geometría 3° año ii volumen 2007

7/24/2019 Geometra 3 ao II Volumen 2007

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Al fnalizar el presente captulo Ud. tendr la capacidad de conocer las

rmulas que relacionan longitudes de segmentos en el tringulo

oblicungulo correctamente.

Medir aproximadamente, el ancho de un ro,

la altura de un cerro; parece algo muy

complicado pero se puede hacer.

Estas mediciones se pueden realizar en forma

muy sencilla mediante un mtodo


2/39

I.E.P A! A"U#$!% "E&'E#($A ) *+ A,&E-U!A(IA//////////////////////////////////////////////////////////

matemtico muy ingenioso en el que se

utiliza la semejanza de tringulos.

!"#E"$%!& #EM'#$!&

(. ")#*+)E-) %E *"#+$'"*!Aprenderemos a reconocer si untringulo es acutngulo0obtusngulo o rectngulo0conociendo las medidas de suslados.

a1

i2 a3b34 c3

c1

/. #E!+EM)&0on los siguientes2

A. Primer teorema de Euclides5En un Acutngulo1

6. egundo teorema de Euclides5En un &btusngulo1

-. #eorema de 7ern

onde2

. #eorema de la 'edia

8 3 8

(E9A-I&!E ':#(I-A E! E9#(I;!"U9& &69I-U;!"U9& I

&EM)") "1 (&EM)") "1 (

!2jeti3os0Conoce las frmulas que relacionan longitudes de segmentos en el tringulo

oblicungulo correctamente.

El esEl es Acutngulo

El es

a3/ b34c343cn

a3/ b34 c3 83c.n

< / ))()((2

cpbpappc

p /2

cba ++


3/39

!"+*4E"%!

M$&!"!$M$E"#!&


E. #eorema de la Pro=eccin de lamediana

Ejemplos0

>. i los lados de un triangulomiden ?0 @ = BCuD clase detringulo es+esoluci5n2

? -omo23?34@3

*

@

3. i los lados de un tringulomide 30 * = ? BCuD clase detringulo es+esoluci5n0

-omo2 ?3334*3 >>>*

El tringulo es&btusngulo

*. emostrar el primer teoremade Euclides

+esoluci5n2


4/39


>. i dos de los lados de un trinulomiden * = ? respectiKamentecunto mide el otro lado.

3. i los lados de un tringulo midenL0 >@ = >M BCuD clase de tringuloes

*. emostrar el teorema de lamediana

?. emostrar el teorema deEuclides2

a3/ b34 c34 3 cn

@. Be quD naturaleza es el tringulocu=os lados tienen longitudes @0 M= F

8 ? 8


5/39

+E7!+-)"%!M$& )8)$%)%E&


. emostrar el primer teorema deEuclides2

c3/ a34 b38 3 bn

7. 9os lados de un tringulo miden86,2 y . 7allar la longitud

de la menor altura.

>. emostrar el teorema de lapro=eccin de la mediana.

3. 9as longitudes de dos lados de untringulo son >3 = > la medidadel ngulo comprendido entreestos dos lados es *G. B-ul es lalongitud de la alturacorrespondiente al lado de >

*. 9os siguientes conNuntos denOmeros son las longitudes de loslados de un tringulo. Indique quDclase de tringulo es en cada caso2

a1 {>G0 3?0 3} b1 {*>0 ?G0 @*}c1 {>0 3G0 3?}

?. BPor quD en el primer teorema deEuclides el signo es negatiKo

@. BPor quD en el segundo teoremade Euclides el signo es positiKo

. e puede demostrar el primerteorema de Euclides empleandola le= de cosenos%

M. -alcular J% en2

8 @ 8


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L. En el tringulo rectngulo0 la@m = la alturarelatiKa a ella mide m. 7allar ladierencia de los catetos.

Ejemplos0

>. 9os lados de un tringulo midenF0 >G = >* cm. -alcular lalongitud de la mediana relatiKa allado medio.+esoluci5n2 ea z% la mediana.

