geometría Ángulos - njctlcontent.njctl.org/courses/common-core-math-espanol/... · geometría...
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Iniciativa de Matemática Progres iva®
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Click para ir al s itio web: www.njctl.org
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Geometría
Ángulos
www.njctl.org
2015-06-16
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Tabla de contenidos click sobre el tema para ir a la sección
Bisectrices y Construcciones
Bisectrices
Preguntas PARCC
Ángulos
Ángulos congruentes
Transportadores
Ángulos y Postulado de la suma de ángulos
Pares especiales de ángulosDemostraciones de ángulos especiales
Locus y construcciones angulares
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Tabla de Contenidos para videos de demostraciones de
construcciones
Bisectrices
Ángulos congruentes
click sobre el tema para ir a ese video
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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.
MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.
Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.
MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.
Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
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Ángulos
Volver a la tabla de contenidos
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A
B C
x
Ángulos
Cuando sea que semirrectas o segmentos se
intersequen en un plano, formarán un
ángulo.
Definición 8: un ángulo es la inclinación entre sí de dos rectas en un plano que se encuentran entre sí y no se encuentran en una línea recta
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A
B C
x
Ángulos
La medida del ángulo es la cantidad que una recta, una semirrecta o un segmento necesitaría rotar a fin de superponerse
con el otro.
En este caso, la semirrecta BA tendría que rotar a lo largo del ángulo x a fin de superponerse con la semirrecta BC.
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A
B C
x
Ángulos
En este curso, los ángulos serán medidos en grados, con el símbolo º.
Rotar la semirrecta BA alrededor de la semirrecta BC, y volver a la misma semirrecta representaría un ángulo de 360º
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Medición de ángulos en grados
El uso de 360 grados para representar una rotación completa volviendo a la posición originaria es arbitrario
360º
Se podría usar cualquier número, pero 360 grados para una rotación se ha convertido
en estándar.
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Se piensa que el uso del 360 para una rotación completa proviene de la antigua Babilonia, en donde se usaba un sistema numéricao
basado en 60.
Su sistema numérico podría también vincularse al hecho de que hay 365 días en un año lo cuál es muy cercano a 360.
360 es un número mucho más fácil para trabajar con él que con 365 ya que se puede dividir por muchos números sin resto.
Incluídos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 12.
Medición de ángulos en grados
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Definición 10: Cuando se ubica una recta vertical sobre una línea recta se forman ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto, y se dice que la línea recta vertical es perpendicular a aquella sobre la cuál se asienta.
Ángulos rectos
A
Bxx
CD
La única forma en la que dos rectas pueden intersecarse como se muestra y formar ángulos adyacentes iguales, de modo que los ángulos mostrados aquí donde m∠ ABC = m∠ ABD, es si ellos son ángulos rectos, es decir que miden 90º.
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Cuarto postulado: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Ángulos rectos
A
Bxºxº
CD
No sólo son ángulos rectos adyacentes iguales entre sí como se muestra abajo, todos los ángulos rectos son iguales, incluso si no son adyacentes, por ejemplo, los tres ángulos rectos mostrados
abajo son iguales entre sí.
A
B C90º
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A
B C90º
Esta definición no ha cambiado actualmente y te debería ser familiar. Las rectas, segmentos o semirrectas perpendiculares forman ángulos
rectos.
Si se cortan rectas para formar ángulos adyacentes iguales,
entonces son perpendiculares y la medida de los ángulos formados es
90º.
Cuando se encuentran rectas perpendiculares, forman ángulos adyacentes iguales y su medida es 90º.
Ángulos rectos
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A
B C
Aquí hay un indicador especial de ángulos rectos.
En este caso se muestra en rojo para reconocerlo más
fácilmente.
Ángulos rectos
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Definición 11: Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.
Ángulos obtusos
A
B C135º
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Definición 12: Un ángulo agudo es un ángulo menor a un ángulo recto.
Ángulos agudos
A
B C45º
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A B C
Una definición que no necesitamos usar en Los Elementos es la de "ángulo llano". Es el ángulo de una línea recta.
Ángulo llano
2 preguntas para discutir con un compañero:
¿Es un ángulo agudo u obtuso? Explica por qué.
¿Cuál es la medida en grados del ángulo?
Res
pues
ta
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Otra definición moderna que no fue usada en Los Elementos es la de "angulo reflejo". Este es el ángulo que es mayor que 180º.
Ángulo reflejo
B C
A
235º
También es un tipo de ángulo obtuso.
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Ángulos
En las siguientes diapositivas usaremos los respondedores para revisar los nombres de ángulos a partir de mostrar ángulos desde
0º a 360º aumentando de a 45º
Los ángulos pueden ser de cualquier tamaño, no sólo aumentando de a 45º, pero esto es sólo para dar una idea que como se ve un
giro completo.
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1 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
AB C
0º
Res
pues
ta
Slide 21 / 190
2 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
A
45ºB C
Res
pues
ta
Slide 22 / 190
3 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican.
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
A
B C90º
Res
pues
ta
Slide 23 / 190
4 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican.
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
A
B C135º
Res
pues
ta
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5 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
A B C180º R
espu
esta
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6 Este es un ejemplo de un ángulo_______ . Elige todas las que aplican.
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
B C235º
A
Res
pues
ta
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7 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano A
B270º
C
Res
pues
ta
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8 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llanoA
B
C315º
Res
pues
ta
Slide 28 / 190
9 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican
A agudo
B obtuso
C recto
D reflejo
E llano
AB C
360º Res
pues
ta
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Nombrando ángulos
A
B Cθ
lado
ladovértice
Un ángulo tiene tres partes, dos lados y un vértice que es donde los lados se encuentran.
En este ejemplo, los lados son las semirrectas BA y BC
y el vértice es B.
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Interior de los ángulos
θ
A
InteriorExterior
B C
Cualquier ángulo con una medida de menos de 180º tiene un exterior y un interior como se muestra abajo.
