geomeetriast einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt...

99
Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasi Manuel Hohmann Teoreetilise Füüsika Labor Füüsika Instituut Tartu Ülikool 1. september 2015 Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 1 / 40

Upload: lamdieu

Post on 15-Feb-2019

216 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteoorianija sealt edasi

Manuel Hohmann

Teoreetilise Füüsika LaborFüüsika Instituut

Tartu Ülikool

1. september 2015

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 1 / 40

Page 2: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 2 / 40

Page 3: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 3 / 40

Page 4: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

(Pseudo-)Riemanni geomeetria

Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M.

Riemanni meetrika gµν :gµνxµyν = ‖x‖‖y‖cosα.

Vektorid xµ, yν .

Pikkused ‖x‖, ‖y‖.

Nurk α.

yνα

Levi-Civita seostus Γµνρ =12gµσ(∂νgρσ + ∂ρgνσ − ∂σgνρ).

Kovariantne tuletis ∇µ.

Rööpülekanne: 0 = ∇µxν .

γ

xµRiemanni kõverustensor:Rµ

νρσ = ∂ρΓµνσ − ∂σΓµνρ + ΓµωρΓωνσ − ΓµωσΓωνρ.Ricci tensor: Rµν = Rρ

µρν .Ricci skalaar: R = gµνRµν .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 4 / 40

Page 5: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

(Pseudo-)Riemanni geomeetria

Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M.

Riemanni meetrika gµν :gµνxµyν = ‖x‖‖y‖cosα.

Vektorid xµ, yν .

Pikkused ‖x‖, ‖y‖.

Nurk α.

yνα

Levi-Civita seostus Γµνρ =12gµσ(∂νgρσ + ∂ρgνσ − ∂σgνρ).

Kovariantne tuletis ∇µ.

Rööpülekanne: 0 = ∇µxν .

γ

xµRiemanni kõverustensor:Rµ

νρσ = ∂ρΓµνσ − ∂σΓµνρ + ΓµωρΓωνσ − ΓµωσΓωνρ.Ricci tensor: Rµν = Rρ

µρν .Ricci skalaar: R = gµνRµν .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 4 / 40

Page 6: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

(Pseudo-)Riemanni geomeetria

Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M.

Riemanni meetrika gµν :gµνxµyν = ‖x‖‖y‖cosα.

Vektorid xµ, yν .

Pikkused ‖x‖, ‖y‖.

Nurk α.

yνα

Levi-Civita seostus Γµνρ =12gµσ(∂νgρσ + ∂ρgνσ − ∂σgνρ).

Kovariantne tuletis ∇µ.

Rööpülekanne: 0 = ∇µxν .

γ

Riemanni kõverustensor:Rµ

νρσ = ∂ρΓµνσ − ∂σΓµνρ + ΓµωρΓωνσ − ΓµωσΓωνρ.Ricci tensor: Rµν = Rρ

µρν .Ricci skalaar: R = gµνRµν .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 4 / 40

Page 7: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

(Pseudo-)Riemanni geomeetria

Aegruum: 4-mõõtmeline muutkond M.

Riemanni meetrika gµν :gµνxµyν = ‖x‖‖y‖cosα.

Vektorid xµ, yν .

Pikkused ‖x‖, ‖y‖.

Nurk α.

yνα

Levi-Civita seostus Γµνρ =12gµσ(∂νgρσ + ∂ρgνσ − ∂σgνρ).

Kovariantne tuletis ∇µ.

Rööpülekanne: 0 = ∇µxν .

γ

xµRiemanni kõverustensor:Rµ

νρσ = ∂ρΓµνσ − ∂σΓµνρ + ΓµωρΓωνσ − ΓµωσΓωνρ.Ricci tensor: Rµν = Rρ

µρν .Ricci skalaar: R = gµνRµν .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 4 / 40

Page 8: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Einsteini üldrelatiivsusteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika gµν .

Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist:

SG =12

∫ √−det gR .

Mateeria mõjufunktsionaal:

SM =

∫ √−det gLM .

⇒ Väljavõrrandid: Einsteini võrrandid

Gµν = Tµν .

Einsteini tensor Gµν = Rµν − 12 Rgµν ⇔ geomeetria.

Energia-impulsi tensor Tµν ⇔ mateeria.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 5 / 40

Page 9: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Einsteini üldrelatiivsusteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika gµν .Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist:

SG =12

∫ √−det gR .

Mateeria mõjufunktsionaal:

SM =

∫ √−det gLM .

⇒ Väljavõrrandid: Einsteini võrrandid

Gµν = Tµν .

Einsteini tensor Gµν = Rµν − 12 Rgµν ⇔ geomeetria.

Energia-impulsi tensor Tµν ⇔ mateeria.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 5 / 40

Page 10: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Einsteini üldrelatiivsusteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika gµν .Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist:

SG =12

∫ √−det gR .

Mateeria mõjufunktsionaal:

SM =

∫ √−det gLM .

⇒ Väljavõrrandid: Einsteini võrrandid

Gµν = Tµν .

Einsteini tensor Gµν = Rµν − 12 Rgµν ⇔ geomeetria.

Energia-impulsi tensor Tµν ⇔ mateeria.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 5 / 40

Page 11: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Einsteini üldrelatiivsusteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: meetrika gµν .Dünaamika Einstein-Hilberti mõjufunktsionaalist:

SG =12

∫ √−det gR .

Mateeria mõjufunktsionaal:

SM =

∫ √−det gLM .

⇒ Väljavõrrandid: Einsteini võrrandid

Gµν = Tµν .

Einsteini tensor Gµν = Rµν − 12 Rgµν ⇔ geomeetria.

Energia-impulsi tensor Tµν ⇔ mateeria.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 5 / 40

Page 12: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ainepunkti trajektoorid

Ainepunkti trajektoor γ : λ 7→ γ(λ) ∈ M.Omaaeg: aeg τ , mida liikuv kell näitab:

τ(λ2)− τ(λ1) =

∫ λ2

λ1

√−gµν

dγµ

dλdγν

dλdλ .

Ainepunkti mõjufunktsionaal: S[γ] ∼ τ .⇒ Liikumisvõrrandid:

γµ + Γµνργν γρ = 0 .

