generalized laplace coefficients and newcomb derivatives

8/14/2019 Generalized Laplace coefficients and Newcomb derivatives

1/10

C e l e s t i a l M e c h a n i c s a n d D y n a m i c a l A s t r o n o m y

V o l u m e 9 8 - N u m b e r 2 - J u n e 2 0 0 7

M a u r i z i o M . D ' E l i s e o

G e n e r a l i z e d L a p l a c e C o e c i e n t s a n d

N e w c o m b D e r i v a t i v e s

R e c e i v e d : 2 5 F e b r u a r y 2 0 0 6 ; r e v i s e d : 2 5 D e c e m b e r 2 0 0 6 ; a c c e p t e d : 3 F e b r u a r y 2 0 0 7

A b s t r a c t I t i s s h o w n h o w t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c e c o e c i e n t s c a n b e e m -

p l o y e d t o d e d u c e e x p l i c i t f o r m u l a s f o r o r d i n a r y a n d N e w c o m b d e r i v a t i v e s o f

t h e L a p l a c e c o e c i e n t s .

K e y w o r d s G e n e r a l i z e d c o e c i e n t s e x p a n s i o n s d e r i v a t i v e s N e w c o m b

d e r i v a t i v e s .

P A C S 9 5 . 1 0 . C e 9 5 . 7 5 . P q

1 I n t r o d u c t i o n

T h e c o n c e p t o f g e n e r a l i z e d L a p l a c e c o e c i e n t a r i s e s f r o m t h e a n a l y s i s o f a

c l a s s o f m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s o b t a i n e d f r o m t h e L a p l a c e c o e c i e n t s i n t h e i r

i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n a f t e r i t e r a t e d d i e r e n t i a t i o n s . T h e u t i l i t y o f t h i s g e n -

e r a l i z a t i o n f r o m t h e n u m e r i c a l p o i n t o f v i e w h a s b e e n f o r m e r l y d e m o n s t r a t e d

[ 3 ] , [ 4 ] . I n t h i s w o r k i t i s p r e s e n t e d a d i r e c t m e t h o d t o d e d u c e e x p l i c i t f o r m u -

l a s f o r o r d i n a r y a n d N e w c o m b d e r i v a t i v e s o f a r b i t r a r y o r d e r s o f t h e L a p l a c e

c o e c i e n t s s t a r t i n g f r o m t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e s i n t e r m s o f t h e

g e n e r a l i z e d c o e c i e n t s o f D ' E l i s e o [ 3 ] .

T h e s e e x p r e s s i o n s c a n b e u s e d a s u n i v e r s a l f o r m u l a s i n a s y m b o l i c p r o -

g r a m f o r t h e s t u d y o f t h e p l a n e t a r y p e r t u r b a t i o n s , m a i n l y i n t h e a n a l y s i s

o f t h e l o n g t e r m b e h a v i o r o f t h e s y s t e m , w h e r e h i g h - o r d e r d e r i v a t i v e s o f t h e

L a p l a c e c o e c i e n t s a r e p r e s e n t i n t h e l i t e r a l d e v e l o p m e n t s o f t h e d i s t u r b i n g

f u n c t i o n p u s h e d t o h i g h p o w e r s i n t h e e c c e n t r i c i t i e s a n d i n c l i n a t i o n s [ 4 ] .

O s s e r v a t o r i o S . E l m o

V i a A . C a c c a v e l l o 2 2 - 8 0 1 2 9 - N a p o l i - I t a l y

E - m a i l : s . e l m o @ m a i l . c o m


2/10

2 M a u r i z i o M . D ' E l i s e o

2 G e n e r a l i z e d c o e c i e n t s a n d t h e i r e x p a n s i o n s

L e t u s d e n e t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c e c o e c i e n t

n ; h

s

a s t h e f u n c t i o n o f

n ; h

s

=

2

%

0

c o s n !

h

d

s

2

%

0

c o s n ( c o s )

h

d

( 1 2 c o s +

2

)

s

Y ( 1 )

w h e r e t h e l e f t s u p e r s c r i p t n i s a n i n t e g e r , t h e r i g h t s u p e r s c r i p t i s a n o n -

n e g a t i v e i n t e g e r , t h e s u b s c r i p t s i s h a l f a n o d d p o s i t i v e i n t e g e r a n d i s a

c o m p l e x v a r i a b l e i n t h e o p e n d i s k d ( 0 ; 1 ) .

A s

n ; h

s

=

n ; h

s

, n c a n b e t r e a t e d a s a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r . W h e n = 0

w e r e c o v e r t h e L a p l a c e c o e c i e n t

n

s

n ; 0

s

. F o r u n i f o r m i t y o f n o t a t i o n , w e

o m i t t h e u s u a l b r a c k e t a r o u n d n i n t h e c o e c i e n t .