Aplicando el teorema de la mediana2

F

3

4 >*

3

/ 3

3

4 2

102

L> 4 >F / 334 @G33/ 3GG3/ >GG >G cm

3. En un tringulo '!( / FQ !( />GQ '( / >*0 calcular lapro=eccin de la mediana MPsobre MR

+esoluci5n2 ea z% la pro=eccin.

-alculamos la mediana MP 2 '!(0 por el teorema de lamediana2

F3 4 >*3 / 3 MPMP +2

102

2

/

>G #ringulo 'P( se aplica el

primer teorema de Euclides.@3/ >G34 >*3) 35>*1z

z /13

122

26

244=

*. -alcular J%2

8 8

(E9A-I&!E ':#(I-A E! E9#(I;!"U9& &69I-U;!"U9& II

!2jeti3os0

Interpreta, analiza y resuelve problemas utilizando las relaciones mtricas en eltringulo oblicungulo correctamente


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!"+*4E"%!M$&!"!$M$E"#!&


+esoluci5n2 Aplicando el primer

teoremade Euclides tenemos2M3 / 34 @3) 3. @ . J?F / * 4 3@ ) >GJ>GJ / >3 J / >03

?. Encontrar z%2

+esoluci5n2 Aplicando el segundoteorema de Euclides23 / *3 4 ?3 4 3 . ? . z* / F 4 > 4 Lz

Lz / >> z /8

11

>. -alcular J% en2

3. -alcular m% si NT es mediana2

*. En un tringulo A6-2 A6 / 3@ cm6- / *G cmQ A- / 3@ cm. -alcularla longitud de la altura relatiKa auno de los lados congruentes.

8 M 8


8/39


?. 7allar z%2

@. ea el tringulo issceles A6-0donde A6 / 3n = A- / >G 10

cu=a altura por dato es3

n

. Partiendo de uno de los KDrticesde un cuadrado0 se traza unsegmento que orma un ngulo deG+ con uno de los otros lados. ieste segmento mide ?m. 7allar ellado del cuadrado.

M. 7allar J% en2

8 L 8


9/39

+E7!+-)"%!M$& )8)$%)%E&


L. 7allar J% en2

&A /3@

&6 /*G

>. -alcular J% en2

a1

b1

c1

d1

e1

3. En un tringulo A6-2 A6 / M0 6- /97 0 A- / . e traza la

mediana BM . -alcular lalongitud de la pro=eccin de AMsobre BM

*. En un tringulo equiltero A6-0 seprolonga el lado AC G.-alcular la medida del lado deltringulo equiltero.

?. En un tringulo rectngulo A6-0recto en 60 AB / L0 BC/ 0 setraza la mediana CM Q calcular lalongitud de la pro=eccin de CMsobre AC

@. -alcular J%

8 F 8


10/39


. Enncontrar m%

M. -alcular z%2

!"#E"$%!& #EM'#$!&

(. #eorema de las cuerdasi en una circunerencia se tienendos cuerdas secantes se ormancuatro segmentos0 entonces losproductos de los segmentos deuna cuerda son iguales.

/. #eorema de las secantesi desde un punto eJterior a unacircunerencia se trazan dossecantes0 los productos de unasecante = su parte eJterior soniguales.

9. #eorema de la tangente y lasecanteesde un punto eJterior a unacircunerencia se trazan unatangente = una secante0 la

tangente es media proporcional

8 >G 8

(E9A-I&!E ':#(I-A E! 9A-I(-U!RE(E!-IA

!2jeti3os0Analiza y resuelve relaciones mtricas en la circunferencia con precisin.

Interpreta las propiedades de las relaciones mtricas en la circunferencia correctamente.


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I.E.P A! A"U#$!% "E&'E#($A ) *+ A,&E-U!A(IA//////////////////////////////////////////////////////////entre la secante = su parteeJterna.

