geometri bidang (mm11203 -...
TRANSCRIPT
![Page 1: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/1.jpg)
GEOMETRI BIDANG (MM11203)
DOSEN PENGASUH
MASHADI
HASRIATI
M. NATSIR
Buku Wajib : Geometry by Mashadi
BUKU Tambahan
1. GEOMETRY BY MOISE DOWNS
2. Introductions to the Geometry of the Trianggle
(Paul Yiu. 2001)
3. Advanced Euclidean Geometry, Roger A Johnson,
![Page 2: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/2.jpg)
MATERI
Buku Wajib (bab 5 s/d bab 11) sumber utama
baca juga buku 2 & 3
1 *. Kontrak Kuliah
*. Pengantar buku 1 hal 1 s/d 10
*. Sifat Dasar Lingkaran buku 1 hal 127s/d 142
2 *. Lingkaran Luar segitiga buku 1 hal 137 s/d 142
*. lingkaran Dalam Segitiga buku 1 hal 142 s/d 157
*. Lanj Lingkaran Dalam Segitiga Buku 1 hal 142 s/d 157
*. Lingkaran Singgung Luar Buku 1 hal 157 s/d 166
*. Teorema Carnot's Buku 1 hal 167 s/d 173
*. Teoema Centroid dan T Euler Buku 1 hal 172 s/d 178
*. Segiempat Siklik Buku 1 hal 179 s/d 223
6 Garis2 Istimewa dalam segitiga Buku 1 hal 224 s/d 241
7 *. Remidian sebelum UTS
*. Problem Solving and app
8 U T S
Pertemuan Materi
3
4+5
![Page 3: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/3.jpg)
*.
*. Pembahasan Soal-soal UTS
*. Teorme Ceva Buku 1 hal 242 s/d 251
*. Teorema Brianchon Buku 1 hal 251 s/d 258
*. Teorema Menelaus Buku 1 hal 259 s/d 262
*. Konsekuensi T Ceva & Menelaus Buku 1 hal 263 s/d 270
*. Teorema Pappus Buku 1 hal 271 s/d 273
*. Teorema Pascal Buku 1 hal 273 s/d 277
*. Teorema Desarques's Buku 1 hal 277 s/d 286
*. Problem Solving
*. T Butterfly untuk segiempat
*. T Butterfly dengan Menelaus
*. Ketaksamaan Erdos-Mordell
*. Ketaks Bertanda Erdos-Mordell
*. Ketaksamaan Barrow's
* Ketaksamaan Erdos-Mordell
Untuk Segiempat
Buku 1 hal 287 s/d 300
14 Buku 1 hal 300 s/d 312
15 Buku 1 hal 313 s/d 345
U A S16
9
10
11
12
13 *. Teorema Butterfly
![Page 4: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/4.jpg)
Catatan :
1. Rincian materi bisa saja berobah
2. Kuiz minimal sekali sebelum UTS dan sekali sesudah UTS
![Page 5: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/5.jpg)
Bobot penilaian untuk masing-masing
item aktivitas adalah sebagai berikut :
N
O
JENIS TES % NILAI KETERANGAN
1 PR 20 %
2 KUIS 25 %
3 UJIAN TENGAH
SEMESTER
25%
4 UJIAN SEMESTER 30 %
5 SOAL BONUS DITAMBAHKAN PADA
NILAI MID ATAU
SEMESTER
CATATAN : BAHAN UJIAN SEMESTER ADALAH SEMUA BAHAN KULIAH
![Page 6: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/6.jpg)
PENGANTAR UMUM
![Page 7: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/7.jpg)
Motivasi, soal unas thn 2006/07
Apa yang anda lakukan jika lupa
rumusnya
Terka saja
jawabnya atau
lupakan soal
tersebut
![Page 8: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/8.jpg)
fdan f X, L, N,itu apax
![Page 9: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/9.jpg)
Mari kita lihat penyelesaian
secara geometri
Terlebih dahulu buat grafiknya (ini untuk
pemahaman proses pembelajaran)
6
16
149.5 154.5 159.5 Kurang dari
156
A B
C
D
E
Segita mana yang
sebangun ABC ADE
![Page 10: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/10.jpg)
DE
BC
AD
ABABC ADE
105
23
BC BC = 3
T
TC = 6+ 3 = 9
TC banyaknya peserta seleksi yang tingginya kurang dari 156 cm
Jadi yang tingginya lebih dari 156 cm adalah 60 – 9 = 51 org
6
16
149.5 154.5 160.5
156
A B
C
D
E
T
159.5
![Page 11: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/11.jpg)
SOAL LUAS A
B C
40 50
60
BERAPA LUAS ABC
csbsassL ..
