generalitat de catalunya departament d’educació ses pla marcellccubas/3r eso/concepte...

Generalitat de Catalunya Departament d’Educació SES Pla Marcell

GENERALITAT DE CATALUNYA GRÀFIQUES I FUNCIONS DEPARTAMENT D’EDUCACIÓ DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES. CURS 2008-2009 SES Pla Marcell

Full de treball A: ELS GRÀFICS

A.1 El planeta terra i la seva forma.

Segons el que sabem actualment, la primera persona que va suggerir que la Terra no era plana fou Anaximandre de Milet (611-546 a.C.) que va dir que els homes vivien sobre la superfícies d’un cilindre corbat cap al Nord i cap al Sud.

Si fem una observació acurada podem observar que la Terra no és plana, sinó que és esfèrica, i sembla plana perquè la curvatura de la part que podem veure a simple vista és massa suau per notar-la. El primer que va dir que la Terra és esfèrica fou Filolao de Tarento (480- ? a.C.) que la va formular cap a l'any 450 a.C..

Aproximadament dos segles després gaire bé tothom continuava pensant que la Terra era plana, però el filòsof grec Eratòstenes (276 - 194 a.C.), que era molt tossut, va clavar un pal verticalment a Alexandria. Al migdia d’un 21 de juny, va veure que el pal projectava una ombra petita. Llavors es va preguntar:

- “Com pot ser que a Siena (ciutat a uns 800 km d’Alexandria) el mateix pal, a la mateixa hora del mateix dia, no faci cap ombra? Si com

diuen tots, la Terra fos plana, el mateix pal no hauria de fer la mateixa ombra a qualsevol lloc de la Terra?

Eratòstenes va fer aquest experiment desprès de fer-se altres preguntes que qüestionaven el fet de que la Terra fos plana. Algunes d’aquestes qüestions eren:

- Com pot ser que els mastils dels vaixell siguin allò que tarda més en desaparèixer darrera de l’horizont quan un vaixell s’allunya del port?

- Quan hi ha un eclipsi, com pot ser que l’ombra que es projecta de la Terra sobre la Lluna sigui ovalada i no plana?

Així doncs, Eratòstenes va comprendre que l’única resposta possible a aquestes qüestions i a l’experiment que havia fet era pensar que la Terra no podia ser plana, sinó que hauria de ser rodona. I si era rodona, quin podia ser el radi?


Eratòstenes sabia que la diferència entre Siena i Alexandría era de 5.000 estadis (787,5 km.) Sabia també, per la longitud de les ombres al dos llocs, que la distància entre ells havia de ser de uns 7º al llarg de la superfície de la Terra. 7º equivalen a 1/50 part del total de la circumferència que es de 360º. De aquesta manera Eratòstenes va calcular que la circumferència de la Terra hauria de ser de 250.000 estadis (5.000 x 50).

Posteriorment va ajustar aquesta xifra fins 252.000 estadis, que son uns 39.614 km.

Actualment acceptem que la circumferència equatorial de la Terra és de 40.075 km, per tant, Eratòstenes va fer amb dos pals i el seu ingeni un error de tant sols un 1% en l’estimació del radi de la Terra.

La idea que la Terra és rodona era tan satisfactòria, que fou acceptada sense proves directes per qualsevol home culte del món occidental, més o menys a partir del 350 a.C. Una prova directa no va arribar fins a l'any 1522 d.C. quan l'única nau que va sobreviure a la increïble expedició de Magallanes (1480 - 1521) va arribar a port després de donar una volta sencera a la Terra.

(Una lectura que pot interessar-te sobre el gran viatge de Magallanes és: “Magallanes, el hombre y su gesta” de Stefan Zweig de l’editorial Juventud)

Avui, gràcies als satèl·lits de finals de la dècada dels cinquanta, tenim fotos de la Terra que demostren que és esfèrica.

a) Representa sobre una línia horitzontal les dades que han aparegut al text anterior.

b) Utilitzant una escala més adient, torna a representar les dades compreses entre 700 a.C. i 300 a. C.

c) Fes el mateix per les dades compreses entre 1480 i 1530


A.2 De Cardedeu a Sant Antoni de Vilamajor. Aquest estiu, en Joan va anar de Cardedeu a Sant Antoni de Vilamajor, passant per les Pungoles i fent un total de 10 km. La Núria, en canvi, va fer el trajecte el mateix dia en sentit invers.

Un d’ells va anar caminant i l’altre va anar en bicicleta.