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Nombrando ángulos
A
B Cθ
lado
ladovértice
· por su vértice (B en el ejemplo de abajo)
· por un punto en su lado, su vértice y un punto sobre el otro lado (o ABC o CBA en el ejemplo de abajo)
· O por un número o por un símbolo ubicado dentro del ángulo (ej., letra griega θ, en la figura)
Un ángulo puede ser nombrado en tres diferentes maneras:
Slide 32 / 190
AB
32°
C
La medida del ∠ABC es 32 grados, esto puede ser reescrito como m∠ABC = 32º.
Al ángulo mostrado abajo se lo puede llamar ∠ABC , ∠CBA, ó ∠B.
Cuando no hay lugar a confusión, el ángulo podría también ser identificado por
su vértice B.
Los lados de ∠ABCson las semirrectas BC
y BA
Nombrando ángulos
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Nombrando ángulos
Usar el vértice para nombrar un ángulo no funciona en algunos casos. ¿Por qué sería no muy claro usar el
vértice para nombrar al ángulo en la imagen de abajo?
¿Cuántos ángulos cuentas en la
imagen?
A
α
D
θ
B C
Res
pues
ta
Slide 34 / 190
A
α
D
θ
B C
Nombrando ángulos
¿Cómo podrías nombrar aquellos 3 ángulos usando las letras ubicadas dentro de los ángulos?
¿De qué otras maneras podrías nombrar ∠ABC, ∠ABD y ∠DBC en el caso de abajo? (usando el lado - vértice - método de los lados)
Res
pues
ta
Slide 35 / 190
A
B C
θ
Rectas que se cortan forman ángulos
Cuando se forma un ángulo a partir de dos semirrectas o dos segmentos que comparten un vértice, se forma un ángulo
incluido. Se lo muestra como θ en el diagrama de la izquierda.
Cuando dos rectas se intersecan, se forman 4 ángulos, se los numera como en el diagrama de abajo a la derecha.
1
3 4
2
Slide 36 / 190
A
B C
θ
Estos números usados no tienen un significado especial, sólo muestran los 4 ángulos. Cuando semirrectas o segmentos se intersecan pero no tienen un vértice común, también forman 4
ángulos.
1
3 4
2
Rectas que se cortan forman ángulos
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10 Dos rectas________________ se encuentran en más de un punto.
A Siempre
B Algunas veces
C Nunca
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10 Dos rectas________________ se encuentran en más de un punto.
A Siempre
B Algunas veces
C Nunca
[This object is a pull tab]
Res
pues
taB
Slide 38 (Answer) / 190
11 Un ángulo que mide 90º __________ es un ángulo recto.
A Siempre
B Algunas veces
C Nunca
Res
pues
ta
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12 Un ángulo que es menor a 90 grados___________ es obtuso.
A Siempre
B Algunas veces
C Nunca
Res
pues
ta
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13 Un ángulo que es mayor que 180 grados se lo conoce _______ como un ángulo reflejo.
A Siempre
B Algunas veces
C Nunca
Res
pues
ta
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Ángulos Congruentes
Volver a la tabla de contenidos
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Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la misma longitud son congruentes.
Congruencia
a
bTambién, todos los segmentos de igual
longitud son congruentes.
¿Estos segmentos son congruentes?
Explica tu respuesta.
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Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la misma longitud son congruentes.
Congruencia
a
bTambién, todos los segmentos de igual
longitud son congruentes.
¿Estos segmentos son congruentes?
Explica tu respuesta.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica Las preguntas en la
diapositiva direcciona a MP6 y MP3
Slide 43 (Answer) / 190
¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes?
¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser congruentes?
Congruencia
A
B C
D
E
F
Slide 44 / 190
¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes?
¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser congruentes?
Congruencia
A
B C
D
E
F[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica Las preguntas en la
diapositiva direcciona a MP6 y MP3
Slide 44 (Answer) / 190
Si dos ángulos tienen la misma medida, son congruentes ya que pueden ser rotados y movidos para superponerse en cada punto.
Congruencia
A
B C
D
E F
Slide 45 / 190
Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto.
Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.
Congruencia
A
B C D E
F¿Estos ángulos son congruentes? Explica tu
respuesta.
Slide 46 / 190
Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto.
Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.
Congruencia
A
B C D E
F¿Estos ángulos son congruentes? Explica tu
respuesta.[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica Las preguntas en la
diapositiva direcciona a MP6 y MP3
Slide 46 (Answer) / 190
Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto.
Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.
Congruencia
A
B C
D
E F
Aquí puedes ver claramente cuando
rotamos los dos ángulos de la
diapositiva anterior, no tienen la misma
medida.
Slide 47 / 190
A
B C
xº
D
xº
Ángulos congruentes
Una manera para indicar que dos ángulos tienen igual medida es nombrarlos con la misma variable.
Por ejemplo, nombrando ambos de esos ángulos con xº indicamos que tienen igual medida.
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Otra manera de mostrar que los ángulos son congruentes es marcar el ángulo con una recta. Si hay 2 conjuntos iguales de
ángulos, el segundo conjunto podría ser marcado con dos rectas.
A
B C
D
E
F
Ángulos congruentes
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14 ¿El ∠B es congruente al ∠E ?
Sí
A
B C
D
E
F
No Res
pues
ta
Slide 50 / 190
15 Los ángulos congruentes ___________ tienen igual medida
A Siempre
B Algunas veces
C Nunca
Res
pues
ta
Slide 51 / 190
16 El ∠A y el∠B son ______.
A Congruentes
B No Congruentes
C No se puede determinar
A
B
Res
pues
ta
Slide 52 / 190
17 El ∠E y el ∠F son _______.
A Congruentes
B No Congruentes
C No se puede determinar
E
F
Res
pues
ta
Slide 53 / 190
18 El ∠C y el ∠D son congruentes.
A Verdadero
B Falso
C No se puede determinar
D
C
Res
pues
ta
Slide 54 / 190
19 El ∠C y el ∠D son congruentes
Verdadero
C
D
Falso
Res
pues
ta
Slide 55 / 190
Volver a la tabla de contenidos
Ángulos y Postulado de la Suma de
Ángulos
Slide 56 / 190
A
B C
D
Ángulos adyacentes
Los ángulos adyacentes comparten un vértice y un lado.