![Page 12: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/12.jpg)
BIMBING PELAJAR MEMBUAT GARIS ATBC
A
B C
40 50
60-X
402 – X2 = 502 - (60 – X)2
T
X
(60 – X)2 –X2 = 502 - 402
602 – 2X = 9010
Maka dapat x dan luaspun dapat
Ingat
T Phytagoras
![Page 13: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/13.jpg)
BIMBING PELAJAR MEMBUAT GARIS ATBC
A
B C
40 50
60-X
402 – X2 = 502 - (60 – X)2
T
X
(60 – X)2 –X2 = 502 - 402
602 – 2X = 9010
Maka dapat x dan luaspun dapat
Ingatkan pelajar
T Phytagoras
![Page 14: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/14.jpg)
Sin (+), tanpa didahului oleh
cos (+),
D
T C
O A B
Misalkan BOC = dan COD =
Maka BOD = +
OCD = 900
OCT = CDT =
OD
TD
OD
BC
OD
TDBC
OD
TDAT
OD
AD
sin
![Page 15: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/15.jpg)
D
T C
O A B
OD
TD
OD
BC
OD
TDBC
OD
TDAT
OD
AD
sin
OD
CD
CD
TD
OD
OC
OC
BC..sin
sin.coscos.sinsin
![Page 16: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/16.jpg)
10 -4x y garisdengan sejajar
dan (2,3) titik melalui yang lurus garispersamaan Tentukan
:dulu Review
)(y-y rumus kemasukkan
3ydan 2 xberarti (2,3), titik melalui 4
11
11
xxm
m
![Page 17: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/17.jpg)
(1,5) titik melaluidan 010 2y 4x
garisdengan lurus tegak lurus garispersamaan Tentukan
: 2 Review
)(y-y rumus kemasukkan
5ydan 1 xberarti
11
11
xxm
???? m nilaiDengan
![Page 18: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/18.jpg)
05-4y 2x garisdengan 30sudut membentuk
(2,4) titik melalui yang lurus garispersamaan Tentukan
: AYOOOOO
0
G N G U N I B
KONSEPNYA PAHAMI
NNYAMENGERJAKACARA DAN
RUMUS MENGHAPAL JANGANMAKA
![Page 19: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/19.jpg)
Ada yang bisa
O
A
T
Dari mana
OAT = 900 ???
TUGAS NO 1
![Page 20: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/20.jpg)
Ini salah satu jawaban
O
A P
OS = OT
Anda mesti cari jawaban lain T
R
S
OASR OATP
AOT = ATO = 45o
0AT = 90o
Dkl AT OA
![Page 21: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/21.jpg)
REMIDIAL BAB 5
![Page 22: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/22.jpg)
Teorema 5.1.1
Garis yang tegak lurus dari pusat lingkaran ke suatu tali busur membagi dua sama panjang tali busur tersebut.
Bukti
PF QR
Akan dibuktikan FR = FQ
![Page 23: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/23.jpg)
ΔPQF ΔPRF, FR = FQ
Ada masalah ???????
![Page 24: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/24.jpg)
Teorema 5.1.2
Misalkan AB adalah tali busur sebuah lingkaran yang berpusat di O yang mana AB bukan diameternya, dan misalkan C adalah sebarang titik pada lingkaran yang berbeda dari A dan B maka
a. Jika C dan O berada pada sisi yang sama
dari AB, maka
b. Jika C dan O berada pada sisi berha
dapat dengan AB, maka
.2 ACBAOB
.23600 ACBAOB
![Page 25: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/25.jpg)
Bukti.
