Modele szeregów czasowych z tendencją rozwojową zmiennej prognozowanej

Model liniowy Holta

gdzie

dla t = 2, 3,…, n.Parametry wygładzania a i b dobiera się eksperymentalnie na podstawie wybranego kryterium, które powinny spełniać prognozy wygasłe. Ponadto a i b należą do przedziału [0;1].Model wymaga wartości początkowych F1 oraz S1 .Można przyjąć:

1t1t

*

tSFy

)S(Fα)(1yαF1t1ttt

1t1tttSβ)(1)F(FβS

liniowegomodelu z,lub

,lub

0,

1101

12111

111

aSaF

yySyF

SyF

MODELE ADAPTACYJNE

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

MODEL WINTER(‘SA)

Wersja addytywna

)()1()( 22111 ttrttt SFCYF aa

2211 )1()( tttt SFFS bb

rtttt CFYC 1111 )1()(

rtnnt CSntFY )(*

Wartości początkowe

11 rr YF

r

i

r

r

ri

rr Yr

Yr

S1

2

1

1 )1

()1

(

addytywny

r

i

rjj Yr

YC1

)1

(

MODELE ADAPTACYJNE

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

MODEL WINTER(‘SA)

Wersja multiplikatywna

)()1( 221 1

1

ttC

Y

t SFFrt

t aa

2211 )1()( tttt SFFS bb

rtF

Y

t CCt

t

11 )1(1

1

rtnnt CSntFY ])([*

Wartości początkowe

11 rr YF

r

i

r

r

ri

rr Yr

Yr

S1

2

1

1 )1

()1

(

multiplikatywny rjdla

Yr

YC

r

i

r

j

j ,...,11

1

MODELE ADAPTACYJNE

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

METODA TRENDU PEŁZAJĄCEGO I WAG HARMONICZNYCH

Metodę trendu pełzającego wprowadził Z. Helwig.

W metodzie trendu pełzającego realizowana jest zasada, charakterystyczna dla metod

adaptacyjnych, większego wpływu na wartość prognozy danych nowszych niż danych

starszych.

Trend pełzający należy do klasy modeli adaptacyjnych, nie zakłada więc postaci

analitycznej funkcji trendu. Metodę tę wykorzystuje się do opisu kształtowania się zjawiska

ekonomicznego charakteryzującego się nieregularnymi zmianami.

Procedura wyznaczania trendu pełzającego polega na wygładzeniu szeregu czasowego o

długości n wyrazów, przy czym przyjmuje się, że szereg jest dostatecznie długi (n > 10).

Dla szeregu czasowego y1,y2,....yn oraz arbitralnie dobranej stałej wygładzania k<n, tak aby

eliminacji podlegały wahania przypadkowe, wyznacza się równania trendów liniowych za

pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów na podstawie k kolejnych obserwacji:

MODELE ADAPTACYJNE

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

k

k

n k n k n

1 2

2 3 1

1 2

, , ........................

, , ........................

.......................................

, ........,

Parametry równań regresji dla poszczególnych odcinków, opisują funkcje:

yit ait bi

gdzie i=1,2,....n-k+1; t=1......k,2...k+1,...,n-k+1....n.

Dla przykładu: Y a t b

a t b

a b

t

n k n k

1 1 1

2 2

1 1

t = (1, ......... k),

Y t = (2, ..... k +1),

..............................................

y t = (n - k +1,..... n)

2t

n-k+1t

Poszczególnym wyrazom szeregu yt przyporządkowuje się wygładzone wartości

wyznaczone według wyprowadzonych funkcji regresji yit dla których:

d t i g t gdzie:

d tt k

g tt

t-k

1

1

1

,

,

dla t =1,...k,

dla t = k + 1,.....n;

dla t =1,......n - k,

dla t = n - k + 1,.....n.

METODA TRENDU PEŁZAJĄCEGO I WAG HARMONICZNYCH

MODELE ADAPTACYJNE

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

Ostatecznym wygładzeniem dla okresu t jest średnia wartość wszystkich takich

wygładzeń, czyli:

ytg t d t

yit

i d t

g t

1

1

Miarą jakości dopasowania trendu pełzającego do danych empirycznych może być

współczynnik korelacji liniowej między empirycznym szeregiem czasowym a szeregiem

wygładzonym, czyli:

r Yt Yt

Yt Yt

SYtSYt

,cov ,

Łącząc punkty o współrzędnych odcinkami liniowymi, otrzymuje się wykres tendencji

rozwojowej szeregu czasowego w postaci funkcji segmentowej, zwanej

TRENDEM PEŁZAJĄCYM.

t yt,

METODA TRENDU PEŁZAJĄCEGO I WAG HARMONICZNYCH

W celu ekstrapolacji modelu w przyszłość należy zastosować postępowanie zwane

metodą

WAG HARMONICZNYCH.

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej

Analiza harmoniczna• gdy występują wahania sezonowe wraz z tendencją rozwojową lub stałym przeciętnym poziomem• model buduje się w postaci sumy tzw. harmonik – funkcji sinusoidalnych lub cosinusoidalnych o danym okresie• pierwsza harmonika ma okres równy n, druga n/2, trzecia n/3, itd..• liczba wszystkich harmonik wynosi n/2• prognozę stawia się na podstawie modelu:

2/

1

0* 2

cos2

sinn

iiiT

tin

tin

y

b

aa

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (9)

1. Jeśli występuje trend, to oblicza się następujące wartości (eliminacja trendu):2. Szacuje się parametry a0, ai, bi modelu:

korzystając z zależności:

ttt yy'y

,n

,...,i,tin

cos'yn

b

,n

,...,i,tin

sin'yn

a

,'yn

a

n

t

ti

n

t

ti

n

t

t

12

1 dla 22

12

1 dla 22

1

1

1

1

0

2

1

0

22/n

i

ii

*

T tin

costin

sin'y

b

aa

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (9)

Dla i = n/2 parametry ai, bi modelu szacuje się korzystając z zależności:

.cos1

,0

1

tyn

b

a

n

tti

i

Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi zmiennej prognozowanej (10)

3. Z modelu można wyeliminować harmoniki, których udział w wyjaśnianiu wariancji rozpatrywanej zmiennej jest najmniejszy. Udział w wariancji zmiennej prognozowanej dla wszystkich oprócz ostatniej harmoniki wynosi:

natomiast dla ostatniej:

gdzie:

s2 jest szacunkiem wariancji zmiennej prognozowanej

2

2

2s

cii

2

2

s

cii

222

iii bac