"ota (0

En el grafcoQ AB 2 dimetro = PMAB entonces se cumple2

"ota /0

En el grafcoQ NRyMN son tangentes= / S soncongruentes.s

Ejemplos0

>. emostracin del teorema !+ >+esoluci5n0

#ringulo A' tringulo -'625trazos auJiliares = semeNanza detringulos1

b

d

c

a

MB

DM

MC

AM==

a . b / c .d l.q.q.d

3. emostracin del teorema !+ 3 +esoluci5n0

#ringulo 6P tringulo AP-25trazos auJiliares = semeNanza detringulos1

=

PA

PD

PC

BP6P . PA / P- . P

a . b / T .l l.q.q.d

*. emostracin del teorema !+ * +esoluci5n0

8 >> 8

3/ J=

NRMN =


12/39

!"+*4E"%!M$&!"!$M$E"#!

&

I.E.P A! A"U#$!% "E&'E#($A ) *+ A,&E-U!A(IA//////////////////////////////////////////////////////////#ringulo AP A-P2 5trazosauJiliares = semeNanza detringulos1

=

AP

PC

DP

AP5AP13/ 5P1 5P-1

T3/ l.m. l.q.q.d

>. i A' / 6' . 7allar A6

+esoluci5n2

3. 7allar J% en2

+esoluci5n2

*. 7allar J% en2

+esoluci5n2

?. 7allar J% en2

+esoluci5n2

8 >3 8


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@. 7allar la longitud J en2

+esoluci5n2

8+!:EM)& +E&*E#!&

>. 9os segmentos de una de doscuerdas que se cortan miden> cm = * cm. 7alar la medidade los segmentos en que se

diKide la otra cuerda0 sabiendoque uno es el triple del otro.

Por el teorema de las cuerdas2 5*J15J1 / 5>1 5*1 J3/ > J / 16 / ? AP/ ?cm 2 PB / *5?1 / >3cm

3. i ER/ Q A6 / ?0 * 8

(E9A-I&!E ':#(I-A E! 9A-I(-U!RE(E!-IA

!2jeti3os0Interpreta ,analiza y resuelve problemas con relaciones mtrica en la circunferencia adecuadamente


14/39

!"+*4E"%!M$&!"!$M$E"#!&


+esoluci5n0

Por el teorema de la tangente =secante2

?3/ 5J 4 1J > / J34 J

J34 J ) > / G

J 83

J 4L

J ) 3 / GAE / J / 3

*. i AC / 3Q PC / ?0 calcular r%

(esolucin2

>. El radio de la circunerencia mide>3m = E& / @m. -alcular AF

3. -alcular J% en2

*. Una cuerda de >3m de longituddista del centro de lacircunerencia ?mQ calcular elradio de dic? 8


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+E7!+-)"%!M$& )8)$%)%E&


?. 7allar el radio de lacircunerencia sabiendo que2 A6/ '! / Lm

@. i 'R / Fm = R! / 3Mm elsegmento 'A mide2

. -alcular A6 / si AP/* P-/3P/

8 >@ 8


16/39


alcular x< en0

>1E7= x

):= (/ M7= (9

31

*1

?1

@1 -alcular A6 si AP / JQ P6 / J 4 ? -P / J 4 3 P / J

4 >

1 En una circunerencia de ?m de radiose traza una cuerda ST = sobre ellase ubica el punto 9%0 de tal maneraque el producto de los segmentos 9 =9# sea >3m3. 7allar la medida de ladistancia del punto 9% al centro de lacircunerencia.

Al fnalizar el presente captulo Ud. tendr la capacidad de defnir la

circunerencia el crculo = conocer las diKersas lneas asociadas a la

circunerencia.

8 > 8


17/39


*no de los in3entos que le ha permitido alhom2re desarrollarse y alcanzar un nota2leprogreso es sin duda la rueda,posteriormente las llantas. Este singularin3ento encierra de por si una serie de

elementos, cuyo estudio le dan un enormecampo de aplicaci5n en nuestra 3idacotidiana y cuya presencia est frecuenteque en muchos casos pasan ina3ertidos.

!"#E"$%!& #EM'#$!&

(. %e>nici5n0 Es un conNuntoinfnito de punto de un plano0que equidistan de otro punto

fNo del mismo plano llamadocentro.

/. rculo0 Es la reunin de lacircunerencia = su regin

interior.

