geometria descritiva a 11.º ano axonometrias clinogonais (ou oblíquas) © antónio de campos, 2010
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GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano
Axonometrias Clinogonais (ou Oblíquas)
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
A representação do tiedro no plano axonométrico, a perspectiva, processa-se através da projecção oblíqua do terceiro eixo sobre o plano axonométrico.
x ≡ xp
O ≡ Op
z
P
r
y ≡ yp
zp
Pp
yz
xz
xy
A representação final do tiedro no plano axonométrico. O eixo xp, yp e zp são as perspectivas dos três eixos coordenados. O ângulo entre as perspectivas dos eixos que estão contidos no plano axonométrico (o eixo x e y, nesta situação) é sempre o ângulo real (em V.G.), um ângulo recto.
xp
yp
zp
O
DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS
RECTAS PROJECTANTES
A direcção das rectas projectantes representa o ângulo que os planos projectantes (que contêm as rectas projectantes, o plano α neste caso) fazem com os planos coordenados ortogonais ao plano axonométrico, ou seja, o ângulo que a perspectiva do eixo ortogonal ao plano axonométrico faz com as perspectivas dos outros dois eixos. A direcção das rectas projectantes é dada por um par de ângulos (γ e β).
A inclinação das rectas projectantes representa o ângulo (θ) que as rectas projectantes (que são paralelas entre si) fazem com o plano de projecção, o plano axonométrico. A inclinação das rectas projectantes vai determinar o coeficiente de deformação.
x ≡ xp
O ≡ Op
z
P
r
y ≡ yp
zp
Pp
yz
xz
xy
α
γº
βº θº
Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é igual a 45º.
A perspectiva de P (Pp) está em V.G., não havendo necessidade de coeficiente de deformação.
x ≡ xp
O ≡ Op
z
P
r
y ≡ yp
zp
Pp
yz
xz
xy
α
45º
45º
Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é superior a 45º.
A perspectiva de P (Pp) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de redução.
x ≡ xp
O ≡ Op
zP
r
y ≡ yp
zp
Pp
yz
xz
xy
α
αº
Neste caso, a inclinação das rectas projectantes é inferior a 45º.
A perspectiva de P (Pp) está reduzida em relação à cota de P, havendo necessidade da existência de um coeficiente de deformação, mais especificamente de um coeficiente de ampliação.
x ≡ xp
O ≡ Op
z
P
r
y ≡ yp
zp Pp
yz
xz
xy
α
αº
TIPOS DE AXONOMETRIAS CLINOGONAIS
Existem basicamente dois tipos de axonometrias clinogonais (ou oblíquas), distinguidas pela posição do plano axonométrico que é também um plano coordenado:
Se o plano axonométrico for o plano xy (o plano horizontal), trata-se da perspectiva planométrica (ou militar);
Se o plano axonométrico for um dos outros dois planos (o plano xz ou o plano yz), trata-se da perspectiva cavaleira.
x ≡ xp
O ≡ Op
z
P
r
y ≡ yp
zp
Pp
yz
xz
xy
Uma perspectiva planométrica (ou militar), com o plano axonométrico a ser o plano xy, no qual se projecta o eixo z. A perspectiva do eixo z é vertical, e as perspectivas dos outros eixos fazem entre si um ângulo de 90º.
xp
yp
zp
O
Uma perspectiva cavaleira, com o plano axonométrico a ser o plano xz, no qual se projecta o eixo y. A perspectiva do eixo z é vertical, e a perspectiva do eixo z faz com o eixo x um ângulo de 90º.
xp
yp
zp
O
z ≡ zp
x ≡ xp
yp
yPp
r
yz
O ≡ Op
P
xy
xz
INFLUÊNCIA DA DIRECÇÃO E INCLINAÇÃO DAS RECTAS PROJECTANTES
A direcção e a inclinação das rectas projectantes influi na representação de um mesmo objecto. Em baixo a direcção das rectas projectantes é constante, 135º com o semieixo positivo x e com o semieixo positivo z, com inclinação das rectas projectantes diferente.
z
x
y
Inclinação das rectas projectantes: 45º.Coeficiente de deformação do eixo y: 1.
z
x
y
Inclinação das rectas projectantes: 63º 26’.Coeficiente de deformação do eixo y: 0,5.
z
x
yInclinação das rectas projectantes: 26º 34’.Coeficiente de deformação do eixo y: 2.
O O O
Em baixo a inclinação das rectas projectantes é constante, 63º 26’, com o coeficiente de deformação a 0,5, e com direcção das rectas projectantes diferente.
