geometria anal tica e algebra linear - 2013/1 francisco ...chico/aula01.pdf · i um curso de...
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Geometria Analıtica e Algebra Linear - 2013/1
Francisco Dutenhefner
www.mat.ufmg.br/˜chico
Material de Estudo
I Um Curso de Geometria Analıtica e Algebra LinearApostila do professor Reginaldo J. Santos
I Listas de exercıcios
I Slides, quando divulgados
Cronograma
Primeira Prova - 7 aulas
I Matrizes, sistemas lineares, determinantes e matriz inversa.
Segunda Prova - 10 aulas
I Vetores: norma, produto escalar, produto vetorial.
I Retas e planos no espaco.
I Angulos e distancias.
Terceira Prova - 10 aulas
I Vetores LI e LD.
I Diagonalizacao de matrizes.
I Mudancas de coordenadas.
I Identificacao de conicas: elipse, hiperbole e parabola.
Cronograma
Primeira Prova - 7 aulas
I Matrizes, sistemas lineares, determinantes e matriz inversa.
Segunda Prova - 10 aulas
I Vetores: norma, produto escalar, produto vetorial.
I Retas e planos no espaco.
I Angulos e distancias.
Terceira Prova - 10 aulas
I Vetores LI e LD.
I Diagonalizacao de matrizes.
I Mudancas de coordenadas.
I Identificacao de conicas: elipse, hiperbole e parabola.
Cronograma
Primeira Prova - 7 aulas
I Matrizes, sistemas lineares, determinantes e matriz inversa.
Segunda Prova - 10 aulas
I Vetores: norma, produto escalar, produto vetorial.
I Retas e planos no espaco.
I Angulos e distancias.
Terceira Prova - 10 aulas
I Vetores LI e LD.
I Diagonalizacao de matrizes.
I Mudancas de coordenadas.
I Identificacao de conicas: elipse, hiperbole e parabola.
PROVAS AOS SABADOS
I Primeira prova: 06/abril/2013
I Segunda prova: 11/maio/2013
I Terceira prova: 15/junho/2013
PROVAS AOS SABADOS
Horario: 08:00 - 10:00 ou 10:00 - 12:00 (a confirmar)
Monitoria ...... e provavel.
PROVAS AOS SABADOS
I Primeira prova: 06/abril/2013
I Segunda prova: 11/maio/2013
I Terceira prova: 15/junho/2013
PROVAS AOS SABADOS
Horario: 08:00 - 10:00 ou 10:00 - 12:00 (a confirmar)
Monitoria ...... e provavel.
PROVAS AOS SABADOS
I Primeira prova: 06/abril/2013
I Segunda prova: 11/maio/2013
I Terceira prova: 15/junho/2013
PROVAS AOS SABADOS
Horario: 08:00 - 10:00 ou 10:00 - 12:00 (a confirmar)
Monitoria
...... e provavel.
PROVAS AOS SABADOS
I Primeira prova: 06/abril/2013
I Segunda prova: 11/maio/2013
I Terceira prova: 15/junho/2013
PROVAS AOS SABADOS
Horario: 08:00 - 10:00 ou 10:00 - 12:00 (a confirmar)
Monitoria ...... e provavel.
Rotacoes no plano cartesiano
Dado um ponto P = (x , y), quais sao as coordenadas do ponto Q,obtido de P por uma rotacao de um angulo θ?
Rotacoes no plano cartesiano
Dado um ponto P = (x , y), quais sao as coordenadas do ponto Q,obtido de P por uma rotacao de um angulo θ?
Rotacoes no plano cartesiano
cos(α) =x
r
⇒ x = r cos(α)
sen(α) =y
r⇒ y = r sen(α)
Rotacoes no plano cartesiano
cos(α) =x
r⇒ x = r cos(α)
sen(α) =y
r⇒ y = r sen(α)
Rotacoes no plano cartesiano
cos(α) =x
r⇒ x = r cos(α)
sen(α) =y
r
⇒ y = r sen(α)
Rotacoes no plano cartesiano
cos(α) =x
r⇒ x = r cos(α)
sen(α) =y
r⇒ y = r sen(α)
Rotacoes no plano cartesiano
Sejam (x ′, y ′) as coordenadas do ponto Q.
cos(α + θ) =x ′
r⇒ x ′ = r cos(α + θ)
sen(α + θ) =y ′
r⇒ y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
Sejam (x ′, y ′) as coordenadas do ponto Q.
