gener síncrono

GENERADOR SÍNCRONOMODELO MATEMÁTICO SIMPLIFICADO

OBTENCIÓN DEL CIRCUITO EQUIVALENTE

23/04/2015 Máquinas Eléctricas II_ FFCA 1

Modelo de la Máquina Síncrona 𝑛𝑚, velocidad mecánica en rev/min (rpm).

𝑓𝑒, frecuencia eléctrica en Hertz. Típicamente (50 Hz, 60 Hz)𝑃, número de polos

• Por ejemplo:• Para generar una potencia de 60 Hz en una

máquina de dos polos, el rotor debe girar a 3600 rpm. Para generar una potencia de 50 Hz en una máquina de 4 polos, el rotor debe girar a 1500 rpm.

Velocidad de rotación de un generador síncrono


𝑛𝑚 =120𝑓𝑒

𝑃1

Modelo de la Máquina Síncrona

𝐸𝐴, fuerza electromotriz generada en volts.

𝑁𝑐, número de espiras de una fase del estator.

𝜙, flujo magnético en Weber.

𝑓, frecuencia eléctrica.

𝑓 =𝜔

2𝜋

𝐸𝐴 = 2𝜋𝑁𝑐𝜙𝜔

2𝜋=

𝑁𝑐𝜙𝜔

2

𝐾, constante que representa la construcción de la máquina.

Voltaje interno generado


𝐸𝐴 = 2𝜋𝑁𝑐𝜙𝑓 2

𝐸𝐴 = 𝐾𝜙𝜔 (3)


DEBANADO DEL INDUCIDO TRIFÁSICO:Las bobinas aa’, bb’, cc’ representan inducidos distribuidos en el ESTATOR que producen una fuerza electromotriz sinusoidal.

El bobinado de excitación ff’, en el rotor también representa un inducido distribuido, que produce una fmm sinusoidal y una onda de la densidad de flujo centrada sobre su eje magnético que gira en el rotor.

L=(ϕ N)/Iℒ𝑥𝑥 Autoinductancia de la bobina xx

ℒ𝑥𝑦 Inductancia mutua entre las bobinas xy

ℒ, se utiliza para indicar que tanto la autoinductanciacomo la inductancia mutua de una máquina trifásica varía con respecto al ángulo del rotor, 𝜃.


La inductancia (L), es una medida de la oposición a un cambio decorriente de un inductor o bobina que almacena energía enpresencia de un campo magnético


𝜆𝑎 = ℒ𝑎𝑎𝑖𝑎 + ℒ𝑎𝑏𝑖𝑏 + ℒ𝑎𝑐𝑖𝑐 + ℒ𝑎𝑓𝑖𝑓𝜆𝑏 = ℒ𝑏𝑎𝑖𝑎 + ℒ𝑏𝑏𝑖𝑏 + ℒ𝑏𝑐𝑖𝑐 + ℒ𝑏𝑓𝑖𝑓𝜆𝑐 = ℒ𝑐𝑎𝑖𝑎 + ℒ𝑐𝑏𝑖𝑏 + ℒ𝑐𝑐𝑖𝑐 + ℒ𝑐𝑓𝑖𝑓𝜆𝑓 = ℒ𝑓𝑎𝑖𝑎 + ℒ𝑓𝑏𝑖𝑏 + ℒ𝑓𝑐𝑖𝑐 + ℒ𝑓𝑓𝑖𝑓

𝜆𝑎𝜆𝑏

𝜆𝑐𝜆𝑓

=

ℒ𝑎𝑎

ℒ𝑏𝑎

ℒ𝑎𝑏

ℒ𝑏𝑏

ℒ𝑐𝑎

ℒ𝑓𝑎

ℒ𝑐𝑏

ℒ𝑓𝑏

ℒ𝑎𝑐

ℒ𝑏𝑐

ℒ𝑎𝑓

ℒ𝑏𝑓

ℒ𝑐𝑐

ℒ𝑓𝑐

ℒ𝑐𝑓

ℒ𝑓𝑓

𝑖𝑎𝑖𝑏𝑖𝑐𝑖𝑓

Enlaces de Flujo 𝜆en una MS:

Autoinductancia del rotor:


ℒ𝑟𝑟 = 𝐿𝑟𝑟 = 𝐿𝑟𝑟0 + 𝐿𝜎𝑟 (4)En el caso de un rotor cilíndrico la autoinductanciadel rotor es independiente de la posición 𝜃𝑚