Van recollir les dades dels dos trajectes en aquest gràfic conjunt:

a) A quines hores van sortir cadascun?

b) Es van trobar en algun lloc? En quin? A quina hora?

c) Expressa les coordenades del punt a on es van trobar

d) Quina distància va recórrer Joan a la primera hora?

e) Joan va parar dues vegades; quan de temps va estar aturat a cada parada?

f) A quina hora va arribar Núria a Cardedeu?

Ja saps que la velocitat s’acostuma a expressar en metres per segon (m/s ) o en quilòmetres per hora (km/h ), per tant, la velocitat és la distància que s’ha recorregut en una unitat de temps determinada.


Així, la velocitat mitjana d’un objecte es defineix:

• La distància recorreguda es designa amb d. • El temps emprat es designa amb t.

g) Quina va ser la velocitat mitjana de la Núria?

h) Quina va ser la velocitat mitjana d’en Joan?

i) Mirant el gràfic, creus que Joan va mantenir sempre la mateixa velocitat?

j) Pots trobar la velocitat mitjana en cadascun dels 3 trams en que es pot dividir el trajecte d’en Joan sense contar el temps que ha estat descansat?

k) Així doncs, què voldrà dir el valor obtingut a l’apartat h)?

l) Si contemplen els dos casos de manera global, la distància recorreguda és la mateixa i, en canvi, el temps que han fet servir en Joan i la Núria ha segut diferent. Com a conseqüència la velocitat dels dos també és diferent. Si el pare de la Núria hagués anat de Cardedeu a Sant Antoni en cotxe, sortint a les 12:00 hores i trigant 5 minuts, quina hagués segut la seva velocitat mitjana?

m) Representa a un nou gràfic les dades d’en Joan, la Núria i del pare de la Núria

n) Omple la següent taula:

Distància recorreguda Temps en fer el

recorregut Velocitat en m/s

Núria

Joan

Pare de la Núria

Com pots veure a la taula i als gràfics, hi ha una relació entre la velocitat que porten en Joan, la Núria i el seu pare i el temps que ha durat cada trajecte. Diem que la velocitat esta en funció temps. El concepte de funció es va originar amb el interès pel canvi. Hi ha una variable que està constantment canviant: el temps. En quant l’home va ser capaç de mesurar el temps amb prou exactitud, va intentar saber com es mou un cos, es a dir, va tractar d’analitzar els diferents tipus de moviments. En aquest context, el concepte de funció va ser una eina imprescindible en el desenvolupament de la ciència del s. XIV.

utilitzattemps

arecorreguddistànciamitjanavelocitat =

t

dv =


MOKIA

A.3 EL GPS

El Sistema de posicionament global , conegut com a GPS (Global Positioning System), és un sistema de navegació per satèl·lit creat pels militars dels EEUU que permet saber amb molta precisió la posició d’una persona, un vehicle o una nau, amb una desviació de tan sols quatre metres. Segur que alguna vegada heu vist un en funcionament.

El GPS funciona mitjançant una xarxa de satèl·lits que

orbiten al voltant de la terra. Quan es desitja determinar la posició, l’aparell que hi ha al vehicle localitza automàticament com a mínim quatre satèl·lits de la xarxa, dels quals rep uns senyals indicant la posició i el rellotge de cadascun d’ells. Sobre la base d’aquests senyals, l’aparell sincronitza el rellotge del GPS i calcula el retard de les senyals, és a dir, la distància al satèl·lit. Per "triangulació " calcula la posició en que aquest es troba. Conegudes les distàncies, es determina fàcilment la pròpia posició relativa respecte als satèl·lits. Coneixent a més les coordenades o posició de cadascun d’ells pel senyal que emeten, s’obté la posició absoluta o coordenades reals del punt de mesurament.

Actualment la Unió Europea intenta llançar el seu propi sistema de posicionament per satèl·lit, denominat Sistema Galileo .

A més a més de mostrar el recorregut que s’ha de seguir, el GPS recull diverses dades de tot el recorregut que hem fet.