⇔ Trajektoori puutujavektor on rööpülekantud:

γµ∇µγν = 0 .

⇒ Trajektoor on geodeetiline joon.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 6 / 40

Page 13: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ainepunkti trajektoorid

Ainepunkti trajektoor γ : λ 7→ γ(λ) ∈ M.Omaaeg: aeg τ , mida liikuv kell näitab:

τ(λ2)− τ(λ1) =

∫ λ2

λ1

√−gµν

dγµ

dλdγν

dλdλ .

Ainepunkti mõjufunktsionaal: S[γ] ∼ τ .

⇒ Liikumisvõrrandid:γµ + Γµνργ

ν γρ = 0 .

⇔ Trajektoori puutujavektor on rööpülekantud:

γµ∇µγν = 0 .

⇒ Trajektoor on geodeetiline joon.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 6 / 40

Page 14: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ainepunkti trajektoorid

Ainepunkti trajektoor γ : λ 7→ γ(λ) ∈ M.Omaaeg: aeg τ , mida liikuv kell näitab:

τ(λ2)− τ(λ1) =

∫ λ2

λ1

√−gµν

dγµ

dλdγν

dλdλ .

Ainepunkti mõjufunktsionaal: S[γ] ∼ τ .⇒ Liikumisvõrrandid:

γµ + Γµνργν γρ = 0 .

⇔ Trajektoori puutujavektor on rööpülekantud:

γµ∇µγν = 0 .

⇒ Trajektoor on geodeetiline joon.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 6 / 40

Page 15: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 7 / 40

Page 16: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vaatlused universumi struktuuridest

Galaktikateparved:Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas.Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Galaktikate pöördumine:Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad.Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. E

Gravitatsiooniläätsed:Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale.Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Struktuuritekke:Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved.Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. E

⇒ Universumis on (näiliselt) rohkem ainet kui me näeme. EAine pole nähtav - seda nimetame tumeaineks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Page 17: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vaatlused universumi struktuuridest

Galaktikateparved:Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas.Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Galaktikate pöördumine:Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad.Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. E

Gravitatsiooniläätsed:Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale.Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Struktuuritekke:Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved.Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. E

⇒ Universumis on (näiliselt) rohkem ainet kui me näeme. EAine pole nähtav - seda nimetame tumeaineks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Page 18: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vaatlused universumi struktuuridest

Galaktikateparved:Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas.Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Galaktikate pöördumine:Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad.Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. E

Gravitatsiooniläätsed:Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale.Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Struktuuritekke:Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved.Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. E

⇒ Universumis on (näiliselt) rohkem ainet kui me näeme. EAine pole nähtav - seda nimetame tumeaineks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Page 19: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vaatlused universumi struktuuridest

Galaktikateparved:Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas.Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Galaktikate pöördumine:Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad.Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. E

Gravitatsiooniläätsed:Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale.Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Struktuuritekke:Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved.Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. E

⇒ Universumis on (näiliselt) rohkem ainet kui me näeme. EAine pole nähtav - seda nimetame tumeaineks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Page 20: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vaatlused universumi struktuuridest

Galaktikateparved:Galaktikad parvedes liiguvad teiste gravitatsiooniväljas.Galaktikate kiirused on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Galaktikate pöördumine:Punanihke mõõtmised näitavad, et galaktikad pöörduvad.Galaktikate pöördumine on kiirem, kui nähtav mass selgitab. E

Gravitatsiooniläätsed:Galaktikateparvede gravitatsioon kaldub valgust kõrvale.Kõrvalekaldenurgad on suuremad, kui nähtav mass selgitab. E

Struktuuritekke:Universumis on suured struktuurid - galaktikad, galaktikateparved.Nähtav aine oli noores universumis liiga kuum. E

⇒ Universumis on (näiliselt) rohkem ainet kui me näeme. EAine pole nähtav - seda nimetame tumeaineks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 8 / 40

Page 21: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kosmoloogiline sümmeetria

Invariantsus pöördumiste ja nihkete all.Invariantne meetrika: Roberson-Walkeri meetrika

gµνdxµdxν = −dt2 + a2(t)γijdx idx j .

Mastaabikordaja a(t).Ruumiline meetrika γij konstantse kõverusega k ∈ −1,0,1.Ruumiline Riemanni tensor R(γ)ijkl = 2kγi[kγl]j .

Mateeria: ideaalne vedelik

Tµν = (ρ+ p)uµuν + pgµν .

Normeeritud 4-kiirus uµ: gµνuµuν = −1.Tihedus ρ.Rõhk p.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 9 / 40

Page 22: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kosmoloogiline sümmeetria

Invariantsus pöördumiste ja nihkete all.Invariantne meetrika: Roberson-Walkeri meetrika

gµνdxµdxν = −dt2 + a2(t)γijdx idx j .

Mastaabikordaja a(t).Ruumiline meetrika γij konstantse kõverusega k ∈ −1,0,1.Ruumiline Riemanni tensor R(γ)ijkl = 2kγi[kγl]j .

Mateeria: ideaalne vedelik

Tµν = (ρ+ p)uµuν + pgµν .

Normeeritud 4-kiirus uµ: gµνuµuν = −1.Tihedus ρ.Rõhk p.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 9 / 40

Page 23: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kosmoloogiline dünaamika

Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika.⇒ Friedmanni võrrandid:

ρ = 3(

a2

a2 +ka2

),

p = −(

2aa

+a2

a2 +ka2

).

Kiirendus:aa

= −16

(ρ+ 3p) .

Mateeria tüübid ja nende omadused:Tolm: ρ > 0, p = 0.Kiirgus: ρ > 0, p = ρ

3 .

⇒ Universum ei saa staatiline olla - paisumine aeglustub, a < 0.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 10 / 40

Page 24: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kosmoloogiline dünaamika

Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika.⇒ Friedmanni võrrandid:

ρ = 3(

a2

a2 +ka2

),

p = −(

2aa

+a2

a2 +ka2

).

Kiirendus:aa

= −16

(ρ+ 3p) .

Mateeria tüübid ja nende omadused:Tolm: ρ > 0, p = 0.Kiirgus: ρ > 0, p = ρ

3 .

⇒ Universum ei saa staatiline olla - paisumine aeglustub, a < 0.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 10 / 40

Page 25: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kosmoloogiline dünaamika

Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika.⇒ Friedmanni võrrandid:

ρ = 3(

a2

a2 +ka2

),

p = −(

2aa

+a2

a2 +ka2

).