Los dos ángulos están lado a lado o adyacentes.
En este caso, el ángulo DBA es adyacente al ángulo ABC.
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A
B C
DEl postulado de la suma de ángulos dice que la suma
de las medidas de los ángulos adyacentes forma
la medida del ángulo formado por sus
semirrectas exteriores.
Postulado de la Suma de Ángulos
En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC
Slide 58 / 190
A
B C
DEl postulado de la suma de ángulos dice que la suma
de las medidas de los ángulos adyacentes forma
la medida del ángulo formado por sus
semirrectas exteriores.
Postulado de la Suma de Ángulos
En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP6
Explica y emfatiza la importancia y las diferencias entre las notaciones y los símbolos al nombrar y dar la medida de los ángulos.ej ∠DBC significa "ángulo DBC" mientras que m∠DBC significa "la medida del ángulo DBC"
Slide 58 (Answer) / 190
A
B C
D
Además, dice que si cualquier punto descansa en el interior de un ángulo, entonces la semirrecta conectando ese punto al vértice, forma dos ángulos adyacentes cuya suma es la del ángulo original.
Si A descansa en el interior del ángulo DBC entoncesm∠DBA + m∠ABC = m∠DBC
Postulado de la Suma de Ángulos
Lo cual da el mismo resultado que teníamos antes.
m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC
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32°
26°
P
S
RQ
m∠PQS = 32°m∠SQR = 26°
¿Cuál es la medida del ∠PQR?
Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos
Res
pues
ta
Slide 60 / 190
B
A
J(7x+11)°
(15x+24)°
N
A está en el interior de ∠BNJ.
Si m∠ANJ = (7x +11)°,
m∠ANB = (15x + 24)°,
y m∠BNJ = (9x + 204)°.
Resuelve para x.
Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos
Res
pues
ta
Slide 61 / 190
20 Dados m∠ ABC = 22° y m∠ DBC = 46°.
Calcula m∠ ABD.
BA
C
D
22°
46°
Res
pues
ta
Slide 62 / 190
21 Dados m∠OLM = 64° y m∠OLN = 53°. Calcula m∠ NLM.
A 28
B 15
C 11
D 117
64°
53°
O
LM
N
Res
pues
ta
Slide 63 / 190
22 Dados m∠ ABD = 95° y m∠ CBA = 48°.
Calcula m∠ DBC.
95°
48°
A
B D
C
Res
pues
ta
Slide 64 / 190
23 Dados m∠ KLJ = 145° y m∠ KLH = 61°.
Calcula m∠ HLJ.
61°
145°
K
H
JL
Res
pues
ta
Slide 65 / 190
24 Dados m∠ TRS = 61° y m∠ SRQ = 153°.
Calcula m∠QRT.
S
R
Q
T
61°
153°
Res
pues
ta
Slide 66 / 190
25 C está en el interior de ∠ TUV.
Si m∠ TUV = (10x + 72)⁰,
m∠ TUC = (14x + 18)⁰ y
m∠CUV = (9x + 2)⁰
Resuelve para x. Res
pues
ta
Slide 67 / 190
26 D está en el interior de ∠ ABC.
Si m∠CBA = (11x + 66)⁰,
m∠DBA = (5x + 3)⁰ y
m∠CBD= (13x + 7)⁰
Resuelve para x.
Res
pues
ta
Slide 68 / 190
27 F está en el interior de ∠DQP.
m∠DQP = (3x + 44)⁰
m∠FQP = (8x + 3)⁰
m∠DQF= (5x + 1)⁰
Resuelve para x.
Res
pues
ta
Slide 69 / 190
28 En base a la figura, ¿cuál de las afirmaciones individuales proveerían suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p?
Selecciona todas las que aplican.
A m∠2 = 90° B m∠ 6 = 90° C m∠3 = m∠6
D m∠1 + m∠6 = 90° E m∠3 + m∠4 = 90° F m∠4 + m∠5 = 90°
no está hecho a escala
r n
p
12
345
6
La figura muestra las rectas r, n, and p intersecándose para formar ángulos numerados como 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Todas las rectas están en el mismo plano.
Pregunta 2/25
From EOY PARCC sample test
Res
pues
ta
Slide 70 / 190
Transportadores
Volver a la tabla de contenidos
Slide 71 / 190
Transportadores
Los ángulos se miden en grados usando un transportador.
Cada ángulo tiene una medida que va de 0 a 180 degrees.
Se puede dibujar ángulos de cualquier tamaño.
Slide 72 / 190
A
B C
La medida del ∠ABC es 23° grados
∠ABC es un ángulo de 23° grados
Transportadores
Slide 73 / 190
B C
D
∠DBC es un ángulo de 118° .La medida del ∠DBC es 118°.
Transportadores
Slide 74 / 190
A partir de nuestros resultados anteriores sabemos que m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°.
De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice que la m∠DBA ¿debe ser cuál?
B C
D
A
Transportadores
Slide 75 / 190
A partir de nuestros resultados anteriores sabemos que m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°.
De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice que la m∠DBA ¿debe ser cuál?
B C
D
A
Transportadores
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
La pregunta de esta diapositiva direcciona a MP6 y MP2
Preguntas: adicionales que podrían usarse
¿Qué información tienes? (MP1)
¿Qué necesitas calcular? (MP1)¿Cómo puedes hacerlo
mentalmente? (MP5)¿Puedes imaginar y controlar?
