galas co

Università degli Studi di Genova

Facoltà di Ingegneria

DOTTORATO DI RICERCA IN INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTALE

XVIII CICLO

TESI DI DOTTORATO: DI ALESSANDRO GALASCO

ANALISI SISMICA DEGLI EDIFICI IN MURATURA

VERSIONE DI REVISIONE

RELATORE: PROF. SERGIO LAGOMARSINO CORRELATORE: DOTT. ING. ANDREA PENNA DIRETTORE DEL CORSO DI DOTTORATO: PROF. GIOVANNI SOLARI

SOMMARIO “Analisi sismica degli edifici in muratura” 3

SOMMARIO

1 MURATURA E TERREMOTI 5

1.1 VUNERABILITÀ SISMICA EDIFICI IN MURATURA 5 1.2 COMPORTAMENTO DELLA M URATURA SOTTO AZIONI SISMICHE 7 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 9

2 MODELLAZIONE DELLA RISPOSTA GLOBALE 11

2.1 METODOLOGIE DI ANALISI SISMICA 11 2.1.1 ANALISI DINAMICA NON LINEARE E METODO DI INTEGRAZIONE DI NEWMARK 12 2.1.2 ANALISI STATICA EQUIVALENTE (CASO ELASTICO-LINEARE) 15 2.1.3 ANALISI STATICA E MODELLAZIONE NON LINEARE 17 2.1.4 ANALISI STATICHE NON LINEARI, FORMULAZIONE MATRICIALE 20 2.2 METODOLOGIE NORMATIVE DI ANALISI SISMICA 24 2.2.1 PROGETTAZIONE TRADIZIONALE (“FORCE-BASED DESIGN”) 25 2.2.2 LA PROGETTAZIONE PRESTAZIONALE (“PERFORMANCE-BASED DESIGN”) 25 2.3 STRATEGIE DI MODELLAZIONE 26 2.3.1 ANALISI LIMITE DELL’EQUILIBRIO 27 2.3.2 MODELLI A PUNTONE EQUIVALENTE 27 2.3.3 METODI TIPO POR 28 2.3.4 MODELLAZIONE DI DETTAGLIO (“F.E.M.”) 30 2.3.5 MODELLI A TELAIO EQUIVALENTE 31 2.4 MODELLAZIONE A TELAIO EQUIVALENTE 35 2.4.1 MODELLAZIONE DELLA PARETE (COSTRUZIONE DEL TELAIO) 36 2.4.2 MODELLAZIONE DELLA PARETE (INDIVIDUAZIONE DI MASCHI E FASCE) 38 2.4.3 MODELLAZIONE TRIDIMENSIONALE 39 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 45

3 MODELLAZIONE DEL COMPORTAMENTO MECCANICO DELLA MURATURA 47

3.1 CRITERI DI RESISTENZA NEL PIANO 47 3.2 MACROELEMENTO 52 3.3 ELEMENTO BILINEARE CON I CRITERI DI RESISTENZA DELL’ORDINANZA 59 3.4 PROVE SPERIMENTALI SU I PANNELLI 61 3.5 ANALISI DINAMICA 66 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 71

4 AFFIDABILITÀ MODELLAZIONE 73

4.1 SPERIMENTAZIONE DI PAVIA (DESCRIZIONE PROVA ) 74 4.2 MODELLO A TELAIO EQUIVALENTE 76 4.3 MODELLO A MACROELEMENTI 80 4.4 MODELLO CON LEGAME BILINEARE 82 4.5 MODELLO COMPLESSIVO 85 4.6 RISPOSTA DINAMICA 88 4.7 CONCLUSIONI 96

SOMMARIO “Analisi sismica degli edifici in muratura” 4

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 96

5 PROCEDURE DI ANALISI SISMICA 98

5.1 L’ANALISI STATICA NON LINEARE ED IL METODO DELLO SPETTRO DI CAPACITÀ 98 5.1.1 SPETTRI DI RISPOSTA DELLA DOMANDA: ANELASTICI ED ELASTICI SOVRASMORZATI 101 5.1.2 CURVA DI CAPACITÀ E PERFORMANCE-POINT 104 5.2 ASPETTI CRITICI DELLA RIDUZIONE ALL’OSCILLATORE ELASTOPLASTICO EQUIVALENTE 107 5.2.1 SCELTA DEL NODO DI CONTROLLO 107 5.2.2 DISTRIBUZIONE DI FORZE ED ANALISI PUSHOVER 114 5.3 ANALISI ADATTIVA 118 5.3.1 ANALISI NEL PIANO 120 5.3.2 ANALISI TRIDIMENSIONALE E LIMITI DELL’APPROCCIO ADATTIVO 123 5.3.3 ANALISI ADATTIVA “CORRETTA” 126 5.4 CONCLUSIONI 130 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 131

6 MODELLAZIONE DI EDIFICI IRREGOLARI 133

6.1 EDIFICIO TIPO 133 6.1.1 GEOMETRIA 133 6.1.2 PARAMETRI MECCANICI 134 6.1.3 ANALISI CARICHI 135 6.1.4 AZIONE SISMICA 136 6.1.5 MODELLO NUMERICO 137 6.1.6 ANALISI MODALE 139 6.1.7 ANALISI STATICA NON LINEARE 141 6.2 EDIFICIO SOPRAELEVATO (3 PIANI) 146 6.3 EDIFICIO ECCENTRICAMENTE SOPRAELEVATO (3 PIANI) 150 6.4 EDIFICIO CON IRREGOLARITÀ IN FONDAZIONE 156 6.4.1 CALCOLO DEI COEFFICIENTE DI REAZIONE 157 6.4.2 MODELLAZIONE DEL SUOLO ELASTICO 158 6.4.3 MODELLO CON PORZIONE CANTINATA 161 6.5 EDIFICIO PLANIMETRICAMENTE IRREGOLARE 168 6.6 IRREGOLARITÀ NON QUANTIFICABILI NELLA DISTRIBUZIONE DELLE MASSE 171 6.7 CONCLUSIONI 176 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 177

CAPITOLO 1 “Analisi sismica degli edifici in muratura” 5

1 Muratura e Terremoti All’espressione edificio in muratura possono essere associate forme di edilizia molto diverse fra loro a cui corrispondono differenti comportamenti sismici: la varietà di tipologie è principalmente legata a caratteri tecnologici che generalmente dipendono dal sito di costruzione, dall’epoca storica e dalla destinazione d’uso originaria. D’altra parte, pur con materiali diversi e diverse proporzioni geometriche tra gli elementi, è possibile riconoscere comportamenti comuni alla maggior parte di ciò che si raggruppa nella categoria degli edifici in muratura. Tali manufatti ancora oggi costituiscono una rilevante porzione del costruito sia in Italia, sia nel resto dell’Europa, senza dimenticare vaste aree dell’Asia e del sud America. È frequente a tutt’oggi l’edificazione di strutture residenziali (specie di pochi piani) costituite da strutture portanti in mattoni, tuttavia una buona parte delle costruzioni in muratura sono state edificate in passato. In molti casi esse sorgono in zone ad elevata pericolosità sismica o, comunque, soggette a rischio. Naturalmente la salvaguardia delle persone presenti in tali edifici resta l’aspetto umano indubbiamente primario tuttavia è comunque altrettanto importante la tutela del patrimonio edilizio dal punto di vista archeologico, storico, paesaggistico, legata alla presenza dell’uomo nel corso dei secoli. Al fine di effettuare una modellazione, che sia il più possibile aderente alla realtà ed efficace al fine della verifica sismica, è indispensabile pertanto focalizzare i caratteri fondamentali della risposta degli edifici in muratura all’azione del terremoto: i meccanismi di danno osservati negli edifici possono essere suddivisi in due categorie a seconda del tipo di risposta delle pareti: i cosiddetti meccanismi di primo modo, in cui sono coinvolte pareti o porzioni di esse sollecitate ortogonalmente al proprio piano, e di secondo modo, in cui la parete risponde all’azione sismica nel proprio piano. In assenza di opportuni collegamenti tra pareti ortogonali (ammorsamenti, catene) ed a livello degli orizzontamenti la risposta della costruzione all’azione orizzontale avviene per parti. Le singole pareti tendono a comportarsi indipendentemente le une dalle altre ed a sviluppare meccanismi di collasso di I modo trasformando la risposta globale della costruzione nella somma delle risposte locali delle singole pareti. Nel caso, invece, in cui sia presente un idoneo grado di collegamento tra le pareti la ripartizione delle azioni sismiche avviene in base alla rigidezza ed alla posizione relativa delle pareti mediata dalla rigidezza di piano degli orizzontamenti. La risposta, allora, dipende dal comportamento delle pareti nel proprio piano, che collaborano tra loro e fra cui le azioni sono ripartite seguendo l’evoluzione non lineare del sistema. La natura dinamica dell’azione sismica fa sì che si possano inoltre verificare meccanismi di danno legati all’interazione tra le varie parti e, soprattutto, che il comportamento ciclico non lineare del materiale giochi un ruolo fondamentale nella risposta: il degrado di resistenza della muratura induce una maggiore ridistribuzione delle forze tra le varie pareti, l’energia dissipata nei cicli di isteresi sopperisce talvolta alla limitata capacità duttile dei pannelli ed il degrado di rigidezza porta la struttura a modificare il proprio modo di vibrare e, dunque, ad avere una diversa richiesta in termini spettrali.

1.1 Vunerabilità sismica edifici in muratura Terremoti storici ed eventi recenti hanno evidenziato l’elevata vulnerabilità sismica degli edifici in muratura; tali strutture sono concepite per resistere in maniera ottimale alle azioni verticali: pilastri, pareti, archi e volte sono elementi che lavorano prevalentemente a compressione. Un evento sismico


genera invece azioni assimilabili ad un campo di forze orizzontali, che inducono sforzi di flessione negli elementi strutturali. Qualora non siano presenti dispositivi idonei a sopportare queste azioni si riscontrano danni elevati che investono l’edificio nel complesso o anche solo una parte di esso (collassi locali). Un evento sismico genera azioni dinamiche complesse, dovute sia al moto del terreno durante il terremoto sia alle caratteristiche di risposta della struttura colpita dal sisma; a parità d’accelerazione misurata al suolo si possono riscontrare valori molto diversi delle sollecitazioni in funzione delle caratteristiche proprie dell’edificio (rigidezza, smorzame nto, livelli di soglia nella risposta degli elementi); questi parametri possono inoltre cambiare anche durante l’evento sismico stesso a causa di lesioni e parzializzazioni. Dalla distribuzione geometrica delle masse e delle rigidezze e dalla resistenza dei materiali può dipendere una maggiore amplificazione dell’input sismico (a queste grandezze sono legati il periodo proprio dell’edificio, e lo smorzamento). In generale si può affermare che un periodo proprio e uno smorzamento bassi portino a forti amplificazioni nelle accelerazioni trasmesse dal terreno: gli edifici in muratura, solitamente tozzi e ad elevata rigidezza traslazionale, manifestano valori del periodo proprio così bassi da esaltare l’input sismico, questo fa sì che le accelerazioni, e in definitiva le forze di inerzia che sollecitano la struttura, raggiungano livelli considerevoli. Con il progredire dell’evento sismico la struttura inevitabilmente subisce dei fenomeni fessurativi che, aumentando la deformabilità del complesso, portano il periodo proprio verso valori sempre più elevati attenuando l’amplificazione. Un'ulteriore riduzione delle sollecitazioni è dovuta allo sviluppo di un quadro fessurativo che contribuisce ad elevare i già alti livelli di smorzamento propri dell’edificio murario. In definitiva è come se il complesso murario, nonostante la limitata duttilità posseduta dai singoli componenti, durante l’evento sismico si adatti alle sollecitazioni trasmesse, accompagnando il moto del terreno e limitando i suoi effetti catastrofici. È proprio sfruttando queste capacità di adattamento che un edificio in muratura, correttamente progettato e costruito, resiste in maniera altamente affidabile alle sollecitazioni sismiche. Alla base di una corretta concezione strutturale di un edificio in muratura vi è il concetto di comportamento scatolare: gli elementi resistenti, costituiti da due sistemi verticali di pareti disposti generalmente secondo due direzioni mutuamente ortogonali e da un sistema di elementi orizzontali (per lo più solai piani), devono essere efficacemente connessi, in modo da garantire un comportamento statico di natura scatolare, capace di resistere a sollecitazioni provenienti da qualsiasi direzione. Questa concezione strutturale fornisce al fabbricato un’ottima resistenza d’insieme, comprovata dal buon comportamento mostrato anche in zona sismica, da edifici in muratura, correttamente costruiti. Ulteriori informazioni sulle “regole” per ottenere murature resistenti ad azioni sismiche si possono ottenere dall’osservazione dei danni subiti da costruzioni in muratura in occasione di eventi tellurici: si può notare come il terremoto non disintegri in modo disordinato le case, ma ne “selezioni” le parti strutturali e le soluzioni tecnologiche più deboli, provocandone il degrado od il collasso secondo meccanismi in molti casi facilmente individuabili. Un’insufficiente rigidezza della struttura nel suo complesso dovuta ad esempio al cattivo collegamento tra le parti che la costituiscono impedisce, infatti, che questa possa resistere, nella sua globalità, alle azioni sismiche. Solai privi di un’adeguata rigidezza nel proprio piano e non correttamente vincolati alle pareti e collegamenti tra pareti verticali inadeguati rendono impossibile, o comunque insufficiente, la ripartizione delle forze agenti sull’edificio: questo determina un’azione individuale delle singole pareti, rendendo più vulnerabili quelle disposte ortogonalmente alla direzione del sisma che, non trattenute dalle pareti adiacenti, rischiano il ribaltamento fuori dal proprio piano.


Va inoltre considerata la qualità dei materiali leganti: se questi risultano scadenti viene vanificata anche l’eventuale corretta concezione scatolare della struttura. Per ridurre la possibilità di avere meccanismi di collasso di ribaltamento, si deve garantire una sufficiente collaborazione tra le parti resistenti della struttura in muratura, si devono cioè rendere collaboranti pareti e solai, irrigidendo questi ultimi nel loro piano e realizzando correttamente gli ammorsamenti; così il degrado ed il successivo collasso degli edifici dipende dalla resistenza nel piano, delle pareti e degli elementi che le costituiscono.

1.2 Comportamento della muratura sotto azioni sismiche Dall’osservazione del danno, interpretata con gli strumenti della meccanica e della scienza delle costruzioni, è possibile evidenziare come, a differenti caratteristiche tipologico – costruttive, corrisponda una diversità di comportamento delle struttura sollecitata dall’azione sismica. I danni tipici del costruito in muratura possono essere distinti secondo due fondamentali modalità di collasso: i cosiddetti (Giuffré, 1993) meccanismi di primo e secondo modo. Per meccanismi di I modo si intendono quei cinematismi di collasso connessi al comportamento delle pareti in muratura fuori dal proprio piano, quindi con comportamento flessionale e ribaltamento (rocking). I meccanismi di II modo riguardano invece la risposta della parete nel proprio piano, con tipici danneggiamenti per taglio e flessione. L’attivazione di tali modalità di collasso è, però, strettamente dipendente dal comportamento globale dell’edificio, che a sua volta dipende dalle caratteristiche tipologiche e tecnologiche. In una costruzione in muratura è possibile identificare molteplici strutture resistenti a seconda della condizione di carico considerata, tuttavia, secondo una semplice schematizzazione, sia pure con diverso comportamento in funzione della sollecitazione considerata, possono essere identificati come elementi resistenti le pareti e gli orizzontamenti (solai, volte, coperture). Il comportamento globale della struttura all’azione sismica è fortemente influenzato, ancor prima che dalle caratteristiche intrinseche dei singoli elementi strutturali, dal grado di connessione presente tra essi. Carenze nel collegamento tra pareti ortogonali e tra pareti ed orizzontamenti fanno sì che la struttura non sia in grado di sviluppare, durante il terremoto, una risposta globale che chiami a collaborare fra loro le diverse pareti ed a ripartire tra esse le sollecitazioni indotte. In questo caso, infatti, si ha una risposta pressoché indipendente della singola parete con una limitata interazione con il resto della fabbrica. La risposta che la parete tende ad avere è allora ovviamente dominata dal comportamento fuori piano, esibendo, nei riguardi dei meccanismi di I modo, una evidente maggiore vulnerabilità. La presenza di un buon ammorsamento tra pareti o di connessioni anche puntuali, ottenibili ad esempio con l’inserimento di catene metalliche, innesca invece la collaborazione nella risposta tra le varie componenti della fabbrica. L’edificio ha, perciò, un comportamento d’insieme che porta poter ricorrere alle maggiori risorse di rigidezza e resistenza delle pareti nel proprio piano. La probabilità di insorgenza di meccanismi di ribaltamento fuori piano viene decisamente ridotta dalle diverse condizioni di vincolo in cui si viene ora a trovare la parete e può ulteriormente ridursi nel caso di un buon collegamento ad esse degli orizzontamenti. In questo caso, in cui si realizza il cosiddetto comportamento scatolare, assume un ruolo fondamentale, ai fini della risposta sismica, la rigidezza dei solai nel proprio piano: solai molto rigidi ripartiscono le azioni fra le pareti in base alla loro rigidezza ed alla posizione in pianta favorendo, inoltre, l’instaurarsi di meccanismi di collasso di piano. Nella figura seguente è schematizzata la variazione del comportamento strutturale indotta dal diverso grado di collegamento tra le parti e dalla differente rigidezza dei solai.


Figura 1 - Influenza del grado di vincolo tra gli elementi sulla risposta sismica: pareti non vincolate o

ammorsate (a), pareti ammorsate con orizzontamento flessibile (b) e rigido (c)

Le figure seguenti mostrano invece come, anche con interventi puntuali, sia possibile limitare l’occorrenza di meccanismi di I modo e ridurne la vulnerabilità associata trasferendo la risposta fuori piano della facciata alla risposta nel piano delle pareti di spina.

Figura 2 - Meccanismi di ribaltamento della facciata: senza ammorsamento (1), con ammorsamento (2) e

con l’inserimento di una catena (3)

Figura 3 - Modifica dei meccanismi di collasso attraverso l’inserimento di catene

La realizzazione del comportamento scatolare fa sì che per l’edificio si possa definire una vulnerabilità globale che dipende dalla risposta sismica di tutto il sistema strutturale, governata dalla risposta nel piano delle pareti e dall’azione di collegamento e ripartizione esercitata dagli orizzontamenti.


Risulta dunque fondamentale analizzare la risposta della parete nel proprio piano, studiare i possibili meccanismi di danneggiamento e valutare l’interazione con il resto della costruzione.

Figura 4 - Meccanismi di danno di pareti nel piano

Anche in presenza di comportamento scatolare, accanto ad una vulnerabilità globale dell’edificio si debbono, tuttavia, considerare possibili vulnerabilità locali legate a meccanismi di primo modo sviluppati su porzioni di pareti non vincolate od a richieste di duttilità superiori a quelle disponibili per i meccanismi nel piano locali.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Abrams D.P.,1997, Response of unreinforced masonry buildings, Journal of Earthquake Engineering,1,1. Abrams D.P., Calvi G.M. (eds.), 1994, Proc. of the US-Italy workshop on Guidelines for seismic evaluation and

rehabilitation of unreinforced masonry buildings, Technical Report NCEER-94-0021, Pavia. Anthoine A., 1995, Derivation of the in-plane characteristics of masonry through homogenization

theory, Int. J. Solids Structures, 32, 2. Anthoine A., Magonette G., Magenes G., 1995, Shear compression testing and analysis of brick masonry

walls, Proc. of the 10th European Conference on Earthquake Engineering, Vienna. Bernardini A. (ed.), 1999, Seismic Damage to Masonry Buildings, Proc. of Int. Workshop, Monselice, 25-26

June 1998. Braga F., Dolce M., 1982, Un metodo per l'analisi di edifici multipiano in muratura antisismici, Proc. 6th

I.B.Ma.C., Roma. Braga F., Liberatore D., 1991, Modeling of seismic behaviour of masonry buildings, Proc. 9th I.B.Ma.C.,

Berlino. Costley A.C., Abrams D.P., 1995, Dynamic response of unreinforced masonry buildings with flexible

diaphragms, NCEER Technical Report, Urbana-Champaign. Dadovici V., Benedetti D., 1994, Proc. of the Italian-French symposium on Strengthening and repair of

structures in seismic areas, Nizza. Doglioni F. (ed.), 1999, Codice di pratica (linee guida) per la progettazione degli interventi di

riparazione e restauro dei beni architettonici danneggiati dal terremoto umbro-marchigiano del 1997, IUAV, Venezia.

Faccioli E., Pessina V., Calvi G. M., Borzi B., 1999, A study on damage scenario for residential buildings in Catania city, Journal of Seismology, 3, 3.

Faccioli E., Pessina V. (eds.), 1999, The Catania Project - Earthquake damage scenarios for a high risk area in the Mediterranean, CNR-GNDT, Roma.


Gambarotta L., Lagomarsino S., 1996, Sulla risposta dinamica di pareti in muratura, in Gambarotta L. (ed.) La meccanica delle murature tra teoria e progetto, Atti del Convegno Nazionale, Messina.

Gambarotta L., Lagomarsino S., 1997a, Damage models for the seismic response of brick masonry shear walls. Part I: the mortar joint model and its applications, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 26.

Gambarotta L., Lagomarsino S., 1997b, Damage models for the seismic response of brick masonry shear walls. Part II: the continuum model and its applications, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 26.

Giuffré A. (ed.), 1993, Sicurezza e conservazione dei centri storici in zona sismica. Il caso di Ortigia, Laterza, Bari.

Guerrieri F. (ed.), 1999, Manuale per la riabilitazione e la ricostruzione postsimica degli edifici, Regione Umbria.

Magenes G., 2000, A method for pushover analysis in seismic assessment of masonry buildings, Proc. 12th World Conference on Earthquake Engineering, Auckland.

Magenes G., Calvi G.M., 1997, In-plane seismic response of brick masonry walls, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 26.

Magenes G., Della Fontana, 1988, Simplified non-linear seismic analysis of masonry buildings, Proc. of the British Masonry Society, 8, pp. 190-195.

Magenes G., Kingsley G.R., Calvi G.M., 1995, Static testing of a full scale, two-story masonry building: test procedure and measured experimental response, in Experimental and numerical investigation on a brick masonry building prototype, Report 3.0 CNR-GNDT Numerical Prediction of the experiment: 1.1 – 1.41.

Magenes G., 2001, Considerazioni sulla modellazione della risposta di elementi murari e di pareti ad azioni nel piano in Magenes et al. (eds.), Metodi semplificati per l’analisi sismica non lineare di edifici in muratura, CNR-GNDT, Roma.

Paulay T., Priestley M.J.N., 1992, Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings, Wiley, New York.


2 Modellazione della risposta globale Un evento sismico si manifesta attraverso un moto oscillatorio del terreno su cui poggia l’edificio: la natura di tale oscillazione dipenderà dalla morfologia del sottosuolo e dalla posizione dell’ipocentro sismico. L’intensità dipenderà dall’energia rilasciata dal terremoto. Disponendo di un opportuno modello meccanico, capace di cogliere le non linearità intrinseche della muratura, si può pensare ad una simulazione numerica del sisma, a partire dalla sua time-history (spostamento/accelerazione al suolo al variare del tempo). Questo procedimento, applicato ad un sistema discreto (costituito cioè da un numero finito di gradi di libertà) si può pensare impostato attraverso la seconda legge di Newton: la somma delle forze sarà uguale alla massa accelerata. Da un punto di vista computazionale si riconduce il sistema di equazioni differenziali ad un equivalente sistema algebrico (attraverso opportune integrazioni) di più agevole soluzione. Un simile approccio è però molto complesso, pur disponendo di elaboratori elettronici, pertanto si è cercato di ricondurre il problema in un ambito prettamente statico: ipotizzando un comportamento elastico-lineare si può sostituire alla time-history del sisma il suo spettro, determinando il campo di forze che produrrà lo spostamento massimo (analisi modale). Tale metodologia, oltre ad avere il limite di aver assunto un comportamento elastico del materiale muratura (ipotesi smentita dalle prove sperimentali) non è in grado di fornire informazioni di carattere “prestazionale”, ovvero non potrà prevedere per quale livello di accelerazione sismica si perda l’operatività del manufatto, e per quale si possa solo più garantire la salvaguardia delle vite degli occupanti. Tali risposte possono essere fornite da analisi statiche incrementali su modelli non lineari, a partire dagli spettri elastici dei terremoti. L’approccio prestazionale è alla base delle più recenti normative sismiche sia europee (Eurocodice 8, nuova ordinanza sismica italiana: All. 2 O.P.C.M. 3274/03 e s.m.i.) sia americane (FEMA 440 , ATC 40). Le analisi vengono effettuate su sistemi discreti capaci di cogliere in modo più o meno raffinato il comportamento non lineare degli elementi murari. Ferma restando la possibilità di una modellazione puntuale con elementi finiti (Gambarotta & Lagomarsino, 1997; Podestà, 2005; Calderini & Lagomarsino; 2004) del continuo murario, è più praticabile cercare una discretizzazione macroscopica degli elementi strutturali (modellazione a telaio equivalente). Tale soluzione, idonea a modellare complessi “scatolari” (più spesso, nell’edilizia monumentale la risposta è governata da meccanismi di I modo e pertanto più verosimilmente analizzabile individuando macromeccanismi che coinvolgano sottosistemi strutturali) è peraltro recepita dalla recente OPCM 3274. Le procedure di analisi che seguiranno, sono state implementate nel solutore del programma di calcolo TREMURI, (Galasco et al. 2002)

2.1 Metodologie di analisi sismica L’analisi sismica di edifici in muratura condotta mediante un’analisi dinamica al passo, richiede lo studio di sistemi non lineari soggetti a forzanti esterne descritte da accelerogrammi, cioè da successioni di accelerazioni misurate al suolo a intervalli di tempo regolari. Disponendo di un sistema discreto ad n gradi di libertà si può formulare il problema in termini vettoriali mediante la seguente espressione:

( ) ( ) ( ) ( );t t t t+ + = −.. . ..

M q D q Kq M u (2.1)


dove M rappresenta la matrice di massa, D la matrice di smorzamento, K la matrice di rigidezza, ü l’accelerazione al suolo mentre q è lo spostamento relativo dei nodi della struttura ( &q velocità, &&q accelerazione). Disponendo dei valori della forzante a step temporali regolari, è possibile ricondurre il sistema differenziale in un sistema algebrico in cui velocità e spostamento (l’accelerazione è ricavata a partire da questi ultimi) siano calcolati in funzione dei valori trovati al passo precedente.

2.1.1 Analisi dinamica non lineare e metodo di integrazione di Newmark Il metodo di Newmark si propone di trasformare il sistema differenziale in un sistema algebrico; per fare ciò, scelto un opportuno step temporale ∆t, esplicita i valori di velocità, spostamento ed accelerazione a partire dai valori trovati al passo precedente:

( )

2

2

12

1

1 11

2

.. .

n+1 n+1n+1 n+1

. .. ..

n+1 n n n n+1

. . .. ..

n+1 n n n+1

.. . ..

n+1 nn+1 n n

M q Dq Kq f

q q q q q

q q q q

q q q q q

t t

t

tt

β β

γ γ

β β

+ + =

= + ∆ + ∆ − + = + ∆ − +

= − − ∆ − − ∆

(2.2)

La forzante esterna fn+1 nel caso di accelerazione sismica coinciderà con ( )..

M u t− , mentre i parametri β e γ descrivono una famiglia di metodi di integrazione: in particolare assumendo

14β = e 1

2γ = si ha il metodo dell’accelerazione media costante, implicito ed

incondizionatamente stabile (si potrebbe esplicitare il metodo con β=0, ma si distorcerebbero le frequenze). In realtà se si conoscono le grandezze cinematiche al passo iniziale il metodo diviene esplicito. Sostituendo spostamento e velocità nel sistema principale si ottiene:

( )

( )

2

2

2

1 ;

1 11

2

1 11 1 ;

2

t

tt

t t tt

t t

γ γ

β β

γ γβ β

γβ β

+ + ∆ − + + = − − ∆ − − + ∆

+ ∆ − − ∆ − − + = − − ∆ − ∆

+∆ ∆

.. . .. ..

n+1 n n n+1 n+1 n+1

. ..

n+1 n n n

. .. . ..

n+1 n n n n+1 n+1 n n

M q D q q q Kq f

M q q q q

D q q q q Kq f Dq Dq

1M D+K 2

1 1 12 2

t t

tt

γβ β

γγ

β β β β

= + + + ∆ ∆

+ − + − + ∆ − ∆

n+1 n+1 n

. ..

n n

1q f M D q

1 1 1M D q M D q

(2.3)


semplificando alcuni termini ed osservando che l’unica incognita rimasta è qn+1, pongo:

2

2

.

1 22 2

n+1 n+1 n

..

n n

1K= M D+K

1 1f =f M D q

1 - 1 + M D q M D q

t t

t t

tt

γβ β

β β

γ β γ γβ β β β

+ ∆ ∆

+ + + ∆ ∆

∆+ + − + − ∆

%

% (2.4)

da cui il sistema algebrico risolvente:

n+1 n+1Kq =f%% (2.5)

-1n+1 n+1q =K f%% (2.6)

noto lo spostamento al passo n+1 dalle relazioni riportate nella (2.1) si ottengono anche velocità e accelerazione. Nell’ottica di implementare una procedura di convergenza non lineare è necessario riscrivere il metodo di Newmark in forma incrementale; si cercherà una formulazione che abbia come incognite gli incrementi di spostamento, velocità, accelerazione dal passo n al passo n+1.

.. .

n+1 n+1n+1 n+1

.. .

n nn n

M q D q Kq f -

M q D q Kq f =

+ + =

+ + = (2.7)

.. .

n+1 n+1n+1 n+1M q D q K q f∆ + ∆ + ∆ = ∆

anche gli incrementi cinematici possono essere espressi in funzione dei valori al passo precedente, basta rielaborare le relazioni della (2.1):

2 21 12 2

. .. .. . .. ..

n+1 n n n+1 n n n+1q q q q q q qt t t tβ β β ∆ = ∆ + ∆ − + = ∆ + ∆ + ∆

(2.8)

( )1. .. .. .. ..

n+1 n n+1 n n+1q q q q qt tγ γ γ ∆ = ∆ − + = ∆ + ∆ (2.9)

2

1 1 12

.. . ..

n+1n+1 n nq q q qt tβ β β

∆ = ∆ − −∆ ∆

(2.10)

Sostituendo la (2.9) nella (2.7):


( )

;

;

.. .. ..

n+1 n+1n+1 n n+1

.. ..

n+1 n+1n+1 n

M q D q q K q f

M D q K q f D q

t

t t

γ

γ

∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∆

+ ∆ ∆ + ∆ = ∆ − ∆

(2.11)

Sostituendo poi la (2.10) nella (2.7):

( ) ( ) ( )2

2

1 1 12

;

1 1 11

2 2

. ..

n+1 n n

..

n+1 n+1 n

. ..

n+1 n+1 n n

M D q M D q M D q

K q f D q

M D K q f M D q M D q

t t tt t

t

tt t t

γ γ γβ β β

γ γ γβ β β β β β

+ ∆ ∆ − + ∆ − + ∆ +∆ ∆

+ ∆ = ∆ − ∆

+ + ∆ = ∆ + + − + ∆ − ∆ ∆ ∆

(2.12)

pongo:

2

1

1 11

2 2

.

n+1 n+1 n

K= M D K

f f M D q M D

t t

tt

γβ β

γ γβ β β β

+ + ∆ ∆

∆ = ∆ + + − + ∆ − ∆

%

% (2.13)

il sistema risolvente diviene:

n+1 n+1K q = f∆ ∆%% (2.14)

-1n+1 n+1q =K f∆ ∆%% (2.15)

Sommando l’incremento di spostamento al passo n+1 allo spostamento al passo precedente si ottiene il valore al passo in analisi, ricordando le relazioni (2.9) e (2.10) si possono aggiornare anche velocità e accelerazione. La non linearità del legame fa sì che nel sistema differenziale venga meno la possibilità di esprimere la reazione elastica come Kq, fermo restando la linearità dei termini viscosi e inerziali:

.. .

legame esterneM q Dq f (q)=f+ + (2.16)

il termine festerne comprende le azioni sismiche sommate al campo di forze preesistente. La risoluzione grazie al metodo di Newton-Ramphson, si correggerà attraverso la matrice elastica K% fino a convergenza un valore di tentativo dello spostamento: sia ? x la correzione elastica, sia

0x x ?x= +% il valore ipotizzato di spostamento, attraverso la funzione flegame(x) si ricava il campo di sollecitazioni che corrispondono secondo il legame allo stato x. A queste azioni vanno aggiunti i

termini inerziali, dovuti alla seconda legge di Newton (..

M x% ) ed i termini viscosi (.

D x% ). Lo stato di


sollecitazioni così determinato ( ( ).. .

legameM x D x f x+ +% % % ) dovrà eguagliare il campo di forze esterne

( n+1 preesistenti?f f+% ) o comunque dovrà esserci una differenza percentuale piccola.

2.1.2 Analisi statica equivalente (caso elastico-lineare) La soluzione del problema in termini dinamico-incrementali è senza dubbio completa ed esaustiva, tuttavia poco pratica: oltre ad un considerevole onere computazionale si deve aggiungere una indubbia dipendenza dallo specifico accelerogramma scelto. Ne consegue la necessità di operare con più storie temporali, nonché il problema della sintesi delle informazioni ottenute. Questo problema sarebbe molto semplice su un modello elastico-lineare ad un solo grado di libertà:

.. . ..

( ) ( ) ( ) ( )

2

m q t c q t kq t m u t

kT

mπ

ωω

+ + = −

= = (2.17)

dove m è la massa, c lo smorzamento, k la rigidezza, ü l’accelerazione della forzante mentre ω è la pulsazione e T il periodo naturale. La soluzione nel dominio del tempo può essere calcolata mediante l’integrale di Duhamel (Petrini et al., 2004) ; la soluzione esplicita u(t) permette di definire, in ogni istante temporale, una forza Fs=ku(t) detta forza statica equivalente tale che, se applicata al sistema, determini spostamenti uguali a quelli che deriverebbero dal problema differenziale. Tale forza coincide con la forza elastica di richiamo. Questo approccio è particolarmente vantaggioso poiché permette di ricondurre il sisma ad un carico statico. Inoltre ricordando la definizione di pseudo-accelerazione (tale valore coincide con l’accelerazione effettiva in assenza di smorzamento: Petrini et al., 2004) a(t)=ω2u(t) si avrebbe Fs=ma(t). Il calcolo di Fs ad ogni istante non è necessario, al contrario si può determinare direttamente il valore massimo della forza statica equivalente, in corrispondenza cioè della massima accelerazione:

max 2 max maxsF m u maω= = (2.18)

Applicando tale forza al sistema (per ora ad un solo grado di libertà) si ottengono gli spostamenti massimi indotti dal sisma; viene così condensato l’effetto di una storia temporale complessa ad un unico valore. Inoltre la conoscenza delle massime accelerazioni (o spostamenti) indotte da un segnale dinamico su un sistema ad un g.d.l. (grado di libertà) può essere sintetizzato negli spettri di risposta elastici , ovvero un diagramma che restituisce la massima accelerazione prodotta in funzione del periodo del sistema (a smorzamento fissato, di solito il 5%).


-1.00E-01

-8.00E-02

-6.00E-02

-4.00E-02

-2.00E-02

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

0 5 1 0 15 2 0

time (s)

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50

Figura 5 - Vibrogramma e spettro di accelerazione di un sisma.

Ciascun terremoto può essere sintetizzato in uno spettro, non solo ma è possibile costruire spettri che “inviluppino” le comportamenti di più sismi, andando cioè a coprire in modo più omogeneo le frequenze (la frequenza è l’inverso del periodo): questo approccio è seguito nella definizione degli spettri forniti dalle varie normative.

Accelerazione

T Tb Tc Td Figura 6 - Esempio di spettro di normativa (OPCM 3274 ed Eurocodice 8: i valori di Tb,Tc,Td sono definiti

in base al suolo considerato)

Mediante la definizione di spettro elastico si può riscrivere l’espressione precedente:

max E Es d aF kS mS= = (2.19)

dove EdS è lo spettro elastico di spostamento, e E

aS lo spettro elastico di accelerazione. Osservando la forma gli spettri si vede che per periodi molto bassi (tendenti a zero) la pseudo-accelerazione massima tende a coincidere con l’accelerazione del terreno, mentre lo spostamento relativo si annulla, ovvero la struttura è talmente rigida da seguire completamente il moto del suolo. Aumentando il periodo si ha una amplificazione dei valori fino ad un picco in corrispondenza della risonanza fra struttura e sisma; verso periodi elevati si osserva un annullamento dell’accelerazione relativa e la stabilizzazione dello spostamento sul valore al suolo: la struttura è talmente deformabile da rimanere “ferma” rispetto ad un sistema assoluto (accelerazione assoluta nulla, spostamento relativo uguale ed opposto al valore del terreno).


Il procedimento precedentemente descritto può essere generalizzato a strutture a n gradi di libertà ( g.d.l.); questa volta non si avrà un unico periodo naturale della struttura ma tanti periodi quanti sono i gradi di libertà, ciascuno associato ad una particolare configurazione deformata: essi sono i modi propri di vibrare e costituiscono le oscillazione periodiche libere del sistema in assenza di smorzamento. La configurazione del sistema in un istante generico può essere espressa mediante la combinazione lineare di tali modi. Il calcolo dei modi deriva da un’analisi modale del sistema (Petrini et al., 2004) da cui si desume inoltre, per ciascun modo, il coefficiente di partecipazione, ovvero il peso relativo di quella soluzione. Usualmente i primi modi sono i più significativi, tanto che è possibile esprimere, con sufficiente approssimazione, la risposta di un edificio mediante pochi modi. In particolare per strutture “pesanti” e “rigide” come gli edifici in muratura, può essere sufficiente un modo solo. La conclusione di questo procedimento è ancora l’applicazione di una forza statica all’edificio in “sintesi” di una forzante dinamica.