cos(α + θ) =x ′
r⇒ x ′ = r cos(α + θ)
sen(α + θ) =y ′
r⇒ y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
Sejam (x ′, y ′) as coordenadas do ponto Q.
cos(α + θ) =x ′
r
⇒ x ′ = r cos(α + θ)
sen(α + θ) =y ′
r⇒ y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
Sejam (x ′, y ′) as coordenadas do ponto Q.
cos(α + θ) =x ′
r⇒ x ′ = r cos(α + θ)
sen(α + θ) =y ′
r⇒ y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
Sejam (x ′, y ′) as coordenadas do ponto Q.
cos(α + θ) =x ′
r⇒ x ′ = r cos(α + θ)
sen(α + θ) =y ′
r
⇒ y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
Sejam (x ′, y ′) as coordenadas do ponto Q.
cos(α + θ) =x ′
r⇒ x ′ = r cos(α + θ)
sen(α + θ) =y ′
r⇒ y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Vamos relacionar P = (x , y) com Q = (x ′, y ′) atraves dasidentidades trigonometricas
cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b)
sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Vamos relacionar P = (x , y) com Q = (x ′, y ′) atraves dasidentidades trigonometricas
cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b)
sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Temos que:
x ′ = r cos(α + θ) = r cos(α) cos(θ)− r sen(α)sen(θ)
x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)
De modo analogo
y ′ = r sen(α + θ) = r sen(α) cos(θ) + r sen(θ) cos(α)
y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Temos que:
x ′ = r cos(α + θ) = r cos(α) cos(θ)− r sen(α)sen(θ)
x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)
De modo analogo
y ′ = r sen(α + θ) = r sen(α) cos(θ) + r sen(θ) cos(α)
y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Temos que:
x ′ = r cos(α + θ) = r cos(α) cos(θ)− r sen(α)sen(θ)
x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)
De modo analogo
y ′ = r sen(α + θ) = r sen(α) cos(θ) + r sen(θ) cos(α)
y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Temos que:
x ′ = r cos(α + θ) = r cos(α) cos(θ)− r sen(α)sen(θ)
x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)
De modo analogo
y ′ = r sen(α + θ) = r sen(α) cos(θ) + r sen(θ) cos(α)
y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)
Rotacoes no plano cartesiano
{x = r cos(α)y = r sen(α)
{x ′ = r cos(α + θ)y ′ = r sen(α + θ)
Temos que:
x ′ = r cos(α + θ) = r cos(α) cos(θ)− r sen(α)sen(θ)
x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)
De modo analogo
y ′ = r sen(α + θ) = r sen(α) cos(θ) + r sen(θ) cos(α)
y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)
Rotacoes no plano cartesiano
Deduzimos entao as coordenadas de Q.x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)
y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)
Matricialmente[x ′
y ′
]=
[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]
Rotacoes no plano cartesiano
Deduzimos entao as coordenadas de Q.x ′ = x cos(θ)− y sen(θ)
y ′ = y cos(θ) + x sen(θ)
Matricialmente[x ′
y ′
]=
[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]
Rotacoes no plano cartesiano
Em resumo, dado P = (x , y) e dado θ, calculamos Q = (x ′, y ′):[x ′
y ′
]=
[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]
Matriz de Rotacao
Rθ =
[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)
]⇒ Q = Rθ P
Rotacoes no plano cartesiano
Em resumo, dado P = (x , y) e dado θ, calculamos Q = (x ′, y ′):[x ′
y ′
]=
[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]Matriz de Rotacao
Rθ =
[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)
]
⇒ Q = Rθ P
Rotacoes no plano cartesiano
Em resumo, dado P = (x , y) e dado θ, calculamos Q = (x ′, y ′):[x ′
y ′
]=
[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)
] [xy
]Matriz de Rotacao
Rθ =
[cos(θ) − sen(θ)sen(θ) cos(θ)
]⇒ Q = Rθ P
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 1: Dado P = (2, 1) obtenha o ponto Q obtido de P poruma rotacao de 30o .
Q = R30o P =
[cos(30o) − sen(30o)sen(30o) cos(30o)
] [21
]=
√3
2−1
21
2
√3
2
[ 21
]=
2√
3− 1
22 +√
3
2
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 1: Dado P = (2, 1) obtenha o ponto Q obtido de P poruma rotacao de 30o .
