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CURVASTCNICAS

EnglobaremosdentrodeestegrupoalosvalosyOvoides,EspiralesyEvolventes,Hlices,CurvasTrigonomtricasyCurvasCclicas.

VALO

Esunacurvacerradayplanacompuestaporunnmeropardearcosdecircunferenciaenlazadosentresysimtricosrespectosusejesmayorymenornormalesentres.

TRAZADODEOVALOSConstruirunvaloconociendoelejemayor.Primermtodo.

DadoelejemayorAB,lodividimosentrespartesiguales.PorsusdivisionestrazamosdoscircunferenciasO1yO2deradiolatercerapartedelejeAB,estassecortanenlospuntosO3yO4.

O1,O2,O3yO4sonloscentrosdeloscuatroarcosquecompondrnelvalo.LosarcosdecentroO1yO2tienencomoradiolatercerapartedelejemayorysontangentesalastrazadasconcentroenO3yO4,lospuntosdeenlaceT2,T4,T1yT3delascircunferenciasO1YO2conO3yO4respectivamenteestndondelossegmentosunindecentroscorrespondientescortenalascircunferenciasdecentrosO1yO2.ElradiodelosarcosdecentroO3yO4

serportantoladistanciaexistenteentreellosysuscorrespondientespuntosdeenlace(O3T2).

Segundomtodo.

DividimosencuatropartesigualeselejemayordadoABobteniendoloscentrosO1yO2dedosdelosarcosensusdivisionesintermedias.

ConcentroenlosextremosAyBdadosyradiosAO1yBO2trazamosdosarcosquesecortanenO3yO4,centrosdelosdosarcosrestantes.LospuntosdeenlacesedeterminanuniendoloscentrosO1yO2conO3yO4yconestosquedanasuvezdeterminadoslosradiosdelosarcosdecentrosO3yO4(O3T2).

Tercermtodo.

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DadoAB,ejemayor,lodividimosencuatropartesobteniendoO1yO2enlasdivisionesmscercanasaAyB.Concentroenelpuntomediodelejemayor,trazamosunacircunferenciacuyoradiomidalacuartapartededichoejequecortaalamediatrizdeABenO3YO4centrodelosarcossimtricosrespectodeAB.Paradeterminarlospuntosdeenlaceyradiosdeestosdosltimosarcos,unimosloscentroscorrespondientescomoenejerciciosprecedentes.

Construirunvaloconociendosuejemenor.

Losextremosdelejemenordadoserncentrosdedosdeloscuatroarcosdeestevalo(O3yO4)ycuyoradioserigualalpropioejemenor.TrazamosunacircunferenciaauxiliardedimetroigualalejemenordadoquecortarasumediatrizenlospuntosO2yO1,centrosdelosdosarcosrestantes.LospuntosdeenlacesecalculanuniendocentrosyconelloslosradiosdelosarcosdecentrosO1yO2,arcosquecortarnalamediatrizdelejemenorenAyB,extremosdelejemayor.

Construirunvaloconociendosusdosejes.

DadoelejemayorAByelmenorCD,trasladamossobrelaprolongacindelmenor,lamagnituddelsemiejemayor,obteniendoelpuntoE.ConcentroenelextremoC,trazamosunarcoderadioCEquecortaalsegmentoCAenX.LamediatrizdeXAdeterminaensuinterseccinconelejemayorelpuntoO1,centrodeunodelosarcos,suarcosimtricotendrsucentroO2tambinsobreelejemayor,aigualdistanciadeOyensentidoopuesto.LosradiosdeestosarcoslosdeterminanlasdistanciasalosextremoscorrespondientesdelejemayorAB.

LamediatrizdeXAdeterminaasimismoensuinterseccinsobreelejemenorosuprolongacinelcentroO4yporsimetraconrespectoalejemayorquedadeterminadoO3.LospuntosdetangenciaylosradiosdelosarcosdecentrosO3yO4sedeterminancomoenejerciciosanteriores.

Construirunvaloinscritoenunrombodado.

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Estetrazadoseempleaasiduamenteparasustituir,enperspectivaisomtrica,laelipseporelvalo.

DadoelromboABCD,trazamosdesdelosextremosdeladiagonalmenor,rectasnormalesalosladosdelopuestosromboobteniendoT1,T2,T3yT4,puntosdeenlacedelosarcosdecentrosO1yO2,situadosenlasinterseccionesdelasnormalestrazadas.CyDsonloscentrosdelosarcosrestantes.Losradiosdelosarcosquedandeterminadosporlasdistanciasdeloscentrosalospuntosdeenlacecorrespondientes(O1T1).

OVOIDE.