Misalkan AB adalah sebuah tali busur sebuah lingkaran yang berpusat di O yang mana AB bukan diameternya, dan C adalah sebarang titik pada lingkaran yang berbeda dari A dan B.
a. Misalkan C dan O berada pada sisi yang sama
dari AB, akan ditunjukkan .2 ACBAOB
Kasus 1.
Lihat gambar
![Page 26: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/26.jpg)
(5.1.1)
(5.1.2)
(5.1.3)
Selain itu, juga diperoleh
.
(5.1.4)
maka diperoleh
![Page 27: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/27.jpg)
Maka berturut-turut diperoleh
OCAOAC
OCBOBC
![Page 28: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/28.jpg)
Kasus 2 .
OBAAOBOAB 0180
AOCOCAOAC 0180
BOCOBCOCB 0180
AOCOACOCA 0180
BAOABOBA 0180 0
BOCOCBOBC 0180
.
![Page 29: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/29.jpg)
PERHATIKAN HASIL DI ATAS
+
![Page 30: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/30.jpg)
)OBAAOB(OAB 0180
INGAT
DARI
OBCOCBOCAOACOBAAOB 0180
JADI
![Page 31: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/31.jpg)
Kasus 3.
Lukis garis AO, OB, AC dan BC. Misalkan BC memotong OA. Dengan cara serupa dengan pembuktian pada kasus 2, maka diperoleh
.
ACBAOB 2
TUGAS NO 2
![Page 32: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/32.jpg)
B). Misalkan dan O berada pada
sisi-sisi berhadapan dari AB
Akan ditunjukkan bahwa
ACBAOB 23600
PERHATIKAN
INGAT
![Page 33: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/34.jpg)
Teorema 5.1.3. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama mempunyai besar yang sama.
Akan dibuktikan mAPB = mAQB
mAOB = 2mAPB
Bukti :
mAOB = 2mAQB
2mAPB = 2mAQB
mAPB = mAQB
![Page 35: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/35.jpg)
Teorema 5.1.4. Misalkan RS dan TU adalah tali busur dari lingkaran yang sama yang berpotongan di Q, maka QR .QS = QU .QT
ΔSQU ~ ΔTQR
Bukti :
Ada masalah ???
![Page 36: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/36.jpg)
QUS = QRT
SQU = TQR
ΔSQU ~ ΔTQR
QR
QU
QT
QS QR .QS = QU .QT
![Page 37: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/37.jpg)
Definisi 5.1.3. Segiempat tali busur adalah sebuah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran.
![Page 38: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/38.jpg)
Teorema 5.1.5. Dalam segiempat tali busur sudut-sudut yang berhadapan adalah sama dengan sudut pelurus.
mA + mC = 1800
mB + mD = 1800
Misalkan mBOD = x0
x0 = 2mBCD
yo = 2mBAD
x0 + y0 = 3600
x0 + y0 = 2mBCD +2mBAD
![Page 39: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/39.jpg)
x0 + y0 = 2mBCD +2mBAD
3600 = 2(mBCD + mBAD
1800 = mBCD + mBAD
mA + mC = 1800
![Page 40: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/40.jpg)
A B
C D
α β
ϒ δ
A B
C D
α β
Cara lain untuk membuktikan teorema di atas adalah, misalkan titik D berada dalam lingkaran, maka akan dapat ditunjukkan B + C > 1800. kemudian kalau dimisalkan titik D berada diluar lingkaran maka akan diperoleh B + C < 1800. Maka kalau begitu berlakulah B + C = 1800. Pernyataan tersebut sering ditulis dalam bentuk teorema berikut ini :
![Page 41: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/41.jpg)
Teorema 5.1.6 : Segiempat ABCD adalah siklik jika dan hanya jika DAC = DBC.
