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Geometria Espacial Parte 3
Cursinho Popular Paulo Freire
Jaquicele Ap. da Costa
Graduanda em Matemática- UFV
e-mail:[email protected]
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Reflexão
"Sem a curiosidade que me move, que me inquieta, que me insere na busca, não aprendo nem ensino".
( Paulo Freire )
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CONES
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CONES
Considere um círculo
contido em um plano e V
é um ponto fora desse
plano.Denominamos
cone o conjunto de todos
os segmentos que tem
uma extremidade em V e
a outra extremidade num
ponto do círculo.
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Elementos do cone
•Vértice:V
•Base:região circular
de raio de medida r e
centro O.
•Geratrizes:os
segmentos com
extremidades no
vértice e na
circunferência da
base;indicada por g
•Altura(h):distância
entre o vértice e o
plano da base
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Classificação
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Cone circular reto ou de revolução
Gerado pela rotação de 360° de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos.
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Áreas de um cone reto
Área da base de um
cone reto
Área da superfície
lateral de um cone reto
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Área da superfície total
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Volume de um cone
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Tronco de cone
Tronco de cone de bases paralelas é a parte do cone circular reto limitada pela base e por uma seção transversal qualquer desse cone.
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Elementos de um tronco de cone
Base do cone que deu origem ao tronco de medida R.
Base originada pela seção transversal do cone de medida r.
Geratriz do tronco
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Elementos de um tronco cone e volume
Secção meridiana
Altura do tronco:distância
entre as bases
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Esferas
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Esferas
É um sólido gerado pela rotação de 360° de um semicírculo em torno de um eixo que contém o seu diâmetro.
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Superfície esférica
É uma figura de rotação gerada pela rotação de 360° de uma semicircunferência em torno de um eixo que contêm o seu diâmetro.
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Secção plana
A secção
plana,produzida pela
intersecção de um plano
com uma esfera,é um
círculo.
Quando o plano intercepta
no centro,temos uma secção
circular de raio máximo
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Secção plana
Quando o plano intercepta num ponto,temos a tangência
da esfera com o plano.
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Área da superfície esférica e volume da esfera
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Atividade 1
(ENEM 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.
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Considerando
que nenhum dos
recipientes
tenha tampa,
qual das figuras
a seguir
representa uma
planificação do
bebedouro 3.
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Atividade 2
(ENEM 2011)- A figura seguinte mostra um modelo
de sombrinha muito usado em países orientais.
Esta figura é uma representação
De uma superfície de revolução
chamada de:
a)pirâmide
b)semiesfera
c)cilindro
d)Tronco de cone
e)Cone
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Quiz da matemática
1-(ENEM 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
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Considere:
Sabendo que a taça com o
formato de hemisfério é servida
completamente cheia, a altura
do volume de champanhe que
deve ser colocado na outra taça,
em centímetros, é de
a)1,33
b)6,00
c)12,00
d)56,52
e)113,04
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2-(UFJF) Considere um
recipiente em forma de um
cilindro circular reto,cujo
diâmetro da base é 8 cm,
contendo uma certa quantidade de
água.Ao se colocar as esferas de
mesmo raio dentro desse
recipiente, observando-se uma
elevação de 4 cm no nível d’água
conforme a figura abaixo.
Quanto mede o raio de cada
esfera?
a)1 cm
b)2 cm
c)3 cm
d)4 cm
e)5 cm
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3-(UFRS) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio , até encostar no fundo , de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera.
Antes da esfera ser colocada no copo , a altura de água era a) 27/8 cm
b)19/6 cm
c)18/5 cm
d)10/3 cm
e)7/2 cm
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4-(UFPB) Depois de desistir de retirar
a pipa do poste,Joãozinho foi jogar futebol no quintal de casa.Ao chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse em um reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é 96 cm. Maria percebeu que exatamente a metade da bola ficou submersa o q elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho).O raio dessa bola é:
a)10 cm
b)11 cm
c)12 cm
d)13 cm
e)14 cm
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5-(Fuvest-SP) Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, então o valor de V é:
a) (2/3)π cm3
b) (3/5) π cm3
c) (4/3)π cm3
d)(3/4) π cm3
e) (7/3) π cm3
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6-(Unesp) Um paciente recebe por veia
intravenosa um medicamento á taxa constante de 1,5 mL/min.O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura , e estava cheio quando se iniciou a medicação.
Após 4 h de administração contínua a medicação foi interrompida.Dado que 1 cm3 =1mL, e usando a aproximação π=3,o volume em mL,do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação,é aproximadamente:
a)120
b)150
c)160
d)240
e)360
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7-Pretende-se transportar 100 bolinhas esféricas,
maciças e feitas de vidro, em caixas que
comportam ,cada uma, um “peso” máximo
0,50Kg.Sabendo-se que o diâmetro de cada
bolinha é 2,1 cm e que a densidade do vidro é
2,60 g/ cm3 , qual o número mínimo de
caixas necessárias para o
transporte de 100
bolinhas?(Use π =22/7 ) .
a) 2
b)3
c)4
d)5
e)6
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8-(UFG) A terra retirada na escavação de uma piscina
semicircular de 6m de raio e 1,25 m de profundidade
foi amontoada, na forma de um cone circular reto,
sobre a superfície horizontal plana.
a)2,0
b)2,8
c)3,0
d)3,8
e)4,0
Admita que a geratriz do cone faça um
ângulo de 60° com a vertical e que a terra
retirada tenha um volume 20% maior que o
volume da piscina.
Nessas condições,a altura do cone em
metros,é de
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9-(UFLA) Parte do líquido de um cilindro completamente cheio é transferido para dois cones idênticos que ficam totalmente cheios.
A relação entre as alturas do líquido restante no cilindro ( h1) e a altura (H)
do cilindro é:
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10-(UFPB) Se V1 , V2 e V3 são, respectivamente ,os
volumes dos cones circular, hemisfério e cilindro
circular representada abaixo.
Então é correto afirmar que:
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11-(UFF) Na figura estão
representados três sólidos de mesma
altura h- um cilindro, uma semiesfera e
um prisma- cujos volumes são V1 , V2 e V3 respectivamente.
A relação entre
V1 , V2 e V3 é:
a) V3 < V2 <V1
b) V2 < V3 < V1
c) V1 < V2 < V3
d) V3 < V1 < V2
e) V2 < V1 < V3
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Gabarito
1) B
2) B
3) D
4) C
5) C
6)A
7)A
8)C
9)D
10)A
11)E
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Referência
http://www.matematicacomjorgeoliveira.com.br/arquivos/GEO_Espacial_Cilindro,%20Cone%20e%20Esfera_PSS%202.pdf