gambit

Consecutivo: INF-INV-GAMS-FI-YY/Z

INF-FO-12 V 1.0

Esta obra esta bajo una licencia de reconocimiento-no comercial 2.5

Colombia de creativecommons. Para ver una copia de esta licencia,

visite http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/co/ o envié una

carta a creative commons, 171second street, suite 30 San Francisco,

California 94105, USA

Gambit

Autor:

CESAR LEONARDO GARIBELLO

Director Unidad Informática: Henry Martínez Sarmiento

Tutor Investigación: Laura Vanessa Hernández

Coordinadores: Alejandro Nieto Ramos

Juan Felipe Reyes Rodríguez

Coordinador Servicios Web: Miguel Ibañez

Analista de Infraestructura

y Comunicaciones: Alejandro Bolivar

Analista de Sistemas de

Información: Mesias Anacona Obando

UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES

BOGOTÁ D.C.

DICIEMBRE 2010

Consecutivo: INF-INV-GAMS-FI-YY/Z

INF-FO-12 V 1.0

GAMBIT Director Unidad Informática: Henry Martínez Sarmiento

Tutor Investigación: Laura Vanessa Hernández

Auxiliares de Investigación:

GLORIA STELLA BARRERA ARDILA

DAVID FELIPE BELTRAN GOMEZ

PEDRO ANDRES BOHORQUEZ

IVAN ALBEIRO CABEZAS MARTINEZ

SANDRA MILENA CASTELLANOS PÁEZ

EDGAR ANDRES GARCIA HERNANDEZ

CESAR LEONARDO GARIBELLO OSPINA

FRANCISCO GONZÁLEZ BUITRAGO

LILIANA CAROLINA HERRERA PRIETO

LUIS CARLOS MARTÍNEZ RUIZ

JEIMMY PAOLA MUÑOZ SORACIPA

LINETH JOHANA NIETO CHAVEZ

JAVIER ALEJANDRO ORTIZ VARELA

CINDY LORENA PABÓN GÓMEZ

JUAN DAVID PÁEZ ALVAREZ

CAMILO ALEXANDRY PEÑA TALERO

DIEGO ARMANDO POVEDA ZAMORA

DANIEL FRANCISCO ROJAS MARTÍN

JUAN CARLOS TARAPUEZ ROA

CAMILO ALBERTO ZAPATA MARTINEZ

Este trabajo es resultado del esfuerzo de todo el equipo

perteneciente a la Unidad de Informática.

Se prohíbe la reproducción parcial o total de este documento, por

cualquier tipo de método fotomecánico y/o electrónico, sin previa

autorización de la Universidad Nacional de Colombia.




BOGOTÁ D.C.

DICIEMBRE 2010

GAMBIT




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UNI-FO-02 V 1.0

TABLA DE CONTENIDO

TABLA DE CONTENIDO ..................................................................................................................... 3

1. RESUMEN ...................................................................................................................................... 4

2. ABSTRACT ..................................................................................................................................... 4

3. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 6

4. INSTALACION DE GAMBIT ..................................................................................................... 7

5. INTERFACE GRAFICA ............................................................................................................... 11

6. INTRODUCCION TEORIA DE JUEGOS ............................................................................... 13

7. CRITERIOS DE DECISION EN TEORIA DE JUEGOS ........................................................ 15

7.1. ESTRATEGIAS ESTRICTAMENTE DOMINANTES .................................................... 15

7.2. ESTRATEGIAS DEBILMENTE DOMINANTES ............................................................ 16

7.3. DOMINANCIA ITERADA ................................................................................................. 16

7.4. SELECCIÓN DE CRITERIOS EN GAMBIT .................................................................... 16

7.5. EQUILIBRIOS DE NASH ................................................................................................... 19

8. ESTRATEGIAS MIXTAS ............................................................................................................ 22

9. GAMBIT EN ESTRATEGIAS MIXTAS ................................................................................... 23

10. JUEGOS DINAMICOS .......................................................................................................... 25

11. CRITERIOS DE DECISIÓN EN JUEGOS DINAMICOS ................................................ 26

12. JUEGOS DINAMICOS EN GAMBIT ................................................................................. 28

13. CONCLUSIONES ................................................................................................................... 31

14. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 31

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UNI-FO-02 V 1.0

1. RESUMEN

La teoría de juegos es una parte importante de las ciencias económicas dado que

se encarga del estudio de las diferentes interacciones entre agentes, dicha teoría se

basa en supuestos de racionalidad económica de los individuos y su evolución a

través de los años a conseguido desarrollar diferentes herramientas encontrando

entre la gran cantidad de posibles estrategias realizables por los individuos un

equilibrio que garantice a todos obtener la mínima perdida posible sin importar la

táctica utilizada por los otros involucrados, logrando así otorgar un incentivo que

garantice a los involucrados mantener la estrategia ejercida. Otra característica

importante para el estudio de las relaciones entre individuos el momento en el cual

se toma la decisión (antes o después de un evento concreto) y la información

disponible para los individuos; la importancia de estas dos últimas variables

mencionadas es que modifican de manera sustancial la percepción de los

involucrados modificando las estrategias a utilizar. El presente manual pretende dar

las herramientas para conseguir dichos equilibrios por medio de GAMBIT el cual

nos facilita encontrar el equilibrio para diferentes juegos ya sea en forma dinámica

o en forma estática utilizando equilibrios de Nash o estrategias dominantes.