Silakan dicoba
![Page 42: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/42.jpg)
COBA SEKARANG
TUNJUKKAN OE < OF
AOE = BOE > DOF = COF
yang mengakibatkan
FDO = FCO > EAO = EBO.
![Page 43: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/43.jpg)
A
B
E
C
D
F
APA BISA
MEMBERI
INSPIRASI
BANYAK
CARA
LAIN
SILAKAN
DICARI
LENGKAPI TUGAS NO 2
![Page 44: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/44.jpg)
A + C = 1800 = B + D.
Tunjukkan bahwa ABE = D
![Page 45: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/45.jpg)
Bila TA merupakan garis singgung pada lingkaran di titik A,
dengan O adalah titik pusat lingkaran luar
maka haruslah berlaku OA AT
tunjukkan BAT = BCA.
![Page 46: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/46.jpg)
T
Perpanjang AT Buat OT AB
P
AP = PB
AOP BOP
TAP TBP
TUGAS 2
BOLEH KERJAKAN DENGAN CARA LAIN
![Page 47: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/47.jpg)
A
B
C
T
O
O titik pusat lingkaran, periksalah apakah tetap berlaku
BAC = OCT
![Page 48: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/48.jpg)
Apa syaratnya agar segiempat mempunyai lingkaran dalam
Berapa jari-jari lingkaran dalamnya
Apa syaratnya agar segiempat mempunyai lingkaran dalam
Berapa jari-jari lingkaran luarnya nya
Siapa dapat, maka nilai UTA ditambah 15 point
![Page 49: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/49.jpg)
Definisi 5.1.3 Segiempat Circumscriptible adalah segiempat yang memuat sebuah lingkaran dalam ( Incircle of the Quadrilateral ) sehingga menyinggung keempat sisi segiempat.
![Page 50: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/50.jpg)
Teorema 5.1.7 Suatu segiempat adalah Circumscriptible jika dan hanya jika dua pasang sisi-sisi yang berhadapan mempunyai jumlah panjang yang sama
AD + BC = AB + CD
![Page 51: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/51.jpg)
O
CRCQBQBP ,
.DSDR
![Page 52: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/52.jpg)
misalkan
Akan ditunjukkan bahwa segiempat ABCD adalah Circumscriptible.
Misalkan
CDADCDAB
CDADDABC
.CDBC
KE=KF=KG=KH Apa yang mau anda tunjukkan
![Page 53: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/53.jpg)
Karena
Maka dapat dipilih titik X di AD dan Y di CD sehingga
X
Y
kemudian karena
![Page 54: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/54.jpg)
Misalkan K adalah titik pusat lingkaran luar
maka
DENGAN CARA YANG SAMA AKAN DIPEROLEH
maka
dan
adalah bisektor sudut A, D dan C
Sehingga
KCBKCY
![Page 55: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/55.jpg)
Apabila ditarik garis tegak lurus dari titik K ke sisi-sisi AB, AD, CD dan BC sehingga berpotongan di titik E, F, G dan H,
maka diperoleh AE=AF, DF=DG dan CG=CH
Karena
dan
adalah bisektor sudut A, D dan C
diperoleh .KCHKCG
![Page 56: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/56.jpg)
karena AE=AF
dan AKAK
maka KAFKAE
Akibatnya KE = KF
Dengan cara serupa
KCHKCG
Sehingga KF=KG
KG=KH
Maka KE=KF=KG=KH
Artinya , segiempat ABCD memuat sebuah lingkaran dalam dengan pusat K
![Page 57: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/57.jpg)
Teorema 5.1.8
Segiempat ABCD adalah Siklik jika dan hanya jika jumlah sudut yang berhadapan adalah 0180
.
Bukti :
![Page 58: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/58.jpg)
Sebaliknya, misalkan
Akan ditunjukkan bahwa segiempat ABCD adalah Siklik dengan menunjukkan kontradiksinya
Misalkan segiempat ABCD adalah Konveks .