Q = R30o P
=
[cos(30o) − sen(30o)sen(30o) cos(30o)
] [21
]=
√3
2−1
21
2
√3
2
[ 21
]=
2√
3− 1
22 +√
3
2
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 1: Dado P = (2, 1) obtenha o ponto Q obtido de P poruma rotacao de 30o .
Q = R30o P =
[cos(30o) − sen(30o)sen(30o) cos(30o)
] [21
]
=√
3
2−1
21
2
√3
2
[ 21
]=
2√
3− 1
22 +√
3
2
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 1: Dado P = (2, 1) obtenha o ponto Q obtido de P poruma rotacao de 30o .
Q = R30o P =
[cos(30o) − sen(30o)sen(30o) cos(30o)
] [21
]=
√3
2−1
21
2
√3
2
[ 21
]
=
2√
3− 1
22 +√
3
2
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 1: Dado P = (2, 1) obtenha o ponto Q obtido de P poruma rotacao de 30o .
Q = R30o P =
[cos(30o) − sen(30o)sen(30o) cos(30o)
] [21
]=
√3
2−1
21
2
√3
2
[ 21
]=
2√
3− 1
22 +√
3
2
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
Q = R60o P ⇒ P = R−60o Q
R−x =
[cos(−x) − sen(−x)sen(−x) cos(−x)
]=
[cos(x) sen(x)
− sen(x) cos(x)
]pois cos(−x) = cos(x) e sen(−x) = − sen(x)
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
Q = R60o P
⇒ P = R−60o Q
R−x =
[cos(−x) − sen(−x)sen(−x) cos(−x)
]=
[cos(x) sen(x)
− sen(x) cos(x)
]pois cos(−x) = cos(x) e sen(−x) = − sen(x)
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
Q = R60o P ⇒ P = R−60o Q
R−x =
[cos(−x) − sen(−x)sen(−x) cos(−x)
]=
[cos(x) sen(x)
− sen(x) cos(x)
]pois cos(−x) = cos(x) e sen(−x) = − sen(x)
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
Q = R60o P ⇒ P = R−60o Q
R−x =
[cos(−x) − sen(−x)sen(−x) cos(−x)
]
=
[cos(x) sen(x)
− sen(x) cos(x)
]pois cos(−x) = cos(x) e sen(−x) = − sen(x)
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
Q = R60o P ⇒ P = R−60o Q
R−x =
[cos(−x) − sen(−x)sen(−x) cos(−x)
]=
[cos(x) sen(x)
− sen(x) cos(x)
]pois cos(−x) = cos(x) e sen(−x) = − sen(x)
Rotacoes no plano cartesianoExemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
P = R−60o Q
P =
[cos(60o) sen(60o)
− sen(60o) cos(60o)
] [12
]= 1
2
√3
2
−√
3
2
1
2
[ 12
]=
1 + 2√
3
2−√
3 + 2
2
Rotacoes no plano cartesianoExemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
P = R−60o Q
P =
[cos(60o) sen(60o)
− sen(60o) cos(60o)
] [12
]
= 1
2
√3
2
−√
3
2
1
2
[ 12
]=
1 + 2√
3
2−√
3 + 2
2
Rotacoes no plano cartesianoExemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
P = R−60o Q
P =
[cos(60o) sen(60o)
− sen(60o) cos(60o)
] [12
]= 1
2
√3
2
−√
3
2
1
2
[ 12
]
=
1 + 2√
3
2−√
3 + 2
2
Rotacoes no plano cartesianoExemplo 2: Dado Q = (1, 2) determine P de modo que a rotacaode 60o de P resulta o ponto Q.
P = R−60o Q
P =
[cos(60o) sen(60o)
− sen(60o) cos(60o)
] [12
]= 1
2
√3
2
−√
3
2
1
2
[ 12
]=
1 + 2√
3
2−√
3 + 2
2
Rotacoes no plano cartesiano
Exemplo 3: Determine a equacao da curva obtida pela rotacao de60o da parabola y = x2.
Rotacoes no plano cartesiano
Momento crıtico da resolucao
Um ponto P = (x , y) esta na nova curva se Q = R−60oP esta nacurva original.
