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Département de génie électrique
et de génie informatique
GEL−2004 Design II (modélisation)
Actionneur
d’Auto-entretien
Hiver 2014 GEL−2004 Design II (modélisation) 2
Sommaire
IntroductionModélisation par Circuits Magnétiques Inductance Échanges d’Énergie dans les Circuits Magnétiques Déformables
Force d’un Actionneur à RéluctanceRéalisation de l’Actionneur Modélisation de l’Actionneur
Rappel Processus de Conception
Gestion
De
Projet
SIMULATION
EXPÉRIMENTATIONSIMULÉE
IDENTIFICATION
OPTIMISATION
ANALYSE & FORMULATION
MODELISATION
VALIDATION
PROTOTYPE
OUTIL CAO
Hiver 2014 3GEL−2004 Design II (modélisation)
Commande Auto-Entretien
Schéma-bloc
Mécanisme
d’Auto-entretien
Actionneur
Réluctance
Commande
Auto-entretienCorde Vibrante
Actionneur
Réluctance
Capteur
Position
Hiver 2014 4GEL−2004 Design II (modélisation)
Chaîne de commande Auto-entretien
ActionneurRéluctance
CapteurPosition
AmplificationSignal Position
Synchronisation
Position
Impulsion
Commande
AmplificateurMise en Forme
Impulsion Commande
ForceAttractionCorde
CordeVibrante
Signal Commande Actionneur
Réglage AmplitudeForce
Réglage PositionApplication Force
Réglage LargeurImpulsionHiver 2014 5GEL−2004 Design II (modélisation)
Actionneur à Réluctance
Technologie: Noyau magnétique Ferrites, cylindre ferromagnétique fixé sur corde, bobinage fil de Cu
Force appliquée sur cylindre proportionnelle au carré du courant instantané dans bobine actionneur
Actionneur peut exercer une force d’attraction
seulement, dont l’amplitude dépend du courant i d,alimentation (proportionnelle à i2) et de la position du cylindre ferromagnétique par rapport au noyau
Impulsion de courantlargeur fixe & amplitude
variable
Impulsion de ForceAttraction pièce magnétique
Fixée sur corde
Actionneur
Réluctance
Hiver 2014 6GEL−2004 Design II (modélisation)
Actionneur à Réluctance
Noyau Ferrites avec entrefer
Bobine
Cylindre ferromagnétique collé sur la corde
Hiver 2014 7GEL−2004 Design II (modélisation)
MagnétostatiqueCourants Continus
Théorème d’Ampère: les courants sont
des sources de champ magnétique
B densité de flux magnétique dépend perméabilité du matériau µ
µo
dans air
µ dans matériau Ferromagnétique
Matériaux usuels
ϕ flux magnétique dans noyau (T)
B densité de flux magnétique (Wb)
dlHni ⋅= ∫
HB ⋅µ= 0
HB ⋅µ=
∫∫ ⋅=ϕ
S
sdBr
r
01000 µµ ⋅>>
7
0104
−
⋅= πµ
Hiver 2014 8GEL−2004 Design II (modélisation)
Circuit Magnétique
Flux magnétique créé par sources de champ (bobinage parcouru/courant) concentré dans matériaux de grande perméabilité
Lignes d’équi-flux définissent tubes de flux dont les parois sont des lignes d’induction ( tangent en
chaque point)
est proportionnel à la densité répartition lignes d’équi-flux (lignes de
champ, ou lignes d’induction)
B
r
B
r
Circuit magnétique: dispositif où circule le flux magnétique du champ magnétique créé/courant
Hiver 2014 9GEL−2004 Design II (modélisation)
Circuit Magnétique
Le Flux magnétique est concentré dans matériaux de grande perméabilité l
mlongueur moyenne du circuit
magnétique
Ae
section du noyau magnétique de
perméabilité µ
Hypothèses: H & B homogènes sur A
e
Théorème d’Ampère
mml
BlHni ⋅=⋅=
µ
i
n
