Geometra

Una dimensin: punto, recta, semirrecta y segmento.

Dos dimensiones: ngulos, polgonos, circunferencia y

crculo.

Tres dimensiones: cuerpos geomtricos (poliedros y

figuras de revolucin).

Una dimensin: punto, recta, semirrecta y segmento.

El punto no tiene dimensiones. Es el elemento ms simple con el que trabajamos en geometra.

Deca Euclides, el gran matemtico griego, que un punto es lo que no tiene partes. Se podra decir

que un punto slo tiene posicin.

La lnea es, segn Euclides, una longitud sin anchura. La lnea posee una sola dimensin. Podra

considerarse como una sucesin infinita de puntos alineados. Un punto en movimiento genera

una recta.

Si marcamos un punto sobre una recta, dividindola en dos, cada parte se llama semirrecta. En

una semirrecta, slo hay un sentido de avance, en el otro extremo, el camino se corta, como en

una calle sin salida.

Si cerramos la lnea por dos extremos, marcando dos puntos, obtenemos un segmento. Los

segmentos no tienen salida por ninguno de los dos sentidos. La Geometra suele utilizarlos para

la construccin de figuras o como medida.

Dos dimensiones: el plano. Posiciones relativas de dos rectas en el plano.

Segn Euclides, una superficie es lo que slo tiene

longitud y anchura. Si nos movemos en un plano,

podemos observar puntos, rectas, polgonos,

crcunferencias y crculos.

Plano

rs

Dos rectas, r y s, que pertenecen al mismo plano son

paralelas cuando todos sus puntos estn a la misma

distancia entre ellas. Pensemos en los rales del tren

como una imagen real de rectas paralelas.

r

s

Dos rectas, r y s, que pertenecen al mismo plano son

secantes cuando tienen un punto en comn; es decir,

se cortan en un punto. La letra X es un buen ejemplo

de rectas secantes. Si forman un ngulo de 90 entre

s, sern rectas perpendiculares.

Representacin en Ejes Cartesianos

Para situar objetos en el pano, se utilizan los ejes cartesianos. El eje horizontal (de las x) o eje de abscisas, marca la

primera coordenada de un punto y el eje vertical (de las y) o eje de ordenadas, marca la segunda coordenada del punto.

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(4,6)

As, un punto viene dado por un par ordenado de nmeros naturales (a,b).

Y un tringulo, por tres puntos, como en la figura siguiente.

(8,3)

(15,9)

(11,12)

Es una forma exacta de representar figuras en el

plano. Si situamos otro eje z, perpendicular a los otros dos, tendramos cubierto todo el

espacio. Y cada punto del espacio podra

representarse por tres coordenadas.

(x,y,z)

x

y

z

Simetra

Dos figuras del plano son simtricas segn un eje de simetra si al doblar el plano por dicho eje coinciden sus siluetas.

Por ejemplo, de los dos casos siguientes, las figuras del grfico 1 son simtricas, mientras que las del grfico 2 no lo

son.

Grfico 1 Grfico 2

La simetra tiene propiedades curiosas. Por ejemplo, si aplicamos dos veces la misma simetra sobre una figura,

obtenemos la misma figura, desplazada.

ngulos

Un ngulo es una porcin del plano comprendida entre dos semirrectas que

parten de un mismo punto, que llamamos vrtice. Sera la separacin

(tomada de forma circular) entre dos lneas que se cortan en un punto.

Vrtice

Lado

Los ngulos se nombran de varias formas. La ms utilizada es la que emplea tres letras maysculas y un smbolo en

forma de ngulo encima. La letra del medio es el vrtice.

Segn su apertura en grados, los ngulos se clasifican en:

ngulo Recto

90

ngulo Agudo

Menos de 90

ngulo Obtuso

Ms de 90

ngulo Llano

180

A

BO

ngulo AOB

ngulos - Posiciones

Veamos cmo pueden estar entre s dos ngulos en el mismo plano.

Dos ngulos AB y BC son consecutivos cuando comparten el vrtice

y uno de los lados.

A

B

CO

A

B

CO

Dos ngulos AB y BC son complementarios cuando la suma de sus

amplitudes es igual a un ngulo recto (90).

A

B

C

O

Dos ngulos AB y BC son suplementarios cuando la suma de sus

amplitudes es igual a un ngulo llano (180).

Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una lnea poligonal.

Un polgono es la regin interior de una lnea poligonal cerrada y no

cruzada. Sus elementos son: los lados, los vrtices y las diagonales. A la

longitud de la la lnea poligonal se le llama permetro del polgono.

Polgonos

Los polgonos pueden ser regulares (con todos sus lados y ngulos iguales) o irregulares (lo contrario). Pero tambin se

pueden clasificar por su nmero de lados. As, segn sus lados, los polgonos pueden ser:

Tringulo

Cuadriltero Pentgono Hexgono

Heptgono Octgono Enegono Decgono

Tringulos

Los tringulos son polgonos con tres lados y tres ngulos. Los tres ngulos de un tringulo siempre suman 180 entre los

tres.

Segn sus lados, los tringulos pueden ser:

Equiltero:

los tres lados iguales.