Kiirendus:aa

= −16

(ρ+ 3p) .

Mateeria tüübid ja nende omadused:Tolm: ρ > 0, p = 0.Kiirgus: ρ > 0, p = ρ

3 .

⇒ Universum ei saa staatiline olla - paisumine aeglustub, a < 0.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 10 / 40

Page 26: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kosmoloogiline dünaamika

Einsteini võrrandid & Roberson-Walkeri meetrika.⇒ Friedmanni võrrandid:

ρ = 3(

a2

a2 +ka2

),

p = −(

2aa

+a2

a2 +ka2

).

Kiirendus:aa

= −16

(ρ+ 3p) .

Mateeria tüübid ja nende omadused:Tolm: ρ > 0, p = 0.Kiirgus: ρ > 0, p = ρ

3 .

⇒ Universum ei saa staatiline olla - paisumine aeglustub, a < 0.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 10 / 40

Page 27: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Universumi paisumine

Universum paisub. X[Hubble ’29]

Paisumise kiirendus on positiivne!Universumi paisumine ei aeglustu, vaid kiireneb! EMe ei tea põhjust - aga ikkagi nimetame seda tumeenergiaks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 11 / 40

Page 28: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Universumi paisumine

Universum paisub. X[Hubble ’29]

Paisumise kiirendus on positiivne!Universumi paisumine ei aeglustu, vaid kiireneb! EMe ei tea põhjust - aga ikkagi nimetame seda tumeenergiaks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 11 / 40

Page 29: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 12 / 40

Page 30: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 13 / 40

Page 31: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Skalaar-tensori teooria põhimõisted

Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika gµν ja skalaarväli φ.

Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: SG[gµν , φ].Väljavõrrandite struktuur:

Meetrika võrrand:Gµν = Tµν .

Skalaarvälja võrrand:E = Tµ

µ .

Liikmed Gµν ja E sõltuvad meetrikast ja skalaarväljast.Skalaarvälja allikas on energia-impulsi tensori jälg.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 14 / 40

Page 32: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Skalaar-tensori teooria põhimõisted

Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika gµν ja skalaarväli φ.Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: SG[gµν , φ].

Väljavõrrandite struktuur:Meetrika võrrand:

Gµν = Tµν .

Skalaarvälja võrrand:E = Tµ

µ .

Liikmed Gµν ja E sõltuvad meetrikast ja skalaarväljast.Skalaarvälja allikas on energia-impulsi tensori jälg.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 14 / 40

Page 33: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Skalaar-tensori teooria põhimõisted

Dünaamilised gravitatsiooniväljad: meetrika gµν ja skalaarväli φ.Gravitatsiooni mõjufunktsionaal: SG[gµν , φ].Väljavõrrandite struktuur:

Meetrika võrrand:Gµν = Tµν .

Skalaarvälja võrrand:E = Tµ

µ .

Liikmed Gµν ja E sõltuvad meetrikast ja skalaarväljast.Skalaarvälja allikas on energia-impulsi tensori jälg.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 14 / 40

Page 34: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Jordan-Brans-Dicke ja seotud teooriad

Mõjufunktsionaali struktuur:

S =1

2κ2

∫d4x

√−det g

A(φ)R − B(φ)gµν∇µφ∇νφ−

2`2V(φ)

+ Sm

[e2α(φ)gµν , χ

].

Vabad funktsioonid A,B,V, α skalaarväljast.

Mõjufunktsionaal on invariantne teisenduste all: [Järv, Kuusk, Saal, Vilson ’14]

gµν = e2γ(φ)gµν , φ = f (φ) .

Kokkusobivus vaatlustega sõltub ainult invariantidest Ii .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 15 / 40

Page 35: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Jordan-Brans-Dicke ja seotud teooriad

Mõjufunktsionaali struktuur:

S =1

2κ2

∫d4x

√−det g

A(φ)R − B(φ)gµν∇µφ∇νφ−

2`2V(φ)

+ Sm

[e2α(φ)gµν , χ

].

Vabad funktsioonid A,B,V, α skalaarväljast.Mõjufunktsionaal on invariantne teisenduste all: [Järv, Kuusk, Saal, Vilson ’14]

gµν = e2γ(φ)gµν , φ = f (φ) .

Kokkusobivus vaatlustega sõltub ainult invariantidest Ii .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 15 / 40

Page 36: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Horndeski gravitatsiooniteooria

Mõjufunktsionaali struktuur:

SG =5∑

i=2

∫d4x

√−det gLi [gµν , φ]

Liikmed mõjufunktsionaalis (X = −∂µφ∂µφ/2):

L2 = K (φ,X ) ,

L3 = −G3(φ,X )φ ,

L4 = G4(φ,X )R + G4X (φ,X )[(φ)2 − (∇µ∇νφ)2

],

L5 = G5(φ,X )Gµν∇µ∇νφ

− 16

G5X (φ,X )[(φ)3 − 3(φ)(∇µ∇νφ)2 + 2(∇µ∇νφ)3

].

Vabad funktsioonid K ,G3,G4,G5.

⇒ Väljavõrrandid: kõige üldisemad teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 16 / 40

Page 37: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Horndeski gravitatsiooniteooria

Mõjufunktsionaali struktuur:

SG =5∑

i=2

∫d4x

√−det gLi [gµν , φ]

Liikmed mõjufunktsionaalis (X = −∂µφ∂µφ/2):

L2 = K (φ,X ) ,

L3 = −G3(φ,X )φ ,

L4 = G4(φ,X )R + G4X (φ,X )[(φ)2 − (∇µ∇νφ)2

],

L5 = G5(φ,X )Gµν∇µ∇νφ

− 16

G5X (φ,X )[(φ)3 − 3(φ)(∇µ∇νφ)2 + 2(∇µ∇νφ)3

].

Vabad funktsioonid K ,G3,G4,G5.⇒ Väljavõrrandid: kõige üldisemad teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 16 / 40

Page 38: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis

Parameetrid: skalaarvälja mass m, sideparameeter ω0.