01000 µµ ⋅>>
eAB ⋅=ϕ
ϕ
ϕ
Hiver 2014 10GEL−2004 Design II (modélisation)
Circuit Magnétique sans entrefer
Théorème d’Ampère
Réluctance circuit magnétique
Circuit magnétique équivalent
Le flux ϕ créé/force magnétomotrices ni
dépend de la réluctance du noyau R
ϕ⋅= Rni
e
m
A
l⋅=
µ
1R
e
m
m
e
mm
A
ll
Al
BlHni ⋅⋅=⋅
⋅
=⋅=⋅=
µϕ
µ
ϕ
µ
1
Rni
ϕ
Hiver 2014 11GEL−2004 Design II (modélisation)
Inductance d’une bobine Définition inductance Φ flux total bobine
L dépend réluctance circuit magnétique
Modèle dimensionnel
Inductance ne dépend que:
du nombre de spires n
des dimensions & du matériau du noyau lm
Aeµ
iL
Φ=
RR
2nni
i
n
i
n
i=⋅=
ϕ⋅=Φ
R
2nL =
m
eA
nLl
⋅
⋅=
µ2
Hiver 2014 12GEL−2004 Design II (modélisation)
Inductance Circuit magnétique avec entrefer
Problème de détermination des trajets dans l’air et des réluctances de fuite: limite importante de la modélisation par circuits magnétiques
Hypothèse: Aesection de
circulation du flux dans entrefer égale à section du noyau (si e << l
met µ >> µ
o)
Circuit magnétiqueentreferRni
ϕ
noyauR
Hiver 2014 13GEL−2004 Design II (modélisation)
entreferR
noyauR
Modèle dimensionnel:
réluctance entrefer épaisseur e
réluctance du noyau
Inductance Circuit magnétique avec entrefer
Hypothèse: Aesection de circulation du flux dans entrefer
égale à section du noyau (si e << lm
et µ >> µo)
entrefernoyau RR +
=
2n
L
eA
e⋅≈
0
1
µentreferR
noyauR
entreferR
entreferRni
ϕ
noyauR
e
m
A
l⋅=
µ
1
noyauR
e
lm
⋅=
µ
µ0
entrefer
noyau
R
R
Hiver 2014 14GEL−2004 Design II (modélisation)
Énergie Magnétique
Bilan d’énergie
Win énergie électrique fournie à la bobine
WJ énergie dissipée en chaleur (pertes Joule)
Wmag énergie magnétique stockée dans noyau
∫∫∫ +=
ttt
LididtRividt
00
2
0
magJin WWW +=
2
2
1 LiWmag =
Hiver 2014 15GEL−2004 Design II (modélisation)
Énergie Magnétique
Énergie magnétique est stockée dans volume du noyau
La densité volumique d’énergie magnétique stockée dans le volume est proportionnelle au carré de la densité de flux
ememememag
emag
AlB
BAlB
BAHlBAniW
BAniniiniLiW
⋅=⋅=⋅==
=⋅=⋅=Φ==
µµ
ϕϕ
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
2
1
.
.
emagV
BW ⋅=
µ
2
2
1
emeAlV =
Hiver 2014 16GEL−2004 Design II (modélisation)
Modèle dimensionnel simplifié:
Inductance Circuit magnétique avec entrefer
Énergie magnétique est stockée principalement dans volume de l’entrefer (si e << l
met µ >> µ
o)
e
An
nL
eo⋅
⋅=≅
µ2
2
entreferR
entrefernoyau RR <<
entreferRni
ϕ
noyauR
e
o
noyaue
o
magV
BV
BV
BW ⋅≈⋅+⋅=
µµµ
2
2
1
2
2
1
2
2
1
01000 µµ ⋅>>
Hiver 2014 17GEL−2004 Design II (modélisation)
Une approche « saine » de la notion d’inductance
Qu’est-ce qu’une inductance L? Un réservoir de stockage d’énergie sous forme magnétique
Une « inertie de courant »: énergie du champ proportionnelle au
courant, l’énergie ne peut pas varier instantanément donc le courant
ne peut pas varier instantanément dans L (≈ source de courant)
Pourquoi utilise-t-on un noyau de grande perméabilité et un entrefer pour faire une inductance de volume & masse acceptables? Parce qu’on stocke 1000 fois plus d’énergie/unité de volume
dans l’air (à B constant)
Parce qu’il faut concentrer le flux (augmenter sa densité B) créé par
