geo-trigo- 1-5
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1
GUÌA DE APRENDIZAJE
ASIGNATURA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Unidad de Aprendizaje :
TRIÁNGULOS Material didáctico para uso exclusivo de los
estudiantes
CICLO INTENSIVO
PUEBLO LIBRE
2014
2
ÍNDICE DE CONTENIDO
UNIDAD DE APRENDIZAJE I: TRIÀNGULOS PRIMERA SEMANA Página 3 SESIÓN 1:
Tema 1: Triàngulos Tema 2: Líneas Notables SESIÓN 2: Seminario Taller SEGUNDA SEMANA Página 20 SESIÓN 1:
Tema 1: Razones trigonomètricas SESIÓN 2: Seminario Taller TERCERA SEMANA Página 29 SESIÓN 1:
Tema 1: Resoluciòn de triángulos rectàngulos SESIÓN 2: Seminario Taller CUARTA SEMANA Página 31 SESIÓN 1: Tema1: Cuadrilatero SESIÓN 2: Seminario Taller QUINTA SEMANA Página 39 SESIÒN 1 Tema 1: Àreas SESIÒN 2 Seminario Taller
3
PRIMERA SEMANA SESIÒN 01
TEMA 01 TRIÁNGULOS
1. DEFINICIÓN.
El triángulo es la figura formada por la
unión de los tres segmentos
determinados al unir tres puntos no
colineales.
Elementos:
Vértice : A, B y C
Lados : CA y BC AB,
Notación:
ABC: se lee, triángulo ABC
Observación:
El perímetro del triángulo indica la suma de longitudes de los lados y se simboliza generalmente como 2p.
Así: 2p = AB + BC + AC, de donde:
AB BC AC
2p
es el semiperímetro.
2. CLASIFICACIÓN.
2.1. POR SUS LADOS
Triángulo Escaleno: No tiene lados congruentes.
Triángulo Isósceles: Tiene dos lados
congruentes; el tercero se llama base y
los ángulos en la base son congruentes.
Triángulo Equilátero: Tiene sus tres
lados congruentes. Cada ángulo interior
mide 60°.
Triángulo Triángulo Triángulo
Escaleno Isósceles Equilátero
2.2. POR SUS ÁNGULOS
Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto. El mayor lado se llama hipotenusa y los otros, catetos. Triángulo Oblicuángulo: No tiene ángulo recto. Se llama acutángulo si sus tres ángulos interiores son agudos y obtusángulo si un ángulo interior es obtuso.
Rectángulo Acutángulo Obtusángulo
4
x
3. TEOREMAS BÁSICOS.
Las medidas de los tres ángulos interiores suman 180°
Cada ángulo exterior mide igual
que la suma de dos interiores no
adyacentes a él.
Las medidas de los tres ángulos
exteriores, uno por cada vértice,
suman 360°.
Cualquier lado es mayor que la
diferencia de los otros dos y
menor que la suma de ellos.
Si a b c,
entonces:
En un mismo triángulo: A mayor
ángulo se opone mayor lado, y
viceversa.
Si
entonces:
4. TEOREMAS AUXILIARES.
+ + = 180°
= +
+ + = 360°
c – a < b < c + a
>
b > a
x = + +
+ = +
5
A P C
B
6θ
º302
PRIMERA SEMANA
SESIÓN 02
SEMINARIO TALLER
TRIÀNGULOS
1. En la figura, calcule “x”.
2. En la figura, calcule “x”.
3. En la figura, calcule “x”.
4. En la figura, calcule el valor de “”; si BP AC .
5. En la figura: MN = NC = BC. Calcule “x”
A N C
B
Mx
º20
º40
x
6
6. En la figura, calcule “x”.
7. En el gráfico, calcule a + b + c + d 8. En la figura siguiente calcule “x”. si AB = BC y además BM = BE.
9. Según el gráfico, si AB=BD=DE=EF=FC, calcule “x”
10. Calcule “ + + + + + a + b + c”
A M C
B
E
º20
x
x
x
a
bd
c
a°
b°
c°
°
°
° ° °
7
TRIÀNGULOS
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE TRIÀNGULO:
1. En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH y la bisectriz AM intersecándose
ambas en N. Si BN = 8 cm. Calcule a medida de BM , si H AC y M BC
2. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz BD del ángulo
HBC, tal que AB = 7 y AC=10. Calcule DC.
3. En un triángulo ABC, y . Calcule la medida del menor ángulo
formado por las alturas que parten de A y C.
4. En un triángulo ABC, donde , se ubican los puntos P en AC y Q en PC
tal que AP = PB y BQ = QC. Calcule .
5. En la figura, calcule la medida del lado “AB”, si: BC = 8; CD = 4
6. En la figura mostrada, si BD = 4 y BC= 6, halle AD.
7. Los ángulos de un triángulo miden 6x; 5x + 10º y 3x + 30º. ¿Qué clase de triángulo
es?
8. Calcule el mínimo valor entero del perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide
7u, sabiendo que todos sus lados son enteros.
9. En la figura; AB=3 y BC=12. Calcule la suma de los valores mínimos y máximo de AD;
si los valores de AD son números enteros.
10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en el cual se traza la ceviana interior AN.
Si AB = BC = 4 y la longitud de AN es un número entero. Calcule
8
PRIMERA SEMANA SESION 01
TEMA 02: LÍNEAS NOTABLES
1. Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
B
A C
BM: mediana
2. Mediatriz: Recta perpendicular a un lado, en su punto medio.
B
A C
L : mediatriz
3. Bisectriz interior: Segmento de bisectriz de un ángulo interior, limitado por el lado opuesto.
4. Bisectriz exterior: Segmento de bisectriz de un ángulo exterior, limitado por la prolongación del lado opuesto.
B
A C E
BE: bisectriz exterior
5. Altura: Segmento perpendicular a un lado o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.
Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo
Triangulo obtusángulo
6. Ceviana: Es aquel segmento que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.
L
M
B
α α
D
BD: Bisectriz exterior
9
B
TEOREMAS AUXILIARES
1.1. Ángulo entre la bisectriz interior y exterior de un ángulo de un triángulo
1.2. Ángulo entre bisectrices interiores en un triángulo.
3) Ángulo entre bisectrices
exteriores en un triángulo.
