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Geometria espacial
Matéria/Frente
Número da Aula
Nome do professor
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IntroduçãoA geometria espacial estuda as propriedades de figuras
que são construídas a partir de certos elementos
primitivos (básicos) do espaço: pontos, retas e planos.
Ao invés de procurarmos definições para esses
elementos, iremos caracterizá-los por propriedades
fundamentais, denominadas postulados ou axiomas.
Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma
sentença ou proposição que não é provada ou
demonstrada e é considerada como óbvia ou como um
consenso inicial necessário para a construção ou
aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como
verdade e serve como ponto inicial para dedução e
inferências de outras verdades (dependentes de teoria).
Ao longo do curso, você notará que a geometria espacial
é uma extensão de toda a geometria plana já
previamente conhecida, isto é, todas as propriedades e
teoremas já estudados continuam sendo válidos no
espaço tridimensional.
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Convenções Os pontos serão denotados por letras maiúsculas de
nosso alfabeto;
As retas serão denotadas por letras minúsculas de
nosso alfabeto;
Os planos serão denotados por letras minúsculas do
alfabeto grego (𝛼,𝛽, 𝛾, 𝛿,𝜋,… )
Por facilidade e questão de comodidade, um plano será
geralmente representado por um paralelogramo. Não
intua que isso implica que o mesmo é limitado. Isso
apenas facilita a visualização da situação.
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Postulados entre pontos e retas
Por dois pontos do espaço passa uma e somente
uma reta;
Dada uma reta do espaço, existem pontos que
pertencem à reta e pontos que não pertencem à
reta.
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Postulados entre pontos e planos
Por três pontos do espaço não situados na mesma
reta passa um e somente um plano;
Dado um plano do espaço, existem pontos que
pertencem ao plano e pontos que não pertencem
ao plano.
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Postulado da inclusão da reta no plano
Se uma reta possui dois pontos distintos em um
determinado plano, então a reta está contida no
plano.
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Posição relativa entre retas
Concorrentes: duas retas distintas são concorrentes se
possuírem um único ponto em comum
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Caso o ângulo de intersecção seja igual a 90°, as retas
serão denominadas perpendiculares
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Paralelas: duas retas são paralelas se:
ou são coincidentes;
ou são coplanares (mesmo plano) sem
intersecção.
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Reversas: duas retas distintas são reversas se não são
coplanares
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Observe outro exemplo de pares de retas reversas:
No octaedro apresentado, as retas que contém as
arestas 𝐴𝐶 e 𝐸𝐷 são exemplos de retas reversas, visto
que não pertencem a um mesmo plano.
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Finalmente temos também as retas ortogonais.
Duas retas são ortogonais se existir uma paralela a uma
delas que seja perpendicular à outra.
Observe alguns exemplos de retas ortogonais:
Na figura, 𝑡 e 𝑟 formam um par de retas reversas.
Porém, caso se interceptassem, formariam um ângulo
de 90°.
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No cubo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, tomamos as retas que contém os
lados 𝐴𝐷 e 𝐶𝐺, por exemplo. São retas reversas pois
pertencem a planos distintos. Observe que nesse caso
também são retas ortogonais, visto que as faces do cubo
são perpendiculares entre si.
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No cubo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, tomamos as retas que contém os
lados 𝐴𝐷 e 𝐶𝐺, por exemplo. São retas reversas pois
pertencem a planos distintos. Observe que nesse caso
também são retas ortogonais, visto que as faces do cubo
são perpendiculares entre si.