gbi tutorium 8 -...
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0 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIK
GBI Tutorium 8
Roman Langrehr, 11. Tutorium am 15.01.2017
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Gerichtete Graphen
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DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
0 1 2
3 4
Gerichtete Graphen
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DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
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Gerichtete Graphen
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DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
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Gerichtete Graphen
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DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
0 1 2
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Gerichtete Graphen
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DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
0 1 2
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Gerichtete GraphenTeilgraphen
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DefinitionG′ = (V ′,E ′) ist Teilgraph von G = (V ,E) genau dann, wenn
V ′ ⊆ VE ′ ⊆ E ∩ V ′ × V ′
BeispielEin Teilgraph des vorherigen Beispiels ist:
0 1
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Gerichtete GraphenTeilgraphen
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DefinitionG′ = (V ′,E ′) ist Teilgraph von G = (V ,E) genau dann, wenn
V ′ ⊆ VE ′ ⊆ E ∩ V ′ × V ′
BeispielEin Teilgraph des vorherigen Beispiels ist:
0 1
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Gerichtete GraphenSchlingen
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DefinitionEine Kante der Form (x, x) ∈ E nennt man Schlinge.
Beispiel
A
B
C
D
Gerichtete GraphenSchlingen
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DefinitionEine Kante der Form (x, x) ∈ E nennt man Schlinge.
Beispiel
A
B
C
D
Gerichtete GraphenSchlingen
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DefinitionEine Kante der Form (x, x) ∈ E nennt man Schlinge.
Beispiel
A
B
C
D
Gerichtete GraphenSchlingen
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AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter Graph G = (V ,E) maximal haben?
Lösung|E | ≤ |V |2
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter, schlingenfreier Graph G′ = (V ′,E ′)maximal haben?
Lösung|E ′| ≤ |V |2 − |V |
Gerichtete GraphenSchlingen
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AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter Graph G = (V ,E) maximal haben?
Lösung|E | ≤ |V |2
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter, schlingenfreier Graph G′ = (V ′,E ′)maximal haben?
Lösung|E ′| ≤ |V |2 − |V |
Gerichtete GraphenSchlingen
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AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter Graph G = (V ,E) maximal haben?
Lösung|E | ≤ |V |2
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter, schlingenfreier Graph G′ = (V ′,E ′)maximal haben?
Lösung|E ′| ≤ |V |2 − |V |
Gerichtete GraphenSchlingen
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AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter Graph G = (V ,E) maximal haben?
Lösung|E | ≤ |V |2
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter, schlingenfreier Graph G′ = (V ′,E ′)maximal haben?
Lösung|E ′| ≤ |V |2 − |V |
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .
p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.
Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.
Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
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(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
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3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
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(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.
(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4
(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0
(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
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(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad
(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
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(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Gerichtete GraphenPfade
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Sei G = (V ,E) ein gerichteter Graph.
DefinitionEin Pfad p = (v0, . . . , vn) heißt wiederholungsfrei, wenn
v0, . . . vn−1 paarweise verschiedenv1, . . . vn paarweise verschieden
Gerichtete GraphenZyklen
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DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.
Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Gerichtete GraphenZyklen
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DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Gerichtete GraphenZyklen
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DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Gerichtete GraphenZyklen
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DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.
(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Gerichtete GraphenZyklen
7 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.
(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Gerichtete GraphenZyklen
7 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Gerichtete GraphenZyklen
8 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin wiederholungsfreier Zyklus heißt einfach.
DefinitionEin Graph, in dem man keinen Zyklus findet, heißt azyklisch.
Gerichtete GraphenZyklen
8 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin wiederholungsfreier Zyklus heißt einfach.
DefinitionEin Graph, in dem man keinen Zyklus findet, heißt azyklisch.
Gerichtete GraphenTeilpfade
9 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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DefinitionSei
(v0, . . . , vi , . . . , vj , . . . vn
)ein Pfad p mit 0 ≤ i ≤ j ≤ n.
Dann ist(vi , . . . , vj
)ein Teilpfad von p.
Gerichtete GraphenStrenger Zusammenhang
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DefinitionEin Graph G = (V ,E) heißt streng zusammenhängend, wenn für allex, y ∈ V ein Pfad p mit p = (x, . . . , y) existiert.
