geometria analitica-2ª parcial
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1
O plano
Equações paramétricas do plano
Seja ),,( 111 zyxA um ponto de um plano e sejam ),,(),,( 222111 cbavecbau
vetores não colineares (vetores-base do plano). Um ponto ),,( zyxP pertence ao plano
se, e somente se existem números reais h e t tais que:
tchczz
tbhbyy
tahaxx
cbatcbahzyxzyx
vtuhAP
vtuhAP
vtuhAP
211
211
211
222111111
:
),,(),,(),,(),,(
Estabelecer as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A(1,2,3),
B(2,3,-1) e C(-1,3,2).
2
Equação geral do plano
Seja ),,( 111 zyxA um ponto de um plano e seja ),,( cban
um vetor não nulo,
ortogonal (normal) ao plano.
O plano é o conjunto de todos os pontos ),,( zyxP do espaço, tais que os vetores
neAP
sejam ortogonais.
0
)(0
0),,(),,(
0
111111
111
dczbyax
czbyaxdczbyaxczbyax
zzyyxxcba
APn
APn
Obs.: Um plano fica determinado quando conhecemos um ponto e um vetor normal.
Qualquer vetor nk
também é normal ao plano.
Os coeficientes a,b,c representam as componentes de um vetor normal ao plano, d só é
conhecido quando temos um ponto do plano.
O vetor normal é ortogonal a qualquer vetor representado no plano.
Determinar a equação geral do plano:
Paralelo ao plano 06352: zyx e que contém o ponto A(5,-2 1).
3
Perpendicular à reta
yz
yxr
24
23: e que contém o ponto A(2,0,-1).
Determinado pelos pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1).
Que passa pelo ponto A(6,0,-2) e é paralelo aos vetores i
e kj
2 .
Que contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos 0642:1 zyx e
032:2 zyx .
4
Que contém as retas
2
32:
xz
xyr e
15
1
3
1
:
y
zx
s .
Que contém as retas
4
3
:
z
ty
tx
r e
0;
2
1
2
2: z
yxs
5
Casos particulares
1° caso: Plano que passa pela origem - o termo independente é nulo.
)0,0,0(O
Substituindo na equação geral temos:
0
0)0()0()0(
0
d
dcba
dczbyax
A equação geral do plano será 0: czbyax
2° caso: Planos paralelos aos eixos coordenados – uma componente de n
é nula.
O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim o plano é paralelo ao
mesmo eixo.
a) Se OxOxcbna //),,0(,0
A equação geral do plano será 0: dczby
Ex.: 0632: zy
b) Se OyOycanb //),0,(,0
A equação geral do plano será 0: dczax
03: zx
c) Se OzOzbanc //)0,,(,0
A equação geral do plano será 0: dbyax
042: yx
Obs.: Se na equação geral de um plano falta uma variável, o plano é paralelo ao eixo da
variável ausente na equação.
6
3° caso: Planos paralelos aos planos coordenados – duas componentes de n
são nulas.
O vetor tem a direção de um dos vetores kouji
, e, portanto o plano é paralelo ao
plano dos outros dois vetores.
a) Se xOykcnba ////),0,0(,0
A equação geral do plano será 1: zz
4: z
b) Se xOzjbnca ////)0,,0(,0
A equação geral do plano será 1: yy
3: y
c) Se yOziancb ////)0,0,(,0
A equação geral do plano será 1: xx
2: x
Os planos coordenados são planos particulares.
0:
0:
0:
xyOz
zxOy
yxOz
Determinar a equação geral do plano:
Paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0,3,1) e B(2,0,-1).
Perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3,4,-1).
7
Equação segmentária do plano.
Se na equação geral 0,,,,0: dcbadczbyax o plano intercepta os eixos
coordenados nos pontos ),0,0()0,,0(),0,0,( rReqQpP e sua equação pode ser
representada na forma segmentária.
As coordenadas dos pontos P, Q e R verificam a equação 0: dczbyax .
Substituindo o ponto P: p
dadcbpa
000
Substituindo o ponto Q: q
dbdcqba
000
Substituindo o ponto R: r
dbdrcba
000
)(: ddzr
dy
q
dx
p
d
1r
z
q
y
p
x
Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 012423: zyx e pelos
planos coordenados.
8
Ângulo de dois planos
É o menor ângulo formado pelos seus vetores
normais.