Eksperimentaalselt välistatud parameetri ala:

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 17 / 40

Page 39: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis

Parameetrid: skalaarvälja mass m, sideparameeter ω0.Eksperimentaalselt välistatud parameetri ala:

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 17 / 40

Page 40: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Laiendatud skalaar-tensori teooriad

Kõrgemat järku väljavõrrandid:Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. ELeiti “terveid” teooriaid. X

Mitme skalaarväljaga teooriad:Jordan-Brans-Dicke üldistus:

S =1

2κ2

∫d4x

√−det g

A(~φ)R − BIJ(~φ)gµν∇µφI∇νφJ − 2

`2V(~φ)

+ Sm

[e2α(~φ)gµν , χ

].

Sarnaselt üldistatud Horndeski teooria.⇒ Suur “teooriatemaastik”, mida tuleb uurida.

Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis?Kosmoloogiline dünaamika?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 18 / 40

Page 41: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Laiendatud skalaar-tensori teooriad

Kõrgemat järku väljavõrrandid:Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. ELeiti “terveid” teooriaid. X

Mitme skalaarväljaga teooriad:Jordan-Brans-Dicke üldistus:

S =1

2κ2

∫d4x

√−det g

A(~φ)R − BIJ(~φ)gµν∇µφI∇νφJ − 2

`2V(~φ)

+ Sm

[e2α(~φ)gµν , χ

].

Sarnaselt üldistatud Horndeski teooria.

⇒ Suur “teooriatemaastik”, mida tuleb uurida.Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis?Kosmoloogiline dünaamika?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 18 / 40

Page 42: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Laiendatud skalaar-tensori teooriad

Kõrgemat järku väljavõrrandid:Võimalik probleem: Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad. ELeiti “terveid” teooriaid. X

Mitme skalaarväljaga teooriad:Jordan-Brans-Dicke üldistus:

S =1

2κ2

∫d4x

√−det g

A(~φ)R − BIJ(~φ)gµν∇µφI∇νφJ − 2

`2V(~φ)

+ Sm

[e2α(~φ)gµν , χ

].

Sarnaselt üldistatud Horndeski teooria.⇒ Suur “teooriatemaastik”, mida tuleb uurida.

Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis?Kosmoloogiline dünaamika?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 18 / 40

Page 43: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 19 / 40

Page 44: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Multi-meetriliise teooria põhimõisted

Üldrelatiivsusteoorias:Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ.Meetrika gµν valitseb mateeria liikumist.

Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks:Tumedad standardmudeli koopiad Ψ2, . . . ,ΨN .Igal koopial on oma meetrika g2

µν , . . . ,gNµν , mis liikumist valitseb.

Mõjufunktsionaali struktuur:

S = SG[g1µν , . . . ,g

Nµν ] +

N∑I=1

SM [ΨI ,gIµν ] .

⇒ Ainus vastasmõju erinevate koopiate vahel on gravitatsioon.Gravitatsioonijõud erinevate koopiate vahel on eemaletõmmatav.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 20 / 40

Page 45: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Multi-meetriliise teooria põhimõisted

Üldrelatiivsusteoorias:Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ1.Meetrika g1

µν valitseb mateeria liikumist.Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks:

Tumedad standardmudeli koopiad Ψ2, . . . ,ΨN .Igal koopial on oma meetrika g2

µν , . . . ,gNµν , mis liikumist valitseb.

Mõjufunktsionaali struktuur:

S = SG[g1µν , . . . ,g

Nµν ] +

N∑I=1

SM [ΨI ,gIµν ] .

⇒ Ainus vastasmõju erinevate koopiate vahel on gravitatsioon.Gravitatsioonijõud erinevate koopiate vahel on eemaletõmmatav.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 20 / 40

Page 46: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Multi-meetriliise teooria põhimõisted

Üldrelatiivsusteoorias:Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ1.Meetrika g1

µν valitseb mateeria liikumist.Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks:

Tumedad standardmudeli koopiad Ψ2, . . . ,ΨN .Igal koopial on oma meetrika g2

µν , . . . ,gNµν , mis liikumist valitseb.

Mõjufunktsionaali struktuur:

S = SG[g1µν , . . . ,g

Nµν ] +

N∑I=1

SM [ΨI ,gIµν ] .

⇒ Ainus vastasmõju erinevate koopiate vahel on gravitatsioon.Gravitatsioonijõud erinevate koopiate vahel on eemaletõmmatav.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 20 / 40

Page 47: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Multi-meetriliise teooria põhimõisted

Üldrelatiivsusteoorias:Nähtav mateeria: standardmudeli väljad Ψ1.Meetrika g1

µν valitseb mateeria liikumist.Multi-meetriliises gravitatsiooniteoorias lisaks:

Tumedad standardmudeli koopiad Ψ2, . . . ,ΨN .Igal koopial on oma meetrika g2

µν , . . . ,gNµν , mis liikumist valitseb.

Mõjufunktsionaali struktuur:

S = SG[g1µν , . . . ,g

Nµν ] +

N∑I=1

SM [ΨI ,gIµν ] .

⇒ Ainus vastasmõju erinevate koopiate vahel on gravitatsioon.Gravitatsioonijõud erinevate koopiate vahel on eemaletõmmatav.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 20 / 40

Page 48: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Multi-meetriliine kosmoloogia

Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip:

g1µνdxµdxν = . . . = gN

µνdxµdxν = −dt2 + a2(t)γijdx idx j .

⇒ Modifitseeritud Friedmanni võrrandid:

ρ =3

2− N

(a2

a2 +ka2

),

p = − 12− N

(2

aa

+a2

a2 +ka2

).

⇒ Kiirendus:aa

=N − 2

6(ρ+ 3p) .

⇒ Universumi paisumine kiireneb, kui N > 2. XSeni vastamata küsimus: Kas lahendus on stabiilne?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 21 / 40

Page 49: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Multi-meetriliine kosmoloogia

Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip:

g1µνdxµdxν = . . . = gN

µνdxµdxν = −dt2 + a2(t)γijdx idx j .

⇒ Modifitseeritud Friedmanni võrrandid:

ρ =3

2− N

(a2

a2 +ka2

),

p = − 12− N

(2

aa

+a2

a2 +ka2

).

⇒ Kiirendus:aa

=N − 2

6(ρ+ 3p) .