4) Ángulo entre bisectrices interior y exterior:
5) Ángulo en el pie de la Bisectriz
interior:
6) Ángulo entre Altura y Bisectriz
interior:
x = 90°+2
Bm
φ=90°2
m A
2x
A
2
m B
A C
B
X
α
α
B
α α
β β
X
α α θ θ
M N
B
A C
m MBN=90°
10
PROBLEMAS RESUELTOS
01.- Calcule “x” en la figura, si: m B=90°, AE es bisectriz del ángulo BAC y HE bisectriz del ángulo BHC.
Resolución Luego:
Propiedad: x = 2
42= 21°
02.- En la figura mostrada, halle “x”, si: a+b = 260° Resolución:
En el ABC
a+b+2 = 360°
260°+2 = 360 = 50°
Luego: en el CPL
Por propiedad : x = 2
x = 2
50 x = 25°
03.- En la figura, calcule Xº
Resolución
Por Angulo externo x = y + 25º ........ (I) y = 35º + 20º .....(II)
(II) en (I) x = 35º + 20º + 25º x = 80° 04.- En la figura, EFGH es un cuadrado.
Halle el valor de x
Resolución
En el triángulo PAH
75º + 45º + y = 180º y = 60º ..... (I)
En ABC
x + y = 90 ...... (II)
(I) en (II)
x + 60º = 90º x = 30º
20°
35° 25°
x
y
75°
E
F H
G
x
75°
E
F H
G
x
P
A
C y
45°
45°
11
05. En un triángulo ABC, el ángulo A mide 58º. ¿Cuánto mide el ángulo BDC donde D es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos B y C?
Resolución:
BDC x + + = 180º
ABCD x = + + A
Suma 2x = 180º + A
Mitad: x = 90º + A
/2 x = 90º + 58º/2 x = 119º
A
B C
58°
x
12
PRIMERA SEMANA SESION 02
SEMINARIO TALLER LÌNEAS NOTABLES
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS: 01. En el triángulo ABC donde AB=8,3 y BC=3,3. Calcule la diferencia entre el máximo y
mínimo valor entero del lado AC. 02. ¿Cuál es la mayor y la menor medida de los segmentos que forman la de la figura?
03. Halle x en la figura si m ABC= 72° y BD es bisectriz del ángulo ABC.
04. En la figura, halle x.
05. En la figura: AB=AD=BC, m A=60° y m C=82°. Halle m ABC.
06. Halle x en la figura:
54° 62°
52° 65°
A
B
C
D
x
5x
82°
60°
C
D
A
B
66
°
x
2
2
A
B
D C
x
13
07. En la figura: BH es altura, m A=2(m C), AB=10cm y AH=2cm. Halle AC. 08. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, la altura BH intercepta a la bisectriz AD en el
punto P. Calcule BP, si BC= 12cm y DC= 9cm.
09. En el triángulo acutángulo ABC donde m A - m C=48°. Calcule la medida del menor ángulo que forma la mediatriz de AC al intersecar a la bisectriz exterior del ángulo B.
10. En el triángulo isósceles ABC donde m ABC=132°. Calcule la medida del ángulo formado por la altura con la bisectriz interior que parten del vértice A.
11. En el triángulo ABC se traza la altura BH y la bisectriz interior AS siendo el cociente de
(m HBC) entre (m ABH) igual a 2 y m C=46° . Halle m BSA. 12. En el triángulo ABC donde AB=BC, se traza la bisectriz interior AS siendo AS=AC. Halle
m B.
13. En el triángulo ABC donde m C – m A=70° se traza la bisectriz BS. Halle m BSC.
14. En la figura, halle x si m B=36°
15. En el triángulo ABC, m A - m C=34°. Halle la medida del menor ángulo que forma la
bisectriz interior del B al interceptar a la mediatriz de AC. 16. En la figura, AB = FC. Halle el valor de x.
17. En un triángulo PQR las bisectrices exteriores de P y R se intersectan en el punto A, tal
que m Q = 2m PAR. Calcule la m PAR
A C
B
F
x
x
2x3x
7x
A
B
C H
A C
B
D
x
2 2
14
18. Si y son bisectrices de los ángulos BAC y BHC respectivamente, calcule “x”
19. Se tiene un triángulo MNP tal que las bisectrices
exteriores de M y P se interceptan en E. Calcule la m N, si 2m N + m MEP = 117º.
20. Calcule “x”:
21. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , en la prolongación de se toma un punto
“H” y luego se traza perpendicular a . Calcule: m DHG, si m A – m C = 40º.
22. En la figura // , AM = 4 y BC =13 y BN= 7. Calcule: MN
23. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH y la bisectriz del ángulo ABH que interseca al lado AC en el punto P, tal que BC= 12 y AC= 16. Calcule PC.
24. Por el vértice “B” de un triángulo ABC, cuyo perímetro es 16, se trazan paralelas a las
bisectrices interiores de A y C las que intersecan a AC en P y Q. Calcule PQ. 25. En un triángulo dos de sus lados suman 28. calcule el mayor valor entero que puede
tomar la altura relativa al tercer lado
15
PROBLEMAS RESUELTOS
01.- En la figura: AE=BC, BE=AD. Calcule x. Resolución:
En la figura: EAD EBC(LAL)
Luego: m BCE= m AED=β
m BEC= m EDA=α EC=ED
BEC: α+β=90°
En “E”:
α+β+ m CED=180°
90°+ m CED=180°
m CED=90°
DEC(isósceles): 2x+90°=180°
x=45°
02.-En el triángulo ABC, donde m A+ m C=58°, se trazan las mediatrices de los lados AB
y BC que interceptan al lado AC en “P” y “Q”. Calcule m PBQ.
Resolución:
Por mediatriz de AB: AE=EB
m A= m ABE=α
Por mediatriz de BC:
BQ=QC, m C= m QBC=β
Por dato: α+β=58°
En “B”: α+β+x=180°-58° 58°+x=122°
x=64°
03.-En el triángulo ABC se traza la ceviana AN que interseca a la mediana BM en su punto
medio “E”. Calcule AE si EN=2m.
Resolución:
a
x E
A
C
D
B
α
α
β
β
a
b
b
x E
A
C
D
B
2
M
P x E
A
C
N
B
b b
a
a
x
Q
α α β
β
E A C
B
16
Se traza MP paralelo a AN.
