geometría analítica plana
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Geometría Analítica Plana. Geometría Analítica Plana. Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta Ecuación de la circunferencia Transformación de coordenadas La parábola La elipse La hipérbola. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Geometría
Analítica Plana
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I.Sistemas de coordenadasII. Gráfica de una ecuación y lugares
geométricosIII. La línea rectaIV. Ecuación de la circunferenciaV. Transformación de coordenadasVI. La parábolaVII. La elipseVIII. La hipérbola
Geometría Analítica Plana
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http://www.licimep.org/MateFisica.htm
Problemas resueltos de Matemáticas y de
Física
•En particular, hay una sección dedicada a Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos•En esa sección hay problemas del Lehmann,. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
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http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/
Página del doctor Javier Baez. Donde
están las presentaciones
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¿Qué es la Geometría Analítica?
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Es el estudio de la geometríausando los principios delálgebra y viceversa.
Es la unión de la geometríay el álgebra
¿Qué es la Geometría Analítica?
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Ecuaciones en dos
variables
Figuras
geométricas en el plan
o
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Ecuaciones en x e
y
Figuras en el plano
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Gracias al sistema
coordenado, al plano
cartesiano
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Que establece una correspondencia biunívoca, uno a
uno, entre los puntos del plano y
los pares ordenados de
números reales
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Abscisa
Ordenada
Plano cartesiano ,x y
x
y
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosDos problemas
fundamentales de la Geometría Analítica
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En este capítulo haremos un estudio preliminar de dosproblemas fundamentales de la Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición quedeben cumplir los puntos de la misma, determinarsu ecuación.
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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Dada una ecuación,
interpretarla geométricam
ente
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosPrimer problema
fundamental: La gráfica de una
ecuación
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Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,
e , que podemos escribir en la forma
, =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
e que satisfacen esta ecuación. Cada un
x y
f x y
x y o de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de
un punto en el plano.
x y
Primer problema fundamental: La gráfica de una ecuación
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Definición 1: El conjunto de los puntos,y solamente de aquellos puntos, cuyascoordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o, bien,
su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
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Definición 2: Cualquier punto cuyascoordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
Primer problema fundamental:
La gráfica de una ecuación
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Características de la ecuación
El conjunto solución de la ecuación,formado por los puntos ordenados,debe pertenecer al conjunto de losnúmeros reales.
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Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Cálculo de
coordenadas
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Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Extensión de la curva
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Extensión de una curva
La extensión de una curvason los intervalos de variaciónpara los cuales los valores de e son valores reales.x y
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Extensión de una curvaLa extensión de una curva son los intervalos de variación
para los cuales los valores de e son valores reales.x y
Es útil, porque:
Da la localización general de la curva en el plano
Indica si la curva es cerrada o
si es de extensión indefinida.
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Extensión de una curvaLos intervalos para los cuales
los valores de e son realesse determinan resolviendo laecuación dadapara en términos de ,y para en términos de .
x y
y xx y
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2 2 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 1
No existen números reales, y ,que satisfaga la ecuación.La extensión es el conjunto vacío.
x y
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2 2 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 2
La extensión de esta ecuación sereduce a un único punto, el 0,0 .
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2 3 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 3
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2 3 4 0x y Extensión de una curva.
Ejemplo 3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
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-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2 3 4 0x y
Extensión de una curva. Ejemplo 3
La extensión es todo el plano; es decir, puede tomar cualquier valor real, y también puede tomar cualquier valor real.xy
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2y xExtensión de una curva.
Ejemplo 4
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-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y 2y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
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2y x
y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
Es claro que no puede ser negativo.Sólo puede ser positivo o cero.La extensión es el intervalo [0, ).
x
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2
2
y x
x y
Extensión de una curva. Ejemplo 4
Es claro que puede tomar cualquier valor real.No hay ninguna restricción.La extensión en es toda la recta real, es , .
y
y
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-1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y 2y x
Extensión de una curva. Ejemplo 4
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2 29 4 36x y Extensión de una curva.