A g e n e r a l i z e d c o e c i e n t f o r e v e r y v a l u e o f c a n b e e x p a n d e d i n t o a n

e x p r e s s i o n i n v o l v i n g o n l y L a p l a c e c o e c i e n t s . F o r e x a m p l e , f o r = 1 , a s

2 c o s n ( c o s ) = c o s ( n + 1 ) + c o s ( n 1 ) 2 c o s n Y ( 2 )

w e g e t f r o m E q . ( 1 )

n ; 1

s

=

1

2

n + 1

s

+

n 1

s

n

s

X ( 3 )

W e o b t a i n d i e r e n t e x p a n s i o n s b y o p p o r t u n e l y w r i t i n g a n d d e v e l o p i n g t h e

p r o d u c t c o s n !

h

i n t h e i n t e g r a n d o f E q . ( 1 ) . W e c o n s i d e r h e r e t w o o f t h e s e ,

p o s t p o n i n g i n t h e A p p e n d i x t h e i r d e r i v a t i o n s .

T h e r s t i s g i v e n b y ( E q . ( 4 3 ) , A p p . A 1 )

n ; h

s

=

h

i = 0

e

i ; h

1

n

s i

Y ( 4 )

w h e r e e

i ; h

1

d e n o t e s t h e r a t i o n a l f u n c t i o n o f g i v e n b y

e

i ; h

1

( 1 )

i

!

1

2

h i

( 2 )

h

i ! ( i ) !

X ( 5 )

A c c o r d i n g t o E q . ( 4 ) t h e g e n e r a l i z e d c o e c i e n t

n ; h

s

c a n b e e x p r e s s e d a s a

l i n e a r c o m b i n a t i o n o f + 1 L a p l a c e c o e c i e n t s w i t h t h e s a m e s u p e r s c r i p t n ,

h a v i n g a s c o e c i e n t s a n a l y t i c a l f u n c t i o n s o f i n t h e o p e n d i s k d ( 0 ; 1 ) w i t h

p o l e s o f o r d e r i n t h e o r i g i n . I t i s e v i d e n t t h a t t h i s d e v e l o p m e n t h o l d s t r u e

o n l y w h e n s b 0 s .

T h e s e c o n d e x p a n s i o n i s ( E q . ( 4 8 ) , A p p . A 2 )

n ; h

s

=

h

i = 0

i

j = 0

( )

h i

!

2

i

j ! ( i ) ! ( i j ) !

n + i 2 j

s

X ( 6 )

W e c a n p u t t h i s e x p r e s s i o n u n d e r a n o t h e r u s e f u l f o r m w i t h t h e s u b s t i t u t i o n

i 3 r + 2 j , s o t h a t w e c a n w r i t e m o r e s i m p l y

n ; h

s

=

h

r = 0

e

r ; h

2

n r

s

Y ( 7 )


3/10

G e n e r a l i z e d L a p l a c e C o e c i e n t s a n d N e w c o m b D e r i v a t i v e s 3

w h e r e

n r

s

m e a n s

n + r

s

+

n r

s

. T h e d o u b l e s i g n o f r o r i g i n a t e s f r o m t h e t e r m

i 2 j t h a t t a k e s t h e v a l u e 0 a n d i n t e g e r s v a l u e s o f o p p o s i t e s i g n s , w h i l e e

r ; h

2

d e n o t e s t h e p o l y n o m i a l i n g i v e n b y

e

r ; h

2

( h r ) = 2

j = 0

( )

h r 2 j

!

2

r + 2 j

j ! ( r + j ) ! ( r 2 j ) !

X ( 8 )

I n t h e u p p e r l i m i t o f t h e s u m o n j w e h a v e i n s e r t e d a o o r f u n c t i o n b e c a u s e

o f t h e p r e s e n c e o f t h e t e r m ( r 2 j ) ! i n t h e d e n o m i n a t o r t h a t r e q u i r e s t h e

f u l l m e n t o f t h e r e l a t i o n r + 2 j t o a v o i d f a c t o r i a l s o f n e g a t i v e i n t e g e r s .

I n t h e p r a c t i c e i t c o u l d a l s o h a p p e n t h a t i n p r e s e n c e o f t h e t e r m

n 0

s

a

d o u b l e - c o u n t i n g p r o b l e m a r i s e s . I n o r d e r t o o v e r c o m e t h i s d r a w b a c k w e c a n

d i v i d e t h e t e r m

n r

s

b y 2

r 0

, w h e r e r 0

i s t h e K r o n e c k e r d e l t a . W e a g r e e

t h a t f o r t h e u p c o m i n g f o r m u l a s s i m i l a r r e m a r k s w h e n n o t e x p r e s s l y s t a t e d

a r e u n d e r s t o o d . E q u a t i o n ( 7 ) e x p r e s s e s t h e g e n e r a l i z e d c o e c i e n t

n ; h

s

a s a

l i n e a r c o m b i n a t i o n o f 2 + 1 L a p l a c e c o e c i e n t s w i t h t h e s a m e s u b s c r i p t s ,

h a v i n g a s c o e c i e n t s p o l y n o m i a l s i n o f a s c e n d i n g d e g r e e f r o m z e r o u p t o

, a n d a l l v a l u e s o f a r e a l l o w e d .