Esunacurvacerradayplanacompuestapordosarcosdecircunferenciadeigualradio,yotrosdosdedistintoradio,unodeellosunasemicircunferencia.Tieneunejedesimetraquecontienealoscentrosdelosarcosdesiguales.Sedenominadimetroenelovoidealdimetrodelasemicircunferencianormalaleje.

TRAZADODEOVOIDES.Construirunovoideconociendosueje.DadoelejeABlodividimosenseispartesigualessiendolaspartes2y5loscentrosO1yO2delasemicircunferenciayarcodesigual.

Concentroenla2divisinyradio2B,trazamosunarcoquecortaenO3yO4,centrosdelosarcosiguales,alaprolongacindeldimetro.

ElradiodelasemicircunferenciaesO1AysusextremosT1yT2puntosdeenlace.ElradiodelarcodesigualdecentroO2esO2B.

ParadeterminarlospuntosdeenlaceT4yT3unimosO4yO3conO2cortandoensuprolongacinalarcotrazadoconcentroenO2.LosradiosdelosarcosigualessonO4T4oO3T3.

Construirunovoideconociendosudimetro.

DadoeldimetroAB,sumediatrizdeterminarlaubicacindeleje.TrazamoslasemicircunferenciaconcentroO1,puntomediodeAByradioO1AytrasladamoslamagnituddeesteradiosobreelejeapartirdeO1quedandoasdeterminadoO4,centrodelotroarcodesigual.

LospropiosextremosAyBdeldimetrodadosonloscentrosO3yO4delosarcosigualesderadioAB.AyBsonasimismolospuntosdeenlaceT3yT2delasemicircunferenciaconsusarcosadyacentes,determinaremoslospuntosdeenlaceT1yT4yelradiodelarcodesigualdecentroO4mediantelossegmentosqueunenloscentrosO3O4yO2O4ysuinterseccinconlosarcosiguales.

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Construirunovoideconociendosudimetro,suejeyelradiodelarcodesigualmenor.SiendoABeldimetro,CDelejeyrelradiodados,trazamosunacircunferenciadedimetroABytrazamossudimetroortogonalyobteniendoCdesdedondetransportamoslamagnituddelejedadaDCobteniendoD.

LlevamosapartirdeAyBysobreeldimetro,lamagnitudrdelradiodadoydesdeDsobreelejeobteniendoO4centrodelarcodesigualsobredichoeje.UnimoslospuntosobtenidossobreeldimetroconO4ytrazamoslasmediatricesdeestossegmentosquecortanaldimetroosuprolongacinenloscentrosO3yO2delosarcosiguales,deradiosO3B.DeterminamoslospuntosdeenlaceT1yT4uniendoO3yO2conO4hastacortaralosarcosigualesoalarcodecentroO4yradior.

ESPIRALES.

Eslaespiralunacurvaabiertayplanageneradaporelmovimientodeunpuntoquesealejadeotrouotrosfijosdenominadoscentros.Puedeestarconstituidaporarcosdecircunferenciaenlazadosentresyderadiosgradualmentemayores.Sedenominaespiraalfragmentodecurvaquedescribeelpuntoenunavueltacompleta.

Lasespirascontiguasdistanentresunamagnitudconstantedenominadapaso.

TRAZADODEESPIRALES.Construccindelaespiraldedoscentrosconocidoelpaso.DadoslosdoscentrosAyB,seunenentresyseprolongaelsegmentoquedeterminan,estarectaserinicioyfindelossucesivosarcosquedeterminanlaespiral.

LamagnituddelpasoesigualaldobledelamagnituddelsegmentoAB.

Paratrazarla,hacemoscentroenAoBydescribimosunasemicircunferenciaderadioABquecortaenCalarecta,cambiamosdecentro(aBenlailustracin)ytrazamosotrasemicircunferenciaconelmismosentidoyacontinuacindelaanterior,apartirdeC,deradioBCyportantoigualaPobteniendoensuinterseccinsobrelarectaelpuntoDdesdedondetrazamosotraconcentroenAyradio3P/2yassucesivamente.ObservaremosqueelradiodelassemicircunferenciasaumentaP/2encadaocasin.

Construccindelaespiraldetrescentrosconocidoelpaso.

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ConstruimoseltringuloequilteroABCsiendolamagnituddesuladolatercerapartedelpasodadoP.A,ByCsernloscentrosdelossucesivosarcos.

