1 Introduction to Euclidean Geometry : Properties on Triangle

1. Misalkan ABC segitiga lancip dengan AB > AC. AD,BE dan CF adalah garis garis tinggi yangberpotongan di titik tinggi H. Misalkan juga N titik tengah sisi BC dan I titik tengah segmen AH.Buktikan pernyataan berikut :

• ABDE,BCEF,CAFD segiempat talibusur. Titik pusatnya masing-masing?

• AEHF,BDHF,CDHE segiempat talibusur. Titik pusatnya masing-masing?

• ∠FDH = ∠EDH

• H adalah titik pusat lingkaran dalam dari segitiga DEF .

• IN ⊥ EF

2. Misalkan AD,BE,CF memotong lingkaran luar segitiga ABC lagi di K,L,M secara berturut-turut.Buktikan pernyataan berikut :

• ∠KBC = ∠HBC dan ∠KCB = ∠HCB

• HD = DK,HE = EL dan HF = FM .

• CK = CL,AL = AM dan BM = BK.

• DE ‖ KL,EF ‖ LM dan FD ‖MK

• H titik pusat lingkaran dalam segitiga KLM .

3. Sekarang, misalkan garis KM memotong sisi BC di titik G dan garis LM memotong sisi CA di titikJ . Buktikan pernyataan berikut :

• ∠CGH = ∠CGK = ∠BAC dan ∠CJH = ∠CJL = ∠ABC

• ∠CHG+ ∠CHJ = 180◦

• GJ ‖ KL• ∠AGC = ∠BJC

4. Misalkan O titik pusat lingkaran luar segitiga ABC. Garis AO memotong lingkaran luar segitigaABC lagi di titik P , dan N titik tengah sisi BC. Misalkan pula garis NH memotong lingkaran luarsegitiga ABC lagi di titik Q dengan Q 6= P . Buktikan pernyataan berikut :

• PK ‖ BC• BP = CK

• BL ‖ PC• ∠HNC = ∠KNC = ∠PNB

• titik-titik P,N dan H terletak pada satu garis.

• NQ ⊥ AQ.

Compiled by : Ronald Widjojo

2 Introduction to Euclidean Geometry : Properties on Circles

1. Misalkan k1 dan k2 dua buah lingkaran dengan jari jari lingkaran k1 lebih besar daripada jari jarilingkaran k2 dan pusatnya berturut-turut di O1 dan O2. Misalkan juga k1 dan k2 berpotongan didua titik berbeda C dan D. Garis singgung persekutuan luar dari k1 dan k2 yang lebih dekat ke Cdaripada D menyinggung k1 dan k2 berturut-turut di A dan B. Setelah itu misalkan AB dan CDberpotongan di M , dan AC memotong k2 lagi di titik E. Buktikan pernyataan berikut :

• ∠BAC = ∠ADC dan ∠ABC = ∠BDC.

• ∠ACB + ∠ADB = π

• M titik tengah AB

• L4ACD = L4BCD

• ∠ADB = ∠BDE

2. Misalkan F titik pada k2 dengan F 6= C, sehingga CF menyinggung k1 di C. Garis BF memotonggaris AE di titik G dan garis CF memotong garis AB di titik H. Buktikan pernyataan berikut

• ∠DBF = ∠DAE

• ∠BGC = ∠GDC = ∠BCG

• HA = HC

• Segitiga ABD sebangung dengan segitiga GCD dan sebangun dengan segitiga BED.

• BC.GD = CD.EG

3. Misalkan garis melalui B dan tegak lurus AE memotong garis O1O2 di titik K dan garis BO2

memotong lagi k2 di titik L. Buktikan pernyataan berikut

• ∠KBO2 = ∠BAC

• ∠BO2K = ∠AMC

• Segitiga BKL sebangun dengan segitiga ACB

• Titik-titik C,K,L terletak pada satu garis.

4. Misalkan garis melalui C sejajar AB memotong lagi k1 dan k2 berturut-turut di P dan Q. GarisPQ memotong AD dan BD berturut-turut di R dan S. Garis PA dan QB berpotongan di titik T .Buktikan pernyataan berikut

• CR = CS

• Segitiga ATB sebangun dengan segitiga ACB

• RT = ST

• ADBT segiempat talibusur

Compiled by : Ronald Widjojo