MOKIA

Aquest estiu, en Marc ha anat de viatge amb els seus pares al Canada. Durant un mes van llogar un cotxe que tenia GPS per anar d’un lloc a un altre del país. Anant per l’autopista, quan en Marc va tocar una tecla del GPS, li va sortir una pantalla de la qual va fer aquesta foto: Ara que ja ha tornat a Cardedeu, et demana ajut per interpretar les dades que li van sortir a la pantalla del GPS:

a) Que creua que vol dir “tiempo total” i la xifra de 23:19 que hi ha a sota? I “tpo. en mov.” i 17:28? I, per últim, que creus que vol dir “detenido” i 05:50?

b) Quina diferència creus que hi haurà entre “Media total” i “Media Desplaz.”?

c) Ja saps que el temps es mesura en el sistema sexagesimal, que és diferent del sistema decimal que utilitzen gaire bé per tot. Pots passar a sistema decimal 23 hores i 19 minuts, es a dir, quantes hores són 23 hores i 19 minuts?

d) Multiplica el resultat pel valor de la “Media total”. Quin valor et dona? Exactament quina interpretació li dones al resultat?

e) Passa a sistema decimal el “Tpo. en mov.” i multiplica el resultat per la “Media Desplaz.” Quin valor obtens? No es molt semblant al valor anterior? Veus un valor semblant a la foto del GPS que ha fet en Marc? Com interpretes tot plegat?

f) Per quina raó creus que els tres valor són molt semblants però no són exactament iguals?


A.4 L’efecte hivernacle: realitat o ficció? La representació gràfica s’utilitza per presentar la informació sobre diferents situacions o fenòmens relacionats amb les ciències socials, les ciències naturals, la física o les matemàtiques. La representació gràfica permet una anàlisi més ràpida i eficaç de la informació, i, a la vegada, permet treure conclusions més fàcilment. Aquesta forma de presentar la informació s’utilitza sovint en els mitjans de comunicació. Mira el següent exemple:

Els éssers vius necessiten energia per tal de sobreviure. L’energia que manté la vida sobre la Terra procedeix del Sol que, com que està molt calent, irradia energia a l’espai. Una petita proporció d’aquesta energia arriba fins a la Terra.

L’atmosfera de la Terra actua com una capa protectora de la superfície del nostre planeta, evitant les variacions de temperatura que existirien en un món sense aire. La major part de l’energia radiada pel Sol passa a través de l’atmosfera de la Terra.

La Terra absorbeix una part d’aquesta energia i una altra part és reflectida per la superfície de la Terra. Part d’aquesta energia reflectida és absorbida per l’atmosfera.

Com a resultat de tot això, la temperatura mitjana de la superfície de la Terra és més alta del que ho seria si no hi hagués atmosfera. L’atmosfera de la Terra funciona com un hivernacle, d’aquí el terme efecte hivernacle .

Es diu que l’efecte hivernacle s’ha accentuat en el segle XX.

És un fet que la temperatura mitjana de l’atmosfera ha augmentat. En els diaris i les revistes s’afirma amb freqüència que la principal causa responsable de l’augment de la temperatura en el segle XX és l’emissió de diòxid de carboni.

L’Andreu, està interessat a analitzar la possible relació entre la temperatura mitjana de l’atmosfera de la Terra i l’emissió de diòxid de carboni a la Terra. A un diari troba els gràfics següents:


A partir d’aquests dos gràfics, l’Andreu conclou que és cert que l’augment de la temperatura mitjana de l’atmosfera de la Terra és degut a l’augment de l’emissió de diòxid de carboni. La Joana, no està d’acord amb la conclusió de l’Andreu.

a) Per quines raons creus que la temperatura mitjana de la superfície de la Terra és més alta del que ho seria si no hi hagués atmosfera?

b) Com definiries l’efecte hivernacle?

c) La Joana compara els dos gràfics i diu que algunes parts dels gràfics no confirmen la conclusió de l’Andreu. L’Andreu insisteix en la seva conclusió, que l’increment de la temperatura mitjana de l’atmosfera de la Terra és deguda a l’augment de l’emissió de diòxid de carboni. Però la Joana pensa que la seva conclusió és prematura. Ella diu: “Abans d’acceptar aquesta conclusió, t’has d’assegurar que els altres factors que podrien influir en l’efecte hivernacle es mantenen constants.” Esmenta un dels factors en què la Joana està pensant


A.5 El sistema de referència cartesià

Va succeir el 10 de novembre de 1619 quan Descartes es trobava descansant a una caserna militar al costat del riu Danubi. Va passar el dia al llit fent allò que més l’agradava: pensar en com era el mon que li envoltava. De cop una mosca va passar volant i, quan portava una estona observant-la, es va donar que la seva posició en qualsevol moment es podia representar amb tres nombres que indicarien les distàncies a cadascuna de les parets i al sostre de l’habitació. Així sembla que va començar una de les grans idees matemàtiques de tots els temps: el sistema de referència cartesià .