3 D e r i v a t i v e s

A b a s i c r e l a t i o n i s o b t a i n e d b y d i e r e n t i a t i n g

n ; h

s

w i t h r e s p e c t t o u n d e r

t h e i n t e g r a l s i g n . I f w e a p p l y t h e o p e r a t o r h d a d t o E q . ( 1 ) , a s

h !

h

= !

h 1

Y h

s

= 2 s !

( s + 1 )

Y ( 9 )

w e g e t

h

n ; h

s

= 2 s

n ; h + 1

s + 1

n ; h 1

s

X ( 1 0 )

T h e k t h d e r i v a t i v e o f t h e L a p l a c e c o e c i e n t

n

s

i n i t s i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n

i s o b t a i n e d b y m e a n s o f i t e r a t e d d i e r e n t i a t i o n s u n d e r t h e i n t e g r a l s i g n .

S o f r o m E q s . ( 1 ) a n d ( 9 ) w e g e t

h

k

n

s

=

2

%

0

h

k

c o s n

s

d =

4 s

%

0

h

k 1

c o s n !

s + 1

d = 2 s h

k 1

n ; 1

s + 1

X

W e c o u l d c o n t i n u e b y u s i n g r e l a t i o n ( 1 0 ) . T h i s r o u t e l e a d s t o a n e x p l i c i t

f o r m u l a f o r t h e d e r i v a t i v e h

k

n

s

i n t e r m s o f g e n e r a l i z e d c o e c i e n t s d e m o n -

s t r a t e d b y D ' E l i s e o [ 3 ] : F o r a n y n o n - n e g a t i v e i n t e g e r k w e h a v e

h

k

n

s

=

k = 2

h = 0

f

h ; k

s

n ; k 2 h

s + k h

Y ( 1 1 )

w h e r e

f

h ; k

s

( 1 )

h

2

k 2 h

k !

! ( k 2 ) !

( s ) k h

Y ( 1 2 )

a n d ( s ) k h

i s t h e r i s i n g f a c t o r i a l s ( s + 1 ) X X X ( s + k 1 ) Y w i t h ( s ) 0

= 1 .

I t i s w o r t h n o t i n g t h a t t h e c o e c i e n t s f

h ; k

s

d o n o t d e p e n d o n .


4/10


I f w e f o r m a l l y e x p a n d t h e g e n e r a l i z e d c o e c i e n t p r e s e n t i n E q . ( 1 1 ) , w e

w i l l o b t a i n a n e x p r e s s i o n o f t h e d e r i v a t i v e s i n t e r m s o f L a p l a c e c o e c i e n t s

o n l y . I n t h e c h o s e n e x p a n s i o n f o r m u l a o f

n ; h

s

w e m a k e r s t t h e s u b s t i t u t i o n s

3 k 2 Y s 3 s + k i n o r d e r t o m a k e i t c o m p a t i b l e w i t h E q . ( 1 1 ) .

T h u s i f w e i n s e r t i n E q . ( 1 1 ) t h e e x p a n s i o n f o r m u l a ( 4 ) t h u s m o d i e d w e

g e t a d e r i v a t i v e f o r m u l a i n w h i c h a r e p r e s e n t o n l y L a p l a c e c o e c i e n t s a n d

t h e p a r a m e t e r .

F r o m E q s . ( 4 ) a n d ( 1 1 ) w e h a v e

h

k

n

s

=

k = 2

h = 0

k 2 h

i = 0

e

i ; k 2 h

1

f

h ; k

s

n

s + k h i

X ( 1 3 )

W e c a n o b t a i n a s e p a r a t e e x p r e s s i o n o f t h e c o e c i e n t s i f w e i n t r o d u c e i n

E q . ( 1 3 ) a n e w i n d e x r = + i . T h e n w e g e t

e

r h ; k 2 h

1

f

h ; k

s

n

s + k r

=

( 1 )

r

k ! ( 1

2

)

k r h

k 2 h

! ( r ) ! ( k r ) !

( s ) k h

n

s + k r

X

( 1 4 )

A s t h e i n d e x d o e s n o t a p p e a r i n t h e L a p l a c e c o e c i e n t , w e s u m e x p r e s s i o n

( 1 4 ) r s t o n w i t h a n u p p e r l i m i t g i v e n b y t h e f u n c t i o n m i n ( r Y k r ) , c h o s e n

b e c a u s e o f t h e p r e s e n c e o f t h e p r o d u c t ( r ) ! ( k r ) ! i n t h e d e n o m i n a t o r ,

a n d a f t e r o n r . I n t h i s w a y E q . ( 1 3 ) c a n b e r e d u c e d t o t h e s u m

h

k

n

s

=

k

r = 0

g

r ; k

1 ; s

n

s + k r

Y ( 1 5 )

w h e r e t h e c o e c i e n t s

g

r ; k

1 ; s

m i n ( r ; k r )

h = 0

( 1 )

r

k ! ( 1

2

)

k r h

k 2 h

! ( r ) ! ( k r ) !

