geogebra como ferramenta no ensino de funÇÕes afim e · explorando grÁficos de funÇÕes do 1º...
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GEOGEBRA COMO FERRAMENTA NO ENSINO DE FUNÇÕES AFIM E
FUNÇÃO QUADRÁTICA: UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA 1º ANO DO
ENSINO MÉDIO
Claudio Carlos Carvalho1
Dr. Luciano Ferreira2
RESUMO
A matemática apresenta uma alternativa que contribui para um desenvolvimento crítico, aprimorando interações das tecnologias, como é o caso da utilização de software GeoGebra, exercendo, portanto, uma contribuição significativa no ensino de funções. O presente trabalho utilizou-se da Engenharia Didática (MICHELE ARTIGUE, 1996), como metodologia e para o desenvolvimento de uma Sequência Didática. Sendo assim, foi possível aplicá-la no primeiro semestre de 2017, na Escola Estadual do Campo de Ourilândia, no Município de Barbosa Ferraz Paraná, Núcleo Regional de Campo Mourão, com alunos do período noturno matriculados no primeiro ano do Ensino Médio. No início aplicou-se um questionário para se obter informações sobre seus conhecimentos em tecnologia, para que houvesse a possiblidade do uso do software Geogebra no ensino da matemática e conhecimento de funções afim e quadrática, a ser trabalhado. Seguindo de uma análise a priori e a posteriori. Na sequência foram apresentadas atividades que possibilitaram o uso da tecnologia, bem como o entendimento do ensino e aprendizagem de acordo com uma sequência didática, o que possibilitou avanços educativos e comparativos no pós-teste, a fim de uma análise a priori e a posteriori. Desse modo, depreende-se que é possível empregar tecnologias para o ensino da matemática no campo das funções e que a metodologia aplicada em uma Sequência Didática atende amplamente a realidade de uma Escola do Campo tornando uma possibilidade eficaz. Quanto ao aproveitamento, infere-se que este está relacionado a fatores diversos, porém com uma boa aceitação significativa, até mesmo quando não há um aproveitamento total dos questionamentos levantados.
Palavras-chave: GeoGebra; Tecnológico; Ensino; Funções.
APRESENTAÇÃO
Neste artigo pretende-se apresentar as atividades matemáticas para o
ensino de funções afim e função quadrática, utilizando-se do software
1 Professor da Rede Estadual de Educação – SEED/PR – Professor PDE 2016/2017. e-mail: [email protected] 2 Professor Orientador IES – Universidade Estadual do Paraná – UNESPAR, Campus de Campo Mourão-PR. e-mail: [email protected]
GeoGebra1, alicerçado no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE,
para contribuições nas escolas estaduais do Estado do Paraná.
Apresentaremos aqui um caso particular de uma Escola do Campo,
localizada em Barbosa Ferraz Paraná, no Colégio Estadual do Campo de
Ourilândia EFM.
A pesquisa feita nesta escola apresenta o uso de tecnologia, isto é, como
os softwares podem ser úteis ao ensino e à aprendizagem.
Sendo assim, já é sabido que o ensino de funções há uma complexidade
e dificuldades específicas que acerca o conteúdo, mas a pesquisa apoiada na
Engenharia Didática de Michele Artigue (1996) e amparada com o software
GeoGebra, elaboramos atividades que satisfaçam os conceitos de funções afim
e quadráticas, resultando na superação das dificuldades de aprendizagem.
As atividades foram aplicadas no primeiro semestre de 2017, em dois
ambientes escolares (na sala de aula e no laboratório de informática), pois
entendemos que:
Os professores precisam saber como usar os novos equipamentos e software e também qual é o seu potencial, quais são seus pontos fortes e seus pontos fracos. Essas tecnologias, mudando o ambiente em que os professores trabalham e o modo como se relacionam com outros professores, tem um impacto importante na natureza do trabalho do professor e, desse m odo, na sua identidade profissional (VALENTE, 2008.p. 78).
Em relação a isto, entende-se que a tecnologia poderia ser utilizada no
ensino de funções, onde o aluno poderia analisar instantaneamente a álgebra e
a parte gráfica através software. Por isso, ao utilizar um software e uma
metodologia diferenciada como Engenharia didática a dificuldades na
aprendizagem são facilmente superadas.
Engenharia didática
A Engenharia Didática surgiu no início dos anos de 1980, na escola
francesa, como uma forma didática para o ensino da matemática no ambiente
3 GeoGebra é um software matemático que reúne geometria, álgebra e cálculo. Ele foi desenvolvido por Markus
Hohenwarter da Universidade de Salzburg, na Áustria, para educação matemática nas escolas, um sistema de geometria dinâmica.
escolar. Dentro deste propósito (Guy Brousseau, 1986) com a Teoria das
Situações Didáticas, desenvolveu um trabalho de cunho científico direcionado a
criar situações problemas na matemática, em que o aprendizado dar-se-á por
meio de uma adaptação do ambiente que produz eventos (que nem sempre está
de acordo com o previsto), já que o aluno, o professor e o saber formam a tríade
de agentes da constituição do conhecimento.