2. ABSTRACT

Game theory is an important part of economics because it deals with the study of

different interactions between agents, the theory is based on assumptions of

economic rationality of individuals and their evolution through the years managed

to develop different tools found among the large number of possible strategies

achievable by individuals with a balance that ensures all get the minimum possible

loss regardless of the tactics used by the other parties, thus providing an incentive

to ensure those involved to continue the strategy pursued. Another important

feature to study the relationships between individuals at which time a decision is

made (before or after a specific event) and the information available to individuals,

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the importance of these two last mentioned variables which change substantially

involved changing perception of the strategies to use. This manual aims to provide

the tools to achieve such balance by GAMBIT which enables us to find the balance

for different games either dynamically or statically using Nash equilibria or

dominant strategies.

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3. INTRODUCCIÓN

Dado que en la vida las interacciones con nuestros semejantes son parte vital de la

vida económica, es necesario calcular de manera adecuada los puntos óptimos en

los cuales ninguno de los agentes tenga algún tipo de incentivo para cambiar la

estrategia seleccionada permitiendo así la reducción de la máxima pérdida que

pueda sufrir.

Para hacer esto existe un proceso complejo que se caracteriza por determinar el

numero de jugadores, el numero de estrategias posibles por cada jugador, la

información de la cual se disponen, y cuantificar (es decir otorgar pagos) dichas

estrategias, una vez se tenga esto lo siguiente a establecer es cual de todas las

estrategias es la que permite a todos los integrantes del juego minimizar la máxima

perdida posible, para esto existen una serie de herramientas, entre las cuales se

destaca el “equilibrio de Nash" el cual se caracteriza por utilizar herramientas de

tipo estadístico como la esperanza matemática. Sin embargo dicho proceso en

algunas ocasiones tiende a volverse bastante complejo por el número de jugadores

que intervienen o por el número de estrategias relacionadas; además el momento

de la toma de la decisión o la información disponible para cada jugador no

siempre pueden ser claras de establecer.

El siguiente texto pretende proveer las explicaciones correspondientes para

simplificar de manera sustancial el proceso de detectar la estrategia más adecuada

para un número de jugadores y alguna interacción específica en la cual se utilicen

los criterios de selección como equilibrio de Nash o selección de estrategias

dominantes

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4. INSTALACION DE GAMBIT

El proceso de instalación de GAMBIT 0.2007.12.04 es bastante sencillo; dado que el

software es libre se puede descargar sin ningún inconveniente de internet, dos link

en los cuales se puede descargar el programa son:

http://linux.softpedia.com/get/Science-and-Engineering/Mathematics/Gambit-

8009.shtml

http://descargar.portalprogramas.com/Gambit.html

ES IMPORTANTE MENCIONAR QUE GAMBIT 0.2007.12.04 POR EL MOMENTO SE

LIMITA A JUEGOS INFINITOS Y NO COOPERATIVO1

Luego de tener el instalador guardado en el equipo procedemos a ejecutarlo, este

proceso consta de 4 pasos que resultan esenciales a la hora de instalar cualquier

programa, una en el cual el ejecutable del programa da a conocer el nombre del

software a instalar y unas recomendaciones básicas para la instalación; es

importante resaltar que el programa no necesita de grandes requerimientos

técnicos del computador dadas sus características (solamente ocupa 56MB de

espacio en disco).

1 Si necesita información respecto a juegos finitos y juegos cooperativos remítase al apartado

introducción a teoría de juegos del manual

http://linux.softpedia.com/get/Science-and-Engineering/Mathematics/Gambit-8009.shtml

http://linux.softpedia.com/get/Science-and-Engineering/Mathematics/Gambit-8009.shtml


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Posteriormente el programa da a conocer al usuario los términos y condiciones de

la licencia.

A continuación se escoge el directorio en el cual se va a instalar el programa, por

defecto la ubicación es: C:\Archivos de programa\Gambit aunque dicha ubicación

es sujeta a cambios es recomendable instalar el software en el disco C; dado que

directorio no existe el programa nos pide autorización para crearlo, hacemos clic

en “SI” y luego en “STAR”, en este momento comienza la instalación

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Antes de concluir y si todo a salido bien el instalador va a mostrar la siguiente

ventana en la cual notifica que el proceso de instalación fue exitoso.

Finalmente el programa hace los agradecimientos correspondientes a la compañía

que se encargo de realizar el instalador del programa; finalmente el programa esta

listo para ser utilizado en TEORIA DE JUEGOS

Es importante resaltar que la versión del 1 de septiembre de 2010 está disponible

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pero por el momento esta diseñada para otro sistema operativo.