21
21cos
nn
nn
, 2
0
Calcular o ângulo entre os planos 0102:1 zyx e 012:2 zyx .
Condições de paralelismo e perpendicularidade de dois planos.
Se 212121 //// nknnnentão
Se 0212121 nnnnentão
9
Ângulo entre reta e plano
É o complemento do ângulo que a reta forma com uma reta normal ao plano.
é o ângulo que a reta r forma com o plano .
é o ângulo que a reta r forma com uma reta normal ao plano .
é o complemento do ângulo .
Se e são ângulos complementares temos sencos .
nv
nvsen
, 2
0
Condições de paralelismo e perpendicularidade entre reta e plano.
Se //r , então 0 nvnv
Se r , então nkvnv
//
Condições para que uma reta esteja contida em um plano.
I) ArAseenv ,
.
II) BArBA ,,
10
Interseção de dois planos: é uma reta cuja direção é simultaneamente ortogonal aos
vetores normais dos planos.
Estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta interseção
dos planos 033:1 zyx e 0423:2 zyx .
Interseção entre reta e plano: é um ponto que pertence à reta e ao plano.
Determinar o ponto de interseção da reta 3
3232:
zyxr com o plano
0932: zyx .
11
EXERCÍCIOS
1. Seja o plano 0132: xyx , calcular:
a) O ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3; (4,3,-2)
b) O ponto de que tem abscissa 1 e cota 2; (1,9,2)
c) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota; (0,-2,-1)
d) O valor de k para que o ponto P(2, k+1, k) pertença a . k= -2
2. Determinar a equação geral do plano mediador do segmento de extremos A(1,-2,6) e
B(3,0,0). x + y - 3z + 8 =0
4. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,0), B(-4,-2,1) e
C(0,0,1). x – 2 y =0
5. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,3), B(-3,-1,3) e
C(4,2,3). z =3
6. Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,-1,-2) e B(-1,2,1) e
é paralelo ao vetor kiv 32
. 3x-12y+2z+25=0
7. Determinar a equação geral do plano que contém os pontos A(1,-2,2), B(-3,1,-2) e é
perpendicular ao plano 082: zyx . x-12y-10z-5=0
8. Determinar a equação geral do plano que contém as retas:
a) 1
3
3
2
2
1:
zyxr e
2
3
1
2
2
1:
zyxs . 5x-2y+4z-21=0
b)
3:
y
zxr e
tz
y
tx
s
2
1: . 2x+y-2z+3=0
9. Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:
a) A(3,-1,2) e
tz
ty
tx
r
23
2: . x+y-2=0
b) A(1,-1,2) e o eixo dos z. x+y=0
10. Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos
A(-2,0,2) e B(0,-2,1). y-2z+4=0
11. Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos
A(2,1,0) e B(0,2,1). x+2z-2=0
12
12. Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A(5,-2,3) e é paralelo ao
plano xOy. z=3
13. Dada a equação geral do plano 0623: zyx determinar um sistema de
equações paramétricas de .
14. Calcular o ângulo entre os planos 0122:1 yx e 02:2 zyx . 30º
15. Calcular o valor e m para que o ângulo formado pelos planos
072:1 zmyx e 02354:2 zyx seja de 30º. 1 ou 7
16. Determinar a e b de modo que os planos 014:1 zbyax e
0253:2 zyx sejam paralelos. -6 e 10
17. Determinar m de modo que os planos 022:1 zymx e
0123:2 zmyx sejam perpendiculares. 1/2
18. Determine o ângulo que a reta forma com o plano.
a) 5
1
43
2:
zyxr e 0172: zyx 60º
b)
12
2:
xz
xyr e 05: yx 45º
19) Mostrar que a reta
tz
ty
tx
r 21
13
: é paralela ao plano 032: zyx .
20) Mostrar que a reta 0;2
1
1
1:
z
yxr está contida no plano
0132: zyx .
21. Calcular os valores de m e n para que a reta
4
32:
xz
xyr esteja contida no plano
02: zmynx . -2 e 3
22. Estabelecer as equações reduzidas, sendo x a variável independente, da reta
interseção dos planos 0123:1 zyx e 0722:2 zyx .
422
3
2
1
xz
xy
13
23. Determinar as equações paramétricas da reta interseção dos planos:
a) 0532:1 zyx e 03:2 zyx .
tz
ty
tx
32
1
4
b) 022:1 yx e 3:2 z .