2.1.3 Analisi statica e modellazione non lineare Il limite dell’approccio sopra descritto è l’approssimazione di linearità, poco coerente sia con il materiale muratura sia con la logica progettuale di un’analisi sismica: ipotizzare che una struttura permanga in campo elastico durante l’azione del terremoto comporta un evidente sovradimensionamento della stessa. In realtà un edificio, danneggiandosi durante il terremoto, dissipa una certa quantità di energia, riducendo così l’effetto del sisma; una struttura elastica, al contrario può contare solo sulla dissipazione viscosa. Complessivamente l’edificio, pur danneggiato, potrà sopportare sismi elevati, a cui sarebbero state associate, in campo elastico, forze statiche equivalenti ben superiori alla resistenza effettiva del manufatto; tuttavia le deformazioni, in fase anelastica, saranno superiori a quelle di un corrispondente sistema elastico; Le capacità di deformarsi oltre il limite elastico viene quantificata mediante la duttilità : ovvero il rapporto fra la deformazione corrente anelastica e la deformazione misurata al termine della fase elastica.

spostamento anelastico

spostamento limite elasticotot

y

dd

µ = = (2.20)

Spostamento

F y Resistenza

d y d tot

tot y

d d µ =

Figura 7 - Duttilità


Diventa necessario elaborare un modello per estendere i risultati di un’analisi statica ad un sistema non lineare, in particolare cercando di correlarvi la risposta di un corrispondente sistema elastico lineare. Se si operasse su un sistema ad un solo g.d.l., descritto da un legame elastico perfettamente plastico, si potrebbe pensare di esplicitare la duttilità in modo da definire degli spettri anelatici, ovvero dei valori massimi di accelerazione ( A

aS ) o spostamento ( AdS ) indotti dal sisma sul sistema

anelastico. Al variare del periodo proprio della struttura si considerino tre situazioni tipo:

• Struttura flessibile: ovvero periodi propri più elevati del periodo dominante del sisma; il caso limite, in campo elastico, è la struttura infinitamente flessibile in cui lo spostamento relativo coincide con lo spostamento al suolo e l’accelerazione relativa è nulla: in tale situazione lo spostamento di un sistema anelastico sarebbe molto prossimo a quello del corrispondente sistema elastico. La duttilità sarà il rapporto fra lo spostamento massimo raggiunto dal sistema anelastico max

au (circa uguale a quello del sistema elastico) e lo spostamento a snervamento yu :

max maxA E E

d

y y y

u u Su u u

µ = = = (2.21)

Lo spettro anelastico di spostamento coinciderà con il corrispondente elastico: E Ad dS S=

F

D d y d max = µ d y

F E

F y

max

F A max

Figura 8 - Strutture “flessibili”

La massima forza Fy corrispondente allo snervamento è associata allo spostamento uy

mediante la relazione di rigidezza y yF kd= , inserendo la duttilità si ha maxy

dF k

µ= ovvero,

utilizzando la definizione di spettro e le relazioni di pseudospettro: E Ed a

y

mS mSF

µ µ= = .

Ricordando che la forza massima dell’oscillatore elastoplastico, una volta in campo non lineare, è proprio Fy (snervamento) vi si può associare l’accelerazione anelastica

EA a

y amS

F mSµ

= = riuscendo dunque ad esprimere lo spettro anelastico di accelerazione in

relazione alla duttilità del sistema:

E

A aa

SS

µ= (2.22)


Il rapporto fra forza elastica massima e forza anelastica massima sarà proprio la duttilità:

max

max

E Ea

A Aa

F mSR

F mSµ= = = (2.23)

• Struttura molto rigida: il periodo proprio della struttura tende a zero, ovvero il sistema è solidale al terreno e ne partecipa l’accelerazione; la forza associata è quindi data dal prodotto massa per accelerazione al suolo equivalentemente alla risposta elastica in accelerazione:

A Ea aS S= (2.24)

Lo spostamento relativo tende ad annullarsi, e la duttilità della struttura non garantisce ulteriori margini al sistema che verrà trattato come elastico, pertanto anche lo spostamento elastico ed anelastico coincideranno, ed il rapporto fra forza elastica massima e forza anelastica massima sarà unitario:

1

A Ed dS S

R

==

(2.25)

• Strutture risonanti: il periodo proprio della struttura è prossimo al periodo dominante del

sisma si pertanto una situazione di risonanza, con amplificazione della risposta. Si può assumere che lo spostamento massimo del sistema anelastico e lo spostamento del sistema elastico corrispondente siano associati alla stessa energia, ovvero vi sia eguaglianza fra le aree sottese (il prodotto forza per spostamento esprime un lavoro e quindi un’energia):

( ) ( ) ( )max max max max max max12

E A E A A EyF F d d F d d− − = − (2.26)

F

Fy

F Emax

F Amax

dy DdmaxE dmax

A

F

Fy

F Emax

F Emax

F Emax

F Amax

F Amax

dydy DdmaxE dmax

AdmaxA

Figura 9 - Struttura “risonante”

Ricordando le relazione di rigidezza elastica ( max max,E Ey yF kd F kd= = ), la definizione di

spettro elastico e di duttilità si può riscrivere (Petrini et al, 2004):


max max

12 1

A EF Fµ

=−

(2.27)

essendo max max,E E A Aa aF mS F mS= = risulta:

2 1

2 1

EA aa

SS

R

µ

µ

=−

= −

(2.28)

Resta da generalizzare quanto visto per strutture ad n g.d.l.: il questo caso, in termini elastici, la risposta dinamica della struttura è descritta mediante la sovrapposizione delle forme modali. Un approccio più semplice è lo studio del sistema, assunto elastico, risolto applicando separatamente un campo di forze, calcolato in ragione dei periodi dell’analisi modale, e ridotto secondo il coefficiente R (in tale metodo si assume, a priori, una “duttilità” specifica per il sistema). I risultati verranno opportunamente combinati. Tale approccio però non considera l’effettivo comportamento post-elastico della struttura. Utilizzando degli approcci di calcolo che tengano in conto le non linearità del modello si può invece pensare di cogliere in modo più preciso il meccanismo di danneggiamento dell’edificio, cercando di estendere il concetto di analisi statica equivalente anche al campo non lineare. I modelli di calcolo tradizionali elastici dovranno essere rivisti in chiave incrementale per seguire passo per passo il degrado dell’insieme; si dovrà inoltre combinare la tradizionale analisi in controllo forze con l’analisi in spostamenti per ottenere una descrizione di insieme (analisi pushover) capace di cogliere anche un degrado progressivo di resistenza dell’edificio (softening).

2.1.4 Analisi statiche non lineari, formulazione matriciale L’analisi statica di un modello numerico richiede la possibilità di risolvere un modello complesso, descritto da molti gradi di libertà, soggetto ad un campo di forze. Il problema si può vedere come un sistema di equazioni risolventi descritto in termini matriciali, mediante una matrice globale di rigidezza (usualmente indicata con lettera K), gli spostamenti nodali (x) ed i carichi agenti f. Questa struttura, opportunamente elaborata, permette di affrontare le principali tipologie di analisi necessarie.

• L’Analisi in controllo forze, in campo elastico, è diretta applicazione dei principi della scienza delle costruzioni: individuati i gradi di libertà (g.d.l.) identificanti la struttura e nota la matrice di rigidezza è imposto un campo di forza arbitrario e sono vincolati alcuni spostamenti. Imponendo l’equilibrio rispetto ad ogni g.d.l. troviamo un sistema lineare di n equazioni in n incognite, facilmente risolvibile mediante un approccio matriciale.

1,1 1, 1 1

1, ,

=

LLOL M M

L

n

n n n n n

k k x f

k k x f (2.29)

LL LV L L

VL VV V V

=

K K x fK K x f

(2.30)


Il sistema viene risolto separando i gradi di libertà vincolati (xV) da quelli liberi (xL), reali incognite del problema: assumendo vincoli bilateri perfetti (xV=0):

1L LL L

−=x K f (2.31)

La struttura fisica della materia fa sì che oltre un certo valore (snervamento ovvero il limite elastico) della forza applicata si abbia un decadimento della rigidezza; è quindi possibile apprezzare il comportamento di una struttura oltre il limite elastico osservando la progressiva perdita di rigidezza sino al raggiungimento della condizione limite di rottura.

∆F

∆s

F

F y

D

y

F max

d y D d u Figura 10 - Comportamento non lineare

Applicando ulteriori incrementi di forza non è possibile superare la resistenza massima offerta dal materiale, oltre questo limite si perderebbe l’unicità della soluzione (solo l’analisi in controllo di spostamenti permette di analizzare questa fase). La risoluzione del problema nel caso intervenga la non linearità del legame è più complessa: il sistema è ancora costituito dalle n equazioni di equilibrio, ma queste non sono più lineari: la soluzione è ottenuta considerando incrementi successivi di carico e valutando iterativamente la convergenza. Lo stato di spostamento è generalmente descritto da una funzione non lineare di x, e si valuta l’incremento di carico supponendo, in via approssimata si suppone che il singolo passo sia lineare (ovvero ∆f(x)=Κ ∆x) correggendone poi il valore; per questa ragione risulta opportuno riscrivere il sistema elastico risolvente in termini incrementali:

∆ ∆

= ∆ ∆

LL LV L L

VL VV V V

K K x f

K K x f (2.32)

1−∆ = ∆L LL Lx K f (2.33)

L’analisi elastica fornirà dunque un ∆x che sommato al precedente stato di spostamento darà un vettore x di tentativo (sia x0 il vettore degli spostamenti al passo precedente):

∆0x=x + x (2.34)

E’ nota a priori la funzione di legame flegame(x), è pertanto possibile verificare la correttezza dello spostamento calcolando la differenza fra la forza applicata ai g.d.l. liberi, che è nota, e


la flegame(x) : questa differenza sarà nulla se il passo è stato elastico, lascerà forze squilibrate se ciò non è accaduto. A questo punto si utilizzerà il metodo di Newton-Ramphson per giungere iterativamente al valore corretto. Mediante il controllo forze è inoltre possibile aggiungere ulteriori carichi gravanti in modo puramente statico, prima di effettuare analisi dinamiche o statiche non lineari.

• L’analisi in controllo di spostamenti prevede la determinazione dello stato di spostamento e delle reazioni vincolari, assegnando un valore arbitrario ad un certo numero di gradi di libertà. Si avranno così spostamenti imposti nulli (quelli che nel controllo forze erano g.d.l. vincolati) e spostamenti imposti a valori diversi da zero. Imponendo un campo di spostamento piuttosto che un campo di forze è possibile apprezzare il decadimento di una struttura oltre la sua resistenza massima: ovvero raggiunta questa condizione limite il materiale non potrà sopportare incrementi di carico, ma potrà sopportare ulteriori incrementi di deformazione a patto di ridurre le forze applicate.

∆s2

F

s∆s1

∆F1

∆F2

Figura 11 - Curva forza-spostamento in controllo spostamenti

La struttura matriciale del problema elastico è simile alla precedente, ma su alcuni gradi di libertà (xI) verranno imposti spostamenti non nulli e pertanto se ne dovrà tenere conto nella soluzione del problema: saranno separati i g.d.l. liberi, imposti e vincolati.

1 1

LL LI LV L L

IL II IV I I

VL VI VV V V

L LL L LL LI I− −

=

= −

K K K x fK K K x fK K K x f

x K f K K x

(2.35)

In termini non lineari si avrà nuovamente una riscrittura in termini incrementali.

• Un’analisi pushover è un’analisi statica monotona, condotta in controllo di spostamenti,

sottoponendo la struttura ad una distribuzione di forze orizzontali i cui rapporti relativi vengono mantenuti invariati (variando ovviamente la risultante totale) al crescere degli spostamenti. In pratica si controlla lo spostamento orizzontale di un punto (un nodo della struttura, il punto di applicazione della risultante, etc.) imponendo che gli spostamenti orizzontali dei vari piani assumano valori tali da far corrispondere la deformata a quella conseguente all’applicazione delle forze orizzontali di piano secondo l’assegnata distribuzione. Tale procedimento è ottenuto attraverso operazioni matriciali che isolano il grado di libertà controllato e operano sulla matrice di rigidezza in modo da imporre analiticamente il rapporto di forze richiesto (Galasco et al., 2001) riportate in sintesi di seguito.


Sia fL il vettore delle forze relativo alle m coordinate libere:

1

Lf ?

m

f fλ

λ

= =

M (2.36)

la grandezza scalare f definisce l’ampiezza del campo di forze ed è un’incognita interna al problema, mentre le componenti λ1..m modulano i rapporti fra le forze: ovviamente non è necessario che tutti gli elementi di λ siano diversi da zero, ovvero il campo di forze della pushover coinvolgerà solo un certo numero di g.d.l. Si esegua una reindicizzazione del sistema in modo che lo spostamento da controllare (master) risulti in posizione m; sia x il valore da imporre:

1,1 1 1, 1 1 1, 1, 1 1 1,

2,1 1 2, 1 1 2, 2 , 1 1 2,

,1 1 , 1 1 ,

... ..

... ....................................................................

...

L L V Vm m m m m n n

L L V Vm m m m m n n

L Lm m m m m m

k x k x k x k x k x

k x k x k x k x k x

k x k x k x

− − + +

− − + +

− −

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + +

1

2

, 1 1 ,

11,1 1 1, 1 1 1, 1,

,1 1 , 1 1 , ,

..

... ....................................................................

... ..

V Vmm m m m n nVL L V

mm m m m m m m n n

L L Vn n m m n m n n n

ff

fk x k xfk x k x k x k x

fk x k x k x k x

λλ

λ+ +

++ + − − + +

− −

==

=+ +=+ + + + +

=+ + + + +

……

……V

n

(2.37)

Si sottragga da ciascuna delle prime m-1 righe la riga m moltiplicata per i

m

λλ , dove l’indice

i indica la riga in esame:

1 1 11,1 1 ,1 1 1, , 1, ,

2 2 12,1 1 ,1 1 2, , 2, ,

,1 1

... ..

... ..

....................................................................

L L V Vm m m m n n m n n

m m m

L L V Vm m m m n n m n n

m m m

Lm

k x k x k x k x k x k x

k x k x k x k x k x k x

k x

λ λ λλ λ λλ λ λλ λ λ

− + + − + + −

− + + − + + −

+

1

, 1 1 , , 1 1 ,

1,1 1 1, 1 1 1, 1,

,1 1 , 1 1 , ,

. ..... ..

..................................................................... ..

L V Vm m m m m m m m m n n

L L Vm m m m m m m n n

L L Vn n m m n m n n n

f

k x k x k x k xk x k x k x k x

k x k x k x k x

λ

− − + +

+ + − − + +

− −

=

+ + + + ++ + + + +

+ + + + +

1

22

1

0

0

mm

mm

mV

m

Vn

f

f f

ff

f

λλ

λλ

λ λλ

λ

+

− =

= − = =

= =

……

……

(2.38)

in questa maniera si elimina la dipendenza dalla variabile interna f. Considerando il sistema risolvente, in termini matriciali, si ha una relazione simile a quella relativa al controllo spostamenti (con la semplificazione che vi è un unico spostamento imposto):


K K K x 0K K KK K K x f

LL LI LV L

IL II IV m

VL VI VV V V

x fλ

=

% % % (2.39)

dove i termini “tildati” indicano l’avvenuta sottrazione della riga m, la matrice K LI% è in realtà

un vettore di una riga ed m-1 colonne, le matrici K IL e K IV degenerano in un vettore di m-1 righe ed una colonna, il termine K II corrisponde allo scalare km,m.

Il sistema risolvente sarà ottenuto dalle prime m-1 righe:

K x K K x 0LL L LI LV Vx+ + =% % % (2.40)

ovvero 1x K KL LL LI x−= − % %

La stessa trattazione, in termini incrementali, consentirà di risolvere il problema in presenza di un legame non lineare. Ovviamente, rispetto ad un’analisi statica incrementale in controllo forze, l’analisi pushover consente di cogliere anche il tratto di softening dopo il raggiungimento della resistenza massima e di seguire l’instaurarsi del meccanismo di collasso. La scelta della distribuzione di forze è un passo molto importante per la realizzazione di analisi pushover: assumere distribuzioni diverse, nell’ambito di quelle ragionevoli, non produce grandi variazioni in termini di resistenza, ma può influire notevolmente sul meccanismo di collasso, come sarà descritto approfonditamente nei capitoli seguenti.

Questa procedura è utilizzata per eseguire analisi statiche non lineari coerentemente con quanto prescritto nelle normative più recenti, inoltre la curva ottenuta mediante l’analisi pushover fornirà importanti informazioni sui meccanismi di collasso permettendo di calcolare la curva di capacità (come sarà descritto nel Capitolo 5). Questo tipo di approccio ha permesso una nuova metodologia progettuale basata sulla correlazione fra evento sismico ed accettabilità del danno atteso (criterio prestazionale).

2.2 Metodologie normative di analisi sismica I criteri di progettazione antisismica sono suddivisibili in due categorie principali: il cosiddetto “Force-Based Design” (approccio tradizionale tipico seguito nelle normative meno recenti) ed il “Performance-Based Design” (entrato più recentemente nel panorama normativo Europeo nell’Eurocodice 8, ed Italiano nella nuova ordinanza sismica) . Il primo metodo applica direttamente l’analisi statica equivalente riconducendo il problema ad una verifica degli elementi strutturali del modello. La dissipazione indotta dalle plasticità è considerata mediante una riduzione delle forza statica di verifica, in tal modo è però difficile correlare al sisma lo stato effettivo di danno prodotto nell’edificio. Pur eseguendo verifiche locali di duttilità, rispetto a parametri sperimentali, per prevenire collassi locali che metterebbero a rischio la vita degli occupanti, non risulta tuttavia possibile quantificare precisamente la condizione dell’edificio al termine dell’evento. Una progettazione più razionale e consapevole è possibile con un approccio prestazionale, capace cioè di correlare il sisma agente allo stato di danno indotto ovvero, in fase progettuale, a dimensionare un edifico in ragione della funzione che verrà richiesta al termine del terremoto:


completa operatività se trattasi di edificio strategico, quale ospedale o centrale operativa, oppure unicamente salvaguardia delle vite umane se adibito ad abitazione.

2.2.1 Progettazione tradizionale (“Force-Based Design”) I punti che costituiscono lo scheletro di questo stile di progettazione sono:

• calcolo delle sollecitazioni indotte dal terremoto (forze inerziali) e confronto con le sollecitazioni massime ammissibili dalle resistenze dai materiali delle sezioni

• verifica, a posteriori, che gli stati deformativi rientrino in valori accettabili (al fine di evitare crisi locali per la sicurezza degli esseri umani presenti internamente all’edificio)

Il “Force-Based Design” è il metodo di impostazione tradizionale secondo la quale il sisma viene simulato attraverso l’applicazione di condizioni di carico identificabili con forze d’inerzia che il terreno trasferisce alla struttura. L’azione del terremoto sarà pertanto rappresentata dall’azione combinata di forze orizzontali e verticali calcolate mediante opportuni spettri forniti dalle normative medesime che terranno in conto, in modo forfetario, degli effetti dovuti alle dissipazioni isteretiche. La verifica consisterà nell’accertarsi che tali forze generino sulla struttura sollecitazioni quanto meno inferiori alla resistenza dei materiali (usualmente considerando uno stato limite ultimo). Questo metodo, pur consolidato da decenni di applicazioni, ha un’evidente lacuna nella non correlazione delle forze agenti al danno; ovvero la duttilità complessiva è assunta a priori in ragione alla tipologia strutturale ed a assunzioni sulla duttilità locale degli elementi. Alla fine dell’analisi si procederà ad un controllo sugli spostamenti presenti per verificarne la coerenza con le ipotesi di legame assunto, ma questo non corrisponde ad una reale valutazione dello stato di danno. Questa progettazione non permette, quindi, di sfruttare con consapevolezza le risorse del materiale, ne di prevedere con precisione gli effetti di un dato sisma.

2.2.2 La progettazione Prestazionale (“Performance-Based Design”) L’approccio prestazionale è derivato da una corretta applicazione del concetto di stato limite, come condizione di danno nella struttura che consente lo svolgimento delle funzioni per le quali è progettata. Benché la progettazione strutturale agli stati limite sia stata per la maggior parte sviluppata ed applicata in Europa, la progettazione sismica prestazionale è stata accettata a livello internazionale grazie al grande sviluppo del cosiddetto Displacement-Based Design (Moehle, Priestley) ovvero un approccio progettuale che consideri direttamente gli spostamenti, sicuramente indicatori più attendibili del danneggiamento strutturali. Questa metodologia, sviluppata nel corso degli novanta, soprattutto da Priestley, Moehle, Calvi, Kowalski, è stata fatta propria, in sede legislativa, dalle più recenti normative (Comartin et al. 2004; Fajfar, 2005), attualizzandole così alla ricerca. I punti salienti del metodo sono:

• Scelta della livello prestazionale richiesto in relazione all’uso dell’edificio e rispetto ad eventi sismici di differente probabilità

• Progettazione degli elementi resistenti in ragione del livello prestazionale assunto • Verifica diretta dello duttilità attraverso lo stato di spostamento del modello

Questa progettazione prevede la consapevole scelta di un livello accettabile di danno determinato in base ad aspetti di tipo sociale, funzionale (destinazione d’uso, importanza per la collettività, etc) e al contempo statistici (probabilità sismica e rischio sismico): ovvero per edifici di importanza strategica si dovrà garantire la funzionalità anche per sismi di rilevante accelerazione (e dunque di scarsa probabilità poiché associati a periodi di ritorno più elevati), mentre per edifici civili si può


scegliere di garantire unicamente la sopravvivenza degli abitanti. Per sismi freque nti si vorrà evitare un danneggiamento eccessivo, che comporterebbe spese importanti per il ripristino: fondamentale in questo tipo di analisi risulta, dunque, la componente probabilistica correlata al rischio sismico inoltre questa metodologia richiede la determinazione dello stato reale di danno ovvero si parte dalla scelta prestazionale (ad esempio incolumità per sismi elevati) per gestire l’intera progettazione. L’approccio è concettualmente molto diverso da quanto visto prima. L’analisi prestazionale richiede l’utilizzo delle caratteristiche proprie dei materiali cercando di favorirne il comportamento duttile; la duttilità complessiva deriva della duttilità locale, ma viene ora calcolata direttamente (solitamente medianti analisi di pushover, come descritte nel paragrafo 2.1.4), così come il meccanismo finale di collasso. In definitiva la progettazione sismica prestazionale si basa su un uso più intuitivo e controllato delle risorse di duttilità e spostamenti in campo anelastico attraverso modelli locali e globali capaci di cogliere il comportamento non lineare del materiale; in particolare la muratura presenta un comportamento complessivo marcatamente non lineare, associato a fenomeni difficilmente riconducibili a modelli elastici (a differenza di acciaio e calcestruzzo armato); questo fatto ha prodotto, nel corsi degli anni, lo sviluppo di molteplici metodologie di analisi non lineare che saranno in sintesi presentate nel paragrafo seguente.

2.3 Strategie di modellazione Una panoramica sulle metodologie di modellazione ed analisi della risposta sismica delle costruzioni in muratura inizia necessariamente dai modelli più semplici forniti dalla scienza delle costruzioni: i meccanismi di collasso, di primo e secondo modo, possono essere studiati col metodo dell’analisi limite dell’equilibrio. Per i meccanismi di II modo (Como e Grimaldi, 1986) il metodo si dimostra però eccessivamente cautelativo, riuscendo a cogliere solamente un limite inferiore di resistenza residua per la parete. I metodi tipo POR (Tomazevic, 1978; Braga e Dolce, 1982), con le successive evoluzioni (Dolce, 1989; Fusier e Vignoli, 1993), propongono invece un’analisi non lineare statica incrementale semplificata: ipotizzando a priori un meccanismo di collasso di piano, sono limitati dall’ipotesi di avere orizzontamenti rigidi. Tali metodi sono utili nel caso del progetto di nuovi edifici o nella valutazione della vulnerabilità di costruzioni su cui siano stati eseguiti interventi di adeguamento sismico. Un’alternativa a questi metodi, che rimuove alcune delle restrittive ipotesi dei metodi tipo POR, è rappresentata dai modelli a macroelementi: in questo caso le pareti vengono assimilate a telai equivalenti in cui elementi deformabili (maschi murari e fasce di piano) collegano nodi rigidi (porzioni di muratura in cui non si riscontra generalmente danneggiamento). Questi macroelementi sintetizzano danneggiamenti, rottura, scorrimenti e rotazioni in zone precostituite sulla base di assunzioni meccaniche ed implementazione di legami non lineari più o meno sofisticati. Generalmente questi modelli (Braga e Liberatore, 1991; D’Asdia e Viskovic, 1994; Gambarotta e Lagomarsino, 1996; Magenes e Della Fontana, 1998) consentono analisi non lineari incrementali a collasso di singole pareti o, più raramente, di interi edifici tridimensionali con orizzontamenti rigidi. L’alternativa dei modelli di dettaglio ad elementi finiti o discreti appare possibile, benché onerosa, e vantaggiosa solo nel campo della ricerca e nel caso particolare dell’edilizia monumentale. In questo paragrafo viene sintetizzato il panorama delle possibili strategie di modellazione non lineare per le costruzioni in muratura.


2.3.1 Analisi limite dell’equilibrio Una panoramica sulle metodologie di modellazione ed analisi della risposta sismica delle costruzioni in muratura inizia necessariamente dai modelli più semplici forniti dalla scienza delle costruzioni: i meccanismi di collasso, di primo e secondo modo, possono essere studiati col metodo dell’analisi limite dell’equilibrio. Grazie all’ipotesi di non resistenza a trazione ed in genere all’approssimazione di infinita resistenza a compressione è possibile ricondurre la parete in muratura ad una catena cinematica di corpi rigidi in cui la configurazione del sistema è funzione di un’unica grandezza lagrangiana, lo spostamento di un punto. Ipotizzato il cinematismo, dunque, il sistema si traduce in un sistema ad un grado di libertà equivalente in cui un moltiplicatore orizzontale statico dei carichi è calcolato in corrispondenza della soglia di attivazione del meccanismo. Tale moltiplicatore rappresenterebbe, sotto l’ipotesi di comportamento perfettamente rigido sino all’attivazione, il valore in unità di g dell’accelerazione orizzontale di collasso associata a quel meccanismo.

Figura 12 - Cinematismi di collasso del maschio murario (Como e Grimaldi, 1985)

Nel caso di meccanismi di I modo (Giuffré, 1993) questo metodo porta a valutazioni accettabili della vulnerabilità (in particolare in relativo nella valutazione dell’efficacia di interventi di miglioramento sismico). Per i meccanismi di II modo (Como e Grima ldi, 1986, Abruzzese et al., 1992) il metodo si dimostra invece eccessivamente cautelativo, riuscendo a cogliere solamente un limite inferiore di resistenza residua per la parete associata ai meccanismi di ribaltamento. Questo metodo si limita al calcolo del carico di collasso e del relativo meccanismo associato, non si studia la deformabilità della struttura in fase elastica e post-elastica, in quanto ci si riconduce in sostanza ad uno studio di equilibri e cinematismi di corpi rigidi. Applicazioni di questo metodo a cinematismi complessi si sono tuttavia dimostrate utili per valutazioni della vulnerabilità e del miglioramento sismico conseguito a seguito di interventi di consolidamento (Gurrieri, 1999). Per particolari classi di edifici, quali l’edilizia ecclesiastica e monumentale, per cui è effettivamente atteso un comportamento per parti, l’applicazione di questa metodologia ad ampie porzioni della costruzione (dette “macroelementi”) assume una valenza rigorosa come guida al progetto di restauro statico (Lagomarsino et al., 1999).

2.3.2 Modelli a puntone equivalente In alternativa a questo approccio di calcolo si trova un’ampia casistica di modelli che considerano deformazioni in campo elastico, eventualmente seguite da deformazioni anelastiche. Nell'ambito di questa più ampia famiglia di modelli, se ne possono successivamente individuare alcuni che mantengono una modellazione bidimensionale dei pannelli murari, in alternativa ad una modellazione monodimensionale, in cui si ipotizza di isolare degli elementi murari (maschi, fasce) idealizzabili come travi tozze con comportamento non lineare oppure come bielle (puntoni).


Figura 13 - Pannello murario idealizzato attraverso un puntone eq uivalente

Nel caso dei modelli con elementi monodimensionali la classe dei modelli basati sull'idealizzazione a biella o a puntone (Calderoni et al., 1987 e 1989) si propone di modellare la porzione reagente del pannello murario mediante un elemento biella la cui inclinazione e la cui rigidezza riproducano in media il comportamento del pannello (Figura 13). Poiché al crescere della parzializzazione consegue una variazione delle proprietà geometriche della biella equivalente (inclinazioni, dimensioni della sezione), anche questi metodi sono classificabili come "a geometria variabile". La crisi dei singoli pannelli è associata al raggiungimento di una configurazione limite di equilibrio oppure alla rottura per compressione del puntone.

Figura 14 - Schematizzazione di una parete con modello a puntoni equivalenti

2.3.3 Metodi tipo POR Un'altra classe di modelli schematizza la struttura come assemblaggio di elementi monodimensionali costituiti da travi deformabili a taglio. In questo ambito sono stati proposti sia elementi a rigidezza


variabile, basata sul calcolo in sezione parzializzata (Braga e Dolce, 1982), che elementi a rigidezza costante in fase elastica, a cui segue una fase di deformazione plastica (Tomazevic, 1978 , Dolce, 1989, Tomazevic e Weiss, 1990). In quest'ultimo caso la nonlinearità del comportamento è innescata dal raggiungimento di una condizione limite di resistenza. Gran parte dei metodi basati sul "meccanismo di piano" (fra cui il POR) rientrano in questa classe di modelli.

Figura 15 - Curva di capacità della struttura ottenuta col metodo POR come somma di quella delle singole

pareti

Un ulteriore importante elemento di distinzione fra i metodi consiste nel numero dei possibili meccanismi di comportamento anelastico, ed in particolar modo dei meccanismi di rottura dei singoli elementi e del complesso strutturale, di cui si discuterà più in dettaglio nei capitoli seguenti. È il caso di ricordare il noto metodo POR i cui limiti principali, nella sua versione originale (Tomazevic, 1978), consistevano nel considerare i maschi murari come unica sede di deformazioni e di rotture, senza valutare l'eventualità della rottura di altri elementi quali le fasce e nell'ipotizzare un solo possibile meccanismo di rottura dei maschi murari (rottura per taglio con fessurazione diagonale), trascurando le rotture per ribaltamento o per scorrimento. Successive proposte di miglioramento del metodo (Dolce, 1989; Tomazevic e Weiss, 1990) hanno introdotto opportuni criteri di rottura aggiuntivi per tener conto di possibili altre modalità di collasso per i maschi. Non è stato invece possibile superare, per la natura stessa della formulazione del metodo, il limite di considerare solamente collassi di piano. Infatti il modello ha alla base questa ipotesi ed esegue una analisi non lineare taglio-spostamento separatamente per ogni interpiano. Tale approccio, che semplifica enormemente i calcoli, non può tuttavia prendere in considerazione il problema del calcolo delle sollecitazioni delle fasce se non facendo eventualmente ricorso a calcoli molto approssimati (Braga e Dolce, 1982, Fusier e Vignoli, 1993). Tra l'altro, un'analisi taglio-spostamento interpiano richiede che vengano avanzate delle ipotesi sul grado di vincolo esistente alle estremità dei maschi. Tale grado di vincolo dipende dalla rigidezza e dalla resistenza degli elementi orizzontali di accoppiamento (fasce murarie e/o cordoli in c.a.), che sono sollecitati in modo crescente al crescere delle forze sismiche orizzontali, e che quindi sono suscettibili di fessurazione o rottura. E' evidente che questi fenomeni possono essere valutati in maniera sufficientemente accurata solamente con una analisi globale della parete multipiano o dell'edificio.


L'analisi globale dell'edificio è inoltre l'unica possibilità per evitare violazioni degli equilibri globali e locali: è stato posto in evidenza in più sedi come una analisi separata piano per piano non possa rendere conto delle variazioni di azione assiale nei maschi murari al crescere delle forze sismiche, che possono influire sulla rigidezza ma soprattutto sulla resistenza degli stessi. Il metodo, nonostante i limiti evidenziati, si è dimostrato di grande utilità pratica e costituisce, tra l’altro, il riferimento scientifico fondamentale e rigoroso a cui si rifà la Normativa Italiana per quanto riguarda la progettazione del nuovo e l’adeguamento sismico dell’esistente.

2.3.4 Modellazione di dettaglio (“f.e.m.”) Per l’analisi di pareti è anche possibile ricorrere a modellazioni di dettaglio agli elementi finiti (f.e.m.=finit element method) con legami costitutivi non lineari per il materiale muratura: prima della sperimentazione quasi statica sul prototipo di edificio in muratura in scala reale svoltasi a Pavia, ad esempio, è stata effettuata una “blind prediction” dei risultati nella quale sono stati utilizzati legami predefiniti in codici di calcolo (ANSYS, ADINA) e leggi costitutive appositamente studiate (Anthoine, Nappi e Papa, Gambarotta e Lagomarsino). Questi ed altri legami costitutivi sono disponibili per la modellazione continua del materiale muratura, ma questa strada appare destinata a restare un percorso di ricerca, che presenta oneri enormi nel passaggio dall’analisi statica di pareti all’analisi dinamica tridimensionale di interi edifici. Un analogo discorso riguarda la modellazione discreta ad elementi distinti (Cundall, 1988; Hart et al., 1988), altra possibile alternativa di modellazione, in particolare per la muratura a blocchi (molto utile ad esempio nella modellazione degli archi), che non incontra, tuttavia, l’esigenza sempre più emergente di un modello sintetico (tipicamente per macroelementi) che consenta analisi dell’intero edificio, anche in campo dinamico e considerando le effettive caratteristiche dei solai.

Figura 16 - Analisi di dettaglio con il metodo degli elementi discreti (Sincraian et al., 1998)

Queste tecniche sicuramente offrono risultati affidabili e più ricchi di informazioni – talvolta, proprio per questo, meno “leggibili” – ma, per complessità ed oneri, non sembrano destinate a divenire strumento di concreto utilizzo, al di fuori del campo della ricerca, se non per analisi di manufatti di particolare pregio (monumenti), il cui valore ne giustifichi l’impiego.


Figura 17 - Analisi sismica non lineare agli elementi finiti di una chiesa (Podestà, 2001)

2.3.5 Modelli a telaio equivalente Nell’ottica di utilizzare un modello di calcolo meno complesso dell’analisi puntuale “f.e.m.” ma comunque capace di cogliere i fenomeni principali connessi al degrado delle murature si colloca l’approccio a telaio equivalente: esso costituisce un notevole affinamento, rispetto ai metodi semplificati descritti in precedenza, ed è costituito dalla modellazione di pareti attraverso telai costituiti sulla formulazione non lineare di macroelementi rappresentativi delle caratteristiche dei pannelli in muratura. Questa classe di modelli ha in generale come ipotesi fondamentale il comportamento unilatero del materiale che conferisce quindi una rigidezza variabile all'elemento, in funzione dello stato di sollecitazione. Per comportamento unilatero si intende l'ipotesi di resistenza a trazione nulla, che può essere di tipo generalizzato (non si ammette trazione in qualunque giacitura) oppure limitato a giaciture particolari (orientate come i letti di malta). L'implementazione della condizione di "no tension" avviene quindi utilizzando tecniche che modificano la geometria degli elementi, al fine di eliminare le zone in trazione (D'Asdia e Viskovic, 1994), oppure mediante una opportuna formulazione del campo di sforzi all'interno del pannello (Braga e Liberatore, 1990).


Figura 18 - Cuneo reagente e sistema multi-cuneo del macroelemento di Braga e Liberatore

Considerando i due modelli appena citati, si nota che nelle zone compresse ovvero "reagenti" degli elementi vengono mantenute delle relazioni costitutive di tipo elastico lineare. Per tener conto di eventuali meccanismi di rottura quali ad esempio quelli legati allo schiacciamento della muratura compressa è quindi necessario introdurre delle verifiche sui valori massimi delle tensioni di compressione. Anche i meccanismi di rottura per taglio richiedono tuttavia dei controlli sulle tensioni, in quanto l'ipotesi di comportamento no-tension non è necessariamente cautelativa nei confronti di tali meccanismi. Nei due modelli citati si utilizzano quindi dei criteri di verifica della resistenza nei confronti di alcuni possibili meccanismi di rottura delle parti reagenti, e l'analisi viene interrotta se uno dei criteri risulta violato.

(a)

(b)

Figura 19 - Modello a macroelementi di D’Asdia e Viskovic: (a) maschio; (b) giunto


Figura 20 - Parete modellata con il modello D’Asdia-Viskovic

Tra i modelli a telaio equivalente si distingue poi il metodo SAM sviluppato presso l’Università di Pavia (Magenes e Calvi, 1996; Magenes e Della Fontana, 1998, Magenes, 2000). Questo metodo, nato per l’analisi di pareti multipiano caricate nel proprio piano, è stato successivamente esteso all’analisi di problemi tridimensionali. La parete viene suddivisa in elementi (maschi e fasce) e nodi rigidi, rappresentati da opportuni offsets alle estremità degli elementi. L’altezza dei maschi è determinata secondo i criteri proposti da Dolce (1989) per tener conto in maniera approssimata della deformabilità delle zone nodali, mentre la lunghezza delle fasce è determinata direttamente da quella delle architravi.

fascia

maschio

nodo

Figura 21 - Modello di parete con il metodo SAM


Il macroelemento maschio o fascia è formulato su base fenomenologica, considerando un comportamento lineare elastico fino al raggiungimento di un limite di rottura sulla base dei criteri di resistenza esposti nel capitolo precedente: per la rottura per flessione-ribaltamento si considera il taglio fornito dalla (1.1) con ? = 0.85; mentre per la rottura a taglio-scorrimento incorpora i criteri proposti da Magenes e Calvi (1997).

γϕ

i

j

θ = ϕ + γ i i

i

Figura 22 - Modello cinematico del macroelemento proposto nel metodo SAM

Il metodo SAM si è dimostrato strumento valido ed affidabile per l’analisi statica non lineare (pushover) di pareti e di sistemi tridimensionali (Magenes et al., 2001). I criteri di rottura introdotti dipendono però significativamente, almeno per i maschi, dal valore della compressione assiale agente nel singolo passo di carico ed andrebbero perciò ricalcolati attraverso una procedura iterativa.

γ

V

Vu

γ = θ − ϕ u

γ

V

Vu

γ γ 1 2

α Vu

(a) (b)

Figura 23 - Metodo SAM: comportamento elastoplastico di maschi (a) e fasce (b)

Una discussione a parte merita infine il modello a macroelementi sviluppato presso l'Università di Genova (Gambarotta e Lagomarsino, 1996; Brencich e Lagomarsino, 1997). I1 modello si distingue da quelli citati in quanto, sebbene possa essere utilizzato per l'analisi non lineare statica, esso mira,


attraverso una formulazione su base meccanica, alla modellazione del comportamento ciclico delle pareti in muratura, riuscendo a cogliere i fenomeni di degrado e dissipazione connessi. Il metodo, con un’opportuna calibrazione dei parametri del legame costitutivo, permette di ottenere risultati confrontabili con la sperimentazione o con metodi di analisi più raffinati. La capacità di riprodurre la risposta ciclica con oneri computazionale limitati rende il metodo uno strumento utile e versatile sia nella ricerca che nelle applicazioni pratiche. Questo modello, che è il punto di partenza di questo lavoro, sarà illustrato nella sua formulazione generale nel prossimo paragrafo e nella struttura di legame, in modo approfondito nel capitolo seguente.