Ejemplo 5
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2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
4 36 99 99 44 4
3 42
Por tanto, 2,2
x y
x
y x
y x x
y x
![Page 37: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/37.jpg)
2 29 4 36 2,2x y x
![Page 38: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/38.jpg)
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
9 36 44 44 99 9
29
3Por tanto, 3,3
x y
y
x y
x y y
x y
![Page 39: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/39.jpg)
2 29 4 36 3,3x y y
![Page 40: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/40.jpg)
2 29 4 36; 2,2 , 3,3x y x y
![Page 41: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/41.jpg)
2 3 0y x
Extensión de una curva. Ejemplo 6
![Page 42: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/42.jpg)
2 3
3
0
Por t0anto
y x
y
x
x
2 3 0y x
![Page 43: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/43.jpg)
2 3
23
0
Por tan o
tx
y
y x
y
R
2 3 0y x
![Page 44: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/44.jpg)
Extensión de una curva en x
1. Se despejan en función de 2. Se analiza qué valores de sonposibles en la ecuación.3. Esos valores de constituyenla extensión en de la curva.
y xx
xX
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Extensión de una curva en y
1. Se despejan en función de 2. Se analiza qué valores de sonposibles en la ecuación.3. Esos valores de constituyenla extensión en de la curva.
x yy
yY
![Page 46: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/46.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Asíntotas
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Asíntotas Si para una curva dada, existe unarecta tal que, a medida que un puntode la curva se aleja indefinidamentedel origen, la distancia de ese puntoa la recta decrece continuamente ytiende a cero, dicha recta se llamaasíntota de la curva.
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Asíntotas. Ejemplo 1 1
2y
x
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12
yx
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 50: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/50.jpg)
12
yx
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 51: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/51.jpg)
12
yx
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 52: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/52.jpg)
12
yx
2x
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 53: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/53.jpg)
12
yx
Asíntotas. Ejemplo 1
![Page 54: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/54.jpg)
24 5 15=
2 3x x
yx
Asíntotas. Ejemplo 2
![Page 55: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/55.jpg)
24 5 15=2 3
x xyx
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
![Page 56: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/56.jpg)
24 5 15=2 3
x xyx
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
![Page 57: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/57.jpg)
24 5 15=2 3
x xyx
2 5y x
Asíntotas. Ejemplo 2
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Asíntotas Esta definición implica dos cosas:
1) Una curva que tiene una asíntota
no es cerrada o de extensión finita,
sino que se extiende indefinidamente.
2) Una curva se aproxima a la asíntota
más y más a medida que se extiende
más y más en el plano coordenado.
![Page 59: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/59.jpg)
Asíntotas Siendo la asíntota una línea recta, puede teneruna cualquiera de tres posiciones particulares.
Si es asíntota horizo
paralela o coincide con el eje , se llama.
Si es paralela o coincide con el ejental
X
Y,.
Si no es paralela a ninguno de los ejescoordenados,
asíntota vertical
asíntota obl .icua
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Asíntotas Aquí consideraremos solamente ladeterminación de asíntotas verticalesy horizontales.Posteriormente veremos la determinaciónde asíntotas oblicuas para una curvaparticular conocida con el nombre dehipérbola.
![Page 61: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/61.jpg)
Asíntotas Se debe tener presente que una curva no tiene
necesariamente una o más asíntotas. Hay
muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin
embargo , si una curva tiene asíntotas, su
determinación será, como veremos, una gran
ayuda para construir su gráfica.
![Page 62: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/62.jpg)
Asíntotas En el capitulo siguiente haremos un estudio
detallado de la ecuación general de la recta.
Pero ahora tenemos necesidad de hallar
ecuaciones de asíntotas verticales y
horizontales.
![Page 63: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/63.jpg)
Sea una rectacualquieraparalela a1 eje y que dista
unidades del eje.
l
Y
k
Recta paralela al eje Y
![Page 64: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/64.jpg)
Todo punto de ,cualquiera que sea el valorde su ordenada , tiene unaabscisa igual a .
l
k
Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista unidades del eje.
lY
k
![Page 65: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/65.jpg)
Las coordenadas de todos lospuntos de satisfacen , por tantola ecuación es
,.
lx k
Recta paralela al eje YSea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista unidades del eje. Todo punto
de , cualquiera que sea el valorde su ordenada , tiene unaabscisa igual a .
lY
kl
k
![Page 66: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/66.jpg)
Recíprocamente, cualquier puntocuyas coordenadas satisfacen estaecuación es un punto cuya abscisaes y situado, por tanto, a unadistancia de unidades del eje ,y, en consecuencia , está sobrela rec
kk Y
ta .l
Recta paralela al eje Y
![Page 67: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/67.jpg)
Recta paralela al eje Y
La ecuación de una rectaparalela al eje es:
donde es la distanciade la recta al eje .
xk
kY
Y
![Page 68: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/68.jpg)
Recta paralela al eje XLa ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distanciade la recta al eje .
yk
kX
X
![Page 69: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/69.jpg)
Recta paralela al eje X
2y
2
![Page 70: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/70.jpg)
Asíntotas Vimos que se puede determinar la extensión
de una curva despejando en función de y en función de . Para obtener las asintotasverticales y horizontales, usaremos estasmismas ecuaciones en las que
y xx y
aparecendespejadas las variables.