Beispiele
0 1
2 3
ist streng zusammenhängend
0 1 2
3 4
ist nicht streng zusammenhängend
Gerichtete GraphenStrenger Zusammenhang
10 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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DefinitionEin Graph G = (V ,E) heißt streng zusammenhängend, wenn für allex, y ∈ V ein Pfad p mit p = (x, . . . , y) existiert.
Beispiele
0 1
2 3
ist streng zusammenhängend
0 1 2
3 4
ist nicht streng zusammenhängend
Gerichtete GraphenStrenger Zusammenhang
11 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWie viele Kanten muss ein Graph G = (V ,E) mindestens haben, damiter stark zusammenhängend sein kann?
Lösung
|E | ≥{|V | falls |V | ≥ 10 falls |V | = 0
Gerichtete GraphenStrenger Zusammenhang
11 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWie viele Kanten muss ein Graph G = (V ,E) mindestens haben, damiter stark zusammenhängend sein kann?
Lösung
|E | ≥{|V | falls |V | ≥ 10 falls |V | = 0
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .
d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Gerichtete GraphenKnotengrad
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DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .
d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Gerichtete GraphenKnotengrad
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KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1
d+ (0) = 2d (0) = 3
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2
d (0) = 3
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Gerichtete GraphenBäume
13 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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DefinitionEin gerichteter Graph G = (V ,E) heißt Baum, wenn ein r ∈ V existiertmit der Eigenschaft, dass zu jedem x ∈ V genau ein Pfad p = (r , . . . , x)existiert.
r heißt dann Wurzel.
Beispiel
0
1 2
3 4 56
Gerichtete GraphenBäume
13 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin gerichteter Graph G = (V ,E) heißt Baum, wenn ein r ∈ V existiertmit der Eigenschaft, dass zu jedem x ∈ V genau ein Pfad p = (r , . . . , x)existiert.r heißt dann Wurzel.
Beispiel
0
1 2
3 4 56
Gerichtete GraphenBäume
13 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin gerichteter Graph G = (V ,E) heißt Baum, wenn ein r ∈ V existiertmit der Eigenschaft, dass zu jedem x ∈ V genau ein Pfad p = (r , . . . , x)existiert.r heißt dann Wurzel.
Beispiel
0
1 2
3 4 56
Gerichtete GraphenBäume
14 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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SatzFür jeden gerichteten Graphen ist die Wurzel eindeutig bestimmt.
LemmaBäume sind azyklisch.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad größer 0 heißen innere Knoten.
Gerichtete GraphenBäume
14 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
SatzFür jeden gerichteten Graphen ist die Wurzel eindeutig bestimmt.
LemmaBäume sind azyklisch.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad größer 0 heißen innere Knoten.
Gerichtete GraphenBäume
14 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
SatzFür jeden gerichteten Graphen ist die Wurzel eindeutig bestimmt.
LemmaBäume sind azyklisch.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad größer 0 heißen innere Knoten.
Gerichtete GraphenBäume
14 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
SatzFür jeden gerichteten Graphen ist die Wurzel eindeutig bestimmt.
LemmaBäume sind azyklisch.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad größer 0 heißen innere Knoten.
Gerichtete GraphenBäume
15 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem gerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Gerichtete GraphenBäume
15 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem gerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Gerichtete GraphenIsomorphie
16 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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DefinitionFür zwei gerichtete Graphen G1 = (V ,E) und G2 = (V ,E) heißt eineBijektion f : V1 → V2 mit der Eigenschaft∀x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ↔ (f (x) , f (y)) ∈ E2 Graphisomorphismus.
Existiert ein solcher, heißen G1 und G2 isomorph.
BeispieleDiese Graphen sind isomorph:
0 1 2
3 4
c b a
d e
Gerichtete GraphenIsomorphie
16 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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DefinitionFür zwei gerichtete Graphen G1 = (V ,E) und G2 = (V ,E) heißt eineBijektion f : V1 → V2 mit der Eigenschaft∀x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ↔ (f (x) , f (y)) ∈ E2 Graphisomorphismus.Existiert ein solcher, heißen G1 und G2 isomorph.
BeispieleDiese Graphen sind isomorph:
0 1 2
3 4
c b a
d e
Gerichtete GraphenIsomorphie
16 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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DefinitionFür zwei gerichtete Graphen G1 = (V ,E) und G2 = (V ,E) heißt eineBijektion f : V1 → V2 mit der Eigenschaft∀x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ↔ (f (x) , f (y)) ∈ E2 Graphisomorphismus.Existiert ein solcher, heißen G1 und G2 isomorph.