Una biografia de René Descartes la pots trobar a: http://ca.wikipedia.org/wiki/Descartes o també a http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Descartes3.asp Segueix els passos següents per construir un sistema d’eixos cartesians en un full sencer de paper quadriculat

a) Tria al centre del full quadriculat un punt que serà l’origen de coordenades. Anomena’l O.

b) Dibuixa una recta horitzontal que passi pel punt O. Serà l’eix d’abscisses.

c) Dibuixa una recta perpendicular a l'anterior que passi pel punt O. Serà l’eix d’ordenades. D’aquesta manera el full ha quedat dividit en quatre quadrants:

d) Escull una unitat (pot ser 2 cm o 1 cm o ½ cm o ...) i gradua cada eix de manera que la distància entre dues marques de l’eix sigui aquesta unitat.

e) Numera les marques que has fet sobre els eixos. Recorda: positius a la dreta i a dalt de l’origen de coordenades i negatius a l’esquerra i baix de l’origen

f) Representa i uneix, per ordre, els punts següents: A(1,2), B(4,2), C(2,0), D(3,-3), E(0,-1), F(-3,-3), G(-2,0), H(-4,2), I(-1,2) i J(0,5). Quina figura geomètrica obtens?


A.6 La dilatació diferent de l’aigua

Tothom sap que l’aigua sòlida sura, es a dir, el glaç sura sobre l’aigua líquida (pensa en els iceberg o en un got d’aigua amb uns “cubitos” de glaç ).

Això es una propietat molt estranya a la natura. L’experiència ens diu que quan escalfem un cos es dilata i quan el refredem es contrau.

Doncs amb l’aigua això no passa: quan l’aigua es congela, es dilata. Es a dir, augmenta el seu volum (una massa de glaç té un volum més gran que la mateixa massa d’aigua) i, per tant, la densitat (que es la divisió entre la massa i el volum) del glaç és menor que la de l’aigua líquida. Així doncs, el glaç sura sobre l’aigua líquida per que la seva densitat es menor .

Aquí tens un text i un gràfic sobre la variació de la densitat de l’aigua en funció de la temperatura i com aixó repercuteix sobre el medi ambient: Las variaciones de densidad del agua con la temperatura tienen una profunda repercusión en el medio ambiente. Cuando hace mucho frio, en cuerpos de agua, como por ejemplo un lago, el agua a 4°C, que es la más densa, se sumerge hasta el fondo mientras que el agua sobre 4°C, que es menos densa, sube a la parte superior. Este desplazamiento de agua, por convección, produce que la casi totalidad del lago alcance los 4°C. Por bajo de esta temperatura la densidad disminuye, pero como el agua no es más pesada que la que está a 4°C, no se desplaza hacia el fondo sino que permanece en la superficie hasta que a 0°C se congela. La capa de hielo que se forma, que es menos densa, no se sumerge y como queda sobre la superficie del lago forma una capa aislante que evita que el agua interior se congele. Si el hielo llegara al fondo, no podría aislar el interior del lago, por lo que todo el lago se congelaría, y los peces y otros organismos vivos morirían.

GENERALITAT DE CATALUNYA GRÀFIQUES I FUNCIONS DEPARTAMENT D’EDUCACIÓ DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES. CURS 2008-2009 SES Pla Marcell Respon a les següents qüestions:

a) Escriu la fórmula de la densitat d’un cos.

b) Saps que l’oli té una major densitat que l’aigua, per tant, si afegim una gota d’oli a un got d’aigua creus que sura o s’enfonsa? Pots fer una comprovació real a casa.

c) Quines són les variables que es relacionen en el gràfic que acompanya al text?

d) Quina és la densitat de l’aigua a 0º?

e) Pots trobar dos temperatures diferents de l’aigua que tinguin la mateixa densitat? Escriu-les

f) Quina temperatura de l’aigua té la densitat més alta? Escriu el punt exacte (amb parèntesis i separades per comes les dos coordenades) en el que el gràfic té el valor màxim.

g) Creus que desprès dels 18º de temperatura la densitat de l’aigua serà negativa?

h) Quin títol li posaries al gràfic?

i) Creus que el gràfic ajuda a entendre millor el text? De quina manera ajuda?

j) Torna a rescriure el text (traduint-lo al català) i afegint els valors concrets de la densitat de l’aigua a les diferents temperatures, de manera que es pugui entendre més bé el text.


A.7 La temperatura d’en Josep L'altre dia, en Josep estava malalt i no va venir a l'institut. Durant el dia es va anar prenent la temperatura i va obtenir la següent taula: Hora 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Temperatura ºC 37'2 37'3 37'5 37'3 37'6 37'8 37'9 38 37'8 38'1 38'3 38'5

a) Quines variables es relacionen?

b) Quina és la variable dependent? I quina és la independent?

c) Omple la taula següent:

NOM

Variables

DEPEND./

INDEPEND.