( s ) k h

Y ( 1 6 )

a r e a n a l y t i c f u n c t i o n s o f i n t h e o p e n d i s k d ( 0 ; 1 ) w i t h a p o l e o f o r d e r k

i n t h e o r i g i n . W e h a v e a l r e a d y s e e n t h e i n t r i n s i c l i m i t a t i o n s o f t h e e x p a n -

s i o n f o r m u l a ( 4 ) . N e v e r t h e l e s s w h e n w e e m p l o y E q . ( 4 ) i n c o n j u n c t i o n w i t h

E q . ( 1 1 ) a n e g a t i v e s u b s c r i p t i s f o r b i d d e n . T h e v a r i a t i o n r a n g e o f t h e s u b -

s c r i p t i s b e t w e e n s , w h e n r = k , a n d s + k , w h e n r = 0 , s o t h a t E q . ( 1 5 ) i s

a p p l i c a b l e w i t h o u t a n y r e s t r i c t i o n .

L e t u s a p p l y n o w t h e s a m e p r o c e d u r e t o t h e s e c o n d e x p a n s i o n f o r m u l a .

F r o m E q s . ( 1 1 ) a n d ( 7 ) w e n d

h

k

n

s

=

k = 2

h = 0

k 2 h

r = 0

e

r ; k 2 h

2

f

h ; k

s

n r

s + k h

Y ( 1 7 )

t h a t w e w i l l w r i t e u n d e r t h e f o r m

h

k

n

s

=

k = 2

h = 0

k 2 h

r = 0

g

r ; h ; k

2 ; s

n r

s + k h

Y ( 1 8 )


5/10


w h e r e t h e c o e c i e n t s g

r ; h ; k

2 ; s

a r e a n a l y t i c a l f u n c t i o n s o f i n t h e o p e n d i s k

d ( 0 ; 1 ) a n d a r e g i v e n b y

g

r ; h ; k

2 ; s

( k r 2 h ) = 2

j = 0

( 1 )

h

k ! ( 2 )

k r 2 h 2 j

! j ! ( r + j ) ! ( k r 2 2 j ) !

( s ) k h

X ( 1 9 )

E q u a t i o n ( 1 8 ) i s a n e x p l i c i t f o r m u l a t h a t g e n e r a t e s t h e e x p r e s s i o n s o f t h e

d e r i v a t i v e s u s e d b y S u l i e t a l . t o d e d u c e t h e i r r e s u l t s , a n d i s e q u i v a l e n t t o

t h e i r n a l f o r m u l a ( 1 0 ) [ 4 ] .

W e h a v e t h u s t h r e e e x p l i c i t f o r m u l a s f o r t h e c o m p u t a t i o n o f h

k

n

s

i n

t h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n , g i v e n b y t h e E q s . ( 1 1 ) , ( 1 5 ) a n d ( 1 8 ) . T h e r s t

c o n t a i n s f o r o d d k o n l y g e n e r a l i z e d c o e c i e n t s a n d f o r e v e n k g e n e r a l i z e d

c o e c i e n t s a n d o n l y o n e L a p l a c e c o e c i e n t ( c o r r e s p o n d i n g t o = k a 2 ) ,

w h i l e t h e o t h e r f o r m u l a s c o n t a i n o n l y L a p l a c e c o e c i e n t s . A l l c a n b e u s e d

i n t w o w a y s : o r t o o b t a i n a s y m b o l i c e x p r e s s i o n o f t h e d e r i v a t i v e s , o r f o r a

n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n . F o r e x a m p l e , t h e r s t d e r i v a t i v e s e x p r e s s e d b y m e a n s

o f E q s . ( 1 1 ) , ( 1 5 ) a n d ( 1 8 ) a r e r e s p e c t i v e l y g i v e n b y

h

n

s

= 2 s

n ; 1

s + 1

=

s

1

2

n

s + 1

n

s

= s

n 1

s + 1

2

n

s + 1

X ( 2 0 )

F o r t h e d e r i v a t i v e o f o r d e r k , t h e n u m b e r o f t h e c o e c i e n t s i n E q . ( 1 1 ) i s

g i v e n b y k a 2 + 1 , w h i l e t h e n u m b e r o f t h e L a p l a c e c o e c i e n t s i n E q . ( 1 5 )

i s g i v e n b y k + 1 , s o t h a t b o t h f o r m u l a s h a v e a r e d u c e d n u m b e r o f t e r m s .

O n t h e c o n t r a r y , i t i s e a s y t o s e e t h a t i n E q . ( 1 8 ) t h e n u m b e r x ( k ) o f t h e

L a p l a c e c o e c i e n t s o b e y s t o t h e d i e r e n c e e q u a t i o n x ( k ) = x ( k 1 ) + k + 1

w i t h x ( 0 ) = 1 , w h o s e s o l u t i o n i s x ( k ) = ( k

2

+ 3 k ) a 2 + 1 .

4 T h e N e w c o m b d e r i v a t i v e s

I n t h e a p p l i c a t i o n s t h e d e r i v a t i v e s o f t h e L a p l a c e c o e c i e n t s s o m e t i m e s

p r e s e n t t h e m s e l v e s u n d e r p a r t i c u l a r f o r m s . S o i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e

d i s t u r b i n g f u n c t i o n w e h a v e o f t e n p r o d u c t s a s

k

h

k

a n d

k

h

k

a k ! , a n d i t

i s e v i d e n t t h a t s u c h m u l t i p l i c a t i v e f a c t o r s c a n b e d i r e c t l y e m b e d d e d i n o u r

f o r m u l a s w i t h o u t a n y d i c u l t y .