BeispieleDiese Graphen sind isomorph:
0 1 2
3 4
c b a
d e
Gerichtete GraphenIsomorphie
17 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
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BeispieleDas ist nicht immer leicht zu erkennen: (Diese Graphen sind auchisomorph)
0 1 2
3 4
cb
a
d e
Gerichtete GraphenIsomorphie
18 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeImmer 2 der folgenden Graphen sind isomorph. Welche?
Lösung
G0 ist isomorph zu G2
G1ist isomorph zu G5
G3 ist isomorph zu G4
Gerichtete GraphenIsomorphie
18 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeImmer 2 der folgenden Graphen sind isomorph. Welche?
Lösung
G0 ist isomorph zu G2
G1ist isomorph zu G5
G3 ist isomorph zu G4
RelationenSymmetrie
19 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt symmetrisch, wenn
∀x, y ∈ M : (x, y) ∈ R ↔ (y , x) ∈ R
gilt.
RelationenÄquivalenzrelationen
20 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
reflexivsymmetrisch undtransitiv
ist.
Beispiele
Isomorphie von Graphen.Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln
{(G1,G2) |G1,G2 sind kontextfreie Grammatiken und L (G1) = L (G2)}
RelationenÄquivalenzrelationen
20 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
reflexivsymmetrisch undtransitiv
ist.
Beispiele
Isomorphie von Graphen.
Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln
{(G1,G2) |G1,G2 sind kontextfreie Grammatiken und L (G1) = L (G2)}
RelationenÄquivalenzrelationen
20 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
reflexivsymmetrisch undtransitiv
ist.
Beispiele
Isomorphie von Graphen.Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln
{(G1,G2) |G1,G2 sind kontextfreie Grammatiken und L (G1) = L (G2)}
RelationenÄquivalenzrelationen
20 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
reflexivsymmetrisch undtransitiv
ist.
Beispiele
Isomorphie von Graphen.Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln
{(G1,G2) |G1,G2 sind kontextfreie Grammatiken und L (G1) = L (G2)}
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Ungerichtete Graphen
23 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Beispiel
0 1 2
3 4
Ungerichtete GraphenTeilgraphen
24 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG′ = (V ′,E ′) ist Teilgraph von G = (V ,E) genau dann, wenn
V ′ ⊆ VE ′ ⊆ E ∩ {{x, y} |x, y ∈ V ′}
BeispielEin Teilgraph des vorherigen Beispiels ist:
0 1
3 4
Ungerichtete GraphenTeilgraphen
24 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG′ = (V ′,E ′) ist Teilgraph von G = (V ,E) genau dann, wenn
V ′ ⊆ VE ′ ⊆ E ∩ {{x, y} |x, y ∈ V ′}
BeispielEin Teilgraph des vorherigen Beispiels ist:
0 1
3 4
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.
Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.
Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.
(1,2,3) ist kein Weg
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.
(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Ungerichtete GraphenKreise
27 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
AufgabeGibt es weitere einfache Kreise?
LösungJa, nämlich (4,3,0,4), (3,0,4,3), (0,3,4,0), (4,0,3,4), (3,4,0,3).
Ungerichtete GraphenKreise
27 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
AufgabeGibt es weitere einfache Kreise?
LösungJa, nämlich (4,3,0,4), (3,0,4,3), (0,3,4,0), (4,0,3,4), (3,4,0,3).
Ungerichtete und gerichtete Graphen
28 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionGU = (V ,Eg) mit Eg := {(x, y) | {x, y} ∈ E} heißt der zu U = (V ,E)gehörende gerichtete Graph.
DefinitionUG = (V ,Eu)mit Eu := {{x, y} | (x, y) ∈ E} heißt der zu G = (V ,E)gehörende ungerichtete Graph.
Ungerichtete und gerichtete Graphen
28 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionGU = (V ,Eg) mit Eg := {(x, y) | {x, y} ∈ E} heißt der zu U = (V ,E)gehörende gerichtete Graph.
DefinitionUG = (V ,Eu)mit Eu := {{x, y} | (x, y) ∈ E} heißt der zu G = (V ,E)gehörende ungerichtete Graph.