Prolongamosenunmismosentidolostresladosdeltringuloyhacemoscentroenunodelosvrtices,trazandounarcoderadioP/3(centroenAyradioAC),quecortaaunadelasprolongacionesenD(laprimeraprolongacininterceptadaBA).Concentroenelvrticeadyacenteenelmismosentidoquesetraceelarco(B),setrazaotroenlazadoconelanterioryportantoapartirdelpuntoDhastacortaralaprolongacinsiguienteyassucesivamente.LosradiosaumentanP/3cadavezquetrazamosunarco.

Construccindelaespiraldecuatrocentrosconocidoelpaso.

DibujamosuncuadradoABCDdeladoP/4siendoPelpasodadoyprocedemosdeigualformaqueenelejercicioanterior.ElradiodelosarcostrazadosaumentaP/4encadaocasin.

Construccindelaespiraldebaserectangulardada.

DadoelparalelogramorectnguloABCD,prolongamossusladosapartirdedosdesusvrticesopuestosyhaciendocentroenunodelosvrticescontiguoaestos,Aporejemplo,trazamosunarcoderadioigualalamagnituddeladiagonalquedeterminarelpuntoEensuinterseccinconlaprimeraprolongacinqueintercepte.ConcentroenByradioBEtrazamosotroarcoquedandodeterminadoF.ConcentroenCyradioCFdeterminamosGetc..

Observaremosqueloscentrossevantomandoenunsentidoylosarcossetrazanconsentidoopuesto.Losarcoscontiguosnoaumentanderadiodeformagradualcomoenespiralesanterioresyladistanciaentredosespirasconsecutivasesigualalamagnituddeladiagonaldelrectngulodado.

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Construccindelaevolventedeunpolgono.Evolventeesuntrminosinnimoosimilardeespiral.

Eltrazadoparaunpolgonoregulardeladoconocidoesidnticoqueparaeltringuloequilteroocuadradoyaresueltos.

Lamagnituddelladodelpolgonoesn/P,siendonelnmerodeladosdelpolgonoyPelpaso.

EnelejerciciohemosresueltolaevolventedeunhexgonoregularABCDEFdeladoconocido.Tomandocomocentrounodelosvrticesyradioelladodadotrazamoselprimerarcoyobtenemoselprimerpuntosobrelasprolongaciones1,tomandoelcentrocontiguoaAenelmismosentidoque

hemostrazadoelarco,B,yconradioB1trazamoselsegundoarcoyassucesivamente.

ConstruccindelaespiraldeArqumedes,dadosupasoynmerodevueltas.SiendoelpasoPyelnmerodevueltasdos,trazamosdoscircunferenciasconcntricasderadiosPy2P.Lasdividimosenunnmerocualquieradepartesiguales,16enlailustracindividiendoeneldoblenmerodeparteselradio2P,porserdoslasvueltas.

Porlasdivisionesdelosradiostrazamoscircunferenciasconcntricasalasprimeras,32entotalenlailustracinhastainterceptaralasdivisionescorrespondientesefectuadasenlascircunferencias,(la1circunferenciaconcntricaconla1divisin),obteniendodeestemodopuntosdelaespiralqueseunirnordenadamenteamanoalzadaoconplantilladecurvas

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HLICES.

Hliceeslacurvadescritaporunpuntoquesedesplazaporlageneratrizdeunasuperficiederevolucinalavezqueestagiraentornoalejededichasuperficie.

Losgirosydesplazamientossonproporcionalesentresdemodoquelahlicemantienerespectodelabasenormalalejedelasuperficie,unapendienteconstante.

Cuandosetratadelahlicecilndrica,denominaremosdimetrodelahlicealdelpropiocilindro.

Pasoesladistanciacomprendidaentredospuntossituadosenespirasconsecutivasyunamismageneratrizyenlahlicecilndricaesteesconstante.

CONSTRUCCINDEHLICES.ConstruccindelahliceCilndricadadoeldimetroyelpaso.

Porserunacurvatridimensional,arrolladasobreunasuperficiecilndrica,dibujaremoslasvistasdelcilindroenSistemaDidricoporsusproyeccioneshorizontalyvertical.

Dibujamos,enproyeccinhorizontal,unacircunferenciadedimetroigualaldadoyladividimosenunnmerocualquieradepartesiguales,8enlailustracin.Dibujamoslaproyeccinfrontaldelcilindrodealturaigualalpasoparaunavueltacompletayladividimosenelmismonmerodepartes.

Trazamosenproyeccinverticallasgeneratricescorrespondientesalasdivisionesdelacircunferencia.Lageneratrizquepasapor1y7enproyeccinhorizontaldeterminarenlaparalelaquepasapor1y7enproyeccinverticallospuntos1y7delacurvayassucesivamente.Unimosordenadamentelospuntosasobtenidosamanoalzadaoconplantilladecurvas.