Direcção das rectas projectantes: 120º com o semieixo positivo x e 150º com o semieixo positivo z.
z
x
y
O
Direcção das rectas projectantes: 45º com o semieixo positivo x e 135º com o semieixo positivo z.
Direcção das rectas projectantes: 135º com o semieixo positivo x e 45º com o semieixo positivo z.
z
xO
y
z
x
y
O
REPRESENTAÇÃO (PERSPECTIVA) DE UM PONTO NUMA AXONOMETRIA CLINOGONAL
Em baixo, temos a perspectiva do ponto P, com o ponto A a ser o ponto do eixo z que tem a cota do ponto P. Conduzem-se pelas perspectivas das três projecções do ponto P, as perspectivas das respectivas rectas projectantes (que são paralelas ao eixo ortogonal à face do paralelograma onde aquelas existem).
x ≡ xp
O
z
Py ≡ yp
zp
yz
xz
xy
P3
P2
P1 ≡ P1p
A
Ap
P2pPp
P3p
x
y
z
O
P1
P
P3
A
P2
PERSPECTIVA CAVALEIRA
Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 2) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo z.
x
y
z
O
z ≡ zp
x ≡ xp
yr
y
Pp rr
yz
O
P
xy
xz
O afastamento do ponto P, que se mede no eixo y, é a coordenada que apresenta coeficiente de deformação, pois o eixo y é o eixo que não está contido no plano axonométrico. Para determinar o coeficiente de deformação, rebate-se o plano projectante deste aeixo para o plano axonométrico.
yr
Ar
60º
rrP
A P1
P2
P3
A
Ar
yp
Ap
P3
P1
P3p
P1p
P2 ≡ P2p
Representa o ponto A (2; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z.
x
y
z
O
A2
yr
Pr
rr
50º
P A1
A3A
Representa o ponto M (5; 4; 3) numa perspectiva cavaleira, sabendo que o plano axonométrico é o plano xz. A direcção das projectantes é de 45º com a parte positiva dos outros dois eixos. A inclinação das rectas projectantes é de 60º.
x
y
z
O
M2
yr
Pr rr
60ºP M1
M3M
Representa um cubo numa perspectiva cavaleira, com 5 cm de aresta, e apoiado por três das suas faces nos planos coordenados. A direcção das projectantes é de 45º com o semieixo positivo x, e de 135º com semieixo positivo z. A inclinação das rectas projectantes é de 45º.
x
y
z
O
yr
Pr rr
45º
P
DIRECÇÃO DE AFINIDADE
A direcção de afinidade é a direcção que nos permite relacionar, de forma directa e recíproca, uma qualquer coordenada em V.G. e a sua perspectiva.
A direcção de afinidade é a direcção que nos permite inverter o rebatimento de qualquer plano coordenado rebatido para o plano axonométrico.
x
yp
z
O
yr1
Ar1
60º
rr
Ap
Para determinar a direcção de afinidade é necessário rebater um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y.
A charneira é o eixo x.
O eixo yr é o eixo y rebatido pelo rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x.
Ar é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano xy.
É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yyp), com o eixo yp como charneira.
A recta d é a recta que dá a direcção de afinidade.
yr
Ar
d
A determinação da perspectiva cavaleira de um ponto P (2; 4; 5), recorrendo à direcção de afinidade. As rectas projectantes têm 50º de inclinação. A direcção das projectantes é de 120º com o semieixo positivo x e de 150º com semieixo positivo z.
x
yp
z
O
P2
A perspectiva do ponto P é também a projecção frontal do ponto P.
Para determinar a direcção de afinidade é necessário primeiro rebater um plano coordenado (o plano xy neste caso) e o plano projectante do eixo y.
A charneira é o eixo x.
O eixo yr é o eixo y rebatido pelo rebatimento do plano xy, fazendo um ângulo recto com o eixo x.
Ar é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano xy, com o mesmo afastamento do ponto P, e em V.G.
É necessário rebater o plano projectante do eixo y (o plano yyp), com o eixo yp como charneira, obtendo Ar1, depois Ap, para finalmente obter a recta d.
A recta d é a recta que dá a direcção de afinidade.
Por fim é a determinação da perspectiva do ponto P.