2.4 Modellazione a telaio equivalente L’analisi delle strategie di modellazione disponibili per le strutture in muratura, sintetizzata in questo capitolo, ha evidenziato come solo alcuni degli aspetti fondamentali della risposta siano colti attraverso le modellazioni semplificate. In particolare emerge l’esigenza di un modello che sia in grado di riprodurre il comportamento tridimensionale degli edifici in muratura, tenendo conto dell’interazione delle varie parti e delle loro non linearità. Il modello deve essere in grado di simulare la risposta statica, sia monotona sia ciclica, e, soprattutto, deve consentire di analizzare il comportamento dinamico. Il modello a macroelementi di Gambarotta e Lagoma rsino, grazie alla sua capacità di simulare meccanicamente i meccanismi di danno tipici della muratura, sembra poter essere un valido punto di partenza per lo sviluppo di un modello sintetico per la modellazione di interi edifici in muratura. Come già anticipato nel paragrafo precedente la modellazione a telaio equivalente si basa sull’ipotesi che la parete possa essere considerata come un insieme di maschi murari verticali ed architravi orizzontali; tale semplificazione è giustificata dall’osservazione dei danni subiti da pareti in muratura dovute ad azioni sismiche: si rileva come solo alcune parti della parete, fasce di piano e maschi murari, siano soggette a danneggiamento e rottura, mentre nelle zone di connessione tra fasce e maschi si riscontra l’assenza di sistematici fenomeni di danno: ciò consente di supporre che lo stato deformativo si mantenga sempre entro i limiti elastici e, quindi, possa essere considerato trascurabile nella valutazione complessiva della parete in cui sono determinanti le deformazioni non lineari delle altre parti. Su questa base è possibile formulare procedure semplificate di analisi in cui maschi murari e fasce vengano rappresentate da un unico elemento finito, detto macroelemento, individuato da un limitato numero di gradi di libertà. La formulazione completa del macrolemento non lineare a 8 gradi di libertà, nella versione proposta da Gambarotta e Lagomarsino nel 1996 (Gambarotta & Lagomarsino ,1996) e successivamente integrata da Penna (Penna, 2002), verrà presentata in dettaglio nel prossimo capitolo insieme alla versione semplificata, a 6 gradi di libertà, che recepisce i requisiti minimi di non linearità richiesti dalla nuova ordinanza sismica. Indipendentemente della formulazione specifica del legame non lineare, gli elementi base della trattazione a telaio equivamente sono elementi monodimensionali (equivalenti a travi) piani, che incidono su nodi bidimensionali, forniti cioè di tre gradi di libertà: traslazione orizzontale, verticale e rotazione. L’intera parete viene modellata mediante l’assemblaggio dei macroelementi connessi mutualmente da blocchi rigidi; si realizzano così dei modelli che, avendo un numero limitato di gradi di libertà, consentono di rappresentare la risposta di una parete muraria soggetta ad azioni statiche (monotone o cicliche) e dinamiche, con un onere computazionale modesto. L’affidabilità di questi modelli è ovviamente legata alla capacità di descrivere i fenomeni di danno che si manifestano nelle murature; il singolo macroelemento deve, cioè, essere capace di descrivere le fondamentali modalità di collasso della muratura: ribaltamento e rottura a taglio e deve inoltre cogliere il livello di degrado


presente. Affiancando questi elementi si deve poter modellare la risposta di un’intera parete soggetta ad un’azione statica o dinamica constatando quali parti collassino prima e secondo quale modalità.

2.4.1 Modellazione della parete (costruzione del telaio) Una parete deve essere schematizzata distinguendo nodi ed elementi in modo da formare un telaio; gli elementi possono essere sia fasce sia maschi murari, mentre i nodi possono essere sia puntuali sia dotati di una propria geometria non deformabile (le zone indeformabili presenti fra maschi e fasce sono modellati mediante nodi rigidi). Considerati gli assi baricentrici degli elementi, questi potrebbero non coincidere con il nodo, nei blocchi rigidi si potrà quindi verificare un’eccentricità tra il nodo del modello e quello dell’elemento deformabile.

Figura 24 – Estremi rigidi eccentrici rispetto agli estremi del macroelemento

Considerando i nodi 1 e 2 distinti dagli estremi i e j del macroelemento (come si vede nella figura precedente) si possono scrivere le seguenti relazioni cinematiche (si sfrutta l’ipotesi di piccoli spostamenti che permette di confondere seno e tangente con l’angolo stesso):

1

1

1

2

2

2

i i i

i i i

i

j j j

j j j

j

u u yw w x

u u y

w w x

ϕϕ

ϕ ϕϕ

ϕϕ ϕ

= − ∆ = + ∆ = = − ∆ = + ∆

=

(2.41)

In termini matriciali questa operazione può essere svolta mediante una matrice De scritta come:


1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

i

i

j

j

yx

yx

−∆ ∆

−∆ = ∆

eD . (2.42)

La matrice di rigidezza elastica dell’elemento Ke ed il vettore delle azioni nodali q verranno modificati attraverso le matrici De di estremo rigido. La modellazione di elementi orizzontali, come le fasce (intese appunto come maschi ruotati) richiede la rotazione degli elementi: questa operazione si esegue applicando una matrice di rotazione R:

cos( ) sin( ) 0 0 0 0 0 0sin( ) cos( ) 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 cos( ) sin( ) 0 0 00 0 0 sin( ) cos( ) 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

R

α αα α

α αα α

− = −

(2.43)

In realtà per quel che riguarda il macroelemento sarebbe stato sufficiente prevedere due condizioni: orizzontale (α=0) e verticale (α=90°) ma nel modellare una parete bisogna disporre di elementi riproducenti trave o catene, che possono avere orientame nto generico. Le travi sono geometricamente dei prismi elastici a sezione costante, individuati nel piano dalla posizione dei due nodi di estremità; conoscendo la lunghezza (dimensione prevalente), l’area, il momento di inerzia ed il modulo elastico è possibile ricostruire la matrice di rigidezza (applicando le regole del legame elastico) e, assumendo che permangano indefinitamente in campo elastico, non sono necessarie ulteriori considerazioni.


3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 4 6 20 0

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 2 6 40 0

i i

i i

i i

j j

j j

j j

EJ EJ EJ EJh h h h

EA EAT u

h hN wEJ EJ EJ EJM h h h hT uEJ EJ EJ EJ

h h h hN wEA EAMh h

EJ EJ EJ EJh h h h

ϕ

ϕ

− −

− = − − − −

−

(2.44)

Detta Kt la matrice di rigidezza della trave si procede come prima considerando l’eventuale presenza di nodi rigidi tramite la matrice D e l’orientamento nel piano tramite la matrice R. Una volta numerati, in modo univoco i gradi di libertà del sistema, gli elementi maschio murario, gli elementi fasce, gli elementi trave verranno assemblati in un'unica matrice complessiva che descriverà la rigidezza dell’intera parete.

2.4.2 Modellazione della parete (individuazione di maschi e fasce) L’obbiettivo è la discretizzazione di una parete come un telaio costituito da maschi e fasce modellati come elementi monodimensionali non elastici: la discretizzazione del sistema avverrà a partire dalla posizione delle aperture individuando in primo luogo i maschi murari. L’altezza del maschio sarà la media delle altezze delle aperture che lo contornano; sul bordo esterno si considererà, nella media, l’altezza di interpiano.

Figura 25 – Individuazione dei maschi murari

Successivamente si individueranno le fasce, interpretabili come maschi ruotati: l’altezza dell’elemento (ovvero la dimensione orizzontale poiché ruotato) è ancora data dalla media delle larghezze delle aperture superiori ed inferiori. Nel caso non vi sia sovrapposizione fra le aperture la


fascia non sarà considerata ed il contributo deformativo avrà luogo se presente una luce libera. Sui livelli esterni si prolungherà l’ingombro dell’apertura presente.

Figura 26 – Individuazione delle fasce di piano

Si completerà individuando i nodi del modello e di conseguenza le porzioni “indeformabili” (nodi rigidi) in modo da collegarvi gli elementi sino a formare un telaio.

Figura 27 – Schema del telaio equivalente

2.4.3 Modellazione tridimensionale L’estensione della procedura alla modellazione tridimensionale non è affatto banale: la strada scelta è quella di conservare la modellazione delle pareti nel proprio piano ed assemblandole ad altre strutture, gli orizzontamenti, dei quali viene modellato un comportamento membranale.


Il modello dell’edificio viene ad assumere così globalmente masse e rigidezze su tutti i gradi di libertà tridimensionali tenendo conto però, localmente, dei soli g.d.l. bidimensionali. In questo modo si può pervenire ad un modello strutturale essenziale senza gravarlo del calcolo della risposta fuori piano locale, che può comunque essere verificata a posteriori. La struttura tridimensionale risulta dall’assemblaggio di strutture piane, le pareti e gli orizzontamenti, entrambe prive di rigidezza flessionale fuori dal proprio piano. Stabilito un riferimento globale unico per il modello dell'edificio, vengono introdotti i riferimenti locali di ciascuna parete: si assume che le pareti giacciano in un piano verticale e si localizza la traccia in pianta della generica parete i attraverso le coordinate di un punto, l’origine del riferimento locale Oi (xi, yi, zi), rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano globale (X,Y,Z), e l’angolo ?i formato con l'asse X. Il sistema di riferimento locale della parete è così univocamente definito e la modellazione a macroelementi può avvenire con le stesse modalità del caso piano. I macroelementi, così come gli elementi trave e catena, mantengono il comportamento nel piano e non necessitano di essere riformulati.

X

Y

?1 ?2

Parete 1

Parete 2

O2

O1

Figura 28 – Individuazione in pianta della traccia delle pareti

I nodi che connettono macroelementi appartenenti ad una sola parete mantengono i propri gradi di libertà nel piano nel riferimento locale, mentre i nodi che appartengono a più pareti debbono necessariamente disporre di gradi di libertà nel riferimento globale. Questi nodi, in virtù dell’ipotesi di trascurare la rigidezza flessionale delle pareti, non necessitano di un grado di libertà rotazionale intorno all’asse verticale Z in quanto non connessi ad elementi in grado di fornire termini di rigidezza rotazionale locale. I nuovi nodi rigidi tridimensionali, rappresentativi di situazioni quali cantonali e martelli, ottenuti come assemblaggio di virtuali nodi rigidi bidimensionali individuati in ciascuna delle pareti incidenti, avranno componenti di spostamento generalizzato secondo 5 gradi di libertà: 3 spostamenti, ux, uy e uz, e 2 rotazioni f x e f y. Le relazioni tra le 5 componenti di spostamento e rotazione del nodo tridimensionale e le 3 del nodo bidimensionale fittizio appartenente alla singola parete sono perciò date dalle

cos sin

sin cos

x y

z

x y

u u uw u

θ θ

ϕ ϕ θ ϕ θ

= + = = −

(2.45)

in cui con u, w e f si sono indicate le 3 componenti di spostamento secondo i gradi di libertà del nodo fittizio appartenente alla generica parete orientata in pianta secondo un angolo ?.


Analogamente anche le forze applicate ai nodi tridimensionali vengono scomposte secondo le direzioni individuate dai piani medi delle pareti ed applicate, così, ai macroelementi nel loro piano di resistenza.

?

X Y

Z

ux uy

uz = w f x

f y f

u

Figura 29 - Gradi di libertà del nodo tridimensionale

Le forze reattive trasmesse dai macroelementi appartenenti alle singole pareti ai nodi fittizi bidimensionali vengono riportate nel riferimento globale in base alle

1 21 2

1 21 2

1 2

1 21 2

1 21 2

cos cossin sin

sin sincos cos

x h h

y h h

z v v

x

y

F F FF F F

F F FM M MM M M

θ θθ θ

θ θθ θ

= + = +

= + = +

= − −

(2.46)

in cui, come riportato in figura, i termini con apice 1 e 2 fanno riferimento rispettivamente ai termini di forza corrispondenti ai nodi virtuali individuati nelle pareti 1 e 2 cui il nodo tridimensionale appartiene.

X Y

Z

Fx Fy

Fz Mx My 1

vF2

vFM1 M2

2hF

1vF

Figura 30 – Forze sul nodo a 5 g.d.l. e sui corrispondenti nodi virtuali a 3 g.d.l.


La modellazione della parete può così ancora avvenire nel piano, recuperando quanto descritto nel capitolo precedente. I nodi che appartengono ad una sola parete rima ngono bidimensionali, ovvero mantengono solo 3 gradi di libertà anziché 5. I solai, modellati come elementi finiti membrana ortotropi a 3 o 4 nodi, con due gradi di libertà per nodo (gli spostamenti ux e uy), sono identificati da una direzione di orditura, rispetto alla quale sono caratterizzati da un modulo elastico E1. E2 è il modulo elastico in direzione perpendicolare all’orditura, mentre ν è il coefficiente di Poisson e G2,1 il modulo di elasticità tangenziale. E1 ed E2 rappresentano, in particolare, il grado di collegamento che il solaio, anche grazie all’effetto di cordoli o catene, esercita tra i nodi di incidenza nel piano della parete. Il termine G2,1 rappresenta invece la rigidezza a taglio del solai nel suo piano e da esso dipende la ripartizione delle azioni tra le pareti. E’ possibile disporre un elemento solaio collegandolo ai nodi tridimensionali, giacché esso ha la funzione principale di ripartire le azioni orizzontali tra le varie pareti in proporzione alla loro rigidezza ed in funzione della propria, conferendo al modello quel carattere di tridimensionalità che dovrebbe avvicinarsi al reale funzionamento strutturale. L’elemento finito di riferimento considerato è l’elemento piano, in stato piano di tensione, a tre nodi:

k

ji

x

y

Figura 31 - Figura 5-4 - Elemento piano a tre nodi

Nel caso di ortotropia, in stato piano di tensione, le relazioni tra tensioni e deformazioni sono date dalle

ˆ =De s (2.47)

nelle quali ( )1 2 12Tε ε γ=e , ( )1 2 12

Tσ σ τ=s e

1 12 2

1 12 2

12

01 1

ˆ 01 1

0 0

E m Em m

m E mEm m

G

D

nn n

nn n

− − = − −

, (2.48)

avendo posto 2

1

EmE

= .


Indicando con α l’angolo formato dalla direzione di orditura del solaio con l’asse X globale è possibile riscrivere la (2.48) nella configurazione ruotata

ˆTD R DR= (2.49)

avendo posto la matrice di rotazione

00

0 0 1

cos sin R= -sin cos

a aa a

. (2.50)

Per ciascun nodo di incidenza i si può definire la matrice Bi che dipende dalle funzioni di forma lineari dell’elemento:

01

02

j k

k j

k j j k

y yx x

Ax x y y

− = − − −

iB (2.51)

in cui x j e yj sono le coordinate del j-esimo nodo ed A è l’area del triangolo. A partire dalle matrici Bi e dalla D è possibile assemblare la matrice di rigidezza dell’elemento solaio:

...... ...

e e eii ij ik

e ejj jk

ekk

=

e

k k kK k k

k (2.52)

dove

As=e Tij i jk B DB . (2.53)

L’elemento a quattro nodi è ottenuto come media del contributo delle due coppie di elementi a tre nodi secondo cui è possibile suddividere il quadrilatero. In tal modo è possibile modellare con un unico elemento campiture di solaio di forma quadrilatera irregolare, con generica direzione di orditura.

i

y

x

j

kl

ji

lk

j

lk

i�

= ½ +�

�

�

Figura 32 - Elemento a quattro nodi


Se la matrice di rigidezza coinvolge, ovviamente, i soli nodi tridimensionali di incidenza del solaio, il contributo dei carichi verticali, propri o portati, viene attribuito in termini di massa nodale aggiunta a tutti i nodi, anche a quelli a 3 g.d.l., appartenenti alle pareti di incidenza alla quota di piano del solaio. La massa aggiuntiva viene calcolata automaticamente in base alle aree di influenza di ciascun nodo, tenendo conto della direzione di orditura del solaio. Si è reso necessario, a causa delle ipotesi semplificative illustrate in precedenza, costruire una nuova matrice di inerzia in cui i contributi alla massa dei nodi a tre gradi di libertà in direzione ortogonale alle pareti di appartenenza sono riportati ai nodi a cinque gradi di libertà. La costruzione della matrice d’inerzia inizia dall’assemblaggio di quelle delle singole pareti e tiene conto della massa (propria e portata) trasferita dai solai, coerentemente con il proprio verso di orditura, ai nodi (bi o tridimensionali) con un’eventuale eccentricità orizzontale nel piano della parete. Anche la massa dei nodi e la quota parte di massa degli elementi incidenti può presentare, nel piano della parete, eccentricità verticali ed orizzontali.

X

ZY

My

My

MxJ

Mx

I

m

α

x

l

Figura 33 – Trasferimento ai nodi 3d della massa nodale in direzione ortogonale alla parete

Poiché i nodi bidimensionali sono privi di gradi di libertà ortogonali al piano della parete di appartenenza, nel calcolo delle masse viene trasferita la quota di massa nodale in tale direzione ai nodi tridimensionali vicini, in proporzione alla mutua distanza ed in modo che la massa complessiva del sistema nelle direzioni X ed Y sia coerente. Nel modello vengono cioè considerate due distinte masse nodali nelle due direzioni orizzontali per i nodi tridimensionali. Con riferimento alla Figura 33, i termini di massa nodale del nodo I si ottengono dalle seguenti relazioni:

(1 cos )

(1 )

I Ix x

I Iy y

l xM M m

ll x

M M m sinl

α

α

−= + −

−= + −

(2.54)


Questa soluzione ha permesso così di implementare analisi statiche con componenti di accelerazione nelle tre direzioni principali ed analisi dinamiche al passo anch’esse con la possibilità di specificare contemporaneamente tre componenti di input nelle tre direzioni.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Abrams D.P.,1997, Response of unreinforced masonry buildings, Journal of Earthquake Engineering,1,1. Abrams D.P., Calvi G.M. (eds.), 1994, Proc. of the US-Italy workshop on Guidelines for seismic evaluation and


theory, Int. J. Solids Structures, 32, 2. Anthoine A., Magonette G., Magenes G., 1995, Shear compression testing and analysis of brick masonry

walls, Proc. of the 10th European Conference on Earthquake Engineering, Vienna. Braga F., Dolce M., 1982, Un metodo per l'analisi di edifici multipiano in muratura antisismici, Proc. 6th

I.B.Ma.C., Roma. Braga F., Liberatore D., 1991, Modeling of seismic behaviour of masonry buildings, Proc. 9th I.B.Ma.C.,

Berlino. Brencich A., Lagomarsino S., 1997, Un modello a macroelementi per l'analisi ciclica di pareti murarie,

Atti dell'8° Convegno Nazionale ANIDIS, Taormina. Brencich A., Penna A., 1999, Una procedura a macroelementi per l’analisi sismica di pareti in muratura

con orizzontamenti incemento armato, Atti del 9° Convegno Nazionale ANIDIS , Torino. Calderoni B., Marone P., Pagano M., 1987, Modelli per la verifica statica degli edifici in muratura in

zona sismica, Ingegneria Sismica, n.3. Calderoni B., Lenza P., Pagano M., 1989, Attuali prospettive per l’analisi sismica non lineare di edifici in

muratura, Atti del 4° Convegno Nazionale ANIDIS, Milano. Caliò I., Marletta M., Pantò V., 2004, Un semplice macro-elemento per la valutazione della vulnerabilità sismica

di edifici in muratura , Atti XI Convegno Nazionale "L'ingegneria sismica in Italia", Atti su cd, Genova Clough R.W., Penzien J., 1993, Dynamics of structures, McGraw-Hill, New York. Chopra A.K., 1995, Dynamics of structures: Theory and Application to Earthquake Engineering, Prentice-Hall. Como M., Grimaldi A., 1986, A new method on the lateral strength evaluation of masonry walls and

buildings, Proc. of the 8th European Conference on Earthquake Engineering, LNEC, Lisbon. Cundall P.A., 1998, Formulation of a three-dimensional distinct element model – Part I: A scheme to

detect and represent contacts in a system composed of many polyhedral blocks, Int. J. Rock Mech. Min. Sci., 25, pp. 107-116.

D'Asdia P., Viskovic L., 1994, L'analisi sismica degli edifici in muratura, Ingegneria Sismica, XI, 1. Dolce M., 1989, Schematizzazione e modellazione per azioni nel piano delle pareti, Corso sul

consolidamento degli edifici in muratura in zona sismica, Ordine degli Ingegneri, Potenza. Faifar P., 2000, A non-linear analysis method for performance-based seismic design, Earthquake Spectra,

16, 3. Freeman S.A., Nicoletti J.P., Tyrrell J.V., 1975, Evaluation of existing buildings for seismic risk, Proc. U.S.

National Conference on Earthquake Engineering, Oakland. Freeman S.A., 1998, The capacity spectrum method as a tool for seismic design, Proc. 11th European

Conference on Earthquake Engineering, Paris. Fusier F., Vignoli A., 1993, Proposta di un metodo di calcolo per edifici in muratura sottoposti ad azioni

orizzontali, Ingegneria Sismica, X, 1. Gambarotta L., Lagomarsino S., 1996, Sulla risposta dinamica di pareti in muratura, in Gambarotta L.

(ed.) La meccanica delle murature tra teoria e progetto, Atti del Convegno Nazionale, Messina.





Hart R.D., Cundall P.A., Lemos J.V., 1998, Formulation of a three-dimensional distinct element model – Part II: Mechanical calculations, Int. J. Rock Mech. Min. Sci., 25, pp. 117-125.

Magenes G., 2000, A method for pushover analysis in seismic assessment of masonry buildings, Proc. 12th World Conference on Earthquake Engineering, Auckland.


Magenes G., Della Fontana, 1988, Simplified non-linear seismic analysis of masonry buildings, Proc. of the British Masonry Society, 8, pp. 190-195.


Newmark N.M., Hall W.J., 1982, Earthquake Spectra and Design, Earthquake Engineering Research Institute, Berkley

Petrini L., Pinho R., Calvi G.M., 2004, Criteri di progettazione Antisismica degli Edifici, IUSS Press, Pavia. Tomazevic M., 1978, Computation of the shear resistance of masonry buildings, in The seismic resistance

of masonry buildings, Report, 1, ZRMK, Lubiana. Tomazevic M., Weiss P., 1990, A rational, experimentally based method for the verification of

earthquake resistance of masonry buildings, Proc. 4th U.S. National Conference on Earthquake Engineering, Palm Springs.

Turnsek V. e Cacovic F., 1971. Some experimetal results on the strength of brick masonry walls, Proc. of the 2nd I.B.M.A.C. Int. Conference, Stoke on Trent.


3 Modellazione del comportamento meccanico della muratura La modellazione accurata di una porzione di muratura è un problema non banale studiato a partire dagli stati tensionali (Calderini, 2004, Podestà, 2005); la modellazione delle pareti in muratura nei confronti delle azioni orizzontali, ed in particolare riguardo al funzionamento strutturale durante l’azione sismica, è invece riconducibile ad un sistema di pannelli orizzontali e verticali assemblati insieme. La modellazione è confermata dall’osservazione dei danni indotti dai terremoti reali e dall’analisi dei dati di prove sperimentali, da cui risulta come tipicamente il danneggiamento sia generalmente concentrato in porzioni ben definite della parete: i maschi murari e le architravi, o fasce di piano (come descritto nel par. 2.4). Tali dispositivi vengono modellati evidenziando i meccanismi macroscopici di danneggiamento nel proprio piano, cioè taglio e pressoflessione (i meccanismi di 2° modo descritti nel capitolo 1). Questo approccio a telaio equivalente prescinde dai fenomeni di ribaltamento che vanno considerati a parte o esclusi in presenza di dispositivi specifici (catene, cordoli).

3.1 Criteri di resistenza nel piano La struttura intrinseca della muratura, corsi più o meno regolari di mattoni o pietre, legati da malta, porta ad un sistema efficace a sopportare azioni di compressione, ma pressoché incapace di resistere ad azioni pure di trazione e resistente a flessione in ragione della compressione presente. I meccanismi di rottura connessi all’azione orizzontale, tipici per i maschi in muratura (Anthoine et al., 1996), sono in generale riconducibili ad un collasso per pressoflessione (rocking) o per taglio; in quest’ultimo si includono solitamente meccanismi fessurativi di diversa natura, ascrivibili all’effetto delle tensioni tangenziali originate dalle azioni orizzontali, in combinazione con le componenti di tensione normale. Riassumendo si possono distinguere tre principali modalità di rottura: a) per ribaltamento (rocking) b) per taglio-scorrimento c) per fessurazione (trazione) diagonale Discriminante per l’attivazione del meccanismo effettivo tra i tre è una combinazione di fattori di diversa natura: la geometria del pannello, in particolare in termini di snellezza, l’entità del carico assiale e le caratteristiche del materiale muratura considerato.

(a) (b) (c)

Figura 34 - Schematizzazione dei meccanismi di rottura del maschio: flessione-ribaltamento (a), scorrimento (b) e trazione diagonale (c).


• Rocking: il collasso è governato dal ribaltamento della parete, caratterizzato generalmente dalla rottura e parzializzazione degli spigoli soggetti a compressione; La condizione di rottura per pressoflessione nel piano è associata allo schiacciamento della muratura al lembo compresso delle sezioni estreme. Per bassi valori di azione assiale N l’estensione della zona compressa è modesta, macroscopicamente si rilevano ampie aperture delle fessure flessionali ed il muro tende a sviluppare un cinematismo di ribaltamento simile a quello di un blocco rigido. L’analisi del comportamento a rottura per pressoflessione può essere agevolato dall’utilizzo di un opportuno “stress-block” della muratura in compressione. Il calcolo può essere particolarmente semplificato laddove si possa definire uno stress-block rettangolare equivalente. Con riferimento alla figura seguente:

Figura 35 - Ribaltamento e parzializzazione

Dall’equilibrio alla traslazione segue:

d

Na

f tκ= (3.1)

mentre l’equilibrio alla rotazione:

2

0 01 12 2 2u

d d

l a Nl N l tM Ne N

f lt fσ σ

κ κ − = = = − = ⋅ −

(3.2)

dove :

σο = Ν/lt è tensione normale di compressione media riferita all’area totale della sezione

fd è la resistenza a compressione di calcolo della muratura (nei codici definita rispetto ad fattore di sicurezza: fd = fk / γm ) κ definisce l’ampiezza dello stress-block, usualmente κ = 0.85÷1

Nella nuova normativa viene riportata la precedente formula nella forma, assolutamente equivalente:

⋅ ⋅σ − σ= ⋅

⋅

20 0

ud

l t 1M

2 0.85 f (3.3)


Ipotizzando per il pannello murario uno schema complessivo di tipo shear-type (rotazioni bloccate alle estremità) risulterebbe:

2 /pfu uV M h= . (3.4)

• Trazione diagonale: il meccanismo di danno è governato dalla formazione e dallo sviluppo

di fessure diagonali inclinate, che possono seguire o andamento dei giunti di malta oppure interessare i mattoni stessi in funzione della resistenza dei giunti di malta, dell’interfaccia mattone-malta oppure dei mattoni stessi;

Figura 36 - Taglio – trazione diagonale

Il Criterio del massimo sforzo principale di trazione è derivato dagli studi di Turnšek e Cacovic (1971): rilevando sperimentalmente rotture con formazione di fessure diagonali al centro del pannello, ipotizzarono che la rottura per taglio abbia luogo quando lo sforzo principale (macroscopico) di trazione raggiunge un valore limite ftu , assunto come resistenza a trazione convenzionale della muratura. In tal modo si assume che, relativamente allo stato limite di rottura per taglio con fessurazione diagonale, l’anisotropia della muratura possa essere trascurata, con il notevole vantaggio di utilizzare un singolo parametro di resistenza (ftu per l’appunto). Supponendo in prima istanza che il pannello sia sufficientemente snello da poter essere assimilato ad un solido di De Saint Venant, il criterio si traduce nella seguente espressione del taglio ultimo resistente Vu :

01tuu

tu

f ltV

b fσ

= + (3.5)

dove : σο = Ν/lt è tensione normale di compressione media riferita all’area totale della sezione

b varia con il rapporto di forma h/l, usualmente b = 1÷1.5 Nella nuova normativa italiana, per gli edifici esistenti si riporta il criterio di rottura per trazione diagonale nella forma (punto 11.5.8.1):


. 0 0 0

0

1.51 1

1.5traz d td

ud td

fV l t l t

b b fτ σ σ

τ= ⋅ + = ⋅ + (3.6)

I parametri sono gli stessi della formulazione di Turnšek e Cacovic, in particolare ftd e τ0d sono rispettivamente i valori di calcolo della resistenza a trazione per fessurazione diagonale e della corrispondente resistenza a taglio di riferimento della muratura (ft = 1.5 τ0), quanto a b si riprende il criterio approssimato di Benedetti e Tomaževic (1984):

1.5 1.5

1 1.5

1 1

hl

h hb

l lhl

> ≤ ≤ <

(3.7)

• Scorrimento: il meccanismo è associato alla formazione di fessure orizzontali nei giunti soggetti all’azione del sisma che inverte la direzione di applicazione; potenziali piani di scorrimento possono formarsi lungo i giunti fessurati; il meccanismo è favorito da bassi livelli di carichi verticali e bassi valori del coefficiente d’attrito. Il criterio di rottura utilizzato è il Criterio alla “Coulomb, che esprime la resistenza come somma di un contributo di tipo coesivo ed uno di tipo attritivo:

cτ µσ= + (3.8)

La tensione tangenziale τ e la tensione normale σ possono avere diverso significato a seconda dell’impostazione del criterio, ovvero a seconda che si consideri reagente l’intera sezione o unicamente la porzione compressa. Secondo la normativa italiana (ordinanza e D.M. 20/11/87) e l’Eurocodice 6, la resistenza caratteristica a taglio della muratura va valutata con riferimento all’area effettivamente compressa, ed è espressa come resistenza a taglio unitaria fvk moltiplicata per l’area reagente del muro:

.trazu vk cV f t l= ⋅ ⋅ (3.9)

Considerando la parzializzazione della sezione, si può determinare la porzione effettivamente reagente scorporando la parte in trazione:

e

P

l/2l/2

lc

lc /3M= P . e

V

Figura 37 - Porzione parzializzata.


Se 6l

e > allora:

3 3

3 2 2c

cl l Me l l l

Pl = − ⇒ = − ≤

(3.10)

Una volta determinata lc la resistenza unitaria a taglio può essere calcolata come:

fvk = fvk0 + µ s 0 con fvk = fvk,lim (3.11)

dove : σο = Ν/lt è tensione normale di compressione media riferita all’area reagente µ è il coefficiente di attrito (con area parzializzata usualmente vale 0.4) fvk0 è la resistenza caratteristica a taglio in assenza di compressione fvk,lim è valore limite superiore della resistenza, dipendente dal tipo di elementi e dal tipo di malta.

La nuova normativa italiana propone la stessa formulazione precisando il valore dell’attrito a 0.4 ed il valore di fvk,lim = 1.4 1.5bkf MPa≤ ; bkf indica la resistenza caratteristica a compressione dei blocchi nella direzione di applicazione della forza.

La resistenza effettiva di un pannello è data, al variare dalla compressione normale, dal minor valore della resistenza a taglio fra quelle precedentemente esposte.

Dominio di rottura di un pannello murario

Compressione

Pressoflessione

Scorrimentotrazione-diag.

Dominio (Vu,N)

Figura 38 - Esempio di dominio di iterazione Vu-N nei pannelli murari

Il dominio V-N definisce la resistenza massima offerta dal pannello murario, tuttavia il raggiungimento di tale limite non comporta la rottura fragile del pannello; i modelli meccanici descrittivi dei paramenti murari ammettono una certa duttilità. Il limite di deformazione, oltre cui assumere collassato l’elemento è usualmente definito in termini di massimo drift, ovvero si limita il rapporta fra deformazione ed altezza.


hm

∆ m

Figura 39 - Drift nel pannello murario.

La nuova normativa quantifica i drift massimi distinti secondo il meccanismo di collasso:

0.004 Taglio0.006 Pressoflessione

DL mm u

mhδ δ

∆= =

(3.12)

3.2 Macroelemento La costruzione di un macroelemento, rappresentativo di un intero pannello murario, permette la formulazione di equazioni d’equilibrio che coinvolgono un numero limitato d’incognite e può rappresentare un modello cinematico capace di cogliere i meccanismi elementari di deformazione, danneggiamento e dissipazione delle strutture murarie. Si consideri un pannello di larghezza b e spessore s costituito di tre parti: la deformabilità assiale sia concentrata nei due elementi di estremità � e � di spessore infinitesimo ∆, infinitamente rigidi ad azioni taglianti, e la deformabilità tangenziale sia situata nel corpo centrale � di altezza h che, viceversa, è indeformabile assialmente e flessionalmente. Il modello cinematico completo per il macroelemento deve, quindi, contemplare i tre gradi di libertà dei nodi i e j e quelli dei nodi di interfaccia � e �.

h

∆

b

sui

ϕ1

wi

i

j uj

u1

u2

wj

w1

w2ϕ

2

ϕi

ϕj

1

2

1

2

3∆

(a)

φδ

M1

T1

N1

1

2

j Tj

T2

Nj

N2

M2

Mj

23

2

T2

N2

M2

Ti

Ni

i

Mi

1

M1 T1

N1

1

(b)

nm

Figura 40 - Modello cinematico del macroelemento


Le ipotesi di rigidità introdotte consentono di semplificare la cinematica del macroelemento, imponendo opportune condizioni di congruenza all’interno delle singole sottostrutture �, � e �. Avendo indicato con w gli spostamenti assiali, con u quelli trasversali e con ϕ le rotazioni, si può affermare che u1 = ui ; u2 = u j (infatti i corpi � e � hanno rigidezza tagliante infinita e spessore ∆ tendente a zero) e w1 = w2 = δ; ϕ1 = ϕ2 = φ (il corpo centrale è assialmente e flessionalmente rigido e δ, φ rappresentano rispettivamente lo spostamento assiale e la rotazione). Dal punto di vista cinematico il modello è quindi descritto da otto gradi di libertà: le sei componenti di spostamento dei nodi di estremità (ui, wi, ϕi, u j, wj, ϕj) e le due componenti del macroelemento (δ e φ). Il meccanismo di ribaltamento del pannello, favorito dall’assenza di una significativa resistenza a trazione del materiale, viene rappresentato ipotizzando un contatto elastico monolatero nelle interfacce � e �, mentre il meccanismo di rottura a taglio è schematizzato, considerando uno stato di tensione uniforme nel modulo centrale � ( si assume Ti = Tj), attraverso un legame tra le componenti cinematiche ui, uj, φ, lo stato tensionale e le variabili descrittive del comportamento plastico (il grado di danneggiamento α e lo scorrimento plastico γp). Il danneggiamento per fessurazione sulle fasce diagonali, dove si verificano meccanismi di taglio-scorrimento, è, infatti, rappresentabile mediante la componente anelastica di spostamento γp che si attiva quando viene superata una condizione limite per attrito alla Coulomb. Il legame Gambarotta-Lagomarsino consente di descrivere, attraverso le variabili α e γp, l’evoluzione ciclica del degrado di rigidezza e del deterioramento della resistenza associato al progressivo danneggiamento a taglio (Gambarotta et al., 1996; Galasco, 2001). Nelle due estremità dell’elemento è concentrato il comportamento a flessione: le relazioni che legano la normale di compressione N ed il momento M alle componenti di spostamento w e ϕ derivano direttamente dalle equazioni elastiche di legame. Fintanto che il centro di pressione risulta interno al nocciolo centrale d’inerzia, non si verifica la parzializzazione della sezione di estremità del pannello e sforzo normale e momento risultano lineari in w e ϕ e disaccoppiate (indicando con 2= Ek h la rigidezza assiale per unità di superficie):

3

12

=

= ϕ

N kbswkM sb

(3.13)

Figura 41 - Cinematica del problema assiale elastico


La sezione si parzializza quando la risultante delle azioni esce dal nocciolo centrale d’inerzia e, assumendo sezione rettangolare, ciò avviene se:

3 3212 12

12 6= = = ≤

ϕ ϕ ϕk ksb sbM b b

N kbsw kbs w w (3.14)

ovvero in termini cinematici (essendo w<0 poiché si assume che il pannello non reagisca a trazione):

2−

≤ϕw

b (3.15)

Questa relazione indica che se si applica un momento alla sezione, dopo aver esercitato una compressione, la rotazione ϕ aumenterà linearmente, a spostamento verticale w costante, finché sarà verificata la condizione sopraccitata.

s

ϕ

y

N

d

b

x

w

Figura 42 - Sezione parzializzata

Da considerazioni geometriche, nell’ipotesi di piccoli spostamenti, si possono calcolare i contributi anelastici dovuti alla pressoflessione. Separando i contributi elastici da questi ultimi, si può riscrivere:

( )

( ) ( )

2

23

28

212 24

= − +

− += + +

ϕϕ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

ksN ksbw b w

b wk ksM sb b w

(3.16)

Nel caso di sezione parzializzata, normale e momento non sono più sollecitazioni disaccoppiate; si può dunque esplicitare la relazione che lega le grandezze cinematiche del problema. Esplicitando w si ha:

2

2−

= −ϕ ϕb N

wks

(3.17)


w

ϕϕ=2w/bϕ=−2w/b

Figura 43 - Interazione ϕ-w

Se si incrementa il momento (in un sistema precedentemente compresso), prima si ha un incremento

lineare di ϕ, poi si raggiunge la condizione limite 2−

=ϕw

b oltre cui valgono le relazioni (3.16) e

(3.17): fino al limite di parzializzazione 0∂

=∂ϕw , oltre, aume ntando il momento, aumenta la rotazione

ma diminuisce la compressione verticale (Figura 43). Oltre alla non linearità dovuta alla pressoflessione, il modello di macroelemento contempla il danneggiamento per compressione: si può notare come, al momento dell’entrata in campo non lineare, in un generico passo di carico, caratterizzato dal superamento del valore di spostamento wR= σR/k in una porzione della sezione di base, tale stato sia identificabile attraverso due soli parametri: ζ (=p/b), misura dell’estensione della porzione di sezione interessata dalla non linearità, e µ (=wmax/wR), misura della duttilità richiesta alla fibra più esterna e, di conseguenza, del successivo degrado di rigidezza come appare dalla figura seguente.

b

x

z

?b

w f wo

wR

wmax = µ wR

s s R

Figura 44 - Stato di tensione e spostamento in condizioni di non linearità a compressione

In un successivo passo di carico, in cui il valore maxw sia minore del valore limite di Rw , si ha uno stato tensionale che dipende così, attraverso i parametri µ e ?, dalla storia di carico precedente: le fibre, che per effetto del precedente stato di spostamento hanno avuto un’escursione in campo plastico, sono così caratterizzate da una rigidezza degradata k* funzione della duttilità:

( ) ( )* 12, , , ;1 21

= ∈ − − +µ ζ ζµ

ζ

k bk x x b

xb

(3.18)


La tensione assiale ha, dunque, andamento lineare nella zona non interessata dalla plasticizzazione ed andamento più complesso nella zona plastica:

12

12

( ) ; ( )2

( )( ) ( ) ;

( 1) 2

− − ∈ − − = − − ∈ − − +

ϕ ζσ

ζϕ ζ

µ ζ

o

o

bk w x x b

xb b

k w x x bx b

(3.19)

Si evidenzia (Penna, 2002; Resemini, 2003), tuttavia, come il tratto degradato possa essere approssimato linearmente senza commettere un errore apprezzabile. Sulla base di questa formulazione e di quest’ultima osservazione, è possibile definire una semplice procedura di correzione non lineare dei valori delle caratteristiche di sollecitazione ottenuti con il legame elastico non reagente a trazione. Per effetto della diversa distribuzione delle tensioni nei due casi, è possibile ottenere il valore dello sforzo normale di compressione ponendo:

*= −elN N N (3.20)

dove elN è lo sforzo normale calcolato con il legame elastico , mentre N* risulta :

*max max

1( , , )

−=

µµ ζ ζ

µN w k bsw (3.21)

Analogamente, la correzione non lineare del momento flettente si ottiene dalla:

*= −elM M M (3.22)

in cui elM è lo sforzo normale calcolato con il legame elastico , mentre M* risulta:

* *max

1( , , )

3 2 = − ζ

µ ζM w bN . (3.23)

Tali correzioni sono valide sia nel caso in cui vi sia una riduzione delle tensioni per effetto del degrado, sia per una nuova condizione di superamento della soglia di resistenza.