𝐿𝑟𝑟0 =4𝜇0𝑙𝑟

𝜋𝑔

2𝑘𝑤𝑁𝑝ℎ

𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠

2

=16𝜇0𝑙𝑟

𝜋𝑔

𝑘𝑤𝑁𝑝ℎ


2

𝐿𝜎𝑟, inductancia de dispersión del rotor𝐿𝑟𝑟0, inductancia del entrehierro

𝑘𝑤=𝑘𝑏𝑘𝑝 factor de devanado (construcción)

𝑔, es la longitud del entrehierro𝑟, radio del rotor𝑙, longitud axial del entrehierro

Consultar APÉNDICE BLibro: Maquinas Eléctricas -

6a Ed. - Fitzgerald



𝐿𝑟𝑟0 =4𝜇0𝑙𝑟

𝜋𝑔



2

=16𝜇0𝑙𝑟

𝜋𝑔

𝑘𝑤𝑁𝑝ℎ


2


𝑔, es la longitud del entrehierro𝑟, radio del rotor𝑙, longitud axial del entrehierro


• Bajo condiciones transitorias o de desbalance, las dispersiones de flujo con undevanado de campo, varían con el tiempo, y los voltajes inducidos en los circuitos delrotor presentan un efecto importante en el desempeño de la máquina.

• Sin embargo, en el caso de las corrientes balanceadas de un inducido trifásico, laamplitud constante del campo magnético de las corrientes de inducido giran ensincronía con el rotor. Así, las dispersiones de flujo del devanado de campo queproducen las corrientes de inducido NO VARÍAN con el tiempo; por lo tanto, el voltajeinducido en el devanado de campo es cero.


Con un voltaje de corriente directa constante 𝑽𝒇 que se aplica a las terminales del devanado de

campo, la corriente directa de excitación 𝑰𝒇 se obtiene mediante la Ley de Ohm, 𝑰𝒇 = 𝑽𝒇 𝑹𝒇

Inductancia mutuas del estator al rotor

Varían periódicamente con respecto a 𝜃𝑚𝑒.


ℒ𝑎𝑓 = ℒ𝑓𝑎 = 𝐿𝑎𝑓 cos 𝜃𝑚𝑒 (5)

ℒ𝑏𝑓 = ℒ𝑓𝑏 = 𝐿𝑏𝑓 cos 𝜃𝑚𝑒 − 120° (6)

ℒ𝑐𝑓 = ℒ𝑓𝑐 = 𝐿𝑐𝑓 cos 𝜃𝑚𝑒 + 120° (7)

𝐿𝑎𝑓 =4𝜇0

𝜋

2𝑘𝑤1𝑁1


2𝑘𝑤2𝑁2


𝑙𝑟

𝑔cos 𝛼


6a Ed. - Fitzgerald

𝛼, es el ángulo eléctrico


Al girar el rotor a una velocidad síncrona 𝜔𝑠, el ángulo del rotor variará de la siguiente manera:

• 𝛿0, representa el ángulo del rotor a un tiempo 𝑡 = 0

𝜃𝑚 = 𝜔𝑠𝑡 + 𝛿0 (8)


Al girar el rotor a una velocidad síncrona 𝜔𝑠, el ángulo del rotor variará de la siguiente manera:

𝜃𝑚 = 𝜔𝑠𝑡 + 𝛿0

𝜃𝑚𝑒 =𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠

2𝜃𝑚 =


2𝜔𝑠𝑡 + 𝛿0 =


2𝜔𝑠𝑡 +


2𝛿0 = 𝜔𝑒t + 𝛿𝑒0

• 𝜔𝑒 =𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠

2𝜔𝑠, es la frecuencia eléctrica y

• 𝛿𝑒0, es ángulo eléctrico del rotor a un tiempo 𝑡 = 0

ℒ𝑎𝑓 = ℒ𝑓𝑎 = 𝐿𝑎𝑓 cos 𝜔𝑒t + 𝛿𝑒0 (10)

𝜃𝑚𝑒 = 𝜔𝑒t + 𝛿𝑒0 (9)

Autoinductancias del estator, Inductancia Síncrona


ℒ𝑎𝑎 = ℒ𝑏𝑏 = ℒ𝑐𝑐 = 𝐿𝑎𝑎 = 𝐿𝑎𝑎0 + 𝐿𝜎𝑎 (11)