(MP 1 y MP5)
Slide 75 (Answer) / 190
Sin aquellos primeros resultados, podríamos leer en el transportador el valor de 118° y 23° obtener la medida del ángulo incluido 95°.
B C
D
A
Transportadores
Slide 76 / 190
29 ¿Cuál es la m del ∠CJD?
A 39°
B 54°
C 130°
D 180°
J
D
E
F
G
HC
Res
pues
ta
Slide 77 / 190
J
D
E
F
G
HC
30 ¿Cuál es la m del ∠CJG
A 39°
B 54°
C 130°
D 180°
Res
pues
ta
Slide 78 / 190
31 ¿Cuál es la m del∠DJE?
A 141°
B 54°
C 39°
D 15°
J
D
E
F
G
HC
Res
pues
ta
Slide 79 / 190
32 ¿Cuál es la m del ∠EJG?
A 54°
B 76°
C 90°
D 130°
J
D
E
F
G
HC
Res
pues
ta
Slide 80 / 190
33 ¿Cuál es la m del ∠DJF?
A 39°
B 51°
C 90°
D 141°
J
D
E
F
G
HC
Res
pues
ta
Slide 81 / 190
J
K
LM
N
OP
34 m∠ PJK =R
espu
esta
Slide 82 / 190
35 m∠ PJM =
J
K
LM
N
OP
Res
pues
ta
Slide 83 / 190
36 m∠ PJO =
J
K
LM
N
OP
Res
pues
ta
Slide 84 / 190
37 m∠ PJL =
J
K
LM
N
OP
Res
pues
ta
Slide 85 / 190
38 m∠ PJN =
J
K
LM
N
OP
Res
pues
ta
Slide 86 / 190
39 m∠NJM =
J
K
LM
N
OP
Res
pues
ta
Slide 87 / 190
40 m∠MJL =
J
K
LM
N
OP
Res
pues
ta
Slide 88 / 190
41 m∠ LJK =
J
K
LM
N
OP
Res
pues
ta
Slide 89 / 190
42 m∠NJK =
J
K
LM
N
OP
Res
pues
ta
Slide 90 / 190
Pares Especiales de Ángulos
Volver a la tabla de contenidos
Slide 91 / 190
Ángulos Complementarios
Los ángulos complementarios son ángulos cuya suma mide 90º.
Se dice que un ángulo tal es complementario al otro.
Podrían ser adyacentes, pero no es necesario.
25o65o
25o
65oComplementarios Adyacentes
Complementarios no adyacentes
Slide 92 / 190
A
B C
D
Los ángulos adyacentes complementarios formar un ángulo recto.
El ángulo ABD y el ángulo DBC son complementarios ya que forman el ángulo ABC, que es un ángulo recto.
Ángulos Complementarios
Slide 93 / 190
43 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 72°?
Res
pues
ta
Slide 94 / 190
44 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 28°?
Res
pues
ta
Slide 95 / 190
Ejemplo
Llamamos x = ángulo pequeño; llamamos = 2x al ángulo más grande
Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande tiene dos veces la medida del ángulo
más pequeño. ¿Cuál es la medida de ambos ángulos? Res
pues
ta
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45 Un ángulo tiene 34° más que su complementario.
¿Cuál es su medida?R
espu
esta
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46 Un ángulo tiene 14° que su complementario.
¿Cuál es la medida del ángulo?
Res
pues
ta
Slide 98 / 190
Ángulos suplementarios
Los ángulos suplementarios son ángulos cuya suma mide 180º.
Los ángulos suplementarios pueden ser adyacentes, pero no necesariamente.
Se dice que un ángulo es suplementario al otro.
25o155o
Suplementarios adyacentes
también conocidos como. Par lineal
25o
155o
Suplementarios no adyacentes
Slide 99 / 190
A B C
D
Dos ángulos cualquiera que o llano son suplementarios.
O, dos ángulos adyacentes cuyos lados exteriores sean semirrectas opuestas son suplementarios.
Si el ángulo ABC es un ángulo llano, su medida es 180°.
Entonces el ángulo ABD y el ángulo DBC son suplementarios ya que la suma de sus medidas es 180°.
Ángulos suplementarios
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Ángulos complementarios vs. ángulos suplementarios
Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre ángulos suplementarios y complementarios. :- Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada palabra y el número que representan. C va antes que S en el abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera que complementario significa que sumados dan 90º y suplementarios significa que sumandos dan 180º- Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a formar el número asociado con él. .
C SAgregando una línea a la "C", formas un 9, para 90º
Agregando una línea a la "S", formas un 8, para 180º
Slide 101 / 190
Ángulos complementarios vs. ángulos suplementarios
Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre ángulos suplementarios y complementarios. :- Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada palabra y el número que representan. C va antes que S en el abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera que complementario significa que sumados dan 90º y suplementarios significa que sumandos dan 180º- Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a formar el número asociado con él. .
C SAgregando una línea a la "C", formas un 9, para 90º
Agregando una línea a la "S", formas un 8, para 180º
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica Las conecciones mostradas
representan a MP2 y MP4
Slide 101 (Answer) / 190
47 ¿Cuál es el suplementario del ángulo cuya medida es 72°?
Res
pues
ta
Slide 102 / 190
48 ¿Cuál es el suplementario de un ángulo cuya medida es 28°?
Res
pues
ta
Slide 103 / 190
49 Lo medida de un ángulo es 98° más que su suplementario.
¿Cuál es la medida del ángulo?
Res
pues
ta
Slide 104 / 190
50 La medida de un ángulo es 74° menos que su suplementario
¿Cuál es la medida del ángulo?
Res
pues
ta
Slide 105 / 190
51 La medida de un ángulo es 26° más que su suplementario.
¿Cuál es la medida del ángulo?