La risposta a taglio è espressa considerando una deformazione tagliante uniforme φγ +−

=h

uu ji

nel pannello centrale 2 ed imponendo una relazione fra le grandezze cinematiche iu , ju e φ , e la

sollecitazione ji TT −= . Il danneggiamento è generalmente riscontrato lungo la diagonale dove si evidenzia uno spostamento fra i giunti (con una componente di deformazione anelastica) attivato per il superamento della condizione limite attritiva di Coulomb. Conoscendo l’effettiva deformazione tagliante del corpo 2 (indicando con G il modulo elastico di taglio), si può formulare la seguente equazione costitutiva:

*( )= − + +φi i j iGAT u u h Th

(3.24)

* ( )1

= − − + ++α φ

αi i jGA c hT u u h fh c GA

(3.25)


dove la componente non elastica *

iT comprende l’azione attritiva f che si oppone al meccanismo di scorrimento e coinvolge un parametro di danno α ed un coefficiente adimensionale c , che controlla la deformazione non elastica. In questo modello, l’azione dovuta all’attrito è considerata nella seguente condizione limite:

0= − ≤φ µs if N (3.26)

dove µ corrisponde al coefficiente di attrito. Queste relazioni costitutive possono rappresentare la diversa resistenza del pannello al variare dell’azione assiale ij NN −= . Gli effetti del danneggiamento sono evidenziati nella variabile di danno α che cresce coerentemente con il meccanismo limite :

( ) ( ) 0= − ≤φ αd Y S R (3.27)

dove 2

2

12

=γα

p

Yc

è l’energia dissipata per effetto delle deformazioni anelastiche, R è la funzione di

resistenza (tenacità) e { }=S t n m T è il vettore delle tensioni interne al corpo 2. Si assume R come funzione crescente di α fino al valore critico 1=Cα e successivamente decrescente per valori più elevati: questo modello può rappresentare sia il decadimento di rigidezza, sia il degrado di resistenza tipico del comportamento ciclico dei pannelli murari. Nella presente trattazione, la formulazione di danneggiamento alla Coulomb, è stata estesa al calcolo dell’effettiva area parzializzata, ed è stato inoltre introdotto il criterio di rottura per trazione diagonale espresso dalla (3.5). I meccanismi implementati nel macroelemento perme ttono di cogliere in modo graduale i fenomeni (e non solo in termini di dominio limite come riportato nel paragrafo precedente), ovvero la parzializzazione a pressoflessione sarà accompagnata da un “sollevamento” complessivo del pannello (w e ϕ non sono più disaccoppiate ma legate secondo la (3.17)), con perdita progressiva di rigidezza. Tale fenomeno è interamente reversibile in assenza di un superamento della massima resistenza a compressione (il superamento di questo limite provoca degrado di resistenza e dissipazione isteretica).

Danneggiamento a Pressoflessione (Pannello SNELLO) - Macroelemento -

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-20 - 15 -10 -5 0 5 10 15 20

spostamento [mm]

Tag

lio [

kN]

Figura 45 - Perdita di rigidezza a pressoflessione nel macroelemento.


Il danneggiamento a taglio provocherà invece un degrado di rigidezza irreversibile (dissipazione isteretica), dovuto, microscopicamente, alle lesioni nei giunti di malta ed alle fessurazioni nei blocchi. Oltre alla perdita di rigidezza, soprattutto nell’ambito di analisi cicliche, si coglie inoltre la perdita di resistenza tipica del comportamento dei paramenti murari. La modellazione numerica del macroelemento prevede la scelta preventiva del meccanismo di danneggiamento voluto: nella realtà si ha la sovrapposizione dei fenomeni, pertanto è possibile simulare prove reali, con sufficiente approssimazione, avvalendosi dei differenti meccanismi di danno. Nella figura seguente si anticipano le riproposizioni numeriche delle prove effettuate da Anthoine, Magonette e Magenes ad Ispra, che saranno invece illustrate in dettaglio nei paragrafi seguenti.

Danneggiamento a Taglio (Pannello TOZZO) - Macroelemento -

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

spostamento [mm]

Tagl

io [k

N]

Scorrimento (integra)

Scorrimento (parz.)

Taglio Diagonale

Figura 46 Perdita di rigidezza e di resistenza nella simulazione numerica mediante macroelemento nei

diversi meccanismi di danno.

Infine è stato introdotto un controllo di duttilità in termini di massimo drift ammissibile per meccanismo di taglio o pressoflessione: tali meccanismi vengono considerati separatamente all’interno del macroelemento considerando gli spostamenti e le rotazioni corrispondenti alla porzione centrale (in cui si concentra la deformabilità a taglio) ed alle porzioni di estremità (in cui si ha la pressoflessione):

δ ϕ

ϕ ϕδ ϕ

−= +

+= +

( )

( )2

j iTaglioe

i jPressoflessionee

u uh (3.28)

Il superamento di tali limiti comporta la pressoché totale perdita di resistenza flessionale e tagliante del pannello, che conserva una sia pur ridotta rigidezza assiale (diviene pertanto una biella). La modellazione a macroelementi, estesa a strutture complesse, consente di cogliere in modo sufficientemente accurato i principali fenomeni connessi alla muratura, come dimostrato nelle sue varie applicazioni, dall’identificazione degli edifici alla modellazione dei ponti in muratura, risultati riassunti nell’articolo “Non-linear Seismic Analysis of Masonry Structures” presentato alla tredicesima conferenza internazionale di Ingegneria sismica tenutosi a Vancouver (Galasco, Lagomarsino, Penna, Resemini, 2004).


3.3 Elemento bilineare con i criteri di resistenza dell’ordinanza L’ordinanza 3274/03 e s.m. richiede per il calcolo della muratura almeno un modello di elemento semplificato dal comportamento bilineare: il ramo orizzontale coincide con la resistenza massima calcolata secondo quanto descritto nel par. 3.1. È stato dunque implementato nel solutore un elemento trave non lineare a sei gradi di libertà con resistenza limitata e degrado della rigidezza in fase non lineare. La trave è un elemento alternativo al macroelemento per simulare il comportamento dei pannelli murari (maschi e fasce) nell’ambito dell’approccio della modellazione delle pareti a telaio equivalente.

Ni

Nj

Mi

Mj

(u i ,wi,φi)Ti

(uj ,wj ,φj )Tj

Figura 47 - Incognite cinematiche e convenzione sui segni delle caratteristiche di sollecitazione adottate per

l’elemento trave non lineare in muratura

Per ciascun elemento, dunque, la pendenza del ramo elastico è determinata direttamente a partire dal calcolo dei contributi di rigidezza a taglio ed a flessione, computabili sulla base delle proprietà meccaniche e geometriche (modulo elastico di Young E, modulo a taglio G e geometria del pannello). I differenti contributi sono opportunamente assemblati nella matrice di rigidezza elastica del singolo elemento. I limiti elastici in termini di resistenza, relativi ai meccanismi di rottura considerati, coincidono con il valore ultimo, poiché vige l’ipotesi di assenza di incrudimento. I meccanismi di rottura sono gli stessi già elencati: pressoflessione, taglio con fessurazione diagonale e taglio-scorrimento e corrispondono rispettivamente a quanto previsto dall’ Ordinanza 3431 (punto 8.2.2 e punto 11.5.8.1). In definitiva, nel caso della pressoflessione il momento ultimo è definito dalla (3.29), come al punto 8.2.2.1.

2

0 0u

d

l t 1M

2 0.85 f⋅ ⋅σ − σ

= ⋅⋅

(3.29)

in cui l è la lunghezza complessiva della parete inclusa la zona tesa, t è lo spessore della zona compressa, σo è la tensione normale di compressione media riferita all’area totale della sezione e fd è la resistenza a compressione della muratura. Tale formula si basa sull’ipotesi di materiale non reagente a trazione, in cui è assunta un’opportuna distribuzione non lineare delle compressioni (stress-block rettangolare con coefficiente pari a 0.85). Per quanto riguarda il meccanismo di rottura per taglio per fessurazione diagonale, il taglio ultimo è definito dalla (3.30), come al punto 11.5.8.1:


τ σ σ

= ⋅ + = ⋅ +τ

0d 0 td 0u

0d td

1.5 fT l t 1 l t 1

b 1.5 b f (3.30)

in cui ftd e τ0d sono rispettivamente i valori di calcolo della resistenza a trazione per fessurazione diagonale (ft = 1.5 τ0) e della corrispondente resistenza a taglio di riferimento della muratura e b è un coefficiente correttivo legato alla distribuzione degli sforzi sulla sezione, dipendente dalla snellezza della parete (assunto pari a h/l, comunque non superiore a 1.5 e non inferiore a 1, dove h è l'altezza del pannello). Infine, riguardo al meccanismo di taglio-scorrimento (punto 8.2.2.2) :

= = + µσu vmo nvdT l'tf l'f(f ) (3.31)

in cui l’ è la lunghezza della parte compressa della parete, fvm0 la resistenza media a taglio della muratura, µ il coefficiente di attrito e σn la tensione normale media, riferita alla sola parte compressa della sezione. L’elemento trave si fonda su una correzione di tipo non lineare, a partire dalla previsione elastica, operata confrontando le sollecitazioni con i limiti di resistenza conseguenti ai criteri sopraesposti ed effettuando poi, nel caso in cui tale limite sia superato, un’opportuna ridistribuzione delle caratteristiche di sollecitazione di taglio (costante lungo l’elemento in virtù dello schema di calcolo ad azioni concentrate nei nodi) e momento flettente alle estremità, in modo tale da garantire l’equilibrio dell’elemento stesso. Si sottolinea la dipendenza dei limiti ultimi di resistenza dallo sforzo normale di compressione: ne consegue che tali valori di confronto non sono una proprietà costante dell’elemento, ma variano durante l’analisi a seguito della ridistribuzione delle azioni sugli elementi coinvolti nel contributo all’equilibrio globale del sistema strutturale. Il legame introdotto è, come già precisato, degradante: la rigidezza di un elemento che abbia superato la soglia di resistenza è pari alla rigidezza secante corrispondente al massimo stato di spostamento in cui sia venuto a trovarsi (Figura 48). A tale fine sono definite delle variabili di danno, associate rispettivamente alle caratteristiche di sollecitazione di taglio e momento flettente (una per ciascun estremo dell’elemento). Esse sono atte a memorizzare il massimo stato di spostamento raggiunto e, conseguentemente, lo stato di danneggiamento e di sollecitazione realizzatisi nella storia precedente dall’elemento. Tali variabili possono essere comprese tra 0 (fase iniziale elastica) e 1 (nel caso limite di duttilità infinita), essendo correlate al rapporto tra il valore della caratteristica di sollecitazione (taglio e/o momento), fornito dalla previsione elastica con rigidezza iniziale, e quello variato secondo la rigidezza secante a seguito del superamento della soglia elastica.

δu

Tu

T

δ Figura 48 - Legame con limitata resistenza e degrado della rigidezza


Il collasso dell’elemento è fissato in corrispondenza del raggiungimento del valore ultimo di spostamento, determinato in termini di drift seguendo i limiti previsti per il meccanismo di rottura associato (punto 8.2.2. e punto 11.5.8.1). A seguito del collasso, il contributo dell’elemento all’equilibrio globale è considerato esclusivamente legato alla sua capacità residua di sopportare i carichi verticali. Si precisa, inoltre, che, nel caso in cui si verifichi la condizione di elemento tenso-inflesso, tutte le caratteristiche di sollecitazione si annullano. Ciò poiché i limiti di resistenza adottati si fondano sull’ipotesi di considerare la muratura come materiale non reagente a trazione. Si sottolinea che, a differenza del macroelemento descritto nei paragrafi precedenti, l’elemento trave non lineare non dispone di alcun grado di libertà interno che consenta di separare il contributo al drift associato ai meccanismi di taglio e pressoflessione. Pertanto il drift è fornito dalla (3.32).

ϕ ϕ

δ− +

= +( ) ( )

2j i j iu u

h (3.32)

La semplicità della formulazione di tale elemento ha sicuramente il pregio di garantire un processo di convergenza snello e particolarmente efficace in termini di oneri computazionali ai fini di analisi statiche non lineari monotone (pushover). Tuttavia, proprio perché semplificato e quindi più cautelativo nei riguardi della stima delle risorse dei pannelli, l’elemento trave non consente di cogliere in dettaglio alcuni aspetti del reale comportamento dei pannelli murari. Si esamini, ad esempio, il meccanismo per ribaltamento: il fatto di considerare una distribuzione non lineare approssimata delle tensioni (3.29) per pressoflessione, non consente di cogliere l’accoppiamento che si realizza tra sforzo normale e momento flettente e, relativamente alle grandezze cinematiche, tra spostamento verticale e rotazione dell’elemento,. Tale comportamento è evidenziato anche da risultati sperimentali e già discusso a proposito della descrizione del legame assunto per il macroelemento (Figura 43). Anche nei riguardi della riproduzione dei fenomeni dissipativi e ciclici, nell’ambito ad esempio di analisi dinamiche al passo non lineari, sono evidenti i limiti di tale formulazione per i quali il macroelemento risulta senz’altro più aderente ed efficace, pur tuttavia è stato possibile estendere questo tipo di analisi anche al modello bilineare come illustrato nel par. 3.5.

3.4 Prove sperimentali sui pannelli Per poter valutare l’affidabilità della modellazione numerica, si deve valutare la rispondenza a prove sperimentali: in primo luogo si cercherà la correlazione alla risposta di un singolo pannello murario, nell’idea che gli elementi non lineari presentati (macroelemento o trave con legame bilineare), nell’ambito nella modellazione a telaio equivalente, costituiranno i maschi e le fasce di piano, ovvero diventeranno i componenti fondamentali di un sistema più complesso. Si farà riferimento alla sperimentazione condotta da Anthoine, Magonette e Magenes al Joint Reserce Centre di Ispra, su provini di maschi murari di differente snellezza. In tale sperimentazione, per studiare i differenti meccanismi di rottura, si era realizzato un pannello più tozzo, evidentemente vulnerabile a taglio ed uno più snello, più soggetto a meccanismi di pressoflessione soggetti al medesimo carico verticale (150 kN ovvero una tensione σm = 0,6 Mpa). L’obbiettivo era valutare il comportamento sismico, pertanto si era eseguita una prova ciclica quasi-statica, ovvero si imponeva lo spostamento Uh della sommità del pannello in direzione orizzontale, secondo cicli di ampiezza crescente. Gli estremi del pannello erano confinati in modo tale da riprodurre le condizioni di vincolo di un doppio incastro, mentre i dispositivi di misura registravano


la reazione orizzontale prodotta e gli spostamenti associati. Nella figura seguente si riportano le geometrie dei due pannelli e la struttura di prova.

Figura 49 - Geometrie e schema di prova della sperimentazione sui pannelli

I risultati ottenuti dalle due prove mettono in luce l’influenza del rapporto altezza/larghezza sul comportamento dei pannelli, inoltre (come si vede nei grafici seguenti) imponendo lo spostamento, in luogo della forza, è stato possibile cogliere decrementi di resistenza al progredire dello spostamento ed al ripetersi dei cicli.

Figura 50 - Prova ciclica sul pannello tozzo

10 2

135

Pannello A “tozzo”

10

200

25

Pannello B “snello”


Figura 51 - Prova ciclica sul pannello snello

I carichi e gli spostamenti ultimi, l’andamento del danno, la dissipazione, e i meccanismi di rottura differiscono marcatamente: il muro tozzo ha mostrato una rottura fragile per taglio diagonale (meccanismo di dissipazione per taglio) in corrispondenza di un drift dello 0,2% per un carico Fh = 84 kN; contrariamente nel caso del pannello snello non è stata registrato alcun danno da stress apparente per un drift dello 0,6% e un carico pari a Fh = 72 kN. L’importanza di questa sperimentazione è di aver isolato e descritto i meccanismi principali di rottura dei pannelli, nell’idea che una parete possa essere pensata come assemblaggio di porzioni più semplici, simili agli elementi provati, e che quindi il comportamento complessivo sia descrivibile, nota la geometria e la compressione dei componenti. Nel paragrafo 3.2 sono stati anticipati i risultati ottenibili mediante il macroelemento: grazie alle sue caratteristiche è stato infatti possibile sia riprodurre la prova nella sua interezza (cicli a spostamenti crescenti), sia cogliere il degrado graduale.

Figura 52 - Confronti numerico e Sperimentale con il macroelemento

L’identificazione è partita dai moduli di rigidezza E, e G che hanno consentito di riprodurre la rigidezza iniziale, si è poi determinato il parametro c in modo da ottenere una deformazione non elastica tale da cogliere gli spostamenti massimi misurati (il macroelemento coglie in modo graduale il danneggiamento pertanto manifesta un progressiva perdita di rigidezza rispetto al tratto elastico iniziale). I valori della resistenza a taglio τ0 ed a compressione fm hanno invece permesso di individuare i valori massimi di resistenza nei due pannelli.


Gc

β

F

d

Figura 53 - Schematizzazione dei parametri non lineari del macroelemento. Il prodotto Gc governa l’ampiezza del tratto a rigidezza degradata precedente il picco di resistenza, mentre β governa il ramo di

softening.

La pendenza e la forma dei cicli isteretici è controllabile mediante il parametro β, esso governa la maggior o minor pendenza del ramo di softening. I risultati, in termini di curve, precedentemente riportati, risultano in buon accordo con i cicli sperimentali; vi si discostano solo in parte nella forma dei cicli di scarico, più regolari nella modellazione numerica rispetto a quanto effettivamente misurato ad Ispra. Il passaggio successivo è stato reinterpretare i risultati sperimentali mediante un legame bilineare elastico-perfettamente plastico come quello proposto nella nuova normativa La prova ciclica non è realisticamente modellabile con un legame privo di un vero e proprio softeneing, pertanto si è proceduto convertendo i risultati sperimentali in una ideale prova in monotona: ovvero si è seguito l’inviluppo dei massimi valori di taglio e spostamento misurati.

INVILUPPO MONOTONO Pannello Tozzo

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

INVILUPPO MONOTONO Pannello Snello

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-15 -10 -5 0 5 10

Figura 54 - Inviluppi monotoni ideali

Una volta rappresentata la curva inviluppo (in rosso nella figura precedente), si è fissato il punto che si assume come estremo limite della curva, in altri termini, non essendosi verificata una rottura distruttiva ma solo un graduale decadimento, si è reso necessario stabilire un punto di rottura convenzionale, dove si è imposta la fine della curva. Tale punto viene identificato con la definizione di spostamento ultimo (du), in una condizione di stato limite ultimo. Il suo valore è, in genere, fissato in ragione del drift limite: sapendo che nel pannello tozzo prevale un meccanismo di rottura a taglio si assume il valore del drift stabilito dalla nuova normativa pari a 0.4%; mentre nel pannello snello, prevalendo un meccanismo di presso flessione, si assume il drift limite pari a 0.6%. Si procederà ora cercando una soddisfacente descrizione del comportamento dei due pannelli, nella schematizzazione monotona, in termini di una bilineare; si illustra brevemente il procedimento seguito: • Si sono assunti i moduli di elasticità e di resistenza a taglio tali da ottenere una rigidezza iniziale

K0 coerente a quella dell’inviluppo monotono (e quindi dei pannelli reali), ovvero si è assunta una pendenza del tratto crescente della bilineare tale da approssimare il tratto iniziale della curva


sperimentale. Si è assunto di correlare i moduli di rigidezza mediante la relazione E=6G.Le condizioni di vincolo sono note, pertanto si può esprimere la rigidezza flessionale di una trave deformabile a taglio mediante:

0 2

11,2 1

112

G AK

h G hE b

⋅= ⋅

⋅ +

(3.33)

Essendo lo spostamento ultimo già fissato, per completare la semplificazione bilineare occorre determinare il taglio massimo corrispondente al ramo orizzontale: il suo valore fissa la posizione del plateau ed è stato calcolato imponendo, per mezzo di semplici algoritmi, l’uguaglianza tra area sottesa dalla curva sperimentale e quella sottesa dalla curva bilineare, i cui estremi erano stati definiti coincidenti (si è assunto lo stesso du). Quest’operazione equivale a dire che i due sistemi dissipano lo stesso quantitativo di energia in base al principio di equivalenza dei lavori.

A questo punto si è pervenuti al valore di Tu ovvero Tplateau nelle due sperimentazioni: ovviamente sono stati determinati due valori distinti. Partendo dal presupposto che i due modelli siano così differenti da far prevalere in maniera netta e definita il meccanismo di collasso per taglio diagonale nel pannello tozzo e di pressoflessione nel pannello snello, come evidente dalla sperimentazione, con i due valori di Tu è possibile ricavare τ0 e fm servendosi delle formule di dominio citate all’inizio del capitolo ed implementate nel legame bilineare. Il pannello tozzo ha una rottura per taglio diagonale per cui applico la formula (3.30), essendo nota la compressione e la geometria a ritroso ricavo la resistenza τ0 , mentre il pannello snello ha una rottura per pressoflessione e, sapendo che lo schema di vincolo è un doppio incastro, è possibile risalire alla formulazione di Tu (correlato al valore di momento ultimo come riportato nella definizione (3.4)) da cui ricavare il valore di fm. Il procedimento è stato schematizzato nelle figure seguenti, in cui si riporta la sperimentazione monotona ideale, la curva ottenuta con il legame bilineare (coerentemente con i valori calcolati secondo quanto precedentemente formulato) ed il confronto con il macroelemento.

Pannello TOZZO

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1 2 3 4 5 6

spostamento [mm]

Tag

lio [

kN]

Sperimentale

Modello Bilineare

Modello Macroelemento

E GE G

TTuu ((eqeq. Aree). Aree) ττkk

Pannello TOZZO

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1 2 3 4 5 6

spostamento [mm]

Tag

lio [

kN]

Sperimentale

Modello Bilineare


E GE GE GE G

TTuu ((eqeq. Aree). Aree)TTuu ((eqeq. Aree). Aree) ττkkττkk

Pannello SNELLO

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14

spostamento [mm]

Tag

lio [

kN]

Sperimentale

Modello Bilineare


E GE G

TTuu ((eqeq. Aree). Aree) ffmm

Pannello SNELLO

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14

spostamento [mm]

Tag

lio [

kN]

Sperimentale

Modello Bilineare


E GE GE GE G

TTuu ((eqeq. Aree). Aree)TTuu ((eqeq. Aree). Aree) ffmmffmm

Figura 55 - Curve numeriche e sperimentali con lo schema del processo di identificazione

Si nota come il macroelemento riesca a cogliere meglio i valori massimi di taglio, riuscendo poi a seguire il ramo di softening, mentre il legame bilineare deve mediare la resistenza, esprimendo un


valore di taglio massimo minore di quello sperimentale per evitare di sovrastimare eccessivamente la fase di softening. I valori trovati, in termini di moduli elastici e di resistenza sono coerenti con quanto riportato nell’allegato 11 della nuova ordinanza (nella tabella 11.D.1 nella nuova ordinanza sismica si riporta un range di valori per le caratteristiche delle principali tipologie di muratura) tenendo conto del coefficiente moltiplicativo 1.5 da considerarsi in presenza di malta di buona caratteristiche (come precisato nella tabella 11.D.2 nella stessa norma).

fm τ0 E G

(N/cm2) (N/cm2) (N/mm2) (N/mm2)

min-max min-max min-max min-max

270 9 2700 450 Allegato 11.D 420 13.8 3600 600

Bilineare 400 12 3000 500

Tabella 1. Valori dei resistenza e moduli elastici nel legame bilineare a confronto con i valori proposti nell’allegato 11.D per la tipologia “Muratura in mattoni pieni e malta di calce” in presenza di malta di buone

caratteristiche.

3.5 Analisi dinamica La finalità dell’analisi sismica è valutare la resistenza di un edificio ad un evento sismico, pertanto è estremamente importante disporre di un legame numerico che permetta un’analisi dinamica non lineare al passo. L’affidabilità del macroelemento, in ambito dinamico, è già stata evidenziata in precedenti lavori (Galasco et al.,2001 e 2004); è interessante valutare la possibilità di applicare, anche al legame semplificato, tale approccio. Durante un evento sismico importante gli edifici subiscono danni; tale processo permette però di dissipare una parte dell’energia del terremoto (questo è uno dei cardini dell’analisi prestazionale); tale dissipazione, di tipo isteretico, è colta dal macroelemento grazie al degrado a taglio e a compressione. La formulazione mediante un sistema bilineare con ramo di scarico secante (che ripassa cioè dell’origine) non ha la stessa capacità dissipativa. Dal punto di vista teorico, durante un processo dinamico, oltre ai fenomeni isteretici, si verifica una dissipazione di tipo “viscoso”, che non comporta degrado del materiale, ed è invece riconducibile all’interazione con l’ambiente. Tale fenomeno è quantificato genericamente in una fattore di smorzamento ξ in un sistema ad un grado di libertà, in tale modo vengono determinati gli spettri elastici di accelerazione e spostamento (Clough, 1993).

.. . ..( ) ( ) ( ) ( )m q t d q t kq t m u t+ + = − (3.34)

.. . .. ..2

0 0

00

( ) 2 ( ) ( ) ( )

2

q t q t q t u t

k cmm

ξω ω

ω ξ ω

+ + = −

= = (3.35)

Analizzando modelli a più gradi di libertà, lo smorzamento viscoso è descritto, usualmente, in termini matriciali mediante la relazione (smorzamento alla Rayleight):

α β= +D M K (3.36)


Con riferimento ad un sistema ad un grado di libertà si potrebbe vedere come fissato α, (non considerando β) al crescere della pulsazione (e dunque anche della frequenza) lo smorzamento decresce con proporzionalità inversa; nel caso in cui sia scelto β, pulsazione e smorzamento

risultano proporzionali: d=βk+αm ⇒ 22d km mβ α ξω α βω= + ⇒ = + .

I coefficienti α e β possono essere infine valutati imponendo che nel range di pulsazioni (ω1;ω2) lo smorzamento viscoso sia circa costante e pari, ad esempio, a 0.05. Per determinare i valori di ω1 e ω2 si può, in via approssimativa, schematizzare il comportamento della struttura tramite un oscillatore semplice elastico perfettamente plastico (con duttilità µ). Alle due pulsazioni considerate si fanno corrispondere due valori della rigidezza della struttura: ad ω1 quella iniziale elastica, ad ω2 quella secante corrispondente allo stato limite ultimo ipotizzato per il sistema. La pulsazione ω1 si assume pari alla pulsazione propria della struttura; la pulsazione ω2 si stima in via semplificata direttamente a partire da ω1 assumendo una duttilità µ opportuna. Ne consegue:

12 =

ωω

µ (3.37)

Infine, i valori dei due coefficienti sono ricavabili risolvendo il sistema di equazioni seguente, in cui si impone che per i due valori di pulsazione ω1 e ω2 lo smorzamento viscoso ξ sia pari al 5%.

1

1

2

2

0.052 2

0.052 2

= = + = = +

βωαξ

ωβωα

ξω

(3.38)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

0 10 20 30 40 50

ω

ξ

ω1ω2

Figura 56 - Relazione fra le pulsazioni ω1e ω2 e lo smorzamento viscoso assunto. In blu lo smorzamento

governato da α proporzionale alla massa ed inversamente proporzionale alla pulsazione (ed alla frequenza), in verde lo smorzamento fornito da β proporzionale a rigidezza e pulsazioni.

La differente proporzionalità di α e β rispetto alle frequenze permette di creare modelli numerici capaci di incrementare la capacità di smorzamento sia al progredire del danneggiamento (periodo secante, minor frequenza) sia alle alte frequenze (modi superiori spesso associati ai gradi di libertà verticali, poco significativi in queste tipologie di analisi), si può determinare poi un range di frequenze in cui garantire uno smorzamento pressappoco uniforme; tale metodologia viene seguita nella modellazione con legame a macroelemento.


-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-30 -20 -10 0 10 20 30

Top displacement [mm]

Base

she

ar [

kN]

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-30 -20 -10 0 10 20 30

Top displacement [mm]

Base

she

ar [

kN]

Figura 57 - Esempio di analisi dinamica non lineare su edifico in muratura (dettaglio della time-history di

una parete), presentata alla 13° conferenza mondiale di ingegneria sismica.

È interessante verificare l’estendibilità di tali analisi al legame semplificato: è evidente la carenza di dissipazione isteretica, tuttavia si può pensare di sopperire a tale mancanza incrementando la quota di deformazione viscosa: può essere assunto uno smorzamento minimo, superiore al 5% convenzionale, in corrispondenza della pulsazione propria elastica del sistema. Operando su un sistema ad un solo grado di libertà si avrebbero due relazioni: la prima fisserebbe lo smorzamento fissato ξ in corrispondenza della pulsazione propria ω , la seconda imporrebbe l’annullarsi della derivata prima di ξ in corrispondenza dello stesso valore ω (condizione di minimo).

2

( )2 2

( ) 02 2

α ωξ β ξ ω ξ

ωξ α β ξ

ωω ω ω

= + =

∂ ∂= − + =

∂ ∂

(3.39)

Il procedimento equivale ad “annullare” il range di smorzamento, usato nel ma croelemento, riducendolo alla sola prima frequenza.

ω ω

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 ω

ξ ω1= ω2= ω

Figura 58 - Relazione fra la pulsazioni ω1 e lo smorzamento viscoso assunto. Il blu lo smorzamento

governato da α proporzionale alla massa ed inversamente proporzionale alla pulsazione (ed alla frequenza), in verde lo smorzamento fornito da β proporzionale a rigidezza e pulsazione.

n1205n1206

n1207n1208

n1209

N13

N14

N15

N23 N71

N72

N73

N74

N91

N92

N93

N94

N95

N96

N97

N98

N1003

N1074N1097

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220 221

222

301

322330 336 337

338339

340

5

6 7

20

3738

39 40

41


Per testare la praticabilità di tale metodologia si consideri il pannello “tozzo” presentato nel par. 3.4: la geometria, le condizioni di vincolo, la rigidezza, la massa presente sono grandezze note (esposte al paragrafo precedente), pertanto è analiticamente determinabile il periodo proprio del modello.

h

b

s

F

FFh/2

F

Fh/2 Figura 59 - Geometria e schema di vincolo del pannello “tozzo”.

0

00

61574459020

150000 0.5 60752

0.31 sec

krad

m

T

ω

πω

= = =+ ⋅

= = (3.40)

Si sono dunque calcolati α e β in modo da ottenere ξ=6% in corrispondenza di ω0, con smorzamento crescente prima e dopo tale pulsazione. Si è proceduto a deformare monotonamente il pannello, in modo tale da provocarne uno stato di danno, e si successivamente si è lasciato vibrare liberamente (vibrazioni libere smorzate) il sistema sino allo stato di quiete. Si è potuto confrontare il diagramma forza spostamento, con riferimento al macroelemento, evidenziando forza reattiva e forza inerziale:

• la forza inerziale ( contributi massa·accelerazione di tutti i punti, nel caso in esame unicamente il nodo di sommità) comprende le sollecitazioni legate alla rigidezza e all’azione viscosa: evidenzia sia i fenomeni dissipativi dovuti al danneggiamento sia alla dissipazione viscosa.

• La forza reattiva (taglio complessivo alla base, nel caso in esame la reazione nel nodo inferiore) è comprensiva unicamente delle sollecitazioni legate alla rigidezza: in assenza di degrado non descriverà cicli dissipativi altrimenti si manifesterà una dissipazione legata all’eventuale danneggiamento (non risente della viscosità).


Time history - Vibrazioni libere - Macroelemento

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

tempo [sec]

Sp

ost

amen

to [

mm

]

Figura 60 Vibrazioni libere smorzate, macroelemento. Attenuazione dello spostamento dovuto alla

viscosità ed al danneggiamento.

Vibrazioni Libere Macroelemento

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

spostamento [mm]

Tag

lio [k

N]

forza reattiva

forza inerziale

Punto di rilascio

Figura 61 - Vibrazioni libere nel macroelemento a partire da uno spostamento di 1.5 mm, tale da indurre

deformazioni anelastiche. Si osservino i cicli inerziali e reattivi (la curva inerziale è incrementata del fattore ξ rispetto alla reattiva).

La forza reattiva, pur risentendo dell’isteresi, non risente della viscosità ed è pertanto leggermente minore della corrispondente forza inerziale; nel modello bilineare invece la forza reattiva sottostimerà i fenomeni isteretici, pertanto, per recuperare un comportamento complessivo accettabile, è necessario incrementare fittiziamente lo smorzamento viscoso in modo da ottenere una forza inerziale simile al modello con il macroelemento. La figura seguente mostra come vi sia un’accettabile analogia fra le risposte inerziali nei due modelli. Sicuramente poco realistica, in


termini di forza, è la risposta reattiva del bilineare, collassata ad un segmento; è però accettabile la complessiva risposta di spostamento. Nei capitoli successivi si presenteranno analisi dinamiche svolte con questo modello, in cui si presenteranno usualmente diagrammi forza reattiva- spostamento, tale rappresentazione è coerente con quanto sviluppato nelle analisi statiche non lineari (presentate nel Cap. 5: Procedure di analisi sismica) ed è immediata, in quanto calcolo delle reazioni alla base. È più complesso il calcolo della forza inerziale su un modello a n gradi di libertà e sarà presentato per un modello spaziale semplice nel capitolo seguente).

Vibrazioni Libere - confronto fra i due legami

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

spostamento [mm]

Tag

lio [

kN]

Bilineare reattiva

Bilineare inerziale

Macroelemento reattiva

Macroelemento inerziale

Figura 62 - Vibrazioni libere, confronto fra il legame bilineare ed il macroelemento. Differente la risposta

reattiva, simile la risposta inerziale.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

Abrams D.P.,1997, Response of unreinforced masonry buildings, Journal of Earthquake Engineering,1,1. Abrams D.P., Calvi G.M. (eds.), 1994, Proc. of the US-Italy workshop on Guidelines for seismic evaluation and


theory, Int. J. Solids Structures, 32, 2. Anthoine A., Magonette G., Magenes G., 1995, Shear compression testing and analysis of brick masonry walls,

Proc. of the 10th European Conference on Earthquake Engineering, Vienna. Baldacci R (ed.), 1970, Scienza delle costruzioni, UTET, Torino Bernardini A. (ed.), 1999, Seismic Damage to Masonry Buildings, Proc. of Int. Workshop, Monselice, 25-26

June 1998. Braga F., Dolce M., 1982, Un metodo per l'analisi di edifici multipiano in muratura antisismici, Proc. 6th

I.B.Ma.C., Roma.


Braga F., Liberatore D., 1991, Modeling of seismic behaviour of masonry buildings, Proc. 9th I.B.Ma.C., Berlino.

Brencich A., Lagomarsino S., 1997, Un modello a macroelementi per l'analisi ciclica di pareti murarie, Atti dell'8° Convegno Nazionale ANIDIS, Taormina.

Brencich A., Penna A., 1999, Una procedura a macroelementi per l’analisi sismica di pareti in muratura con orizzontamenti incemento armato , Atti del 9° Convegno Nazionale ANIDIS, Torino.

Clough R.W., Penzien J., 1993, Dynamics of structures, McGraw-Hill, New York Costley A.C., Abrams D.P., 1995, Dynamic response of unreinforced masonry buildings with flexible

diaphragms, NCEER Technical Report, Urbana-Champaign. Dadovici V., Benedetti D., 1994, Proc. of the Italian-French symposium on Strengthening and repair of

structures in seismic areas, Nizza. Doglioni F. (ed.), 1999, Codice di pratica (linee guida) per la progettazione degli interventi di riparazione e

restauro dei beni architettonici danneggiati dal terremoto umbro-marchigiano del 1997, IUAV, Venezia. Galasco A., 2001, Analisi a collasso e risposta dinamica di pareti in muratura soggette ad azione sismica,

Tesi di Laurea, Università di Genova. Galasco A., Lagomarsino, S. and Penna, A., 2001, Analisi sismica non lineare a macroelementi di edifici in

muratura, X Convegno ANIDIS, Potenza-Matera Galasco A., Lagomarsino, S. and Penna, A., 2002, TREMURI Program: Seismic Analyser of 3D Masonry

Buildings, University of Genoa. Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., Resemini S., 2004, Non-linear Seismic Analysis of Masonry

Structures, Proc. 13th World Conference on Earthquake Engineering, 1-6 Agosto 2004, Vancouver. Gambarotta L., Lagomarsino S., 1996, Sulla risposta dinamica di pareti in muratura, in Gambarotta L. (ed.)

La meccanica delle murature tra teoria e progetto, Atti del Convegno Nazionale, Messina. Gambarotta L., Lagomarsino S., 1997a, Damage models for the seismic response of brick masonry shear walls.

Part I: the mortar joint model and its applications, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 26. Gambarotta L., Lagomarsino S., 1997b, Damage models for the seismic response of brick masonry shear walls.

Part II: the continuum model and its applications, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 26. Giuffré A. (ed.), 1993, Sicurezza e conservazione dei centri storici in zona sismica. Il caso di Ortigia, Laterza,

Bari. Guerrieri F. (ed.), 1999, Manuale per la riabilitazione e la ricostruzione postsimica degli edifici, Regione

Umbria. Magenes G., Calvi G.M., 1997, In-plane seismic response of brick masonry walls, Earthquake Engineering

and Structural Dynamics, 26. Magenes G., Kingsley G.R., Calvi G.M., 1995, Static testing of a full scale, two-story masonry building: test

procedure and measured experimental response, in Experimental and numerical investigation on a brick masonry building prototype, Report 3.0 CNR-GNDT Numerical Prediction of the experiment: 1.1 – 1.41.