⇒ Universumi paisumine kiireneb, kui N > 2. XSeni vastamata küsimus: Kas lahendus on stabiilne?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 21 / 40

Page 50: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Multi-meetriliine kosmoloogia

Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip:

g1µνdxµdxν = . . . = gN

µνdxµdxν = −dt2 + a2(t)γijdx idx j .

⇒ Modifitseeritud Friedmanni võrrandid:

ρ =3

2− N

(a2

a2 +ka2

),

p = − 12− N

(2

aa

+a2

a2 +ka2

).

⇒ Kiirendus:aa

=N − 2

6(ρ+ 3p) .

⇒ Universumi paisumine kiireneb, kui N > 2. X

Seni vastamata küsimus: Kas lahendus on stabiilne?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 21 / 40

Page 51: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Multi-meetriliine kosmoloogia

Kosmoloogiline sümmeetria ja Kopernikuse printsiip:

g1µνdxµdxν = . . . = gN

µνdxµdxν = −dt2 + a2(t)γijdx idx j .

⇒ Modifitseeritud Friedmanni võrrandid:

ρ =3

2− N

(a2

a2 +ka2

),

p = − 12− N

(2

aa

+a2

a2 +ka2

).

⇒ Kiirendus:aa

=N − 2

6(ρ+ 3p) .

⇒ Universumi paisumine kiireneb, kui N > 2. XSeni vastamata küsimus: Kas lahendus on stabiilne?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 21 / 40

Page 52: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Struktuuritekke - kõik mateeriatüübid

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 22 / 40

Page 53: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Struktuuritekke - kõik mateeriatüübid

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 23 / 40

Page 54: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Struktuuritekke - ainult nähtav mateeria

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 24 / 40

Page 55: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Struktuuritekke - ainult nähtav mateeria

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 25 / 40

Page 56: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Gravitatsioonilained

Lainete polarisatsioonid on eukleidilise rühma E(2) esitused.E(2) klass sõltub teooria parameetridest P,R,M.

P6=0rr

=0++P + 2R=0

uu6=0))

M6=0ww

=0''

N2 N3 III5 II6

2 tensorit +1 skalaar +2 vektorit +1 skalaar

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 26 / 40

Page 57: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 27 / 40

Page 58: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vääne ja väändega seostus

Levi-Civita seostus Γµνρ:Ilma väändeta: Γµρν − Γµνρ = 0.Meetrikaga kokkusobiv: ∇µgνρ = 0.

Üldine meetrikaga kokkusobiv seostus Γµνρ:Väändetensor: Γµρν − Γµνρ = Tµ

νρ 6= 0.Meetrikaga kokkusobiv: ∇µgνρ = 0.

Väändega seostuse puhul kovariantsed tuletised ei kommuteeru:

T (X ,Y ) = ∇X Y −∇Y X − [X ,Y ] .

Samas ei kommuteeru rööpülekanded.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 28 / 40

Page 59: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vääne ja väändega seostus

Levi-Civita seostus Γµνρ:Ilma väändeta: Γµρν − Γµνρ = 0.Meetrikaga kokkusobiv: ∇µgνρ = 0.

Üldine meetrikaga kokkusobiv seostus Γµνρ:Väändetensor: Γµρν − Γµνρ = Tµ

νρ 6= 0.Meetrikaga kokkusobiv: ∇µgνρ = 0.

Väändega seostuse puhul kovariantsed tuletised ei kommuteeru:

T (X ,Y ) = ∇X Y −∇Y X − [X ,Y ] .

Samas ei kommuteeru rööpülekanded.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 28 / 40

Page 60: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vääne ja väändega seostus

Levi-Civita seostus Γµνρ:Ilma väändeta: Γµρν − Γµνρ = 0.Meetrikaga kokkusobiv: ∇µgνρ = 0.

Üldine meetrikaga kokkusobiv seostus Γµνρ:Väändetensor: Γµρν − Γµνρ = Tµ

νρ 6= 0.Meetrikaga kokkusobiv: ∇µgνρ = 0.

Väändega seostuse puhul kovariantsed tuletised ei kommuteeru:

T (X ,Y ) = ∇X Y −∇Y X − [X ,Y ] .

Samas ei kommuteeru rööpülekanded.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 28 / 40

Page 61: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad eµm.

Meetrika: gµν = ηmnemµ en

ν .

Weizenböcki seostus: Γµνρ = eµm∂ρemν .

Seostus on väändega: Tµνρ 6= 0.

Seostus on kõveruseta: Rµνρσ = 0.

⇒ Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: “teleparalleelsus”.

Mõjufunktsionaal:

SG =12

∫det e

(14

T ρµνTρµν +

12

T ρµνT νµ

ρ − T ρµρT νµ

ν

).

⇒ Väljavõrrandite struktuur:

∂σ(det eSmρσ)− det ejmρ = det eΘm

ρ .

Teooria on üldrelatiivsusteooriaga ekvivalentne.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Page 62: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad eµm.Meetrika: gµν = ηmnem

µ enν .

Weizenböcki seostus: Γµνρ = eµm∂ρemν .

Seostus on väändega: Tµνρ 6= 0.

Seostus on kõveruseta: Rµνρσ = 0.

⇒ Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: “teleparalleelsus”.

Mõjufunktsionaal:

SG =12

∫det e

(14

T ρµνTρµν +

12

T ρµνT νµ

ρ − T ρµρT νµ

ν

).

⇒ Väljavõrrandite struktuur:

∂σ(det eSmρσ)− det ejmρ = det eΘm

ρ .

Teooria on üldrelatiivsusteooriaga ekvivalentne.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Page 63: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad eµm.Meetrika: gµν = ηmnem

µ enν .

Weizenböcki seostus: Γµνρ = eµm∂ρemν .

Seostus on väändega: Tµνρ 6= 0.

Seostus on kõveruseta: Rµνρσ = 0.

⇒ Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: “teleparalleelsus”.

Mõjufunktsionaal:

SG =12

∫det e

(14

T ρµνTρµν +

12

T ρµνT νµ

ρ − T ρµρT νµ

ν

).

⇒ Väljavõrrandite struktuur:

∂σ(det eSmρσ)− det ejmρ = det eΘm

ρ .

Teooria on üldrelatiivsusteooriaga ekvivalentne.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Page 64: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad eµm.Meetrika: gµν = ηmnem

µ enν .