Res
pues
ta
Slide 106 / 190
Ángulos opuestos por el vértice (verticales)
Los ángulos verticales son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de semirrectas opuestas.
Donde sea que dos rectas se corten, se forman dos pares de ángulos verticales.
∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales y ∠ABE & ∠CBD son ángulos verticales.
A
B C
D
E
Slide 107 / 190
Ángulos verticales
C
D
∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales
∠ABE y ∠CBD son ángulos verticales.
C
D
A
E B
A
E B
Slide 108 / 190
Podemos demostrar importantes propiedades sobre esos tres casos especiales: ángulos que son complementarios, ángulos que son suplementariosy ángulos verticales.
La demostración usa dos columnas, una columna hace una afirmación y la columna siguiente provee la razón.Debajo hay una demostración con formato 2 columnas usadas para calcular el valor de x en el diagrama de la derecha.
Vamos a usar mucho las demostraciones, de manera que vamos a usar el formato como ese ejemplo para demostrar los tres teoremas.
(Ver la siguiente diapositiva.)
DA
BC
(11x + 66)⁰
(5x +
3)⁰
(13x + 7)⁰
Ángulos verticales
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DA
BC
(11x + 66)⁰
(5x +
3)⁰
(13x + 7)⁰
Afirmaciones Razones 1) m∠ABD = (5x + 3)° m∠DBC = (13x + 7)° m∠ABC = (11x + 66)°
1) Dadas
2) m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC
2) Postulado Suma de Ángulos
3) 5x + 3 + 13x + 7 = 11x + 66
3) Sustitución Propiedad de igualdad
4) 18x + 10 = 11x + 66 4) Combinar términos semejantes/Simplificar
5) 7x + 10 = 66 5) Resta Propiedad de igualdad
6) 7x = 56 6) Resta Propiedad de igualdad
7) x = 8 7) División Propiedad de igualdad
Demostración de Ángulos verticales
Slide 110 / 190
Demostraciones
Ángulos especiales
Volver a la tabla de contenidos
Slide 111 / 190
Demostraciones de dos columnas
Las demostraciones comienzan con un objetivo: aquello que estamos intentando demostrar.
No son exploraciones abiertas-cerradas, pero están directamente dirigidas a un fin específico.
Conocemos la última afirmación de cada prueba cuando comenzamos esto es lo que estamos intentando probar.
No conocemos la razón por anticipado.
Slide 112 / 190
Teorema de los Complementos Congruentes
Teorema: Los ángulos que son complementarios al mismo ángulo son iguales.
Dados: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios
Demostración: m∠2 = m∠3
Slide 113 / 190
Teorema de los Complementos Congruentes
Teorema: Los ángulos complementarios al mismo ángulo son iguales.
Afirmación 1 Los ángulos 1 y 2 son complementariosLos ángulos 1 y 3 son complementarios
¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos complementarios?
Razón 1Dado
Slide 114 / 190
Teorema de los Complementos Congruentes
Teorema: Los ángulos complementarios al mismo ángulo son iguales.
Afirmación 1 Los ángulos 1 y 2 son complementariosLos ángulos 1 y 3 son complementarios
¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos complementarios?
Razón 1Dado
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP7Deje claro que el primer paso para cualquier demostración
es establecer lo "Dado". Luego, se usan las
propiedades de la primera afirmación para hacer
preguntas y continuar para resolver la prueba.
La pregunta en esta diapositiva direcciona a MP6
Slide 114 (Answer) / 190
Teorema de los Complementos Congruentes
Razón 2Definición de ángulos complementarios
Afirmación 2 m∠1 + m∠2 = 90m∠1 + m∠3 = 90
Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.
Slide 115 / 190
Teorema de los Complementos Congruentes
Razón 2Definición de ángulos complementarios
Afirmación 2 m∠1 + m∠2 = 90m∠1 + m∠3 = 90
Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica Las preguntas en esta
diapositiva direccionan a MP2, MP3 y MP6.
Slide 115 (Answer) / 190
Razón 3Sustitución propiedad de igualdad
Afirmación 3m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3
¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la ecuación? ¿Por qué es posible?
Teorema de los Complementos Congruentes
Slide 116 / 190
Razón 3Sustitución propiedad de igualdad
Afirmación 3m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3
¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la ecuación? ¿Por qué es posible?
Teorema de los Complementos Congruentes
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica Las preguntas en esta
diapositiva direccionan a MP2, MP3 y MP6.
Slide 116 (Answer) / 190
Razón 4Resta propiedad de igualdad
Afirmación 4 m∠2 = m∠3
¿Qué podemos hacer establecer la demostración?
Teorema de los Complementos Congruentes
Slide 117 / 190
Afirmación Razón
Los ángulos 1 y 2 son complementariosLos ángulos 1 y 3 son complementarios
Dado
m∠ 1 + m∠ 2 = 90m∠ 1 + m∠ 3 = 90
Definición de ángulos complementarios
m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3 Sustitución Propiedad de igualdad
m∠ 2 = m∠ 3 Resta propiedad de igualdad
Teorema de los Complementos CongruentesDado: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios
Prueba: m∠2 = m∠3
Slide 118 / 190
Teorema de los suplementarios congruentes
Teorema: Los ángulos que son suplementarios al mismo ángulo son iguales
Dado: Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios
Demostración: m∠2 = m∠3
Esta es por tanto la última prueba que vamos a hacer a partir de la que examinaremos la prueba total.
Slide 119 / 190
Afirmación Razón
Los ángulos 1 y 2 son suplementariosLos ángulos 1 y 3 son suplementarios
Dadps
m∠ 1 + m∠ 2 = 180m∠ 1 + m∠ 3 = 180
Definición de ángulos suplementarios
m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3 Sustitución propiedad de igualdad
m∠ 2 = m∠ 3 Resta propiedad de igualdad
Dado: Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios
Demostración: m∠2 = m∠3
Teorema de los suplementarios congruentes
Slide 120 / 190
Teorema de los ángulos verticales
Los ángulos verticales tienen igual medida
Dado: recta AD y recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4. Probar: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4
2134
A
B C
D
E
Slide 121 / 190
Teorema de los ángulos verticales
La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual hace a esta situación única.