Gerichtete GraphenZusammenhang
29 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichteter Graph U = (V ,E) heißt zusammenhängend, wenn derzu U gehörende gerichtete Graph streng zusammenhängend ist.
Beispiele
0 1
2 3
ist zusammenhängend
0 1 2
3 4
ist nicht zusammenhängend
Gerichtete GraphenZusammenhang
29 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichteter Graph U = (V ,E) heißt zusammenhängend, wenn derzu U gehörende gerichtete Graph streng zusammenhängend ist.
Beispiele
0 1
2 3
ist zusammenhängend
0 1 2
3 4
ist nicht zusammenhängend
Ungerichtete GraphenUngerichtete Bäume
30 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichter Graph U = (V ,E) heißt ungerichteter Baum, wenn füralle x, y ∈ V genau ein Weg von x nach y existiert.
Beispiel
0
1 23
4 5
6
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem ungerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Ungerichtete GraphenUngerichtete Bäume
30 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichter Graph U = (V ,E) heißt ungerichteter Baum, wenn füralle x, y ∈ V genau ein Weg von x nach y existiert.
Beispiel
0
1 23
4 5
6
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem ungerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Ungerichtete GraphenUngerichtete Bäume
30 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichter Graph U = (V ,E) heißt ungerichteter Baum, wenn füralle x, y ∈ V genau ein Weg von x nach y existiert.
Beispiel
0
1 23
4 5
6
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem ungerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Ungerichtete GraphenUngerichtete Bäume
30 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichter Graph U = (V ,E) heißt ungerichteter Baum, wenn füralle x, y ∈ V genau ein Weg von x nach y existiert.
Beispiel
0
1 23
4 5
6
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem ungerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Ungerichtete GraphenGrad
31 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Sei U = (V ,E) ein ungerichteter Graph.
Definition
d (x) := |{y |y 6= x ∧ {x, y} ∈ E}|+{
2 falls {x} ∈ E0 sonst
heißt Grad
eines Knotens x ∈ V .
Ungerichtete Graphen
32 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGibt es in den folgenden ungerichteten Graphen einen Weg, der alleKanten genau einmal enthält? Gibt es einen Kreis, der alle Kanten genaueinmal enthält?
Lösung
G1 enthält keinen solchen Weg.G2 enthält einen solchen Weg, beispielsweise (C2,D2,B2,A2,C2,B2),aber keinen solchen Kreis.G3 enthält einen solchen Kreis(A3,B3,C3,D3,A3,F3,B3,D3,E3,C3,A3) .
Ungerichtete Graphen
32 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGibt es in den folgenden ungerichteten Graphen einen Weg, der alleKanten genau einmal enthält? Gibt es einen Kreis, der alle Kanten genaueinmal enthält?
LösungG1 enthält keinen solchen Weg.
G2 enthält einen solchen Weg, beispielsweise (C2,D2,B2,A2,C2,B2),aber keinen solchen Kreis.G3 enthält einen solchen Kreis(A3,B3,C3,D3,A3,F3,B3,D3,E3,C3,A3) .
Ungerichtete Graphen
32 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGibt es in den folgenden ungerichteten Graphen einen Weg, der alleKanten genau einmal enthält? Gibt es einen Kreis, der alle Kanten genaueinmal enthält?
LösungG1 enthält keinen solchen Weg.G2 enthält einen solchen Weg, beispielsweise (C2,D2,B2,A2,C2,B2),aber keinen solchen Kreis.
G3 enthält einen solchen Kreis(A3,B3,C3,D3,A3,F3,B3,D3,E3,C3,A3) .
Ungerichtete Graphen
32 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGibt es in den folgenden ungerichteten Graphen einen Weg, der alleKanten genau einmal enthält? Gibt es einen Kreis, der alle Kanten genaueinmal enthält?
LösungG1 enthält keinen solchen Weg.G2 enthält einen solchen Weg, beispielsweise (C2,D2,B2,A2,C2,B2),aber keinen solchen Kreis.G3 enthält einen solchen Kreis(A3,B3,C3,D3,A3,F3,B3,D3,E3,C3,A3) .
Ungerichtete Graphen
33 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWas muss ein ungerichter Graph im allgemeinen erfüllen, damit er einensolchen Kreis enthält?