Lukis sebuah lingkaran yang melalui titik A, B, dan C. dan misalkan E adalah titik potong kedua antara lingkaran dengan perpanjangan garis BD. Hubungkan garis AE dan CE. Lihat gambar disebelah
![Page 59: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/59.jpg)
Andaikan
maka jelas
dan
Akibatnya
Tetapi, karena titik A, B, C dan E berada pada lingkaran maka segiempat ABCE adalah Siklik sehingga
0180 AECABC
maka AECADC
Hal ini kontradiksi
![Page 60: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/60.jpg)
5.2. Lingkaran Luar Segi Tiga
![Page 61: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/61.jpg)
![Page 62: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/62.jpg)
Teorema 4.1.1. Misalkan a, b dan c adalah panjang
sisi pada Segitiga ABC, maka berlaku :
RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
Bukti :
![Page 63: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/63.jpg)
Bukti : AD = AB sin B = c sin B,
Luas ABC = ½ ac sin B.
Luas ABC = ½ ab sin C
Luas ABC = ½ bc sin A
![Page 64: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/64.jpg)
A
B C D
. O
R R
BOD = ½ BOC = A
BD = ½ BC.
R
BDBOD sin
BD = R sin BOD
Karena BOD = A
Maka BD = R sin A
Karena BC = 2 BD, maka BC = 2R sin A
RA
amaka 2
sin
RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
![Page 65: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/65.jpg)
Teorema 4.1.2. Misalkan a, b dan c adalah panjang sisi pada
Segitiga ABC, maka berlaku
L
abcR
4
Bukti :
luas ABC = ½ bc sinA
bc
LA
2sin R
A
aingat 2
sin
L
abcR
4 maka
![Page 66: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/66.jpg)
Teorema 4.1.3. Misalkan a, b dan c adalah panjang sisi pada Segitiga ABC, maka berlaku
csbsa-s sL
Dibuku ada bukti berdasarkan buku SMA
Bisakan anda buktikan dengan cara yang lebih sederhana ???
Ingat rumus ini akan kita perumum untuk segi empat dll
![Page 67: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/67.jpg)
Bentuk lain dari rumus tersebut adalah
T disini juga menyatakan luas (sama dengan L pada rumus di atas
![Page 68: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/68.jpg)
Salah satu bukti lain
![Page 69: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/69.jpg)
Bagi anda yang tertarik untuk memperdalam silakan
Bahan ini, layak jadi bahan dasar thesis
Heron-type formula for the volume of a tetrahedron
If U, V, W, u, v, w are lengths of edges of the tetrahedron (first three form a triangle; u opposite to U and so on), then
where
![Page 70: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/70.jpg)
Yang berminat silakan lihat di :
W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [1], pp. 16-17. atau hubungai pak Mashadi
![Page 71: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/71.jpg)
5.3. Lingkaran Dalam Suatu Segitiga
Teorema 5.3.1. Pada suatu segitiga ABC berlaku
A2
1 tan a - s r
Misalkan panjang AF = k,
Bukti
maka panjang BF = c – k.
![Page 72: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/72.jpg)
Kemudian panjang
BD = Panjang BF = c- k.
panjang CE = b – k
panjang CD = Panjang CE = b – k
panjang AF + panjang FB + panjang BD + panjang DC + panjang CE + panjang EA =
panjang AB + panjang BC + panjang CA
k + (c – k) + (c – k) + (b – k) + (b – k) + k = c + a + b.
2b + 2c – 2k = a + b + c
![Page 73: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/73.jpg)
2b + 2c – a – b – c = 2k
b + c – a = 2k atau 2k = b + c – a.
acb2
1k
acba2
1k
ask
Panjang AF = panjang AE = s – a,
Panjang BF = panjang BD = s – b
Panjang CD = panjang CE = s - c
![Page 74: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/74.jpg)
pada segitiga AIF
panjang AF = s – a dan AFI = 900,
panjang IF = r
A 2
1 BAC
2
1 IAF
AF Panjang
IF PanjangIAF tan
a-s
rA
2
1 tan
A2
1 tan a - s r
![Page 75: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/75.jpg)
Remaks 5.3.1.