8 >M 8

-I(-U!RE(E!-IA I

!2jeti3os0Definir la circunferencia y conocer las diversas lneas asociadas a la circunferencia correctamente.


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I.E.P A! A"U#$!% "E&'E#($A ) *+ A,&E-U!A(IA//////////////////////////////////////////////////////////9. +egi5n circular0Es la reunin

de la circunerencia = elcrculo.

"!#)0A la distancia constante deestos puntos al centro sedenomina radio de lacircunerencia.

?. "@mero pi AB0 Al diKidir lalongitud de cualquiercircunerencia entre la longitudde su dimetro se obtienesiempre el mismo nOmeroirracional llamado pi0 cu=osmbolo es la letra griega pi /

0 donde2 / *0 >?>@F3@

/R

L

2 9 / 3 (

9% 9ongitud de lacircunerencia

(% (adio de la circunerencia

OQ (adio

&C / (0 ( G C Puntocualquiera

de lacircunerencia

C. Elementos de lacircunferencia0

-entro 2 &%

(adio 2 OA

imetro

2 AB

-uerda 2 PQ

Arco 2 6-

Rlec

(ecta secante 2 93

Punto de tangencia2 #%

ector circular 2 6&-

egmento circular 2 '!

(ecta normal 2 9!

Ejemplos0

>. egOn la eJpresin dada marca

la respuesta correcta2 Es el

conNunto de todos los puntos de

la circunerencia = de los

interiores de la misma%.

a1 (adio b1 -ircunerencia

c1 -rculo d1 #angente

e1 Arco

+esoluci5n2

9a respuesta correcta que

defne meNor la eJpresin es la

letra .

3. El segmento que une el centro

de la circunerencia con

cualquiera de sus puntos2

a1 cuerda

b1 secante

c1 arco

d1 radio

8 >L 8


19/39

!"+*4E"%!M$&!"!$M$E"#!&


e1 dimetro

(espuesta2 9a respuesta

correcta es la letra %

*. -uerda que pasa por el centro

de la circunerencia se llama2

a1 Rlec. Indicar con also o Kerdadero0segOn corresponda2 El radio es perpendicular a la

tangente en el punto detangencia

5 1 9a circunerencia inscrita a un

tringulo es tangente a los treslados. 5 1

El dimetro de unacircunerencia es igual a cuatroradios. 5 1

3. Escribe en el parDntesis elnOmero que corresponda deacuerdo a la fgura2

(adio 5 1

#angente 5 1

Arco 5 1

-uerda 5 1

*. 'arcar Kerdadero o also segOnel grfco2

i2 I& V (2 Entonces I es unpunto interior a lacircunerencia. 5 1

i2 E& (2 Entonces E es unpunto eJterior a lacircunerencia. 5 1

i2 &P / (2 Entonces P es unpunto de la circunerencia.5 1

?. Una circunerencia determina ensu plano correspondiente dosconNuntos de puntosdenominados.a1 Interiorb1 -uerdac1 (adiod1 EJteriore1 A =

@. Porcin cualquiera de lacircunerencia determina por dospuntos se le llama a2a1 WecF 8


20/39

+E7!+-)"%!M$& )8)$%)%E&

I.E.P A! A"U#$!% "E&'E#($A ) *+ A,&E-U!A(IA////////////////////////////////////////////////////////// El conNunto de todos los puntos

HHHHHHH. que estn a unadistancia fNa de un punto dadose llama HHHHHHH.

Un dimetro de unacircunerencia es unaHHHHHHHHH quecontienen al HHHHHHHH dela circunerencia

M. #ambiDn se le llama cuerdamJima2

a1 Rlec. -ontestar si es correcto losiguiente2 ( G 5( / (adio1

+esoluci5n2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

3. BA quD se llama punto aerentede la circunerencia

+esoluci5n2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX*. B-mo se defne el punto

interior de una circunerencia +esoluci5n2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