3
22
z
ty
tx
24. Determinar o ponto de interseção da reta com o plano nos seguintes casos:
a)
5
2
1
:
z
ty
tx
r e 3: x (3,4,5)
b)
tz
ty
tx
r 21: e 042: zyx . (3,-5,-3)
25. Estabelecer as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3,6,4), intercepta
o eixo z e é paralela ao plano 0653: zyx . 1
1
21
zyx ou
1
4
2
6
1
3
zyx
14
DISTÂNCIAS
Distância entre dois pontos A e B: ABBAd ),(
Distância de ponto à reta: Seja uma reta definida por um ponto ),,( 1111 zyxP e pelo
vetor ),,( cbav
e seja ),,( 0000 zyxP um ponto qualquer do espaço.
Distância entre duas retas
Concorrentes: é nula, por definição.
Paralelas: recai na distância de um ponto a uma reta.
Reversas:
21
2121 ,,),(
vv
PPvvsrd
v
PPvrPd
01
0 ),(
15
Distância de um ponto ),,( 0000 zyxP a um plano 0: dczbyax
222
000
0 ),(cba
dczbyaxPd
Se o ponto considerado for a origem (0,0,0) do sistema, temos:
Distância entre dois planos (só está definida quando os planos são paralelos):
Em planos paralelos sempre é possível obter cccebbbaaa 212121 , ,
então, 222
21
21 ),(cba
ddd
Distância entre uma reta e um plano (só está definida quando a reta é paralela ao
plano):
222
000
0 ),(),(cba
dczbyaxPdrd
222),(
cba
dOd
16
Exercícios:
1. Mostrar que o ponto A(2,2,3) é eqüidistante dos pontos B(1,4,-2) e C(3,7,5).
2. Calcular a distância do ponto P(1,2,3) à reta
tz
ty
tx
r
2
2
21
: .
3. Calcular a distância entre as retas r e s:
a)
xz
yse
zy
xr
2
3:
0:
b) r:
4
1:
2
3
y
xse
y
x
4. Determinar a distância do ponto A(2,-3,5) ao plano 02623: zyx .
5. Calcular a distância da origem ao plano 02043: yx .
6. Calcular a distância entre os planos paralelos 05222:1 zyx e
03:2 zyx .
7. Determinar a distância da reta
4
3
y
x ao plano 012: yx .
Respostas:
2. 2
3. 226
3e
4. 4
5. 4
6. 6
3
7. 2
5
17
CÔNICAS
Hipérbole
nciacircunferêElipse
Parábola
)(
A PARÁBOLA
Seja uma reta d e um ponto dF de um plano . Parábola é o lugar geométrico dos pontos
do plano eqüidistantes do ponto F e da reta d.
PPFP
PPdFPd
dPdFPd
'
' ),(),(
),(),(
Elementos:
F: foco;
Reta d: diretriz;
Eixo de simetria: reta que passa pelo foco e é perpendicular à
diretriz;
V: vértice (ponto de interseção da parábola com o eixo);
Parâmetro: *p , d(F,d)
Equação da parábola de vértice na origem do sistema
1° caso: Eixo de simetria é o eixo y.
PPFP '
2
2
2
2
220
pyxx
pyx
pyx
ppyy
ppyyx
2
44
2
22
2
22
22
2° caso: Eixo de simetria é o eixo x.
pxy 22
18
Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:
1) Vértice: V(0,0); diretriz d: y= - 2.
2) Vértice: V(0,0); foco: F(-3,0).
3) Vértice: V(0,0); simetria em relação ao eixo dos y, passando pelo ponto P(2,-3).
Translação de eixos
Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k), arbitário. Vamos introduzir um novo
sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma
direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy.
Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos.
Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são:
a) x e y em relação ao sistema xOy;
b) x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y’.
Pela figura acima, obtém-se:
kyy
hxx
'
' ou
kyy
hxx
'
'
Estas são as fórmulas de translação que permitem transformar coordenadas de um sistema para
outro.
P
y
y’
x
x’
O
O’ y
x
k
h
x’
y’
19
Equação da parábola de vértice fora da origem do sistema
1° caso: Eixo de simetria é paralelo ao eixo y.
kyphx
pyx
2
2
2
''2
2° caso: Eixo de simetria é paralelo ao eixo x.
hxpky 22
Equação da parábola na forma explícita
Eixo de simetria é paralelo ao eixo y: cbxaxy 2
Eixo de simetria é paralelo ao eixo x: cbyayx 2
Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:
1) Vértice: V(-2,3); foco F(-2,1).