En este caso, es sólo lo dado
2134
A
B C
D
E
Slide 122 / 190
Teorema de los ángulos verticales
La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual hace a esta situación única.
En este caso, es sólo lo dado
2134
A
B C
D
E
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
MP7Deje claro que el primer paso para cualquier demostración
es establecer lo "Dado". Luego, se usan las
propiedades de la primera afirmación para hacer
preguntas y continuar para resolver la prueba.
Slide 122 (Answer) / 190
Teorema de los ángulos verticales
Afirmación 1 La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4
Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también
∠ 2 y ∠ 4¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda
ayudarnos con ellos?
Razón 1Dado
2134
A
B C
D
E
Slide 123 / 190
Teorema de los ángulos verticales
Afirmación 1 La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4
Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también
∠ 2 y ∠ 4¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda
ayudarnos con ellos?
Razón 1Dado
2134
A
B C
D
E
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica La pregunta sobre esta
diapositiva direcciona a MP1.
Slide 123 (Answer) / 190
52 Sabemos que los ángulos _____________.
A ∠1 y ∠4 son suplementariosB ∠1 y ∠2 son suplementariosC ∠2 y ∠3 son suplementariosD ∠3 y ∠4 son suplementariosE Todos los de arriba
2134
A
B C
D
E
Res
pues
ta
Slide 124 / 190
Teorema de los ángulos verticales
Razón 2
Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios∠2 y ∠3 son suplementarios∠3 y ∠4 son suplementarios
¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios de ∠1?
2134
A
B C
D
E
Slide 125 / 190
Teorema de los ángulos verticales
Razón 2
Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios∠2 y ∠3 son suplementarios∠3 y ∠4 son suplementarios
¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios de ∠1?
2134
A
B C
D
E
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
La pregunta de esta diapositiva direcciona a MP7.
Slide 125 (Answer) / 190
Teorema de los ángulos verticales
Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos suplementarios a ∠1 y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona a los ángulos verticales que son de nuestro interés.
2134
A
B C
D
E
Razón 2
Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios∠2 y ∠3 son suplementarios∠3 y ∠4 son suplementarios
Slide 126 / 190
Teorema de los ángulos verticales
Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos suplementarios a ∠1 y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona a los ángulos verticales que son de nuestro interés.
2134
A
B C
D
E
Razón 2
Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios∠2 y ∠3 son suplementarios∠3 y ∠4 son suplementarios
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
El comentario en la parte inferior de esta diapositiva
direcciona a MP7.
Slide 126 (Answer) / 190
Teorema de los ángulos verticales
Razón 3
Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales
Pero aquellos son los pares de ángulos verticales que nos disponemos a probar que son iguales.
De manera que, nuestra prueba terminó: los ángulos verticales son iguales.
Afirmación 3
m∠1 = m∠3m∠2 = m∠4
2134
A
B C
D
E
Slide 127 / 190
Afirmación Razón
La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4.
Dado
∠ 1 y ∠ 2 son suplementarios∠ 1 y ∠ 4 son suplementarios∠ 2 y ∠ 3 son suplementarios∠ 3 y ∠ 4 son suplementarios
Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
m∠ 1 = m∠ 3 y m∠ 2 = m∠ 4 Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales
Teorema de los ángulos verticalesDado: AD y EC son ángulos horizontales que se cortan en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4
Prueba: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4
2134
A
B C
D
E
Slide 128 / 190
Teorema de los ángulos verticales
Hemos demostrado que los ángulos verticales son congruentes.
Esto se convierte en un teorema que podemos usar en pruebas futuras.
También podemos resolver problemas con él.
Slide 129 / 190
Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z.
Ángulos verticales
C
A
B
D
E55o
yo zo
xo
Slide 130 / 190
Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z.
Ángulos verticales
C
A
B
D
E55o
yo zo
xo
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
Este ejemplo direcciona a MP2
Preguntas adicionales que podrían usarse:
¿Qué información se te está dando? (MP1
¿Qué necesitas calcular? (MP1)¿Qué conecciones ves? (MP4)
¿Cómo puedes hacer eso mentalmente? (MP5)
¿Cómo se relaciona esta pregunta con los ángulos suplemetarios?
(MP7)
Slide 130 (Answer) / 190
Dado: m∠ABC = 55°
Ángulos verticales
Sabemos que x + 55 = 180°, ya que son suplementariosY que y = 55°, ya que son ángulos verticales.y que x = z por la misma razón.
C
A
B
D
E55o
55o 125o
125o
Slide 131 / 190
Ejemplo
Calcula m∠1, m∠2 y m∠3. Explica tu respuesta
m∠2 = 36°; Los ángulos verticales son congruentes (ángulo original y m∠2)m∠3 = 144°; Los ángulos verticales son congruentes (m∠1 y m∠3)
36 + m∠1 = 180m∠1 = 144°Los pares de ángulos lineales son suplementarios
36o 123
Slide 132 / 190
53 ¿Cuánto mide el ángulo 1?
A 77°B 103°C 113°D ninguno de los de
arriba77°1
2 3
Res
pues
ta
Slide 133 / 190
54 ¿Cuánto mide el ángulo 2?
A 77°B 103°C 113°D ninguno de los de
arriba77°1
2 3
Res
pues
ta
Slide 134 / 190
55 ¿Cuánto mide el ángulo 3?
A 77°B 103°C 113°D ninguno de los de
arriba 77°12 3
Res
pues
ta
Slide 135 / 190
56 ¿Cuánto mide el ángulo 4?