LösungenEin solcher Kreis (Eulerkreis) existiert, wenn ∀v ∈ V : d (v) ≡ 0 (mod 2)
Ungerichtete Graphen
33 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWas muss ein ungerichter Graph im allgemeinen erfüllen, damit er einensolchen Kreis enthält?
LösungenEin solcher Kreis (Eulerkreis) existiert, wenn ∀v ∈ V : d (v) ≡ 0 (mod 2)
GraphenMarkierungen
34 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin knotenmarkierter gerichteter bzw. ungerichteter Graph ist ein solcherGraph G = (V ,E) mit
einer Menge MV sog. Knotenmarkierungen und einerAbbildung mV : V → MV
DefinitionEin kantenmarkierter gerichteter bzw. ungerichteter Graph ist ein solcherGraph G = (V ,E) mit
einer Menge ME sog. Kantenmarkierungen und einerAbbildung mE : E → ME
GraphenMarkierungen
34 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin knotenmarkierter gerichteter bzw. ungerichteter Graph ist ein solcherGraph G = (V ,E) mit
einer Menge MV sog. Knotenmarkierungen und einerAbbildung mV : V → MV
DefinitionEin kantenmarkierter gerichteter bzw. ungerichteter Graph ist ein solcherGraph G = (V ,E) mit
einer Menge ME sog. Kantenmarkierungen und einerAbbildung mE : E → ME
Repräsentation von Graphen
35 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
0 1
2 3
schön und gut. Aber wie können wir Graphen mit 0en und 1endarstellen?
Repräsentation von GraphenObjektorientiert
36 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
1 class Graph {
Vertex [] vertices;
3 Edge[] edges;
}
5
class Vertex {
7 // some content
}
9
class Edge {
11 Vertex start;
Vertex end;
13 // maybe some additional content
}
Repräsentation von GraphenObjektorientiert
37 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
+ Intuitiv
- Man kann kann nur schwer Algorithmen hierfür entwerfen
Bsp: Gilt (x, y) ∈ E ?
Repräsentation von GraphenObjektorientiert
37 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
+ Intuitiv- Man kann kann nur schwer Algorithmen hierfür entwerfen
Bsp: Gilt (x, y) ∈ E ?
Repräsentation von GraphenObjektorientiert
37 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
+ Intuitiv- Man kann kann nur schwer Algorithmen hierfür entwerfen
Bsp: Gilt (x, y) ∈ E ?
Repräsentation von GraphenAdjazenzlisten
38 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Jeder Knoten speichert seine Nachbarn:
class Graph {
2 Vertex [] vertices;
}
4
class Vertex {
6 // some content
Vertex [] neighbours;
8 EdgeContent [] neighbours; // optional
}
+ Speicherplatzeffizient für |E | << |V |2
+ Sehr flexibel mit verketten Listen statt Arrays. (Kanten/Knotenhinzufügen/entfernen)
Repräsentation von GraphenAdjazenzlisten
38 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Jeder Knoten speichert seine Nachbarn:
1 class Graph {
Vertex [] vertices;
3 }
5 class Vertex {
// some content
7 Vertex [] neighbours;
EdgeContent [] neighbours; // optional
9 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | << |V |2
+ Sehr flexibel mit verketten Listen statt Arrays. (Kanten/Knotenhinzufügen/entfernen)
Repräsentation von GraphenAdjazenzlisten
38 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Jeder Knoten speichert seine Nachbarn:
1 class Graph {
Vertex [] vertices;
3 }
5 class Vertex {
// some content
7 Vertex [] neighbours;
EdgeContent [] neighbours; // optional
9 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | << |V |2
+ Sehr flexibel mit verketten Listen statt Arrays. (Kanten/Knotenhinzufügen/entfernen)
Repräsentation von GraphenAdjazenzmatrix
39 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Alle Kanten global speichern
1 class Graph {
boolean [][] edges; // Size |V| x |V|
3 VertexContent []; // optional
EdgeContent [][]; // optional
5 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | ≈ |V |2
- Nicht flexibel+ Man kann LA Verfahren mit Graphalgorithmen verbinden
Repräsentation von GraphenAdjazenzmatrix
39 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Alle Kanten global speichern
1 class Graph {
boolean [][] edges; // Size |V| x |V|
3 VertexContent []; // optional
EdgeContent [][]; // optional
5 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | ≈ |V |2