B2
1 tan b - s r
C2
1 tan c - s r
![Page 76: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/76.jpg)
c - s b - s a - s ss
1
s
L r
Jari-jari lingkaran dalam pada segitiga ABC dapat ditentukan dengan rumus berikut
Bukti : Pandang
Luas ABC = Luas AIB + Luas BIC + Luas CIA
br 2
1 ar
2
1 cr
2
1 L
Silakan disederhanakan
![Page 77: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/77.jpg)
5.4. Lingkaran Singgung Suatu Segitiga
![Page 78: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/78.jpg)
Lingkaran Singgung Suatu Segitiga
Bagaimana membuatnya
![Page 79: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/79.jpg)
A B
C
D
E
F
Berapa panjang jari-jari lingkaran singgung luarnya
![Page 80: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/80.jpg)
Teorema 4.1.5. Misalkan ABC suatu segitiga sembarang,
maka panjang jari-jari lingkarang singgung pada sisi
BC adalah
A 2
1 tan s R a
![Page 81: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/81.jpg)
c b a 2
1 singat
panjang BF = panjang BD = x.
panjang CF = panjang BC – Panjang BF = a – x.
panjang CF = panjang CE = a – x.
panjang CF = panjang CE = a – x.
panjang AB + panjang BD = panjang AC + panjang CE
jadi
Remaks 4.1.3
![Page 82: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/82.jpg)
c + x = b + a – x
2x = b + a – c
c - b a2
1 x
Dengan demikian
Panjang AD = panjang Ab + panjang BD
c - b a2
1 c
sc b a2
1
![Page 83: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/83.jpg)
Selanjutnya pada AOD, panjang AD = s dan ADO = 900
BAC 2
1 OAD dan
sehingga
A2
1 tanBAC
2
1 tan OAD tan
AD panjang
OD panjang OAD tan
s
R A
2
1tan a
A 2
1 tans R a
![Page 84: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/84.jpg)
B 2
1 tans R b
C 2
1 tans R c
A 2
1 tans R a
![Page 85: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/85.jpg)
Bisa juga diperoleh bentuk seperti ini
![Page 86: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/86.jpg)
Remaks 5.4.2.
b - s
L Rb
c - s
L Rc
![Page 87: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/87.jpg)
![Page 88: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/88.jpg)
C B
C’
B’
A’
Ge
A
I
Titik Gergonne Teorema : (Teorema Gergonne) Di dalam segitiga garis yang dibentuk dari titik-titik puncak yang dihubungkan dengan titik singgung lingkaran dalam pada sisi dihadapannya adalah konkuren.
1'
'
'
'
'
'
AB
CB
CA
BA
BC
AC
o o
![Page 89: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/89.jpg)
A
C
P
'B
'A B
P
'B
'A
'C
'C
Teorema Ceva
Teorema : Diberikan sebuah segitiga dengan titik A’, B’
dan C’ masing-masing terletak pada garis BC, CA dan AB. Sehingga garis AA’, BB’ dan CC’ dikatakan konkuren jika hanya jika
1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
1'
'
'
'
'
'
AB
CB
CA
BA
BC
AC
jika dibentuk garis dari sudut A, terhadap perpanjangan sisi BC di titik A’, dari sudut B terhadap perpanjangan sisi AB dan dari sudut C terhadap sisi AB dititik C’ maka garis AA’, BB’ dan perpanjangan CC’ dikatakan konkuren jika hanya jika
Kasus 1 Kasus 2