DesarrollodelahliceCilndrica.Desarrollamoselcilindroconstruyendoparaellounrectngulodebaselarectificacindelacircunferenciadelabasedelcilindroydealturaelpasodado.Tantobasecomoalturalasdividimosenelmismonmerodepartes,8,yunimosordenadamentelasinterseccionescorrespondientes.Latransformadadelahlicecilndricaserunsegmento coincidenteconunadelasdiagonalesdelrectngulo

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Construccindelahlicecnicadadoeldimetroyelpaso.Representamosunconorectoporsusproyeccionesdidricasdedimetroyalturaigualesaldimetroypasodadosparalahliceyprocedemosdeformaidnticaqueenelcilindro.LasgeneratricesquepasanporlasdivisionesdelacircunferenciaconcurrirnenproyeccinverticalenelvrticeVdelcono.

Enelcilindro,lahlicecoincidaenproyeccinhorizontalconlacircunferenciadelabase,enlahlicecnicano.Parasutrazadocalculamoslaproyeccioneshorizontalesdelospuntosdelahliceobtenidosenlaproyeccinverticalsinmasquetrazarnormalespordichospuntosalalneadetierra,coincidenteconlaparalela0,hastacortaralosradiosdedivisincorrespondientesdelacircunferencia.

Paracalcularlospuntoscorrespondientesal6yal2tenemosquetrazarlaproyeccinsobreunplanodeperfildelcono.

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Construccindelahliceesfricadadoeldimetro.Trazamoslasproyeccionesdidricasdeunasemiesferadedimetroigualaldelahlicedado.Dividimosenunnmerocualquiera(ocho)departesigualeselcirculodelabaseyportantolaesferaenproyeccinhorizontaloplanta.

Dividimoslasemiesferaenlavistafrontalenelmismonmerodepartes,paraellorectificamoslamitaddelasemicircunferenciayladividimosenochopartestrasladandoestasdivisionesalarcocorrespondienteytrazandoparalelasalabaseenalzadodelasemiesferaporcadaunadeellas.Cadaunadeestasparalelascorrespondeaunacircunferencia,trazamoslasproyeccioneshorizontalesdeestassegncircunferenciasconcntricasalatrazada.LosradioslosobtenemostrazandoperpendicularesalalneadetierraporlasochodivisionesdelarcohastacortaralradioO8.

Lospuntosinterseccindelosradiosquedividenelcrculoenplantaconloscrculoscorrespondientessonpuntosdelahliceylosrepresentamosensuvistafrontalsobresusparalelascorrespondientesauxilindonosderectasnormalesalalneadetierracoincidenteconlabasedelasemiesferaenalzado.

Uniendoordenadamentelospuntosobtenidosencadaunadelasproyeccionesamanoalzadaobtenemoslasproyeccionesdelacurva.

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CURVASTRIGONOMTRICAS.

Soncurvasplanasyabiertas,representacingrficadelasfuncionesseno,cosenoytangente.

CONSTRUCCINDECURVASTRIGONOMTRICAS.ConstruccindelaSenoideoSinusoide.Curvagrficadelseno.

DividimoslacircunferenciaenunnmerocualquieradepartesigualesyenesemismonmerodeparteslarectificacindelacircunferenciaABdispuestaenlamismadireccinqueelradiohorizontal.TrazamosperpendicularesalsegmentoABporlasdivisionesobtenidas.

TrazamosparalelasalsegmentoABporlasdivisionesdelacircunferenciaobteniendopuntosdelacurvadondesecortanconlasnormalescorrespondientesLospuntosasobtenidosseunenordenadamenteamanoalzadaoconplantilladecurvas.

Construccindelacurvagrficadelafuncincoseno.

Enlagrficadelseno,comenzamosanumerarlasdivisionesapartirdeldimetrohorizontal.Paratrazarlagrficadelcosenoseprocededeigualformaqueenelejercicioanteriorperocomenzandolanumeracindelasdivisionesdelacircunferenciaapartirdeldimetrovertical.

Construccindelacurvagrficadelafuncintangente.Dividimoslacircunferenciaynumeramosestasdivisionesdeigualmodoquelohicimosenlagrficadelseno.Rectificamosdeigualmodolacircunferencia,dividimoselsegmentoABytrazamoslasperpendicularporestasdivisiones.

Trazamosrectastangentesalacircunferenciaporlosextremosdeldimetrohorizontalyprolongamoslosdimetrosquepasanporlasdivisioneshastacortaraestastangentes.DesdeestospuntosdecortesetrazanparalelasalsegmentoABhastacortaralasnormalescorrespondientes.