MBP: Por base media: MP=2(EN)=2(2)=4
ANC: Por base media: AN=2(MP)
X+2=2(4)…….X+2=8
X=6m
04.-En el triángulo escaleno ABC se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que se
intersecan en E, además m ABC=120°. Calcule BE si la distancia del punto E al lado
AC es 6m.
Resolución:
2θ=120°…..θ=60°
Por bisectriz del A: EP=EQ=6
BPE: 60°:
BE=2(6/√ )
BE=4√ m
05.- En el triángulo rectángulo ABC donde m ABC=90°, m BCA=22,5° y AC=12m.
Calcule la medida de la altura BH.
Resolución:
Se traza la mediana BM, tal que:
BM=AM=MC=6m
BMC es isósceles y 2α=45°
BHM, por ángulo de 45°……x=3√
x
Q
α α
θ P
E
A C
B
6
θ
C
6 6
A
B
H M
α
π
α
π
2α
π
6 α=22.5°
dato
17
SEMANA 1 SESION 2 SEMINARIO TALLER CONGRUENCIA DE ÀNGULOS RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:
1. En la figura: AB=CD, BC=ED. Halle m ACE.
2. En la figura BCDA es un cuadrado, EB=4 y EC=8. Halle la distancia del punto “D” a
EC
3. En la figura la distancia de “C” a AB es 4. Halle MN.
4. En el triángulo ABC la mediatriz de AC corta al lado BC en “P”. Halle m BAP si
m A=65° y m B=86°.
5. En el triángulo rectángulo ABC (m B=90°) se traza la bisectriz AS siendo BC=12 y
SC=7. Halle la distancia del punto medio del segmento AS al lado AC .
6. En la figura: AC=24u y BC=16u. Halle MH
7. En el triángulo rectángulo ABC (m B=90°) la bisectriz de A se corta con la mediatriz
de AC en un punto “P” de BC . Halle m C.
B
A
C
E
D
B
D
C
E
A
C
M
N A
B
18
8. En el triángulo ABC donde m B=90°, m C=22,5° y AC=12m. Calcule la medida de la altura BH.
9. En la figura: AB=12m. Calcule DC.
10. La figura, = . Halle x + y:
11. En un triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma M punto medio del lado AB y se
traza MH perpendicular a AC y luego se toma el punto F en BC tal que m HFC=90º y AH=CF. Halle AB si HC=4m.
12. La mediatriz del cateto BC de un triángulo rectángulo ABC, intercepta en F a la
prolongación de la altura BH. Calcule m ACF si m A=55º.
13. En un triángulo ABC (m BAC=35º), la mediatriz de la bisectriz interior BF intercepta en G a la prolongación del lado AC. Halle la medida del ángulo CBG.
14. En un triángulo ABC, la medida del ángulo externo en A es el triple de la m C, la mediatriz del lado AC intercepta en P al lado BC. Halle BP si AB=7 y BC=10.
15. En la figura: OM//QR y OG//PQ. Halle x si: FM=4m y FL= 12m.
16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, m BCA=35º, se traza la ceviana interior
BF tal que m ABF=15º. Halle BF si AC=12cm.
x
C
H
2x
A
D
B
3
3
5
4
β
α 2x-9
7-3y
Q
L
R
G
x
P
O
M
F
19
17. En el triángulo ABC, donde m A=30° y m C=15°, se traza la mediana BD. Calcule
m DBC.
18. En la figura, AP = BC. Halle “x”
19. En el gráfico, AE = EF; FD = 10; EC = 4 y AB = 6. Calcule BD
20. En un triángulo ABC acutángulo se traza la altura BH y la mediana AM que se
intersecan en “O”. Halle la m MAC, si: AH = BM; BO = 11 y OH = 5
21. En un triángulo ABC, m B = 105º, m C=30, se traza la mediana AM. Calcule m MAC
22. En un triángulo ABC el ángulo exterior en “B” mide 80°. Las mediatrices de ABy BC
se cortan en el punto “P”. Calcule la m PAC.
23. En un triángulo ABC se ubica el punto interior “O” y el punto medio “M” de BC, de
modo que: AC//OM , m ABO = 65°, m BCA = 40° y AC = AB + 2(OM). Calcule la
m OBC.
24. En un triángulo ABC obtuso en B, se construyen exteriormente los cuadrados ABDE y BCGF. Calcule AC, si las distancias de E y G a la recta AC son 6cm y 8cm respectivamente
25. En un triángulo ABC, en AB y AC se ubican los punto “P” y “Q”, respectivamente con
la condición: AQ = QC, AP = PB + BC y m ABC = 80° y. Calcule la m APQ.
A C
B
P
xº70°
40°
A
F
DCB
E
20
SEGUNDA SEMANA SESIÓN 01
TEMA 01: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
2. Definición.
2.1. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Es el cociente que resulta de dividir dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo
; para ello se toma como referencia a uno de los ángulos agudos. Estas razones
trigonométricas son seis, cuyos nombres son : Seno, Coseno, Tangente,
Cotangente, Secante y Cosecante y que se representan por : Sen , Cos , Tan ,
Cot , Sec y Csc respectivamente.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo A en un triángulo rectángulo ABC
(recto en C) se definen de la siguiente manera:
EJEMPLOS
a) En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir:
E = senA secC + cosC cscA
Solución:
Del gráfico:
a
bx
b
a
a
bx
b
aE
E = 1 + 1 E = 2
a
c=
opuestoCateto
Hipotenusa=CscA
b
c=
adyacenteCateto
Hipotenusa=SecA
a
b=
opuestoCateto
adyacenteCateto=CotA
b
a=
adyacenteCateto
opuestoCateto=TanA
c
b=
Hipotenusa
adyacenteCateto=CosA
c
a=
Hipotenusa
opuestoCateto=SenA
B
C b A
a c
ELEMENTOS :
a: Cateto opuesto
b: Cateto adyacente
c: Hipotenusa
A B
C
a
c
b
21
b) Si: es un ángulo agudo tal que 3
1cos . Calcule tg.
Resolución:
Del dato: 3
1cos
“” debe estar dentro de un triángulo rectángulo.
Por Pitágoras:
222 BC13
22BC
Piden: 221
22tg
2.2. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS
sen . csc = 1
cos . sec = 1
tg . ctg = 1
COMPLEMENTARIAS
sen = cos
tg = ctg
sec = csc
EJEMPLO
Si: sen 2x = cos 80º. Calcular: “x”
90º (<S Complementarios)
2x + 80º = 90º x = 5º
cateto adyacente hipotenusa
2 2
A B
C
1
3
Siempre y cuando:
+ = 90º
(Complementarios)
Siempre y cuando: =
a
b
c
22
3. Razones trigonométricas de ángulos notables
Los triángulos rectángulos notables son aquellos triángulos donde conociendo las
medidas de sus ángulos agudos (ángulos notables), se puede saber la proporción
existente entre sus lados.