Paulay T., Priestley M.J.N., 1992, Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings, Wiley, New York.

Penna A., 2001, Una procedura a macroelementi per l’analisi dinamica non lineare di edifici in muratura, Tesi di dottorato,Politecnico di Milano

Tomazevic M., 1978, Computation of the shear resistance of masonry buildings, in The seismic resistance of masonry buildings, Report, 1, ZRMK, Lubiana.

Turnsek V., Cacovic F., 1971, Some experimental results of the strength of brick masonry walls, Proc. 2nd I.B.M.A.C. International Conference, Stoke on Trent.


4 Affidabilità modellazione La validazione dei modelli numerici è uno degli aspetti più complessi della ricerca: la difficoltà non è solo insita nell’interpretazione dei risultati ma è altrettanto difficile reperire casi studio utilizzabili. Se da un lato il modo più ovvio ed immediato per rapportarsi alla realtà è la mera osservazione dei danni, visibili sugli edifici a seguito di un evento sismico, più complessa ne è l’interpretazione: sicuramente è possibile ottenere ottime informazioni di tipo “qualitativo”, come ad esempio la concentrazione di danno su maschi e fasce di piano (capo saldo della modellazione a telaio equivalente), ma non è altrettanto praticabile una ricerca “quantitativa”. L’input sismico, alla base dell’edificio, non è noto (al più si può disporre di un segnale misurato a km di distanza in qualche stazione di osservazione, ma gli effetti locali, dovuti alla stratigrafia del suolo, ne inficiano la validità), neppure più conoscibile è l’andamento delle oscillazioni durante l’evento, oltre all’oggettiva difficoltà di determinare il grado di vincolo fra edificio e terreno; il riferimento ad edifici reali può essere utile ove, su di essi, siano situati strumenti di misura delle accelerazioni (accelerometri). Tali strumenti permettono sia un’identificazione dinamica preventiva (forme modali sperimentali) sia una lettura delle oscillazioni a seguito di un evento reale. L’identificazione dinamica, unita a prove sui materiali, permette di meglio tarare i modelli numerici, che possono essere poi “messi alla prova” nell’eventualità che un evento reale colpisca la struttura monitorata. Un simile progetto è portato avanti dall'Osservatorio Sismico delle Strutture che si compone di una rete di sistemi di monitoraggio sismico installati su edifici pubblici ubicati nelle principali zone di interesse sismico del territorio nazionale; questa rete permette sia il controllo di strutture di interesse strategico per la protezione civile sia l’acquisizione di dati di grande rilevanza scientifica. Sulle strutture sono installati diversi accelerometri, disposti sia al suolo, per registrare l'eccitazione sismica alla base, sia su alcuni punti caratteristici delle struttura per valutarne la risposta dinamica. Tutti i sistemi di monitoraggio sono collegati alla sede dell’Ufficio del Servizio Sismico Nazionale in Roma; in tal modo è possibile conoscere in tempo reale gli eventi registrati e confrontarsi con i modelli numerici precedentemente predisposti. Alcuni dati di questo studio saranno impiegati nel prossimo capitolo come termine di paragone. In una fase più “embrionale” della validazione di un modello numerico di legame è meglio avvalersi di modelli ancor più “circoscritti” e “controllabili”, ovvero di prove eseguite interamente in laboratorio su dispositivi di prova ad hoc. Tali modelli, evidentemente di dimensioni modeste ed architettura semplice (generalmente scatolari) possono essere “conosciuti” in modo molto approfondito, così come assolutamente certo è l’input imposto: sia esso un campo di forze (prove quasi-statiche o pseudo-dinamiche) o un’azione dinamica alla base (prove dinamiche su tavola vibrante). Disponendo di esaurienti dati sperimentali resta il problema della riproduzione numerica dei risultati con modelli di legame adatti ad un materiale complesso quale la muratura. Una modellazione, che si potrebbe definire “sofisticata”, potrebbe essere sviluppata mediante elementi finiti non lineari (Podestà 2001, Lagomarsino 2004, Calderini, 2005); tale approccio permette di cogliere molti dettagli (come già evidenziato nel Capitolo 2) a patto di un onere computazionale consistente (modelli molto semplici possono richiedere tempi estremamente lunghi, a volte giorni interi), tanto che non è una via percorribile nella pratica progettuale e comunque limitatamente praticabile anche nell’ambito della ricerca.


Figura 63 - Schema del processo di modellazione della “realtà”.

Modelli semplificati a telaio equivalente, al contrario permettono una modellazione più rapida ma comunque capace di cogliere gli aspetti essenziali del danneggiamento, pur con le limitazioni già esposte nel Capitolo 2 (cogliendo meccanismi nel piano può non essere idonea all’edilizia monumentale). Un modello “accurato” può essere ottenuto con il macroelemento presentato al par. 3.2, capace di cogliere esaurientemente il degrado (softening) ed i cicli di scarico. Tale approccio ha permesso di realizzare i modelli numerici impiegati dall'Osservatorio Sismico delle Strutture nell’ambito nel proprio progetto (Galasco, 2005). Il legame proposto, nella nuova normative sismica, introduce un’ulteriore semplificazione nell’ambito della modellazione strutturale, riducendo ancor di più l’onere (ed i tempi) di calcolo. Tale approccio coglie in modo “convenzionale” il degrado di resistenza e rigidezza ed ha una formulazione ciclica inadatta ad un diretto confronto con la realtà sperimentale, pur tuttavia è oggetto del presente capitolo, la valutazione di tale metodo nell’ambito della ricerca oltre ad una validazione della pratica progettuale. Questo procedimento si svolgerà con riferimento ad una prova quasi-statica, condotta, in scala al vero, presso l’Università di Pavia nel 1995 da Magenes, Kingsley e Calvi (Magenes et al., 1995).

4.1 Sperimentazione di Pavia (descrizione prova) La sperimentazione è stata eseguita presso il Dipartimento di Meccanica Strutturale dell’Università di Pavia, oggetto dell’esperimento è un edificio prototipo scatolare (pianta rettangolare, due piani, quattro pareti perimetrali) in muratura in scala reale, testato mediante ad una prova ciclica quasi statica. Compatibilmente con la struttura di prova presente, la struttura tridimensionale è stata separata in modo da poter intervenire separatamente sulle due pareti esterne: una parete, denominata “door wall”, contenente due aperture per piano (al piano terra esse simulavano porte), non era ammorsata all’altra parete, identificata invece come “window wall”, contenente tre finestre per piano e connessa ai due muri trasversali da entrambi i lati.

Osservazione del danno Sperimentazione dinamica su edifici reali

(Identificazione dinamica/monitoraggio in situ & prove sui materiali) Sperimentazione ciclica o dinamica su edifici prototipo

(prova in Laboratorio)

Analisi ad elementi finiti non lineari (F.E.M.)

Legame Non lineare con decadimento (Macroelemento TREMURI )

Edificio Reale

Modellazione “sofisticata”

Modellazione “accurata”

Modellazione “semplificata”

Legame Bilineare (Ordinanza 3432)


Figura 64 - Prototipo di edificio provato a Pavia

Le due pareti si sviluppano su una larghezza di base di 6 m per un’altezza di 6,4 m ed uno spessore murario di 25 cm; l’unica connessione fra di esse è costituita dai solai, orditi perpendicolarmente ad esse e realizzati mediante profili metallici isolati (per simulare un solaio flessibile). Si è prevista inoltre la presenza di un carico aggiuntivo di 248.4 kN sul primo solaio e di 263.8 kN sul secondo, atto a simulare un carico distribuito di 10 kN/m2 per piano. Ad entrambe le estremità delle pareti è stato posizionato un giunto ad espansione per eliminare gli effetti di bordo. Mediante due profili metallici, di elevata rigidezza assiale, connessi alle pareti in corrispondenza dei solai, si è previsto di imporre uno stato di spostamento tale da indurre forze uguali ai due piani. Si era infatti stabilito, mediante opportune considerazioni, che tale distribuzione potesse simulare effetti dinamici con sufficiente approssimazione (la massa sui due piani era molto simile e l’altezza complessiva modesta, pertanto una distribuzione “modale” non sarebbe risultata particolarmente differente). Operativamente, l’uguaglianza delle forze, veniva ottenuta imponendo, mediante attuatori meccanici, lo spostamento al secondo piano, e ricercato lo spostamento del primo piano in modo da garantire che le forze misurate risultassero uguali; tale operazione veniva svolta da una centralina collegata al sistema di prova.

Figura 65 - Immagine della sperimentazione di Pavia


4.2 Modello a telaio equivalente La sperimentazione è stata condotta in modo da avere due strutture pressoché piane, coerentemente, anche la modellazione numerica, è stata sviluppata su due modelli piani indipendenti. Il telaio equivalente è stato ottenuto individuando i nodi rigidi che connettevano verticalmente i maschi murari ed orizzontalmente le fasce di piano in modo da creare una griglia. L’altezza dei maschi è mediata in ragione delle aperture presenti, o rispetto alla quota del solaio quando si tratta dei pannelli esterni come descritto in precedenza (nel par. 2.4.2).

• “door wall”: la forma molto regolare ha permesso di limitare il numero di nodi ed elementi costituenti il modello numerico. Il telaio è costituito da 9 nodi (di cui i primi 3 incastrati alla base, i restanti 6, forniti di massa, costituivano elementi rigidi), 6 maschi murari e 4 fasce.

Figura 66 - Modello a telaio equivalente della parete “door wall”. La parete, effettivamente piana, ha

facilitato la modellazione bidimensionale.

• “window wall”: la presenza dei muri laterali nella sperimentazione reale ne ha reso

necessario l’inserimento anche nel modello numerico piano: la finalità del presente lavoro è infatti la riproduzione numerica del risultato ottenuto a Pavia nel 1995, pertanto si è considerato il contributo di rigidezza e resistenza di queste porzioni nella direzione di prova, anche se era loro ortogonale (una modellazione complessiva dell’edificio porterebbe a trascurare tale contributo). Il telaio complessivo risulta costituito da 12 nodi rigidi (tutti forniti di massa ed incastrati al livello terra) che connettono 9 fasce, 3 per piano (strutturalmente al livello terra non contribuiranno al modello strutturale per effetto dei vincoli perfetti nei nodi di incidenza) e 12 maschi, di cui 8 a modellare la parete e 4 a recuperare il contributo “ortogonale” dei 2 muri di spina.


Figura 67 - Modello a telaio equivalente della parete “window wall”. La parete, connessa ai muri di spina,

è stata modellata con un telaio piano coadiuvato da quattro maschi murari per riconsiderare la resistenza e rigidezza, nella direzione di analisi, fornita dai paramenti laterali.

Su entrambe le pareti sono inoltre stati aggiunti elementi trave, di limitata rigidezza flessionale, per simulare la presenza dei profili usati, durante la prova, per indurre lo spostamento; non è stata modellata la presenza dei solai perché estremamente deformabili ortogonalmente alla propria orditura (tale contributo si può considerare incluso nella rigidezza assiale degli elementi simulanti i profili di prova). Sul modello reale si sono susseguiti più cicli di carico in corrispondenza di differenti valori dello spostamento del secondo piano: ciascun ciclo veniva ripetuto più volte per garantire un danneggiamento più uniforme dell’insieme. Nel presente lavoro si evidenzieranno quattro cicli significativi per i progredire del danneggiamento.

“Door Wall” “Windows Wall”

A B

C

D

A B C

D

Spostamento del 2° piano (mm) Figura 68 - Cicli della prova quasi-statica


§ Ciclo A

§ Ciclo B

§ Ciclo C

§ Ciclo D

Figura 69 - Stato di danno nella sperimentazione ciclica di Pavia, “Door wall”.

Si notano, nei disegni precedenti, lesioni riconducibili a pressoflessione, ovvero fessure orizzontali che indicano un principio di ribaltamento e fessurazioni diagonali tipiche di meccanismi a taglio. Il primo ciclo (A) evidenzia danneggiamento delle fasce, mentre i maschi murari esterni presentano minimi danni dovuti alla parzializzazione. Nel secondo ciclo (B) inizia il danneggiamento dei maschi in particolare di quello centrale alla base per meccanismo prevalente a taglio. Il ciclo (C) mostra un danneggiamento diffuso dei maschi alla base fino a delineare nel ciclo (D) un meccanismo di piano debole. Si osserva come i maschi centrali siano più danneggiati a taglio rispetto a quelli esterni che tendono a ribaltare.

§ Ciclo A

§ Ciclo B


§ Ciclo C

§ Ciclo D

Figura 70 - Stato di danno nella sperimentazione ciclica di Pavia, “Window wall”.

Durante il primo ciclo (A) si osserva un primo danneggiamento delle fasce, mentre i maschi murari non risultano danneggiati. Nel secondo ciclo (B) inizia il danneggiamento dei maschi alla base in particolare di quelli centrali per taglio, di quelli esterni per pressoflessione. Il ciclo (C) mostra un danneggiamento diffuso dei maschi alla base che progredisce ulteriormente del ciclo successivo (D). Il meccanismo di piano è localizzato al livello più basso ed il danneggiamento prevalente nella muratura è riconducibile a meccanismi di taglio. Lo stesso dispositivo di prova può essere riproposto anche nella modellazione numerica: è stato possibile assegnare direttamente forze uguali di piano, mediante l’algoritmo di pushover imponendo ad un nodo del secondo piano gli stessi spostamenti massimi previsto nei cicli sperimentali nelle due pareti.


4.3 Modello a Macroelementi Il Modello a macroelementi è certamente più sofisticato ed in grado di cogliere più fenomeni e con un livello di affidabilità maggiore rispetto al modello bilineare; l’utilizzo di questo modello permette infatti la riproposizione dell’andamento sperimentale sia in termini di curve globali sia di meccanismi di danno: si sono cioè determinati i valori di E, G, τ0, fm, β (come già descritto per l’identificazione dei pannelli nel par. 3.4), comuni alle due pareti, tali da ripercorrere numericamente i risultati ottenuti durante la prova.

Figura 71 - Curve cicliche numerica (in blu i punti dell’analisi) e sperimentale (in nero di sfondo) nella

“Door Wall”

Si osserva una buona rispondenza sia dei valori di picco della curva sia dei cicli di isteresi.

Figura 72 - Curve cicliche numerica (in blu i punti dell’analisi) e sperimentale (in nero di sfondo) nella

“Window Wall”


Avendo considerato il contributo delle porzioni di spina si è potuto ottenere una modellazione verosimile del comportamento reale. A titolo esemplificativo si riportano di seguito le mappature di danno al termine del penultimo ciclo (C):

4 1 42 43

4 4 45 46

47 48

49 50

1 2

3 4

n21 n23

n26 n27

n28 n29

n22

n24

n25

Figura 73 - Stato di danno al termine del ciclo C nella door wall

1 2 3 4

5 6 7 8

10 11 12

13 14 15

16 17 18

51 54

55 58

1 2 3

4 5 6

n2 n3

n6 n7

n10 n11

n1 n4

n5 n8

n9 n12

Figura 74 - Stato di danno al termine del ciclo C nella window wall

Si nota una buona corrispondenza nei danneggiamenti fra il modello numerico ed i risultati della sperimentazione: innanzitutto la localizzazione del danno ha confermato l’approccio del telaio equivalente (si confronti il par. 2.4) mostrando evidenti lesione proprio nei maschi murari e nelle fasce di piano. I meccanismi sono coerenti, i maschi più tozzi sono danneggiati per taglio, così come le fasce di piano, mentre i maschi più snelli tendono a ribaltare (evidenti rotazioni nel modello numerico e lesioni orizzontali nel disegno sperimentale)


4.4 Modello con legame bilineare Per come è stato formulato il legame bilineare semplificato non risulta caratterizzato da un vero e proprio softening tipico di un comportamento reale (o di un modello che quanto meno lo simuli dettagliatamente come il macroelemento), ed in particolare la fase di scarico è semplificata assumendo un andamento secante (come illustrato al par. 3.3); la sperimentazione, al contrario, è stata condotta per cicli di carico per poter cogliere anche il degrado delle muratura, pur tuttavia sarebbe poco efficace cercare una corrispondenza su una prova con tali caratteristiche. A questo punto si è pensato di riprodurre una sperimentazione monotona ideale derivante dall’inviluppo dei punti di massimo della prova ciclica (come già realizzato con i risultati sperimentali sui pannelli nel capitolo 3), in modo tale da poter mettere a confronto il modello numerico, in analisi monotona, e l’inviluppo ricavato. Le pareti, modellate a telaio equivalente, sono costituite di maschi murari e fasce di piano (la geometria è stata descritta al paragrafo 4.2), modellati con elementi a legame bilineare: mentre la modellazione dei maschi non presenta particolari problemi, già la si è analizzata rispetto alle prove eseguite da Anthoine (1995), il comportamento di una fascia di piano, simulato come quello di un maschio ruotato (di 90°), non è immune da critiche. Esiste una differenza non trascurabile tra i due elementi strutturali: la resistenza a flessione dei maschi murari è dovuta al fatto che essi sono caricati nel piano verticale, in quanto soggetti al peso della struttura sovrastante; ciò non può accadere nelle fasce poiché pensati come maschi ruotati (di 90°) dovrebbero essere caricate con forze di compressione orizzontale, per seguire questa impostazione. L’evidenza sperimentale mostra al contrario come queste riescano a sopportare azioni in assenza di compressione esterna (o comunque con una minima precompressione indotta talvolta da tiranti metallici presenti). La resistenza a flessione delle fasce va ricondotta a diversi fattori fra cui la presenza dei solai all’interno del paramento, un differente orientamento della tessitura muraria nei confronti delle azioni esercitate (la flessione si esercita sulla dimensione prevalente del mattone, al contrario del maschio murario: l’ideale rotazione dell’elemento non coinvolge infatti la disposizione dei corsi di muratura) oltre ad una certa compressione indotta dagli elementi confinanti a seguito di un inizio di danneggiamento (e deformazione) nella fascia. Quest’ultimo meccanismo si ha per l’instaurarsi di “effetto puntone” attraverso l’ingranamento offerto da una minima rotazione delle porzioni circostanti le fasce (nodi rigidi nel telaio equivalente). Tale compressione non è facilmente quantificabile, tuttavia, il macroelemento, grazie alla sua formulazione (coglie l’accoppiamento rotazione schiacciamento in fase post elastica) riesce a cogliere esplicitamente il fenomeno, a differenza dell’elemento a legame bilineare proposto (in tal caso è recepita l’interazione fra sforzo normale e momento ultimo senza coinvolgere però le grandezze cinematiche). Modellare le fasce come maschi ruotati, senza tener conto dei meccanismi resistenti sopra elencati porta, a risultati poco realistici. Tale limite, è stato in parte compensato, nel testo normativo, da alcune precisazioni sulla modellazione delle travi in muratura: “…. Qualora l’azione assiale non sia nota dal modello di calcolo (ad es. quando l'analisi è svolta su modelli a telaio con l'ipotesi di solai infinitamente rigidi nel piano), ma siano presenti, in prossimità della trave in muratura, elementi orizzontali dotati di resistenza a trazione (catene, cordoli), i valori di resistenti potranno essere assunti non superiori ai valori di seguito riportati ed associati ai meccanismi di rottura per taglio o per pressoflessione.” Ovvero in assenza di una valutazione realistica della compressione assiale (condizione necessaria per poter modellare la fascia come maschio ruotato), si assume comunque una resistenza a trazione della fascia, giustificata da un meccanismo a puntone equivalente. Tale dispositivo è ammesso, a favore di sicurezza, solo in presenza di un cordolo o tirante, inserito nell’elemento (infatti la resistenza assunta è la minima fra il puntone equivalente ed il tirante).


La finalità di ricerca del presente lavoro giustifica l’aver assunto comunque il puntone equivalente per non avere una resistenza palesemente falsata (seguiranno confronti fra modelli ad ulteriore approfondimento dell’assunzione). Inoltre, la finalità della norma, intesa come soddisfacimento di un livello di sicurezza che ammetta margini ulteriori, impone una soglia di deformazione plastica per maschi e fasce estremamente cautelativa (drift massimo 0.4% a taglio e 0.8% a presso-flessione, ridotto a 0.6% su edifici esistenti, secondo la nuova ordinanza ai punti 8.2.2.1, 8.2.2.2 e 11.5.8.1); essendo il presente lavoro finalizzato ad identificare il modello tale vincolo è stato, inizialmente, rimosso; in una seconda fase, in via approssimativa, lo stesso è stato reintrodotto, ritarandone il valore, in modo da localizzare il “picco” della curva. Realisticamente, il valore trovato, può solo avere un significato indicativo derivando da una sola sperimentazione.

Pushover monotona Door Wall

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 spostamento [mm]

Tag

lio [

kN]

Sperimentale assenza di drift Drift

Figura 75 - Curve monotone sperimentale ideale (in blu) e numerica (in giallo) relative alla “door wall”

Pushover Monotona Window Wall

0

20

40

60

80

100

120

140

160


Tagl

io [k

N]

Sperimentale

assenza di drift Drift normativa

Figura 76 - Curve monotone sperimentale ideale (in blu) e numerica (in giallo) relative alla “window

wall”

Si è ottenuta una buona aderenza con i dati sperimentali in quanto le curve colgono i punti salienti del ramo crescente e approssimano ragionevolmente il softening con un andamento


“mediato”; è, evidentemente, impossibile, con questo modello di legame, ottenere una curva sovrapponibile oltre la resistenza massima. Si può vedere come i drift proposti dall’ordinanza 3431 siano estremamente cautelativi e comporterebbero una sottostima della resistenza e duttilità del modello. Anche per quanto concerne il danneggiamento subito dalle pareti si sono ottenute conferme concrete: infatti dalle figure di seguito riportate è riscontrabile come a collasso coincidano sia gli elementi a rottura, sia i meccanismi stessi di collasso locale, oltre al meccanismo globale, nel modello sperimentale e nel del modello numerico. Quest’ultimo risulta leggibile per mezzo della legenda colorata tesa a specificare il meccanismo di rottura del singolo elemento.

Figura 77 - Confronto a collasso fra modello numerico e sperimentale (Ciclo D) nella “door wall.”

Dall’ immagine di confronto tra i danneggiamenti si nota la corrispondenza tra i due modelli. Va ricordato come la prova sperimentale fosse ciclica, mentre il paragone viene fatto su un ideale inviluppo monotono, pertanto è ragionevole, nel modello numerico, riscontrare danneggiamenti non simmetrici, fra parte destra e sinistra della parete. I meccanismi coinvolgono gli stessi elementi: si verifica la plasticizzazione a taglio nella fasce al primo piano, quindi la rottura, sempre a taglio del maschio centrale, e infine la plasticizzazione per pressoflessione dei due maschi laterali. Il cinematismo complessivo è, coerentemente, un meccanismo di piano debole sul livello inferiore.

Figura 78 - Confronto a collasso fra modello numerico e sperimentale (Ciclo D) nella “window wall.”

A prescindere della mancata simmetria del danneggiamento, dovuta ad un’analisi monotona, i meccanismi locali corrispondono: le fasce si danneggiano, i maschi laterali si danneggiano a presso flessione, mentre quello centrale si rompe per taglio. Globalmente si ritrova, nuovamente, un cinematismo per piano debole sul livello inferiore. Come anticipato segue la taratura proposta per il corretto valore di drift relativo ai maschi murari: osservando le figure precedenti, si nota come il meccanismo locale di collasso sia rottura a taglio dei maschi centrali, pertanto il valore di drift che governa il decadimento della curva è lo 0.4% previsto dalla normativa per quel meccanismo. Provando ad innalzare tale valore sino a

1 2 3 4

5 6 7 8

1 1 1

1 1 1

1 1 1

5 5

5 5

n n

n n

n n

n n

n n

n n


0.8% si ottengono decadimenti coerenti con la sperimentazione (il decadimento del modello numerico si collocherebbe in corrispondenza della resistenza massima, ove, anche nella sperimentazione è iniziata la fase di softening), tale valore, come già sottolineato, è da ritenensi puramente indicativo, essendo ottenuto da un’unica sperimentazione. È comunque ragionevole supporre che i valori proposti dalla normativa siano a favore di sicurezza, come si conviene in sede di verifica, secondo un livello di sicurezza convenzionale che ammetta ragionevoli margini rispetto al collasso.

DOOR WALL

0 20 40 60 80

100 120 140 160


Tagl

io [

kN]

0.4% 0.8%

WINDOW WALL

0 20 40 60 80

100 120 140 160


Tag

lio [k

N]

0.4% 0.8%

Figura 79 - Curve pushover con ritaratura del drift limite. Si osserva come il valore 0.4%, proposto dalla

normativa, sia cautelativo.

A ulteriore conforto dell’analisi critica delle disposizioni contenute nella normativa, relative al legame bilineare, segue il confronto fra la parete (“door wall” nell’esempio) modellata considerando il meccanismo puntone nelle fasce e in assenza di tale contributo.

DOOR WALL

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 5 10 15 20 25

spostamento [mm]

Tag

lio

[kN

]

Sperimentale

Effetto puntone

Fasce "ordinarie"

Figura 80 - Curva pushover, modello fasce senza il contributo a puntone equivalente. La resistenza

complessiva risultava estremamente sottostimata.

4.5 Modello complessivo La sperimentazione, per motivi tecnologici dovuti ai dispositivi di prova, si è dovuta limitare al test delle pareti singole, è comunque interessante osservare il comportamento complessivo del prototipo, modellato con il legame bilineare, utilizzando, come termine di riferimento, il modello numerico ottenuto con il legame macroelemento. Si tratterà dunque di un confronto limitato al lavoro eseguito sui due modelli numerici. Nel modello complessivo sono state inserite le due pareti studiate nelle fasi precedenti, unite a due pareti cieche lateralmente: questa volta il contributo delle pareti laterali sarà considerato solo nel piano di giacenza e non ortogonalmente (coerentemente con quanto previsto dai modelli


a telaio equivalente, ed illustrato nel par. 2.4). Il modello prevede ora la presenza di due solai, modellati mediante membrane ortotrope (vedi par. 2.4) con una rigidezza coerente con la tecnologia effettivamente impiegata nel prototipo. Si è proceduto a determinare la risposta numerica alla prova monotona ideale che era stata realizzata sulle due pareti, ovvero si è imposto il progressivo spostamento di un punto (nodo) del modello a condizione che le forze complessivamente agenti su ogni piano di ogni parete fossero uguale.

Figura 81 - Rapporto di forze nell’analisi statica non lineare realizzata sul modello tridimensionale

Tale condizione è stata ottenuta con l’algoritmo descritto al par. 2.1.4. L’analisi, condotta sul medesimo modello numerico, con i due legami descritti, macroelemento e bilineare ha portato risultati confrontabili sia in termini di curve di capacità sia come meccanismo di collasso: la parete con finestre, meno resistente, si danneggia per prima, seguita poi dall’altra parete.

Curve Pushover edificio scatolare Pavia

0

50

100

150

200

250

300

350


Tag

lio [k

N]

Legame Bilineare

Legame con Decadimento

Figura 82 - Curve pushover nei due modelli numerici (legame bilineare e macroelemento con

decadimento). Si osserva un andamento sostanzialmente simile.


P1

P2 P3

P4

P1

P2 P3

P4

Figura 83 - Deformate in pianta modelli numerici con legame a macroelemento (sx) e bilineare (dx)

I danneggiamenti locali di maschi e fasce risultano coerenti con i quadri fessurativi emersi dai tests sulle due porzioni murarie; le deformate evidenziano la sostanziale deformabilità dei solai come previsto in sede di prova.

1 2 3 4

5 6 7 8

10 11 12

13 14 15

16 17 18

n2 n3

n6 n7

n10 n11

N1 N4

N5 N8

N9 N12

Figura 84 - Deformate parete “windows” Macroelemento (a sinistra) - Bilineare (a destra). La differenza

visibile nella deforma non è dovuta ad un meccanismo differente bensì ad una differente visualizzazione: nel macrolemento viene esplicitamente rappresentata la rotazione delle estremità a sottolineare il l’accoppiamento fra rotazione e spostamento (ruotando l’elemento si “alza” cogliendo

un effetto di ingranamento)

4 1 42 43

4 4 45 46

47 48

49 50

n22

n24

n25

N21 N23

N26 N27

N28 N29

4142

43

44 45 46

4 7 48

4 9 50

n22

n24

n25

N21 N23

N26 N27

N28 N29

Figura 85 - Deformate parete “doors” Macroelemento (sinistra) - Bilineare (destra)

Effettivamente i due modelli sono descritti da parametri meccanici molto simili:


E G fm τ0

(N/mm2) (N/mm2) (N/cm2) (N/cm2)

maschi 2200 135 135 7 Bilineare fasce 2200 135 135 5

maschi 2200 200 170 7 Macroelemento fasce 2200 200 170 8

Tabella 2. Confronti fra i differenti parametri meccanici

La maggior rigidezza a taglio (G) del macroelemento è imputabile ad un progressivo danneggiamento, ovvero ad una perdita di resistenza nella fase precedente al raggiungimento del picco di resistenza (non linearità a presso flessione e danneggiamento a taglio), mentre la differente resistenza a compressione è giustificata dal comportamento asintotico del macroelemento, ovvero, per la propria formulazione, il massimo momento resistente, nel macroelemento, diviene una sorta di limite superiore raggiungibile in modo asintotico (per effetto dell’accoppiamento rotazione- inflessione si esprimerebbe il massimo momento a spostamenti infiniti). L’identificazione del meccanismo in corrispondenza di spostamenti limitati porta ad assumere resistenze maggiore; il legame bilineare al contrario individua, in modo esplicito, i meccanismi teorici di rottura. Le differenti resistenze a taglio nelle fasce derivano dai problemi connessi alla modellazione di tali elementi, nel legame bilineare si assume, in modo forfetario, il meccanismo puntone (ed è pertanto “necessaria” meno resistenza), nel macroelemento, invece, si sfrutta l’ingranamento effettivo offerto dalla rotazione degli nodi adiacenti.

4.6 Risposta dinamica Per semplicità di calcolo e sinteticità dei risultati si usa preferire realizzare la valutazione sismica mediante metodi statici (analisi statica non lineare), ma per poterne accertare la validità in “sostituzione” di una analisi dinamica vera e propria è indispensabile aver precedentemente svolto tali analisi. Come illustrato nel precedente capitolo, è possibile pensare di estendere la metodologia di analisi dinamica a strutture modellate mediante il legame bilineare precedentemente illustrato. Tale approccio si basa sulla “sovrataratura” dell’attrito viscoso a compenso di una minore capacità isteretica (un approccio analogo è impiegato per ridefinire gli spettri elastici per contemplare il degrado degli edifici: spettri sovrasmorzati, vedi par. 5.1.1). Numericamente la viscosità è governata dai parametri α e β che definiscono la matrice di smorzamento di Rayleight (3.36), fissati in modo tale da fornire uno smorzamento minimo sulla frequenza propria della struttura, via via crescente per le altre frequenze. Si è svolta un’analisi modale che ha permesso di determinare la frequenza propria, e la massa complessiva dinamicamente eccitabile.


0%

5%

10%

15%

20%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20frequenza [Hz]

ξf0

Figura 86 - Smorzamento viscoso nel modello con legame Bilineare.

È interessante verificare l’estendibilità dell’analisi dinamica non lineare al passo al legame semplificato: assumendo uno smorzamento convenzionale minimo del 6% sulla frequenza elastica fondamentale (determinata a seguito di analisi modale) si è proceduto a valutare l’affidabilità delle analisi dinamiche svolte sul modello numerico del prototipo di Pavia con legame bilineare. A confronto si sono svolte le medesime analisi con il legame macroelemento, in tal caso l’intrinseca capacità di isteresi non ha reso necessario “alterare” lo smorzamento viscoso, che al contrario è rimasto uniforme intorno alla frequenza elastica (procedimento illustrato nel capitolo precedente per il pannello tozzo). Come segnale dinamico si sono utilizzati tre accelerogrammi sintetici, successivamente riutilizzati nei capitoli seguenti, di seguito rappresentati:

Componente orizzontale, acc. "S1"

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tempo [s]

Acc

eler

azio

ne [g

]

Figura 87 - Accelerogramma denominato “S1”


-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tempo [s]

Acc

eler

azio

ne [g

]




-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Tempo [s]

Acc

eler

azio

ne

[g]


I confronti in termini di spostamenti massimi mostrano una soddisfacente congruenza, perlomeno per accelerazioni “compatibili” con la struttura; per accelerazioni tali da innescare cinematismi di piano la modellazione bilineare diviene poco realistica: produce infatti spostamenti piuttosto elevati frutto di un complessivo “scivolamento” dei livelli situati sopra il meccanismo. Vista la finalità comparativa delle analisi si è preferito non inserire alcun controllo sui drift massimi, in modo da evitare “mutamenti” delle strutture resistenti non direttamente comparabili fra i modelli. Acc. S1 [cm] Acc. S3 [cm] Acc. S6 [cm]

P.g.a. [ms-2] Bilineare Macroel. % Bilineare Macroel. % Bilineare Macroel. % 0.5 0.18 0.23 20% 0.19 0.25 24% 0.18 0.22 18% 1.00 0.4 0.54 26% 0.44 0.51 14% 0.41 0.58 29% 1.50 0.91 0.80 13% 0.88 0.79 11% 0.93 0.81 15%

2.00 (1.66) 1.00 66% (1.70) 1.02 67% (1.80) 1.10 64%

Tabella 3. Confronti massimi spostamenti legame bilineare vs legame macroelemento. Si noto una sostanziale corrispondenza per valori medio-bassi di accelerazione. Per valori elevati (tali da innescare

cinematismi) il modello bilineare fornisce valori eccessivi.

Nelle figure seguenti, si può osservare come vi sia corrispondenza fra i cicli dinamici nei due modelli per i valori bassi di accelerazione; per medie accelerazioni, pur differendo i cicli si ottengono valori massimi comparabili. La forma differente dei cicli, nel diagramma forza reattiva (taglio complessivo) contro spostamento medio del secondo solaio, ottenuti con il bilineare, è imputabile alla struttura intrinseca del modello, incapace di fornire un sufficiente smorzamento isteretico e incrementato nella componente viscosa. Per “elevate” accelerazioni (si intenda accelerazioni tali da indurre cinematismi), nel caso specifico 2.0 ms -2, i cicli si discostano marcatamente.


Cfr Acc. S1 - Dinamica per p.g.a. 1.0 ms -2

-20000

-10000

0

10000

20000

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

Macroelemento

Bilineare

Figura 90 - Confronto, per basse accelerazioni, diagramma taglio-spostamento a seguito di analisi

dinamica su legame bilineare e macroelemento.

Cfr Acc. S1- Dinamica a p.g.a. 1.5 ms-2

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

spostamento [cm]

Tagl

io [d

aN]

Macroelemento

Bilineare

Figura 91 - Confronto, per medie accelerazioni, diagramma taglio-spostamento a seguito di analisi dinamica su legame bilineare e macroelemento.


Cfr Acc. S1- Dinamica a p.g.a. 2.0 ms -2

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

Macroelemento

Bilineare

Figura 92 - Confronto, per elevate accelerazioni, diagramma taglio-spostamento a seguito di analisi

dinamica su legame bilineare e macroelemento.

Per meglio interpretare i risultati delle analisi ad accelerazioni elevate seguono le deformate con i quadri di danno per le pareti nelle due modellazioni del legame:

1 2 3 4

5 6 7 8

10 11 12

13 14 15

16 17 18

n2 n3

n6 n7

n10 n11

N1 N4

N5 N8

N9 N12

1 2 3 4

5 6 7 8

10 11 12

13 14 15

16 17 18

n2 n3

n6 n7

n10 n11

N1 N4

N5 N8

N9 N12

Figura 93 - Parete “Windows”, legame bilineare (sinistra) e macroelemento (destra).


4142

43

44 45 46

47 48

49 50

n22

n24

n25

N21 N23

N26 N27

N28 N29

41 42 43

44 45 46

47 48

49 50

n22

n24

n25

N21 N23

N26 N27

N28 N29

Figura 94 - Parete “Door”, legame bilineare (sinistra) e macroelemento (destra).

Il confronto è operato fra l’ultimo passo nel modello a legame bilineare ed il passo di massimo spostamento nel modello a macroelementi: in quest’ultimo infatti la non linearità a pressoflessione è data, oltre che dal danneggiamento per superata resistenza di compressione, dalla parzializzazione per trazione nella sezione (questo meccanismo è interamente reversibile e quindi non più evidenziabile all’ultimo passo). Vale la pena approfondire i risultati delle analisi dinamiche al passo condotte sul legame bilineare; diagrammando la forza reattiva, ovvero il taglio misurato alla base, si ottiene un’informazione più “compatta” ma meno affine all’analisi dinamica svolta: se il sistema fosse costituito da un solo grado di libertà o comunque fossimo in presenza di solai rigidi avremmo ottenuto un diagramma molto simile al comportamento del singolo pannello, ovvero i cicli tenderebbero a rette passanti per l’origine. Il meccanismo semplificato di scarico lungo la secante forza questo comportamento.

Confronto solai rigidi e deformabili- Dinamica a p.g.a. 1.5 ms-2

Legame bilineare accelerogramma S1

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

spostamento [cm]

Tagl

io [

daN

]

Solaio rigido

Solaio deformabile

Figura 95 - Confronto legame bilineare solai deformabili e rigidi. Nel caso di solaio rigido il solaio si

sposta in modo “solidale” ed i cicli passano per l’origine.

I diagrammi riportano lo spostamento medio del secondo solaio, ottenuto come media pesata dei nodi del secondo livello: in presenza di solai deformabili sono possibili, specie a rilevanti accelerazioni, mutui spostamenti relativi fra i nodi con un conseguente “arrotondamento del


ciclo”: si perde il riferimento ad uno spostamento medio nullo, pertanto risulta possibile riscontrare uno spostamento a taglio nullo; al termine dell’analisi non vi sono comunque spostamenti residui significativi (l’oscillazione della media è quindi un effetto temporaneo). In ogni caso la media di piano permette una maggiore sintesi dei risultati, riducendo la sensibilità alle differente deformabilità delle pareti, effetto esasperato diagrammando lo spostamento di un solo nodo.

Confronto nodo di controllo - Dinamica a p.g.a. 1.5 ms-2 - solaio deformabile Legame bilineare accelerogramma S1

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

nodo controllo uniconodo controllo= media piano

Figura 96 - Confronto fra un nodo di controllo unico e la media di piano in presenza di solai flessibili.

Monitorando un nodo unico si esasperano gli spostamenti locali all’interno dello stesso livello e la curva si discosta maggiormente dalla condizione di spostamento nullo all’attenuarsi del taglio.

