

Vpir

= . 12 3

Vpir

= 9 m3

Rpta.:= 9 m3

34

34

34

34

34

13

13

3

6

O

A'C'

A

C

B

18u2

B'S

Resolucin:

Resolucin:

A

O

A

216

g=10 u

O

A R RH

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24/26

108

5to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3 Calcula el volumen de la pirmide triangularregular, si la altura es igual al semipermetro de

la base y AB = 2m.

Resolucin:

Del grfico, calcula el volumen de la pirmide

cuadrangular regular.

Resolucin:

A D

CB

V

6 2m

O

456u

Del grfico, calcula el volumen de la pirmide

de base cuadrangular regular.

Resolucin:

6u45

Calcula el volumen de la pirmide cuadran-gular regular cuya arista bsica es 2u y su

altura 6u.

Resolucin:

A C

V

Bh

2m

7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)

25/26

109

Geometra

Rpta:

5

Rpta:

6 Halla el rea total de un cono de revolucin de

13cm de generatriz y 12cm de altura.

Resolucin:

El rea lateral de una pirmide regular es 180 cm2y

el apotema de la pirmide mide 10cm. Calcula

el permetro de la base.

Resolucin:

7. El rea de la superficie total de un cono de revo-lucin es 24u2y su generatriz mide 5u. Calculael volumen de dicho cono.

9. El volumen de un cono circular recto es324 cm3. Si el radio de la base mide 9cm; lageneratriz del cono mide:

10. Una pirmide de 332u de altura es cortadapor un plano paralelo a la base determinandoun tronco de pirmide cuyo volumen es eltriple de la pirmide parcial determinada. Aqu distancia del vrtice de la pirmide se hatrazado el plano?8. Halla el rea total del siguiente cono recto.

53

15 u

O

11. El desarrollo de la superficie lateral de un conocircular recto es un sector de 120. Calculaen qu relacin est el radio de la base con lageneratriz.

12. La generatriz de un cono recto mide 5m y lasuperficie lateral desarrollada forma un sectorcircular de 216 de ngulo central. Calcula elvolumen de dicho cono.

7/25/2019 Geometria5to(18 - 21)

26/26

5to Secundaria

2. La base de una pirmide regular es un cuadradode lado 3u y su altura es 5u. Halla el volumen delslido.

a) 45u3 b) 30u3 c) 15u3

d) 20 u3 e) 24u3

1. La base de una pirmide regular es un cuadradode 6m de lado. Si las aristas laterales tambinmiden 6m, cul es el rea total de dichapirmide?

a) 18( 3+1)m2 b) 36( 3+1)m2

c) 72( 3+1)m2e) 34( 3+1) m2 e) N.A.

3. Calcula la arista bsica de una pirmide

cuadrangular regular de 156 u2de rea total y 10

u de apotema.

a) 4 u b) 5 u c) 6 u

d) 8 u e) 10 u

4. El volumen de una pirmide hexagonal regular,

cuya arista lateral mide 6u y forma un ngulo de

30 con la base es:

a) 35,1 u3 b) 40,1 u3 c) 55,1 u3

d) 70,1 u3 e) 29,6 u3

5. Si el rea lateral de un cono recto es el doble del

rea de su base, calcula la medida del ngulo que

forma la generatriz con la altura.

a) 10 b) 30 c) 45

d) 60 e) 75

6. Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de

un cubo de 24cm2de rea total. Determina el

volumen del cono.

a) 6 cm3 b) 9 cm3 c) 8 cm3

d) 8/3 cm3 e) 83/17 cm3

7. El volumen de un cono circular recto de 32mde dimetro es 1024m3. Halla el rea total delcono.

a) 576m2 b) 320m2 c) 432m2d) 288m2 e) 360m2

8. A qu distancia del vrtice debe cortarse un

cono de 10cm de altura por un plano paralelo

a la base para que resulten dos partes equiva-

lentes?

a) 434 cm b) 3

34 cm c) 5

34 cm

d) 234 cm e)

34 cm

12. El rea total de un cono es 200m2, y el producto

de la generatriz y el radio es 136m2. Calcula su

volumen.

a) 165m3 b) 180m3 c) 230m3

d) 285m3 e) 320m3

9. Calcula el rea lateral de un cono que se genera

al girar un tringulo rectngulo issceles de rea

12cm2alrededor de una cateto.

a) 24cm2 b) 12 2cm2 c) 12cm2

d) 24 3cm2 e) n.a.

10. Halla el volumen de una pirmide triangularregular cuya base tiene 6cm de lado y adems laaltura de la pirmide mide8 3cm.

a) 72 cm3 b) 108 cm

3 c) 140 cm

3

d) 156cm3

e) 204 cm3

11. El rea lateral de un cono de revolucin es

60cm2 y su generatriz mide 12cm. Halla la

longitud de la circunferencia de la base.

a) 10 cm b) 8cm c) 5 cm

d) 6 cm e) N.A.