𝐿𝑎𝑎0 =4𝜇0𝑙𝑟

𝜋𝑔



2

=16𝜇0𝑙𝑟

𝜋𝑔

𝑘𝑤𝑁𝑝ℎ


2

𝐿𝜎𝑎, inductancia de dispersión de la bobina 𝑎 del estator𝐿𝑎𝑎0, inductancia del entrehierro



6a Ed. - Fitzgerald

Inductancias mutuas del estator, Inductancia Síncrona


𝐿𝑎𝑏 =4𝜇0

𝜋

2𝑘𝑤𝑎𝑁𝑎


2𝑘𝑤𝑏𝑁𝑏


𝑙𝑟

𝑔cos 𝛼

Demostración:

• Las bobinas de un devanado trifásico son iguales,• 𝛼 = 120°, • 𝑐𝑜𝑠 ±120 = − 1 2

ℒ𝑎𝑏 = ℒ𝑏𝑎 = ℒ𝑎𝑐 = ℒ𝑐𝑎 = ℒ𝑏𝑐 = ℒ𝑐𝑏 = −1

2𝐿𝑎𝑎0 (12)

𝐿𝑎𝑏 =4𝜇0

𝜋

2𝑘𝑤𝑎𝑁𝑎


2𝑙𝑟

𝑔−

1

2= −

1

2𝐿𝑎𝑎0


𝜆𝑎 = 𝐿𝑎𝑎0 + 𝐿𝜎𝑎 𝑖𝑎 + ℒ𝑎𝑏 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 + ℒ𝑎𝑓𝑖𝑓

ℒ𝑎𝑏 = ℒ𝑎𝑐 = −1

2𝐿𝑎𝑎0

𝜆𝑎 = 𝐿𝑎𝑎0 + 𝐿𝜎𝑎 𝑖𝑎 −1

2𝐿𝑎𝑎0 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 + ℒ𝑎𝑓𝑖𝑓

Bajo corrientes de inducido trifásicas balanceadas, se tiene:

𝑖𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = 0𝑖𝑏 + 𝑖𝑐 = −𝑖𝑎

𝜆𝑎 = 𝐿𝑎𝑎0 + 𝐿𝜎𝑎 𝑖𝑎 +1

2𝐿𝑎𝑎0𝑖𝑎 + ℒ𝑎𝑓𝑖𝑓

𝜆𝑎 =3

2𝐿𝑎𝑎0 + 𝐿𝜎𝑎 𝑖𝑎 + ℒ𝑎𝑓𝑖𝑓

𝐿𝑠 =3

2𝐿𝑎𝑎0 + 𝐿𝜎𝑎 (13)

𝜆𝑎 = 𝐿𝑠𝑖𝑎 + ℒ𝑎𝑓𝑖𝑓 (14)

Inductancia Síncrona, Ls

Análisis:

𝐿𝑠, representa la inductancia efectiva por fase bajo condiciones de operacióntrifásicas balanceadas del estado estacionario en la máquina. Lo cual se componede tres elementos:

1. 𝐿𝑎𝑎0, se debe al componente del entrehierro fundamental espacial de losacoples autoinducidos de la fase 𝑎.

2. 𝐿𝜎𝑎 , inductancia de dispersión del devanado de inducido, se debe alcomponente de dispersión de las dispersiones de flujo de la fase 𝑎.

3.1

2𝐿𝑎𝑎0, se debe a las dispersiones de flujo de la fase 𝑎, a partir del componente

fundamental espacial del flujo del entrehierro que producen las corrientes enlas fases 𝑏 y 𝑐.


Voltaje interno generado


500 1000 1500 2000 2500 3000 3500-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

i=1:3600;

figure(1);

for k=1:200,

A=10*cos(2*pi*k/100);

B=10*cos(2*pi*k/100-2*pi/3);

C=10*cos(2*pi*k/100+2*pi/3);

fa=A*sin(2*pi*i/1800);

fb=B*sin(2*pi*i/1800-2*pi/3);

fc=C*sin(2*pi*i/1800+2*pi/3);

plot(i,fa,i,fb,i,fc,i,fa+fb+fc),grid;

axis([1 3600 -20 20]);

pause(0.1);

end

Circuito Equivalente (MS: Generador)


• 𝑣𝑎, voltaje en terminales de la bobina 𝑎.• 𝑅𝑎, Resistencia del estator.• 𝑅𝑎𝑖𝑎, caída de tensión en la resistencia de la bobina 𝑎.

