gel4200: communications numériques 2016 examen...

Université Laval Département de génie électrique Professeur: Leslie A. Rusch et de génie informatique

GEL4200: Communications numériques

2016 Examen final

Wednesday 22 April 2016; Time: 11h30 to 13h20 Documentation provided; calculator permitted

Problem 1 (10 points over 100)

The following are bit error rate curves (BER) vs. the ratio Eb/N0 for BPSK transmission. The figure to the left presents a curve for BPSK without a correcting code, and a curve when using convolutional code A. The figure to the right presents a curve for BPSK without a correcting code, and a curve when using ANOTHER convolutional code B.

A. (5 points) The two convolutional codes illustrated have constraint lengths K=4 and K=7. Which code corresponds to which value of K? Justify your response.

B. (5 points) What is the definition of FEC threshold? What is the FEC threshold for each code?

.

GEL4200/7014 Examen final Hiver 2016

Problem 2 (20 points over 100) The following are equations for the parity bits in a block code.

1 1 2 4

2 1 3 4

3 1 2 3

4 2 3 4

p m m mp m m mp m m mp m m m

= + += + +

= + +

= + +

A. (3 points) Find n, the code word length, k, the data message length, et r, the code rate.

B. (8 points) Give the generator matrix for a systematic code. C. (9 points) Find the minimal distance for the code.

Problem 3 (25 points over 100) A. (10 points) Why is knowledge of the channel required for the maximum

likelihood sequence estimator? How is the channel information exploited?

B. (15 points) Contrast the zero forcing equalizer and the minimum mean square error equalizer. How are they similar? How are they different? When are they equivalent? Which is more effective?


Problem 4 (25 points over 100)

A. (10 points) Assuming that we start at state a, find the encoder output when the input is 00 11 01 10 00

B. (5 points) Choose the best mapping between code words and 8PSK symbols. Justify your response.

Option 1 Option 2

C. (10 points) Using the option chosen in part 4B, find the symbol sequence (A, B etc.) transmitted when the input is 00 11 01 10 00.

Consider this TCM encoder.


Problème 5 (20 points sur 100) Consider the following encoder trellis for a convolutional code.

00

10

01

11

000

001

Find the free distance df of the convolutional code assuming hard decisions. How many paths are there at the minimal distance?

Please use the following sheet of decoder trellises in finding the free distance. Place these sheets in your blue exam book.


00

10

01

11

00

10

01

11

00

10

01

11

Page 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100 QPSK coherent

Eb/N0

prob

abili

té d

'err

eur

Plan de l’efficacité spectrale (Bandwidth Efficiency Plane)

0 5 10 15 20 25.001

.01

.1

1

10

points indique Pe =10 -5

PSK, M=8 PSK, M=32 QAM, M=4

QAM, M=16 QAM, M=64

FSK, M=4

FSK, M=16

FSK, M=1024

FSK, M=4096Limite de Shannon

10

1

.1

.01

.001

0BE N

()

RW

bs

Hz

BPSK

(en dB)

(en dB)


1

Récepteur d’échantillonnage

décision( )z T γ<>

t=Tfiltreh(t) ( )z t ( )z T

Σ

( )n t

( )is t( )r t m̂

MAP: i qui maximise p(z|si) p(si) i qui minimise ( )2

0 lni iN P− −r s s

( ) probabilité a priori de symbole i iP =s s ML: i qui maximise p(z|si) i qui minimise 2

i−r s

Raised cosine ( ) ( ) ( )2 2 2

sin cos1 4

s s

s s

t T r t Tv t

t T r t Tπ π

π=

−

Énergie moyenne

[ ]

2

1

1

1

1 énergie du signal

M

moy iiM

i

EM

iM

=

=

=

=

∑

∑

s

Énergie par bit v. énergie par symbole 2logb sE M E=

QAM 2log Mη = † Conversion de l’espace I/Q vers espace du signal

cas rectangulaire (carrée) M=L2

( ) n2

20

2mi

63log12 o1 g1

l1

be

LdEMP QM NM L

= − − =

−

Borne d’union

minmin

00

2 22

be

EDK KP Q Q dM M NN

≈ =

K est le nombre des paires des signaux séparés par la distance minimale Dmin

Distance minimale dans l’espace du signal

min min i ki kD

≠= −s s et min

min 2 b

DdE

=

( )0

2 be

EP BPSK QN

=

( )0

be

EP OOK QN

=

( )0

22 be

EP QPSK QN

≈

Perte par rapport à QPSK

min 102 perte 10logd x x= = −

Pour une modulation orthogonale

( ) ( ) 21e b e

MP bit P P symbolM

= =−

Pour une modulation non-orthogonale avec codage de gray

( ) ( )2log

ee b

P symbolP bit P

M= =

Efficacité spectrale 1 1 bits/s/Hzb

b

RW T W

η = =

( )( ) ( )