2) Foco: F(2,3); diretriz: y= -1.
20
3) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y, passando pelos pontos A(0,0), B(1,1) e C(3,1).
Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da
parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.
1) yx 122
2) 0441642 xyy
3) 0242 yxx
21
Aplicações práticas das parábolas
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a
superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que
venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão
todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície
parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que
permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino
Fundamental.
Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita
geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas
poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o
feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e
ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar,
denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor
que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV
poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes,
jornais e outros programas que você assiste normalmente.
Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente
para a antena parabólica e para os faróis.
Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando
alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo
objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou
é pequena. Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.
22
EXERCÍCIOS:
Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:
1) Foco F(2,0); diretriz d: x + 2 = 0. xy 82
2) Vértice V(0,0); foco F(0,-3) yx 122
3) Foco F(0,-1), diretriz d: y - 1 = 0. yx 42
4) Vértice V(2,-1); foco F(5,-1). 0251222 xyy
5) Vértice V(4,1); diretriz d: x + 4 = 0 01293222 xyy
6) Vértice (-4,3); foco F(-4,1). 08882 yxx
7) Foco F(6,4); diretriz d: y = - 2. 04812122 yxx
8) Vértice V(1,3); eixo paralelo ao eixo dos x, passando pelo ponto P(-1,-1).
01862 xyy
Determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola
de equação dada. Esboçar o gráfico.
1) xy 1002 V(0,0), F(-25,0), x = 25, y = 0
2) 012842 yxx V(-2,-1), F(-2,-3), y = 1, x = - 2
3) 0392022 yxx V(1,-2), F(1,3), y = - 7, x = 1
4) 0311622 xyy V(-2,-1), F(2,-1), x = - 6, y = - 1
5) 0492162 yxy V(3,-1), F(7,-1), x = - 1, y = - 1
23
A ELIPSE
Definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância a dois pontos
fixos desse plano é constante.
Na figura acima representamos os dois pontos fixos do plano a que se refere a definição como
F1 e F2.
A figura acima será considerada uma elipse, se e somente se: ),(),( 21 FPdFPd =
),(),( 2111 FPdFPd = ),(),( 2212 FPdFPd , ou seja, a soma das distâncias de qualquer
ponto da elipse aos focos deve permanecer constante. Fixaremos essa soma em 2a.
),(),( 21 FPdFPd =2a
Tomando a distância entre os focos como 2c, teremos que 2a > 2c.
Elementos:
- Focos: são os pontos F1 e F2.
- Distância focal: é a distância 2c
entre os focos.
- Centro: é o ponto médio C do
segmento F1F2.
- Eixo maior: é o segmento A1A2 de
comprimento 2a. (o segmento A1A2
contém os focos e os seus extremos
pertencem à elipse)
- Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2 A1A2 no seu ponto
médio).
- Vértice: são os pontos A1, A2, B1 e B2.
- Excentricidade: é o número dado por 10, ea
ce
Obs.: em toda a elipse vale a relação 222 cba .
F1 F2
P P1
P2
C
F2 F1
B2
B1
A2 A1 2b
2c
2a
a a b
c C A2 A1
B1
B2
F1 F2
24
Equação da elipse de vértice na origem do sistema
1º caso: o eixo maior está sobre o eixo x.
Como a distância entre os focos é 2c, então F1 (-c, 0) e F2(c, 0).
Se P (x, y) é ponto de uma elipse conforme a figura acima, então, por definição, teremos:
),(),( 21 FPdFPd =2a
aPyFyPxFxPyFyPxFx 222
22
21
21
ayxcyxc 2202202
222222
:log
222:
22222222
224222222
2222422222222
2222422222
22222
42422224
222222224242222
222222
22222
222222222
bayaxb
o
bcacomo
caayaxca
caayaxcxa
xccxaacacxayaxa
xccxaaccxyxa
cxaccxyxa
cxaccxyxa
cxcyxccxyxaacxcyx
ccxyxaccxyx
ccxyxaccxyx
Dividindo todos os membros da equação por 22ba , obtemos:
12
2
2
2
b
y
a
x
que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.
x
y
F2 F1
P (x,y)
y)
25
2º caso: o eixo maior está sobre o eixo y.
cFecF ,02,01
Com raciocínio análogo ao 1º caso, obtemos a
equação:
12
2
2
2
a
y
b
x Forma reduzida da equação da elipse de
centro na origem e eixo maior sobre o eixo x
Equação da elipse de vértice fora da origem do sistema
1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo x.