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5. INTERFACE GRAFICA

GAMBIT 0.2007.12.04 consta de interface gráfica muy amigable para el usuario,

caracterizada por dos paneles principales; en la parte derecha un campo donde se

puede visualizar la estrategia utilizada por los jugadores y en la parte izquierda el

número de jugadores que están interviniendo en juego:

GAMBIT soporta más de cien jugadores; por defecto cada archivo tiene como

predeterminado un total de dos jugadores y tiene la opción de presentar los pagos

asociados a las diferentes estrategias como diagrama de árbol el cual es el

presentado anteriormente o en forma de tabla, con respecto a la barra de

herramientas manejadas por el software, se presentan diecinueve accesos directos

que tienen los siguientes usos:

Create a new extensive (tree) game: crea un nuevo archivo con la vista

de juego de árbol.

Create a new strategic (table) game: crea un nuevo archivo con la vista

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de juego de árbol.

Open a file: abre un archivo de GAMBIT trabajado anteriormente; las

extensiónes soportadas son: .gbt, .efg, y .nfg

Save this game: guarda el actual juego en formato GAMBIT

WORKBOOK (.gbt)

Save to diferent file: guarda el actual juego con un nombre diferente,

es similar a la función Guardar como utilizada en Microsoft Office.

Print this game: imprime en papel el juego actual.

Print preview: muestra una vista previa del juego al momento de ser

impreso

Undo the last action: deshace el último movimiento.

Redo the undone action: rehace el último movimiento, para que esté

activa esta función se debe haber deshecho con antelación el

movimiento.

Add a new player: ingresa un nuevo jugador

Zoom in: aumenta el zoom del panel utilizado para mostrar las

estrategias utilizadas por los jugadores; no esta disponible cuando la

estrategia utilizada se representa en forma de tabla

Zoom out: disminuye el zoom del panel utilizado para mostrar las

estrategias utilizadas por los jugadores; no esta disponible cuando la

estrategia utilizada se representa en forma de tabla

Fit to Windows: ajusta el tamaño por el diagrama de árbol a la

resolución del monitor; no esta disponible cuando la estrategia utilizada

se representa en forma de tabla

Increase the number of decimal displayed: aumenta el número de

decimales mostrado en las diferentes estrategias.

Decrease the number of decimal displayed: disminuye el número de

decimales mostrado en las diferentes estrategias

Display the reduced strategic representation of the game: representa

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el actual juego cuando se encuentra en forma de árbol en forma de

tabla; no esta disponible cuando la estrategia utilizada se representa en

forma de tabla

View the list of computer strategy profiles: muestra el perfil de los

diferentes jugadores

Compute the Nash equilibria of this game: calcula el equilibrio de

Nash del actual juego; si existe

About GAMBIT: muestra la versión del programa, los derechos de

autor y algunos links relacionados con la organización gestora de

GAMBIT.

6. INTRODUCCION TEORIA DE JUEGOS

La teoría de juegos inicia con el descubrimiento hecho por el matemático hungaro-

judıo John von Neumann en el año de 1928 en el cual logró demostrar que existía

una estrategia racional para el juego clásico del lanzamiento al aire de una

moneda; en dicho juego dos oponentes se enfrentan a un problema de elección

clásico a la hora de apostar, dicha teoría era aplicable para otro tipo de juegos

como el ajedrez y el póker; Neumann encontró que en todos los casos existía la

posibilidad de seleccionar una mejor estrategia que le permitiera al individuo (o

jugador) minimizar la máxima perdida posible (minimax) sin importar las acciones

de los demás jugadores emprendieran utilizando herramientas matemáticas. Sin

embargo, dicha estrategia no siempre es práctica de implementar principalmente

cuando las estrategias posibles por cada jugador son muchas.

A pesar de esto y gracias a los estudios de Oskar Morgenstern en el campo de la

economía específicamente en la interacción de individuos a la hora de la toma de

decisiones se logro la elaboración del libro Theory of Games and Economic Behavior en

1944 y la aceptación de la teoría de juegos como una disciplina científica creando una

teoría de asignación de recursos con varios criterios de eficiencia, logrando así abrir el

camino para que diferentes teóricos como John Nash, Conurnot, Bertrand entre otros

realizaran valiosos aportes teóricos como por ejemplo la creación de bastantes modelos

bajo competencia imperfecta en campos como la microeconomía, la organización

industrial o la economía del trabajo que se destacan por llevarse a cabo bajo una sola

estructura y en un único concepto solución (conocido como equilibrio de Nash).

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UNI-FO-02 V 1.0

La teoría de juegos busca aclarar alguna situación que genere conflicto entre individuos

eliminando características que pueden ser consideradas como innecesarias a la hora de

comprender la naturaleza real del problema; una vez eliminadas estas características es

necesario establecer estrategias óptimas que minimicen la máxima perdida tolerable es

indispensable ciertas características mínimas para el juego entre las cuales son:

1. Los jugadores

2. Las estrategias disponibles

3. El pago recibido por los jugadores dados las diferentes combinaciones de

estrategias.

Luego de conocer los integrantes es necesario establecer si se le puede asignar o no

probabilidad a las decisiones

Después de tener claro estas características, es importante conocer la información que

poseen los jugadores; si estos conocen todas las estrategias, pagos y los individuos con los

que se enfrentan en el juego se dice que tiene información completa, de lo contrario hay

información incompleta. Otra característica importante es el tiempo en el cual se toma la

decisión por que esto puede hacer que la persona cambie su estrategia, si un jugador no

conoce las decisiones tomadas anteriormente por sus contrincantes o si estas se toman

simultáneamente se dices que el juego tiene información imperfecta de no ser así el juego

tiene información perfecta.