T h e c o u p l i n g h i s a t t h e f o u n d a t i o n o f t h e c o n c e p t o f N e w c o m b d e r i v a -

t i v e , d e n e d a s t h e l o g a r i t h m i c d i e r e n t i a l c o e c i e n t

d

d l n

=

d

d

= h X ( 2 1 )

T h i s d e r i v a t i v e a p p e a r s i n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e p l a n e t a r y d i s t u r b i n g f u n c -

t i o n e e c t e d i n t e r m s o f N e w c o m b ' s d i e r e n t i a l o p e r a t o r s a s a p p l i e d t o t h e

L a p l a c e c o e c i e n t s , s o t h a t i t i s i m p o r t a n t t o n d t h e t r a n s f o r m a t i o n f o r -

m u l a s b e t w e e n N e w c o m b a n d o r d i n a r y d e r i v a t i v e s [ 1 , p . 5 0 5 ] o r , s p e c i c a l l y ,

f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r k , t h e r e c i p r o c a l r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s y m -

b o l i c p o w e r ( h )

k

, w h i c h h a s t h e m e a n i n g o f t h e r e c u r s i v e o p e r a t o r p r o d u c t

h ( h )

k 1

, a n d t h e d e r i v a t i v e

k

h

k

.


6/10


I n p r a c t i c a l t e r m s w e e v a l u a t e s y m b o l i c a l l y f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r k

t h e n e s t e d d e r i v a t i v e s

( h X X X ( h ( h

)

1

)

2

X X X )

k

Y ( 2 2 )

a n d , a s w i t h t h e i n d i c a t e d o p e r a t i o n s a n d h a l w a y s p r e s e n t t o g e t h e r t h e

s a m e s u p e r s c r i p t s , a t l a s t w e f o r m a l l y m a k e t h e s u b s t i t u t i o n 3 h .

S o w e n d

( h )

1

= h

( h )

2

= h +

2

h

2

( h )

3

= h + 3

2

h

2

+

3

h

3

Y

a n d s o o n . F o r e v e r y i n t e g e r k b 0 , w i t h t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e v e c t o r s

( h )

k

( h )

1

Y ( h )

2

Y X X X Y ( h )

k

T

( 2 3 )

k

h

k

1

h

1

Y

2

h

2

Y X X X Y

k

h

k

T

Y ( 2 4 )

w e c a n c a s t t h e a b o v e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n i n t o t h e m a t r i x f o r m

( h )

k

= A

k

h

k

Y ( 2 5 )

w h e r e A i s a s q u a r e l o w e r t r i a n g u l a r m a t r i x ( t h a t i s , e a c h e n t r y p q

w i t h

p ` q i s z e r o ) o f o r d e r a n d r a n k k w h o s e e l e m e n t s a r e n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s

a n d w h o s e d e t e r m i n a n t j A j = 1 .

F o r e x a m p l e , f o r k = 5 w e h a v e

H

f

f

f

d

( h )

1

( h )

2

( h )

3

( h )

4

( h )

5

I

g

g

g

e

=

H

f

f

f

d

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 3 1 0 0

1 7 6 1 0

1 1 5 2 5 1 0 1

I

g

g

g

e

H

f

f

f

d

1

h

1

2

h

2

3

h

3

4

h

4

5

h

5

I

g

g

g

e

X ( 2 6 )

I f w e m u l t i p l y t o t h e l e f t E q . ( 2 5 ) b y A

1

, w e o b t a i n t h e i n v e r s e t r a n s f o r m a -

t i o n

k

h

k

= A

1

( h )

k

Y ( 2 7 )

w h e r e a l s o A

1

i s l o w e r t r i a n g u l a r , a s A

1

= ( 1 a j A j ) a d j ( A ) = a d j ( A ) .

L e t u s e x a m i n e n o w m o r e c l o s e l y t h e f o r m a t i o n l a w o f t h e m a t r i x A . T h e

e l e m e n t s o f e v e r y r o w d e p e n d f r o m t h o s e o f t h e r o w a b o v e , b e c a u s e t h e y

o r i g i n a t e f r o m t h e N e w c o m b d e r i v a t i v e o f t h e e x p r e s s i o n o f o r d e r i m m e d i -

a t e l y p r e c e d e n t . I t i s e a s i l y s e e n t h a t f o r t h e g e n e r i c e l e m e n t p q

i s v a l i d t h e

r e c u r s i o n

p q

= p 1 ; q 1

+ q p 1 ; q

w i t h 1 1

= 1 X ( 2 8 )

I t i s t h e n e v i d e n t t h a t a g e n e r a l f o r m u l a f o r p q

m u s t c o n t a i n i n f o r m a t i o n

o n t h e s t r u c t u r e o f a l l r o w s a b o v e r o w p .