Anteriormente definimos a equação da elipse
com centro na origem do sistema xOy. Como agora a
elipse está fora da origem, referenciamos esta elipse
ao sistema x’O’y’, cuja origem coincidirá com o
centro C (h, k).
Assim, a equação da elipse no sistema
x’O’y’ será:
12
2'
2
2'
b
y
a
x
Substituindo kyyehxx '' nesta equação obtemos a equação:
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx equação da elipse com centro C (h, k) e eixo maior sobre o eixo x
2º caso: eixo maior é paralelo ao eixo y.
De forma análoga teremos:
No sistema x’O’y’ a equação da elipse será:
12
2'
2
2'
a
y
b
x
No sistema xOy a equação da elipse será:
12
2
2
2
a
ky
b
hx equação da elipse de
C (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo y.
x
y
F2
F1
P (x,
y)
x
y
h
k
x
y
x’
y’
O
C
h
k
x
y
x’
y’
O
O’
26
Obs. 1: Como 222 cba segue-se que 22 ba logo a > b. Assim o maior dos
denominadores na equação reduzida de uma elipse será a2.
Se a2 é denominador de x
2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo ao eixo x.
Se a2 é denominador de y
2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo ao eixo y.
Aplicações:
A propriedade refletora da elipse é usada na construção de refletores odontológicos, aparelhos
de emissão de certos raios usados em Medicina ou nas salas de sussurros existentes em certos
museus americanos de ciência e nos castelos de alguns monarcas europeus excêntricos.
A maioria dos dentistas utiliza em seus consultórios uma luminária com espelho elíptico,
obtendo assim duas significantes vantagens: A primeira é concentrar o máximo de luz onde se
está trabalhando e a segunda é evitar que os raios luminosos ofusquem o paciente causando
certo desconforto. Isto porque o espelho, sendo elíptico, possui a propriedade de concentrar os
raios luminosos emitidos pela lâmpada em um determinado ponto (propriedade refletora) que é
ajustado pelo dentista.
Essa mesma propriedade explica o funcionamento de diversos aparelhos de emissão de raios
usados em tratamentos médicos como, por exemplo, o de radioterapia, cujos raios devem
destruir os tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao redor.
As salas de sussurros são construídas de forma oval onde são marcados dois pontos no chão.
Duas pessoas em pé, uma em cada um desses pontos, podem se comunicar em voz sussurrada,
inaudível no restante da sala.
A forma da sala é de fundamental importância. Ao projetá-la, fixam-se dois pontos P e
Q, que ficam na altura da cabeça das pessoas que vão se comunicar. A seguir, toma-se uma
elipse que admita P e Q como focos e, a sala é construída de tal maneira que qualquer plano que
passe por esses pontos intercepte a sala segundo uma elipse congruente com a escolhida.
Pela própria definição de elipse, a soma das distâncias de um ponto da curva aos focos é
constante. Assim, todas as ondas sonoras emitidas em um dos focos que, ao se refletirem nas
paredes da sala, cheguem ao segundo foco, terão percorrido a mesma distância e, por isso,
chegarão ao mesmo tempo. E a propriedade bissetora, garante que todo som emitido em um dos
focos se dirigirá, após a reflexão, exatamente para o outro foco.
Assim conjugando essas duas propriedades, concluímos que todas as ondas sonoras emitidas em
um dos focos chegarão ao mesmo tempo no outro foco, o que, sem dúvida, proporciona uma
amplificação natural do som, explicando o funcionamento das salas de sussurros.
A Geometria Analítica tem também um papel importante no desenvolvimento da astronomia.
Johannes Kepler, teólogo e astrônomo alemão, analisando cuidadosamente as observações
realizadas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, descobriu a forma elíptica das órbitas dos
planetas e formulou as famosas três leis do movimento planetário.
Kepler decidiu calcular a órbita da Terra concentrando-se no planeta Marte. Pela razão de ser o
primeiro dos planetas exteriores, ele se move mais rapidamente em sua órbita, retornando logo á
sua posição inicial, o que facilita o seu estudo.
Ao estudar a órbita de Marte, Kepler pôde verificar que esta não podia ser circular ela mais se
parecia com uma oval. Vários cálculos foram feitos e ele verificou que a órbita de Marte era
uma elipse de excentricidade e _ 0,093 com o Sol em um dos focos.