El siguiente paso es la representación gráfica de las estrategias y los pagos que están

disponibles para cada jugador de manera que sea de fácil comprensión e interpretación,

para esto se utilizan dos tipos de representaciones; la forma extensiva que se caracteriza

por se representación grafica en forma de árbol como la siguiente:

Ilustración 1: Forma extensiva de un juego

En la ilustración 1 se muestra la interacción de dos jugadores y las posibles decisiones que

pueden estos jugadores, la siguiente forma de representación gráfica de los juegos se

denomina forma estratégica (también conocida como forma normal) en la cual se

GAMBIT




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representan las diferentes estrategias de cada jugador y los pagos recibidos por este en

una bimatriz nombrada de esta forma por que contiene los pagos asociados a cada

estrategia; el primer numero indica el pago recibido por el jugador que esta ubicado en la

fila y el segundo numero indica lo que conseguirá el segundo jugador ubicado en la

columna. En caso de que se especifique algo diferente en todas las bimatrices hay

información completa pero imperfecta.

Ilustración 2: forma estratégica de un juego

En la anterior bimatriz el jugador rojo (jugador 1) si realiza la estrategia 1 recibirá

un pago de $15, mientras que si el jugador azul (jugador 2) también realiza la

estrategia 1 recibirá un pago de $20; en este punto puede resultar mas clara la

utilidad de la teoría de juegos, puesto que si el jugador 1 se inclina por la

estrategia 2 aumentaría el pago recibido a $30, sin embargo si el jugador 2 por

alguna razón cambiara sus preferencias y jugara la estrategia 3 el pago asociado

para el jugador 1 seria solamente de $12; de este ejemplo tan sencillo se puede ver

la necesidad de la implementación de la teoría que se encargue de la disminución

de las máximas perdidas posibles en estrategias en la que sea necesaria la

interacción con otras personas u organizaciones y además de una teoría en la que

se establezcan de criterios de decisión.

7. CRITERIOS DE DECISION EN TEORIA DE JUEGOS

7.1. ESTRATEGIAS ESTRICTAMENTE DOMINANTES

Las estrategias estrictamente dominantes son aquellas que sin importar la acción

por la cual se incline el adversario el jugador siempre la va a elegir puesto que en

ningún caso recibirá un pago mayor, para esto se tiene que basar en el supuesto

de que el agente es racional en el sentido en el cual siempre va a preferir pagos

altos a pagos bajos. En la bimatriz presentada anteriormente se puede ver que el

jugador 2 por ningún motivo y sin importar lo que haga el jugador 1 va a escoger

la estrategia 2 por que los pagos asociados a esta estrategia siempre son inferiores

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UNI-FO-02 V 1.0

a los pagos ofrecidos por la estrategia 3 (-1 contra 25, 5 contra 30 y 1 contra 18).

De este concepto se desprende la definicion de estrategia estrictamente dominada

la cual es la estrategia que sin importar lo que haga los adversarios siempre tendra

unos pagos asociados menores a otra estrategia, es decir siempre habra una accion

que en todo momento es mejor; de aquí se desprende un principio basico:

“Siempre que sea posible, un jugador escogerá estrategias estrictamente

dominantes, y no tomará ninguna que sea estrictamente dominada” (Monsalve,

2002).

7.2. ESTRATEGIAS DEBILMENTE DOMINANTES

Las estrategias débilmente dominadas son aquellas que sin importar la acción por

la cual se incline el adversario el jugador siempre va a recibir un pago mayor o

igual al de las otras estrategias, se diferencia de las estrategias estrictamente

dominantes por que en estas ultimas el pago recibido por el jugador en todas las

ocasiones va ser mayor a que si escogiera una estrategia estrictamente dominante,

mientras que en las estrategias débilmente dominantes el pago recibido por el

jugador por pequeño que sea va a ser igual al de la estrategia débilmente

dominada.

7.3. DOMINANCIA ITERADA

Este principio de solución se basa en el principio de conocimiento común el cual

establece que si bien un agente nunca escogerá una estrategia estrictamente

dominada por otra, nuestro agente sabe que sus contrincantes tampoco escogerán

una estrategia que sea estrictamente dominada por otra así que actuaran bajo ese

principio así que escogerán su estrategia pensando lo que hará el otro jugador.

7.4. SELECCIÓN DE CRITERIOS EN GAMBIT

Una vez se tiene claridad sobre dos de los principios para la toma de decisiones es

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UNI-FO-02 V 1.0

hora de utilizar GAMBIT para ver su aplicación, para esto se plantea el siguiente

ejemplo2: hay dos jugadores: un peatón y un conductor los cuales tienen dos

estrategias, caminar sin cuidado y caminar con cuidado para el peatón y conducir

sin cuidado y conducir con cuidado para el conductor los pagos son los

presentados a continuación

Conductor

Peatón

Sin cuidado Con cuidado

Sin cuidado -100,0 -100,-10

Con cuidado -110,0 -20,-10

Tabla 1: peatón Vs conductor; fuente (Monsalve, 2002)