EIX en que es situen

Valor

Max.

Valor

Mínim

Cm ESCALA

QUADRANTS que farem servir per fer el gràfic

d) Fes un gràfic continuo que representi la temperatura d’en Josep al llarg del dia. Recorda: a l’eix d’abscisses sempre has de posar la variable independent i a l’eix d’ordenades la variable dependent

e) Quin punt del gràfic representa la temperatura mínima?

f) Indica els intervals de creixement, o sigui, en quin intervals de temps la temperatura d’en Josep va anant creixent.


A.8 El preu de la discoteca El lloguer d'una discoteca per una festa de final de curs val 180 €. La capacitat màxima de la sala és de 100 persones. Si no es vol obtenir cap benefici ni cap guany, el preu de l'entrada estarà en funció del nombre d'alumnes que vagin a la festa.

a) Omple la taula següent que dóna aquesta relació:

Nombre d’alumnes que van a la festa

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Preu d’una entrada

b) Omple una taula com la del apartat c) del problema anterior.

c) Representa gràficament aquesta funció.

A.9 Un gràfic en 3D El gràfic següent mostra un prisma de base quadrangular. Els vèrtex A i H tenen per coordenades (1,2,8) i (4,5,3). Fixa’t que la primera coordenada és la x, la segona la y i la tercera la z.

a) Escriu les coordenades dels altres 6 vèrtex.

b) A partir de les coordenades dels vèrtex, pots trobar la longitud de l’aresta AF?

c) I la longitud de l’aresta EH?

d) Si les unitats de mesura de les coordenades són en cm, quina és l’àrea de la base?

e) Quin és el volum del prima?


A.10 La gran cursa Vas a participar en una cursa de motos en un circuit. Segons el traçat acceleres o frenes. Així la velocitat puja o baixa. Mira el circuit i fes les gràfiques (a mà alçada) de com conduiries o fes el circuit que falta a la vista de com algú ha conduït.

En les gràfiques anteriors marca els intervals de creixement i de decreixement.


Full de treball B: EL CONCEPTE DE FUNCIÓ

B.1 Les vendes a la xarxa En els últims anys ha proliferat la venda de tot tipus de productes per Internet. Ofereixen un descompte sobre el preu normal i te'ls porten a casa. Tenen grans avantatges, però també tenen els seus inconvenients com és que et cobren el cost del transport i no tens l'assessorament del personal de la botiga. Anem a analitzar la part econòmica en un cas concret. La Marta és aficionada a les plantes i necessita fertilitzant. A la botiga val 3,5€ el kg i comprant-ho per Internet 2,5 € el kg però li cobren 5 € pel transport de tota la comanda. Fem algunes proves en forma de taula (Acaba d’omplir tu la taula ):

Compres a la botiga Compres a la xarxa Nombre de kg Preu en € Nombre de kg Preu en €

1 3,5 € 1 5 + 2,5 = 7,5 € 2 3,5*2 = 7 € 2 5 + 2,5*2 = 10 € 7 3,5*7 = 7 5 + 2,5*7 =

10 10 12,25 12,25

15 kg i 300 g 15 kg i 300 g Fixa't que, tant si fa la compra per internet com si no, es relacionen dues magnituds numèriques de manera que a cada valor de la primera magnitud (el nombre de kg de fertilitzant) li correspon un valor i només un de la segona magnitud (el preu). Es diu que la segona magnitud és funció de la prime ra. Aquestes magnituds que es relacionen s'anomenen variable independent (el nombre de kg) i variable dependent (el preu). La raó és obvia: es donen valors als kg i es calcula el preu de la compra. Les funcions , és a dir aquestes relacions, poden expressar-se en les formes següents:

• Un enunciat • Una taula de valors • Una gràfica • Una fórmula


Fixa't, en el cas de la compra per internet, com es passa d'una forma d'expressió a una altra:

Taula de valors en el cas de la compra per la xarxa: Compres a la xarxa

Nombre de kg Preu en € 1 5 + 2,5 = 7,5 € 2 5 + 2,5*2 = 10 € 7 5 + 2,5*7 = 22,5 €

10 5 + 2,5*10 = 30 € 12,25 5 + 2,5*12,25 = 35,625 €

15 kg i 300 g = 15,3 kg 5 + 2,5*15,3 = 43,25 € Fórmula en el cas de la compra per internet:

5 + 2,5* pes Gràfica en el cas de la compra per internet:

A partir de l'enunciat s'ha fet la taula de valors, després s'ha determinat la fórmula i finalment s'ha fet la gràfica. En altres casos a partir d'una fórmula s'estableix l'enunciat, o bé a partir d'una gràfica es dedueix la fórmula, és a dir es passa d'una forma d'expressió a una altra. Amb tot, no sempre es pot obtenir una fórmula a partir d'una taula de valors o d'una gràfica.

a) Repeteix el mateix procés, es a dir, construeix la taula de valors, la fórmula i el gràfic pel cas de la compra de fertilitzants a la botiga.