Issceles:

slo dos lados iguales.

Escaleno:

los tres lados diferentes.

Segn sus ngulos, los tringulos pueden ser:

Rectngulo:

un ngulo recto.

Acutngulo:

los tres ngulo agudos.

Obtusngulo:

un ngulo obtuso.

Cuadrilteros

Hay tres clases de cuadrilteros:

Paralelogramos:

lados paralelos dos a dos

Trapecio:

slo dos lados paralelos

Trapezoide:

ningn lado paralelo a otro

Cuadrado:

ngulos y lados iguales

Rectngulo:

ngulos iguales y lados

iguales dos a dos

Rombo:

lados iguales y ngulos

iguales dos a dos

Romboide:

ngulos y lados iguales

dos a dos

El permetro de un polgono es la medida de sus lados, de su contorno. Para cualquier polgono, su

permetro se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados.

Permetro

l1

l2

l3

l4

l5

l6

P = l1

+ l2

+ l3

+ l4

+ l5

+ l6

Los polgonos regulares, debido a que tienen lados iguales, tienen frmulas fciles y rpidas con las

que podemos calcular su permetro.

l

P = 6 x l

rea

El rea de un polgono es la porcin de plano

comprendida entre sus lados. Es decir, la medida de la

superficie encerrada por una lnea poligonal.

rea

Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuntas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad

principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.

Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus mltiplos y submltiplos, que

aumentan o disminuyen de 100 en 100.

SUBMLTIPLOS DEL METRO CUADRADO MEDIDAS AGRARIAS

decmetro cuadrado - dm2 1 dm2 = 0,01 m2 Para medir superficies del campo, se utilizan

otras unidadescentmetro cuadrado - cm2 1 cm2 = 0,0001 m2

milmetro cuadrado - mm2 1 mm2 = 0,000001 m2

MLTIPLOS DEL METRO CUADRADO hectrea - ha = hm2

decmetro cuadrado - dam2 1 dam2 = 100 m2 rea - a = dam2

hectmetro cuadrado - hm2 1 hm2 = 10.000 m2 centirea - ca = m2

kilmetro cuadrado - km2 1 km2 = 1.000.000 m2

Clculo de las reas de figuras planas

Aba

2

rea del tringulorea del cuadrado

A l2

a

b

l

rea del rectngulo

A b aa

b

AD d

2

rea del rombo

Dd

rea del romboide

A b a

b

a

AB b h

2

rea del trapecio

B

b

h

APAp

2

rea de un polgono regular

P= Permetro

Ap

Ap = Apotema (lnea que

une el centro con la mitad

de un lado)

La circunferencia y el crculo

Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro

punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la

circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una

superficie llamada crculo.

Circunferencia

Radio

Dimetro

Centro

Crculo

Segmento circular

Sector circular

El dimetro de una circunferencia es igual al doble del radio.

d = 2 r

Cuerda

Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que

es igual a 3,14 veces su dimetro. A este nmero decimal se lo define

con la letra griega pi (). Luego = 3,14 aproximadamente.

De esta forma, la longitud de una circunferencia es:

L = 2 r

La superficie del crculo se calcula multiplicando pi por el cuadrado del radio.

A = r2

Cuerpos geomtricos

Los cuerpos geomtricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras:

- Cuerpos poliedros. Son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros

regulares (todas sus caras iguales) y poliedros irregulares (no todas las caras iguales).

- Cuerpos de revolucin. Son cuerpos que tienen, al menos, una cara curva, y se obtienen haciendo girar en torno a un

eje a un polgono cualquiera.

Poliedros regulares

Tetraedro Octaedro Hexaedro o Cubo Dodecaedro Icosaedro

Los poliedros regulares han tenido siempre aplicaciones astronmicas. Platn utiliza al Tetraedro como figura bsica

de su cosmogona. J. Kepler hace coincidir las rbitas planetarias de forma que los planetas se colocan el esferas

circunscritas a cada uno de estos slidos.

Cuerpos geomtricos

Poliedros irregulares

Los poliedros irregulares tienen una base poligonal, que puede ser un tringulo, un cuadrado, un pentgono, etc. Y se

nombran teniendo en cuenta dicha base. As, se denominan: pirmide triangular (si la base es un tringulo); prisma

cuadrangular (si la base es un cuadrado) y as con los dems polgonos. Las pirmides tienen una sola base y los prismas

dos, una superior y otra inferior (siendo iguales las dos).

Pirmide

triangular

Pirmide

cuadrangular

Prisma

cuadrangular

Prisma

triangular

Arista

Base

Cara

Altura

Cuerpos geomtricos

Cuerpos o figuras de Revolucin

Cilindro Cono Esfera

Estos cuerpos reciben este nombre porque su forma se genera por medio de la revolucin (giro sobre un eje) de una

figura plana. Si giramos un rectngulo sobre su lado mayor, obtenemos un cilindro; si giramos un tringulo rectngulo

sobre un cateto, obtenemos un cono; y si giramos una semicircunferencia, obtenemos una esfera. Debido a esto, en estos

cuerpos, hay superficies curvas.

Generatriz

Base

Altura

Radio