Dessa maneira, é importante destacar as quatro fases da metodologia
da Engenharia Didática, sendo elas:
a) Análises prévias: identifica os problemas de ensino aprendizagem, e busca
alguma intervenção positiva ao ensino;
b) Concepção e análise a priori: fase que é composta por uma parte descritiva e
uma parte preditiva, a fim de uma visão ampla (relativas à organização global da
engenharia) e outra restrita (relacionadas com a questão comportamental do
aluno);
c) Experimentação: o professor faz observações, registros diários das atividades
desenvolvidas com os alunos;
d) Análise a posteriori e validação da experiência: observações do pesquisador
apoiado nos dados coletados durante a experimentação realizada.
Ademais, segundo (POMMER, 2013), as quatro fases não ocorrem,
geralmente, de forma linear e estanque, visto que necessita, às vezes, da
articulação, da antecipação e até mesmo da superposição dos seus respectivos
elementos caracterizadores. Por isso, em algum momento deve haver
intervenções para que haja correção do direcionamento dado à pesquisa, pois
há variantes no processo de obtenção de dados.
Com relação a isto, a figura 1, retrata as fases da Engenharia Didática,
mostrando seus respectivos elementos caracterizadores:
Figura 1: Esquema resumido das fases da Engenharia Didática
Fonte: O autor.
Isto posto, a primeira fase (fase de análises preliminares), se dedica à
um quadro bastante teórico, como também ao objeto de estudo, este que deve
ser feitas ponderações com questionamentos, o que corrobora com a descrição
de Artigue (1996):
“[...] reside na fina análise prévia das concepções dos alunos, das dificuldades e dos erros tenazes, e a engenharia é concebida para provocar, de forma controlada, a evolução das concepções” (ARTIGUE, 1996, p. 202).
Com esta análise prévia, de forma controlada, permite que a superação
de alguns problemas de aprendizagem encontrados, permitindo o avanço para
a segunda fase, a da análise a priori ou concepções didáticas.
Nesta etapa, da análise a priori, há uma demarcação de variáveis, em
microdidática2 ou macrodidáticas3 que pertencem a tríade do sistema didático
envolvidos, que são: professor, aluno e o saber.
Já na terceira fase, dirige-se à experimentação do trabalho dentro da
Engenharia Didática no campo de pesquisa diretamente com um grupo
determinado de alunos, trazendo da analise a priori, os fundamentos delimitados
ao desenvolvimento.
De acordo com Machado (2002), temos:
[...] a explicitação dos objetivos e condições de realização da
2 Pommer, 2012, p. 23, variáveis microdidáticas e macrodidáticas. 3 Variáveis microdidática e macrodidática: A macrodidática precede a microdidática, visto que ela se refere ao todo (global) da organização da engenharia, e a microdidática, diz respeito a uma sessão ou uma fase – ou seja, incentivam os estudantes à busca de soluções. Assim sendo, faz com que as variáveis sejam interdependentes.
pesquisa a população de alunos que participará da experimentação; - o estabelecimento do contrato didático; - a aplicação do instrumento de pesquisa; - o registro das observações feitas durante a experimentação. (MACHADO, 2002, p. 206).
Por isso, na terceira fase o trabalho deve ter a total atenção para os fatos
que foram levantados anteriormente, considerando as ações positivas e
negativas.
Por conseguinte, a quarta fase, é a análise a posteriori e validação, no
qual Artigue (1996) concretiza como um conjunto de informações minuciosas
levantadas no campo experimental pelo professor pesquisador, que resultará em
uma confrontação de informações com a análise a priori, bem como com as
informações do objeto de estudo, dessa forma, qualifica-se as indagações
anteriores, ou seja, se obtiveram uma resposta ou quais foram os feedbacks.
ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
A pesquisa foi realizada com 07 alunos que nomearemos de A2, A5, A6,
A10, A13, A18, A19, do primeiro ano do ensino médio, sendo apresentados a eles
os conceitos básicos sobre função afim e função quadrática. A finalidade desta
pesquisa foi produzir material diferenciado com auxílio do computador;
elaboramos intervenções, numerando as ações de 01 a 174, divididas em duas
partes: de 01 a 10 estão relacionadas à função afim, e 11 a 17 a funções
quadráticas.
A duração da aplicação foi de 32 horas, divididos, 20 horas á função afim
e 12 horas á função quadrática, destinado aos trabalhos às observações,
aplicações das atividades e socialização com alunos.
Verificadas as dificuldades dos alunos, nas observações retomamos os
processos de ensino básico, apoiamos em livros didáticos fornecidos pela
escola, referentes aos sétimos e oitavos anos para contextualização e
atualização de conteúdos.
4 As atividades não são apresentadas neste artigo devido ao espaço físico para arquivo não suportar todas as imagens estando disponíveis na unidade didática da pesquisa.
Na sequência do módulo de ensino de funções, notou-se uma melhora
significativa, acredita-se que esta melhora, tem origem em atividades
envolvendo equações do segundo grau.
EXPLORANDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES DO 1º GRAU NO GEOGEBRA:
Neste momento as ações de 01 a 10, procuraram demonstrar resultados
positivos ou negativos durante as 20 horas aula programada na execução de
parte da pesquisa com o auxílio da tecnologia de maneira rápida, eficaz e prática,
para uma aprendizagem plena do conceito f(x) = ax + b.
AÇÃO 1: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Nesta ação com GeoGebra, pretendia-se verificar se o
aluno entende o conceito de função afim que foram aprendidos em etapas
anteriores de seu estudo até ingressar no ensino médio, então na atividade o
aluno deveria digitar no comando de entrada do software a seguinte função: f(x)
= a.x + b, que automaticamente seria criado dois controles deslizantes para o
coeficiente a e b, além da:
a) A construção do plano cartesiano.
b) Interceptação da reta nos eixos das ordenadas e das abscissas.
c) A criação de pontos para as coordenadas (x, y).
Dessa forma, o auxílio do software GeoGebra objetivava-se o
comportamento realizado na atividade quando inserida a denominação para
função afim, já que é a atribuída em diversos livros didáticos de matemática.
Análise a posteriori: Participaram (07 alunos) A2, A5, A6, A10, A13, A18,
A19, para a construção do plano cartesiano e os controles deslizantes, a fim de
satisfazer os objetivos propostos na ação 1.
AÇÃO 2: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Nessa ação pretende-se mostrar no GeoGebra os
recursos de criar controles deslizantes, com valores “min -5, máx +5” .
Análise a posteriori: Os 7 alunos participantes, A2, A5, A6, A10, A13, A18,
A19, conseguiram atingir o objetivo desejado.
AÇÃO 3: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Tem-se a possibilidade de criar Controles Deslizantes
manualmente de uma segunda maneira. Devem-se digitar no campo entrada os
valores desejados para “a” igual a “1” e “b” igual a “2”. Então, ao inserir os valores
da função no campo de entrada f(x)=a.x + b, o aluno deve obter a reta construída
no plano cartesiano do software. Em relação à atividade, pode-se perguntar ao
aluno:
a) Qual é o valor atribuído para a?
b) Qual é o valor atribuído para b?
c) Qual é o comportamento da variável x?
Desse modo, o objetivo é que os participantes reconheçam os
coeficientes da função afim.
Análise a Posteriori: Dos 7 alunos, 06 alunos alcançaram o objetivo,
sendo eles: A5, A6, A10, A13, A18, A19. Apenas o aluno A2 recusou-se de participar
da ação proposta.
AÇÃO 4: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Pretendia-se, mostrar no GeoGebra, que a mudança
dos coeficientes altera a representação. Desse modo, o aluno terá as seguintes
perguntas sobre o comportamento da função:
a) Quando houve a mudança de controle do valor de “b”, de 1 para 0, sem a
alteração do valor de “a” o que aconteceu com a reta traçada?
b) Tendo o valor de “b” igual a “0”, ao movimentar o controle deslizante do valor
de “a”, a reta terá que comportamento?
c) Quando o valor de “b” é zero, a função tem que denominação?
Análise a Posteriori: Dos 7 participantes apenas 06 alunos participaram
da ação: A2, A5, A6, A10, A13, A18, A19. Todos os 06 alunos não obtiveram êxito na
descrição.
AÇÃO 5: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Esperava-se mostrar que no GeoGebra há a
possibilidade de ter valores negativos para coeficiente angular “a”. Sendo assim,
o aluno seria questionado:
a) A função tendo a > 0 que tipo de característica tem-se para a reta, crescente
ou decrescente?
b) Ao deslocar o coeficiente “b” de “1” ao infinito.
c) Como se pode descrever esta condição: a função será decrescente ou
crescente?
Análise a posteriori: Nesta ação participaram 02 alunos, A5, A19, não
tiveram êxitos nas suas dissertações. Acredita-se que está na interpretação e
não na construção, já que na resolução manual das atividades também não
tiveram êxitos.
AÇÃO 6: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Similarmente a ação 3, a ação 4 retrata valor de “a”
menor do que zero, apenas para exercício de fixação e demonstração de reta
decrescente.
Análise a Posteriori: Participaram 02 alunos, A5, A19, não tiveram êxitos
nas descrições em suas atividades, ou seja, na resolução manual conseguiram
construir, porém não conseguiam explicar o que haviam realizado.
AÇÃO 7: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Assim como a ação 3 e 4, a ação 7 retrata o valor de
“a” menor do que zero.
Análise a posteriori: Participaram 07 alunos A2, A5, A6, A10, A13, A18, A19,
dentre eles - após repetitivas atividades acerca de coeficientes negativos -
apenas 5 alunos completaram corretamente a ação, sendo eles: A2, A5, A6, A10,
A13. Contudo, A18 e A19, acertaram 50% das ações em suas atividades.
AÇÃO 8: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Nesta ação, procura-se mostrar no GeoGebra, que
mesmo sem o valor de “b” a reta não vertical pode ser entendida como uma
função linear.
Análise a posteriori: Participaram 07 alunos, A2, A5, A6, A10, A13, A18,
A19, sendo que, todos os alunos não obtiveram êxito na realização da ação.