Vale la pena resaltar que estos pagos no tienen en cuenta ciertas complicaciones

legales y morales por conducir sin las debidas normas de seguridad. aplicando el

primer criterio de solución tenemos que la estrategia con cuidado del conductor es

estrictamente dominada por la estrategia por la estrategia sin cuidado (0 contra -

10 y 0 contra -10); sin embargo para el peatón no hay una estrategia estrictamente

dominante por que -100 es mayor a -110 pero -100 es menor a -20 pero aplicando

el tercer criterio de decisión tenemos que el peatón sabe que el conductor va a

conducir sin cuidado y por ende escogerá la estrategia sin cuidado por que es la

que mejor pago le representara, así que este pequeño juego ya estaría

solucionado, la estrategia para el conductor será manejar sin cuidado y para el

peatón será manejar sin cuidado.

Para dar solución a este sencillo juego en GAMBIT el procedimiento es el siguiente:

1. Abrir GAMBIT: Inicio- todos los programas- GAMBIT-GAMBIT

2. Hacer clic en el segundo botón : Create a new strategic (table) game

2Monsalve, 2002,Introducción a los Conceptos de Equilibiro en Economia, pag 175

GAMBIT




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3. Cambiar el nombre de los jugadores, para esto se hace clic sobre el nombre

del primer jugador (player 1) y se digita el nombre correspondiente que este

caso es el peatón, es importante que el color del texto en el que se escribe

el nombre del jugador sea el mismo con el que se escriben los pagos

4. El siguiente paso es el de colocar el nombre a las respectivas estrategias,

para ello se hace clic sobre el numero de la estrategia y se digita el nombre

correspondiente

5. Una vez se tiene el nombre de los dos jugadores, el siguiente paso es

ingresar los pagos para esto se hace clic en el pago de la primera estrategia

del primer jugador y se escribe el pago correspondiente teniendo cuidado

de que el pago sea el correspondiente con el color del jugador

6. Hacer clic sobre la opción Tools ubicada en la barra de herramientas y hacer

clic en dominate

7. Automáticamente GAMBIT eliminara la estrategia que es estrictamente

dominante y se desplegara un nuevo panel en el cual podemos seleccionar

otra ronda de eliminación o si queremos que se utilice el segundo criterio

de decisión y se elimine la otra estrategia; en caso de que para resolver el

juego sea necesario utilizar el segundo principio de solución (estrategias

débilmente dominantes) es necesario escoger la opción strictly or weakly en

GAMBIT




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UNI-FO-02 V 1.0

el cuadro de texto en el donde se escoje las estrategias a ocultar.

8. Al hacer clic sobre el botón Eliminate iteratively automáticamente nos

mostrara la solución de este sencillo juego

Si se quiere volver a todas las estrategias y dejar el juego como estaba antes de

aplicar algún criterio de solución se hace clic en el botón tools y se hace clic en

la opción dominance, la cual debe de estar con un visto bueno al lado el cual

significa que ese es el criterio solución que se esta aplicando.

7.5. EQUILIBRIOS DE NASH

Se dice que hay equilibrio de Nash cuando bajo ninguna circunstancia el jugador

puede mejorar su pago escogiendo unilateralmente otra estrategia, teniendo en

cuenta que el contrincante va a escoger la misma estrategia que escogió

anteriormente; para ilustrar mejor a lo que se refiere este ejemplo

contemplemos el siguiente ejemplo3 en el cual tenemos otra vez a los jugadores

peatón y conductor, pero en esta ocasión las estrategias que pueden llevar a cabo

son 3: con cuidado, algo de cuidado y sin cuidado. Los pagos asociados son los

que se relacionan en la siguiente bimatriz:

CONDUCTOR

PEATON

Sin cuidado Algo de

cuidado

Con cuidado

Sin cuidado 50,-3 -99,-2 -100,-3

3 Ibíd. pág. 177

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Algo de

cuidado

-2,-99 -51,-51 -101,-3

Con cuidado -50,-100 -3,-101 -3,-3

Tabla 2: juego peatón vs conductor con 3 estrategias

fuente: (Monsalve, 2002)

Como se puede ver, ninguna de las estrategias de los dos jugadores es dominada

estrictamente por otra así que no se pueden utilizar los criterios de solución que se

han establecido hasta el momento; sin embargo por medio del criterio solución de

equilibrio de Nash se puede deducir que la solución que el peatón cruce la calle de

una manera precavida( con cuidado) y el conductor maneje su vehículo con

cuidado porque si se hacen estas estrategias ninguno de los jugadores estarán

motivados a cambiar su estrategia puesto que no recibirán un pago mejor; es

importante resaltar que en ocasiones los juegos pueden tener varios equilibrios de

Nash, sin embargo GAMBIT esta en la capacidad de calcular todos los equilibrios

de Nash existentes en un determinado juego

Para dar solución a este pequeño juego por medio de GAMBIT se debe seguir los

siguientes pasos:

1. Hacer clic en el segundo botón : Create a new strategic (table) game

2. Cambiar el nombre de los jugadores, para esto se hace clic sobre el nombre

del primer jugador (player 1) y se digita el nombre correspondiente que este

caso es el peatón, es importante que el color del texto en el que se escribe

el nombre del jugador sea el mismo con el que se escriben los pagos

3. Una vez se tienen establecidos los nombres de los jugadores y dado que

GAMBIT trae por defecto solo dos estrategias por cada jugador, el siguiente

paso es insertar una nueva estrategia para cada jugador, para esto se debe

hacer clic en add new estrategy for this player, de esta manera podemos

agregar las estrategias necesarias para el desarrollo de nuestro juego.