•𝑑

𝑑𝑡𝐿𝑠𝑖𝑎 , caída de tensión e la inductancia de la bobina 𝑎.

• 𝑒𝑎𝑓, tensión inducida del rotor al estator.

𝑣𝑎 = 𝑒𝑎𝑓 − 𝑅𝑎𝑖𝑎 −𝑑

𝑑𝑡𝐿𝑠𝑖𝑎

𝑒𝑎𝑓 = −𝐿𝑎𝑓𝐼𝑓𝜔𝑒 sin 𝜔𝑒𝑡 + 𝛿𝑒0

𝑉𝑎 = 𝐸𝑎𝑓 − 𝑅𝑎 𝐼𝑎 − 𝑗𝑋𝑠

𝐼𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟

𝑒 =𝑑𝜙

𝑑𝑡=

𝑑𝜆𝑎

𝑑𝑡= 𝐿𝑠

𝑑 𝑖𝑎𝑑𝑡

+𝑑

𝑑𝑡ℒ𝑎𝑓𝑖𝑓

Circuito Equivalente (MS: Generador)


𝑋𝑠 = 𝜔𝑒𝐿𝑠 = 2𝜋𝑓𝐿𝑠 Ω

𝑋𝑠 = 𝜔𝑒

3

2𝐿𝑎𝑎0 + 𝐿𝜎𝑎 Ω

𝑋𝑠 =3

2𝜔𝑒𝐿𝑎𝑎0 + 𝜔𝑒𝐿𝜎𝑎 Ω

𝑋𝑠 = 𝑋𝑎𝑎0 + 𝑋𝜎𝑎 Ω

𝑋𝑎𝑎0, Reactancia propia de la bobina 𝑎,

𝑋𝜎𝑎, Reactancia de dispersión de la bobina 𝑎 (reactancia del inducido).

Circuito Equivalente (MS: Motor)


• 𝑣𝑎, voltaje en terminales de la bobina 𝑎.• 𝑅𝑎, Resistencia del estator.• 𝑅𝑎𝑖𝑎, caída de tensión en la resistencia de la bobina 𝑎.

•𝑑

𝑑𝑡𝐿𝑠𝑖𝑎 , caída de tensión e la inductancia de la bobina 𝑎.

• 𝑒𝑎𝑓, tensión inducida del rotor al estator.

𝑣𝑎 = 𝑅𝑎𝑖𝑎 + 𝐿𝑠

𝑑𝑖𝑎𝑑𝑡

+ 𝑒𝑎𝑓

𝑒𝑎𝑓 = −𝐿𝑎𝑓𝐼𝑓𝜔𝑒 sin 𝜔𝑒𝑡 + 𝛿𝑒0

𝑉𝑎 = 𝐸𝑎𝑓 + 𝑅𝑎 𝐼𝑎 + 𝑗𝑋𝑠

𝐼𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟

𝑒 =𝑑𝜙

𝑑𝑡=

𝑑𝜆𝑎

𝑑𝑡= 𝐿𝑠

𝑑 𝑖𝑎𝑑𝑡

+𝑑

𝑑𝑡ℒ𝑎𝑓𝑖𝑓

Consideraciones importantes:

El voltaje 𝐸𝑎𝑓 no es el voltaje en terminales del generador síncrono.

El voltaje 𝐸𝑎𝑓 es igual al voltaje 𝑉𝑎 únicamente cuando no fluye corriente en la armadura; es decir, cuando la máquina funciona en vacío, sin carga.

Entre los factores que ocasionan la diferencia de tensión están:1. La distorsión del campo magnético del entrehierro debido a la corriente que fluye en el estator,

llamada reacción del inducido.

2. La autoinductancia de las bobinas del inducido o armadura.

3. La resistencia de las bobinas del inducido.

4. El efecto de la forma del rotor (polos lisos o polos salientes).


𝑉𝑎 = −𝑗𝑋𝜎𝑎 𝐼𝑎 −𝑗𝑋𝑎𝑎0

𝐼𝑎 −𝑅𝑎 𝐼𝑎 + 𝐸𝑎𝑓

gener síncrono

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