B.2 Són funcions?

Les situacions plantejades en aquesta unitat indiquen "dependència " entre dues quantitats variables. Com has vist aquesta dependència venia donada de diverses formes:

- Per un gràfic

- Per una taula

- Per una regla, fórmula ...

Sigui quina sigui la manera d'expressar-la, les característiques comunes d'aquestes situacions són que:

- Hi ha dues variables.

- Una depèn de l'altra: els valors que pren una d'elles venen donats pels que agafa l'altra.

Una funció és formada per:

a) Un conjunt A de valors que pot agafar la variable independent, anomenat conjunt de sortida o domini de la funció .

b) Un conjunt B de valors que pot agafar la variable dependent, anomenat conjunt d'arribada .

c) Una regla que assigna a cada element del domini un i només un element del conjunt d'arribada.

En el cas que la regla no compleixi la condició imposada, parlarem de correspondència .

Es pot esquematitzar una funció amb el diagrama següent: V. independent V. dependent A regla B Domini Conjunt d’arribada


a) Podem trobar molts exemples de funcions:

A. El nombre de clients d’un restaurant al llarg d’un any. B. El pes d’un fetus en grams segons la seva longitud en centímetres. C. La variació de temperatura que ha sofert un malalt al llarg del dia. D. L’evolució del pes d’un nadó des de que va néixer fins als cinc anys. E. La variació de velocitat d’un atleta en una cursa de 10 km. F. L’evolució d’un cultiu de bacteris que duplica cada hora el seu número. G. La longitud del costat d’un quadrat i la seva àrea. H. La velocitat d’un cotxe i el temps que trigaria en recórrer 700 km. I. La quantitat d’aigua de mar i la sal que se’n pot extreure. J. La quantitat de taronges que s’han comprat i el seu preu.

A partir d’aquests exemples completa el quadre següent: indica si hi ha o no una fórmula, o bé si s’obté a partir d’una taula de valors. Indica també quina és la variable independent i quina és la variable dependent.

Fórmula o taula de valors? Variable independent Variable dependent

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

b) Donats els gràfics següents amb domini {1,2,3,4,5} i amb conjunt d'arribada {1,2,3,4,5}.

Representen funcions o són correspondències? Justifica les respostes.


c) Considerant com domini i com conjunt d'arribada el conjunt de tots els nombres, quines de les correspondències representades són funcions? Per què?

d) Fixa’t en aquestes tres situacions de dependència entre dues variables.

1. En una botiga ens fan un descompte segons la quantitat gastada: el 10% per compres inferiors a 30€, el 20% per les compres de 30€ fins a 100€ i el 25% per compres superiors a 100€.

2. Una pilota cau des d’una altura de 4m i, en cada rebot, puja fins a la meitat de l’altura anterior.

3. Els cotxes, una vegada es compren, comencen a perdre valor, aproximadament un 20% cada any.

Contesta a les preguntes que ens fem quan ens trobem davant d’una possible funció en els tres exemples anteriors:

•••• Es tracta d’una funció? Per què?

•••• Quina és la variable independent? I la dependent?

•••• Quines unitats hem d’utilitzar per la variable independent? I per la dependent?

•••• En quin eix hem de representar la variable independent? I la dependent?

•••• Entre quins valors de la variable independent s’ha de fer la representació gràfica?

•••• Entre quins valors varia la variable dependent?


B.3 El llenguatge simbòlic En general, una funció f de : - Domini : A - Conjunt d'arribada : B - Variable independent : x - Variable dependent : y es simbolitza de la forma següent: f : A B x y = f(x) Si recordes l'exemple de les compres per internet, en el cas de fertilitzant que compra per la xarxa la Marta, teníem el resultat següent:

Compres a la xarxa Nombre de kg Preu en €

1 5 + 2,5 = 7,5 € 2 5 + 2,5*2 = 10 € 7 5 + 2,5*7 = 22,5 €

10 5 + 2,5*10 = 30 € 12,25 5 + 2,5*12,25 = 35,625 €

15 kg i 300 g = 15,3 kg 5 + 2,5*15,3 = 43,25 € Formula 5 + 2,5* pes

Podem simbolitzar aquesta funció de la següent manera:

• Funció: El preu d’una compra depenent del pes de la compra

• Variable independent: (x) El pes en kg que comprem

• Variable dependent: (y) El preu de la compra en euros

• Domini: Els nombres positius

• Conjunt d’arribada Els nombres positius

• Fórmula: f(x) = 5 + 2,5 * x

o també es pot posar: y= 5 +2,5x

• f : Els nombres positius Els nombres positius x y = 5 + 2,5x

• Per indicar que el preu desprès de parlar 1 minut s'utilitza el simbolisme:

f(1) = 7,5

també hi ha altres maneres d'expressar-ho: - 7,5 és la imatge de 1. - a 1 li correspon 7,5. - 1 és l'antiimatge de 7,5.

• El símbol que utilitzarem per indicar les antiimatges és f-1. Així doncs, el simbolisme f-1(7,5) = 1 ens indica que l'antiimatge de 7,5 és 1.


a) Relaciona amb fletxes els símbols amb la corresponent expressió literal.

* f(1) = -3 * La imatge de -3 és 1.

* f-1(4) = -2 * L'antiimatge de -2 és 4.

* f(-3) = 1 * L'antiimatge de 4 és -2.

* f-1(-2) = 4 * La imatge de 1 és -3.

b) Si f és una funció, expressa en forma simbòlica:

o La imatge de 2 per f és 3.

o L’antiimatge d'1 per f és -5.

o a 1/2 li correspon 1/4 per f.

o f és una funció del domini A en el recorregut B.

o y és la imatge de x per f.

c) Expressa literalment els següents símbols:

o f(3) = -2

o g(1/2) = 1/3

o f-1(2) = 0

o y = x + 1

o f(-3) = - 4

d) Donades les funcions f(x) = 3x i g(x)=x+4 troba:

a) f(0)= b) g(2)= c) f-1(6)=

d) g-1(-2)= e) f(-2)= f) f-1(9)=

g) g (-3)= h) f(2

1)= i) f-1(-3)=

j) g-1(0)= k) f(23,5)= l) g(-0,3452)=

e) Donades les funcions f(x) = x 2 i g(x)=2x-3 troba:

a) f(0)= b) g(2)= c) f(π )=

d) g-1(-1)= e) f(-2)= f) f-1(9)=

g) g-1(0)= h) f( 2 )= i) f-1(-4)=


B.4 Les primeres representacions gràfiques

a) Donada la funció f(x) = x + 1

a) Omple la taula de valors següent:

x 1 2 4 0 -1 -4 f(x)

b) Dibuixa uns eixos coordenats i marca els punts (x,f(x)) obtinguts a la taula anterior

c) Dibuixa el gràfic de la funció unint els punts d’esquerra a dreta.

d) Calcula gràficament les imatges de 3 i -2. Expressa en forma simbòlica els resultats.

e) Calcula gràficament la antiimatge de -2. Expressa en forma simbòlica el resultat.

b) Donada la funció f(x) = 2x - 1

a) Fes una taula de valors i dibuixa el gràfic.

b) Calcula sobre el gràfic la imatge de -2 i l'antiimatge de 5.

c) Calcula analíticament la imatge de -2 i l'antiimatge de 5.

c) Donada la funció f(x) = x 2 fes una taula de valors i dibuixa el gràfic.

d) Anem a comprovar si el gràfic de f(x) = x 2 és correcte amb l’ajut de una calculadora gràfica que trobem a Internet. La calculadora es diu Wiris.

1.- La calculadora Wiris la trobaràs a http://calculadora.edu365.com/.

2.- Per fer la representació gràfica de y = x 2 cal escriure:

e) Fes la comprovació de la representació gràfica de y = 2x - 1

Pel quadrat

Per escriure dibuixa

Per a que faci el dibuix


f) Dibuixa en mateix gràfic les funcions

f(x)=3x-2 i g(x)=-x+4

En quin punt es tallen les dues rectes?

g) Ús de la Calculadora fx-82 ES La calculadora pot fer les taules de valors de les funcions. Fem una prova:

a. Omple la taula següent amb la funció f(x)=x 2 - 4

x - 2 - 1 0 1 2 3 f(x)

b. Comprovem amb la calculadora el teus càlculs: Tecleja ALPHA SETUP i tria l’opció TABLE teclejant 3. Introdueix la fórmula f(x)=x 2 - 4 i acaba amb un igual. ( Fixa`t que la X s’introdueix amb ALPHA X, la tecla del parèntesis). Veuràs que la calculadora et demana amb quin valor vols començar la taula (Start?). Tecleja -2 = que és el nombre amb el comença la taula que has fet a l’apartat anterior. A continuació la calculadora vol saber amb quin valor de la X ha d’acabar la taula (End?), tecleja 3 =. Per últim et demana amb quin salt ha d’anar d’un valor a un altre (Step?). En el nostre cas, els valors van d’1 en 1. Per tant, tecleja 1 =. A pantalla tens la taula anterior de manera vertical. Comprova els càlculs que has fet a l’apartat anterior.