GAMBIT




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4. El siguiente paso es darle el respectivo nombre a las estrategias de cada

jugador haciendo clic en el cuadro superior en el que están los pagos de los

dos jugadores

5. El paso siguiente es colocar los respectivos pagos asociados a cada una de

las estrategias

6. El siguiente paso es calcular el equilibrio de Nash para este juego, para esto

se hace clic en compute the Nash equilibria for this game, una vez hacemos

esto, GAMBIT nos mostrara una ventana en la cual podemos establecer si

queremos que nos calcule todos los equilibrios de Nash existentes en el

juego, si queremos solamente que nos compute solo uno o si queremos que

además de esto, GAMBIT proporciona tres formas diferentes para calcular el

equilibrio de Nash: resolviendo un sistema de ecuaciones polinomiales,

enumerando los puntos extremos o por el medio recomendando por

GAMBIT

7. Seleccionamos compute as many Nash equilibria as possible y dado que en

este juego no hemos establecido probabilidades asociadas a cada uno de

los eventos que puede hacer cada uno de los jugadores (por ejemplo no se

a establecido si cabe la posibilidad de que alguno de los participantes ya sea

el peatón o el conductor se encuentren en estado de embriaguez)

GAMBIT




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seleccionamos la opción by looking for pure strategy equilibria, el programa

desplegara una ventana en la cual nos mostrara el numero de equilibrios

encontrados en el juego y las estrategias asociadas a este; adicionalmente

en la parte izquierda de la pantalla debajo del nombre de cada jugador el

pago asociado a dicha estrategia, una vez damos clic en ok en la ventana en

la que se nos muestra un resumen, en la parte inferior se almacenara un

perfil en el cual se mostrara el tipo de método utilizado para calcular el

equilibrio, las estrategias asociadas a dicho equilibrio, si queremos cambiar

el perfil hacemos clic en la pestaña donde esta el nombre del perfil. Si

queremos ocultar la lista de perfiles hacemos clic en view the list of

computed strategy profiles

Sin embargo el concepto de equilibrio de Nash puede verse opacado porque

hay estrategias que pueden ser mas factibles de que se den que otras, para

solucionar este inconveniente el paso a seguir es asignar probabilidad a las

diferentes estrategias, a esto se le denomina estrategias mixtas

8. ESTRATEGIAS MIXTAS

Una estrategia mixta es aquella en la que se asigna una distribución de

probabilidades a todas las estrategias posibles por los jugadores, en el ejemplo

anterior en el cual se daban las diferentes estrategias del peatón y del conductor,

no se estaba teniendo en cuenta por ejemplo que el juego se estaba desarrollando

a altas horas de la noche y es mas probable que alguno de los participantes haya

ingerido licor que si el juego se diera a medio día, de ahí se desprende que las

estrategias puras son variaciones de las estrategias mixtas en las que se le asigna

una probabilidad de uno a cada estrategia.

Consideremos el siguiente juego conocido como matching pennies (tirar la

moneda) en el cual hay dos jugadores y se lanzan dos monedas al aire, los

resultados posibles son: (cara, cara), (cara, sello), (sello, cara), (sello, sello); si las dos

monedas caen del mismo lado (cara, cara o sello, sello) el jugador uno se lleva las

dos monedas, caso contrario el jugador 2 se llevara las dos monedas. La bimatriz

GAMBIT




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quedara de la siguiente forma

JUGADOR 2

Jugador 1

CARA(Q) SELLO(1-Q)

CARA(P) 100,-100 -100,100

SELLO(1-P) -100,100 100,-100

Tabla 3: Matching pennies

Como se puede ver en este juego no existe equilibrio de Nash ni tampoco se

puede dar solución con los criterios de decisión vistos anteriormente, en este juego

es necesario establecer elementos de incertidumbre puesto que ninguno de los

jugadores tiene certeza de cómo va a caer las monedas, es preciso establecer

probabilidad a cada uno de los eventos. De ahí se desprende que la definición de

equilibrio de Nash es la misma que se explico anteriormente.

Para asignar la probabilidad a cada uno de los eventos que maximice la utilidad de

los jugadores hay que igualar el pago recibido por el jugador uno si hace la

estrategia cara con el pago recibido por el jugador uno si hace la estrategia sello.

Jugador 1 Jugador 2

100Q+(-100)*(1-Q)=-100Q+1001-Q) 100P+(1-P)=100P-100(1-P)

Q= ½ P=1/2

Dado que los jugadores no tienen ningún incentivo para elegir entre las estrategias

por que no hay seguridad de cómo jugara el adversario no pueden elegir ninguna

y dado que solo ahí dos eventos la probabilidad que se le asigna a cada uno de

ellos es de ½, ahora asiendo uso del valor de esperanza matemática se puede

establecer que con esas probabilidades el pago esperado será de cero.