Kepler estendeu a todos os planetas do sistema solar a lei da órbita elíptica, a qual ficou
conhecida como sua primeira lei e que assim se enuncia:
“Cada planeta descreve uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”. e que marcou
uma época na história da ciência.
Na II Guerra Mundial, foram utilizados aviões que tinham nas extremidades de suas asas, arcos
de elipses. Embora a razão da sua escolha se prendesse ao fato de se obter mais espaço para
transportar munições, este tipo de asa diminuía a resistência do ar, favorecendo melhores
performances ao avião em vôo.
27
EXERCÍCIOS:
Determinar a equação de cada uma das elipses, sabendo que:
1) Centro C(0,0), um foco )5,0( F e eixo menor mede 4.
2) Centro C(0,0), eixo menor mede 6, focos no eixo dos x e passa pelo ponto
)2,52(P .
3) Eixo maior mede 10 e focos )0,4(F . 225259 22 yx
4) Centro C(0,0), um foco
0,
4
3F e um vértice A(1,0). 7167 22 yx
5) Vértice A(0, 6), passando pelo ponto P(3,2). 13681
8 22
yx
6) Centro C(2,4), um foco F(5,4) e excentricidade 4
3.
7) Centro C(2,-1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos
coordenados.
8) Eixo maior mede 10 e focos 5,21,2 21 FeF .
0236641001625 22 yxyx
9) Centro C(-3,0), um foco F(-1,0) e tangente ao eixo dos y.
22595 22 yx
10) Centro C(-3,4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos x.
019312854169 22 yxyx
11) Vértices 2,72,1 21 AeA e a medida do eixo menor igual a 2.
0433689 22 yxyx
12) Vértices 8,14,1 21 AeA , excentricidade 3
2e .
0151201859 22 yxyx
Em cada um dos problemas a seguir, determinar o centro, os vértices A, os focos e a
excentricidade das elipses. Esboçar o gráfico.
1) 14 22 yx .
2) 04559 22 yx .
3) 25259 22 yx .
4) 09182494 22 yxyx .
5) 031164501625 22 yxyx .
6) 05246416 22 yxyx .
7) 01447296916 22 yxyx .
8) 0436894 22 yxyx .
RESPOSTAS
2) C(0,0), A(0, 3), F(0, 2), 3
2e 3) C(0,0), A(
3
5 , 0), F (
3
4 , 0),
5
4e
5) C(-1,-2), ,7,11 A ,3,12 A ,5,11 F ,1,12 F 5
3e
28
6) C(-2,2), ,2,21 A ,6,22 A ,152,2 F 4
15e
7) C(3,-4), 1A (3,-8), 0,32A , 74,3 F , 4
7e
8) C(1,2), 1A (-2,2), 2,42A , 2,51F , 3
5e
29
HIPÉRBOLE
Definição: Considerando, num plano, dois pontos distintos, F1 e F2 tal que a distância entre eles
seja 2c, e sendo 2a um número real menor que 2c, hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do
plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é
constante.
Na figura acima representamos os dois pontos fixos do plano a que se refere a definição como
F1 e F2.
A figura acima será considerada uma hipérbole, se e somente se: ),(),( 21 FPdFPd =
= ),(),( 21 FQdFQd = ),(),( 21 FRdFRd a2 . Fixaremos essa diferença em 2a.
),(),( 21 FPdFPd =2a
Elementos da hipérbole
- Focos: são os pontos F1 e F2.
- Distância focal: é a distância 2c
entre os focos.
- Centro: é o ponto médio C do
segmento F1F2.
- Vértices: são os pontos A1 e A2.
- Eixo real ou transverso: é o
segmento A1A2 de comprimento 2a.
- Eixo imaginário ou conjugado: é o
segmento B1B2 de comprimento 2b
- Excentricidade: é o número dado
por 1, ea
ce
Obs.: em toda a hipérbole vale a relação 222 bac .
30
Assíntotas da hipérbole
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. São retas das quais a
hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Quando o
eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é a
bm ; quando é vertical, o
coeficiente é b
am .
Equação da hipérbole de centro na origem
1º caso: o eixo real está sobre o eixo x. F1 (-c, 0) e F2 ( c, 0)
Aplicando a definição de hipérbole:
),(),( 21 FPdFPd =2a
Obtemos a equação:
12
2
2
2
b
y
a
x Equação reduzida da hipérbole de
centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x.