Foram realizadas ações de explanações no quadro, trabalhado com livro didático
e canais do YouTube acerca do conteúdo, visando a retomada do mesmo
conteúdo.
AÇÃO 9: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Aqui busca-se mostrar, no GeoGebra, uma nova
condição para o tratamento da informação de que uma reta não vertical.
Análise a posteriori: Participaram 05 alunos (A2, A5, A6, A10, A18) sendo
que, 03 deles - A2, A6, A10 - marcaram as alternativas corretamente. Entretanto,
os outros dois participantes (A5 e A18) não assinalaram corretas as respostas.
1.1: ATIVIDADES ENVOLVENDO ALUNO
AÇÃO 10: Atividade aluno
Análise a priori: Nessa ação, acredita-se que o aluno já apresenta
possibilidade de interagir com o software GeoGebra, e já consegue manipular as
ferramentas necessárias para desenvolver as atividades propostas a ele. Então,
neste caso, o professor deve ser apenas o observador das ações por ele
executada.
Para isto, criamos uma pasta de arquivo com o nome do aluno em
computadores individuais, arquivando as atividades por eles realizadas,
enumeradas de acordo com as ações.
Primeira atividade individual
Desenvolva as atividades a seguir utilizando-se o software GeoGebra,
gerando o gráfico para cada questão de função do primeiro grau. Em seguida,
descreva de forma breve o porquê do comportamento da função.
a) f(x) = ax + 1
Descrição:____
b) f(x) = - ax +1
Descrição:____
c) f(x) = - ax +1
Descrição:____
d) f(x) = ax + 5
Descrição:____
e) f(x) = 2x + 3
Descrição:____
f) f(x) = - 5x - 4
Descrição:____
g) f(x) = - 3x + 2
Descrição:____
h) f(x) = 2x - 5
Descrição:____
i) f(x) = 0x + 1
Descrição:____
j) f(x) = 0x - 2
Descrição:____
Análise a Posteriori: Participaram 06 alunos (A5, A6, A10, A13, A18, A19), sendo
que o aluno A2 se recusou a trabalhar as ações colocadas à disposição.
Analisando os resultados dos alunos como satisfatória, encontraram dificuldades
e insatisfatória, chegou-se a seguinte condição para cada alternativa:
Alternativa a: A5, A6, A10 descreveram satisfatoriamente, A13 A18, A19,
encontraram dificuldades;
Alternativa b: A6, A10, A13, A18 descreveram satisfatoriamente, A5, A19,
encontraram dificuldades;
Alternativa c: A6, A10, A13, A18 descreveram satisfatoriamente, A5, A19,
encontraram dificuldades;
Alternativa d: A6, A10 descreveram satisfatoriamente, A5, A13, A18, A19;
encontraram dificuldades.
Alternativa e: A6, A10, descreveram satisfatoriamente, A5, A13, A18, A19,
encontraram dificuldades;
Alternativa f: A6, A10, A13, A18, descreveram satisfatoriamente. A5. A19
encontraram dificuldades.
Alternativa g: A6, A10, A13, descreveram satisfatoriamente. A5, A18, A19,
encontraram dificuldades;
Alternativa h: A5, A6 descreveram satisfatoriamente, A10, A13, A18, A19,
encontraram dificuldades;
Alternativa i: A6, A10 descreveram satisfatoriamente, A5, A13, A18, A19,
encontraram dificuldades;
Alternativa j: A5, A6 descreveram satisfatoriamente, A10, A13, A18, A19,
encontraram dificuldades.
As dificuldades encontradas na ação, acredita-se que está relacionada
a interpretação, leitura, e na interpretação digital da tela do computador, bem
como na resolução manual das atividades.
AÇÃO 11: Atividade aluno
Análise a priori: De forma similar a ação anterior, o professor deve ser
o orientador das atividades, visto que neste caso haverá mais de uma inserção
a ser introduzida no campo de entrada, gerando o cruzamento de retas.
O aluno deve novamente criar uma pasta de arquivo com o seu nome no
seu respectivo computador (individual), para que arquive as atividades assim
que concluídas. Com o arquivo dos alunos, o professor poderá obter os
resultados para a análise a posteriori. Acerca disto, na atividade o aluno inserirá
as funções diretamente no campo de entrada conforme o exercício pede:
Segunda atividade individual
No GeoGebra, insira no campo de entrada f(x) e outra g(x), para que
gere duas funções de primeiro grau, sendo uma função crescente e outra
decrescente, assim deve-se analisar se há cruzamento de retas. Caso haja, em
que ponto houve esta interceptação?
Análise a Posteriori: Participaram 06 alunos (A5, A6, A10, A13, A18, A19).
O aluno A2, se recusou a trabalhar as ações colocadas à disposição. Então,
todos os 06 participantes colocaram a resposta “não” nas descrições, isto
significa que a palavra “não” tornava a ação errada, pois há interceptação das
retas produzidas.