![Page 90: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/90.jpg)
C B
C’
B’
A’
Ge
A
1 Garis singgung
lingkaran
AB’=AC’
CB’=CA’
BA’=BC’
'''''' CBBCACCABAAB
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
AB
CA
CC
BA
BC
AB
CB
CA
BC
BA
AC
AB
1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
1
2
3
Dengan mengalikan persamaan (1), (2) dan (3) diperoleh
Sehingga persamaannya menjadi
![Page 91: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/91.jpg)
C B
C’
B’
A’
Ge
as
as
bs
bs cs
cs
A
AB’= s-a
BC’= s-b
CA’= s-c
1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
as
cs
cs
bs
bs
as
AB
CB
CA
BA
BC
AC
'
'
'
'
'
'
2 Semiperimeter
segitiga
4
5
6
Dengan menggunakan teorema ceva pada kasus 1, persamaan (4), (5) dan (6) menjadi
Sehingga diperoleh
![Page 92: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/92.jpg)
C B
C’
B’
A’
Ge
A
'' IBCIBA
'' ICBICA
'' IACIAB
'' BCBA
'' CBCA
'' ACAB 1
'
'
'
'
'
'
CB
AB
AC
BC
CA
BA
'' IBCIBA (sd) bisektor sudut
3 Segitiga
kongruen
o o
I
'' BICBIA
IBIB (s) segmen garis yang sama
(sd) diketahui
Berdasarkan korespodensi sd-s-sd diperoleh
![Page 93: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/93.jpg)
B C
C’
B’
A’
Ge
A
4 Perbandingan luas
segitiga
Geh
X Y
e
e
e
e
GCALACAL
GBALABAL
ACGL
ABGL
''
''
CA
BA
ACGL
ABGL
e
e
'
'
BAGL
BCGL
AB
CB
e
e
'
'
CBGL
CAGL
BC
AC
e
e
'
'
8
ah
Diperoleh perbandingan luasnya adalah
CBGL
CAGL
BAGL
BCGL
ACGL
ABGL
BC
AC
AB
CB
CA
BA
e
e
e
e
e
e
'
'
'
'
'
'
7
ABA' dan Diperoleh perbandingan luas
ACA'
'2
1
'2
1
'
'
CAh
BAh
ACAL
ABAL
a
a
BGeA dan Diperoleh perbandingan luas
CGeA
'2
1
'2
1
'
'
CAh
BAh
GCAL
GBAL
Ge
Ge
e
e
8
Subsitusikan persamaan (7) dan (8) ke persamaan (9), sehingga
Dengan cara yang sama diperoleh Dengan menggunakan teorema ceva diperoleh 1
'
'
'
'
'
'
CBGL
CAGL
BAGL
BCGL
ACGL
ABGL
BC
AC
AB
CB
CA
BA
e
e
e
e
e
e
![Page 94: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/94.jpg)
D
E F
'E
'D
'F
X
Z
YeG
I
'C
'B
'A
A
B C1v
1w 2w
2v
2v2w
3w
3w
1w
1v
3v3v
r
t
5 Lingkaran kosentrik
Bukti : Karena DEFABC ~ maka ,:)( rtr
sehingga
11 vr
trw
Bx
w
r
tr 1
![Page 95: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/95.jpg)
5 Lingkaran kosentrik
X
'A1v
E 'D1w
I
A
B
D
E F
'E
'D
'F
X
Z
YeG
I
'C
'B
'A
A
B
C1v
1w 2w
2v
2v2w
3w
3w
1w
1v
3v3v
r
t
21
21 r
t
QP
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri diperoleh
1cos ectBP
karena BPwPD 1' maka diperoleh 11 cos' ectwPD
misalkan 11 cos ecm maka
11' mtwPD
10
11
![Page 96: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/96.jpg)
21
21
A
E D’ P
B
I
X
t t
31 vv
1w
A’
r
1v
Q
Berdasarkan kesebangunan sd-sd, maka '~' BAAPAD
Sehingga diperoleh
31
131
'
'
vv
mtvv
BA
PD
131
31 ')('
mtvv
PDvvBA
Subsitusikan persamaan (10) dan (11) ke persamaan (12), sehingga
131
1131 /'
mtvv
mtvrtrvvBA
12
232
2232 /'
mtvv
mtvrtrvvCA
221
2221 /'
mtvv
mtvrtrvvCB
331
3331 /'
mtvv
mtvrtrvvAB
332
3332 /'
mtvv
mtvrtrvvAC
121
1121 /'
mtvv
mtvrtrvvBC
13
![Page 97: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/97.jpg)
D
E F
'E
'D
'F
X
Z
YeG
I