?. B-mo defne al punto eJteriorde una circunerencia

+esoluci5n2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX@. B-ul es el segmento que une

dos puntos cualesquiera de lacircunerencia

+esoluci5n2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

. BEs lo mismo crculo =circunerencia

+esoluci5n2

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

M. BA quD se llama R9E-7A +esoluci5n2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

L. efne recta secante +esoluci5n2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

ircunferenciaii

8!&$$!"E& +E)#$D)& %E %!&$+*"7E+E"$)&

!"#E"$%!& #EM'#$!&

8 3G 8


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>. $+*"7E+E"$)&E#E+$!+E&

y (son exteriores

3. $+*"7E+E"$))"E"#E& E#E+$!+E&

y ( sontangentes

exteriores

# punto de tangente

*. $+*"7E+E"$))"E"#E& $"#E+$!+E&

?. $+*"7E+E"$)&&E)"#E&

)&! 8)+#$*)+0 Un casoparticular de lascircunerencias secantes sonlas circunerenciasoctogonales.

!F!0 G yG(soncentrosde lascircunferencias

@. $+*"7E+E"$)& $"#E+$!+E&

(es interior a

. $+*"7E+E"$)& !"H"#+$)&

G% es elcentro deambascircunerencias

A6 / 322rR

8 3> 8

( =

GG( I + J

( =

GG( = + J

GG( = + K

+ L r GG( + J

GG( =

GG( + K

(=

=


22/39

!"+*4E"%!M$&!"!$M$E"#!&


- = -(sonconcDntricas

>. B-undo dos circunerenciasson eJteriores

3. -alcular J en2

m

R&C /*G+

*. B-undo dos circunerenciasson tangentes

?. -alcular J% en2

&E#angente

@. B-uando dos circunerenciasson interiores

. -alcular J% en2

8 33 8

00 / G


23/39

+E7!+-)"%!M$& )8)$%)%E&


>. B-mo es la interseccin de lasdos circunerencias interiores

3. B-ul es la interseccin de lasdos circunerencias

concDntricas

*. En dos circunerencias secantesB-mo se le llama al segmentoAB

?. BCuD signifca la palabraortogonal

@. B-undo las circunerencias

son ortogonales las rectastangentes por donde pasan

. B-mo es la interseccin de lasdos circunerencias secantes

M. B-undo dos circunerenciasson secantes

E" #* *)%E+"!

Nallar x< en0a1 i ( / >3 = r / @. 7allar &P

b1 i m V &C# / *M

c1 i ( / >M = r / MQ &P / J

d1 r / >3Q ( / >MQ 6- / J

e1 r / >3

8 3* 8


24/39

I.E.P A! A"U#$!% "E&'E#($A ) *+ A,&E-U!A(IA//////////////////////////////////////////////////////////1 A6 / 6- / A- Q ( / >G

>. -alcular J% en2

3. 7allar J% en2 A6 / J

*. -alcular J% en2

?. -alcular J% en2

@. m E" / J

8 3? 8

-I(-U!RE(E!-IA II P&I-I&!E (E9A#IYA E &-I(-U!RE(E!-IA


25/39


)cti3idad %omiciliaria

(. Nallar x


26/39


!"#E"$%!& #EM'#$!&

(. #E!+T) %E +)%$! 4 )#)"E"#E

#odo radio que llega al puntode tangencia es perpendiculara la recta tangente.

/. #E!+EM) %E )& /#)"E"#E&i desde un punto eJterior setrazan dos tangentes a unamisma circunerencia0 lossegmentos de tangentecomprendidos entre los puntosde tangencia = el puntoeJterior son congruentes.

9. #E!+EM)%E ) :$&E#+$-%E '"*! 7!+M)%! 8!+)& / #)"E"#E&El segmento que une el KDrticedel ngulo ormado por dostangentes con el centro de la

circunerencia es 2isectriz delngulo.

?. / +E#)& #)"E"#E&

C. #E!+EM) %E 8!"EE#

7ipotenusa

O. 8+!8$E%)%E& )%$$!")E&

A.

8 3 8

-I(-U!RE(E!-IA III2 P(&PIEAEE #A!"E!-IA

!2jeti3os0Analiza e identifica y resel!e pr"ble#as c"n pr"piedades de tan$encia de la circnferencia

c"rrecta#ente%

OP9

'# / #!