AÇÃO 12: Atividade aluno
Análise a priori: Nesta atividade os alunos continuam sendo
observados pelo professor que orienta as atividades a serem feitas. Os
participantes devem responder a seguinte questão:
Atividade individual 3:
Um agricultor, que comercializa leite natura e entrega ao laticínio da
região, tem um custo fixo atribuído de: R$ 0,40 em mão de obra, R$ 0,25 com
ração, R$ 0,30 nos medicamentos, R$ 0,20 de suplementos alimentares, R$ 0,20
em medicamentos e R$ 0,15 no transporte (até o ponto de coleta pelo veículo da
empresa).
Além disso, no presente momento, o preço pago pelo laticínio ao
produtor é de R$ 1,90 por litro entregue - desde que haja somente
aproveitamento na empresa, isto é, não tenha descarte.
A respeito disso, pode-se utilizar uma função de primeiro grau em
relação ao exercício 3. Por isso, responda as questões abaixo:
a) Se o produtor produziu e entregou durante o mês 1.300 litros, qual foi seu
faturamento?
b) Qual foi sua despesa para produzir esta quantidade de leite entregue pela
empresa?
c) Qual a lucratividade obtida pelo agricultor nestes 30 dias?
d) Determine como podemos escrever esta função?
Analise a posteriori: Participaram da ação 06 alunos (A5, A6, A10, A13,
A18, A19) havendo recusa do aluno A2 em participar da atividade. Então, ao
analisar a proposta de trabalho por alternativas como: satisfatória ou
insatisfatória.
Todas respostas descritas e apresentadas nas alternativas descritas, a,
b, c e d, validaram-se como satisfatórias.
Explorando gráficos de funções quadrática no GeoGebra
Nesta seção, são apresentadas as funções quadráticas a serem
trabalhadas de 11 a 17, proposta para o computador, sendo ações
“professor/aluno”, onde o professor e o aluno interagiram juntos com as
atividades na tela do computador, a qual teve como objetivo principal a análise
prévia, concepção e análise a priori, experimentação e a análise a posteriori, nas
12 horas aula programada na execução deste trabalho na execução e
compreensão da fórmula: f(x) = ax2 + bx + c.
AÇÃO 13: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Acerca da função do segundo grau, quando se obtém
uma função f(x) = ax², sem os reais b e c, o software representa a mesma tendo
seu vértice na origem, isto é, “x” igual a “0” e “y” igual a “0”.
Desse modo, o objetivo que se espera do aluno é que ele perceba que
a função f(x) = ax², tem concavidade voltada para cima (imagem que aparece na
tela do computador). Assim sendo, o aluno deverá responder as seguintes
questões:
a) Observe a imagem no monitor do seu computador, e descreva os valores dos
coeficientes “a”, “b” e “c”.
b) Escreva as coordenadas do vértice da função.
c) Utilizando do seu gráfico relacione o coeficiente “a” e o ponto de mínimo.
Análise a posteriori: Participaram da ação 07 alunos (A5, A6, A7, A10,
A13, A18, A19), sendo observado o retorno à escola do aluno A7.
Alternativa a: Todos responderam satisfatoriamente.
Alternativa b: 03 Alunos (A6, A10, A13) executaram a ação correta, 04 alunos (A5,
A7, A18, A19) não desenvolveram a ação corretamente.
Alternativa c: 02 alunos (A6, A10) responderam a ação corretamente, e 05 alunos
(A5, A7, A13, A18, A19) não atingiram o objetivo.
Foi possível notar maior familiarização com o computador, o que já demonstrava
resultados positivos.
AÇÃO 14: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Diferentemente do caso anterior, a função do segundo
grau também pode conter os valores de a, b, excluindo o valor de c.
Então, tomando como aprendido a utilização da entrada no software, na
atividade das funções afim, ao se digitar nela uma função do segundo grau da
seguinte maneira “f(x) = a𝑥2 + 𝑏𝑥”, automaticamente o controle deslizante
fornece os valores de “a” e “b” iguais a “1”. Desejamos que os alunos ao
construírem e observarem a tela do computador identifique suas raízes, “x1 = 0”
e “x2 = -1” para a seguinte função f(x) = 𝑥2 + 𝑥 e responder as seguintes
questões olhando a tela do computador:
a) Observe a imagem no monitor do seu computador, e descreva os valores dos
coeficientes “a”, “b” e “c”.
b) Escreva as coordenadas do vértice da função.
c) Utilizando do seu gráfico relacione o coeficiente “a” e o ponto de mínimo.
Análise a posteriori: Participaram da ação 07 alunos (A5, A6, A7, A10,
A13, A18, A19).
A alternativa a: Todos realizaram satisfatoriamente a ação.
A alternativa b: 05 Alunos (A5, A6, A10, A13, A18) executaram a ação correta, sendo
que 02 alunos (A7, A19) não conseguiram atingir o objetivo da ação.
A alternativa c: 05 alunos (A5, A6, A10, A13, A18) executaram a ação correta, sendo
que 02 alunos (A7, A19) não chegaram ao esperado.