Il diagramma rispetto alla media di piano riduce gli effetti locali dovuti alla differente deformabilità delle pareti in presenza di solai deformabili. Per avere una rappresentazione più familiare alla dinamica non lineare è possibile diagrammare il contributo delle forze inerziali in luogo delle reattive: per ogni punto si determina l’accelerazione assoluta (ottenuta sommando algebricamente l’accelerazione relativa, ottenuta da Newmark, come illustrato nel paragrafo 2.1.1 e l’accelerazione al suolo) e la si moltiplica per la massa associata al nodo; la sommatoria dei contributi di tutti i punti fornisce la forza inerziale complessiva:

( )inerziale i i i suolo ii iF m a m a x= = −∑ ∑ && (4.1)

Nell’ambito delle forze inerziali anche le curve descritte dal legame bilineare assumono le “caratteristiche” delle analisi dinamiche assomigliando, in termini di aree dei cicli (dissipazione) e spostamenti massimi alle medesime ottenute con il macroelemento; il minor taglio associato al bilineare deriva dall’aver sottostimato la resistenza massima, nell’identificazione delle singole pareti, al fine di ottenere un plateau che mediasse il ramo di softening.


Accelerogramma S1- Forze inerziali - Dinamica a p.g.a. 1.5 ms-2

confronto Legame bilineare e macroelemento

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

spostamento [cm]

Macroelemento

Bilineare

Figura 97 - Confronto fra le forze inerziali fra legame macroelemento e bilineare. La viscosità compensa

la minor isteresi ed i cicli complessivi sono simili.

Accelerogramma S1- Forze inerziali e reattive - Dinamica a p.g.a. 1.5 ms-2

Legame Bilineare

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

spostamento [cm]

Fo

rza

com

ple

ssiv

a [d

aN]

Reattiva

Inerziale

Figura 98 - Confronto fra le forze inerziali e reattive nel legame Bilineare: il cicli inerziali “avvolgono”

quelli reattivi generando la dissipazione viscosa assegnata.

Osservando i cicli inerziali si nota come questi “avvolgano” i cicli della forza reattiva (dissipazione isteretica), la differenza fra le aree costituisce l’ulteriore dissipazione di tipo viscoso. La differenza fra curve è comunque modesta e per semplicità di trattazione, ove non diversamente specificato, si farà riferimento alle curve reattive (taglio complessivo alla base).


4.7 conclusioni Il costante confronto con le prove sperimentali, quando presenti, ed il modello a macroelemento, validato in anni di ricerca, ha reso possibile verificare l’attendibilità delle analisi svolte con il legame bilineare, proposto nella nuova normativa sismica, per la muratura. Durante l’identificazione è emerso un potenziale limite nell’interpretazione della fascia come maschio ruotato: assumere lo stesso modello porta a valutazioni eccessivamente punitive ed irrealistiche in assenza di dispositivi che permettano di garantire il meccanismo puntone. Tale limite, specie in assenza di dati sperimentali, può portare a modelli numerici sfalsati, in cui la resistenza è unicamente garantita dai maschi murari. Ragionevolmente l’errore risulterà a favore di sicurezza, ma la valutazione del meccanismo di collasso risulterà sfalsata con evidenti ripercussioni sull’approccio prestazionale che si vorrebbe perseguire. Infine si è dimostrato come, attraverso un’amplificazione dello smorzamento viscoso (in misura del 6% sulla prima frequenza e progressivamente più elevato sulle altre), è possibile ottenere valutazioni accettabilmente corrette dello spostamento massimo a seguito di una simulazione dinamica non lineare. Tale metodologia di analisi sarà utilizzata, nel prossimo capitolo, per verificare la correttezza degli approcci di analisi statici non lineari; finalizzati alla previsione degli effetti dinamici di un evento sismico a partire dallo spettro elastico.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Abrams D.P.,1996, Effects of scale and loading rate with tests of concrete and masonry structures, Earthquake Spectra,12,1. Abrams D.P.,1997, Response of unreinforced masonry buildings, Journal of Earthquake

Engineering,1,1. Abrams D.P., Calvi G.M. (eds.), 1994, Proc. of the US-Italy workshop on Guidelines for seismic evaluation

and rehabilitation of unreinforced masonry buildings, Technical Report NCEER-94-0021, Pavia. Abrams D.P., Costley A.C., 1995, Dynamic response of unreinforced masonry buildings with flexible

diaphragms, NCEER Technical Report, Urbana-Champaign. Anthoine A., Magonette G., Magenes G., 1995, Shear compression testing and analysis of brick

masonry walls, Proc. of the 10th European Conference on Earthquake Engineering, Vienna. Benedetti D., Carydis P., Pezzoli P., 1998, Shaking table tests on 24 simple masonry buildings,

Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 27, 1. Brencich A., Lagomarsino S., 1997, Un modello a macroelementi per l'analisi ciclica di pareti

murarie, Atti dell'8° Convegno Nazionale ANIDIS, Taormina. Brencich A., Penna A., 1999, Una procedura a macroelementi per l’analisi sismica di pareti in

muratura con orizzontamenti incemento armato, Atti del 9° Convegno Nazionale ANIDIS, Torino. Clough R.W., Penzien J., 1993, Dynamics of structures, McGraw-Hill, New York. Faccioli E., Pessina V. (eds.), 1999, The Catania Project - Earthquake damage scenarios for a high risk

area in the Mediterranean, CNR-GNDT, Roma. Faccioli E., Pessina V., Calvi G. M., Borzi B., 1999, A study on damage scenario for residential buildings in

Catania city, Journal of Seismology, 3, 3. Faccioli E., Tolis S. V., 1999, Displacement Design Spectra, Journal of Earthquake Engineering, 3, 1. Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., 2001, Analisi sismica a macroelementi di edifici in muratura, Atti

del 10° Convegno Nazionale ANIDIS, Potenza e Matera. Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., Nicoletti M., Lamonaca G., Nicoletti M.e Spina D., Margheriti

C., Salcuni A., 2005, Identificazione ed analisi non lineare degli edifici in muratura dell’Osservatorio Sismico delle Strutture, Atti XI Convegno Nazionale "L'ingegneria sismica in Italia", Atti su cd, pp.14, Genova 25-29 gennaio 2004.



5 Procedure di analisi sismica La procedura di analisi più accurata per valutare il comportamento di un edificio nei confronti di un’azione sismica è l’analisi dinamica non lineare; tuttavia vi sono alcuni problemi che ne “scoraggiano” l’utilizzo sistematico:

• la dipendenza dal segnale scelto (accelerogramma) comporta l’uso di molteplici segnali per ogni direzione di analisi (nella recente normativa italiana e nell’EC8 ne sono richieste 7 terne)

• la complessità del metodo lo rende applicabile solo in presenza di legami sufficientemente elaborati, disponibili in pochi programmi “ad hoc” e con conseguenti tempi di analisi non trascurabili (molto inferiori comunque ai metodi f.e.m.)

• la valutazione dei risultati in chiave prestazionale è tutt’altro che immediata: può divenire comunque necessario affiancarvi un’analisi statica (come illustrato in Cattari et al, 2005)

Sia la ricerca, sia la pratica progettuale, si sono orientate a metodologie alternative di tipo statico, capaci di “sintetizzare” gli effetti della risposta dinamica. In campo elastico si è già citata l’analisi statica equivalente (nelle recente normativa denominata statica lineare) che, a partire dagli spettri elastici, opera una riduzione forfetaria delle azioni per contemplare la duttilità dell’edificio; più complessa ma più realistica è la formulazione statica non lineare, elaborata negli ultimi decenni, che si propone di ricondurre l’edifico ad un oscillatore elastoplastico su cui valutare i massimi spostamenti, in analogia al metodo degli spettri di risposta. Tale procedimento, proposto da più autori (Fajfar, Freeman et al.) è riportato, nella sua formulazione generale, nel paragrafo seguente; negli aspetti più specifici si seguirà la riproposizione presente nel nuovo testo normativo che recepisce gli studi di Fajfar. Si approfondiranno i punti più interessanti del metodo per valutarne criticamente l’affidabilità in confronto con i risultati ottenibili direttamente in campo dinamico non lineare. Per le costruzioni in muratura, tuttavia, questo approccio non rappresenta una novità in senso assoluto: sebbene i metodi di calcolo e verifica proposti siano diversi ed aggiornati, l’idea di una più efficace descrizione della capacità della struttura attraverso l’analisi statica non lineare era già presente nelle precedenti normative (D.M. LL.PP. 2 luglio 1981 n.593; Circ.Min. LL.PP. 30 luglio 1981 n.21745) con il cosiddetto Metodo POR. Si presenterà infine una metodologia integrativa del metodo (pushover adattiva), per considerare il degrado durante l’analisi, applicata per la prima volta a modelli in muratura.

5.1 L’analisi statica non lineare ed il metodo dello spettro di capacità Il metodo consiste nel confronto tra la domanda del terremoto, rappresentata attraverso gli spettri di risposta di accelerazione e spostamento, e la capacità della struttura: un diagramma forza-spostamento non lineare, da convertire in accelerazione-spostamento, ottenuto applicando un sistema di forze orizzontali ai vari piani. La metodologia di seguito illustrata segue la riformulazione proposta da P. Fajfar (2000) del cosiddetto Metodo dello spettro di capacità, introdotto precedentemente da Freeman ed altri (Freeman et al., 1978). Il metodo dello spettro di capacità, nella sua formulazione originale, è stato adottato dalla normativa statunitense ATC 40, mentre la versione presentata nella norma italiana deriva, con alcune correzioni in particolare per gli edifici in muratura, da quella contenuta nella nuova versione dell’Eurocodice 8, secondo l’impostazione di Fajfar. Partendo dai due spettri di risposta di spostamento e accelerazione è possibile costruire un unico diagramma rappresentativo della domanda del terremoto. Tale diagramma è impropriamente detto (Chopra) “Spettro della domanda”: in ascissa è riportato lo spettro di


risposta di spostamento, mentre in ordinata lo spettro di accelerazione, il periodo proprio non è quindi esplicitamente presente (implicitamente i differenti periodi identificano le rette di un fascio con centro nell’origine Gli spettri (come già introdotto nel par. 2.1.2) sono solitamente definiti, in base alla tipologia di suolo, attraverso ordinate corrispondenti ad alcuni valori di periodo, che definiscono la forma della curva,. A titolo di esempio si riportano le formule ed i periodi che descrivono gli accelerogrammi nella nuova norma italiana (simili a quanto previsto nell’Eurocodice 8):

BTT0 <≤ ( )

−⋅η⋅+⋅⋅= 15,2

TT

1Sa)T(SB

ge

CB TTT <≤ 5,2Sa)T(S ge ⋅η⋅⋅=

DC TTT <≤

⋅⋅η⋅⋅=TT

5,2Sa)T(S Cge (5.1)

TTD ≤

⋅⋅η⋅⋅=2

DCge T

TT5,2Sa)T(S

dove η dipende dallo smorzamento (η=1 per smorzamento viscoso 5%) ed ag dalla categoria

sismica.

Categoria

suolo S TB TC TD

A 1,0 0,15 0,40 2,0 B, C, E 1,25 0,15 0,50 2,0

D 1,35 0,20 0,80 2,0

Tabella 4. Periodi descrittivi dello spettro nella nuova norma italiana.

SA

T Tb Tc Td

SD

T Tb Tc Td SD

Tb Tc

Td

SA

Figura 99 - Spettri elastici di accelerazione e spostamento e Spettro della Domanda. Assi accelerazione e

spostamento, i periodi implicitamente sono individuabili lungo le rette a partire dall’origine.

Come si può notare dalla figura più a destra, scompare una dipendenza esplicita dal periodo o dalla frequenza (per questo motivo la definizione di “spettro” è impropria), ma i punti a uguale periodo si trovano allineati su rette passanti per l’origine degli assi, secondo l’espressione


DA ST

S22

=

π. (5.2)

Sullo stesso piano (SD,SA) è possibile rappresentare lo spettro di capacità della struttura, convertendo opportunamente i valori di forza (somma delle reazioni vincolari nella direzione considerata) e spostamento (spostamento orizzontale nella direzione considerata di un punto della struttura, solitamente assunto come lo spostamento medio dei punti in sommità all’edificio) ottenuti dall’analisi. La curva di capacità forza-spostame nto è il risultato dell’analisi statica non lineare su una struttura a più gradi di libertà: ai diversi piani dell’edificio sono applicate delle forze orizzontali che sono proporzionali ad una prefissata distribuzione (ad es. possono essere proporzionali alle masse). L’analisi, in particolare per le strutture in muratura, non è semplicemente un’analisi statica incrementale: si tratta di un’analisi “a spinta” (analisi pushover) cioè in grado di seguire la capacità di spostamento della struttura anche dopo il raggiungimento della resistenza massima. Infatti l’algoritmo, come descritto nel par. 2.1.4, impone il progressivo incremento dello spostamento di un nodo di riferimento (nodo master) garantendo un fissato rapporto fra le forze degli altri nodi.

Figura 100 - Curva di Capacità nel piano accelerazione spostamento e schema della disposizione di forze nell’analisi pushover (in evidenza il nodo master)

Ad ulteriore semplificazione della curva pushover, ottenuta per punti, e nell’ottica di voler rappresentare un oscillatore elastoplastico (sistema ad un grado di libertà), si può riassumere la curva con un andamento bilineare. È in tal modo evidente il tratto elastico iniziale ed il tratto degradato successivo, come si vede nella figura precedente. Dal confronto tra capacità e domanda, ovvero dall’intersezione tra lo spettro di capacità e quello della domanda, è possibile determinare le prestazioni richieste alla struttura dalla sollecitazione sismica di progetto. È bene notare, tuttavia, che la domanda deve essere ridotta quando, per effetto dell’entrata in campo non lineare, la struttura è maggiormente in grado di dissipare energia. La riduzione degli spettri della domanda può essere effettuata secondo due distinti approcci: utilizzando un coefficiente di smorzamento viscoso equivalente incrementato per tener conto dell’energia dissipata per isteresi (spettro di risposta elastico sovrasmorzato); utilizzando fattori di riduzione delle ordinate spettrali dipendenti dalla duttilità globale (spettro di risposta anelastico).

SD

Tiniziale

ay

SA

81 82

83 84

85 86 87

88

89

90 91

n16 n17

N21

N25

N29

N33

N37

N41

N45

N49

N53

51 52 53

54 55 56

57 58 59

60 61

62 63

64 65

n10 n11 n12

N23

N27

N31

N35

N39

N43

N47

N51

N55

51 52 53

54 55 56

57 58 59

60 61

62 63

64 65

n10 n11 n12

N23

N27

N31

N35

N39

N43

N47

N51

N55

36 37 38

39 40 41

42 43 44

45 46

47 48

49 50

n7 n8 n9

N24

N28

N32

N36

N40

N44

N48

N52

N56


Le nuova normativa italiana, al punto 4.5.4, propone, come metodo generale applicabile a tutte le tipologie strutturali, l’approccio mediante spettro anelastico pur consentendo, per le sole costruzioni in muratura, l’utilizzo, in alternativa, del metodo basato sullo spettro elastico sovrasmorzato (punti 8.1.5.4 e 8.1.6).

5.1.1 Spettri di risposta della domanda: anelastici ed elastici sovrasmorzati Come si è accennato, le strutture che abbiano una resistenza alle azioni orizzontali inferiore alla massima sollecitazione elastica dovuta al sisma hanno una risposta caratterizzata dal superamento del limite elastico: gli edifici, cioè, si danneggiano e, per sopportare l’eccitazione sismica, fanno affidamento non più sulla resistenza, ma sulla loro capacità di deformarsi in campo non lineare. Al comportamento duttile, che emerge da un’analisi statica allorché si instaura un meccanismo di collasso, è però associato, per la natura dinamica ed alternata dell’azione sismica, un comportamento ciclico isteretico: una parte dell’energia trasmessa dal sisma alla struttura viene dunque assorbita da questo fenomeno dissipativo. L’effetto dell’energia dissipata nei cicli di isteresi viene in genere quantificato riducendo le ordinate degli spettri di risposta di accelerazione e spostamento. Ad esempio, gli spettri di progetto proposti dalla nuova ordinanza, al punto 3.2.5, attraverso l’introduzione del coefficiente di struttura sono infatti basati su questo tipo di considerazioni: la riduzione della domanda del terremoto può avvenire tenendo conto della dissipazione di energia per isteresi o in maniera alternativa, attraverso un fattore riduttivo dipendente dalla duttilità globale disponibile (una sorta di fattore di struttura) oppure attraverso un coefficiente di smorzamento viscoso equivalente. Si noti che in entrambi i casi la riduzione della domanda del terremoto avviene sulla base delle proprietà post-elastiche della struttura che si sta analizzando, cioè dalla sua curva di capacità ottenuta con l’analisi pushover, e non invece da un preassegnato valore valido per un’intera tipologia strutturale. Gli spettri di risposta elastici in accelerazione e spostamento di un terremoto rappresentano, come noto, la domanda di massima accelerazione assoluta e massimo spostamento relativo per sistemi ad un grado di libertà con legame indefinitamente elastico lineare, caratterizzati da uguale smorzamento viscoso e periodo proprio di vibrazione variabile. Se, però, l’ipotesi di struttura elastica lineare viene sostituita da quella di struttura con legame bilineare elastico perfettamente plastico e se il terremoto è tale da portare a superare il limite di elasticità, la massima accelerazione strutturale risulta, invece, proporzionale alla resistenza,

attraverso la massa:Y

YFa

m= .

Per effetto del superamento del limite elastico varia, a seconda del periodo di vibrazione iniziale, la domanda di spostamento relativo massimo, cioè di duttilità: per sistemi flessibili ( CT T≥ ), si ha che lo spostamento massimo indotto dal terremoto corrisponde mediamente a quello di un sistema elastico lineare, mentre, per sistemi mediamente rigidi ( CT T< ), la duttilità richiesta è ottenuta generalmente con il criterio dell’uguaglianza dell’energia (come già evidenziato nel par. 2.1.3). Si ha, dunque, in generale:

2( )1

1 ,2

( ) ,

eR C

Y

eR C

Y

S TT T

a

S T T Ta

µ

µ

= + <

= ≥

(5.3)


La nuova ordinanza (punto 4.5.4) recepisce la trattazione di Fajfar (1999) esprimendo la domanda di duttilità mediante:

( )*

*

1 1 ,

,

CR C

R C

Tq T TT

q T T

µ

µ

= + − < = ≥

(5.4)

dove * ( ) ( )e e

Y Y

S T S T mq

a F= = rappresenta una sorta di fattore di struttura.

In termini di spostamento massimo si ha, perciò:

( )*

max *

max

1 1 ,

,

e CC

e C

D TD q T T

q TD D T T

= + − <

= ≥

, (5.5)

dove, come indicato nelle Norme, 2

2( ) ( )4e De e

TD S T S T

π= = .

Con questo approccio è pertanto possibile calcolare la massima domanda di spostamento attesa per effetto dell’azione sismica di progetto, rappresentata dallo spettro di risposta elastico, per un sistema bilineare ad un grado di libertà caratterizzato da periodo di vibrazione elastico T e accelerazione resistente aY (si veda Figura 100.) Lo spostamento massimo indotto dal sisma di progetto può essere confrontato, in fase di verifica, con la capacità di spostamento corrispondente allo stato limite in esame. La duttilità disponibile può, tuttavia, essere un dato progettuale ed essa può essere utilizzata per la determinazione di altri parametri come ad esempio il valore di aY. In altre parole, invertendo le relazioni precedenti si possono definire fattori di riduzione degli spettri di risposta elastici in funzione della duttilità (Fajfar, 1999):

( )( , ) 1 1 ,

( , ) ,

CC

C

TR T T TT

R T T T

µ µ

µ µ

= + − < = ≥

. (5.6)

Di conseguenza gli spettri di risposta ridotti, detti appunto spettri anelastici a duttilità costante, possono essere così ottenuti a partire dagli spettri di risposta elastici:

2

2

( )( , )

( , )

( , ) ( ) ( , )4

ea

Da De a

S TS T

R T

TS T S T S TRµ

µµ

µ µµ µπ

= = =

(5.7)


in cui, con ( , )aS T µ e ( , )DaS T µ , si intendono rispettivamente gli spettri di risposta anelastici di accelerazione e spostamento.

Figura 101 - Spettri di risposta anelastici a duttilità costante nel piano (SD, SA)

In alternativa all’approccio descritto in precedenza, è possibile tener conto della maggiore dissipazione di energia dovuta alla risposta elastoplastica definendo un valore di smorzamento viscoso equivalente che surroghi la dissipazione di energia legata al comportamento isteretico. Lo spettro di risposta elastico (a prescindere dalla normativa di definizione) tiene conto dello smorzamento viscoso strutturale; nello specifico, nella nuova normativa italiana (come nell’EC8) si modifica lo spettro attraverso il coefficiente

10

5η

ξ=

+, (5.8)

in cui ξ rappresenta, in percentuale, il valore dello smorzamento elastico viscoso relativo allo smorzamento critico: per il valore usuale di smorzamento strutturale per gli edifici in calcestruzzo armato o muratura, 5 %, il coefficiente η è pari a 1. In letteratura ed in altre norme si trovano definizioni alternative ed in genere di meno semplice utilizzo dei coefficienti di riduzione spettrale in funzione dello smorzamento viscoso elastico che, peraltro, portano sostanzialmente agli stessi risultati (Newmark, ATC 40). Per la definizione dello smorzamento elastico equivalente esistono varie definizioni: tipicamente si fa riferimento alla relazione di Gulkan e Sozen che lo correla direttamente all’energia dissipata per isteresi. Si ha

4eq

WE

ξπ

∆= (5.9)

dove con W∆ si intende l’energia dissipata in un ciclo di isteresi e con E l’energia di deformazione necessaria a raggiungere linearmente il massimo spostamento del ciclo. L’interpretazione grafica della formula è presentata nella figura seguente.

SD

Tb Tc

Td

SA

µ


SA

SD

Tb Tc

Td

ξ

Figura 102 - Spettri di risposta sovrasmorzati nel piano (SD, SA)

Per un sistema elastico perfettamente plastico, l’espressione precedente può anche essere espressa in funzione della duttilità, mediante la formula seguente:

2( 1)

eq

µξ

πµ−

= . (5.10)

I valori ottenuti con queste relazioni tendono in generale a sovrastimare l’effettiva capacità di dissipazione sperimentalmente osservata e, pertanto, in alcune norme come l’ATC40 vengono introdotti coefficienti moltiplicativi κ (≤1) che tengono conto dell’effettiva capacità di dissipazione della tipologia strutturale considerata in funzione anche della magnitudo dell’evento. Lo smorzamento elastico totale, risulterebbe dunque tot el eqξ ξ κξ= + . Un’altra definizione dello smorzamento equivalente degna di menzione è quella ricavata da Freeman (WJE, 1996) imponendo valori tali da ottenere fattori di riduzione delle ordinate spettrali pari a quelli ottenuti, corrispondentemente, in funzione della duttilità: in questo modo si ha un’altra relazione diretta tra (sovra)smorzamento viscoso equivalente e duttilità.

5.1.2 Curva di capacità e Performance-point Come si è accennato nei paragrafi precedenti, il prodotto dell’analisi statica non lineare è la cosiddetta Curva di Capacità. Attraverso la Curva di Capacità, ottenuta, prima, in termini di taglio alla base – spostamento in sommità e, poi, convertita in accelerazione – spostamento si ha la descrizione del comportamento post-elastico della struttura intesa come un sistema non lineare equivalente ad un grado di libertà. La curva di capacità si ottiene come risultato di un’analisi pushover, eseguita su un modello meccanico rappresentativo della struttura dell’edificio: la modellazione deve riprodurre la geometria delle pareti e tenere conto dell’effetto di collegamento, ripartizione ed irrigidimento degli orizzontamenti. La descrizione del comportamento strutturale attraverso la curva di capacità, sottintende l’ipotesi che la struttura sviluppi una risposta sismica complessiva: l’attenzione ai particolari costruttivi,


quali ad esempio i collegamenti tra le pareti e tra pareti e solai o i limiti di snellezza trasversale (spessori minimi) delle pareti stesse, fanno sì che si instauri un meccanismo di risposta globale e che le singole pareti collaborino alla risposta sulla base della propria rigidezza e resistenza nel proprio piano, analogamente a sistemi di controvento verticali resi collaboranti da irrigidimenti di piano costituiti dai solai. In altre parole, cioè, si ipotizza che l’attivazione di meccanismi di danno locali, quali ad esempio il ribaltamento fuori piano di pareti o porzioni di pareti, non possa avvenire prima dell’instaurarsi di una risposta globale legata al comportamento delle pareti nel piano. Le verifiche locali per azioni ortogonali al piano delle pareti devono comunque essere effettuate.

TB

SA

SD

DTOP SD

SA

SA

SD Figura 103 - Processo logico per ottenere il performance point ovvero il punto di massimo spostamento

coerente con lo spettro considerato.

Ferme restando tutte le osservazioni precedentemente menzionate, l’analisi statica non lineare prevede di poter individuare lo spostamento massimo a seguito di un evento dinamico di spettro noto mediante l’intersezione fra la curva di capacità e lo spettro opportunamente modificato per tener conto nelle non linearità (di seguito si farà riferimento al metodo degli spettri anelastici). Si illustra brevemente il procedimento secondo la formulazione inserita nella nuova ordinanza sismica (coerentemente con quanto esposto da Fajfar) e rivista in modo da effettuare direttamente il calcolo dello spostamento a partire da uno spettro di accelerazione con p.g.a. assegnata:

1. In primo luogo vengono valutati, in ragione del nodo di controllo, i valori di Γ ed m* (punto 4.5.4.3): numericamente si realizza un’analisi elastica imponendo un campo di forze modali (oppure più comunemente proporzionali a masse per altezze), assumendo

come vettore Φ la deformata e calcolando: 2

i i

i i

mm

ΦΓ =

Φ∑∑

ed *i im m= Φ Γ∑ . Sul

significato di Γ si veda il paragrafo seguente 5.2.1.


2. Assegnata la distribuzione di forze (sulla cui scelta si veda il paragrafo seguente), si realizza un’analisi pushover ottenendo una curva in termini di taglio e spostamento del nodo di controllo. Tale curva si dovrà arrestare nel momento in cui si verifichi un decremento di resistenza del 20%.

3. Si procede ad una semplificazione bilineare assumendo che il ramo crescente intersechi la pushover nel punto posto al 70% della resistenza, ovvero si determina in questo modo

la rigidezza equivalente 70%

70%

*F

kd

= del sistema.

4. Il plateau della bilineare individua il valore di Fy, esso viene ottenuto imponendo che l’area sottesa sia uguale all’area sottesa dalla curva pushover ottenuta numericamente.

Figura 104 - Schema per il calcolo della bilineare equivalente.

2 2 **y u u

AreaF d d kk

⋅= − −

(5.11)

5. La curva ottenuta verrà normalizzata rispetto a Γ dividendo sia forza, sia spostamento per il coefficiente ed ottenendo i valori normalizzati Fy* e du*. Idealmente, dividendo la forza anche per m* si otterrebbe il diagramma in accelerazione-spostamento.

6. La previsione di spostamento (performance point) verrà effettuata considerando il sistema bilineare schematizzato, a cui è associabile il periodo:

*

* 2*

mT

kπ= (5.12)

7. Assegnato uno spettro elastico di accelerazione, definito in ragione del suolo, ed assegnata una p.g.a. (ovvero il massimo valore di accelerazione al suolo dell’accelerogramma), è possibile determinare lo spostamento massimo usando lo spettro anelastico di spostamento. La correlazione fra spettro di accelerazione e spostamento è fornita dalle relazioni di pseudo-spettro:

2

( ) ( )2De e

TS T S T

π =

(5.13)

Spostamento

F70%=Fmax

Fy Taglio Fmax

d70% dy du


Il valore dello spettro anelastico di accelerazione si può calcolare a secondo del valore di T* (ovvero valutando se si tratta di strutture flessibili o rigide, si avrà uno spostamento uguale a quello di una struttura elastica di pari periodo o o ridotto secondo l’equivalenza delle aree, secondo quanto descritto al par. 2.1.3 e formalizzato nella normativa al punto 4.5.4.4), ottenendo infine il valore di dmax*, il massimo spostamento richiesto al sistema equivalente normalizzato. Lo spostamento previsto sul sistema di partenza sarà dmax= Γdmax

Tale assunto deriva dall’ipotesi di aver ricondotto la struttura a n gradi di libertà in un oscillatore semplice elastoplastico: questo passaggio è reso possibile dall’analisi di pushover, tuttavia la metodologia e la sintesi dei risultati (bilineare equivalente) sono gli aspetti più delicati del procedimento.

5.2 Aspetti critici della riduzione all’oscillatore elastoplastico equivalente

Il funzionamento del metodo si basa sull’assunzione che, attraverso un’analisi pushover (vedi par. 2.1.4), si possa individuare il comportamento di un oscillatore elastoplastico equivalente al sistema di partenza; tuttavia la distribuzione di forze da assumere non è univoca: la stessa normativa ne propone due da usarsi contemporaneamente. L’idea di base è che la distribuzione debba essere tale da evidenziare i meccanismi di danno riscontrabili nelle analisi dinamiche: una distribuzione coerente con la prima forma modale può quindi essere una buona approssimazione. I codici tendono a sostituire questa forma con la sua approssimazione “triangolare” ovvero un campo di forze proporzionale alla masse ed all’altezza dell’edificio (vedi paragrafo seguente). Altra distribuzione di riferimento è un andamento proporzionale alle masse in modo da cogliere meccanismi di collasso che interessino i livelli inferiori (solitamente il piano terra): se indubbiamente in fase elastica è lecito aspettarsi una risposta più simile alla modale, ovvero la struttura “filtrerà” il sisma amplificandone gli effetti sulle porzioni più alte (deformate di primo modo) col progredire del degrado l’azione del terremoto può localizzarsi nelle porzioni inferiori portando a collasso il piano terreno. Ovviamente, partendo da due distribuzioni distinte, si ottengono risultati potenzialmente differenti, tanto più si discosteranno tanto più alto sarà l’edificio; resta da comprendere quale distribuzione sia più veritiera o se sia necessario usarle entrambe per delineare un range delle possibili risposte. Altro aspetto non banale è la scelta del nodo di controllo, ovvero del punto dell’edificio da assumere come riferimento per l’analisi; è evidente che, in presenza di solai piuttosto rigidi non vi è differenza nella scelta di un nodo piuttosto che un altro, per lo più si deve disporre un criterio per uniformare le curve ottenute con riferimento a piani differenti; ben più complesso è “uniformare” le analisi in presenza di solai flessibili. Tali situazioni portano a curve decisamente differenti nel caso vi siano pareti di differente rigidezza. Infine la costruzione della curve bilineare di sintesi e la sua correlazione con lo spettro anelastico possono essere sviluppati in modi differenti al fine di ottenere una migliore rispondenza con le analisi dinamiche.

5.2.1 Scelta del nodo di controllo L’analisi pushover, a prescindere dalla distribuzione scelta, si realizza imponendo il progressivo spostamento di un nodo del modello, a fissato rapporto di forze. L’algoritmo usato prevede la scelta di un nodo di controllo per l’analisi numerica (nodo “master”) il cui spostame nto verrà incrementato con il vincolo che il rapporto tra le forze su alcuni nodi del modello rimanga costante (vedi par. 2.1.4). Il problema da porsi è l’influenza che tale scelta produce sull’analisi complessiva, ovvero se, a parità di modello numerico, si trovi comunque coerenza nei risultati


variando il nodo master: scegliere un nodo piuttosto che un altro vuol dire seguire lo spostamento di una parete piuttosto che quello di un’altra. Questo non comporta differenze sostanziali nei risultati nei processi monotoni di carico, ovvero finché all’incremento di spostamento del nodo master corrisponde un incremento dell’azione sulle singole pareti la scelta del nodo è ininfluente (le curve coincidono a meno di minime approssimazioni numeriche). Per esempio si osservi, nella figura seguente, relativa ad analisi pushover (distribuzione uniforme) sull’edificio prototipo di Pavia, le curve taglio – spostamento ottenute a partire da due nodi master differenti (il nodo 28 situato nella “door wall” ed il nodo 9 nella “window wall”): diagrammando gli spostamenti degli stessi nodi le due analisi coincidono.

Curve pushover (influenza nel nodo master)

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

spostamento [cm]

Tagl

io [

daN

]

28 door(Nodo master=28)

9 window(Nodo master=28)

28 door(Nodo master=9)

9 window(Nodo master=9)

Figura 105 - Confronto fra le curve di pushover ottenute con nodo di controllo nell’analisi su parete

“door” (nodo 28) e su parete “window” (nodo 9). L’andamento monotono non evidenzia differenze sostanziali.

L’influenza del nodo master si vede nel momento in cui una parete perde resistenza, per il collasso locale di un elemento: in tal caso il criterio delle forze di fissato rapporto impone che le pareti non danneggiate “arretrino” cosicché il loro contributo in termini di forza si abbassi “assecondando” la parete danneggiata. Questo “snap back” è però apprezzabile unicamente controllando un nodo master situato su di essa, altrimenti, volendo forzare la deformazione delle pareti più robuste si otterrebbe una soluzione successiva, probabilmente non convergente.


Confronto pushover - Nodi master

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

spostamento [cm]

Tagl

io [

daN

]

28 door(Nodo master=28)9 window(Nodo master=28)28 door(Nodo master=9)9 window(Nodo master=9)

Figura 106 - Effetto “snap back”: scegliendo un nodo master sulla parete window, più debole, si può

seguire il processo di softening , ovvero la perdita di resistenza della parete medesima con arretramento della parete door per garantire una pari forza. Tale effetto non è apprezzabile

scegliendo un nodo master sulla parete più resistente, in tal caso otterrei direttamente una soluzione non convergente a spostamenti più elevati.

Osservando le deformate si vede come il collasso si presenti sulla parete window; in realtà la differenza fra i due andamenti è dovuta alla struttura intrinseca del procedimento di calcolo, ma è realisticamente influente sul risultato dell’analisi: un cedimento così rilevante da innescare un simile meccanismo di snap back è generalmente associato ad una condizione non compatibile con la sicurezza della struttura, e anche da un punto di vista prettamente numerico si troverebbero soluzioni che non soddisfano i requisiti di convergenza. Ancor più evidente se si considerano nodi posti a piani differenti come sarà mostrato nel seguito nel paragrafo. È più interessante soffermarsi sulla scelta del nodo di controllo rappresentato nella curva: in presenza di solai deformabili, e pareti di differente rigidezza (come emerso dei grafici precedenti è sufficiente vi siano differenze geometriche, come fra le pareti “door” e “window” della sperimentazione) l’analisi complessiva procede in modo apparentemente differente a seconda del nodo che si monitora (a prescindere dal nodo master di analisi dunque). Tale effetto è facilmente spiegabile in virtù delle differenze di rigidezza, ma comporta il problema concettuale di quale rappresentazione possa meglio descrivere l’ipotetica struttura ad un grado di libertà equivalente. La formulazione di un metodo sistematico, come quello presente in un testo normativo, non dovrebbe cioè lasciare spazio alla discrezionalità della scelta: per ovviare a questo fatto, nella nuova normativa italiana, si prevede di riscalare le curve secondo un fattore Γ, che ha il significato di un coefficiente di partecipazione modale, valutato in modo approssimato come:

2

i i

i i

mm

ΦΓ =

Φ∑∑

(5.14)

dove Φ è il vettore rappresentativo del primo modo di vibrazione della struttura di interesse per la direzione considerata dell’azione sismica, scalato in modo da ottenere un valore unitario per la


componente relativa al grado di libertà di controllo. Assumendo la distribuzione semplificata “triangolare” in luogo dell’analisi modale, Φ può essere calcolato attraverso un’analisi statica elastica attribuendo un campo di forze proporzionale al prodotto massa per altezza nodale (come previsto nei punti 8.1.5.4 e 4.5.2 della norma citata, e riportato in dettaglio nel paragrafo successivo). Considerando l’esempio precedente si trovano due distinti valori di Γ a seconda ci si riferisca al nodo nella parete più deformabile o in quella più rigida si ottiene:

Γ

nodo 28 ("door") 1.34 nodo 9 ("window") 0.98

Tabella 5. Calcolo di Γ nelle due pareti. Il maggior valore calcolato sulla parete door provocherà “l’arretramento” nel diagramma sino a coincidere con l’altra curva, come si vede nella figura successiva.

Dividendo gli spostamenti per il proprio Γ, si ottiene la sovrapposizione delle curve, quantomeno nel tratto iniziale.

Curve pushover riscalate secondo Γ

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

spost N28

spost N9

spost N28/Gamma

spost N9/Gamma

Figura 107 - Curve pushover riscalate secondo Γ, ora i grafici delle pareti, pur di rigizza differente,

coincidono

Quello che il coefficiente Γ non può fare è uniformare lo spostamento di collasso, infatti il coefficiente viene valutato in modo elastico ed è pertanto insensibile alla differente duttilità delle pareti.


Curve pushover riscalate secondo Γ − Incongruenza del collasso

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 2 4 6 8 10 12 14

spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

spost N28

spost N9

spost N28/Gamma

spost N9/Gamma

Figura 108 - Curve di pushover riscalate secondo Γ e duttilità di collasso: il coefficiente valutato in modo

elastico non può uniformare la diversa duttilità delle pareti.

L’unica possibile soluzione a questa palese incongruenza è effettuare una media fra i nodi di un piano in modo da avere una curva univocamente rappresentativa del sistema. L’univocità della curva è una caratteristica irrinunciabile nella formulazioni di un metodo applicabile anche a fini progettuali (è evidente l’assurdo che deriverebbe dalle possibili previsioni differenti a partire dallo stesso edificio e dalla stessa analisi!). Anche il coefficiente Γ verrà ricalcolato con riferimento al nodo “media di piano”, ovvero il vettore Φ sarà normalizzato allo spostamento medio ottenuto a seguito di un’analisi elastica con distribuzione di forze proporzionale al prodotto masse nodali per altezza.

Γ nodo 28 ("door") 1.34

nodo 9 ("window") 0.98 MEDIA 1.16

Figura 109 - Valori di gamma nei nodi 28, 9 e nel nodo “media di piano”.


Curve pushover riscalate secondo Γ − Media di Piano

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 2 4 6 8 10 12 14

spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

spost N28 spost N9spost N28/Gammaspost N9/GammaMediaMedia/Gamma

Figura 110 - Curve di pushover mediate nel piano e riscalate secondo Γ .

Altro aspetto degno di nota nella scelta del nodo di controllo è l’influenza del piano considerato, ovvero come possa cambiare la curva scegliendo un nodo ad un livello differente. Indubbiamente la scelta di un nodo master ad un livello diverso dall’ultimo comporta l’impossibilità di seguire un eventuale meccanismo di collasso che possa interessare questa porzione: ad esempio si consideri l’edificio nell’esempio seguente, il secondo piano è più vulnerabile del primo e pertanto collassa prima. Seguire lo spostamento di un nodo situato sul livello inferiore vuol dire perdere la fase di collasso, saltando direttamente ad una soluzione non a convergenza posta a spostamento molto maggiore.