Como por ejemplo:
Triángulo Notable de 45º y 45º
Triángulo Notable de 30º y 60º
TRIÁNGULO APROXIMADO
a a
a
a
45º
45º
2a 2a
60º 60º
30º 30º
a a
2a
60º
30º
a
5a 3a
37º
53º
4a
a
a
45º
45º
a
23
De los triángulos anteriores:
Ángulo
R.T. 30º 37º 45º 53º 60º
sen 1
2
3
5 2
2
4
5 3
2
cos 3
2
4
5 2
2
3
5
1
2
tg 3
3
3
4 1
4
3 3
ctg 3 4
3 1
3
4 3
3
sec 2 3
3
5
4 2
5
3 2
csc 2 5
3 2
5
4 2 3
3
EJEMPLOS
a) Calcular: E = sen230º + tg37º
Reemplazando valores: 1E4
3
4
1
4
3
2
1E
2
b) Evaluar: º30csc
º60cosº45senE
2
Reemplazando: 2
1
221
42
2
21
22
2
24
SEGUNDA SEMANA
SESIÓN 02
SEMINARIO TALLER A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC
( º90=A ).
Calcule: E = b.tgC + c.tgB – c
2. En un triángulo ABC recto en C se
cumple 3senA = 2senB.
Calcule: tgB6+senA13=E
3. Si: 3
2sen donde “” es agudo.
Calcule: ctg
4. Si: 4
7=sen
Calcule: tg7sec3=E -
5. En un triángulo rectángulo ABC
recto en B se cumple que:
2tgA = cscC
Calcule: tgC3+senA2=E
6. Del gráfico calcule “x”. Si: 2
3=tgB
7. Si: 7=xsec
Calcule: senx42+xtg=E 2
8. En un triángulo rectángulo ABC
(B = 90º) tgA = 4tgC. Si el mayor
lado mide 58 m. ¿Cuál es el área
del triángulo?
9. Del gráfico calcule:
ctgx
ctgzctgy=E
-
10. Del gráfico, calcular ctg2
A C
B
4x + 2
7x + 1
x + y x - y
A
B
C
M
x
y z
25
B. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE LAS PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
1. Halle “x” si :
cos(2x – 10º) sec(x + 30º) = 1
2. Calcule el valor de :
E = (5 tg 10º + 10 ctg 80º) tg 80º
3. Determine el valor de “x” :
sen(3x – 42º) csc(18º - 2x) = 1
4. Reduzca :
E = (3 sen 40º + 4 cos 50º) csc 40º
5. Determine “x” si:
tg(2x + 10º) = ctg(x – 40º)
6. Si : tg 3x . ctg(x + 40º) = 1.
Calcule Cos 3x
7. Sabiendo que :
tg 5x . ctg (x + 40º) = 1.
Calcule : cos 3x
8. Si : sen (2)csc ( + 30º) = 1 y
tg ( + 20º) = ctg ( - 20º)
Calcule :
E = sen( -10º) sec + tg ( - 5º) tg(+ 5º)
9. Si : sen (3x + 10º) = cos (6x – 10º).
Calcule :
E = )º7+x3(sec+2
x9tg
10. Si: cos A = 1x3
2x3
y sen B =
2x
1x
.
Determinar el valor de tg A si A y
B son complementarios.
11. Simplifique :
º89cos++º3cos+º2cos+º1cos
º89sen++º3sen+º2sen+º1sen
12. Simplifique :
º89csc++º3csc+º2csc+º1csc
º89sec++º3sec+º2sec+º1sec
26
C. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
1. Calcule:
E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º
2. Calcule:
E = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º
3. Determine el valor de “m” para
que“x” sea 30º.
1+m
1m=x2cos
4. Calcule:
º45sen
º30cosº37senº60secº30tg=E
2
-
5. Del gráfico halle: ctg
6. De la figura calcule : tgx
7. Del gráfico halle: tg
8. Del gráfico calcule ctg. Si: AD7=DC
9. Del gráfico halle sen
10. Del gráfico halle tg
45º
37º
37º 3x
x
5x - 2
A D C
B
M
60º
53º
45º
53º
x
x + 3
2x + 1 5x - 3
45º
25
TERCERA SEMANA SESIÓN 01
TEMA 1: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
A. Definición.
Resolver un triángulo significa encontrar las medidas de todos sus elementos básicos conociendo la medida de dos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado. Esto quiere decir que, para resolver un triángulo rectángulo sólo necesitamos dos datos de los cuales uno de ellos debe ser un lado. Se nos pueden presentar cualquiera de los dos casos siguientes: I. Si los dos datos conocidos son dos lados. El tercer lado se calcula con el
Teorema de Pitágoras y los ángulos agudos, con cualquier razón trigonométrica.
II. Si los dos datos conocidos son un lado y un ángulo agudo. Aplicamos:
Lado Incógnita. .
lado datoR T de agudo
De la relación anterior se puede calcular con facilidad los otros dos lados; para ello tomaremos en cuenta las siguientes observaciones o casos:
Caso 1 (Si el lado conocido es la hipotenusa)
Caso 2 (Si se conoce el cateto opuesto al ángulo conocido)
m
m
m cos
m sen
m
m
m ctg
m csc
26
Caso 3 (Si se conoce el cateto adyacente al ángulo conocido) Observaciones:
EJEMPLO:
Halle el perímetro del triángulo ABC en función de “m” y “”
Resolución:
Analizando la figura:
m
m tg
m
m sec
a a
2acos
a S
b
sen2
abS
a
a
2sena2
x
B
H
A
mSec2
C m
mTg.Sec m.Sec
B
H
A m
C
27
En el BHC: Sec = BC
m BC = mSec
En el ABC: Tg = AB
m Secα AB = m Tg Sec
Sec = AC
m Sec α AC = m Sec2
Hallamos el perímetro del ABC: 2p = AC + AB + BC
2p = m Sec2 + m Tg Sec + mSec
2p = m Sec (Sec + Tg + 1)
B. Aplicación de la resolución de triángulos rectángulos en problemas de
ángulos verticales.