A 112°B 78°C 102°D ninguno de los de
arriba
112°46 5
Res
pues
ta
D) medida del ángulo 4 = 68o
B
Slide 136 / 190
57 ¿Cuánto mide el ángulo 5?
A 112°B 68°C 102°D ninguno de los de
arriba
112°46 5
Res
pues
ta
Slide 137 / 190
58 ¿Cuál es la m∠6?
A 102°B 78°C 112°D ninguno de los de
arriba
112°46 5
Res
pues
ta
Slide 138 / 190
Ejemplo
Calcula el valor de x Los ángulos mostrados son verticales de manera que son congruentes.
(13x + 16)°
(14x + 7)°
Res
pues
ta
Slide 139 / 190
Ejemplo
Calcula el valor de x. Los ángulos mostrados son suplementarios
(3x + 17)°(2x + 8)° Res
pues
ta
Slide 140 / 190
59 Calcula el valor de x
A 95B 50C 45D 40
(2x - 5)o85o
Res
pues
ta
Slide 141 / 190
60 Calcula el valor de x
A 75B 17C 13D 12
(6x + 3)o
75o
Res
pues
ta
Slide 142 / 190
61 Calcula el valor de x.
A 13.1B 14C 15D 122
(9x - 4)o
122o
Res
pues
ta
Slide 143 / 190
62 Calculal el valor de x.
A 12B 13C 42D 138
(7x + 54)o 42o
Res
pues
ta
Slide 144 / 190
Bisectrices
Volver a la tabla de contenidos
Slide 145 / 190
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es una semirrecta o recta que comienza en el vértice y corta a un ángulo en dos mitades iguales
Bisectar significa cortar en dos partes iguales. La "bisectriz" es la cosa que corta.
La bisectriz de un ángulo es equidistante desde los lados del ángulo medido a lo largo de un segmento perpendicular a los lados del
ángulo.
A
B C
X
La semirrecta BX bisecta al ∠ABC
Slide 146 / 190
A
B C
D
52°
Calculando la medida que falta
Ejemplo: el ∠ABC es bisectado por la semirrecta BD. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.
Res
pues
ta
Slide 147 / 190
63 El ∠ EFG es bisectado por FH. La m∠ EFG = 56º. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.
H
F G
E
56o Res
pues
ta
Slide 148 / 190
64 MO bisecta a ∠LMN. Calcula el valor de x.
L
M
N
(3x - 20)o
(x + 10)o
O
Res
pues
ta
Slide 149 / 190
65 La semirrecta NP bisecta a ∠MNO Dado que m∠MNP = 57°, ¿cuál es la m∠MNO?
Pista:
¿Qué significa bisectar?Dibuja y coloca nombres a la imagen
click para revelar R
espu
esta
Slide 150 / 190
66 La semirrecta RT bisecta a ∠QRS. Dado que m∠QRT = 78°, ¿cuál es la m∠QRS?
Res
pues
ta
Slide 151 / 190
67 La semirrecta VY bisecta a ∠UVW. Dado que m∠UVW = 165o, ¿cuál es la m∠UVY?
Res
pues
ta
Slide 152 / 190
D
B
A
(11x - 25)o
(7x + 3)o
C
68 La semirrecta BD bisecta a ∠ABC. Calcula el valor de x.
Res
pues
ta
Slide 153 / 190
H
F
E
(3x + 49)o
(9x - 17)o
G
69 La semirrecta FH bisecta a ∠EFG. Calcula el valor de x.
Res
pues
ta
Slide 154 / 190
I
J
L
(12x - 19)o
(7x + 1)o
K
70 La semirrecta JL bisecta a ∠IJK. Calcula el valor de x.
Res
pues
ta
Slide 155 / 190
Locusy
Constructiones de ángulos
Volver a la tabla de contenidos
Slide 156 / 190
Locusy
Constructiones de ángulos
Volver a la tabla de contenidos
[This object is a pull tab]
Prác
tica
de
mat
emát
ica
La lección entera con construcciones direcciona a
MP5
Slide 156 (Answer) / 190
Nuestro enfoque estará basado en la idea que la medida de un ángulo es cuánto habríamos rotado una semirrecta para superponerla con la otra.
Cuanto más grande la medida de un ángulo, más separadas ellas están a medida que las mueves desde el vértice.
Dado: ∠FGHConstruye: ∠ABC de modo que ∠ABC ≅ ∠FGH
F
GH
Construcción de ángulos congruentes
Slide 157 / 190
De modo que, si salimos una distancia fijada desde el vértice sobre ambas semirrectas y dibujamos puntos ahí, la distancia en que aquellos puntos se apartan uno del otro define la medida del ángulo.
A mayor distancia, mayor la medida del ángulo.
Si construimos otro ángulo cuyas semirrectas están separadas a la misma distancia desde el vértice, este será congruente al primer ángulo.
F
GH
Construcción de ángulos congruentes
Slide 158 / 190
1. Dibuja una recta de referencia con el lado horizontal. Ubica un punto de referencia (B) para indicar donde la nueva semirreca comenzará sobre la recta.
F
GH B
Construcción de ángulos congruentes
Slide 159 / 190
2. Ubica la punta del compás sobre el vértice G y ábrelo para cualquier longitud siempre y cuando el arco trazado corte ambas semirrectas.
3. Dibuja un arco que corte ambas semirrectas del ∠FGH.
(Esto define una distancia común desde el vértice en ambas semirrectas ya que el arco es parte de un círculo y todos sus puntos son equidistantes desde el centro del círculo)
F
G H B
Construcción de ángulos congruentes
Slide 160 / 190
Construcción de ángulos congruentes
4. Sin cambiar la extensión del compás, ubica la punta del compás en el punto de referencia B y mueve un arco de vaya desde la recta y por encima de él.
(Esto define igual distancia desde el vértice sobre ambas, nuestra semirrecta de referencia y la semirrecta que usábamos para el ángulo original).