'#& / !#&

es bisectriz'#!

PC / (

a 4 b / c 4 3r

A = 6 son puntos detangencia


27/39


6.

-.

.

E.

EFEM8!&0

(. Nallar x? / J

/. Nallar el ngulo )!:, !M 4 3r / 3r

r / *

8 3M 8

=


28/39

!"+*4E"%!M$&!"!$M$E"#!&


>. -alcular en2

3. 7allar J% en2

*. 7allar el permetro del tringuloA6-

?. -alcular ( en2

@. 7allar A6%

8 3L 8


29/39


. -alcular 6C

M. -alcular A6 4 6-

L. -alcular z%. i P0 C0 # = sonpuntos de tangencia

8 3F 8


30/39

+E7!+-)"%!M$& )8)$%)%E&


-alcular J en2

>.

3.

*.

?.

@.

. i / ?@+Q ( / >3 = r / >G CP / J

M. -alcular el permetro deltringulo A6-.

L. -alcular el permetro deltringulo P6-0 si el permetrodel cuadrado A6- es ?G cm.

F. # es punto de tangencia. 7allar2

>G. i m R7 / F+. -alcular J%.

8 *G 8


31/39


>. En un tringulo A6-2 AB / >@0BC/ 3G = AC/ 3@. -alcularla menor altura del tringuloA6-.

3. os lados de un tringulomiden = * respectiKamente.-alcular la medida del tercerlado0 si el Kalor del segmentode bisectriz eJterior a dic3m0 b / >Gm = c / Lm.-alcular la longitud de lamediana que parte de A.

?. os circunerencias de centrosA = 60 se cortan en los puntos -= . 9a tangente a lacircunerencia A0 por -0 pasapor el punto 6 = la tangente ala circunerencia 60 por -0 pasapor el punto A. i el dimetro

de la circunerencia es @ cm= el de la 6 es >3@ cm0 lalongitud de la cuerda CD seren cm0

@. i AB = AC son dimetros0E / *0 6- / ?0 A& / &- / (.7allar (%

. PC / C(Q ( / >Q 7alar '%

M. En la fgura2P' / >30 PA / L0 7allar A6

L. e la fgura0 8

'I-E9A!EA

!2jeti3os0Analiza y resuelve problemas vistos en los captulos anteriores, para esto tienes que !aberte

aprendido la teora, sino, no vas a poder resolver ning"n problema adecuadamente.


32/39


>G.-alcular -% si A / F = 6 /?

!"#E"$%!& #EM'#$!&

(. *)%+$'#E+! $"&+$#!E" *") $+*"7E+E"$)9lamado tambiDn cuadrilterocclico0 es aquel cu=as KDrticesencuentran ubicados en una

misma circunerencia.

U!-P es un cuadrilteroinscrito.

/. 8+!8$E%)%E& %E*)%+$'#E+! $"&+$#!a1 En todo cuadriltero inscrito

dos ngulos opuestos sonsuplementarios.

b1 En todo cuadriltero inscritoun ngulo interior es igual asu opuesto eJterior.

c1 En todo cuadriltero inscritoel ngulo ormado por unlado con una diagonal esigual al que orman el ladoopuesto con la otra

diagonal.

9. *)%+$'#E+!$"&+$8#$:E

Es aquel que puede ser inscritoen una circunerencia00 si el

8 *3 8

-I(-U!RE(E!-IA IY2 -uadriltero inscrito en unacircunerencia

!2jeti3os0Definir el cuadriltero inscrito e inscriptible y conocer sus propiedades en forma adecuada.

#esolver problemas utilizando circunferencia correctamente.

* J = (RGP

J =

=

=


33/39

!"+*4E"%!M$&!"!$M$E"#!&


cuadriltero cumple concualquiera de las propiedadesde cuadriltero inscrito0 serinscriptible.Ejemplos2 9os siguientescuadrilteros son inscriptibles.