la source de champ magnétique ni dans l’air de l’entrefer avec un
noyau de grande perméabilité (difficile de créer B élevé dans l’air seul)
Hiver 2014 18GEL−2004 Design II (modélisation)
Circuit magnétique déformable à entrefer variable
Lorsque la bobine est alimentée à i constant, Force F tend à déplacer pièces ferromagnétiques mobiles afin de maximiser le flux dans la bobine ou l’énergie magnétique stockée
Déplacement pièces ferromagnétiques mobiles crée une variation de réluctancedu circuit magnétique
Hiver 2014 19GEL−2004 Design II (modélisation)
Actionneur d’auto-entretien à réluctance
Lorsque la bobine de l’actionneur est alimentée à i constant, Force F tend à déplacer cylindre ferromagnétique solidaire de la corde afin de maximiser le flux dans la bobine ou l’énergie magnétique stockée
Déplacement cylindre ferromagnétique crée une variation de réluctance du circuit magnétique
Hiver 2014 20GEL−2004 Design II (modélisation)
F
F
Énergie magnétique stockée
À i constant, énergie magnétique stockée inversement proportionnelle à entrefer e
Énergie & Force vs Entrefer
0%10%20%
30%40%50%60%70%
80%90%
100%
0 2 4 6 8
entrefer (mm)
Force % Énergie magnétique %
2
2
1)()( ieLeW
mag⋅=
Hiver 2014 21GEL−2004 Design II (modélisation)
Exemple d’actionneur linéaire à réluctance
Calcul de la Force de l’Actionneur à Réluctance
de
edLi
e
ieL
e
eWeF
mag )(
2
))(()()(
22
2
1
⋅=∂
⋅∂=
∂
∂=
de
edLieF
)(
2)(
2
⋅=
À i constant, Force F tend à déplacer pièces ferromagnétiques afin de maximiser énergie magnétique stockée
La force à i constant est donc la dérivée partielle de l’énergie par rapport à l’entrefer
Hiver 2014 22GEL−2004 Design II (modélisation)
i=cte i=cte
Force vs Déplacement
-0.0005
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
Forces (N) sur corde vs position horizontale (m)
limite noyau fhorizontale (sans chanfrein)
Hiver 2014 23GEL−2004 Design II (modélisation)
Contraintes de dimensionnement Bobine
Saturation matériau magnétique du noyau: B(H) ou µ(B) du matériau ferromagnétique non linéaire donc B(i) & L(i) non linéaire Il existe un B
satau-delà duquel B n’augmente pratiquement plus en
fonction de i (voir caractéristiques matériau Ferrites 3C81)
Limite d’échauffement du bobinage Température limite d’utilisation T
maxisolant fil
Il existe une valeur limite des pertes Joule correspondant à
l’échauffement maximal admissible de l’isolant du fil
Limite du courant de la source d’alimentation & Transistor de l’amplificateur de commande de l’actionneur
Le choix du courant i, du nombre de tours n, du diamètre du fil (jauge
AWG) doit être adapté
Hiver 2014 24GEL−2004 Design II (modélisation)
Réalisation de l’actionneur
Noyau de type EC35 en Matériau Ferrites 3C81 modifié au département (un colonne extérieure coupée)
Entrefer usiné sur une moitié du noyau
Support de bobine standard associé au EC35
Cylindre en ferromagnétique massif (acier magnétique) collé sur la corde
Hiver 2014 25GEL−2004 Design II (modélisation)
Noyau EC35
Data-sheets disponibles sur:
http://www.ferroxcube.com/prod/assets/ec35.pdf
Hiver 2014 26GEL−2004 Design II (modélisation)
Noyau EC35 Modifié
e
Noyau de type EC35 avec colonne extérieure gauche coupée (pour que le flux
