GEOMETRIA 1, alapszint

• Kiss György• 4-723• Fogadóóra:

péntek 8.15-10.00

• email: kissgy@cs.elte.hu

• Előadás: 11.15-13.45, közben egyszer 15 perc szünet

GEOMETRIA 1, alapszint

• Ajánlott irodalom:• Hajós Gy.: Bevezetés a geometriába• Reiman I.: A geometria és határterületei

• Feladatgyűjtemények:• Strohmajer J.: Geometria példatár I-IV• Horvay K. és Reiman I.: Geometriai feladatok

gyűjteménye I (középiskolai példatár)

A félév anyaga

• Rövid ismétlés • térelemek• fontosabb transzformációk

• Vektorgeometria• koordináták és vektorok• skaláris, vektoriális és vegyesszorzat• vektorok alkalmazásai

• Konvex alakzatok• Helly tétele• konvex poliéderek

Számonkérés

• Vizsga: • írásbeli, anyaga: az előadáson elhangzottak.

• Évfolyamzh-k:• március 18• május 6• keddenként, 16.00-18.00

• Elmarad a március 26.-ai előadás és egy gyakorlat.

Ismétlés (kicsit másképp)• A geometria axiomatikusan is felépíthető, mi nem ezt

csináljuk (emeltszintű előadáson viszont igen).

• Térelemek. A háromdimenziós euklidészi teret egy halmaznak

tekintjük. A halmaz elemeit pontoknak nevezzük, bizonyos kitüntetett részhalmazokat pedig egyeneseknek, illetve síkoknak.

A geometriában megszokott elnevezéseket használjuk,

azaz ha P egy pont, e egy egyenes, S pedig egy sík, akkor

P e, illetve P S, esetén P illeszkedik e-re, illetve S-re, vagy e illetve S átmegy P-n. Ha e S, akkor az egyenes a síkon van.

∈ ∈

Illeszkedési tulajdonságok

• Bármely két különböző ponthoz egyértelműen létezik olyan egyenes, mely mindkettőn átmegy.

• Ha három pont nem kollineáris (azaz nincs egy egyenesen), akkor egyértelműen létezik olyan sík, mely mindhármon átmegy.

• Ha egy pont nincs rajta egy egyenesen, akkor egyértelműen létezik olyan sík, amely a pontot is és az egyenest is tartalmazza.

• Ha két különböző síknak van közös pontja, akkor közös részük egy egyenes. Ezt az egyenest a két sík metszésvonalának nevezzük.

Párhuzamosság

• Ha a P pont nincs rajta az e egyenesen, akkor az általuk meghatározott síkban pontosan egy olyan f egyenes van, amely átmegy P-n és nincs közös pontja e-vel.

e

fP

Párhuzamosság

Párhuzamosság

Párhuzamosság

• Két egyenes párhuzamos, ha egybeesnek, vagy ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk.

• Két sík párhuzamos, ha egybeesnek, vagy ha nincs közös pontjuk.

• A párhuzamosság a síkok, illetve az egyenesek közt ekvivalencia-reláció.

EGYENESEK

Két egyenes kölcsönös helyzete

Metszik egymást, így egy síkban vannak.

Nincs közös pontjuk,de egy síkban vannak

Nincs közös pontjuk,és nincsenek egy

síkban.

METSZŐK PÁRHUZAMOSAK KITÉRŐK

SÍK és EGYENES

Sík és egyenes kölcsönös helyzete

Metszik egymást egy pontban.

Nincs közös pontjuk.A sík tartalmazza

az egyenest.

METSZŐK PÁRHUZAMOSAK PÁRHUZAMOSAK

SÍKOK

Két sík kölcsönös helyzete

Metszik egymást egy egyenesben. Nincs közös pontjuk.

METSZŐK PÁRHUZAMOSAK

Rendezés

• Három kollineáris pont közül pontosan egy választja el a másik kettőt egymástól (azaz pontosan egy van középen).

• Szakasz (nyílt): azon pontok halmaza, melyek elválasztják a két végpontot.

A BC

Rendezés

• Pasch-axióma:

Ha egy egyenes nem megy át egy háromszög egyik csúcsán sem, de metszi valamelyik oldalát, akkor pontosan két oldalt metsz.

Konvex halmazok

• A K halmaz konvex, ha tartalmazza bármely két pontjának összekötő szakaszát . Azaz ha A K és B K, akkor AB K.

A

B

∈ ∈

Rendezés

• Az egyenest bármely pontja két félegyenesre bontja.

• A síkot bármely egyenese két félsíkra bontja

• A teret bármely sík két féltérre bontja.

• Ezek az alakzatok lehetnek nyíltak is és zártak is. Ha külön nem mondjuk, akkor a zártakat tekintjük.

Rendezés

• Két pont pontosan akkor tartozik ugyanahhoz a nyílt félegyeneshez, félsíkhoz, illetve féltérhez, ha összekötő szakaszuk diszjunkt az elválasztó ponttól, egyenestől, illetve síktól.

• Bármely félegyenes, félsík és féltér konvex halmaz.

A tér mozgásai

• A tér mindenütt egyforma, azaz a térbeli alakzatok szabadon mozgathatók.

• A mozgások vizsgálatakor csak a kezdő- és a végállapotot hasonlítjuk össze, azzal nem foglalkozunk, hogy a két állapot közt milyen utat járunk be.

A tér mozgásai

• Zászlónak nevezünk egy olyan félsíkot, melynek a határoló egyenesén ki van jelölve egy félegyenes.

• Bármely két zászlóhoz pontosan egy olyan mozgás van, mely az elsőt a másodikba viszi.

Távolság

• Szakaszok hosszát, azaz pontpárok távolságát nemnegatív valós számokkal mérjük. Az AB szakasz hosszát d(A,B)-vel, vagy egyszerűen AB-vel jelöljük.