- Nicht flexibel+ Man kann LA Verfahren mit Graphalgorithmen verbinden
Repräsentation von GraphenAdjazenzmatrix
39 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Alle Kanten global speichern
1 class Graph {
boolean [][] edges; // Size |V| x |V|
3 VertexContent []; // optional
EdgeContent [][]; // optional
5 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | ≈ |V |2
- Nicht flexibel
+ Man kann LA Verfahren mit Graphalgorithmen verbinden
Repräsentation von GraphenAdjazenzmatrix
39 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Alle Kanten global speichern
1 class Graph {
boolean [][] edges; // Size |V| x |V|
3 VertexContent []; // optional
EdgeContent [][]; // optional
5 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | ≈ |V |2
- Nicht flexibel+ Man kann LA Verfahren mit Graphalgorithmen verbinden
Repräsentation von Graphen
40 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGeben Sie eine Adjazenzliste für diesen Graphen an:
0 1
2 3
LösungDie Adjazenzliste:
0 : (1,3)1 : ()2 : (3)3 : ()
Repräsentation von Graphen
40 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGeben Sie eine Adjazenzliste für diesen Graphen an:
0 1
2 3LösungDie Adjazenzliste:
0 : (1,3)1 : ()2 : (3)3 : ()
Repräsentation von Graphen
41 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGeben Sie eine Adjazenzmatrix für diesen Graphen an:
0 1
2 3
LösungDie Adjazenzmatrix:
A =
0 1 0 10 0 0 00 0 0 10 0 0 0
Repräsentation von Graphen
41 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGeben Sie eine Adjazenzmatrix für diesen Graphen an:
0 1
2 3
LösungDie Adjazenzmatrix:
A =
0 1 0 10 0 0 00 0 0 10 0 0 0
Erreichbarkeit
42 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Problem:Gegeben ein Graph G = (V ,E). Ist für x, y ∈ V x von y aus erreichbar?
ZielEine Wegematrix W berechnen, also
Wi,j =
{1 falls ein Pfad von x nach y existiert0 sonst
Erreichbarkeit
42 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Problem:Gegeben ein Graph G = (V ,E). Ist für x, y ∈ V x von y aus erreichbar?
ZielEine Wegematrix W berechnen, also
Wi,j =
{1 falls ein Pfad von x nach y existiert0 sonst
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
43 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
ProblemWann sind x, y ∈ V durch einen Pfad der Länge 2 verbunden?
Im folgenden sei oBdA V = Zn und n := |V |.LöungsverfahrenWir probieren alle Knoten z ∈ V als „Zwischenknoten“ aus:
1 Eingabe: x,y∈V2 for z ← 0 to |V | − 1 do3 if (x, z) ∈ E ∧ (z, y) ∈ E then4 return true5 fi6 od
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
43 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
ProblemWann sind x, y ∈ V durch einen Pfad der Länge 2 verbunden?
Im folgenden sei oBdA V = Zn und n := |V |.
LöungsverfahrenWir probieren alle Knoten z ∈ V als „Zwischenknoten“ aus:
1 Eingabe: x,y∈V2 for z ← 0 to |V | − 1 do3 if (x, z) ∈ E ∧ (z, y) ∈ E then4 return true5 fi6 od
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
43 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
ProblemWann sind x, y ∈ V durch einen Pfad der Länge 2 verbunden?
Im folgenden sei oBdA V = Zn und n := |V |.LöungsverfahrenWir probieren alle Knoten z ∈ V als „Zwischenknoten“ aus:
1 Eingabe: x,y∈V2 for z ← 0 to |V | − 1 do3 if (x, z) ∈ E ∧ (z, y) ∈ E then4 return true5 fi6 od
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
44 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Betrachten wir das Mal bei einer Adjazenzmatrix A (mit 0 für false und 1für true):
n−1∑
z=0Ax,z · Az,y liefert und genau die Anzahl der Pfade der Länge 2
zwischen x und yMachen wir das für alle x, y ∈ V und notieren die Ergebnisse in derMatrix A′x,y erhalten wir:
A′x,y =n−1∑
z=0Ax,z · Az,y .
Das ist die Matrixmultiplikation! Also A′ = A2.
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
44 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Betrachten wir das Mal bei einer Adjazenzmatrix A (mit 0 für false und 1für true):n−1∑
z=0Ax,z · Az,y liefert und genau die Anzahl der Pfade der Länge 2
zwischen x und y
Machen wir das für alle x, y ∈ V und notieren die Ergebnisse in derMatrix A′x,y erhalten wir:
A′x,y =n−1∑
z=0Ax,z · Az,y .