magnétique ne fuit pas vers la
gauche et se concentre dans
l’entrefer e)
Entrefer usiné sur une moitié du noyau seulement (plus
facile à usiner)
Hiver 2014 27GEL−2004 Design II (modélisation)
Porte-Bobine Noyau EC35
Données importantes design du bobinageHiver 2014 28GEL−2004 Design II (modélisation)
Matériau Ferrites 3C81
Cycle B(H) matériau: ne pas dépasser Bmax=.25T sinon l‘inductance actionneur sature (surintensité courant dans ampli
uniquement limité par résistance sans gain de force)
Perméabilité relative µrvs B (mT)
Hiver 2014 29GEL−2004 Design II (modélisation)
Jauge pour mesure fils émaillésAWG: American Wire Gauge
Fil de Cuivre disponible pourBobine Actionneur
La section du fil scAWG
est imposée par le magasin: 3 numéros disponibles:
AWG 26, AWG 27 ou AWG 30
Hiver 2014 30GEL−2004 Design II (modélisation)
La section utile Wa et la longueur moyenne d’une spire de la bobine MLT est imposée / manufacturier (voir Datasheet EC35)
Le coefficient de remplissage Ku≤.5 (bobinage fait à la main)
Donc la section totale et le volume total de cuivre sont imposés:
aucuWKS ⋅=
Dimensionnement BobineCoefficient remplissage Cuivre
cucuSMLTV ⋅=Wa>Scu
MLT
Hiver 2014 31GEL−2004 Design II (modélisation)
Pour un fil de section scAWGimposée, le nombre maximum de
tours de fil n est imposé:
aucuWKS ⋅=
Dimensionnement BobineCalcul du nombre de spires
cucuSMLTV ⋅=
AWGc
cu
s
Sn =
Hiver 2014 32GEL−2004 Design II (modélisation)
Calcul des pertes Joule dans la bobine
Les pertes Joule dépendent de la résistivité & du volume de Cuivre et du carré de la densité de courant J
Pour minimiser les pertes et la température, on vérifie qu’il vaut mieux augmenter le volume de cuivre que J
Dimensionnement ActionneurExpression des pertes Joule
222
222
...
).(..
JMLTSJMLTsnJsMLTnP
sJs
MLTnI
s
MLTnIRP
cuccJ
c
cc
J
AWGAWG
AWG
AWGAWG
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
⋅⋅=⋅==
ρρρ
ρρ
2.JVP
cuJ⋅= ρ
Hiver 2014 33GEL−2004 Design II (modélisation)
Si on fixe la température maximale Tmax sur surface extérieure bobine Sbext (ex: T
max=70ºC) dans une ambiance à
Ta=25ºC, on fixe les pertes moyennes maximales Pjmoy qui peuvent être dissipées dans la bobine
h: coefficient de dissipation de chaleur h=15 W/m2/ ºC
Dimensionnement ActionneurLimite thermique
)(max abextJmoy TTShP −⋅⋅=
Ta Tmax
Sbext
Hiver 2014 34GEL−2004 Design II (modélisation)
cu
imp
Jmoy
V
t
TP
J⋅
⋅
=
ρ
La bobine dissipe uniquement pendant l’impulsion de largeur timp sur la période d’oscillation de la corde T=1/f
On peut donc calculer la densité de courant admissible à la température maximale Tmax , on en déduit le courant I pendant impulsion
Dimensionnement ActionneurLimite thermique
2.JV
T
tP
T
tP cu
imp
J
imp
Jmoy ⋅⋅=⋅= ρ
AWGcsJI ⋅=
Hiver 2014 35GEL−2004 Design II (modélisation)
n & I étant fixés, on vérifie que B dans le noyau est inférieur à Bsat du matériau ferrites (B
sat=.25T voir Datasheet matériau
3C81). Calcul de B avec théorème d’Ampère:
Si la condition n’est pas vérifiée on peut essayer avec autre numéro
AWG pour fil ou diminuer le courant etc5
Dimensionnement ActionneurVérification limite de saturation
TBe
InB
eB
e
le
BIn
eB
lB
eHlHIn
SJsJnIn
sat
o
o
m
ro
o
m
ro
emnoyau
cucAWG
25.
)1
1(
.