AÇÃO 15: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Distintamente dos casos anteriores, a função do
segundo grau poderá conter os valores de a, b, e c. Assim, ao se digitar a função
“f(x) = a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐”, automaticamente o controle deslizante fornece os valores
de “a”, “b” e “c” iguais a “1”. Dessa maneira, a imagem da tela do computador,
fornece a representação para “f(x) = a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐”, em que o aluno deve
reconhecer que o valor de “c” desloca a parábola no eixo das ordenadas e
positivamente, para este caso.
Não diferente das outras ações anteriores, o aluno deverá responder as
questões referente à ação:
a) Observe no monitor do seu computador, e descreva os valores dos
coeficientes “a”, “b” e “c”.
b) Escreva as coordenadas do vértice da função.
c) Utilizando do seu gráfico relacione o coeficiente “a” e o ponto de mínimo.
Análise a Posteriori: Participaram da ação 07 alunos (A5, A6, A7, A10,
A13, A18, A19).
A alternativa a: Foi realizada satisfatoriamente por 06 alunos (A5, A6, A10, A13,
A18, A19), apenas o aluno A7, não obteve êxito na sua resposta.
A alternativa b: 05 Alunos (A5, A6, A10, A13, A18) executaram a ação correta, sendo
que 02 alunos (A7, A19) não desenvolveram a ação corretamente.
A alternativa c: Todos os participantes não desenvolveram a ação corretamente.
AÇÃO 16: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Agora serão efetuadas as mesmas atividades, porém
com números reais negativos, dentro do software GeoGebra. Assim sendo, ao
ser inserido no campo de entrada do GeoGebra a função “f(x) = - ax² “, sem os
reais b e c., verifica-se graficamente que é uma função de segundo grau, pois
temos uma parábola. O objetivo que se espera do aluno é que ele reconheça
que a parábola possui o vértice na origem do plano (x,y), além da sua
concavidade ser voltada para baixo. A representação da imagem,
automaticamente fornece ao controle deslizante o valor de “-a” igual a “-1” ao
digitar a função na entrada. Dessa maneira, pode-se perguntar ao aluno:
a) Observe a imagem no monitor do seu computador, e descreva os valores dos
coeficientes “a”, “b” e “c”.
b) Escreva as coordenadas do vértice da função.
c) Utilizando do seu gráfico relacione o coeficiente “a” e o ponto de mínimo.
Análise a Posteriori: Participaram da ação 07 alunos (A5, A6, A7, A10,
A13, A18, A19).
A alternativa a: realizada satisfatoriamente por todos os alunos.
A alternativa b: Os alunos (A5, A6, A10, A13, A18, A19) executaram a ação correta,
sendo que apenas o aluno A7 não efetuou ação corretamente.
A alternativa c: Todos os alunos executaram a ação correta, exceto o aluno A7
que não obteve êxito.
AÇÃO 17: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: A ação 15 caracteriza-se por inserir no campo de
entrada f(x) = - ax² - bx. Assim, o GeoGebra fornecerá a identificação automática
para “-a” e “-b” dando-os iguais a “-1”. A parábola fornecida pelo software
mostrará as raízes “x1 = -1” e “x2 = 0”, que nada mais é que o objetivo da
atividade, e o que o aluno deve reconhecer quando mostrado imagem no
computador. Desse modo, o aluno deverá responder:
a) Observe a no monitor do seu computador, e descreva os valores dos
coeficientes “a”, “b” e “c”.
b) Escreva as coordenadas do vértice da função.
c) Utilizando do seu gráfico relacione o coeficiente “a” e o ponto de mínimo.
Análise a Posteriori: Participaram da ação 07 alunos (A5, A6, A7, A10,
A13, A18, A19).
A alternativa a: Foi realizado satisfatoriamente por 06 alunos (A5, A6, A10, A13,
A18, A19) e apenas o aluno A7 não obteve êxito na sua resposta.
A alternativa b: 03 alunos (A6, A10, A13) executaram a ação corretamente, e os
outros 04 alunos (A5, A7, A18, A19) não atingiram o objetivo da ação.
A alternativa c: 03 alunos (A6, A10, A13) executaram a ação corretamente, os
outros 04 participantes (A5, A7, A18, A19) não conseguiram chegar na resposta
almejada.
AÇÃO 18: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Nesta ação, o aluno precisa digitar a função “f(x) =
− a𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐” no software GeoGebra, que dará automaticamente o controle
deslizante com os de “- a”, “- b” e “- c” iguais a “-1”. Desse modo, a imagem
fornece a seguinte representação para f(x) = − a𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑐, em que o aluno
deve reconhecer que o valor de “- c” desloca a parábola no eixo das ordenadas
e que a parábola possui a concavidade voltada para baixo. Dessa forma, o aluno
deverá ser interpelado:
a) Observe a imagem no monitor do seu computador, e descreva os valores dos
coeficientes “a”, “b” e “c”.
b) Escreva as coordenadas do vértice da função.
c) Utilizando do seu gráfico relacione o coeficiente “a” e o ponto de mínimo.
Análise a Posteriori: Participaram os (A5, A6, A19, A20. A20, recebido por
transferência).
A alternativa a: Foi realizada satisfatoriamente por 02 alunos (A5, A6), e os outros
02 alunos (A19, A20) não obtiveram êxito nas respostas.