F r o m t h e a n a l y s i s o f s p e c i c e x a m p l e s w e s e e t h a t w i t h a n i t e r a t e d a p -

p l i c a t i o n o f r e c u r s i o n ( 2 8 ) e v e r y e n t r y p q

i s r e d u c e d t o a s u m o f p r o d u c t s

o f p o s i t i v e i n t e g e r s f r o m 1 t o q , e a c h r a i s e d t o a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r p o w e r ,

w h o s e g r e a t e s t v a l u e i s p q . T h e n i t i s n o t d i c u l t t o g u e s s t h e g e n e r a l


7/10


p a t t e r n o f t h e r e s u l t i n g f o r m u l a s . F i r s t , w e o b s e r v e t h a t w e c a n s p e c i c a l l y

w r i t e

p + 1 ; p

=

p

u = 1

u =

2

p

u = 1

u

3

1

=

j 1

+ j 2

+ + j p

= 1

p

u = 1

u

j u

=

1

j p

= 0

1 j p

j p 1

= 0

1 j p

j p 1

j p 2

= 0

1 j p

j 3

j 2

= 0

0

j 1

= 0

p

u = 1

u

j u

X ( 2 9 )

L e t u s d o n o w a h e u r i s t i c r e a s o n i n g . I f t h e l a s t e x p r e s s i o n i s a p a r t i c u l a r

r e a l i z a t i o n o f a g e n e r a l f o r m u l a f o r t h e e n t r y p q

, w e c a n r e a d t h e u n i t y i n

t h e u p p e r l i m i t s o f t h e s u m s a s t h e d i e r e n c e ( p + 1 ) p b e t w e e n t h e t w o

i n d i c e s o f p + 1 ; p

, s o t h a t t o o b t a i n t h e e x p r e s s i o n o f t h e g e n e r i c e l e m e n t p q

o f A w e r e p l a c e i n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f E q . ( 2 9 ) t h i s u n i t y b y p q , w h i l e

i n t h e o t h e r a p p e a r a n c e s o f p w e r e p l a c e p b y q , s i n c e t h e s e c o n d p i n p + 1 ; p

i s a c o l u m n i n d e x . W e o b t a i n s o t h e f o r m u l a

p q

=

] p q

j q

= 0

q

u = 1

u

j u

Y ( 3 0 )

w h e r e w e h a v e u s e d t h e s h o r t h a n d

] p q

j q

= 0

p q

j q

= 0

p q j q

j q 1

= 0

p q j q

j q 1

j q 2

= 0

p q j q

j 3

j 2

= 0

0

j 1

= 0

X ( 3 1 )

T h e l a s t s u m m a t i o n , w h o s e u p p e r / l o w e r l i m i t c a n b e a n y n o n - n e g a t i v e i n t e -

g e r , a c t s e s s e n t i a l l y a s a B o o l e a n f u n c t i o n . T h e d e m o n s t r a t i o n o f t h i s f o r m u l a

i s g i v e n i n A p p . A 3 . S o t h e e l e m e n t s o f A a r e p q

= 0 f o r p ` q a n d , f o r

p ! q , t h e y a r e g i v e n b y E q . ( 3 0 ) .

F o r e x a m p l e w e h a v e

p 1

=

] p 1

j 1

= 0

1

u = 1

u

j u

=

0

j 1

= 0

1

j 1

= 1 Y p p

=

g 0

j p

= 0

p

u = 1

u

j u

= 1 ( 3 2 )

9 4

=

g 5

j 4

= 0

4

u = 1

u

j u

=

5

j 4

= 0

5 j 4

j 3

= 0

5 j 4

j 3

j 2

= 0

0

j 1

= 0

1

j 1

2

j 2

3

j 3

4

j 4

= 7 7 7 0 X ( 3 3 )

T h e s y m b o l i n t r o d u c e d i n E q . ( 3 0 ) i s a p a r t i c u l a r r e a l i z a t i o n o f t h e n e s t e d

s u m m a t i o n s y m b o l ( N S S ) , w h i c h i s a l i n e a r o p e r a t o r t h a t r e p r e s e n t s a v a r i -

a b l e s e t o f s u m m a t i o n s y m b o l s . W i t h t h i s c o n c e p t c a n b e c o n s t r u c t e d m a n y

c o m b i n a t o r i a l o b j e c t s , b u t N S S , b e s i d e s p e r m i t t i n g c o n c i s e a n d c o m p a c t f o r -

m u l a s w r i t i n g , h a s t h e i m p o r t a n t a d v a n t a g e o f b e i n g a n o p e r a t o r t h a t i s

e a s i l y i m p l e m e n t e d i n a c o m p u t a t i o n a l e n v i r o n m e n t [ 2 , A p p . H ] .