![Page 71: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/71.jpg)
Asíntotas verticales Para obtener las ecuaciones de las
asíntotas verticales, resuelvase la
ecuación dada para en función
de e igualese a cero cada uno de
los factores lineales del denominador.
y
x
![Page 72: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/72.jpg)
Asíntotas horizontales Análogamente, para obtener las ecuaciones
de las asíntotas horizontales, resuelvase laecuación dada para en funcion de eigualese a cero cada uno de los factoreslineales del denominador.
x y
![Page 73: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/73.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1
Encontrar las asíntotas de lagráfica de la ecuación
1 0xy y
![Page 74: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/74.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de 1 01
1 1
11
y xxy yxy yy x
yx
![Page 75: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/75.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó 1
xy y yx
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador; es decir,
1 0ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
1
x
x
![Page 76: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/76.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de 1 01
1
x yxy yxy y
yx
y
![Page 77: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/77.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó 1
xy y yx
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador
0ó sea que la asíntota tiene como ecuaci
0ón:
y
y
![Page 78: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/78.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 1
1x
0y
![Page 79: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/79.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
Encontrar las asíntotas de lagráfica de la ecuación
1xyx
![Page 80: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/80.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1
xyx
2
2
2 2
2
1) Despejar en función de
Ya está despejada, entonces tenemos 1
pero debemos escribir el denominador comofactores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos
1 1 1
y x
xyx
x xyx x x
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Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador; es decir,
1 0 y 1 0ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1s:
y x
x
x
x
2 2
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 1 1
x xyx x x
![Page 82: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/82.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador; es decir,
1 0 y 1 0ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1s:
y x
x
x
x
2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1 1 1
x xyx x x
¡Hay dos
asíntotas!
![Page 83: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/83.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
2 2
2 2
2
1) Despejar en función de
11
0
1 0
x y
xyx
y x x
yx x y
y x y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1
xyx
![Page 84: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/84.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2
2
2
1) Despejar en función de
1 0
0 0 4 1 4 1 2 12 1 2 1 2 1
11
x y
y x y
y y y y y yx
y y y
y yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación 1
xyx
![Page 85: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/85.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 2 Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó 1
xy y yx
2) Hacemos cero los factores linealesdel denominador
1 0ó sea que la asíntota tiene como ecuación
1:
y
y
![Page 86: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/86.jpg)
2
2 1xyx
![Page 87: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/87.jpg)
2
2 1xyx
11
1xx
y
![Page 88: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/88.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 3La tangente Mostrar las asíntotasde la tangente
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Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente Las rectas
y 2 2
son asíntotas.
x x
![Page 90: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/90.jpg)
Asíntotas. Ejemplo 3, La tangente
![Page 91: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/91.jpg)
Una curva puede tener más de unaasintota vertical u horizontal.Asi, la curva cuya ecuación es
11 2
tiene dos asintotas verticales, 1 y 2.
yx x
x x
Asíntotas. Notas
![Page 92: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/92.jpg)
Para muchas ecuaciones en las variables e ,veremos que, frecuentemente es ventajosoinvestigar el comportamiento de una de lasvariables cuando a la otra se le dan valorescada vez mas grandes en valo
x y
r absoluto.Esto es particularmente útil para ladeterminación de las asíntotas.
Asíntotas. Notas
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1Así, para la ecuación , si damos valores
1a cada vez más grandes, en valor absoluto, elvalor de se aproxima a cero.Es decir, a medida que el punto sobre la curvase aleja indefinidamente del or
yx
xy
igen, ya sea haciala derecha o hacia la izquierda, la curva seaproxima a la recta 0 que, por lo tanto, esuna asintota horizontal.
y
Asíntotas. Notas
![Page 94: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/94.jpg)
Análogamente, si escribimos laecuación en la forma
11
vemos que, a medida que tomavalores cada vez mayores en valorabsoluto se aproxima a 1.Por tanto, 1 es una asíntota vertícal.
xy
y
xx
Asíntotas. Notas
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Es una gran ventaja usar las asintotasde una curva, cuando existen, en eltrazado de la misma. Las asíntotas actúan como lineasguía de la gráfica.