≡ yr
P1r Ar
yr1
Ar1
50º
rr
Ap
d
P1
P3P
Representa o ponto A (3; 5; 3) numa perspectiva cavaleira , recorrendo à direcção de afinidade, cujas rectas projectantes têm 60º de inclinação. A perspectiva do eixo y faz 135º com as partes positivas dos outros dois eixos.
x
y
z
O
A2
≡ yr
Pr1A1r
yr1
Pr
60º
rr
P
d
A1
A3A
PERSPECTIVA CAVALEIRA NORMALIZADA
A perspectiva cavaleira normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico.
Mais especificamente, a perspectiva cavaleira normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 63º 26’ 6’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 0,5.
z
xO
y
É dada uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º triedro, com a base contida num plano horizontal ν.
Os pontos A (2; 2; 7) e B (6; 2; 7) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD] da base.
O vértice da pirâmide tem cota nula.
Representa a pirâmide numa perspectiva cavaleira, considerando que o plano axonométrico é o plano xz.
As projectantes têm 50º de inclinação.
A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo x e de 130º com semieixo positivo z.
x
y
z
O
A2B2
V2
A1rB1r
D1rC1r
V1r
≡ C2
≡ D2
fν
≡ yr
Pr
yr1
Pr1
P
d
≡ Vr
D1C1
A1B1
V
A
DC
B
pν
50º
É dado um prisma hexagonal regular, situado no 1.º tiedro, com 8 cm de altura e bases contidas em planos frontais.
A base de menor afastamento é o hexágono [ABCDEF], que está contido no plano xz.
Os pontos A (3; 0; 1) e B (1; 0; 3) são dois vértices consecutivos do hexágono [ABCDEF].
Representa o prisma numa perspectiva cavaleira.
As projectantes têm 60º de inclinação.
A direcção das projectantes é de 140º com o semieixo positivo y e de 130º com semieixo positivo z.
x
y
z
O ≡ xr
A3A2r
B2r B3
C2r
D2r
E2r
F2r
C3
D3
E3
F3
Pr
xr1
Pr1
P
dA1
B1
C1
D1
≡ E1
F1
A
B
CD
E
F
pφ
hφ
A’1
B’1C’1
D’1
E’1F’1
A’
B’
C’D’
E’
F’
60º
PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar)
Pretende-se representar o ponto P (3; 4; 5) numa perspectiva cavaleira, cujas projectantes têm 60º de inclinação. A direcção das projectantes faz ângulos de 135º com as partes positivas do eixo x e do eixo y.
x ≡ xp
O
z
Py ≡ yp
zp
yz
xz
xy
P3
P2
P1 ≡ P1p
A
Ap
P2pPp
P3p
x y
z
O
P1
zr
Ar
60ºrr
A
P3
P2
Pzr Ar
PERSPECTIVA PLANOMÉTRICA (ou militar) NORMALIZADA
A perspectiva planométrica normalizada refer-se à representação em que são predefinidos os ângulos entre as perspectivas dos eixos (direcção das rectas projectantes) e o coeficiente de redução (coeficiente de deformação) das escalas axonométricas do eixo ortogonal ao plano axonométrico.
Mais especificamente, a perspectiva planométrica normalizada implica a direcção das rectas projectantes de 135º com a parte positiva dos dois eixos, e a inclinação das rectas projectantes de 56º 18’ 36’’, a que corresponde um coeficiente de deformação de 2/3.
z
x
O
y
É dado um objecto constituído por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular, situado no 1.º tiedro.
Os pontos A (6; 2; 0) e B (1; 2; 0) são dois vértices consecutivos do quadrado [ABCD], contido no plano xy.
O quadrado [ABCD] é a face inferior do cubo.
A base da pirâmide é o quadrado [JKLM], cujos vértices são os pontos médios da face superior do cubo.
A pirâmide tem 7 cm de altura, e o seu vértice tem cota superior à base.
Representa o objecto numa perspectiva planométrica normalizada.
xy
z
O
A1 ≡ A
B1 ≡ B
D1 ≡ D
C1 ≡ C
V1
J1
K1 L1
M1
R
S
T
U
S’
U’
V2
V
L
M J
K
Considera o objecto ao lado, representado por três das suas vistas (projecções): horizontal, frontal e lateral direita.
As dimensões apresentadas são em centímetros, e as coordenadas de A (0; 0; 0).
Representa o objecto numa perspectiva planométrica.
As projectantes têm 60º de inclinação.
A direcção das projectantes é de 135º com as partes positivas dos eixos x e y.
A1
A2 A3
4 4 3 3
4
4
2
2
2
xy
z
O ≡ A
≡ zr
zr1
60º
rr
d