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos que están ubicados en el plano vertical imaginario; que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal como consecuencia de una observación y se les mide con instrumentos de ingeniería, llamados “teodolitos”. Línea visual: Es la línea recta que une el ojo de un observador con un objeto que se observa.
Línea horizontal: Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial, que pasa por el ojo del observador.
Ángulos de elevación: Es un ángulo formado por la línea visual y la línea horizontal cuando el objeto se halla por encima de la línea horizontal. Ángulo de depresión: Es el ángulo formado por la línea visual y la línea horizontal cuando el objeto se halla por debajo de la línea horizontal.
y : ángulos verticales por su ubicación, se clasifican en :
: Ángulo de elevación
: Ángulo de depresión
28
NOTA: En todo problema donde no se mencione la altura del observador, entonces se considera un punto fijo sobre la superficie de la tierra.
EJEMPLOS:
1. Desde un punto “P” en tierra se observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30° y acercándose 20 m en línea recta se observa el punto anterior con un ángulo de elevación de 45°. Determine la altura del edificio.
2. Desde un helicóptero que se encuentra a 100 3 cm sobre el nivel del mar, los
ángulos de depresión de dos botes que están situados a la dirección sur del observador son 15° y 75°; halle la distancia que separa a los dos botes. Resolución De la figura:
100 3 ctg75° + x = 100 3 ctg15°
x = 100 3 (Ctg15° - Ctg75°)
x = 100 3 (2 + 3 - 2+ 3 )
x = = 100 3 (2 3 ) :. X = 600 cm
¡No olvides!
* tg 15° = ctg 75° = 2 - 3 y * tg 75° = ctg 15° = 2 + 3
3. Desde un punto en el suelo un observador mira la parte superior de un poste de
luz con un ángulo de elevación “” pero si se acerca una distancia igual a la mitad de la distancia que lo separa del poste, observaría el foco con un ángulo de
elevación que es complemento de “”. Halle: tg ”. Resolución:
Resolución:
De la figura:
AP = hCtg 30°
AP’ = hCtg 45°
AP – AP’ = h ( 3 ) - h(1)
20 = h ( 3 - 1)
h = 20/( 3 -1)
h = 10( 3 +1)m
x
15°
75°
75° 15°
1003
1003 ctg15°
En el menor:
tg =
tg = 1
2
tg = 2
2
* tg 1° = ctg 75°
= 2 - 3
* t ctg 15° = 2 +
3
20 P P’
30° 45°
h
A
2a a a
90 -
2a tg
29
TERCERA SEMANA SESIÓN 02
SEMINARIO TALLER
A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
01,-Del gráfico, halle: AC en
función de “m”, ”n”, ”x” e ”y”
02.- Halle “x” en función de “m”, ”” y ” ”
03.- En un triángulo rectángulo uno de
los ángulos agudos mide “” y el cateto adyacente a este ángulo mide “n”. Determine el área del
triángulo en función de “” y “n”.
04.- Halle el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de sus
ángulos agudos es “” y de cateto adyacente “a”. Indique la respuesta
en función de “” y “a”. 05.- Del gráfico, halle “x” en función de
“n”, “” y “”
06.- Del gráfico, determine AD en
función de “m” y “”
07.- Del gráfico, determine CD en
función de “m” y “θ”
08.- Del gráfico, halle HC en función
de “d”, “” y “”
09.- De la figura, halle el valor de BD
10.- Del gráfico, halle “x” en función de “R” y “θ”
2
O R
x
A
B
C
4
D
37º
A
d
H C
B
C
A B D
45º
m
B
C D
A m
n
D
C
B
x
x
m
A
B
C
m n
x y
30
B. RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE ÁNGULOS VERTICALES APLICANDO RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS :
01.- Un niño que se encuentra a 24m de un edificio observando la parte más alta con un ángulo de elevación de 37º. Halle la altura del edificio.
02.- Desde un punto en el piso se observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de
elevación de 30º, si el punto dista del árbol 7 3 m. Halle la altura del árbol. 03.- A 240m de la base de un edificio se observa la parte más alta de éste con un ángulo de
elevación de 37º. Calcule la altura del edificio. 04.- Desde lo alto de un edificio un niño observa una hermosa niña con un ángulo de
depresión de 37º. Halle la distancia de la niña al edificio, si este tiene una altura de 15m. 05.- Dos personas están colocadas a ambos lados de un poste. Una de ellas observa la
parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 45° y la otra con un ángulo de elevación de 37°. Si la distancia entre ambas personas es de 28 m. ¿Cuál es la altura del poste?
06.- Desde un avión que está por aterrizar se observa en su misma trayectoria la pista de
aterrizaje, al extremo más cercano con un ángulo de depresión de 60°, al extremo más alejado con un ángulo de depresión de 30°. Halle la longitud de la pista de aterrizaje, si
el avión se encuentra a 600 3 m de altura. 07.- Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de
45°, y el techo del sexto piso con un ángulo de elevación de 37°. Halle el número de pisos que tiene el edificio.
08.- Desde lo alto de un edificio se divisa un objeto en tierra con un ángulo de depresión ""
(Tg = 2,5), a una distancia de 40m de su base. ¿Cuál es la altura del edificio? 09.- Desde la parte alta de un muro de 8 m de altura, se observa la parte alta y baja de un
edificio con ángulos de elevación y depresión de 37° y 45° respectivamente. Calcule la altura del edificio.
10.- Desde lo alto de un árbol se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37°,
y se ve también la parte baja con un ángulo de depresión de 53°. Si la distancia del árbol al edificio es de 12 m, determine la suma de las alturas del árbol y el edificio.
11.- Desde lo alto de un faro, se observa a un mismo lado, dos barcos anclados; con
ángulos de depresión de 53º y 37°. Si los barcos están separados una distancia de 14m. ¿Cuál es la altura del faro?
12.- Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación “”.
Si el punto de observación está a una distancia “d” de la base del poste. ¿Cuál es la altura del poste?
13.- Un niño de estatura 1,5m; está ubicado a 6m de una torre y observa su parte más alta
con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre? 14.- Un niño está ubicado en el punto medio entre un poste y un árbol. Si el niño divisa lo
alto del poste, cuya altura es el triple de su estatura, con un ángulo de elevación que es el complemento del ángulo de elevación con que mira al árbol, siendo la altura del árbol cinco veces su estatura. Calcule el producto de cotangentes de los ángulos de depresión con que se ve los pies del niño desde lo alto del poste y lo alto del árbol.