Ejemplos0

>. En la fgura0 calcular J%2

+esoluci5n2 9os ngulosopuestos sonsuplementarios

J 4 >3G+ / >LG+J / G+

3. i A6- / >3 0 calcular J%

+esoluci5n2 Usando elngulo inscrito J /

FG+84 />LG

@ / FG+/ >L+

J / 5>L1 /

>GL+

*. i2 A / -0 7allar J%2

+esoluci5n2

En el A6-inscriptible2 J / ?@+

>. -alcular J% si A6 / 6- = A- /-

3. -alcular J si A6- es un

cuadriltero inscriptible0 A6 /6-

8 ** 8


34/39


*. En un tringulo issceles A6-05A6 / 6-1 se trazan lasceKianas AD = BF 0intersectndose en un puntoE%0 tal que el ngulo A- /G+. -alcular el ngulo A6E0 si

el cuadriltero -ER esinscriptible

?. e tiene un tringulo A6- en

donde '0 ! = P son puntosmedios de los lados AB 0 BC =

AC respectiKamente0 si elcuadriltero '6!P esinscriptible. -alcular el nguloA6-.

@. -alcular J en2

. 7allar J en2

8 *? 8


35/39

+E7!+-)"%!M$& )8)$%)%E&


M. -alcular J en2

>. En la fgura A6 / Mcm = - />Gcm. 7allar 6-.

3. En la fgura OA AB A6.7allar m '!

*. i ' = ! son los centros de lasdos circunerencias. 7allar m 'P!

?. En la fgura m '!P/ 3>G+.7allar el Kalor de J%

@. -alcular J2

. 7allar J en2

M. 7allar E6 en2

L. A6- es un cuadrilteroinscriptible. -alcular J

F. i el tringulo A6- equiltero =6' / '-. -alcular J

8 *@ 8


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>G.-alcular J en2

a1 >GZ b1 3GZ c1 *GZd1 ?GZ e1 >GZ

!"#E"$%!& #EM'#$!&

(. !"+*E"$) %E&EME"#!&os segmentos soncongruentes si tienen la

misma medida.ENemplo2

"ota0 El smbolo se lee2Es congruente a%

/. !"+*E"$) %E '"*!&os ngulos son congruentes sitienen sus aberturas la mismamedida.ENemplo2

!2ser3aci5n0a1 #odos los ngulos rectos son

congruentes.

b1 9a 6isectriz determina sobreun ngulo dos nguloscongruentes.

3. !"+*E"$) %E #+$'"*!&

8 * 8

-&!"(UE!-IA

!2jeti3os0Indicar los segmentos, ngulos y tringulos congruentes seg"n los casos que se van a

plantear en forma correcta.

#esolver problemas sobre segmentos, ngulos y tringulos congruentes correctamente

AB

):

):

):7

6R es bisectrizdel A6-


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!"+*4E"%!

M$&!"!$M$E"#!&


os tringulos son congruentes sitienen la misma orma = el mismotama[o.

-ada par de KDrtices correspondientesse puede escribir as2

A

6 E

- R

A estos pares de KDrticescorrespondientes se llama unacorrespondencia 6iunKoca.

>. -alcular J%2

3. adas las siguienteslongitudes de segmentos2 PQ/ LJ ) *CD / J3 4 F si CDPQ .-alcular J%

*. En la fgura2 -alcular J%

?. Un ngulo agudo cu=a medidaes 5*J ) >@+1 es congruentecon otro que mide ?L+. 7allarJ%

@. En la fgura DECDBCAB . 7allar %

8 *M 8

): %E7


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+E7!+-)"%!M$& )8)$%)%E&


>. En la siguiente fgura2BDAC 0 A / >Lcm0


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I.E.P A! A"U#$!% "E&'E#($A ) *+ A,&E-U!A(IA//////////////////////////////////////////////////////////L. En la fgura2

MTPRNTQRMNPQ ;:

7allar los Kalores de J0 =0 z

F. En la fgura2 el ngulo 6- -EQ -6A ERQ calcular %

>G.En la fgura2 ADBCEDEF ; .7allar 6R 4 E

geometría 3° año ii volumen 2007

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