T h e v e c t o r c o m p o n e n t ( h )

k

b y m e a n s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 2 5 ) c a n

b e w r i t t e n

( h )

k

=

k

q = 1

k q

q

h

q

Y ( 3 4 )


8/10


a n d f r o m E q s . ( 3 0 ) a n d ( 3 4 ) w e g e t

( h )

k

=

k

q = 1

]

k q

j q

= 0

q

u = 1

u

j u

q

h

q

X ( 3 5 )

L e t u s a p p l y n o w t h e d i e r e n t i a l o p e r a t o r ( 3 5 ) t o

n

s

. B y t h e u s e o f t h e t h r e e

d e r i v a t i v e f o r m u l a s ( 1 1 ) , ( 1 5 ) a n d ( 1 8 ) w e n d i n s u c c e s s i o n

( h )

k

n

s

=

k

q = 1

q = 2

h = 0

]

k q

j q

= 0

q

u = 1

u

j u

q

f

h ; q

s

n ; q 2 h

s + q h

( 3 6 )

=

k

q = 1

q

r = 0

]

k q

j q

= 0

q

u = 1

u

j u

q

g

r ; q

1 ; s

n

s + q r

( 3 7 )

=

k

q = 1

q = 2

h = 0

q 2 h

r = 0

]

k q

j q

= 0

q

u = 1

u

j u

q

g

r ; h ; q

2 ; s

n r

s + q h

X ( 3 8 )

I n t h i s w a y w e c a n o b t a i n a s y m b o l i c e x p r e s s i o n o r a n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n

o f t h e N e w c o m b d e r i v a t i v e s i n t e r m s o f g e n e r a l i z e d a n d L a p l a c e c o e c i e n t s .

5 C o n c l u s i o n s

T h e g e n e r a l i z e d L a p l a c e c o e c i e n t s c a n b e c o n v e n i e n t l y u s e d i n t h e n u m e r -

i c a l c o m p u t a t i o n o f t h e d e r i v a t i v e s o f t h e L a p l a c e c o e c i e n t s b e c a u s e o f t h e

c o m p a c t n e s s a n d s i m p l i c i t y o f t h e f o r m u l a s . T h e y a r e i m p o r t a n t a l s o o n t h e

t h e o r e t i c a l s i d e b e c a u s e t h e i r e m p l o y m e n t a l l o w s e a s y d e m o n s t r a t i o n s o f n e w

r e s u l t s . W i t h t h e i r a i d w e h a v e f o u n d t h r e e f o r m u l a s f o r o r d i n a r y a n d N e w -

c o m b d e r i v a t i v e s , a n d o t h e r s i m i l a r f o r m u l a s c o u l d b e e a s i l y d e d u c e d w i t h

t h e s a m e m e t h o d s , s o t h a t t h e y c o n s t i t u t e a u s e f u l t o o l f o r t h e r e s e a r c h e r s .

W e t h i n k t h a t a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e o t h e r m e t h o d s a v a i l a b l e , h y p e r -

g e o m e t r i c s e r i e s a n d r e c u r s i o n s , a n d o u r s b a s e d o n l y o n c o m p u t a t i o n t i m e s

o f t e n m i s s i s s u e s o f p r o g r a m m i n g c o m p l e x i t y a n d g e n e r a l e x i b i l i t y . A t t h i s

r e g a r d s o m e o f o u r f o r m u l a s h a v e a s m a l l n u m b e r o f t e r m s , a r e e a s i l y p r o -

g r a m m a b l e a n d a l l o w t h e c o m p u t a t i o n i n s i t u o f t h e o n l y w a n t e d c o e c i e n t s

a t t h e r e q u i r e d p r e c i s i o n .

W e s u g g e s t a l s o t h e u s e o f E q s . ( 1 1 ) , ( 3 6 ) o r E q s . ( 1 5 ) , ( 3 7 ) a s u n i v e r s a l

f o r m u l a s f o r t h e c o m p u t a t i o n o f t h e L a p l a c e c o e c i e n t s a n d o f t h e i r d e r i v a -

t i v e s i n a c e l e s t i a l m e c h a n i c s p a c k a g e w i t h i n a c o m p u t e r a l g e b r a s y s t e m .

6 A p p e n d i x

A 1 - F i r s t e x p a n s i o n f o r m u l a

A s

= 1 2 c o s +

2

= 1 2 ( c o s )

2

= 1 2 !

2

Y ( 3 9 )


9/10


w e h a v e

! =

1

2

2

Y ( 4 0 )

s o t h a t w e c a n w r i t e

n ; h

s

=

2

%

0

c o s n !

h

d

s

=

2

%

0

c o s n

1

2

h

d

( 2 )

h

s

Y ( 4 1 )

b u t s i n c e

1

2

h

=

h

i = 0

( 1 )

i

!

1

2

h i

i

i ! ( i ) !

Y ( 4 2 )

s u b s t i t u t i n g t h i s d e v e l o p m e n t i n E q . ( 4 1 ) w e g e t

n ; h

s

=

h

i = 0

e

i ; h

1

n

s i

h

i = 0

( 1 )

i

!