31
CUARTA SEMANA
SESIÓN 01
TEMA 01: CUADRILÀTEROS
1. DEFINICIÓN.
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros pueden ser: convexos y no convexos.
°
Convexo No convexo
+ + = 360 x = + +
2. CLASIFICACIÓN
Considerando el paralelismo de sus lados los cuadriláteros se clasifican en:
2.1 TRAPEZOIDE
Es un cuadrilátero en el que ningún par de lados opuestos son paralelos.
Un caso particular de los trapezoides, es el trapezoide simétrico o bisósceles.
β
°
β
°
α θ α إل°
x
32
OBSERVACIÒN:
Trapezoide simétrico: Es aquel trapezoide en el cual una diagonal es mediatriz de la otra diagonal.
En la figura AC es mediatriz de BD; luego AB = AD y BC = CD.
2.2 TRAPECIO
Es un cuadrilátero en el que un solo par de lados opuestos son paralelos. Estos lados paralelos se llaman bases del trapecio.
El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina mediana del trapecio o base media; el segmento perpendicular entre las bases viene a ser la altura del trapecio.
Base menor Altura
Mediana
Base mayor
D
B
C A
33
TEOREMA 1
En todo trapecio, la mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases.
2
BCADMN
TEOREMA 2
En todo trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases.
PQ = 2
BCAD
CLASES DE TRAPECIOS
a) Trapecio escaleno.- Es el trapecio que tiene sus lados no paralelos no congruentes.
B C
A D
M N
B C
A D
M N
P Q
α
B C
A D θ
34
b) Trapecio rectángulo.- Un trapecio escaleno se llama trapecio rectángulo si uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.
Altura
c) Trapecio isósceles.- Es el trapecio que tiene sus lados no paralelos congruentes. En un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.
2.3 PARALELOGRAMO Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que dos pares de lados opuestos son paralelos.
C
B C
A D α β
°
B C
A
B
A D
D
35
°
°
° ° °
°
TEOREMA 1
En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.
TEOREMA 2
Los diagonales de un paralelogramo se bisecan.
CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS
a) Rectángulo.- Es un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos. Las diagonales del rectángulo son congruentes.
b) Rombo.- Es un paralelogramo cuyos lados son congruentes entre sí. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.
° °
a
A
B C
D
B C b
β
° α
a
α β°
A D b
B C
A D
β
36
c) Cuadrado.- Es un rectángulo que tiene sus cuatro lados congruentes. Es el cuadrilátero regular.
45° 45°
45° 45°
45° 45°
45° 45°
d) Romboide.- Es el paralelogramo que no es cuadrado, rectángulo ni rombo es el paralelogramo propiamente dicho.
B C
A D
37
CUARTA SEMANA
SESIÓN 02
SEMINARIO TALLER
CUADRILÀTEROS
1. Calcule “x” en:
2. Del gráfico ABCD es un trapezoide simétrico. Calcule el perímetro del trapezoide
3. En un trapezoide ABCD: m A+m D=200º. Calcule la medida del ángulo determinado
por las bisectrices interiores que parten de los vértices B y C.
4. En un trapezoide ABCD: AB=2; BC=10 y CD=4. Calcule AD, si m B=143º y m C =
127º
5. En un trapezoide ABCD, m A = 90º, m C = m D = 60º. BC = 6, AD = 10. Calcule CD.
6. En un trapezoide ABCD: m A =90°; m B =60°; m C=135°; AB = BC. Calcule la
m BDC.
7. Calcule MC, si BC + AD = 20, BM = MA, BC// AD
8. BC // AD . BC=CD = 5, AB = 6 y AD=15. Calcule PQ
A
F
C
B
x
2
3
7
D
D
A
B
C
M N
4 8
O
A
CB
M
N
D
° °
° °
° °
° °
P Q
B C
D A
38
A
B C
D
MN
9. Calcule la base menor de un trapecio sabiendo que la diferencia de la mediana y el
segmento que une los puntos medios de sus diagonales es 40.
10. En un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y B); M es punto medio de CD ;
calcule: m ABM si: AB=BM.
11. En un trapecio ABCD, BC//AD, CD=6 ; y ; calcule la
distancia entre los puntos medios de AC y BD .
12. Si ABCD es un romboide, donde CM = MD; BN = 6 y MN = 1. Calcule AN.
13. En un paralelogramo ABCD, la ; las mediatrices de los lados AD y CD se
intersecan en un punto F del lado BC . Calcule la medida del ángulo FAD.
14. En el rectángulo ABCD se traza la diagonal BD y la perpendicular AH a esta diagonal.
Calcule el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos HAB y DBC.
15. En un cuadrado ABCD, se ubica el punto “E” en AC ; tal que AE = 7EC; calcule:
.
16. Dado un romboide PQRS; “M”RS ; calcule la distancia de “R” a PM, si Q y S distan
de PM 13m y 5m respectivamente.
17. Sobre el lado AD de un rectángulo ABCD, se toma un punto F, de modo que FC = BC,
se traza BM perpendicular a FC . Calcule AB, si BM = 6
18. Sobre el lado AB de un rectángulo ABCD se toma un punto E y sobre el lado AD se
marca su punto medio F, de modo que, y 2AE + EB = 12. Calcule
EF.
39
QUINTA SEMANA
SESION 01
TEMA 01: ÁREAS DE REGIONES BÀSICAS
1. REGIÒN TRIANGULAR
Es una figura geométrica (conjuntos de
puntos) que consiste en un triángulo más
su interior.
2. REGION POLIGONAL
Es una figura geométrica formada por la
reunión de un número finito de regiones
triangulares en un plano, de modo que si
dos cualesquiera de ellas se intersecan,
su intersección es o bien un punto o un
segmento.
Dos regiones cualesquiera que tienen
igual área se llaman equivalentes,
independiente de la forma que tenga
cada región. Ejemplo: el triángulo y el
rectángulo que tiene igual área, son
equivalentes.
3. ÁREA DEL CUADRADO
El área de un cuadrado es igual a la
longitud de su lado al cuadrado; o sea:
S = L2
4. ÁREA DEL RECTÀNGULO
El área de un rectángulo es el producto de su base por
S= a.b
5. ÁREA DE UN TRIÀNGULO CUALQUIERA
El área de todo triángulo es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la altura relativa a dicho lado.