A alternativa b: Apenas o aluno, A6, executou a ação corretamente, os outros 03
alunos (A5, A19, A20) não conseguiram atingir o objetivo da ação.
A alternativa c: Apenas o aluno, A6, executou a ação corretamente, os outros 03
alunos (A5, A19, A20) não atingiram o esperado da ação.
AÇÃO 19: Atividade Professor/aluno
Análise a priori: Nesta ação, o professor ao mostrar que inserir a função
𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, através do campo de entrada, no Geogebra, aparecerá o
esboço do gráfico na tela do computador. Em seguida, no mesmo campo de
entrada o aluno deve digitar ( (−𝒃
𝟐∗𝒂) , − (
𝒃𝟐− 𝟒.𝒂.𝒄
𝟒.𝒂) ), prosseguido da tecla enter.
Dessa forma, aparecerá a representação do vértice da parábola, na qual o aluno
será questionado quanto ao deslocamento do vértice da parábola:
1. Habilite a função, habilitar rastro, para o ponto que representa o
vértice da função e movimente a e verifique o comportamento da concavidade,
e responda.
a) Movimente a e verifique o comportamento do vértice, e responda.
b) Movimente b e verifique o comportamento do vértice e responda.
c) Movimente c e verifique o comportamento do vértice e responda.
Análise a Posteriori: Participaram os (A2, A5, A6, A19, A20).
A alternativa a: 02 alunos (A6, A20) tiveram êxito, sendo observada uma boa
compreensão da ação; os outros 03 alunos (A2, A13, A19) não satisfez a ação.
A alternativa b: Apenas o aluno A6, obteve êxito, sendo observada uma boa
compreensão da ação; outro aluno, A13, satisfez a descrição, sendo observada
uma compreensão média da ação; outros 02 alunos (A2, A19), não obteve êxito
da ação; por fim, o aluno, A19, não realizou a atividade.
A alternativa c: Apenas o aluno, A6, satisfez a ação, sendo observada uma boa
compreensão da ação; outros 02 alunos (A2, A13) satisfizeram, mas com
dificuldade no desenvolvimento da alternativa; já o aluno, A19, não atingiu o
objetivo; e por fim, o aluno, A19, não realizou a atividade.
A alternativa d: Apenas o aluno, A6, conseguiu satisfazer a ação, tendo uma boa
compreensão da ação; já os alunos (A2, A13) satisfizeram a ação, mas com
mediana compreensão; somente o participante, A19, não atingiu o esperado; e
por fim o aluno, A19, não realizou a atividade.
Experimentação
As atividades foram desenvolvidas dentro de uma sequência didática e
consideradas como dificuldades encontradas no pré-teste. Acerca disto, foi
aplicada as ações programadas para funções afim de 01 a 10 e funções
quadráticas de 11 a 17, ambas apoiadas no software GeoGebra.
Durante a primeira experimentação, notou-se enorme dificuldade dos
alunos no entendimento das funções afins, que compreendiam a seção de 01 a
10. Apesar de uma boa explanação em sala de aula sobre a matéria, e revisões
programadas, gerando atividades desenvolvidas e resolvidas no caderno
manual, antes das ações propostas para serem executadas nos computadores.
Ao conhecimento deficitário notado, foi produzido oportunidades de solução,
através do próprio uso de livros didáticos, vídeos assistidos pelo canal YouTube,
sobre o mesmo conteúdo trabalhado, buscando falas e resoluções de outros
profissionais no assunto que almejam melhoria na qualidade do ensino.
Na continuação da experimentação, com funções quadráticas,
compreendidas na seção de 11 a 17, apesar de ainda apresentarem dificuldades
nas resoluções das atividades, notou-se uma melhoria significativa.
Às 32 horas proposta para execução das ações, não foram suficientes,
motivados pela falta de equipamentos que atendessem de imediato as
necessidades de ensino, não comparecimento dos alunos envolvidos na
pesquisa por motivo de chuva e residirem em área rural, recusa de envolver-se
nas atividades de pesquisa.
A equipe de direção, pedagogos e professores, participaram de todas as
reuniões programadas em etapas anteriores, e prestigiaram a aplicação das
ações projetadas, incentivando os alunos e apoiando todo o processo que
deveria a escola oferecer, atendendo e envolvendo-se, dentro de suas
possibilidades em atender o programa do Governo para professor PDE.
As orientações para prosseguir e avançar nas etapas, foram
fundamentais na aplicabilidade das experimentações, fase de análise e
comprovação até sua validação.
Validação
As atividades destinadas à observação do ensino e da aprendizagem
compreenderam o primeiro semestre de 2017. As ações produzidas de 01 a 17,
descritas e analisadas, a partir das explorações dos gráficos de funções afim e
quadrática produziram resultados satisfatórios e de análise mostrando à
possibilidade do retorno as atividades através da realimentação proporcionadas,
corrigindo as possíveis falhas na busca da melhoria da qualidade.
Vantagens da metodologia de pesquisa denominada “Engenharia
Didática” atribuída (ARTIGUE, 1994 e 1996 e BROUSSEAU, 1986); (POMMER,
2013)?