F
G H B
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5. Ahora ubicaremos nuestro compás donde el arco corta una semirrecta del ángulo original y lo fijaremos de modo que se pueda dibujar un arco donde se cruza con la otra semirrecta. (Esto define cuán apartadas están las semirrectas a esa distancia desde el vértice)
Construcción de ángulos congruentes
F
G H B
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6. Sin cambiar la apertura del compás ubica la punta del compás donde el primer arco cruza a la primera semirrecta y dibuja un arco que corta al arco sobre la semirrecta.
(Esto hará la separación entre las seirrectas igual a la misma distancia desde el nuevo vérticce coo era el caso para el ángulo original)
Construcción de ángulos congruentes
F
G H B
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6. Ahora usa tu lado horizontal para dibujar la segunda semirrecta del nuevo ángulo que es congruente con el primer ángulo.
Construcción de ángulos congruentes
F
G H
A
CB
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Debería estar claro que esos dos ángulos son congruentes. La semirrecta FG tendría que ser rotada la misma cantidad para superponerse con la semirrecta GH que la semirrecta AB para superponerse con la semirrecta BC.
Observa que donde ubicamos el punto no es relevante, sólo la forma del ángulo indica congruencia.
Construcción de ángulos congruentes
F
G H
A
CB
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Construcción de ángulos congruentes
A
CB
F
G H
Podemos confirmar poniendo un sobre el otro.
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Intenta ésto!
Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado.
1)
A
B
P Q
R
Not
as p
ara
el
prof
esor
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EC
L
KJ
Intenta ésto!
Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado.
2)
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Video demostrativo de construcción de ángulos congruentes usando el Software
de Geometría dinámica
Click aquí para ver el video
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Bisectrices y Construcciones
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Bisectrices y Construcciones
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Prác
tica
de
mat
emát
ica
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Construcción de bisectricesComo aprendimos anteriormente, una bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos adyacentes de igual medida.
Para dibujar una bisectriz usaremos un enfoque similar al que usamos para construir un ángulo congruente, ya que, en este caso, estaremos construyendo dos ángulos congruentes.
U
VW
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Construcción de bisectrices
1. Con la punta del compás sobre el vértice, dibuja un arco que corte ambas semirrectas.
(Esto establecerá una distancia fijada desde el vértice en ambas semirrectas).
U
VW
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Construcción de bisectrices
U
VW
2. Sin cambiar la apertura del compás, ubica la punta del comàs sobre la intersección de cada arco y la semirrecta y dibuja un nuevo arco de tal manera que los dos arcos se corten en el interior del ángulo.
(Esto fija la distancia desde cada semirrecta original al la nueva
semirrecta para ser la misma, de manera que los dos nuevos ángulos
serán congruentes)
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U
VW
X
Construcción de bisectrices3. Con una regla, dibuja una semirrecta desde el vértice y pasando por la intersección de los arcos y coloca el nombre a un punto allí.
Porque sabemos que la distancia de cada semirrecta original a la nueva semirrecta es la misma, en la misma distancia desde el vértice, sabemos que las medidas de los nuevos ángulos es la misma y que m∠UVX = m∠XVW
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Intenta ésto!
Bisecta el ángulo
3)
Not
as p
ara
el
prof
esor
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Intenta ésto!
Bisecta el ángulo
4)
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Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla
Todo lo que hacemos con un compás puede ser hecho con una varilla y una cuerda. En ambos casos, la idea es marcar un centro (o la punta del compás o la varilla) y luego dibujar una parte de un círculo manteniendo un radio fijo (con la apertura del compás o la longitud de la cuerda fijos).
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1. Con la varilla sobre el vértice, dibujamos un arco cruzando a cada lado.
V
U
W
Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla
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V
U
W
2. Ubicamos la varilla sobre la intersecciones de cada arco con los lados y dibujamos 2 arcos, uno desde cada lado de manera que quede un punto de intersección entre ellos.
Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla
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V
U
W
X
3. Con una regla, conectamos el vértice con la intersección de los arcos. Nombra ese punto.
m∠UVX = m∠XVW
Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla
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Intenta ésto!
Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla. 5)
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Intenta ésto!
Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla.
6)
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Construcción de bisectrices mediante plegado
1. Sobre tu papel de calcar, traza cualquier ángulo que elijas. Hazlo tan grande como el papel. Marca los puntos A, B y C.
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2. Pliega tu papel de calcar de manera que la semirrecta BA quede alineada. Se forma un pliegue.
Construcción de bisectrices mediante plegado
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3. Despliega el papel. Dibuja una semirrecta a lo largo del pliegue, comenzando desde el punto B. Dibuja y coloca nombre a un punto sobre la semirrecta.
Construcción de bisectrices mediante plegado
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Intenta ésto!
Bisecta el ángulo mediante plegado. 7)
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Intenta ésto!
Bisecta el ángulo mediante plegado. 8)
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Videos demostrativos para la construcción de bisectrices usando
Software de Geometría
Click aquí para ver video usando compás y la
herramienta segmento
Click aquí para ver video usando el menú opciones
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Preguntas de muestra para la prueba. PARCC
La diapositiva restantes de esta presentación contiene una pregunta tomada de la prueba de muestra PARCC. Después de terminar la unidad 2, deberías ser capaz de responder esta pregunta.
Buena suerte!
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71 En base a la figura, ¿Cuál de las afirmaciones proveería suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p? Selecciona todas las que aplican.
A m∠2 = 90°
B m∠ 6 = 90°
C m∠3 = m∠6
D m∠1 + m∠6 = 90°
E m∠3 + m∠4 = 90°
F m∠4 + m∠5 = 90°
no está hechoa escala
r n
p
12
345
6
La figura muestra la intersección de las rectas r, n, y p que forman los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Las tres rectas están en el mismo plano.
Pregunta 2/25
Res
pues
ta
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