9. GAMBIT EN ESTRATEGIAS MIXTAS

Considere el siguiente juego:

GAMBIT




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Jugador 2

Jugador 1 Atrás Adelante

Arriba 500,250 100, 300

Abajo 200,400 600,100

Tabla 4: GAMBIT en estrategias mixtas

La forma de solucionar este juego por medio de GAMBIT es

Digitar el nombre de los jugadores, las estrategias y los pagos asociados a

cada una de las estrategias en el programa

Una vez que se tengan digitados los puntos anteriormente mencionadas, es

necesario decirle a GAMBIT por que método se va a calcular el equilibrio de

Nash para esto se hace clic en tools-Equilibrium

En la ventana que se despliega y dado que vamos a calcular todos los

equilibrios de Nash existentes en este juego, y utilizaremos el método

recomendado por GAMBIT

Como resultado de este juego se tiene que por equilibrio de Nash en

estrategias mixtas el jugador 1 utilizara la estrategia arriba con una

probabilidad de 6/7, el jugador 2 jugara la estrategia atrás con una

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probabilidad de 5/8 y los pagos asociados a dichas estrategias serian: para

el jugador 1 350 y para el jugador 2 de 271,42.

10. JUEGOS DINAMICOS

En la sección anterior del presente texto se exploró la teoría de juegos mirando las

interacciones de los jugadores en el mismo momento es decir simultáneamente, en

esta parte del manual vamos a explorar el uso del programa en juegos dinámicos.

Los juegos dinámicos son aquellos en los cuales las decisiones de los jugadores se

toman en diferentes momentos del tiempo, los elementos a tenerse en cuenta para

los juegos dinámicos son los siguientes:

El numero de jugadores que intervienen en el juego

El momento del tiempo en el cual ejerce su acción el jugador

La información que esta disponible para cada jugador

El numero de estrategias que puede llevar a cabo cada jugador

Los pagos asociados a cada estrategia ejercida por los diferentes jugadores.

La forma como se representan las decisiones en los diferentes momentos del

tiempo es por medio la forma extensiva la cual se representa por el diagrama de

árbol, no obstante es importante mencionar que los juegos de forma extensiva se

pueden representar por medio de la forma estratégica de los juegos, la forma

manual de hacer dicha representación es haciendo la forma estratégica por cada

momento del tiempo, el diagrama de árbol se compone de nodos, los nodos son

los momentos en los cuales el respectivo jugador toma las decisiones; otro

componente importante para la representación grafica de los juegos dinámicos es

la información que conoce cada jugador a la hora de tomar la decisión, en caso de

que algún jugador no conozca las decisiones anteriores que a tomado su

adversario, y por ende no sepa en cual de los dos nódulos debe tomar la decisión,

esta falta de información se representa en los diagramas de árbol por medio de

líneas punteadas las cuales unen los nódulos de los cuales no se conoce la

información anteriormente sucedida.

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Otra característica importante en los juegos dinámicos es el lugar en donde se

colocan la utilidad asociada a las diferentes estrategias que pueden ser utilizadas

por los jugadores; estas utilidades se colocan a los extremos de los diagramas de

árbol, a continuación se muestra un diagrama de árbol en los cuales se puede

identificar los diferentes componentes del mismo:

Ilustración 3: diagrama de árbol

Otro componente importante en el diseño de los diagramas de árbol son los

jugadores, GAMBIT muestra las decisiones de cada jugador con un color diferente,

en el diagrama mostrado anteriormente solamente hay dos jugadores

representados por los colores azul y verde claro, el color verde oscuro no

representa a ningún jugador, representa es el numero de eventos que pueden

ocurrir, lo cual va a condicionar la decisión del primer jugador.

11. CRITERIOS DE DECISIÓN EN JUEGOS DINAMICOS

Con respecto a los criterios de decisión aplicables a los juegos dinámicos se puede

distinguir entre tres que son los más importantes: el criterio de dominancia estricta,

el de equilibrio de Nash que fueron descritos anteriormente en la sección de

juegos estativos, además de estos existe otro criterio de solución denominada

GAMBIT




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inducción hacia atrás, dicho criterio de solución se puede utilizar en juegos con

información perfecta y completa y lo que busca es encontrar el equilibrio mas

factible en el juego, la forma de aplicar este criterio de solución es comenzando a

mirar la solución más óptima para el último jugador que toma la decisión en cada

escenario provocado por el anterior jugador, una vez se encuentran las estrategias

que mayor pago ofrece al último jugador en tomar la decisión, se mira la estrategia

a seguir por parte de jugador que toma la anterior decisión y con base a esta

información se selecciona la estrategia que mayor pago le representa a este

jugador; miremos el siguiente ejemplo:

El jugador 1 tiene dos estrategias: arriba (Ar) y abajo (Ab), a lo cual es jugador

puede escoger entre dos estrategias Ar’ y Ab’, si el jugador uno escoge Ar y el

jugador dos Ar’ el pago asociado es 8, 3 respectivamente, si el jugador uno escoge

Ar y el jugador dos escoge Ab’ el pago será de 5, 6, si el jugador uno escoge Ab y

el jugador dos escoge Ar el pago será de 7, 3 y finalmente si el jugador la

estrategia Ar y el jugador dos escoge Ab el pago será de 4, 3.