Das ist die Matrixmultiplikation! Also A′ = A2.
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
44 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Betrachten wir das Mal bei einer Adjazenzmatrix A (mit 0 für false und 1für true):n−1∑
z=0Ax,z · Az,y liefert und genau die Anzahl der Pfade der Länge 2
zwischen x und yMachen wir das für alle x, y ∈ V und notieren die Ergebnisse in derMatrix A′x,y erhalten wir:
A′x,y =n−1∑
z=0Ax,z · Az,y .
Das ist die Matrixmultiplikation! Also A′ = A2.
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
44 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Betrachten wir das Mal bei einer Adjazenzmatrix A (mit 0 für false und 1für true):n−1∑
z=0Ax,z · Az,y liefert und genau die Anzahl der Pfade der Länge 2
zwischen x und yMachen wir das für alle x, y ∈ V und notieren die Ergebnisse in derMatrix A′x,y erhalten wir:
A′x,y =n−1∑
z=0Ax,z · Az,y .
Das ist die Matrixmultiplikation! Also A′ = A2.
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
45 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Eigentlich interessiert uns aber nur, ob ein Weg der Länge 2 existiert,nicht wie viele...
Definition (Signum-Funktion)
sgn : R→ R
x 7→
1 falls x > 00 falls x = 0−1 falls x < 0
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
45 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Eigentlich interessiert uns aber nur, ob ein Weg der Länge 2 existiert,nicht wie viele...
Definition (Signum-Funktion)
sgn : R→ R
x 7→
1 falls x > 00 falls x = 0−1 falls x < 0
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
46 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Eigentlich interessiert uns aber nur, ob ein Weg der Länge 2 existiert,nicht wie viele...
Definition (Signum-Funktion für Matrizen)
sgn : Rn×m → Rn×m
sgn(M)ij := sgn(Mij
)(komponentenweise die Signum-Funktion anwenden)
sgn(A2) liefert uns die 2-Erreichbarkeitsrelation als Matrix
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
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KIT
Eigentlich interessiert uns aber nur, ob ein Weg der Länge 2 existiert,nicht wie viele...
Definition (Signum-Funktion für Matrizen)
sgn : Rn×m → Rn×m
sgn(M)ij := sgn(Mij
)(komponentenweise die Signum-Funktion anwenden)
sgn(A2) liefert uns die 2-Erreichbarkeitsrelation als Matrix
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
47 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabenSei G (V ,E) ein Graph:
0 1 2 3
Stelle eine Adjazenzmatrix aufLöse das 2-Erreichbarkeitsproblem für alle KnotenkombinationenBerrechne die Wegematrix W
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
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KIT
AufgabenSei G (V ,E) ein Graph:
0 1 2 3
Stelle eine Adjazenzmatrix auf
Löse das 2-Erreichbarkeitsproblem für alle KnotenkombinationenBerrechne die Wegematrix W
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
47 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabenSei G (V ,E) ein Graph:
0 1 2 3
Stelle eine Adjazenzmatrix aufLöse das 2-Erreichbarkeitsproblem für alle Knotenkombinationen
Berrechne die Wegematrix W
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
47 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabenSei G (V ,E) ein Graph:
0 1 2 3
Stelle eine Adjazenzmatrix aufLöse das 2-Erreichbarkeitsproblem für alle KnotenkombinationenBerrechne die Wegematrix W
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
48 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Lösungen
Adjazenzmatrix A =
0 1 0 00 0 1 00 0 1 10 0 0 0
2-Erreichbarkeitsmatrix A2 =
0 0 1 00 0 1 10 0 1 10 0 0 0
Wegematrix W =
1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
48 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Lösungen
Adjazenzmatrix A =
0 1 0 00 0 1 00 0 1 10 0 0 0
2-Erreichbarkeitsmatrix A2 =
0 0 1 00 0 1 10 0 1 10 0 0 0
Wegematrix W =
1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
48 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Lösungen
Adjazenzmatrix A =
0 1 0 00 0 1 00 0 1 10 0 0 0
2-Erreichbarkeitsmatrix A2 =
0 0 1 00 0 1 10 0 1 10 0 0 0
Wegematrix W =
1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1