Weizenböcki seostus: Γµνρ = eµm∂ρemν .

Seostus on väändega: Tµνρ 6= 0.

Seostus on kõveruseta: Rµνρσ = 0.

⇒ Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: “teleparalleelsus”.

Mõjufunktsionaal:

SG =12

∫det e

(14

T ρµνTρµν +

12

T ρµνT νµ

ρ − T ρµρT νµ

ν

).

⇒ Väljavõrrandite struktuur:

∂σ(det eSmρσ)− det ejmρ = det eΘm

ρ .

Teooria on üldrelatiivsusteooriaga ekvivalentne.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Page 65: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad eµm.Meetrika: gµν = ηmnem

µ enν .

Weizenböcki seostus: Γµνρ = eµm∂ρemν .

Seostus on väändega: Tµνρ 6= 0.

Seostus on kõveruseta: Rµνρσ = 0.

⇒ Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: “teleparalleelsus”.

Mõjufunktsionaal:

SG =12

∫det e

(14

T ρµνTρµν +

12

T ρµνT νµ

ρ − T ρµρT νµ

ν

).

⇒ Väljavõrrandite struktuur:

∂σ(det eSmρσ)− det ejmρ = det eΘm

ρ .

Teooria on üldrelatiivsusteooriaga ekvivalentne.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Page 66: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Teleparalleelne gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: tetraad eµm.Meetrika: gµν = ηmnem

µ enν .

Weizenböcki seostus: Γµνρ = eµm∂ρemν .

Seostus on väändega: Tµνρ 6= 0.

Seostus on kõveruseta: Rµνρσ = 0.

⇒ Rööpülekanne ei sõltu trajektoorist: “teleparalleelsus”.

Mõjufunktsionaal:

SG =12

∫det e

(14

T ρµνTρµν +

12

T ρµνT νµ

ρ − T ρµρT νµ

ν

).

⇒ Väljavõrrandite struktuur:

∂σ(det eSmρσ)− det ejmρ = det eΘm

ρ .

Teooria on üldrelatiivsusteooriaga ekvivalentne.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 29 / 40

Page 67: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Modifitseeritud teleparalleelsed teooriad

Võimalikud muutused:Kõrgemat järku liikmed: T 4,T 2∇T , . . .Lisaväljad: skalaarväli φ, . . .Väände ja kõverusega teooriad: Einstein-Cartan, . . .

Võimalikud teemad, mida tuleb uurida:Invariantsus lokaalsete Lorentzi teisenduste all.Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad.Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis.Kosmoloogiline dünaamika.Ekvivalentsus teiste teooriatega: f (R), STG, Gauss-Bonnet, . . .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 30 / 40

Page 68: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Modifitseeritud teleparalleelsed teooriad

Võimalikud muutused:Kõrgemat järku liikmed: T 4,T 2∇T , . . .Lisaväljad: skalaarväli φ, . . .Väände ja kõverusega teooriad: Einstein-Cartan, . . .

Võimalikud teemad, mida tuleb uurida:Invariantsus lokaalsete Lorentzi teisenduste all.Ostrogradsky ebastabiilsus / vaimuväljad.Kokkusobivus vaatlustega päikesesüsteemis.Kosmoloogiline dünaamika.Ekvivalentsus teiste teooriatega: f (R), STG, Gauss-Bonnet, . . .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 30 / 40

Page 69: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 31 / 40

Page 70: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Finsleri aegruumi geomeetria

Üldistatud trajektoori γ pikkuse funktsionaal:

τ(λ2)− τ(λ1) =

∫ λ2

λ1

F (γ(λ), γ(λ))dλ .

Finsleri funktsioon F : TM → R+.Invariantsus parameetri teisenduste all vajab homogeensust:

F (x , cy) = cF (x , y) ∀c > 0 .

⇒ Finsleri meetrika:

gFµν(x , y) =

12

∂yµ∂

∂yνF 2(x , y) .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 32 / 40

Page 71: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Finsleri aegruumi geomeetria

Üldistatud trajektoori γ pikkuse funktsionaal:

τ(λ2)− τ(λ1) =

∫ λ2

λ1

F (γ(λ), γ(λ))dλ .

Finsleri funktsioon F : TM → R+.Invariantsus parameetri teisenduste all vajab homogeensust:

F (x , cy) = cF (x , y) ∀c > 0 .

⇒ Finsleri meetrika:

gFµν(x , y) =

12

∂yµ∂

∂yνF 2(x , y) .

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 32 / 40

Page 72: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Finsleri gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F .

Gravitatsiooni mõjufunktsionaal:

SG =1κ

∫Σ

VolGRµµνyν .

Väljavõrrandid:[gF µν ∂µ∂ν(Rρ

ρσyσ)− 6Rµ

µνyν

F 2

+ 2gF µν (∇µSν + SµSν + ∂µ(yρδρSν − NρνSρ)

) ]∣∣∣∣Σ

= κT |Σ

Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias.Aga mateeria pool on lihtsam.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Page 73: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Finsleri gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F .Gravitatsiooni mõjufunktsionaal:

SG =1κ

∫Σ

VolGRµµνyν .

Väljavõrrandid:[gF µν ∂µ∂ν(Rρ

ρσyσ)− 6Rµ

µνyν

F 2

+ 2gF µν (∇µSν + SµSν + ∂µ(yρδρSν − NρνSρ)

) ]∣∣∣∣Σ

= κT |Σ

Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias.Aga mateeria pool on lihtsam.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Page 74: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Finsleri gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F .Gravitatsiooni mõjufunktsionaal:

SG =1κ

∫Σ

VolGRµµνyν .

Väljavõrrandid:[gF µν ∂µ∂ν(Rρ

ρσyσ)− 6Rµ

µνyν

F 2

+ 2gF µν (∇µSν + SµSν + ∂µ(yρδρSν − NρνSρ)

) ]∣∣∣∣Σ

= κT |Σ

Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias.Aga mateeria pool on lihtsam.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Page 75: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Finsleri gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F .Gravitatsiooni mõjufunktsionaal:

SG =1κ

∫Σ

VolGRµµνyν .

Väljavõrrandid:[gF µν ∂µ∂ν(Rρ

ρσyσ)− 6Rµ

µνyν

F 2

+ 2gF µν (∇µSν + SµSν + ∂µ(yρδρSν − NρνSρ)

) ]∣∣∣∣Σ

= κT |Σ

Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias.