=≤⋅⋅
=
⋅≈⋅+⋅⋅=⋅
⋅+⋅=⋅+⋅=⋅
=⋅⋅=⋅
µ
µµµ
µµµ
Hiver 2014 36GEL−2004 Design II (modélisation)
n & scAWGétant fixés, on peut calculer la longueur totale du
fil et calculer la résistance Rb de la bobine:
On vérifie alors si la tension nominale aux bornes de la bobine est inférieure à la tension de la source d’alimentation Vcc=5V:
Si la condition n’est pas vérifiée on peut essayer avec autre numéro
AWG pour fil ou diminuer le courant5.
Dimensionnement ActionneurVérification tension alimentation
AWGc
totfil
b
totfil
s
LR
MLTnL
⋅=
⋅=
ρ
VVIRVccb
5=≤⋅=
Hiver 2014 37GEL−2004 Design II (modélisation)
n & les dimensions du noyau étant fixées, on peut calculer l’ordre de grandeur de l’inductance (lorsque la corde est loin du noyau):
Avec:
Dimensionnement ActionneurCalcul de l’inductance
entrefernoyau RR +
=
2n
L
eA
e⋅=
0
1
µentreferR
e
m
rA
l⋅=
µµ0
1
noyauR
Hiver 2014 38GEL−2004 Design II (modélisation)
AWGDiamètre
(mm)
Section
(mm²)
Données des fils disponibles section
Résistivité du Cuivre (en Ω.m) en fonction de la température Tmax
Entrefer du noyau: e = 5.5mm environ (vérifier sur votre noyau:
tolérances usinages élevées)
Dimensions cylindre ferromagnétique enfilé sur la corde:
Diamètre extérieur: 2.65mm Diamètre intérieur: 1.24mm
Longueur axiale: 12.83mm
Données de dimensionnement
26 0.405 0.129
27 0.361 0.102
28 0.321 0.0810
29 0.286 0.0642
30 0.255 0.0509
20))-(T*0.004(1 8-724e.1)(Tmaxmax
+⋅=ρ
scAWG
Hiver 2014 39GEL−2004 Design II (modélisation)
Données du noyau sur les datasheets du EC35:
Noyau: calculer Ae & lm en fonction des dimensions
µr à partir de la caractéristique µr (B) (Datasheet 3C81)
Données du porte-bobine (Datasheet du EC35):
Wa, MLT
En bobinant à la main on dépasse rarement un coefficient de remplissage en cuivre de la section disponible Ku=.5
Perméabilité du vide (et de l’air)
Données de dimensionnement
7140
−⋅= Eπµ
Hiver 2014 40GEL−2004 Design II (modélisation)
Modèle électrique bobine sans pièce ferromagnétique mobile
Flux dans la bobine ne dépend que de i
Impédance R Résistance bobine
L inductance bobine constante
car aucune déformation
Bilan de puissance
dt
tdtRitv
)()()(
Φ+=
dt
diLiRivi +=2
dt
tdiLtRitv
)()()( +=
Hiver 2014 41GEL−2004 Design II (modélisation)
)()( tLit =Φ
Modèle électrique bobine avec pièce ferromagnétique mobile Flux bobine dépend de i & x
Impédance R Résistance bobine
L(x) inductance bobine
varie en fonction de la position x
de la pièce mobile
Hiver 2014 42GEL−2004 Design II (modélisation)
)()(),( tixLtx ⋅=Φ
dt
txdtRitv
),()()(
Φ+=
dt
dx
dx
xdLti
dt
dixL
dt
xdLti
dt
dixL
dt
Lid
dt
txd⋅+=+==
Φ )()()(
)()()(
)(),(
dt
dx
dx
xdLi
dt
dixLtRitv ⋅++=
)()()()(
Force d’attraction
Modèle électrique
Schéma bloc
Paramètres à identifier R , et
Modélisation actionneur
R
L=τ
Hiver 2014 43GEL−2004 Design II (modélisation)
dx
xdLixiF
)(
2),(
2
⋅=
dt
dx
dx
xdLi
dt
dixLtRitv ⋅++=
)()()()(
)(ti
)(tv
)(tx
dt
dx
),( xiF
dx
xdL )()(xL
Conclusion
Hiver 2014 44GEL−2004 Design II (modélisation)