Q =
[cos(60o) sen(60o)
− sen(60o) cos(60o)
] [xy
]= 1
2
√3
2
−√
3
2
1
2
[ xy
]=
x + y√
3
2−x√
3 + y
2
Rotacoes no plano cartesiano
Momento crıtico da resolucao
Um ponto P = (x , y) esta na nova curva se Q = R−60oP esta nacurva original.
Q =
[cos(60o) sen(60o)
− sen(60o) cos(60o)
] [xy
]
= 1
2
√3
2
−√
3
2
1
2
[ xy
]=
x + y√
3
2−x√
3 + y
2
Rotacoes no plano cartesiano
Momento crıtico da resolucao
Um ponto P = (x , y) esta na nova curva se Q = R−60oP esta nacurva original.
Q =
[cos(60o) sen(60o)
− sen(60o) cos(60o)
] [xy
]= 1
2
√3
2
−√
3
2
1
2
[ xy
]
=
x + y√
3
2−x√
3 + y
2
Rotacoes no plano cartesiano
Momento crıtico da resolucao
Um ponto P = (x , y) esta na nova curva se Q = R−60oP esta nacurva original.
Q =
[cos(60o) sen(60o)
− sen(60o) cos(60o)
] [xy
]= 1
2
√3
2
−√
3
2
1
2
[ xy
]=
x + y√
3
2−x√
3 + y
2
Rotacoes no plano cartesiano
Q = R−60oP =
(x + y
√3
2,−x√
3 + y
2
)e P = (x , y)
Como Q esta na parabola y = x2,
−x√
3 + y
2=
(x + y
√3
2
)2
Rotacoes no plano cartesiano
Q = R−60oP =
(x + y
√3
2,−x√
3 + y
2
)e P = (x , y)
Como Q esta na parabola y = x2,
−x√
3 + y
2=
(x + y
√3
2
)2
Rotacoes no plano cartesiano
Q = R−60oP =
(x + y
√3
2,−x√
3 + y
2
)e P = (x , y)
Como Q esta na parabola y = x2,
−x√
3 + y
2=
(x + y
√3
2
)2
Rotacoes no plano cartesiano
−x√
3 + y
2=
(x + y
√3
2
)2
−x√
3 + y
2=
x2 + 2xy√
3 + 3y2
4
−2x√
3 + 2y = x2 + 2xy√
3 + 3y2
x2 + 2xy√
3 + 3y2 + 2x√
3− 2y = 0
Rotacoes no plano cartesiano
−x√
3 + y
2=
(x + y
√3
2
)2
−x√
3 + y
2=
x2 + 2xy√
3 + 3y2
4
−2x√
3 + 2y = x2 + 2xy√
3 + 3y2
x2 + 2xy√
3 + 3y2 + 2x√
3− 2y = 0
Rotacoes no plano cartesiano
−x√
3 + y
2=
(x + y
√3
2
)2
−x√
3 + y
2=
x2 + 2xy√
3 + 3y2
4
−2x√
3 + 2y = x2 + 2xy√
3 + 3y2
x2 + 2xy√
3 + 3y2 + 2x√
3− 2y = 0
Rotacoes no plano cartesiano
−x√
3 + y
2=
(x + y
√3
2
)2
−x√
3 + y
2=
x2 + 2xy√
3 + 3y2
4
−2x√
3 + 2y = x2 + 2xy√
3 + 3y2
x2 + 2xy√
3 + 3y2 + 2x√
3− 2y = 0
Rotacoes no plano cartesiano
Rodando de 60o a parabola y = x2, obtemos uma nova parabolade equacao
x2 + 2xy√
3 + 3y2 + 2x√
3− 2y = 0
Objetivo: Dada uma equacao como esta, reconhecer que ela foiobtida de uma rotacao de 60o da parabola y = x2.
Rotacoes no plano cartesiano
Rodando de 60o a parabola y = x2, obtemos uma nova parabolade equacao
x2 + 2xy√
3 + 3y2 + 2x√
3− 2y = 0
Objetivo: Dada uma equacao como esta, reconhecer que ela foiobtida de uma rotacao de 60o da parabola y = x2.
Rotacoes no plano cartesiano
Rodando de 60o a parabola y = x2, obtemos uma nova parabolade equacao
x2 + 2xy√
3 + 3y2 + 2x√
3− 2y = 0
Objetivo: Dada uma equacao como esta, reconhecer que ela foiobtida de uma rotacao de 60o da parabola y = x2.