Asíntotas. Notas
![Page 96: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/96.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosConstrucc
ión de curvas
![Page 97: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/97.jpg)
La discusión de una ecuación ysu representación gráfica constituyen,en conjunto, un problema de tan granimportancia en todas las ramas de lasMatemáticas y sus aplicaciones,que se le ha dado el nombre especialde construcción de curvas.
Construcción de curvas
![Page 98: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/98.jpg)
El trazado de una curva consta de los seis puntos siguientes :1 . Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados .2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a losejes coordenados y a1 origen .3. Deteminación de la extensión de la curva.4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales uhorizontales que la curva puede tener .5 . Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntospara obtener una gráfica adecuada .6. Trazado de la curva .
Construcción de curvas
![Page 99: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/99.jpg)
4 2
Construir la curva cuya ecuación es
4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
Ejercicio 8, grupo 6, página 46
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4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2 2 2
1 2 3 4
1. Intersecciones con los ejes.a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0
lo que nos lleva a 4 0
que se factoriza como 4 2 2 0
Tenemos por tanto cuatro raices:2, 0, 0,
X
y x x y
x x
x x x x x
x x x x
2
![Page 101: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/101.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
1. Intersecciones con los ejes.a) Con el La gráfica intersecta al eje en
2, 0 y 2
XX
![Page 102: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/102.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
1. Intersecciones con los ejes.b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 4 0lo que nos lleva a 0Tenemos una raíz:
0
Y
x x x yy
y
![Page 103: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/103.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
1. Intersecciones con los ejes.b) Con el La gráfica intersecta al eje en
0
YY
y
![Page 104: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/104.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetríasa) Con respecto al eje
La ecuación 4 0cambia a la ecuación
4 0cuando intercambiamos por .
Por lo t LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRI
ant
CA RESPEC
o,
.TO AL EJE
X
x x
X
y
x x yy y
![Page 105: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/105.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetríasb) Con respecto al eje
La ecuación 4 0cambia a la ecuación (que es la misma)
4 0cuando intercambiamos por .
Por lo LA GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTR
tanto,
ICA RE
SPECTO AL EJ .E
Y
x x y
x xx x
Y
y
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4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
2. Simetríasc) Con respecto al origen
La ecuación 4 0cambia a la ecuación
4 0cuando intercambiamos por y por .
Por lo LA GRÁFICA NO ES
SIMÉT
tan
RIC
to,
A RESPECTO AL O .R
IGEN
x x y
x x yx x
y y
![Page 107: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/107.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
2. SimetríasLa única simetría que tiene esta gráficaes respecto al eje .No es simétrica ni respecto al eje ,ni respecto al origen.
YX
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4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2
4 2
cualquier valor de es posible
3. Extensióna) En el eje Despejando de la ecuación
4 0 tenemos
4Por ta .nto,
Xy
x x y
xy x x
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4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4 2 2
2
3. Extensiónb) En el eje Despejando de la ecuación
4 0 tenemos 2 4 o bien
4 4 4 12 1
4 16 4 4 2 42 4
2 2Por lo tanto, necesariamente 4
Yx
x x y x y
yx
y yy
y
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4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
3. ExtensiónLa variable puede tomar cualquiervalor real.La variable tiene que ser mayor oigual a menos 4.Es decir,
e 4
x
y
y
x R
![Page 111: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/111.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