Há um ganho satisfatório com a Engenharia Didática, pois ela atribui
condições e organização do professor/pesquisador, de realizar atividades
geradas a partir de uma indagação e produzi-las através de uma análise
metodológica, onde o aluno e o professor percorrem os mesmos espaços e
caminhos, até a sua validação, e ainda dentro da análise concluída ter o poder
de retornar as atividades e corrigir nos momentos oportunos.
A Proposta teve um alcance satisfatório?
A proposta de trabalho foi realizada dentro das condições esperadas
para uma Escola Estadual do Campo, onde a maioria os alunos são
trabalhadores rurais, e o uso de tecnologia os deixam fascinados, esquecendo
muitas vezes que na escola computadores é para trabalhar conteúdos e não se
ater a mídias sociais que, seu uso indiscriminado geram interrupções, foge do
controle do professor/pesquisador.
A Engenharia Didática traz um caminho para que eu possa acreditar que
através do ensino e da aprendizagem, orientadas por uma sequência didática
faz esperar que o ensino tem seu valor e o caminho traçado no momento para
um projeto, é a satisfação de brilhantismo de muitos estudantes paranaenses.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A proposta pedagógica para o ensino de funções - presente na matriz
curricular dos estudantes - e a posterior verificação dos resultados, permitiram
elaborar e refletir sobre a realização das ações na sala de aula e no após
laboratório de informática uma interpretação acerca do conteúdo de funções.
Este conteúdo necessita de reflexão, reavaliação e retorno às atividades, já que
professor é responsável pelo aluno e é dever do educador ter persistência
pedagógica, entendendo seu aluno em seu tempo de aprendizagem, cuidado e
atenção no desenvolvimento das atividades realizadas pelo estudante.
Dessa forma, a carga horária articulada para o experimento, não foi
suficiente, pois necessita de articulações elaboradas no contexto pedagógico
somadas ao respeito do tempo, das diferentes condições de aprendizagem e do
meio social que o aluno possui, para, somente assim ter melhoria nas
exemplificações e consequentemente nos resultados. Entretanto, o professor já
pode ter uma boa análise em relação ao aprendizado dos estudantes.
À vista disto, dos resultados obtidos é verificado a necessidade de fonte
mais detalhada de pesquisa, pois os alunos em várias atividades conseguiram
resolver os problemas matemáticos, mas a interpretação do mesmo contradiz
sua evolução.
Assim sendo, a Engenharia Didática, como metodologia e
desenvolvimento com Sequência Didática, permite a reavaliação dos
procedimentos elaborados entre professor e aluno – um trabalho conjunto na
produção simétrica do conhecimento.
Por isso, o presente artigo contribuiu para a experiência, tanto quanto à
sala de aula e os obstáculos encontrados nela, quanto às atividades voltadas no
cotidiano de uma escola do campo. Ou seja, quanto à sala e seus obstáculos:
algumas vezes, a sala de aula mostra-se carente de metodologias e sem suporte
para enfrentar os obstáculos surgidos - mesmo estando ativas, isto é, fazendo
parte do currículo estudantil. Já em relação ao cotidiano de uma escola de
campo, o artigo se mostrou que muitas vezes a dificuldade que antes não era
percebido, agora é refletida na necessidade de o professor vivenciar e entender
a importância das propostas pedagógicas.
Portanto, inferimos que as dificuldades encontradas sejam uma fonte de
superação, com ações colaborativas e adoção de atividades necessárias para o
aprendizado do aluno, mesmo quando as rebeldias sejam evidenciadas, como
foi observado em um dos participantes no decorrer desta pesquisa. Dado isto, o
professor não deve desistir, mas se alegrar com o retorno de um aluno às aulas,
como foi também notado durante a realização deste artigo. Por estas e outras
razões, constata-se que metodologia adotada é de estímulo aos alunos,
relevante e útil ao professor, ao sistema de ensino e na aprendizagem como um
todo em busca da melhoria da qualidade pedagógica, do aprendizado e
consequentemente dos resultados nas análises.
Referências
ARTIGUE, M. Engenharia Didática. In: BRUN, J. Didática das Matemáticas.
Tradução de: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. Cap. 4. p. 193-217. BRASIL, Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Lei número 9394, 20 de dezembro de 1996. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC / SEF, 1998. Disponível em www.portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf Acesso em 28/11/2017. BROUSSEAU, G. Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: BRUN, J. Didática das Matemáticas. Tradução de: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1996a. p. 35-113.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de
Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2008. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf> Acesso em 20 nov. 2017. POMMER, Wagner Marcelo. A Engenharia Didática em sala de aula:
Elementos básicos e uma ilustração envolvendo as Equações Diofantinas
Lineares, 2013. 72 p. ils.: Tabs. ISBN 978-85-914891-1-4
VALENTE, José Armando. O Computador na Sociedade do Conhecimento. Campinas: UNICAMP/NIED, 2008. __________. Projeto Político Pedagógico do Colégio Estadual do Campo de Ourilândia-EFM, 2014. __________. Regimento Escolar do Colégio Estadual do campo de Ourilândia - EFM . 2017.