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Eldimetrovertical,paraleloalasrectastangentes,secortaconellasenelinfinito,larepresentacingrficadelafuncintangentetendrportantolospuntoscorrespondientesalasdivisiones4y10enelinfinitopuessonpuntosasintticos(asntota:tangentealacurvaenelinfinito).

CURVASCCLICAS.

Soncurvasplanas,generadasporunpuntopertenecienteaunacircunferenciaquerueda(sinresbalar)sobreotracircunferenciaounarecta.Sedenominancclicasporqueserepitesutrazado.

TRAZADODELACICLOIDE.Lacicloideesunacurvaplana,lugargeomtricodelasposicionesdeunpuntoPpertenecienteaunacircunferenciaOquerueda(sinresbalar)sobreunarectadada.Larectarecibeelnombrededirectrizylacircunferenciadegeneratrizoruleta.

DadalacircunferenciadecentroOylarectar,paratrazarlacicloidedibujaremoslacircunferenciatangenteenPalarectayapartirdelrectificaremossobrerlacircunferencia.

Dividimoslacircunferenciaysurectificacinenunmismonmerodepartesiguales,doceenlailustracin,trazandonormalesyparalelasaladirectrizporlasdivisionesdelarectaycircunferenciarespectivamente.

EnlasinterseccionesdelasperpendicularesarylaparalelaquepasaporOestnlasposicionesdelcentrodelacircunferenciaO,quegirasobrer,cuandolosradiosdelasdivisionesdelageneratrizcoincidenconsuscorrespondientesdivisionesenladirectriz,O1,O2,O3....

ConcentroenO1yelradiodelacircunferenciageneratrizentodocaso,trazamosunarcohastacortarenP1alaparalelaquepasapor1,concentroenO2obtenemosP2enlaparalelaquepasapor2yassucesivamente.Lospuntosasobtenidosseunenamanoalzadaoconplantilladecurvasquedandodeestemodotrazadalacurva.

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TRAZADODELAEPICICLOIDE.Laepicicloideesunacurvaplana,lugargeomtricodelasposicionesdeunpuntoPpertenecienteaunacircunferenciaO,generatriz,queruedaexteriormentesobreotraOodirectriz.

Dibujamoslasdoscircunferenciastangentesentresyparasutrazadoseprocededeigualformaqueenelejercicioanteriorperotrazandocircunferenciasconcntricasenlugarderectasparalelasaladirectrizycalculandolarectificacininversadelalongituddelacircunferenciageneratrizsobrelacircunferenciadirectriz.

TRAZADODELAHIPOCICLOIDE.Lahipocicloideesunacurvaplana,lugargeomtricodelasposicionesdeunpuntoPpertenecienteaunacircunferenciaO,ogeneratriz,quegirainteriormentesobreotraO,odirectriz.

Trazamoslacircunferenciadirectriztangenteinterioralageneratrizdadayparasutrazadoprocedemosdeidnticaformaqueenelejercicioprecedente.

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Hipocicloiderectilnea.Cuandoeldimetrodelageneratrizesigualalradiodeladirectriz,lahipocicloideresultanteesunsegmentoigualaldimetrodeladirectrizquecontienealpuntodetangenciaentrelasdoscircunferencias.

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Hipocicloidetriangular.Seproduceestacurvacuandoeldimetrodelageneratrizmideunterciodeldimetrodeladirectriz.

HipocicloidecuadrangularSeproduceestacurvadecuatrolazoscuandoeldimetrodelageneratrizmidelacuertapartedeldimetrodeladirectriz.SedenominaAstroide.

TRAZADODELAPERICICLOIDE.LaPericicloideesunacurvaplana,lugargeomtricodelasposicionesdeunpuntoPpertenecienteaunacircunferenciaOogeneratrizqueruedasinresbalarsobreotrafijaOderadiomenorodirectriz,siendoambastangentesentres.

Parasutrazado,dibujamosambascircunferenciastangentesenPydividimosladirectrizencualquiernmerodepartesiguales,1,2,3..ochoenelejemploytrasladamoslaslongitudesdeestasdivisionessobrelageneratriz(rectificacininversa)igualnmerodeveces,1,2,3....

TrazamosunacircunferenciaderadioOOyprolongamosensentidocontrariolosradioscorrespondientesalasdivisiones1,2,3..hastacortarenA,B,Caestacircunferencia.

ConcentroenAyradioA1trazamosunarcoquecortaenP1,puntodelacurvaaotrotrazadoconcentroenOyradioO1.ConcentroenB,radioB2ycentroenOyradioO2obtenemosP2yassucesivamente.Lospuntosseunenamanoalzada.