Aga mateeria pool on lihtsam.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Page 76: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Finsleri gravitatsiooniteooria

Dünaamiline gravitatsiooniväli: Finsleri funktsioon F .Gravitatsiooni mõjufunktsionaal:

SG =1κ

∫Σ

VolGRµµνyν .

Väljavõrrandid:[gF µν ∂µ∂ν(Rρ

ρσyσ)− 6Rµ

µνyν

F 2

+ 2gF µν (∇µSν + SµSν + ∂µ(yρδρSν − NρνSρ)

) ]∣∣∣∣Σ

= κT |Σ

Geomeetria pool veidi keerulisem kui üldrelatiivsusteoorias.Aga mateeria pool on lihtsam.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 33 / 40

Page 77: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ainepunkti trajektoorid

Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal.⇒ Liikumisvõrrandid:

γµ + Nµν γ

ν = 0 .

Nµν on Cartani mittelineaarne seostus.

Trajektoor “tõuseb” kanooniliselt puutujatekihtkonnale TM:

Γµ = γµ , Γµ = γµ .

Samas tõusevad liikumisvõrrandid:

Γµ = Γµ , ˙Γµ = −Nµν Γν .

⇒ Geodeetilised jooned on vektorvälja integraaljooned:

ya∂a − ybNab∂a = S .

Vektorvälja S nimetatakse geodeetiliseks pihuseks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 34 / 40

Page 78: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ainepunkti trajektoorid

Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal.⇒ Liikumisvõrrandid:

γµ + Nµν γ

ν = 0 .

Nµν on Cartani mittelineaarne seostus.

Trajektoor “tõuseb” kanooniliselt puutujatekihtkonnale TM:

Γµ = γµ , Γµ = γµ .

Samas tõusevad liikumisvõrrandid:

Γµ = Γµ , ˙Γµ = −Nµν Γν .

⇒ Geodeetilised jooned on vektorvälja integraaljooned:

ya∂a − ybNab∂a = S .

Vektorvälja S nimetatakse geodeetiliseks pihuseks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 34 / 40

Page 79: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ainepunkti trajektoorid

Mõjufunktsionaal on trajektoori pikkuse funktsionaal.⇒ Liikumisvõrrandid:

γµ + Nµν γ

ν = 0 .

Nµν on Cartani mittelineaarne seostus.

Trajektoor “tõuseb” kanooniliselt puutujatekihtkonnale TM:

Γµ = γµ , Γµ = γµ .

Samas tõusevad liikumisvõrrandid:

Γµ = Γµ , ˙Γµ = −Nµν Γν .

⇒ Geodeetilised jooned on vektorvälja integraaljooned:

ya∂a − ybNab∂a = S .

Vektorvälja S nimetatakse geodeetiliseks pihuseks.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 34 / 40

Page 80: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vaatajate ruum

Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y ∈ TxM:

F 2(x , y) = gFµν(x , y)yµyν = 1 .

⇒ Ühikvektorite hulk Ωx ⊂ TxM igas aegruumi punktis x ∈ M.

Ωx sisaldab tulevikusuunaliste vektorite alamhulka Sx ⊆ Ωx . Kausaalsus: Sx on füüsikaliste 4-kiiruste ruum.

Vaatajate ruum:O =

⋃x∈M

Sx .

⇒ O ⊂ TM on 7-mõõtmeline alammuutkond.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 35 / 40

Page 81: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vaatajate ruum

Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y ∈ TxM:

F 2(x , y) = gFµν(x , y)yµyν = 1 .

⇒ Ühikvektorite hulk Ωx ⊂ TxM igas aegruumi punktis x ∈ M.Ωx sisaldab tulevikusuunaliste vektorite alamhulka Sx ⊆ Ωx .

Kausaalsus: Sx on füüsikaliste 4-kiiruste ruum.

Vaatajate ruum:O =

⋃x∈M

Sx .

⇒ O ⊂ TM on 7-mõõtmeline alammuutkond.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 35 / 40

Page 82: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vaatajate ruum

Finsleri pikkus eraldab ühikvektoreid y ∈ TxM:

F 2(x , y) = gFµν(x , y)yµyν = 1 .

⇒ Ühikvektorite hulk Ωx ⊂ TxM igas aegruumi punktis x ∈ M.Ωx sisaldab tulevikusuunaliste vektorite alamhulka Sx ⊆ Ωx .

Kausaalsus: Sx on füüsikaliste 4-kiiruste ruum.Vaatajate ruum:

O =⋃

x∈M

Sx .

⇒ O ⊂ TM on 7-mõõtmeline alammuutkond.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 35 / 40

Page 83: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikudünaamika

Füüsikaline trajektoor:Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis.Γ on vektorvälja r = S|O integraaljoon.

Vedelik koosneb osakestest / ainepunktidest:Ainepunktid liiguvad geodeetilistel trajektooritel.Ainus vastasmõju ainepunktide vahel: instantaanne kokkupõrge.

Kontiinumi piir:Ainepunktide tihedus: φ : O → R+.Liikumisvõrrand ilma kokkupõrgeteta: Lrφ = 0.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 36 / 40

Page 84: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikudünaamika

Füüsikaline trajektoor:Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis.Γ on vektorvälja r = S|O integraaljoon.

Vedelik koosneb osakestest / ainepunktidest:Ainepunktid liiguvad geodeetilistel trajektooritel.Ainus vastasmõju ainepunktide vahel: instantaanne kokkupõrge.

Kontiinumi piir:Ainepunktide tihedus: φ : O → R+.Liikumisvõrrand ilma kokkupõrgeteta: Lrφ = 0.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 36 / 40

Page 85: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikudünaamika

Füüsikaline trajektoor:Trajektoori kanooniline tõus Γ vaatajate ruumis.Γ on vektorvälja r = S|O integraaljoon.

Vedelik koosneb osakestest / ainepunktidest:Ainepunktid liiguvad geodeetilistel trajektooritel.Ainus vastasmõju ainepunktide vahel: instantaanne kokkupõrge.

Kontiinumi piir:Ainepunktide tihedus: φ : O → R+.Liikumisvõrrand ilma kokkupõrgeteta: Lrφ = 0.