1

2

h i

( 2 )

h

i ! ( i ) !

n

s i

X ( 4 3 )

A 2 - S e c o n d e x p a n s i o n f o r m u l a

I t i s u s e f u l t o w r i t e r s t d e n i t i o n ( 1 ) o f t h e g e n e r a l i z e d L a p l a c e c o e -

c i e n t u n d e r t h e f o r m o f a c o n t o u r i n t e g r a l i n t h e c o m p l e x p l a n e z

n ; h

s

=

1

% i

s

z

n

!

h

d z

z

s

1

% i

s

z

n

2

h

z + z

1

2

h

d z

z [ ( 1 z ) ( 1 z

1

) ]

s

Y ( 4 4 )

w h e r e i s t h e u n i t c i r c l e j z j = 1 d e s c r i b e d c o u n t e r c l o c k w i s e .

B e s i d e s , b y m e a n s o f a n e s t e d u s e o f t h e b i n o m i a l f o r m u l a w e o b t a i n t h e

t r i n o m i a l p o w e r f o r m u l a

( + + )

h

=

h

i = 0

i

j = 0

!

h i

i j

j

j ! ( i ) ! ( i j ) !

X ( 4 5 )

S o , i f w e s t a r t f r o m

! = 2

1

z + z

1

2

Y ( 4 6 )

b y u s i n g E q . ( 4 5 ) w i t h = 2 , = z a n d = z

1

w e n d

!

h

= 2

h

z + z

1

2

h

=

h

i = 0

i

j = 0

( )

h i

! z

i 2 j

2

i

j ! ( i ) ! ( i j ) !

Y ( 4 7 )

a n d s u b s t i t u t i n g i n E q . ( 4 4 ) w e g e t

n ; h

s

=

h

i = 0

i

j = 0

( )

h i

!

2

i

j ! ( i ) ! ( i j ) !

n + i 2 j

s

X ( 4 8 )


10/10

1 0 M a u r i z i o M . D ' E l i s e o

A 3 - N e w c o m b d e r i v a t i v e s

T h e f o r m u l a

p q

=

] p q

j q

= 0

q

u = 1

u

j u

Y ( 4 9 )

c a n b e e a s i l y p r o v e d b y i n d u c t i o n . B y a d i r e c t c o m p u t a t i o n t h e e x p r e s s i o n

a b o v e i s v e r i e d f o r t h e r s t t h r e e r o w s o f t h e m a t r i x A . L e t u s s u p p o s e i t

t r u e f o r a l l t h e r o w s u n t i l r o w p o f A . I f t h e f o r m u l a i s t r u e i n g e n e r a l , t h e n

t h e g e n e r i c e l e m e n t o f t h e r o w p + 1 , w h e n e x p r e s s e d b y m e a n s o f E q . ( 4 9 ) ,

m u s t v e r i f y t h e r e l a t i o n

p + 1 ; q

= p ; q 1

+ q p q

X ( 5 0 )

T o p r o v e t h i s , b y t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s i t i s s e e n t h a t w e c a n c o n s e c u t i v e l y

w r i t e

p ; q 1

+ q p q

=

^ p + 1 q

j q 1

= 0

q 1

u = 1

u

j u

+ q

] p q

j q

= 0

q

u = 1

u

j u

=

H

f

d

0

j q

= 0

q

j q

^ p + 1 q j

q

j q 1

= 0

+

p + 1 q

j q

= 1

q

j q

^ p + 1 q j

q

j q 1

= 0

I

g

e

q 1

u = 1

u

j u

=

H

f

d

0

j q

= 0

^ p + 1 q j

q

j q 1

= 0

+

p + 1 q

j q

= 1

^ p + 1 q j

q

j q 1

= 0

I

g

e

q

u = 1

u

j u

=

^ p + 1 q

j q

= 0

q

u = 1

u

j u

= p + 1 ; q

X ( 5 1 )

A c k n o w l e d g e m e n t s I w o u l d l i k e t o t h a n k P r o f . K . V . K h o l s h e v n i k o v , S t . P e t e r s b u r g

U n i v e r s i t y , f o r h i s u s e f u l s u g g e s t i o n s .

R e f e r e n c e s

1 . B r o u w e r , D . , C l e m e n c e , G . M . : M e t h o d s o f C e l e s t i a l M e c h a n i c s . A c a d e m i c P r e s s ,

N e w Y o r k ( 1 9 6 1 )

2 . C a r b o - D o r c a , R . , G i r o n e s , X . , M e z e y , P . G . ( e d s . ) : F u n d a m e n t a l s o f M o l e c u l a r

S i m i l a r i t y . K l u w e r A c a d e m i c / P l e n u m P r e s s , N e w Y o r k ( 2 0 0 1 )

3 . D ' E l i s e o , M . M . : O n t h e c o m p u t a t i o n o f t h e L a p l a c e c o e c i e n t s . C e l e s t . M e c h .

D y n . A s t r o n . 4 6 1 5 9 - 1 6 1 ( 1 9 8 9 )

4 . S u l i , A . ,

E r d i , B . , P a l , A . : A n e w m e t h o d t o d e t e r m i n e t h e d e r i v a t i v e s o f t h e

L a p l a c e C o e c i e n t s . C e l e s t . M e c h . D y n . A s t r o n . 8 8 2 5 9 - 2 6 8 ( 2 0 0 4 )

generalized laplace coefficients and newcomb derivatives

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