S = Area (ABC) S = 2
h.b
m+n = b
8m2 < > 8m2
S L
L
b
a
h
HCA
B
nm
b
40
b
a
DEFArea
ABCArea=
)Δ(
)Δ(
6. ÁREA DE UN TRIÀNGULO EQUILÀTERO
El área de todo triángulo equilátero es igual al cuadrado de la longitud del lado
multiplicado por el factor 4
3.
S = Area (ABC
S = 4
3L2
7. FÒRMULA TRIGONOMÈTRICA
En todo triángulo, el área se puede
expresar como el semiproducto de dos
lados, por el seno del ángulo
comprendido entre ellos.
S=Área (ABC)
S= Sen2
c.b
8. ÀREA DEL TRIÀNGULO EN
FUNCIÒN DE SUS LADOS
S = Área (ABC)
p : semiperimetro
p = 2
cba
S = )cp)(bp)(ap(p
9. `ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO:
El área de todo triángulo es igual al producto del semiperimetro y el inradio.
S = Área (ABC)
r : Inradio S = p.r
P: semiperimetro
10. ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DEL CIRCUNRADIO
El área de todo triángulo es igual al producto de las longitudes de los tres lados, divido por el cuádruple del circunradio
S = Área (ABC) S =R4
abc
R : Circunradio
11 ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DE UN EXRADIO
El área de todo triangulo es igual al producto del exradio relativo a un lado y la diferencia entre el semiperímetro y dicho lado.
S = (p-a) ra
ra: Exradio relativo al lado a
12. COMPARACIÒN DE REGIONES TRIANGULARES, PROPIEDADES
12.1. Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son proporcionales a sus respectivas bases.
30º30º
hLL
60º60ºA CL
2L2 L
B
c
Ab
C
h
B
c
Ab
C
ha
B
r
rr I
CA
B
A C
B
c a
h
R
b
E
ra
CbA
B
ca
ra
ra
aA C
B
b
E
FD
h
41
12.2. Relación de áreas al trazar una ceviana
b
a
S
S
2
1
12.3. Si dos triángulos tienen igual base, sus áreas son proporcionales a sus respectivas alturas.
2
1
2
1
h
h
S
S
12.4. En todo triángulo, una mediana
cualquiera determina dos triángulos parciales equivalentes.
BM= Mediana S1 = Area (ABM), S2 = Area (MB
S1 = S2 = 2
h.b
12.5. En todo triángulo, al unir los puntos
medios de los tres lados, se determinan cuatro triángulos parciales equivalentes.
12.6. En todo triángulo, al trazar las tres medianas se determinan seis triángulos parciales equivalentes
G: BARICENTRO
x = y = z
12.7. Si dos triángulos tienen un ángulo congruente o suplementario entonces sus áreas son proporcionales a los productos de los lados que forman ese ángulo que mide igual o esos ángulos suplementarios.
Àrea( AFE) AF.AE
Àrea( ABC) AB.AC
12.8. Si dos triángulos son semejantes entonces sus áreas son proporcionales a los cuadrados del cualquier par de elementos homólogos.
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1 Kr
r
a
a
h
h
b
b
S
S
S1
S2
A C
B
h
a Db
bA C
B
S1h1
S2
E
FD
h2
b
S1 S2
A CMb b
B
h
B
CA
M N
P
S2
S3
S4
S1
M N
B
CAP
x
x
y
G
y
zz.
.
B
C
F
EA
B
CA b1
S1
h2
B´
C´A´ b2
S2
a1
h1
a2
42
13. ÁREA DEL PARALELOGRAMO (S)
S = b. h b : base
h : altura
14. ÁREA DEL ROMBO (S)
S = 2
BD.AC
15. ÁREA DEL TRAPECIO (S)
S = h.2
ba
S = m.h
16. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA (S)
S = 2
SenBD.AC
17. ÁREA DEL CUADRILÁTERO
CIRCUNSCRITO
En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, el área es igual al producto
del semiperímetro y el radio de dicha
circunferencia.
S =p.r
18. TEOREMA
Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio.
S = Àrea (CMD)
S Àrea(ABCD)
2
19. Si en un cuadrilátero convexo se
trazan las diagonales se
determina cuatro triángulos
parciales y cumple que los
productos de las áreas de los
triángulos opuestos son iguales.
S1 . S3 = S2 . S4
b
b
h h
b
b
h
0
LL
D
CA
B
LL
C
D
N
B
M
Aa
b
mh
.
.
0
h1 h2
A
B
C
D
r
r
r
r
b
c
DAd
cB
a
I
C
NM
B
DA
m
X
X.
.h
h2
h2
C
D
B
A
S1
S2
S3
S4
b
a
43
20 .- En todo trapecio, las áreas de los
triángulos laterales determinados al
trazar las dos diagonales, son iguales. Es
decir dichos triángulos son equivalentes.
21. CIRCULO: El área de todo círculo es igual al semiproducto de la longitud de su circunferencia y el radio S: Área del Círculo C: Longitud de la circunferencia
C = 2 R
S=πr2 22. SECTOR CIRCULAR: Es la porción del círculo limitada por dos radios. El área de todo sector circular
de radio R y ángulo central “” es: S: Área del Sector Circular
º360
RS
2
S =2
Rl
23. SEGMENTO CIRCULAR: Es la porción del círculo limitada por una cuerda y su respectivo arco.
S =
Sen
1802
R2
24. ZONA O FAJA CIRCULAR Es la porción de círculo limitada por dos cuerdas paralelas.
S = SADsegmento – SBC
segmento 25. CORONA CIRCULAR: Se llama así a la región del plano exterior a la menor de dos circunferencias concéntricas e interior a la mayor
S = (R² - r²)
S = 4
AB2
24. TEOREMA: Si se une el punto medio
de un lado no paralelo de un trapecio con
los extremos del otro lado no paralelo, se
forma un triángulo cuya área es igual a la
mitad del área del trapecio.
S=2
)ABCD(Area
S = Área (CMD)
Do
R
o
R
R
S
A
B
C
D
Ro
AB
S
rRoR
o
R R
S
l
C
NM
B
DA
m
X
X.
.h
h2
h2
Z
S1S2
A D
CB
b
h
44
25. Si en un cuadrilátero convexo se
trazan las diagonales se determina
cuatro triángulos parciales y cumple que
los productos de las áreas de los
triángulos opuestos son iguales.