Figura 111 - Edificio esempio per valutare la sensibilità del nodo di controllo dal livello. Vista anteriore e

posteriore

Il meccanismo, come si può vedere nelle deformate seguenti, coinvolge il secondo piano, evidentemente più vulnerabile: ancora una volta si riportano le curve taglio-spostamento al variare nel nodo master e del nodo di controllo; tutte le curve sono ottenute come media di piano.


P1

P2

P3

P4 P5

P6

1

2

3

4

5

6 7 8

9 1011 12

13 14 15 16

n25

n26

n27

n28

n29 n30

N1

N2

N3

N4

N5

N6

Figura 112 - Deformate a collasso. Evidente collasso del livello superiore.

nodo controllo a livelli differenti

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

0 1 2 3 4 5 6

spostamento [cm]

tag

lio [

N]

Media Piano Primo (Master 1° Piano)

Media Piano Terra (Master 1° Piano)

Media Piano Primo (Master Piano Terra)

Media Piano Terra (Master Piano Terra)

Figura 113 - Curve di pushover al variare del nodo master. La scelta di un nodo master al livello

superiore permette di cogliere meglio il meccanismo di collasso

Ancora una volta la normalizzazione rispetto a Γ permette di sovrapporre le curve nel tratto crescente, ma resta una differente valutazione del punto di collasso: la differenza di duttilità è tuttavia meno evidente che nel caso di differente scelta del nodo all’interno del medesimo livello.


nodo controllo a livelli differenti - normalizzazione rispetto a Γ

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

spostamento [cm]

tag

lio [

N] Media Piano Primo

Media Piano Terra Media Piano Primo / gamma

Media Piano Terra / gamma

Figura 114 - Curve di pushover normalizzate rispetto a gamma, al variare del piano: pur sovrapponendosi nel tratto iniziale rimane una pur modesta differenza nella valutazione della

duttilità disponibile.

5.2.2 Distribuzione di forze ed analisi pushover L’idea alla base del metodo è che la pushover, individuando i modi più punitivi per l’edificio, realizzi una sorta di “inviluppo” delle analisi dinamiche; la scelta della distribuzione più realistica non è banale. La recente normativa richiede di verificare contemporaneamente due distribuzione di forze iniziali: “L’analisi dovrà essere effettuata utilizzando almeno due distinte distribuzioni di forze orizzontali, applicate ai baricentri delle masse a ciascun piano: una di forze proporzionali alle masse ed una di forze proporzionali alla distribuzione delle forze modali corrispondenti al primo modo di vibrazione nella direzione considerata; quest’ultima potrà essere approssimata dalla distribuzione da utilizzarsi per l’analisi statica lineare (punto 4.5.2).”, (punto 8.1.5.4). L’idea è quella di delineare due situazioni limite entro cui aspettarsi il comportamento reale dell’edificio. Il caso studio di Pavia può confermare l’idea delle analisi di pushover inviluppo di dinamiche non lineari, ma risulta difficoltoso ottenere informazioni sulla maggior o minore rispondenza delle distribuzioni iniziali, poiché, data la modesta altezza, non differiscono di molto.


Confronto Pushover - Dinamica per Accelerogramma S1 - Legame Bilineare

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

spostamento [cm]

Fo

rze

iner

zial

i [d

aN]

UniformeTriangolarepga 0.5pga 1.0pga 1.5pga 2.0

Figura 115 - Confronto pushover-dinamiche. Si vede come le pushover siano una sorta di “inviluppo”.

Difficile valutare quale distribuzione sia più veritiera data la somiglianza delle due curve.

Si è quindi modellato un edificio a tre piani, con una geometria tale da provocare, nelle due distribuzioni citate, due distinti meccanismi di collasso: l’ultimo piano presenta aperture maggiori rispetto ai livelli sottostanti e collassa sotto un carico proporzionale al prodotto masse per altezze; per la distribuzione uniforme è invece il piano terra a collassare. Le curve sono ottenute con i valori massimi di drift proposti in sede normativa. Per controllo si è effettuata un’analisi pushover a partire dall’effettiva distribuzione modale al fine di valutarne la rispondenza con l’approssimazione triangolare: tale distribuzione è ricavata a partire dall’autovettore Ψ del modo i-esimo:

i ip=p M? (5.15)

dove pi indica il vettore delle forze modali, Ψi l’autovettore, M la matrice di massa e p il coefficiente di partecipazione. La curva ottenuta con tale distribuzione è molto simile alla distribuzione triangolare, presenta lo stesso meccanismo di collasso e conferma della validità dell’approssimazione.


Figura 116 - Modello numerico di edificio a tre piani.

Curve Pushover - Edificio a tre piani

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Spostamento [cm]

Tag

lio [d

aN]

Uniforme

Uniforme Bilineare

TriangolareTriangolare Bilineare

Modale

Modale Bilineare

Figura 117 - Curve pushover a partire dalla distribuzione uniforme (proporzionale alle masse), triangolare (proporzionale al prodotto masse per altezze) e modale (usualmente approssimata dalla

triangolare).

La semplificazione bilineare individua il periodo dell’oscillatore elastoplastico equivalente, a partire da cui si può impostare analiticamente il calcolo del performance point a partire da un accelerogramma, secondo la trattazione proposta nella nuova ordinanza e riportata nel paragrafo precedente.


Si sono utilizzati i tre accelerogrammi, presentati nel capitolo precedente, per verificare l’attendibilità della previsione; come già anticipato tali accelerogrammi sono specifici per un suolo di tipo B e pertanto se è tenuto conto nel calcolo del performance point.

Curve Pushover - Confronto con la dinamica

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

0 0.5 1 1.5 2

Spostamento [cm]

Tag

lio [d

aN]

Previsione Uniforme

Previsione Triangolare

S1

S3

S6

p.g.a 0.5 ms-2

p.g.a 1.0 ms-2

p.g.a 1.5 ms-2

p.g.a 2.0 ms-2

<-collasso->

Figura 118 - Confronto Dinamiche – Pushover

Si nota come l’andamento triangolare offra una migliore previsione della risposta alla sollecitazione dinamica all’aumentare dello spostamento, mentre nel tratto iniziale sembrerebbe più affidabile la distribuzione uniforme. Per maggior chiarezza si riportano i massimi spostamenti ottenuti.

Analisi statica non lineare Analisi dinamica non lineare P.g.a. [ms-2] Unif. [cm] Triang.[cm] s1 [cm] s6 [cm] s3 [cm]

0.5 0.22 0.29 0.21 0.20 0.22 1.0 0.48 0.73 0.48 0.47 0.48 1.5 1.03 1.36 1.22 1.32 1.15 2.00 1.58 1.98 (2.01) (1.91) (2.10)

Tabella 6. Confronto statica-dinamica.

Resta evidente una rimarcata discrepanza per accelerazioni più elevate; come già anticipato nel paragrafo 4.6, l’instaurarsi di un meccanismo di collasso (cinematismo) comporta una sovrastima dello spostamento a causa nella natura intrinseca del legame: il comportamento bilineare assume un plateau in cui ad incremento di spostamento non si associa un incremento di forza, pertanto se tutti gli elementi di uno stesso piano si trovano in questa situazione, l’azione dinamica non potrà essere contrastata e si avrà uno “slittamento” dei piani sovrastanti. Tale effetto, pur presente nelle situazioni reali, è esasperato dal modello numerico, tuttavia il fatto stesso di essere il presenza di un cinematismo porta ad assumere la condizione come potenziale collasso. L’osservazione delle deformate, oltre ad evidenziare il cinematismo in atto, mostra il complessivo stato di collasso locale degli elementi dell’ultimo livello, pertanto è poco significativo il valore di spostamento misurato in quanto descrittivo di uno stato non compatibile con la struttura (è da presumersi il collasso):


P1

P2

P3

P4 P5

P6

1

2

3

4

5

6 7 8

9 10 11

12 1314 15

16 17 18 19

20 21 22 23

n33

n34

n35

n36

n37 n38

n39 n40

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

34

35

36

37

38 39

40 41

42 4344

45 46 47

48 49 50

N9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N16

N25

N26

N27

N28

61 62

63 64

65 66

6768

69

7071

72

73

74

75

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

N29

N30

N31

N32

Figura 119 - Deformate dell’edificio nel passo di massimo spostamento, con accelerogramma “S6” a

p.g.a. di 2.0 ms-2. È evidente sia il cinematismo sia il collasso locale degli elementi esteso all’intero livello. Tali condizioni rendono lecito assumere uno stato di collasso globale.

Se le due distribuzioni, uniforme e triangolare, riescono in differente modo a cogliere gli effetti di un segnale dinamico, tuttavia la distribuzione triangolare, (o modale) sembra meglio evidenziare il meccanismo di collasso più probabile.

5.3 Analisi adattiva La scelta della distribuzione viene fatta a monte dell’analisi pushover sulla base della analisi modale elastica (o direttamente assumendo una distribuzione uniforme), pertanto non risentirà


del danneggiamento dell’edificio: degradando la propria rigidezza una struttura muta la propria risposta modale. Considerare differenti distribuzioni che portino a meccanismi di collasso diversi, fornisce comunque una risposta “ambigua”, è invece lecito prevedere l’esistenza di un meccanismo di collasso più probabile. Per ovviare a questi problemi sono state proposte “varianti” del metodo pushover capaci di prendere in considerazione, ad ogni passo di analisi, la reale rigidezza dell’edificio ricalcolando i rapporti di forza utilizzati (Chopra e Goel, Antoniu, Pinho). Tali metodi posso essere suddivisi in due categorie:

• Approccio in termini di forze, F.A.P. (Force-Based Adaptive Pushover): partendo da una distribuzione multi-modale, ad ogni passo, verrà rieffettuato il calcolo degli autovettori sulla base della rigidezza degradata corrente e, sulla base di questi, si rivaluterà il campo di forze assegnato.

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }

0 0

1 1

2 2

passo inizialepasso 1passo 2

............................... ............passo ii

ppp

pi

===

=

M ?M ?M ?

M ?

0

1

2

i

fff

f

(5.16)

• Approccio in termini di spostamenti, D.A.P. (Dispacement-Based Adaptive Pushover): nuovamente verrà effettuato ad ogni passo il calcolo degli autovettori sulla base della rigidezza degradata corrente; verrà però direttamente imposta la deformata modale in controllo spostamenti (in realtà non si tratterebbe di una pushover vera e propria).

Oltre all’onere computazionale aggiunto dell’analisi modale, da ripersi ad ogni passo, è evidente la necessità di disporre della matrice di rigidezza K del sistema danneggiato all’i-esimo passo. Questa informazione è disponibile per gli approcci più semplificati del degrado di rigidezza (ad esempio la soluzione di un telaio mediante l’interposizione di cerniere plastiche, calcolate valutando l’incremento elastico di carico sul sistema geometrico variato), ma non per legami più complessi in cui la valutazione della non linearità deriva da un processo di convergenza (ad esempio Newton-Rapson) e non per sovrapposizione di stati elastici. In questo lavoro si è seguito un approccio differente, più adattato alla struttura iterativa di calcolo usata nel solutore: si assume, in luogo della supposta deformata modale, la deformata corrente del sistema, che indubbiamente risente dell’effettivo stato di danneggiamento dell’edificio, e sulla base di essa si ricalcolano le forze modali con cui aggiornare l’analisi pushover al passo successivo:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }

0 0

1 0

2 1

1

passo inizialepasso 1passo 2

............................... ............passo ii

pp Xp X

pi X −

===

=

M ?MM

M

0

1

2

i

fff

f

(5.17)

Tale sistema ha l’evidente pregio di non necessitare la soluzione del problema modale ad ogni passo dell’analisi e tanto meno richiede il calcolo di una matrice di rigidezza degradata: assumendo la deformata corrente (quindi danneggiata) come autovettore si ovvia alla necessità di dover effettuare l’analisi modale riuscendo, nel contempo, ad esprime il degrado dell’edificio.


5.3.1 Analisi nel piano Come prima prova della metodologia si è ripreso un modello numerico elaborato nel 2002 nell’ambito di una collaborazione con l’Osservatorio sismico delle strutture (come anticipato nel capitolo 4), realizzato con i macroelementi ed identificato grazie alla documentazione disponibile (forme modali sperimentali e prove sui materiali). L’edificio in questione è un municipio in muratura sito nel comune di Giuncugnano (Lucca), modellato mediante sette pareti, identificato grazie alle forme modali sperimentali; i risultati sono stati presentati nel XI Congresso Nazionale di ingegneria sismica a Genova (Galasco et al.,2003).

Figura 120 - Municipio di Giuncugnano, identificazione del modello mediante le forme modali sperimentali.

Per verificare l’efficacia del metodo, si è analizzata una parete isolata dal resto dell’edificio, procedendo al calcolo delle curve pushover a partire dalle distribuzioni canoniche uniforme e modale (anche nella semplificazione triangolare). Si è poi ripetuto il calcolo con l’analisi adattiva a partire nuovamente dalle due distribuzioni tipo.

Analisi Modale numerico

P1

P2

P3P4P5P6

P7

P1

P2

P3P4P5P6

P7

P1

P2

P3P4P5P6

P7

P1

P2

P3P4P5P6

P7

P1

P2

P3P4P5P6

P7

P1

P2

P3P4P5P6

P7

0.139

T1

0.105

T3

0.119

T2

sperimentale

0.139

T1

0.095

T3

0.120

T2


12 3

4

5 6 7 8

9 10 11 12

1314

15

16 17 18

19 20 21

94 95

N1 N 2 N 3 N4

N21 N22 N23 N24

N25 N26 N27 N28

N29 N30 N31 N32

Figura 121 – Modello dlla parete del municipio di Giuncugnano.

Quello che emerge è che la curva adattiva descrive un andamento intermedio, fra le due distribuzioni, con una maggior coerenza, specie nel tratto iniziale, con il campo di forze modale: questo risultato era prevedibile in quanto l’analisi evolutiva deriva pur sempre da un approccio modale generalizzato.

Pushover - Caso Piano

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Spostamento mm

Tag

lio

kN

ModaleUniformeTriangolareEvolutiva (Triang.)Evolutiva (Unif.)

Figura 122 – Pushover a distribuzione di forze costanti ed adattiva. La distribuzione adattiva è calcolata a partire dalle due distribuzioni standard (uniforme e triangolare).

Risultato molto interessante invece è la sostanziale indipendenza dalla configurazione iniziale: dopo pochi passi di analisi, a prescindere dalla distribuzione di partenza, le curve adattive coincidono, evidenziando un percorso univoco.


Pushover - Indifferenza delle Curve Evolutive

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Spostamento [mm]

Taglio kN

Uniforme Triangolare Evolutiva (Triang.) Evolutiva (Unif.)

Figura 123 - Le curve adattive sono indipendenti dalla configurazione iniziale assestandosi sulla

distribuzione coerente con la modale

Sovrapponendo analisi dinamiche al passo, si conferma una buona coerenza del metodo: i punti di massimo delle dinamiche risultano bene inviluppati dalla curva adattiva.

Pushover - Caso Piano - Confronto con analisi dinamiche

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

-60 -40 -20 0 20 40 60

Spostamento mm

Taglio kN

Uniforme

Triangolare

Evolutiva

Dinamiche

Figura 124 Sovrapposizione pushover e dinamiche: la curva adattiva inviluppa i massimi delle analisi

dinamiche.

Risultato evidenziabile rappresentando nel diagramma i soli punti di massimo, come riportato nella figura seguente:


Pushover - Caso Piano

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Spostamento mm

Tagl

io k

N

Uniforme

Triangolare

Evolutiva

Dinamiche

Figura 125 - Curve di pushover e massimi spostamenti nelle analisi dinamiche

I risultati sono positivi, mostrano come il metodo risulti coerente con la dinamica riuscendo a considerare lo stato effettivo di danno ad ogni passo di analisi, inoltre l’indipendenza dalla configurazione iniziale permette una migliore sintesi dei risultati ottenuti: si otterrà un unico meccanismo di danno. L’esempio esaminato era però limitato ad una parete piana, non si potevano avere redistribuzione spaziale delle azioni, ne presentava irregolarità altimetriche o di rigidezza; su modelli più complessi è stata verificata l’affidabilità dell’approccio evidenziandone i limiti.

55..33..22 Analisi tridimensionale e limiti dell’approccio adattivo Le distribuzioni precedentemente illustrate (si veda par. 5.2.2) rispondono a due condizioni ben precise nell’ambito dell’analisi sismica: la distribuzione modale interpreta l’azione del terremoto evidenziando l’amplificazione dinamica operata dalla struttura (che diviene cioè una specie di filtro per l’accelerazione al suolo); se essa rispondesse esattamente sul primo modo si avrebbe effettivamente una penalizzazione dei livelli più alti eccitati da una forza maggiore (se si ipotizza una distribuzione di massa sostanzialmente uniforme fra i piani) rispetto a quelli inferiori. Tale effetto è possibile finché la struttura resistente lo consente, ovvero col progredire del danneggiamento è possibile che i livelli intermedi non riescano più a trasferire azioni sulle porzioni superiori. Il caso limite è un’azione quasi statica, in cui ogni elemento è sollecitato in ragione della propria massa. Questa situazione corrisponde alla distribuzione “uniforme” dove effettivamente l’azione è proporzionale alla massa associata. Nell’evolvere dello stato di danneggiamento è ragionevole aspettarsi distribuzioni intermedie fra quelle citate, ovvero dopo un primo tratto “modale” il sistema di danneggia ed al limite degrada verso un andamento uniforme. Nell’analisi adattiva questa rispondenza fra distribuzione e significato fisico viene meno: il procedimento opera al contrario selezionando la distribuzione in assoluto più punitiva a prescindere da una reale rispondenza fisica al fenomeno sismico. Studiando differenti tipologie di edifici, di differente geometria e di diversa rigidezza al livello dei solai sono emerse due tipologie che hanno permesso di evidenziare i limiti di un approccio adattivo condotto senza alcun controllo. Il primo caso anomalo è costituito da edifici in cui siano presente solai molto deformabili (caso peraltro diffuso nel costruito storico: ad esempio in presenza di solai lignei privi di un tavolato incrociato) e pareti non omogenee (ad esempio con una differente distribuzione delle aperture).


Si consideri ad esempio un edificio di 2 piani fuori terra con solai molto deformabili, l’analisi pushover, a rapporto fissato di forze, procederà incrementando lo spostamento del nodo di controllo sino al cedimento della parete più debole al raggiungimento di un taglio, su di essa, pari alla propria resistenza: la flessibilità degli orizzontamenti non consentirà redistribuzioni delle azioni fra le diverse pareti. Al contrario un’analisi adattiva selezionerà una distribuzione fortemente penalizzante per la parete più deformabile (ad ogni passo la maggior deformazione comporterà un aggravio delle azioni), sino a determinarne il repentino collasso senza aver indotto deformazioni evidenti nelle restanti parti dell’edifico: è come se l’azione del sisma si fosse concentrata su un unico elemento scaricando le restanti parti; ovviamente ciò non è possibile, tanto più in assenza di una soletta rigida.

Figura 126 – Edificio con solai deformabili, vista da parete 1 (a sinistra), parete 3 (al centro) ed esploso

sulla parete 5 (a destra).

E1

E2

E3

E4 E5

E6 E7

N1

N2

N3

N4

N5

N6

E10

E11

E12

E13

E14

E15 E16 E17

E18 E19 E20 E21

E22 E23 E24 E25

n19

n20

n21

n22

n23 n24

N7

N8

N9

N10

N11

N12

E28

E29

E30 E31

E32 E33

N13

N14

N15

N16

N17

N18

Figura 127 – Modellazione delle pareti: parete 1 (a sinistra), parete 3 (al centro) ed parete 5 (a destra).

L’analisi adattiva, oltre ad indicare un collasso irrealistico, come evidente nelle immagini delle deformate in piante di seguito riportate, indica, di conseguenza, una resistenza complessiva molto più bassa rispetto alla distribuzioni costanti associata ad una deformabilità sensibilmente ridotta.

P1

P2

P3

P4 P5

P1

P2

P3

P4 P5

Figura 128 – Deformate delle piante nell’analisi pushover a distribuzione fissa (a sinistra distr.

Uniforme) ed adattiva (a destra): è evidente la deformazione irrealistica di quest’ultima.


Curva Pushover: Solai Deformabili - Pareti Rigidezze Differenti

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Spostamento [cm]

Tag

lio [d

aN]

Uniforme

Triangolare

Adattiva

Figura 129 – Curve di pushover con distribuzione di forze costante (uniforme e triangolare) ed adattiva.

Un altro caso che ha evidenziato i limiti dell’approccio adattivo è un edificio in cui si abbia un meccanismo di collasso che coinvolge l’ultimo livello; caso assai frequente su edifici di diversi piani. La distribuzione modale è evidentemente più punitiva, ovvero il danneggiamento dei livelli sottostanti non è stato così significativo da compromettere la “migrazione” dei carichi sismici per effetto dell’amplificazione dinamica, verso l’alto. L’approccio adattivo esaspera il meccanismo come a rispondere ad una configurazione ancor più punitiva, per i livelli alti, di quella modale: questo non è però coerente con la realtà; nuovamente è venuta meno la correlazione fra distribuzione di forze ed azione sismica. Nell’esempio riportato nel par. 5.2.2, si era analizzata una palazzina di tre piani che andava a collasso per un meccanismo di piano soffice sul livello più alto, come previsto dall’analisi modale (o triangolare).

1

2

3

4

5

6 7 8

9 10 11

12 1314 15

16 17 18 19

20 21 22 23

n33

n34

n35

n36

n37 n38

n39 n40

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

Figura 130 – Vista 3D e deformata a collasso; per maggiori dettagli si veda il par. 5.2.2.


La curva di pushover, ottenuta con l’algoritmo adattivo, è ancor più penalizzante della distribuzione modale, fornendo resistenza e deformabilità estremamente ridotte non coerenti con la reale azione di un terremoto.

Curva Pushover - Edificio a tre piani

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Spostamento [cm]

Tagl

io [

daN

]

Uniforme

Triangolare

Modale

Adattiva

Figura 131 – Curve di pushover con distribuzione di forze costante (uniforme e triangolare) ed adattiva.

Si evidenzia una non realistica diminuzione di resistenza e deformabilità nell’approccio adattivo.

I casi citati mostrano i limiti all’approccio adattivo dovuti alla sua formulazione puramente matematica, priva di correlazioni alle problematiche sismiche; pur essendo evidente l’impossibilità di applicare sistematicamente tale metodologia di analisi sono tuttavia da sottolineare i pregi che stanno alla base del metodo: ovvero l’indipendenza da una configurazione di partenza e la possibilità di evolvere in ragione del progredire del danno. Inoltre, nei casi di strutture regolari, il sistema si è mostrato attendibile pertanto è lecito domandarsi se è possibile correggere l’approccio adattivo, relazionandolo con la realtà sismica, ottenendo una metodologia generale, applicabile a tutti i tipi di edifici.

5.3.3 Analisi Adattiva “corretta” La proposta di correzione consiste nel consentire la redistribuzione delle forze modali entro i limiti offerti dalle distribuzioni di riferimento in modo da mantenere una correlazione con l’evento sismico. La procedura predeterminerà i valori normalizzati delle forze nodali secondo la distribuzione modale (amplificazione dinamica) e proporzionale alle masse (azione quasi statica), calcolando, per ogni nodo, il valore massimo che sarà usato come limite alla redistribuzione. L’idea è che nessun nodo possa ricevere un’azione superiore alla massima possibile nelle due configurazioni estreme.


{ }

1 1

2 2

n n

i=1 i=1

max ,... ...

distr. modale distr. unif. 1 1

M

n n

i i

f ff f

f f

f f

= = =

= =∑ ∑

f f f f f

f f

V W

V WV W V W

V W

V W V W

(5.18)

Al singolo passo verrà controllato il vettore delle forze nodali normalizzate ottenuto mediante l’algoritmo adattivo: se una di esse supererà il valore limite, si calcolerà lo scarto, lo si ridurrà al valore massimo predeterminato e si ripartirà l’eccedenza sui restanti nodi rispettando i rapporti relativi ed i fattori di normalizzazione.

1

n2

i=1

M M

M1

2

( ) n

i=1

n

i=1

, 1, distr.corrente...

se > = -

, ,...

1, distr.corrente "sismica"

i

n

k k k k

k k

ii i k i

i kn

i

ff

f

f

f f f f

f f ff f

f ff f

f

f

δ

δ≠

= =

⇒

′ ′ = ′ ′ = ′ = + ⋅ − ′

′ ′=

∑

∑

∑

f f

f

f

(5.19)

Più in generale, se si ipotizza che siano m i valori della distribuzione corrente ad eccedere i limiti (sicuramente m<n per effetto della normalizzazione), è possibile pensare di reindicizzare le componenti del vettore f in modo da collocare gli m valori eccedenti nelle primi posizioni del vettore. Si calcolerà un unico contributo correttivo ? , somma delle singole correzioni, che verrà ripartito, come prima, sulle n-m componenti invarianti.

1

n2

i=1

M M

1

M1 ( )

2

( ) n

i=m

n

i=1

, 1, distr.corrente...

sia > per = -

,...

1, distr.corrente "sismica"

i

n

m

k k k kk

i i m i

ii i m i

in

i

ff

f

f

f f k m f f

f f ff ff f

ff

f

=

≤

>

= =

≤ ⇒ ∆

′ ′ = ′ ′ = ′ = + ∆ ⋅ ′

′ ′=

∑

∑

∑

∑

f f

f

f

(5.20)


Il risultato sarà un vettore normalizzato delle forze nodali sismiche da impiegare, al passo corrente di analisi, come distribuzione della pushover. Tale processo sarà ripetuto ad ogni passo. La procedura “adattiva sismica” è stata testa testata su vari modelli, in particolare si è verificato l’affidabilità nelle situazioni critiche per l’algoritmo adattivo non corretto, ovvero il caso dei solai deformabili ed il caso dei collassi all’ultimo livello. Nel modello a due piani, con solaio deformabile, si è ottenuta una curva complessiva adattiva sismica più cautelativa di quella ottenibile con le distribuzioni canoniche, tuttavia accettabile in termini di resistenze e deformazioni: è lecito attendersi una soluzioni più punitiva applicando una procedura adattiva.

Curva Pushover: Solai Deformabili - Pareti Rigidezze Differenti

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

Uniforme

Triangolare

Adattiva

Adattiva sismica

Figura 132 – Curve pushover su edificio a solai deformabili, confronto distribuzioni costanti (unirme e

triangolare) ed analisi adattive (con e senza correzione sismica). L’analisi adattiva sismica fornisce un risultato comparabile alle distribuzioni costanti, non evidenziando i limiti della procedura

adattiva non corretta.

Anche il meccanismo è accettabile e non presenta anomalie particolari.

P1

P2

P3

P4 P5

P1

P2

P3

P4 P5

Figura 133 – Deformate delle piante nell’analisi adattiva sismica nei passi di incipiente collasso (a

sinistra) e collasso (a destra).


10

11

12

13

14

15 16 17

18 19 20 21

22 23 24 25

n19

n20

n21

n22

n23 n24

N7

N8

N9

N10

N11

N12

28

29

30 31

32 33

N13

N14

N15

N16

N17

N18

Figura 134 – Deformate pareti 3 (a sinistra) e 5 (a destra) a collassa nell’analisi adattiva sismica.

È stato poi ritestato il caso dell’edifico a tre piani con il meccanismo di collasso localizzato all’ultimo livello. La soluzione adattiva individuava un repentino collasso associato a resistenze e deformabilità ridotte rispetto alle distribuzioni costanti, applicando il metodo adattivo corretto si è ottenuta una curva complessiva comparabile alle altre, con un meccanismo analogo alla distribuzione modale. Questo è il risultato cercato, poiché un meccanismo di piano al livello più alto è correlabile all’amplicazione dinamica (distr. modale), ed il suo manifestarsi in presenza di distribuzione costante indica che i livelli sottostanti sono sufficientemente resistenti da permettere il trasferimento delle azioni sino ai passi di collasso. Ed effettivamente era già stato dimostrato nel par. 5.2.2 la coerenza del meccanismo di collasso con le analisi dinamiche.

Curva Pushover - Edificio a tre piani

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Spostamento [cm]

Tag

lio [d

aN]

Uniforme

Triangolare

Modale

Adattiva

Adattiva Sismica

Figura 135 – Curve di pushover sull’edifico a tre piani, mediante distribuzioni di forze costanti (uniforme, modale e triangolare) e adattive (sismicamente corretta e non corretta). L’analisi adattiva

sismica coglie resistenze e meccanismi coerenti con quanto evidenziato nel par. 5.2.2

Si sono poi correlate le previsioni di spostamento ottenibili, mediante il capacity spectrum, dall’analisi pushover sismica adattiva e gli spostamenti effettivamente misurati a seguito dele analisi dinamiche riportate nel par. 5.2.2.


Analisi statica non lineare [cm] P.g.a. [ms-2] Uniforme Triangolare Ad.Sismica

0.5 0.22 0.29 0.28 1.0 0.48 0.73 0.74 1.5 1.03 1.36 1.35 2.00 1.58 1.98 1.96 2.50 2.12 2.61 2.57

Tabella 7. Previsioni di spostamento con distribuzioni costanti (uniforme e triangolare) ed adattiva sismica. L’adattiva sismica è , in questo caso, molto simile alla modale.

Curve Pushover Adattive - Confronto con la dinamica

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 0.5 1 1.5 2

Spostamento [cm]

Tag

lio [d

aN]

Adattiva

Adattiva sismica

Previsione Ad.Sismica

S1

S3

S6

p.g.a 0.5 ms-2

p.g.a 1.0 ms -2

p.g.a 1.5 ms -2

p.g.a 2.0 ms -2

< COLLASSO >

Figura 136 – Confronto fra previsione dell’analisi statica non lineare (procedura adattiva sismica) ed

analisi dinamiche non lineari al passo

5.4 Conclusioni L’introduzione tra i metodi di analisi della risposta sismica dell’analisi statica non lineare rappresenta, in linea con le principali normative sismiche internazionali (ATC40, EC8), è una delle maggiori innovazioni apportate dalla nuova normativa sismica. L’analisi, che parte dalla descrizione del comportamento post-elastico della struttura, ha fra l’altro il pregio di verificare direttamente il meccanismo di collasso atteso, consentendo al progettista un maggiore controllo sulla risposta sismica della struttura anche dopo che questa è danneggiata. La metodologia, pur generalmente affidabile, è ancora oggetto di studio al fine di poterla migliorare definendo procedure univoche di analisi che non lascino spazio a situazioni ambigue come quelle evidenziate nelle scelta di un nodo di controllo. In tal senso si è mostrato come la scelta della media di piano, come punto di riferimento, possa ovviare a questa ambiguità; sarebbe inoltre opportuno posizionarsi sul livello più elevato per poter cogliere con certezza e dettaglio il meccanismo di collasso. Attualmente è poi necessario ripetere l’analisi con due distribuzioni iniziali di forze (uniforme e modale) per cogliere due condizioni limite associabili all’evento sismico: questo garantisce la


determinazione del meccanismo più punitivo, tuttavia lascia il dubbio sull’effettivo cinematismo innescabile. In questo lavoro si è utilizzata l’analisi dinamica non lineare al fini di confermare il comportamento effettivo della struttura, ed inoltre si è proposta una metodologia di analisi, la pushover adattiva sismica, capace di cogliere univocamente questo meccanismo sintetizzando i risultati ottenibili mediante le distribuzioni costanti. Questo approccio risulta quindi più sintetico (richiede un’unica analisi e pertanto fornisce un unico meccanismo di collasso) e realistico ( è direttamente correlato all’effettivo stato di danno) ed è formulato in modo da rispettare la finalità del metodo, cioè la previsione della risposta sismica. Il presente lavoro ha invece mostrato come la procedura adattiva non corretta cada in difetto in alcune situazioni, peraltro frequenti nell’esistente, a causa di una formulazione disgiunta dal problema sismico e pertanto non sia applicabile in modo sistematico.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Abrams D.P.,1997, Response of unreinforced masonry buildings, Journal of Earthquake


and rehabilitation of unreinforced masonry buildings, Technical Report NCEER-94-0021, Pavia. Anthoine A., 1995, Derivation of the in-plane characteristics of masonry through homogenization

theory, Int. J. Solids Structures, 32, 2. Bernardini A. (ed.), 1999, Seismic Damage to Masonry Buildings, Proc. of Int. Workshop, Monselice, 25-26

June 1998. Cattari S., Curti E., Galasco A. , Resemini S., 2005, "Analisi sismica lineare e non lineare degli edifici

in muratura: teoria ed esempi di applicazione secondo OPCM 3274/2003 e 3431/2005", E100 – collana Edilizia-Progettare e costruire, Esselibri-Simone Editore, Napoli, pp.176, ISBN 88-513-0305-3.

Costley A.C., Abrams D.P., 1995, Dynamic response of unreinforced masonry buildings with flexible diaphragms, NCEER Technical Report, Urbana-Champaign.

Dadovici V., Benedetti D., 1994, Proc. of the Italian-French symposium on Strengthening and repair of structures in seismic areas, Nizza.

Galasco A., 2001, Analisi a collasso e risposta dinamica di pareti in muratura soggette ad azione sismica, Tesi di Laurea, Università di Genova.

Galasco A., Lagomarsino, S. and Penna, A., 2001, Analisi sismica non lineare a macroelementi di edifici in muratura, X Convegno ANIDIS, Potenza-Matera

Galasco A., Lagomarsino, S. and Penna, A., 2002, TREMURI Program: Seismic Analyser of 3D Masonry Buildings, University of Genoa.

Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., Resemini S., 2004, Non-linear Seismic Analysis of Masonry Structures, Proc. 13th World Conference on Earthquake Engineering, 1-6 Agosto 2004, Vancouver.

Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., Nicoletti M., Lamonaca G., Nicoletti M.e Spina D., Margheriti C., Salcuni A., 2005, Identificazione ed analisi non lineare degli edifici in muratura dell’Osservatorio Sismico delle Strutture, Atti XI Convegno Nazionale "L'ingegneria sismica in Italia", Atti su cd, pp.14, Genova 25-29 gennaio 2004.




Guerrieri F. (ed.), 1999, Manuale per la riabilitazione e la ricostruzione postsimica degli edifici, Regione Umbria.





Paulay T., Priestley M.J.N., 1992, Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings, Wiley, New York. Shibata, A.; Sozen, M. A. , 1976, Substitute-structure method for seismic design in R/C Journal of the Structural Division, ASCE. Vol. 102, no. ST1, pp. 1-18.


6 Modellazione di edifici irregolari La regolarità strutturale, identificabile con una marcata scatolarità del complesso, in generale garantisce prestazioni migliori. Tuttavia esigenze architettoniche o funzionali portano, frequentemente, alla costruzione di edifici meno “regolari”: nuclei sopraelevati, porzioni parzialmente cantinate, blocchi addossati, piante articolate costituiscono soluzioni diffuse nell’edilizia residenziale. È interessante valutare come tali irregolarità influiscano sul comportamento complessivo della struttura, ovvero valutare, come eventuali ampliamenti del complesso possano essere compatibili con l’esistente. L’analisi statica non lineare costituisce un’ottima metodologia per affrontare il problema: sintetizzando la resistenza complessiva mediante la curva di capacità, nel piano accelerazione spostamento, è possibile procedere al confronto di strutture differenti. Fra le metodologie proposte si seguirà la trattazione recepita dalla nuova ordinanza unendo alla curva la correlazione fra spostamento richiesto ed accelerazione al suolo associata. Tale analisi, condotta a partire dalle due differenti distribuzioni di forze iniziali previste (uniforme e triangolare), potrà essere confermata da analisi dinamiche al passo; è infatti interessante valutare l’efficacia stessa della previsione, mediante capacity spectrum, in presenza di strutture con predisposizione a meccanismi torsionali (planimetrie ad elle, ad esempio) . Le analisi partiranno da un edificio “semplice” in muratura ordinaria, costituito da due piani, di forma rettangolare (scatolarità). Tale struttura sarà successivamente modificata, riproducendo differenti possibili soluzioni architettoniche tali da “irregolarizzare” il complesso (sopraelevazione, fondazione differenziata, addossamento, etc.). La direzione di analisi sarà la dimensione prevalente dell’edificio, coincidente con l’asse x del modello. Coerentemente alla metodologia di analisi seguita si utilizzerà il legame bilineare proposto dalla nuova normativa sismica ed illustrato al par. 3.3, assumendo caratteristiche meccaniche a partire dall’allegato 11 della norma citata. Come evidenziato precedentemente tale legame permette anche analisi dinamiche non lineari al passo.

6.1 Edificio Tipo La struttura di riferimento, nel presente studio, costituisce un esempio ideato per essere rappresentativo del costruito storico in muratura presente sul territorio italiano: la struttura verticale è in muratura ordinaria, i solai sono in latero-cemento; la pianta dell’edificio è rettangolare con ingombro di 10.6 x 14.6 m; la risposta fuori piano è inibita dalla presenza di tiranti metallici ai vari piani.

6.1.1 Geometria La porzione di riferimento è composta da due piani, ognuno rappresentante una differente unità abitativa; tale nucleo sarà successivamente articolato per evidenziare il mutamento della risposta strutturale.


422

310

1060

110

314

1460

180

57760

130

110

155

36

110

60

200 110 170

60377

110

36

315

110230 110 365

110

160

110

130

3628

2

60

3616

4

110 230305

448

310

1460

403

315

130

110

603

200180

40

110

40

110

326

155

24

110

24

170

40

110

305

110

160

110

130

110230 110 365

2430

8

40

2417

6

110 230

1060

Figura 137 - Edificio Tipo: piante del piano terra (a sinistra) e primo (a destra)

100

170

210

170

350

380

Figura 138 - Edificio Tipo: Prospetto

6.1.2 Parametri meccanici Dal punto di vista meccanico si farà riferimento a:

• tipologia della muratura in mattoni pieni con malta di calce; • buon grado di collegamento, sia tra le pareti verticali, sia tra queste e gli orizzontamenti,

tale da garantire un comportamento scatolare dell’intera struttura; • la presenza di catene di piano posizionate alle quote dei solai (nelle due direzioni

principali ed ancorate ai muri di spina); • l’esistenza di architravi resistenti a flessione, che sorreggono le travi di accoppiamento

muratura ordinaria, efficacemente ammorsate alle estremità nelle pareti. Tale struttura è stata modellata mediante telaio equivalente (coerentemente alla metodologia illustrata nel paragrafo 2.4), riguardo ai parametri meccanici si è assunto un livello di conoscenza LC2 (secondo l’Allegato 2 dell’Ordinanza 3274/03 e s.m.i punto 11.5.2.2 verifiche in-situ estese ed esaustive):


fm (N/cm2) 249,2

τ0 (N/cm2) 8,23

E (N/mm2) 2100

G (N/mm2) 350

w(kN/m3) 18

Tabella 8. Parametri meccanici medi e peso specifico medio per la tipologia di muratura rilevata, in caso di livello di conoscenza LC2

6.1.3 Analisi Carichi Oltre al peso proprio delle strutture murarie, determinato a partire dalla densità della muratura, si devono considerai i contributi dovuti ai solai ed al vano scale. I solai sono in latero-cemento con travetti prefabbricati (16+4 cm); nella figura seguente sono identificabili chiaramente tutti gli elementi costruttivi che compongono tale tipologia.