Ilustración 4: ejemplo juego dinámico

Lo primero que hay que hacer es encontrar los equilibrios de Nash en este juego,

para eso resolvemos el problema del jugador dos en el nodo 2 (superior), si el

jugador 1 escoge la estrategia Ar el jugador dos escogerá la estrategia Ab’ por que

es la que mejor pago le representa, en cambio si el jugador 2 escoge la estrategia

Ab el jugador dos va a escoger la estrategia Ar’ por representar los mejores pagos

posibles, para este ejemplo los equilibrios de Nash serian las estrategias asociadas

a los pagos 5, 6 y 7, 3, ahora bien para encontrar cual de los dos será el que utilicen

los jugadores hay que mirar la estrategia utilizada por el jugador uno, dado que

este juego tiene información perfecta y completa el jugador uno sabe las opciones

que va a utilizar el jugador dos el escogerá la estrategia que bajo estas condiciones

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le dará el máximo pago (7,3)

12. JUEGOS DINAMICOS EN GAMBIT

Consideremos un juego de póker entre dos personas: Juan y Ana, Juan tiene la

opción de sacar una carta (por simplicidad se va a suponer que solamente hay dos

tipos de cartas altas y bajas y cada una tiene una probabilidad de 50%).

Para indicar en GAMBIT la probabilidad se arrastra del icono change al primer

nódulo

El número superior es el que indica como se va a denominar la rama del árbol, el

de abajo la probabilidad, para cambiar el nombre de dicha rama se hace doble clic

en el nombre y se digita el nombre correspondiente en la ventana que aparece, en

esta ventana se puede cambiar también la probabilidad

Una vez Juan escoge su carta el tiene dos opciones o sigue jugando o abandona el

juego, para representar esto se arrastra desde el icono que corresponde a Juan a

los nódulos de decisión y se cambia el nombre igual que como se hizo con las

GAMBIT




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primeras ramas del árbol,

Si se retira Ana va a ganar lo apostado (5 pesos) y Juan va a perder lo apostado (5

pesos), dichos valores se digitan en donde esta inscrito (u), para copiarlos en

ambas ramas donde Juan se retira se sostiene oprimida la tecla control y se

arrastra la utilidad al nódulo

Si Juan no se retira entonces el juego continua y Ana tiene la posibilidad de

seleccionar una carta, y tendrá la opción de retirarse o no, sin embargo ella no sabe

si se encuentra en el nódulo de la carta alta o baja, para mostrar esto entonces

primero se arrastra el icono de Ana al nódulo del árbol de sigue de la carta alta y se

copia por medio de la tecla control al nódulo de sigue de la carta baja

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Al hacer esto GAMBIT automáticamente muestra la simbología de falta de

información, finalmente hace falta los pagos asociados a las ultimas estrategias, si

Ana sigue y Juan tiene una carta alta ella va a perder diez y Juan a ganar cinco

puesto que la apuesta solo aumento en cinco, si Juan tiene una carta alta y Ana se

retira ella va a perder solo cinco, ahora bien si Juan tiene una carta baja y Ana sigue

entonces ella va a ganar diez y Juan va a perder diez (cinco para entrar a escoger

su carta y cinco para la apuesta), mientras que si Ana se retira cuando Juan tiene

una carta baja ella va a perder diez y Juan va ganar cinco, entonces se digitan

estos valores en el diagrama de árbol y se procede a calcular el equilibrio por

medio de estrategias dominadas y el equilibrio de Nash , el procedimiento es

exactamente el mismo que se utilizo para juegos estáticos

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Como resultado del juego se puede ver que la estrategia seguir es dominada y

que en equilibrio de Nash el pago recibido por Juan es de 10 y el pago recibido

por Ana es de -10

13. CONCLUSIONES

Una vez estudiado GAMBIT 0.2007.12.04 se puede concluir que:

El programa presenta características que pueden resultar útiles para apoyar

a los estudiantes de la carrera de economía

El programa no es lo suficientemente robusto como para dictar un curso

libre en la unidad de informática de la facultad de ciencias económicas y en

algunos temas a la materia Teoría de la decisión ofertada por la Escuela De

Administración Y Contaduría Publica

El tamaño del software es apropiado para crear una monitoria de una sesión

de dos horas con el fin de explicar el desempeño del mismo y su aplicación

en las ciencias económicas por medio del cálculo de equilibrios ya sea por

medio de las estrategias dominantes o por el cálculo de equilibrios de Nash.

14. BIBLIOGRAFIA

Monsalve, S. (2002). Introduccion a los concepto de equilibrio en economía. Bogotá

D.C.: Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias

Económicas.

Gambit: Software Tools for Game Theory. (s.f.). Recuperado el 12 de 29 de 2010, de

http://www.gambit-project.org/doc/index.html

GAMBIT




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Portal programas. (s.f.). Recuperado el 12 de 09 de 2010, de


Softpedia. (s.f.). Recuperado el 12 de 09 de 2010, de

http://linux.softpedia.com/get/Science-and-Engineering/Mathematics/Gambit-

8009.shtml

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