4. AsíntotasEsta curva no tiene asíntotas.
![Page 112: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/112.jpg)
4 2Construir la curva cuya ecuación es 4 0x x y
Construcción de curvas. Ejemplo 1
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
![Page 113: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/113.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 1
x y0.00 0.00
0.25 -0.25
0.50 -0.94
0.75 -1.93
1.00 -3.00
1.25 -3.81
1.50 -3.94
1.75 -2.87
2.00 0.00
2.25 5.38
2.50 14.06
4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
![Page 114: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/114.jpg)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00 4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
![Page 115: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/115.jpg)
4 26. Construcción de la curva 4 0x x y
![Page 116: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/116.jpg)
2 2
Construir la curvacuya ecuación es
3 2x y x xy x
Construcción de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47
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Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
2
1 2
1. Intersecciones con los ejes.a) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 3 2
lo que nos lleva a 3 2
ó bien 3 2 0que se factoriza como 2 1 0
Tenemos por tanto dos raices:1, 2
X
y x y x xy x
x x
x xx x
x x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 118: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/118.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
1. Intersecciones con los ejes.a) Con el La gráfica intersecta al eje en 1 y 2
XX
2 2 3 2x y x xy x
![Page 119: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/119.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
1. Intersecciones con los ejes.b) Con el
Hacemos 0 en la ecuación 3 2lo que nos lleva a 0 2 que no se satisface paraningún valor de .Por tanto, la gráfica no intersecta al eje .
Y
x x y x xy x
yY
2 2 3 2x y x xy x
![Page 120: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/120.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
1. Intersecciones con los ejes.b) Con el La gráfica no intersecta al eje .
YY
2 2 3 2x y x xy x
![Page 121: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/121.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetríasa) Con respecto al eje
La ecuación 3 2cambia a la ecuación
3 2cuando intercambiamos por .
Por LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO
A
lo tanto,
L J
E .E
X
x y x xy x
x y x xy
X
y xy
2 2 3 2x y x xy x
![Page 122: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/122.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetríasb) Con respecto al eje
La ecuación 3 2cambia a la ecuación
3 2cuando intercambiamos por .
Por LA GRÁFICA lo tanto NO ES
SIMÉTRICA RESPEC
,
.TO AL EJE
Y
x y x xy x
x y x xx
Y
y xx
2 2 3 2x y x xy x
![Page 123: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/123.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2 2
2. Simetríasc) Con respecto al origen
La ecuación 3 2cambia a la ecuación
3 2cuando intercambiamos por y por .
LA GRPor lo tant ÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN
o,
.
x y x xy x
x y x xy xx x
y y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 124: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/124.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2. SimetríasLa gráfica no tiene ninguna simetría.No es simétricani con respecto al eje ,ni con respecto al eje ,ni con respecto al origen .
XYO
2 2 3 2x y x xy x
![Page 125: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/125.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3. Extensióna) En el eje
Despejando de la ecuación 3 2
3 2tenem
cualquier valor de es posible menos
os 1
0Por tanto, .y 1
X
y x y x xy x
x xy
x x
x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 126: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/126.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3. Extensiónb) En el eje Despejando de la ecuación
3 2tenemos
3 14 1 si 1
2 1
Yx
x y x xy x
y y yx y
y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 127: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/127.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2
2
3. Extensiónb) En el eje
3 14 1Despejando tenemos
2 1
Así que sólo son posibles los valores de que hacen que
14 1 0.
Esos son lo , 7 4 3 7s 4 3, y
Y
y y yx x
y
y
y y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 128: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/128.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
3. Extensiónb) En el eje En el caso de 1 tenemos que la ecuación
3 2se transforma en4 2
1ó sea y es posible el valor 1
2
Yy
x y x xy x
x
x y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 129: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/129.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
3. ExtensiónLa extensión de la curva es
,
, 7 4 3 7 4 3,
x
y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 130: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/130.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
4. Asíntotasa) Asíntotas verticales