31
2º caso: o eixo real está sobre o eixo y.
cFecF ,02,01
12
2
2
2
b
x
a
y
Equação reduzida da hipérbole de
centro na origem e eixo real sobre o
eixo y.
Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema
1º caso: o eixo real é paralelo ao eixo x.
1
)(2
2
2
2
b
ky
a
hxEquação da
hipérbole com centro C (h, k) e eixo real
paralelo ao eixo x.
2º caso: eixo real é paralelo ao eixo y.
1
2
2
2
2
b
hx
a
ky Equação da
hipérbole de C (h, k) e eixo real paralelo ao
eixo y.
32
APLICAÇÕES:
O sistema LORAN de localização em navegação (Navegação de Longa Distância) permite ao navegante de um navio ou avião achar sua posição sem confiar em marcos visíveis. Usando para isso o conceito de lugar geométrico que define a hipérbole. Seu princípio básico de funcionamento é bastante simples, descrito a seguir. Estações de rádio situadas simultaneamente em posições F1 e F2 emitem sinais que são recebidos pelo navegante situado numa posição P. O navegante mede o intervalo entre o instante t2, tempo quando ele recebe o sinal enviado por F2, e o instante t1, tempo quando ele recebe o sinal de F1.
Se T1 é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido por F1 para alcançar a posição do navegante, e T2 é o intervalo de tempo que leva o sinal emitido por F2 para alcançar a posição do navegante, então a diferença entre a distância da posição do navegante a F1 e a distância da posição do navegante a F2 é tcPFPF 12 em que c é a velocidade do som no ar.
Portanto, embora o navegante não possa medir T1 e T2 diretamente sem saber quando os sinais foram enviados, ele pode medir com precisão a diferença entre os instantes que os sinais foram recebidos, que é o bastante para determinar que o navio esteja em algum ponto P da hipérbole cuja equação é
Assim, o navegante pode localizar sua posição se ele receber sinais de três estações de rádio
situadas em F1, F3, F3.
Cada par de estações dá uma hipérbole que contém a posição do navegante, assim sua posição
exata é o ponto onde as três hipérboles intersectam. Ela pode ser determinada através da
plotagem das três hipérboles em um mapa, obtendo a interseção comum ou usando coordenadas
e computando algebricamente a interseção. (Na realidade, seria necessário levar em conta a
curvatura da Terra e também que os sinais de rádio podem ter sido refletidos e outras fontes
potenciais de erro.)
33
EXERCÍCIOS:
Determinar a equação das hipérboles, sabendo que:
1) Vértices A( 4 , 0), passando pelo ponto P(8,2).
2) Vértices em (5,-2) e (3,-2), um foco em (7,-2).
3) Focos F(0, 3 ), vértices A(0, 2 ).
4) Focos F(0, 5), comprimento do eixo imaginário 4.
5) Vértices A( 3,0), equações das assíntotas xy 2 .
6) Vértices em (5,5) e (5,-1), excentricidade e = 2.
7) Centro C(5,1), um foco em (9,1), eixo imaginário mede 24 .
8) Focos 5,11 F e 5,52 F , hipérbole eqüilátera.
9) Focos em (3,4) e (3,-2), excentricidade e = 2.
RESPOSTAS:
3) 02054 22 yx 4) 084214 22 xy 5) 0324936 22 xy
6) 04012103 22 yxyx 7) 01621022 yxyx
8) 05120822 22 yxyx 9) 0512424124 22 yxyx
Em cada um dos problemas a seguir, determinar o centro, os vértices, os focos e a
excentricidade das hipérboles. Esboçar o gráfico.
1) 02054 22 yx .
2) 222 yx .
3) 043161849 22 yxyx .
4) 0312464 22 yxyx .
5) 011385449 22 yxyx .
6) 0244324 22 yxyx .
7) 0636369 22 yxyx
RESPOSTAS:
2) A( 0,2 ), F( 0,2 ), 2e
4) C(-3,3), )3,5(1 A , )3,1(2 A , 3,53F , 2
5e
5) C(3,1), )2,3(1 A , )4,3(2A , 131,3 F , 3
13e
6) ) C(4,2), )2,1(1A , )2,7(2A , 2,534F , 5e
7) ) C(-2,3), )3,2(1 A , )9,2(2 A , 1023,2 F , 3
10e