h) Omple la taula següent i dibuixa en un mateix gràfic les dues funcions següents:

f(x)= 3x2 + 5x - 2 i g(x)= (x + 2)(x - 2)

x -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

f(x) g(x)

En quins punts tallen les dos funcions els eixos coordenats (tan el d’abscisses com el d’ordenades)?


B.5 Les trucades al mòbil

Les companyies de telefonia mòbil presenten les tarifes de les seves trucades de forma similar a la següent:

El primer que es pot fer amb aquesta informació és calcular quant costaria parlar amb els amics segons el temps que duri la trucada, per exemple, en l'horari normal. A la xarxa hem trobat aquesta taula: http://www.sumovil.com/tarifas.asp (data de la consulta, juny 2008)

Cost/min. Operador Tarifa Pla Establiment de trucada

0,0625 € Vodafone Única Pla Universal 60 0,0721 €

0,0661 € MoviStar Tarifa única Pla 90 0,0721 €

0,0721 € Orange Reduïda Tarifa Oci 0,0721 €

Fixa't que es relacionen dues magnituds numèriques de manera que a cada valor de la primera magnitud (el temps) li correspon un valor i només un de la segona magnitud (el preu).

Taula de valors en el cas de Vodafon:

Temps

(en minuts) Preu final de la trucada

(en euros) 0m 0,001 s 0,0721 + 0,0625 * 1 = 0,1346 € 0 m 25 s 0,0721 + 0,0625 * 1 = 0,1346 € 0 m 59 s 0,0721 + 0,0625 * 1 = 0,1346 €

1m 0,0721 + 0,0625 * 2 = 0,1971 € 1m 01 s 0,0721 + 0,0625 * 2 = 0,1971 € 1m 45 s 0,0721 + 0,0625 * 2 = 0,1971 €

2 0,0721 + 0,0625 * 3 = 0,2596 € 2 m 3s 0,0721 + 0,0625 * 3 = 0,2596 €

a) Construeix el gràfic en el cas Vodafon fins els 5 minuts de trucada.

b) Fes una taula i un gràfic per la tarifa de Telefónica.

c) Escriu la fórmula de la funció que dóna la relació entre el temps de la trucada i el preu final, en el cas de la tarifa d’Orange.


B.6 La factura del mòbil

Movistar té una tarifa per mòbils (Contrato Movistar) amb les següents característiques: (www.movistar.es data consulta: setembre 2008)

Cuota Mensual : Consumo mínimo mensual 9€ Establecimiento de llamada : 15 cént. Tarifas válidas con origen y destino nacional. Las tarifas indicadas son por minuto de comunicación pero se factura por segundos desde el inicio de la comunicación. Los precios son los que aparecen a continuación: Voz:

movistar: 3 cént./min

Operadores fijos y móviles tipo 1: 30 cént./min

Operadores móviles tipo 2: 35 cént./min

Videollamada:

movistar: 8 cént./min

Operadores fijos y móviles: 35 cént./min

SMS y MMS movistar y resto de operadores:

SMS: 15 cént.

MMS "sólo texto": 15 cént.

MMS con contenido diferente de "sólo texto": 1euro.

Operadores móviles tipo 1:Todos los operadores móviles nacionales excepto Movistar y Yoigo. Operadores móviles tipo 2: Yoigo.

El profe de Mates ha revisat aquesta tarifa i diu que la persona que la contracta amb Movistar, el que ha de pagar en € en funció al consum real en € que fa és una funció que es pot representar per la següent expressió:

a) Determina quina és la variable dependent i quina la independent.

b) Si una persona fa un consum per valor de 5 € durant un mes, quant ha de pagar?

c) Si el consum que ha fet al mes següent és de 12 €, que haurà de pagar a Telefònica?

d) Et sembla que el professor de Mates té raó? Explica la fórmula que ha donat el profe de Mates.

e) Fes un gràfic que representi aquesta funció.

>≤

=9

99)(

xsix

xsixf

generalitat de catalunya departament d’educació ses pla marcellccubas/3r eso/concepte...

Documents