Despejando de la ecuación 3 2
3 2tenemos 1
Es claro de lo que ya hemos es tenemosdos asíntotas verticales 0
tudiado y
que .1
y x y x xy x
x xyx
x x
x
2 2 3 2x y x xy x
![Page 131: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/131.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
4. Asíntotasa) Asíntotas horizontales
Despejando de la ecuación 3 2tenemos
3 14 12 1
Por lo tanto, es claro que tenemosuna asíntota horizon l 1.ta
x x y x xy x
y y yx
y
y
2 2 3 2x y x xy x
![Page 132: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/132.jpg)
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
2
3 2
3 21
x y x xy x
x xyx x
![Page 133: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/133.jpg)
x y X Y x y x y-10.00 1.47 -5.00 2.10 0.00 NO 5.00 0.40-9.75 1.48 -4.75 2.18 0.25 4.20 5.25 0.42-9.50 1.50 -4.50 2.27 0.50 1.00 5.50 0.44-9.25 1.51 -4.25 2.38 0.75 0.24 5.75 0.46-9.00 1.53 -4.00 2.50 1.00 0.00 6.00 0.48-8.75 1.55 -3.75 2.65 1.25 -0.07 6.25 0.49-8.50 1.56 -3.50 2.83 1.50 -0.07 6.50 0.51-8.25 1.59 -3.25 3.05 1.75 -0.04 6.75 0.52-8.00 1.61 -3.00 3.33 2.00 0.00 7.00 0.54-7.75 1.63 -2.75 3.70 2.25 0.04 7.25 0.55-7.50 1.66 -2.50 4.20 2.50 0.09 7.50 0.56-7.25 1.68 -2.25 4.91 2.75 0.13 7.75 0.57-7.00 1.71 -2.00 6.00 3.00 0.17 8.00 0.58-6.75 1.75 -1.75 7.86 3.25 0.20 8.25 0.59-6.50 1.78 -1.50 11.67 3.50 0.24 8.50 0.60-6.25 1.82 -1.25 23.40 3.75 0.27 8.75 0.61-6.00 1.87 -1.00 NO 4.00 0.30 9.00 0.62-5.75 1.92 -0.75 -25.67 4.25 0.33 9.25 0.63-5.50 1.97 -0.50 -15.00 4.50 0.35 9.50 0.64-5.25 2.03 -0.25 -15.00 4.75 0.38 9.75 0.65
![Page 134: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/134.jpg)
Construcción de curvas. Ejemplo 2
2 2
6. Construcción de la curva
3 2x y x xy x
![Page 135: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/135.jpg)
![Page 136: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/136.jpg)
2 2 3 2x y x xy x
![Page 137: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/137.jpg)
2 2 3 2x y x xy x
![Page 138: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/138.jpg)
2 2 3 2x y x xy x
![Page 139: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/139.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
Ecuaciones
factorizables
![Page 140: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/140.jpg)
El trazado de curvas se puede simplificarconsiderablemente para ciertos tipos deecuaciones a las que llamaremos ecuacionesfactorizables; es decir , aquellas que puedenescribirse en forma del producto de dos omás factores variables igualado a cero .
Ecuaciones factorizables
![Page 141: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/141.jpg)
En general, si la ecuación, =0
es factorizable; es decir, si , puedeescribirse como el producto de dos o másfactores variables, la gráfica de ,
constará de las gráficas de las ecuacionesobtenida
f x y
f x y
f x y
s a1 igualar a cero cada uno de estosfactores.
Ecuaciones factorizables
![Page 142: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/142.jpg)
3 3
Trazar la gráfica correspondientea la ecuación
, 0f x y x y
Ecuaciones factorizables.
Ejemplo 1
![Page 143: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/143.jpg)
3 3Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
2 2
3 3
La ecuación
,
se factoriza trivialmente como
, 0
Así que por lo que acabamos de ver, la gráfica
de será la grafica de las ecuaciones queresultan al hacer cada uno de los fact
f x y x y
f x y x y x xy y
x y
ores igual
a cero.
![Page 144: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/144.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
La gráfica de0
es una recta que pasa por el origencon pendiente 1; es decir, es unarecta que pasa por el origen y quehace un ángulo de 135 grados conel eje .
x y
X
![Page 145: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/145.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
0x y
![Page 146: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/146.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
2 2
2 2
La ecuación 0 no tiene una gráfica.En efecto, si analizamos su extensión, debemosdespejar ,
4 1 32 2
que es complejo para todo valor de ; es decir,no existe número real que ha
x xy y
y
x x xy x
xx
ga que sea real.y
![Page 147: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/147.jpg)
3 3 2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x xy y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3
Por tanto, la gráfica de la ecuación
0es la de la línea recta
0
x y
x y
![Page 148: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/148.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 1
3 3 0x y
![Page 149: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/149.jpg)
2 2
Trazar la gráfica correspondientea la ecuación
, 0f x y x y
Ecuaciones factorizables.
Ejemplo 2
![Page 150: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/150.jpg)
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
2 2
La ecuación
, 0
se factoriza trivialmente como, 0
Así que por lo que acabamos de ver, la gráfica
de será la grafica de las ecuaciones queresultan al hacer cada uno de los factores
f x y x y
f x y x y x y
x y
igual
a cero.