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 36 / 40

Page 86: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikutüübid

Geodeetiline tolm:φ(x , y) ∼ δ(y−u(x)) .

“Jenka”

Kokkupõrgeteta v.:Lrφ = 0 .

“Polka”

Kokkupõrgetega v.:Lrφ 6= 0 .

“Humpa”

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Page 87: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikutüübid

Geodeetiline tolm:φ(x , y) ∼ δ(y−u(x)) .

“Jenka”

Kokkupõrgeteta v.:Lrφ = 0 .

“Polka”

Kokkupõrgetega v.:Lrφ 6= 0 .

“Humpa”

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Page 88: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikutüübid

Geodeetiline tolm:φ(x , y) ∼ δ(y−u(x)) .

“Jenka”

Kokkupõrgeteta v.:Lrφ = 0 .

“Polka”

Kokkupõrgetega v.:Lrφ 6= 0 .

“Humpa”

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Page 89: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikutüübid

Geodeetiline tolm:φ(x , y) ∼ δ(y−u(x)) .

“Jenka”

Kokkupõrgeteta v.:Lrφ = 0 .

“Polka”

Kokkupõrgetega v.:Lrφ 6= 0 .

“Humpa”

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Page 90: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikutüübid

Geodeetiline tolm:φ(x , y) ∼ δ(y−u(x)) .

“Jenka”

Kokkupõrgeteta v.:Lrφ = 0 .

“Polka”

Kokkupõrgetega v.:Lrφ 6= 0 .

“Humpa”

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Page 91: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Vedelikutüübid

Geodeetiline tolm:φ(x , y) ∼ δ(y−u(x)) .

“Jenka”

Kokkupõrgeteta v.:Lrφ = 0 .

“Polka”

Kokkupõrgetega v.:Lrφ 6= 0 .

“Humpa”

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 37 / 40

Page 92: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Seos Cartani geomeetriaga

Cartani geomeetria põhimõisted:Lie rühm G ja kinnine alamrühm K ⊂ G.Raamikihtkond π : P → O on K -peakihtkond.Cartani seostus A ∈ Ω1(P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g.

Finslerist Cartanini:Rühmad G = ISOo(3,1), K = SO(3).O on vaatajate ruum.P on orienteeritud, normeeritud, ortogonaalsed raamid.A defineeritakse Finsleri seostuse abil.

Rakendused:Gravitatsiooniteooria: MacDowell-Mansouri teooria laiendus.Väljateooria: kalibratsiooni teooriad.Cartani geomeetria kirjeldab aegruumi sümmeetriat.Seos silmuskvantgravitatsiooniga?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 38 / 40

Page 93: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Seos Cartani geomeetriaga

Cartani geomeetria põhimõisted:Lie rühm G ja kinnine alamrühm K ⊂ G.Raamikihtkond π : P → O on K -peakihtkond.Cartani seostus A ∈ Ω1(P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g.

Finslerist Cartanini:Rühmad G = ISOo(3,1), K = SO(3).O on vaatajate ruum.P on orienteeritud, normeeritud, ortogonaalsed raamid.A defineeritakse Finsleri seostuse abil.

Rakendused:Gravitatsiooniteooria: MacDowell-Mansouri teooria laiendus.Väljateooria: kalibratsiooni teooriad.Cartani geomeetria kirjeldab aegruumi sümmeetriat.Seos silmuskvantgravitatsiooniga?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 38 / 40

Page 94: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Seos Cartani geomeetriaga

Cartani geomeetria põhimõisted:Lie rühm G ja kinnine alamrühm K ⊂ G.Raamikihtkond π : P → O on K -peakihtkond.Cartani seostus A ∈ Ω1(P, g) on 1-vorm väärtustega Lie algebras g.

Finslerist Cartanini:Rühmad G = ISOo(3,1), K = SO(3).O on vaatajate ruum.P on orienteeritud, normeeritud, ortogonaalsed raamid.A defineeritakse Finsleri seostuse abil.

Rakendused:Gravitatsiooniteooria: MacDowell-Mansouri teooria laiendus.Väljateooria: kalibratsiooni teooriad.Cartani geomeetria kirjeldab aegruumi sümmeetriat.Seos silmuskvantgravitatsiooniga?

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 38 / 40

Page 95: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Ülevaade

1 Üldrelatiivsusteooria

2 Vaatlused astronoomias ja kosmoloogias

3 Laiendatud teooriadSkalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine gravitatsiooniteooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

4 Kokkuvõte

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 39 / 40

Page 96: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kokkuvõte

Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana.

Vaatlused tekitavad küsimusi:Tumeaine?Tumeenergia?

Geomeetria pakub võimalikke lahendusi:Skalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine teooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

Lugege edasi: http://kodu.ut.ee/~manuel/

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 40 / 40

Page 97: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kokkuvõte

Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana.Vaatlused tekitavad küsimusi:

Tumeaine?Tumeenergia?

Geomeetria pakub võimalikke lahendusi:Skalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine teooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

Lugege edasi: http://kodu.ut.ee/~manuel/

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 40 / 40

Page 98: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kokkuvõte

Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana.Vaatlused tekitavad küsimusi:

Tumeaine?Tumeenergia?

Geomeetria pakub võimalikke lahendusi:Skalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine teooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

Lugege edasi: http://kodu.ut.ee/~manuel/

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 40 / 40

Page 99: Geomeetriast Einsteini gravitatsiooniteooriani ja sealt edasikodu.ut.ee/~manuel/talks/geomgrav.pdf · Skalaar-tensori teooriad Multi-meetriliine gravitatsiooniteooria Teleparalleelne

Kokkuvõte

Üldrelatiivsusteooria kirjeldab gravitatsiooni geomeetriana.Vaatlused tekitavad küsimusi:

Tumeaine?Tumeenergia?

Geomeetria pakub võimalikke lahendusi:Skalaar-tensori teooriadMulti-meetriliine teooriaTeleparalleelne ja väändega teooriadFinsleri ja Cartani geomeetriad

Lugege edasi: http://kodu.ut.ee/~manuel/

Manuel Hohmann (Tartu Ülikool) Geomeetriast gravitatsiooniteooriani 1. september 2015 40 / 40