( )2 2

1

, ,I Q I Qsn n n nM

I Qn n

i

M Ea a a aa a

=

⋅=

+ ∑

coordonnées, espace du signal

coordonnées, espace I/Q


2

MPSK cohérent 2log Mη = †

( )0

2

0

22 sin

2 log2 sin

se

b

EP M QN M

E MQN M

π

π

≈

=

MFSK cohérent 22 log1M

Mη =

+†

( ) ( ) 2

0 0

log1 1s be

E E MP M Q M QN N

= − = −

Séparation minimale 1/2Ts

DPSK incohérent 012

bE NeP e−=

~1 dB de perte entre DPSK et BPSK

MFSK incohérent 2log MM

η = †

021( )2

bE NeP BFSK e−=

~1 dB de perte BFSK cohérente vs. incohérente

Séparation minimale 1/Ts

Loi de Shannon

( )2log 1C W SNR= + 0

bESNRN

η=

( )0

2 1C WbE WN C

= − 0

0 1.6bEC dBW N

→ ⇒ →−

Relations trigonométriques Processus Gram Schmidt

( ) ( )1 11

1t s tE

ψ = où ( )21 10

TE s t dt= ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1,t s t s t t tθ ψ ψ= −

( ) ( ) ( )22

2 20 22

T tE t dt t

Eθ

θ ψ= =∫

i. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1,

i

i i i k kk

t s t s t t tθ ψ ψ−

=

= −∑

( ) ( ) ( )2

0

T ii ii

i

tE t dt t

Eθ

θ ψ= =∫

cos sin tan0 1 0 0

8 .85 .38 .41

4 1 2 1 2 1

3 1 2 3 2 32 0 1

θ θ θ θ

π

π

ππ ∞

( )tanarctan

y xy x kπ

=

⇔ = +

( )2 1cos 1 cos 22

θ θ= +

( )sin sin sincos cos

α β α βα β

+ =

+( )cos cos cos

sin sinα β α β

α β+ =

−

† en supposant une impulsion Nyquist idéale


3

Corrélation croisée

( ) ( )0

T

ij j iz s t s t dt∫

Matrices de Hadamard

1n n

nn n

H HH

H H+

=

Le canal binaire symétrique (BSC)

0 0

1 1

p

1-p

1-p

p

0 0

1 1

p

1-p

1-p

p

BPSK avec AWGN: ( )02 bp Q E N=

Codes en bloc m = message à encoder, u = mot de code généré

[ ]T T

=

= =

k

n-k

G P I U = mG

H I P S rH

t = # d’erreurs qui peuvent être corrigés

min 12

dt − =

Code Hamming (n,k)=(2m-1,2m-1-m) Distance de Hamming

d(u,v) = # de positions de bits avec des valeurs différents dans les deux vecteurs u et v

Distance minimale ( ) ( )

, 2min , min wj j ji j j

d>

=u v u

Probabilité d’erreur de bit p Probabilité d’avoir plus que t erreurs de bits parmi un block de N bits

( ) ( ) 11

11 1

1

NN k N tk t

k t

N Np p p p

k t− − −+

= +

− ≈ − +

∑

( )!

! !N Nk k N k

≡ −

Tableau Standard • Première rangé – mots de codes valides • Première colonne – erreurs corrigibles • Tous les 2n mots de codes possibles sont inclus dans la table • Il n’y a pas de répétition des mots de code

Corriger une erreur 1. Détecter l’erreur 0 erreur≠ ⇒TS = rH v

2. Identifier la rangé avec T Tje H = rH

i.e. le syndrome identifie le coset 3. Corriger l’erreur en calculant jU = r + e

(le mot de code dans la colonne de tableau standard où on trouve )

Codes convolutifs


4

Algorithme de Viterbi



Chapitre 7 GEL10280/64486 60

43

Focus: le point de terminaison –le chemin vient d’ou?

Gain de codage: 2 2

10 min,sans codage10 log fd d

Borne supérieur de gain de codage (en dB) 1010 log frd r = taux de codage = k/n

Distance libre = distance minimale =df

t = # d’erreurs qui peuvent être corrigés

12

fdt

− =


5

TCM Taux de codage = 1/n

pour le TCM et les décisions souples Chapitre 9 GEL10280/64486 7

Exemple

[ ][ ]

1

2

1 1 1

1 0 1

g

g

=

=

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 1

3 2 2

codage convolutif

u X m X g X

u m X g X

=

=

1 1

(pas codé)u m=

Chapitre 9 GEL10280/64486 10

Correspondence de Gray

Correspondence pour TCM

Chapitre 9 GEL10280/64486 13

Coordonnées dans l’espace du signal

( ) ( ) ( )2 2 22 7 3 7 5 7 3 36fd = − + − + − =

Chapitre 9 GEL10280/64486 22

Calculer les distances locales

a=00

b=10

c=01

d=11

(14,6)

(10,2

)

(14,6)

(12,4)(8,0)

(8,0)

(12,4)

(4,4)

(0,8)

(4,4)(2,6)(2,10)

(2,10)

(2,6)

(12, 4)( 8, 0)

(4,4)(0,8)

(6,2)(2,6)

Z = -5 1 -7 3

(10,2)(0,8)

Chapitre 9 GEL10280/64486 25

Calculer les distances globalest=3

a=00

b=10

c=01

d=11

(---, 6)(---, 2)

(---,

2)

(---, 6)

(---, 4)

(---, 0)

(---, 0)

(---, 4)

distancechemin chemin cheminen haut en bas gagnant

4

0

0

4

BAS

HAUT

BAS

BAS


6


7

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