![Page 151: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/151.jpg)
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
La gráfica de0
es una recta que pasa por el origen conpendiente 1; es decir, es una rectaque pasa por el origen y que hace unángulo de 135 grados con el eje .
x y
X
![Page 152: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/152.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
0x y
![Page 153: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/153.jpg)
2 2Gráfica de la ecuación ,f x y x y x y x y
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
La gráfica de0
es una recta que pasa por el origen conpendiente 1; es decir, es una recta quepasa por el origen y que hace unángulo de 45 grados con el eje .
x y
X
![Page 154: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/154.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
0x y
![Page 155: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/155.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2
Por tanto, la gráfica de la ecuación
0son dos líneas rectas.Ambas pasan por el origen,una hace con el eje un ángulo de 135 gradosy la otra hace con el eje un ángulo de 45 grados
x y
XX
2 2Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación ,f x y x y
![Page 156: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/156.jpg)
Ecuaciones factorizables. Ejemplo 2
2 2 0x y
![Page 157: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/157.jpg)
Geometría Analítica Plana
Gráfica de una ecuación y lugares geométricosIntersección de curvas
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Considere un sistema de dosecuaciones independientes , 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
![Page 159: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/159.jpg)
Si sus gráficas se cortan en uno ó más puntos, cada uno de estos puntos se llama punto de intersección.
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
![Page 160: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/160.jpg)
La interpretación analítica de un punto de intersección de las dos gráficas, es que es un punto cuyas coordenadas representan una solución común a las dos ecuaciones
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
, 0 , 0f x y g x y
Intersección de curvas
![Page 161: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/161.jpg)
2 13 9x yx y
![Page 162: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/162.jpg)
2 13 9
5 10
x yx y
x
![Page 163: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/163.jpg)
2 1 3 9
5 1010 25
x y x y
x
x
![Page 164: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/164.jpg)
2 1 3 9
5 1010 25
2 1 2 2 1 3
x y x y
x
x
y x
![Page 165: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/165.jpg)
2 1 3 9
2 3
x y x y
x y
![Page 166: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/166.jpg)
Encontrar la intersección de las curvas y 3 92 1x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
Ejercicio 11, parágrafo 21, página 49.
![Page 167: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/167.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2 1x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
![Page 168: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/168.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
3 9x y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
![Page 169: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/169.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
32 1
9x yx y
Intersección de curvas. Ejemplo 1
2,3
![Page 170: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/170.jpg)
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
![Page 171: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/171.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2 8x y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
![Page 172: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/172.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
![Page 173: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/173.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2
2
8
2
x y
y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2,2
2, 2
![Page 174: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/174.jpg)
2 2 2
Encontrar la intersección de las curvas
y
Hay dos puntos de intersección:2,2 y
8
2,
2
2
y xx y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
![Page 175: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/175.jpg)
2
2
1 2
2 8
2 8 0
2 4 4 1 8 2 36 2 62 2 2
2 4
x x
x x
x
x x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
![Page 176: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/176.jpg)
1 2
1
2
2 4
2
2 2 4 2
8 No existe
x x
y x
y
y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
![Page 177: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/177.jpg)
1 1
2 2
2 2
2 2
x y
x y
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2 2 2Encontrar la intersección de las curvas
y 8 2y xx y
![Page 178: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/178.jpg)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y2 2
2
8
2
x y
y x
Intersección de curvas. Ejemplo 2
2,2
2, 2
![Page 179: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/179.jpg)
2 2 22
Encontrar la intersección de las curvas
y 1 4x yx y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
Ejercicio 18,parágrafo 21,página 49
![Page 180: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/180.jpg)
2 2 2 21 y 4x y x y
Para encontrar la intersección deestas dos curvas debemos resolverlas ecuaciones simultaneamente
Intersección de curvas. Ejemplo 3
![Page 181: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/181.jpg)
2 2 2 2
2
1 y 4Sumando las dos ecuaciones, obtenemos
2 5
5y por tanto, 2
x y x y
x
x
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
![Page 182: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/182.jpg)
2 2 2 2
2
1 y 4
5Sustituyendo en la primera2
5obtenemos 12
5 3que nos da 12 2
que no existe en los números reales.
x y x y
x
y
y
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3
![Page 183: Geometría Analítica Plana](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012817/568166d5550346895ddae6f7/html5/thumbnails/183.jpg)
Las dos curvasno se intersectan,como es evidentede sus gráficas.
2 2 2 21 y 4x y x y
Intersección de curvas. Ejemplo 3