'C
'B
'A
A
BC
1v
1w 2w
2v
2v2w
3w
3w
1v
3v3v
r
t
1l
3l
2l
RP H
A
BC
D
E F
kmtlmtlmtl 332211
CHRABC ~karena maka diperoleh
313
322
211
vvl
vvl
vvl
Subsitusikan
211 vvl Ke persamaan 13, dan diperoleh
kll
kvrtrllBA
21
112 /'
kll
kvrtrllBA
21
112 /'
kll
kvrtrllCA
21
221 /'
kll
kvrtrllCB
32
223 /'
kll
kvrtrllAB
32
332 /'
kll
kvrtrllAC
31
331 /'
kll
kvrtrllBC
31
113 /'
1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
1tm 2tm1tm
![Page 98: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/98.jpg)
B C
1A
C’’
B’’
AE
ATitik Gergonne Luar Segitiga
1Ge
a
bc
1" CACB
Dengan menggunakan garis singgung lingkaran diperoleh
Misalkan nCB " maka diperoleh
naBA 1
Dengan menggunakan garis singgung lingkaran pada sisi BC diperoleh
"" BCABCBAC
9
10
11
Subsitusikan persamaan (9) dan (10) ke persamaan (11) sehingga
)(2
1bacn
karena
"" CBACAB
maka scbaAB )(2
1"
Sehingga diperoleh
csBABC 1"
bsCACB 1"
bs
bs
cs
cs
s
s
AB
CB
CA
BA
BC
AC
"
"
"
"
1
1
Dengan menggunakan teorema ceva diperoleh
Sehingga 1"
"
"
"
1
1 AB
CB
CA
BA
BC
AC
![Page 99: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/99.jpg)
C’
A’
B’
A’’ 1A
1B1C
C’’
B’’
BE
AE
CE
1Ge
2Ge3Ge
Ge I
A
CB
![Page 100: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/100.jpg)
![Page 101: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/101.jpg)
Jika setiap titik sudut pada segitiga dihubungkan terhadap titik singgung excircle di hadapannya, maka ketiga garis tersebut konkuren di titik Nagel.
BUKTI 1:
Titik Nagel merupakan titik konkurensi dari tiga sudut pada sebuah segitiga terhadap titik singgung lingkaran singgung luar (excircle) di hadapannya.
TITIK NAGEL
MENGKONTRUKSI TITIK NAGEL MELALUI EXCIRCLE
x
x
x x
* *
TEOREMA 1
![Page 102: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/102.jpg)
sehingga,
Dengan cara yang sama, diperoleh
(6)
(7)
(8)
Dengan mengalikan persamaan (6), (7), dan (8), maka
MENGKONTRUKSI TITIK NAGEL MELALUI EXCIRCLE
x
x
x x
BUKTI 2:
TEOREMA 1
![Page 103: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/103.jpg)
r
(9)
(10)
Sehingga persamaan (9) & (10) menjadi
Dengan menggunakan cara yang sama pada segitiga dengan sisi yang lainnya maka,
(11)
(12)
(13)
Dari perkalian persamaan (11), (12), dan (13) diperoleh
MENGKONTRUKSI TITIK NAGEL MELALUI INCIRCLE
* *
![Page 104: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/104.jpg)
MENGKONTRUKSI TITIK NAGEL MELALUI INCIRCLE
Sehingga,
![Page 105: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/105.jpg)
TITIK NAGEL LUAR
dengan menggunakan Teorema Ceva pada kasus 3 maka,
![Page 106: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/106.jpg)
![Page 107: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/107.jpg)
![Page 108: GEOMETRI BIDANG (MM11203 - mashadi.staff.unri.ac.idmashadi.staff.unri.ac.id/files/2018/10/Kuliah-1-2.pdf · geometri bidang (mm11203) dosen pengasuh mashadi hasriati m. natsir buku](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052119/5c88e29a09d3f2431b8b643b/html5/thumbnails/108.jpg)
THANK YOU
Terima kasih