• Két szakaszt egybevágónak nevezünk, ha van olyan mozgás, amely egyiket a másikba viszi.

Távolság

• A távolság legfontosabb tulajdonságai:d(A,B)=d(B,A)d(A,B)=0 pontosan akkor, ha A és B egybeesikTetszőleges r>0 valós számhoz bármely A

kezdőpontú félegyenesen pontosan egy olyan B pont létezik, melyre d(A,B)=r.

d(A,B)+d(B,C)≥d(A,C), és egyenlőség pontosan akkor van, ha B az AC szakasz pontja.

Előjeles távolság

• Bármely egyenest kétféleképp irányíthatunk.• Irányított szakasz: figyelembe vesszük a végpontok

sorrendjét.• Irányított egyenesen lévő irányított szakaszok hosszát

előjellel látjuk el.• Ha A,B,C egy irányított egyenes három tetszőleges

pontja, akkor előjeles távolságaikra mindig igaz, hogyAB+BC=AC.

• Ha egy egyenesen megadunk egy irányítást, felveszünk egy kezdőpontot és rögzítjük a távolságegységet, akkor egyenesünket azonosítjuk a valós számegyenessel.

Szögek

• Két közös kezdőpontú félegyenes szögvonalat határoz meg.

• Bármely szögvonal két szögtartományra osztja a síkot. A két szögtartomány közül legalább az egyik mindig konvex.

• Két szög egybevágó, ha létezik olyan mozgás, amely egyiket a másikba viszi.

Szögmérés

• Szögek nagyságát nemnegatív valós számokkal mérjük (egyelőre még nem a középiskolában tanult forgásszögekkel foglalkozunk!).

• Legfontosabb tulajdonságok:• Egybevágó szögek mértéke egyenlő.• Ha egy szöget a csúcsából induló félegyenessel

két részre osztunk, akkor a két rész mértékének összege megegyezik az eredeti szög mértékével.

• A teljesszög mértéke 360 vagy 2π .o

Egyenesek hajlásszöge

• Két metsző egyenes hajlásszöge a metszéspontjuk által meghatározott félegyenesek által határolt konvex szögtartományok közül a kisebbek (nem nagyobbak) mértéke.

Egyenesek hajlásszöge

• Két kitérő egyenes hajlásszöge: a tér tetszőleges pontján átmenő, az egyenesekkel párhuzamos metsző egyenesek hajlásszöge. Ez nem függ a pont választásától.

Síkok hajlásszöge

• Két metsző sík hajlásszögén a metszésvonaluk tetszőleges pontjában az egyes síkokban a metszésvonalra állított merőleges egyenesek hajlásszögét értjük.

• Ez a szög nem függ attól, hogy a metszésvonal melyik pontját választjuk.

Merőlegesség

• Két metsző egyenes merőleges egymásra, ha a metszéspontjuk által meghatározott négy félegyenes közül bármely két különböző egyeneshez tartozó félegyenes által meghatározott konvex szögtartomány egybevágó.

.

Merőlegesség

• Az e egyenes merőleges az S síkra, ha pontosan egy D közös pontjuk van, és e merőleges minden D-n átmenő S-beli egyenesre.

Merőlegesség

• Tulajdonságok:• Ha e merőleges két olyan S-beli egyenesre,

melyek nem párhuzamosak, akkor e merőleges S-re.

• Ha e merőleges S-re, akkor e merőleges minden S-sel párhuzamos síkra is.

• Adott P ponthoz és S síkhoz pontosan egy P-n átmenő, S-re merőleges egyenes létezik.

• Adott P ponthoz és e egyeneshez pontosan egy P-n átmenő, e-re merőleges sík létezik.

Síkok merőlegessége

• Két sík merőleges egymásra, ha a metszésvonalukra az egyik síkban állított merőleges egyenes merőleges a másik síkra.

• Tulajdonságok:• Ha az e egyenes merőleges az S síkra, akkor

minden e-t tartalmazó sík merőleges S-re.• Ha az e egyenes nem merőleges S-re, de döfi

azt, akkor pontosan egy olyan S-re merőleges sík van, amely tartalmazza e-t.

Sík és egyenes hajlásszöge

• Legyen e olyan egyenes, amelynek pontosan egy közös D pontja van az S síkkal. Legyen T az e-t tartalmazó S-re merőleges sík (hány ilyen van?), S és T metszésvonala pedig m. Ekkor e és S hajlásszögén az e és m egyenesek hajlásszögét értjük.

Sík és egyenes hajlásszöge

• e és S hajlásszöge a legkisebb azon szögek közül, melyeket e zár be a D-n átmenő S-beli egyenesekkel.

Térelemek távolsága

• A távolság a két alakzat pontjai közt fellépő összes lehetséges távolság minimuma.

• Pont és egyenes, illetve sík távolsága:

a pontból az egyenesre, illetve síkra bocsátott merőleges szakasz hossza;

• Két párhuzamos sík és/vagy egyenes távolsága:

az egyik alakzat bármelyik pontjának távolsága a másik alakzattól. Ez nem függ a pont választásástól.

Térelemek távolsága

• Két kitérő egyenes távolsága:

• Ha e és f kitérő egyenesek, akkor egyértelműen léteznek őket tartalmazó, egymással párhuzamos S és T síkok.

Térelemek távolsága

• Az S-re és T-re merőleges egyenesek közül pontosan egy metszi e-t is és f-et is.

• Ez az m egyenes az e-t tartalmazó, T-re merőleges, és az f-et tartalmazó, S-re merőleges síkok metszésvonala. m az e és f normáltranszverzálisa.

• A két metszéspont által meghatározott szakasz hossza e és f távolsága.