S1 . S3 = S2 . S4
26. En todo trapecio, las áreas de los
triángulos laterales determinados al
trazar las dos diagonales, son iguales. Es
decir dichos triángulos son equivalentes.
S1 = S2
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Calcule el área de la región limitada
por un rombo donde el perímetro y las
medidas de sus diagonales suman
102m, además el lado y la diagonal
menor están en la relación de 5 es a 6.
Resolución:
Del dato: a/AC=5/6
A=5k y AC=6k
Del dato:
4a+ BD+ AC=102
4(5k) + 8k + 6k=102
34k=102 k=3
Àrea total= (6k)x(8k)/2
= (48) (3)2=72m2
2) En el triángulo rectángulo ABC
recto en B donde AB=6cm y
BC=4cm, se construye
exteriormente el cuadrado AMNC.
Calcule el área del triángulo ABM.
Resolución:
ABC: α+θ=90°
ABC= AHC
(ALA)
HM=AB=6
Área ABM=(AB.MH)/2
= 6x6/2= 18cm2
3) Calcule el área de la figura
sombreada si el lado del cuadrado
mide 6cm.
Resolución:
Àreasom= AsecBAE - AsegAE
Asom=π62(30°)/360°-AsegAE
AsegAE=
=π62(60°)/360°- 62√ /4
=6π-9√
Asom=3π-(6π-9√ )
Asom=9√ -3π= 3(3√ -π) cm2
A
B
C
N M
H α
α
θ
θ
*
*
*
*
6 4
6
B C
DA
B C
DA
E
60° 60°
60°
30° 30°
6
6
6
6
6 6
a=5k
A
B
C
D
O
a= 5k
a a
3k 3k
H 4k
4K
C
D
B
A
S1
S2
S3
S4
b
a
Z
S1S2
A D
CB
b
h
45
4) En un triángulo rectángulo la circunferencia inscrita determina en la hipotenusa dos segmentos que miden 13m y 8m. Halle el área de la región triangular.
Resolución:
Área ABC= A
ABC(Pitágoras):
AB2+BC2=AC2
(13+r)2+ (8+r)2= (13+8)2
(169+26r+r2)+ (64+16r+r2)=441
2r2+42r-208=0 r2+21r=104
A=(ABxBC)/2 A=(13+r)(8+r)/2
2A=r2+21r+104 2A=104+104
A=104m2
A
B
C T
F
E
O 13
13
r r
r r
8
8
46
QUINTA SEMANA
SESION 02
SEMINARIO TALLER
1) En el romboide ABCD donde AD = x + 5 y la altura BH mide (x – 2). Halle la altura si el área de la región encerrada es 78m2.
2) Halle el área de la región encerrada por un triángulo equilátero donde el radio de la
circunferencia inscrita mide 23 m.
3) En el triángulo escaleno ABC donde “G” es baricentro, además CM y AN son medianas. Halle el área de la región triangular MGN si AC = 6m y la altura BH mide 4m.
4) En el cuadrado ABCD se considera en CD un punto E y luego en BE se ubica el punto medio M. Halle la suma de las áreas de las regiones limitadas por los triángulos ABM y MED si AB=10m y ED=8m.
5) Halle el área de la región triangular ABC si AB=BC=6m, luego se traza la mediatriz de BC que corta a AB en E siendo AE=1m.
6) En un romboide ABCD que encierra una región cuya área es 24m2 y centro O, luego se ubica el punto medio M de AD y MC corta a BD en P. Halle el área de la región triangular OCP.
7) Calcule el área de la región limitada por un trapecio inscrito en una
circunferencia cuyo radio mide 5cm, si sus bases miden 6cm y 8cm (el centro
de la circunferencia es interior al trapecio).
8) Halle el área de la región encerrada por dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radio “R”.
9) Si “O” es centro; 1S = 2S y AO=CB. Calcule “θ”.
A D
C
O
?S1
S2
B
θ
47
A
B
CD
E
A
B C
D
y
z
x
10) “A” y “C” son centros; AB=12. Calcule el área de la región sombreada.
11) El triángulo ABC encierra un área de 48m2, luego se traza la mediana BM que es cortada por la ceviana interior AD en P. Hallar el área de la región triangular BPD.
12) El radio de una circunferencia mide 2. Calcule el área de la región determinada por el
cuadrado inscrito en la circunferencia.
13) Del gráfico: AB=3; CD=2; DE=7 y BC=5. Calcule el área de la región sombreada.
14) En un triángulo ABC, m A=37°, m C=45° y la altura BH mide 6cm. Halle el área.
15) Calcule el área de la región limitada por un rombo si dos lados son radios y los otros
dos cuerdas de una circunferencia cuyo diámetro mide 32.
16) En un trapecio isósceles ABCD, se traza la altura CH de tal manera que AH=8,5 y
CH=6. Calcule el área de la región trapecial.
17) En la figura ABCD es un paralelogramo, ¿cuál es la relación correcta?
A C
B
30°
M N
48
A
B
CR
r
A
BO
.
P
R
O
Q
A
BO
S1
S2
18) En la figura calcule el área limitada por el romboide AECF si las áreas son iguales y
ABCD es cuadrado.
19) Calcule el área de una corona circular formada por las circunferencias inscritas y
circunscritas a un cuadrado de lado L.
20) Si “O” es centro de ambas circunferencias, calcule el área de la figura sombreada.
21) Calcule el área de la región sombreada si:
AO=OB=4.
22) Calcule el área de la región sombreada. QR=12
23) Si “O” es centro y AO=OB, calcule S2/S1
B E C
A 2 F D
49
.AO B C
T
13 14
15
.
13 14
15.R
A
B
C
24) Si AO=OB=BC=R, calcule el área de la región sombreada.
25) El área de una región triangular es igual a 20. El radio de circunferencia inscrita en
dicha región mide 2. Calcule el perímetro del triángulo.
26) El área de una región triangular es numéricamente igual al doble del perímetro.
Calcule el radio de la circunferencia.
27) Los lados de un triángulo miden 5; 6 y 7. Calcule el radio de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
28) En la figura calcule el área de la región sombreada.
29) Del gráfico calcule “R”.
30) El radio de una circunferencia mide 2. Calcule el área de la región determinada por el
cuadrado inscrito en la circunferencia.