Figura 139 - Schema dei solai

Ne consegue, dunque, la seguente analisi dei carichi, effettuata facendo riferimento all’unità di superficie di solaio: Pignatte con travetti prefabbricati ad interasse 0.5 m

1.20 kN/m2

Soletta collaborante 4 cm, armata con rete elettrosaldata φ 6/15⋅15

0.04 m⋅25 kN/m3 1.00 kN/m2

Peso proprio struttura 2.20 kN/m2 Soffitto a gesso da 1.5 cm 0.015 m⋅12 kN/m3 0.18 kN/m2 Sottofondo di allettamento (s = 2.5 cm) in malta di cemento

0.025 m⋅21 kN/m3 0.53 kN/m2

Pavimento in ceramica 0.44 kN/m2 Peso permanente solaio 1.15 kN/m2 Peso proprio struttura 2.20 kN/m2 Peso permanente solaio 1.15 kN/m2 Totale peso solaio Gsolaio 1,2,3 3.35 kN/m2


Si passi ora all’analisi dei carichi relativa alla scala ipotizzando soletta in laterizio e cemento armato gettato in opera (come illustrato nella figura seguente). Risulta: Soletta in pignatte (H = 16+4 cm)

2.20 kN/m2

Intonaco soffitto inferiore a gesso

0.18 kN/m2

Gradini in materiale leggero 0.80 kN/m2 Rivestimento in gres 0.50 kN/m2 Incidenza ringhiere 0.10 kN/m2 Totale peso scala Gscala 3.78 kN/m2

130

5 540 40 40

16

8B

B

SEZIONE PIANEROTTOLO

SEZIONE B-B

soletta di completamento

pignatte

rivestimento in gres

mattoni foratimalta

Figura 140 - Schema della scala e del pianerottolo

6.1.4 Azione Sismica Per quanto riguarda la definizione dell’azione sismica, si fa riferimento al Capitolo 3 dell’Allegato 2 dell’Ordinanza 3274/03 e s.m.i. Innanzitutto occorre definire lo spettro elastico con smorzamento viscoso equivalente ξ=5%, corrispondente ad un’azione sismica al suolo di valore assegnato (in fase di verifica corrisponderà ad un evento con periodo fissato, in questo esempio, con finalità di ricerca, sarà invece valutata la richiesta di spostamento per accelerazioni crescenti) . Esso fornisce il valore massimo della risposta di una struttura ad un grado di libertà con comportamento indefinitamente elastico e periodo di vibrazione T. Attraverso tale spettro è possibile valutare la richiesta,


espressa in termini di accelerazione e spostamento, per una struttura a n gradi di libertà (indefinitamente elastica) con periodo proprio di vibrazione T. A tale scopo è necessario conoscere, in primo luogo, la categoria di appartenenza del suolo sul quale esso è edificato: per il caso studio è stato assunto categoria di suolo B (depositi di sabbie e ghiaie molto addensate o argille molto consistenti, punto 3.1). In base alle caratteristiche del suolo si definisce il fattore S, che tiene conto del profilo stratigrafico e fornisce agS, cioè l’accelerazione orizzontale massima del terreno che caratterizza il sito. Sono definiti, inoltre, i valori dei periodi TB, TC, TD (espressi in secondi), che delimitano i diversi tratti dello spettro di risposta elastico. Per il suolo di categoria B, essi risultano rispettivamente: S = 1.25 TB=0.15 s TC=0.50 s TD=2.00 s. Il valore di ag, che in fase progettuale corrisponde ad un’accelerazione al suolo di dato periodo di ritorno, in questa sede diventerà un parametro dell’analisi. Il metodo permette infatti di associare (fissato il suolo) ad ogni spostamento della curva di capacità l’accelerazione al suolo che, secondo tale approccio, l’avrebbe provocato. A titolo di esempio si riporta lo spettro di risposta elastico corrispondente ad una ag = 0.15g ≅ 1.5 ms -2, che, secondo l’ordinanza, identificherebbe la zona 3.

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3T (s)

Se (m

/s2 )

suolo Asuoli B,C,Esuolo D

Figura 141 - Spettro elastico

Le strutture in muratura, sottoposte all’azione del terremoto, non esibiscono generalmente un comportamento indefinitamente elastico. Ai fini dell’analisi sismica, tenuto conto delle capacità dissipative sviluppate dalle strutture in campo non lineare, si utilizza, quindi, uno spettro di progetto Sd definito a partire da quello elastico e ridotto in ragione della duttilità secondo quanto espresso nel Capitolo 4 dell’ordinanza e ripreso, nella presente trattazione, al Capitolo 5.

6.1.5 Modello numerico La prima operazione da compiere consiste nell’individuazione e nella modellazione della geometria delle pareti portanti (un esempio è riportato nelle figure seguenti). La parete del modello corrisponderà al piano medio del muro reale, a meno di approssimazioni legate a sfalsamenti asimmetrici. Successivamente ciascuna parete sarà modellata, mediante maschi, fasce e nodi rigidi secondo i criteri del telaio equivalente.


P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 142 - Disposizione pareti

E1

E2

E3

E4 E5

E6

E7

E8 E9 E10 E11

E12 E13E14 E15

E16

E17 E18 E19 E20 E21

n49

n50

n51

N4

N5

N6

N16

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

Figura 143 - Telaio equivalente parete 1

Figura 144 - Modello tridimensionale


Ciascuna parete è stata modellata assemblando elementi che simulassero il comportamento delle travi di accoppiamento in muratura ordinaria (fasce), dei pannelli murari (maschi) e delle porzioni rigide costituite dai nodi secondo i criteri di modello a telaio equivalente descritti nel paragrafo 2.4. La schematizzazione è stata effettuata a partire dall’analisi della conformazione dei prospetti prestando particolare attenzione alla morfologia ed al posizionamento delle aperture, in modo da individuare le porzioni soggette a danneggiamento (maschi e fasce) e quelle identificabili come nodi rigidi. In Figura 143, l’identificazione dei nodi di incidenza di ogni elemento è di immediata individuazione. La presenza delle catene è stata modellata introducendo, tra i nodi tridimensionali posti all’intersezione delle pareti, un opportuno elemento elastico, reagente a sola trazione, dotato di un pretensionamento iniziale pari a 20 kN. Nella maggior parte dei casi le pareti mostrano una distribuzione regolare delle aperture; nei casi di non allineamento si è tenuto conto di una opportuna diffusione delle tensioni in modo da simulare realisticamente le porzioni di fasce. Agli orizzontamenti si riconosce il ruolo di riportare alle pareti verticali i carichi verticali gravanti su di essi e di ripartire, come elementi di irrigidimento di piano, le azioni orizzontali sulle pareti d’incidenza. Si ricorda che essi sono modellati come elementi finiti ortotropi a comportamento membranale (a 3 o 4 nodi) ed identificati da una direzione di orditura, caratterizzata dal modulo elastico E1, dal modulo elastico E2 in direzione perpendicolare all’orditura, dal modulo di elasticità tangenziale G12 associato alla sola porzione di solaio con comportamento a lastra (nel caso in esame la soletta in calcestruzzo), dal coefficiente di Poisson ν ed infine dallo spessore. In particolare G12 condiziona la ripartizione delle azioni orizzontali tra le pareti. Il carico gravante sui solai (per ciascuna tipologia), come derivante dall’analisi dei carichi, è stato opportunamente applicato in modo tale che la risultante rispettivamente delle masse eccitabili dinamicamente e delle forze sismiche fosse corretta. Una nota particolare merita la descrizione della modellazione del vano scala. In questo caso non è stato inserito alcun solaio, ma il contributo da esso fornito in termini di massa eccitabile sotto l’azione sismica è stato tenuto in conto applicando un’azione concentrata nei nodi sui quali grava, in ragione dell’area d’influenza di ciascuno di essi. Con riferimento ai vincoli di base, si sono assunti incastri perfetti in ogni nodo, coerentemente con quanto proposto dalle norme, che non prescrivono la definizione delle proprietà del terreno su cui poggia l’edificio. Infatti, ai fini dell’analisi sismica come strutturata nell’Ordinanza 3431, tale approssimazione è trascurabile ai fini del comportamento globale dell’edificio.

6.1.6 Analisi modale Una prima indicazione sul comportamento della struttura può essere desunta dall’analisi modale: si individuano i modi propri ed i corrispondenti periodi, determinando il “livello” di importanza in ragione della massa coinvolta. Se in ciascuna direzione si evidenzia un modo dominante, che coinvolge gran parte della massa complessiva ci si può aspettare un comportamento più regolare, mentre una distribuzione “mista” è indice di modi torsionali. Un’analisi preliminare, condotta sull’edificio tipo, misura una massa complessiva di 666 tonnellate di cui 549 associate ai gradi di libertà non vincolati, procedendo con l’analisi modale si evidenzia un comportamento regolare, con distribuzioni predominanti sul primo modo nelle direzioni principali (primi due modi coprono circa l’85% della massa totale associata ai gradi di libertà effettivi, ovvero, in termini normativi, si sarebbe potuta effettuare un’analisi dinamica modale direttamente usando un solo modo per direzione, secondo il punto 4.5.3 della nuova ordinanza).


Modo 1 2 3 4 5 T 0.16 0.14 0.12 0.10 0.09 f 6.30 6.96 8.17 10.32 11.71

Mx 903 0.2% 464578 84.6% 13148 2.4% 6 0.0% 824 0.2% My 480507 87.5% 489 0.1% 2599 0.5% 24332 4.4% 70 0.0% Mz 13 0.0% 0 0.0% 4 0.0% 93 0.0% 28 0.0%

Tabella 9. Periodi, frequenze e masse partecipanti per i primi 5 modi della struttura (valori in unità S.I.)

La regolarità è ancor più evidente osservando le deformate modali dei modi 1 e 2: ovvero della prima forma modale in direzione Y ed X.

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 145 - Deformata 1° Modo direzione Y

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 146 - Deformata 1° Modo direzione X


La presente trattazione si svilupperà considerando il comportamento complessivo nella direzione X, osservandone la deformata si nota la maggior deformabilità delle pareti centrali. Tale effetto è messo in risalto grazie ad una modellazione realistica dei solai (risultato non evidenziabile con modello a piano rigido).

6.1.7 Analisi statica non lineare Sull’edificio è stata condotta un’analisi statica non lineare lungo la direzione x, secondo la distribuzione di forze coerente con la modale (distribuzione “triangolare”); si è diagrammato l’andamento del taglio alla base rispetto allo spostamento medio di piano del secondo solaio. Seguendo poi le indicazioni fornite nella normativa par 4.5.4. si è proceduto al calcolo della bilineare equivalente, avendo precedentemente determinato i valori di Γ ed m* (Γ=1.18 m*=418 tonnellate):

Pushover - Edificio Tipo - direzione x

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

pushover

Bilineare

Figura 147 - Curva pushover nell’edificio tipo.

Osservando la deformata nei passi iniziali dell’analisi si osserva un andamento coerente con l’analisi modale, seguito da una progressiva torsione dell’edificio attorno per l’innescarsi di un meccanismo di collasso: si forma un piano soffice al piano terreno.


P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 148 - Deformazione pianta - formazione meccanismo piano (spost. nodo di controllo 0.5 cm)

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 11

12 1314 15

16

17 18 19 20 21

n49

n50

n51

N4

N5

N6

N16

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

39

40

41

42

43

44

45 46 47

48 49 50 51

52 53 54 55

N 7

N 8

N 9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N46

N47

N48

Figura 149 - Pareti esterne (1 e 3) – formazione meccanismo piano (spost. nodo di controllo 0.5 cm)

89 90 91

92 93 94

9596 97

98

99100 101

102

N1

N2

N3

N28

N29

N30

N31

N32

N33

N34

N35

N36

103 104 105 106

107 108 109 110

111112 113 114

115

116117 118 119

120

n52

n53

n54

N25

N26

N27

N37

N38

N39

N40

N41

N42

N43

N44

N45

Figura 150 - Pareti interne (7 e 8) – formazione meccanismo piano (spost. nodo di controllo 0.5 cm)

La prima sequenza di configurazioni deformata evidenzia l’insorgere di un meccanismo di piano al primo livello dell’edificio: tutti i maschi murari di tale piano sono sul plateau di resistenza, ovvero non possono sopportare incrementi di forza; la curva complessiva si distende e lo spostamento progredisce sino all’innescarsi del collasso vero e proprio, determinato al decadimento del 20% della resistenza complessivo. Tale “softening” è generato dal collasso locale di alcuni elementi per raggiunto limite di drift.


P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 151 - Deformazione pianta – sottopasso di collasso

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 11

12 1314 15

16

17 18 19 20 21

n49

n50

n51

N4

N5

N6

N16

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

39

40

41

42

43

44

45 46 47

48 49 50 51

52 53 54 55

N7

N8

N9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N46

N47

N48

Figura 152 - Pareti esterne (1 e 3) – sottopasso di collasso

89 90 91

92 93 94

9596 97

98

99100 101

102

N1

N2

N3

N28

N29

N30

N31

N32

N33

N34

N35

N36

103 104 105 106

107 108 109 110

111112 113 114

115

116117 118 119

120

n52

n53

n54

N25

N26

N27

N37

N38

N39

N40

N41

N42

N43

N44

N45

Figura 153 - Pareti interne (7 e 8) – sottopasso di collasso

Al collasso, un meccanismo di piano coinvolge anche il secondo livello, ma il cinematismo si innesca sul piano terra in seguito al collasso dei maschi di parete 1. Anche le fasce di piano sono complessivamente plasticizzate, ed in taluni casi a rottura, segno di un meccanismo che ha sfruttato soddisfacentemente le risorse dell’edificio, offrendo una buona duttilità; nel punto precedente al collasso si calcola un fattore di struttura q* (si è utilizzato il procedimento proposto nell’ordinanza al punti 4.5.4.4.) pari a 2.27: numero elevato se si considera che il massimo ammissibile (sempre secondo l’ordinanza al punto 8.1.6.) è 3. Lo stesso procedimento è stato ripetuto a partire da un’uniforme distribuzione di forze, trovando una curva leggermente differente.


Pushover - Edificio Tipo - distr. uniforme -direzione x

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Spost [cm]

Tag

lio [

daN

]

pushover

Bilineare

Figura 154 - Analisi statica non lineare – distribuzione uniforme

Rispetto alla curva ottenuta a partire dalla distribuzione “modale” si rileva un minimo aumento di resistente a fronte di una riduzione di duttilità (collassa per uno spostamento più piccolo). È interessante osservare il meccanismo di collasso: pur essendo sostanzialmente simile al cinematismo precedentemente riscontrato, la distribuzione uniforme ha penalizzato ulteriormente il piano terreno, ove si innesca il meccanismo, comportandone la rottura pressoché completa in parete 1.

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 11

12 1314 15

16

17 18 19 20 21

n49

n50

n51

N4

N5

N6

N16

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

Figura 155 - Analisi statica non lineare – distribuzione uniforme – deformate a collasso

Al fine di poter confrontare queste curve con i risultati ottenuti a partire dai modelli numerici alterati dalle irregolarità occorre generalizzare il sistema. Le curve di capacità saranno ricondotte nel sistema accelerazione spostamento, in modo da prescindere dalla differente massa dei sistemi; tale operazione è possibile dividendo il taglio complessivo per la massa partecipante, ovvero, nella trattazione seguita, il prodotto Γ per m*. In termini di spostamento i differenti modelli risultano confrontabili poiché calcolati al medesimo livello in termini di media di piano (l’argomento è già stato trattato nel paragrafo 5.2.1), in modo da prescindere da una differente disposizione dei nodi.


Curve di Capacità - Edificio Tipo (2 piani)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Spostamento [cm]

Acc

eler

azio

ne

[ms-2

]

UniformeUniforme BilineareTriangolareTriangolare Bilineare

Figura 156 - Curve di capacità – edificio tipo

Per completare lo studio del modello si sono effettuate alcune analisi dinamiche ad accelerazioni crescenti al fine di valutare l’effettivo meccanismo di collasso, nonché la veridicità della previsione. Si utilizzeranno gli stessi accelerogrammi presentati nel capitolo 3, nonché i coefficienti α e β di Rayleight determinati analogamente a quanto descritto in precedenza per il legame bilineare (paragrafo 3.5):


1.5 0.24 0.30 0.19 0.2 0.2 2.00 0.45 0.64 0.27 0.43 0.36 2.50 0.75 0.98 0.94 1.08 0.7

Tabella 10. - confronti con le dinamiche

Si può osservare una buona coerenza fra l’analisi statica equivalente e le analisi dinamiche. Si riporta i cicli relativi all’accelerogramma sintetico S6:


Dinamiche - accelerogramma S6

-250000

-200000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

spost [cm]

tag

lio [d

aN]

s6 1.5

s6 2.0

s6 2.5

Figura 157 - Time-history Accelerogramma S6 – P.g.a. 1.5 , 2.0 , 2.5 ms-2

6.2 Edificio Sopraelevato (3 piani) Come prima variazione dell’edifico tipo si opera una completa sopraelevazione in muratura di spessore inferiore al livello precedente. Tale intervento costituisce una pratica diffusa, non sempre condotta in modo responsabile, ovvero a seguito di una attenta analisi circa la variazione del comportamento del complesso.

175

170

350

100

170

210

170

350

380

Figura 158 - Prospetto e Modello Edificio sopraelevato

Osservando le forme modali, le frequenze e le masse partecipanti, si osserva un quadro simile al modello base, a meno di maggior deformabilità dovuta all’incremento di altezza (modello più flessibile). Inoltre rimangono prevalenti i primi due modi (direzione y ed x) in termini di massa partecipante (in questo caso la massa associata i gradi di libertà non vincolati è pari a 790 tonnellate):


Modo 1 2 3 4 5

T 0.22 0.19 0.16 0.11 0.09

f 4.6 5.2 6.2 9.4 10.6 Mx 650 654256 26457 1 234 My 680341 175 4777 4832 150 Mz 16 0 5 75 36

Tabella 11. – Analisi modale edifico sopraelevato (Unità S.I.)

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 159 - Deformata primo modo direzione x

Osservando poi le curve pushover (analisi statica non lineare) si nota un maggior taglio alla base nel modello sopraelevato (dovuto alla maggior massa) associato a spostamenti leggermente maggiori.

Pushover - Confronto Edificio 2 piani e 3 piani (sopraelevato)

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2spost [cm]

Tag

lio [

daN

]

Triang. (2 piani)

Triang. (3 piani)

Unif. (2 piani)

Unif. (3 piani)

Figura 160 - Curve pushover nei due modelli, direzione x


Per meglio comprendere questo fenomeno occorre osservare i meccanismi danneggiamento e collasso nella pareti esterne nei due modelli (partendo dalla distribuzione modale, ove l’effetto è più marcato). Si nota come nel modello tipo (2 piani) alcuni maschi del piano terreno, in parete 1, si danneggino e si rompano per taglio, prima del collasso finale, inducendo una torsione progressiva al modello; al contrario nel modello sopraelevato, a fronte di una maggiore compressione che ha indotto una maggior resistenza a taglio, i danneggiamenti e collassi sono prevalentemente dovuti a presso flessione, la parete 1 non presenta maschi a rottura e la torsione si presenta solo nel passo finale di collasso (speculare), con rotture in parete 3. Il maggior spostamento è dunque giustificato da un meccanismo meno torcente che meglio carica le pareti e da un meccanismo locale nei maschi, presso-flessione, più duttile; a questo meccanismo è associato, infatti, un drift di rottura più elevato (0.6%) rispetto a quello a taglio (0.4%).

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

P1

P 2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 161 - Deformate al passo precedente il collasso nei modelli tipo (sx) e sopraelevato (dx)

P1

P2

P3

P4 P 5 P6

P7

P8

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 162 - Deformate a collasso nei modelli tipo (sx) e sopraelevato (dx)

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 11

12 13 14 15

16 1718 19

20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

n65

n66

n67

n68

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

N21

N22

N23

N24

N29

N30

N31

N32

55

56

57

58

59

60

61 62 63

64 65 66

67 68 69 70

71 72 73 74

75 76 77 78

N9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N16

N17

N18

N19

N20

N25

N26

N27

N28

Figura 163 - Deformate pareti esterne (1 sinistra, 3 destra) a collasso


Questo effetto non è però sufficiente a compensare l’aumento di vulnerabilità dovuta alla sopraelevazione: a stato limite ultimo sono associabili accelerazioni di collasso minori nel modello sopraelevato, ovvero potrebbe resistere a sismi di entità minore:

tipo di analisi p.g.a. collasso [ms-2] spost. ultimo [cm] distr. uniforme 3.19 1.16 edificio tipo

(2 piani) distr. triangolare 3.35 1.55 distr. uniforme 2.55 1.25 edificio sopraelevato

(3 piani) distr. triangolare 3.02 1.82

Tabella 12. Accelerazione al suolo (p.g.a.) di collasso nei 2 modelli

Infatti, calcolando la domanda di spostamento, ad accelerazioni crescenti, si vede come il modello sopraelevato richieda più duttilità, a parità di accelerazione al suolo.

2 Piani 3 Piani P.g.a. [ms-2] Unif. [cm] Triang.[cm] Unif. [cm] Triang.[cm]

1.5 0.24 0.30 0.49 0.64 2.00 0.45 0.64 0.85 1.03 2.50 0.75 0.98 1.22 1.42

Tabella 13. Domanda di spostamento per crescenti accelerazione al suolo (p.g.a.) nei 2 modelli

È interessante riplottare le curve di capacità nel sistema di riferimento accelerazione-spostamento in modo da poter confrontare i risultati dei due modelli nelle diverse distribuzioni iniziali di forze.

Curva Capacità Modello tipo (2 piani) e sopraelevato (3 piani)

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Spostamento [cm]

Acc

eler

azio

ne

[ms

-2]

3P_Uniforme3P_Uniforme Bilineare3P_Triangolare3P_Triangolare Bilineare2P_Uniforme2P_Uniforme Bilineare2P_Triangolare2p_Triangolare Bilineare

Figura 164 - Confronti curve di capacità

Infine, tale risultato è confermato dalle analisi dinamiche, eseguite come per il modello precedente a crescenti accelerazioni su tre differenti accelerogrammi compatibili con il suolo B ipotizzato:



1.5 0.55 0.69 0.40 0.43 2.00 0.92 1.08 0.98 1.00 2.50 1.30 1.48 (1.95) (2.22)

Tabella 14. - confronti con le dinamiche

Dinamiche - Edificio sopraelevato - accelerogramma S6

-300000

-250000

-200000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

250000

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Spost [cm]

Tag

lio [

daN

]

p.g.a. 1.5

p.g.a. 2.0

p.g.a. 2.5

Figura 165 - Time history – accelerogramma S6 su edificio sopraelevato

6.3 Edificio eccentricamente sopraelevato (3 piani) Più complesso è il caso di una parziale sopraelevazione, ovvero qualora venisse rialzata solo una porzione dell’edificio tipo. Questo tipo di intervento determina una anomalia in pianta ed elevazione con ripercussioni sulla resistenza complessiva del fabbricato.

Figura 166 - Edificio irregolarmente sopraelevato

La porzione sopraelevata, di spessore minore rispetto ai piani inferiori non incide significativamente sulla risposta elastica (analisi modale), tanto che si riscontrano periodi intermedi rispetto ai modelli di riferimento (2 piani e 3 piani completo). Le masse partecipanti (la massa associata i gradi di libertà non vincolati è pari a 700 tonnellate) sono diminuite a fronte di una maggior eccentricità che ha penalizzato la regolarità dei primi modi :


Modo 1 2 3 4 5 T 0.20 0.18 0.15 0.10 0.09 f 4.99 5.70 6.82 10.12 10.86

Mx 695 0.1% 577807 82.4% 16546 2.4% 1101 0.2% 1 0.0% My 555461 79.2% 3655 0.5% 34888 5.0% 18105 2.6% 18533 2.6% Mz 6 0.0% 60 0.0% 36 0.0% 23 0.0% 150 0.0%

Tabella 15. – Analisi modale edifico eccentricamente sopraelevato (Unità S.I.)

Osservando le deformate modali si ritrovano forme analoghe alle precedenti, con minimi effetti “torcenti” indotti dalla porzione eccentrica:

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 167 - Deformata primo modo direzione x (a sinistra) ed y (a destra)

L’analisi modale non evidenzia problematiche particolari rispetto a questa tipologia di intervento; resta ora da procedere con le analisi statiche non lineari, per determinare i meccanismi di collasso.

Curva Pushover - Edificio irregolarmente sopraelevato

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Spostamento [cm]

Acc

eler

azio

ne

[ms

-2]

Uniforme

Uniforme Bilineare

Triangolare

Triangolare Bilineare

Figura 168 - Analisi statica non lineare – Edificio irregolarmente sopraelevato.


Appare subito evidente la minima duttilità della curva ottenuta a partire da una distribuzione di forze di tipo triangolare, per comprenderne le ragioni si devono osservare le deformate a collasso: mentre la distribuzione uniforme porta nuovamente ad un meccanismo di piano localizzato al livello più basso, la distribuzione modale manda a collasso il livello sopraelevato in modo repentino. La distribuzione penalizza le porzioni più elevate (poiché proporzionale al prodotto massa per altezza), meno resistenti in virtù del ridotto spessore; questo aspetto non poteva essere colto da analisi prettamente elastiche (come l’analisi modale precedentemente riportata).

Figura 169 - Deformate, distribuzione uniforme, passo precedente e di collasso. È molto evidente il

cinematismo di piano.

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10

11 12 13

14 15 16 1718

19 20 21 22 23

24 25 26 27

1

n58

n59

n60

n61

N5

N6

N7

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

N25

N26

N27

N28

115 116 117 118

119 120

121 122

123124 125 126

127

128129 130 131

132

133 134 135

20

n62

n63

N29

N30

N31

N32

N44

N45

N46

N47

N48

N49

N50

N51

N52

N53

N54

Figura 170 - Deformate a collasso delle pareti esterne alla sopraelevazione. È evidente la rottura nei

maschi dell’ultimo livello.

A maggior descrizione della repentina interruzione della curva pushover nella distribuzione triangolare, si riporta il confronto con la medesima analisi svolta con un nodo master posto sul terzo livello: controllando, in sede di algoritmo pushover, (si vedano i paragrafi 2.1.4 e 5.2.1) un nodo del secondo livello, mentre il collasso sopraggiunge nella porzione superiore, una volta innescato il cinematismo non è possibile seguire il ramo “post-critico”. Al contrario un nodo master all’ultimo livello, ove effettivamente ha luogo il collasso, coglierebbe il degrado complessivo della resistenza e l’arretramento (“snap back”) del livello intermedio (la formazione di un piano debole all’ultimo piano provoca la caduta di resistenza di questa parte, per poter garantire uniformità di forze rispetto alla distribuzione assegnata il livello sottostante dovrà ridurre il proprio spostamento così da esercitare un’azione minore).


Curva Pushover - Edificio sopraelevato - Distr. Triangolare

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

Livello 2

Livello 2 (Master L3)

Livello 3 (Master L3)

Figura 171 – Influenza della scelta nodo master nella visualizzazione della curva: un nodo master

all’ultimo livello, ove avviene il collasso, permette anche una descrizione “post-critica” del comportamento dell’edificio. Va notato come tale descrizione è da intendersi principalmente in

termini qualitativi, poiché corrisponderebbe ad una condizione di collasso.

Realisticamente non è necessario prendere in esame le ulteriori informazioni derivanti da un differente nodo master, poiché comunque descriverebbero stati non più compatibili con la struttura (collasso). La differenza nei meccanismi di rottura evidenziate nelle due distribuzioni rende necessario il confronto con le analisi dinamiche per cercare di comprendere l’eventuale innescarsi di un cinematismo al livello superiore.

tipo di analisi p.g.a. collasso [ms-2] spost. ultimo [cm] distr. uniforme 3.19 1.16 edificio tipo

(2 piani) distr. triangolare 3.35 1.55 distr. uniforme 2.55 1.25 edificio sopraelevato

(3 piani) distr. triangolare 3.02 1.82 distr. uniforme 2.99 1.40 edificio eccentr.

sopraelevato distr. triangolare 1.46 0.51

Tabella 16. - Accelerazione al suolo (p.g.a.) di collasso nei 3 modelli. Si evidenzia la scarsa resistenza del terzo modello nella distribuzione modale, mentre è coerente nella distribuzione uniforme.

Si procederà ad accelerazione crescenti con i tre segnali (S1 S6 S3) già impiegati in precedenza per analizzare gli effettivi stati di danno, in particolare rispetto al livello di accelerazione compatibile con la distribuzione uniforme e inammissibile rispetto alla modale (p.g.a. 2.0 – 2.5).



1.5 0.39 0.53 0.3 0.32 2.00 0.73 0.87 0.38 0.61 2.50 1.07 - 1.02 1.38

Tabella 17. Confronto fra analisi statica non lineare e dinamica.

Dinamiche - Edificio irregolarmente sopraelevato - acc. S6

-300000

-250000

-200000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

250000

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Spost [cm]

Tagl

io [d

aN]

p.g.a. 1.5

p.g.a. 2.0

p.g.a. 2.5

Figura 172 - Analisi dinamica, edificio irregolarmente sopraelevato, accelerogramma S6. È evidente la

rilevante ampiezza dei cicli per p.g.a. 2.5 ms-2.

A prescindere dai valori calcolati di spostamento, si rileva l’anomala ampiezza dei cicli nelle time-history ad accelerazioni al suolo di 2.5 ms-2, diviene necessaria l’osservazione dell’effettivo stato finale di danno per comprendere il comportamento dell’edificio.

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10

11 12 13

14 1516 17

18

19 20 21 22 23

24 25 26 27

1

n58

n59

n60

n61

N5

N6

N7

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

N25

N26

N27

N28

100 101 102

103

104

105106 107

108

109110 111

112

113 114

17 18

19

N1

N2

N3

N4

N33

N34

N35

N36

N37

N38

N39

N40

N41

N42

N43

Figura 173 - Stato di danneggiamento, pareti esterne (1 e 7), accelerogramma S6, p.g.a. 2.5 ms-2. Collasso

localizzato nella parete 1, cinematismo in atto all’ultimo livello.

L’accelerogramma S6 mostra rottura in alcuni maschi del livello rialzato, oltre a plasticizzazione dei rimanenti, evidente segno di un cinematismo in atto. Ancor più evidente il quadro di danno ottenuto con l’accelerogramma S1, in questo caso la rottura dei maschi coinvolge entrambe le pareti laterali:


1

2

3

4 5

6

7

8 9 10

11 12 13

14 1516 17

18

19 20 21 22 23

24 25 26 27

1

n58

n59

n60

n61

N5

N6

N7

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

N25

N26

N27

N28

100 101 102

103

104

105106 107

108

109110 111

112

113 114

17 18

19

N1

N2

N3

N4

N33

N34

N35

N36

N37

N38

N39

N40

N41

N42

N43

Figura 174 - Stato di danneggiamento, pareti esterne (1 e 7), accelerogramma S1, p.g.a. 2.5 ms-2. Collasso

generalizzato ad entrambe le pareti con evidente meccanismo di piano in atto.

Resta da constatare lo stato di danno nelle medesime pareti per effetto di una p.g.a. di 2.0 ms -2. Si vede come, pur plasticizzati, non vi siano maschi a rottura, segno che la struttura avrebbe potuto sopportare l’azione indotta con spostamenti massimi coerenti con quanto previsto dall’analisi statica equivalente:

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10

11 12 13

14 1516 17

18

19 20 21 22 23

24 25 26 27

1

n58

n59

n60

n61

N5

N6

N7

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

N25

N26

N27

N28

100 101 102

103

104

105106 107

108

109110 111

112

113 114

17 18

19

N1

N2

N3

N4

N33

N34

N35

N36

N37

N38

N39

N40

N41

N42

N43

Figura 175 - Stato di danneggiamento, pareti esterne (1 e 7), accelerogramma S1, p.g.a. 2.0 ms-2.

Danneggiamento generalizzato senza elementi a rottura.

Di fondamentale importanza, in questa sede, è stata l’analisi dinamica che ha permesso di confermare il meccanismo di collasso sulla porzione sopraelevata indicato dalla statica non lineare a distribuzione modale. Anche se indubbiamente cautelativa l’analisi statica non lineare si rivela dunque un ottimo metodo di calcolo capace di individuare potenziali limiti delle costruzioni non evidenziabili in analisi elastiche. Concludendo l’analisi di questa struttura eccentricamente sopralevata si constata come ad una resistenza sostanzialmente intermedia (fra i modelli a 2 e 3 piani) vada però ad associarsi una duttilità estremamente ridotta a causa di un differente meccanismo di rottura.


Curve Capacità Modelli a 2, 3 piani e sopraelevato eccentrico

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Spostamento [cm]

Acc

eler

azio

ne

[ms-2

]

Uniforme 3PianiUniforme Bilineare 3PianiTriangolare 3PianiTriangolare Bilineare 3PianiUniforme eccentricoUniforme Bilineare eccentricoTriangolare eccentricoTriangolare Bilineare eccentricoUniforme 2PianiUniforme Bilineare 2PianiTriangolare 2PianiTriangolare Bilineare 2Piani

Figura 176 - Curve di capacità modello base (2 piani), integralmente sopraelevato (3 piani) ed eccentricamente sopraelevato. L’ultima soluzione, pur avendo una resistenza intermedia presenta,

nella distribuzione modale, una duttilità estremamente ridotta, ovvero potrà sopportare azioni molto più basse.

6.4 Edificio con irregolarità in fondazione Il caso di presenza di una porzione cantinata è piuttosto comune nel panorama del costruito, in particolare in vecchi edifici in muratura, e per molti aspetti ricorda la modellazione della struttura sopraelevata, tuttavia pone delle problematiche nuove connesse all’interazione con il terreno. In primo luogo ci si pone la domanda se e quanto possa avere importanza la modellazione del suolo sul modello di edificio a due piani privo di cantina per poter poi valutare la risposta sul modello cantinato Si è ipotizzato che la struttura sia sita su suolo di fondazione di categoria tipo B, definito, da normativa:“Depositi di sabbie o ghiaie molto addensate o argille molto consistenti”, con spessore di diverse decine di metri, caratterizzate da un graduale miglioramento delle proprietà meccaniche con la profondità e da valori di VS30 compresi tra 360 m/s e 800 m/s ( ovvero resistenza penetrometrica Nspt > 50 o coesione non drenata Cu > 250 kPa). La fondazione è stata ipotizzata verosimilmente, facendo riferimento ad esempi di edifici esistenti, come un allargamento della muratura, di larghezza costante 1 m e profondità pari a 1 m sia della porzione non cantinata, sita a livello del piano di campagna (p.c.), sia della porzione cantinata, sita a 3 m di profondità rispetto al p.c. E facile intuire che l’elemento più complicato da modellare in questo caso è la spinta che il terreno esercita sulla muratura sia in direzione verticale sia orizzontale. A tal fine si è ipotizzato di posizionare in corrispondenza dei nodi della porzione di fondazione dei vincoli cedevoli con lo scopo di rappresentare i cedimenti del terreno in funzione della spinta esercitata dalla fondazione a causa dell’azione sismica. I cedimenti modellati sono di tipo elastico (molle di


Winkler) in quanto una modellazione più sofisticata richiederebbe tempi troppo elevati e trattazioni che non sono scopo del presente lavoro. Occorre a questo punto ricavare dei valori plausibili per i coefficienti di reazione del terreno che andranno poi moltiplicati per le rispettive aree di influenza dei singoli nodi

6.4.1 Calcolo dei coefficiente di reazione Per quanto concerne il coefficiente di reazione verticale si prende in considerazione un Kv, unitario il cui valore è riferito ad un area di 1 m2, determinabile in base alle caratteristiche del terreno: al fine di avere un valore medio indicativo, coerentemente con il suolo ipotizzato, si è assunto il valore minimo relativo una densità relativa (Dr) buona, ovvero 6 kgf/cm3 : Ø per Dr > 0.75, Kv, = 6 ÷ 21 [kgf/cm3]

Quindi utilizzano formule empiriche, per terreni granulari, è stato ulteriormente corretto tale valore in ragione della forma reale dell’impronta di fondazione (rettangolo B·L a profondità D).

1. superficie quadrata di lato B:

2

,0,3

= 2,35 2

BV V unitB

K KB

+ ⋅ ⋅

(6.1)

2. striscia larghezza B e lunghezza L :

,

1 0,5 =

1,5BV rett V

BLK K

+⋅ (6.2)

3. striscia larghezza B e lunghezza L ad un piano di posa a profondità D (*):

, V,rett = K 1 2prof DD

KB

⋅ + ⋅

(6.3)

(*) quest’ultima formula è valida per valori di D<B/2 oltre i quali si assume il valore massimo Kv,prof, D = 2·Ksuperficiale= 2·KVrett

Il cedimento elastico può analogamente essere computato per reazioni orizzontali: si riportano di seguito i valori di Kh forniti a titolo indicativo nel caso di strutture estese (setti, diaframmi, etc..); in modo coerente con la trattazione verticale, si è assunto il valore relativo ad una densità relativa buona, ovvero 3.8 kgf/cm3.

Kh (Sabbia Grossa) Dr T=4m

<0.15 0.74 [kgf/cm3] 3.05 [kgf/cm3]

>0.85 3.83 [kgf/cm3] Tabella 18. Correlazione fra densità relativa e Kh per strutture estese.

I Kv e i Kh sono stati ricavati per profondità di 4 m per modellare la reazione sotto la cantina e profondità di 1 m nella porzione di edificio non cantinata. Il modello numerico opera su nodi puntuali, pertanto la reazione dovuta al cedimento andrà ripartita sull’impronta effettiva di fondazione, ovvero i gradi di libertà interessati saranno le traslazioni orizzontali e lo spostamento verticale dei punti alla base: tali punti rappresentano una porzione estesa della fondazione schematizzabile, in termini di superfici di influenza, con un prisma B·L·H. Le superfici laterali


saranno interessate dal cedimento orizzontale, mentre la superficie di base dal cedimento verticale: tale azione non sarà più riferita all’unita di superficie (come nel caso di Kv e Kh) ma dovranno essere calcolate costanti specifiche kv, khx , khy che esprimeranno il cedimento nodale effettivo, ovvero:

v Vk K B L= ⋅ ⋅ (6.4)

xh Hk K B H= ⋅ ⋅ (6.5)

yh Hk K L H= ⋅ ⋅ (6.6)

kxh

kv

kyh

KV

KH KH

B

L

H

Figura 177 – Disposizione delle costanti di cedimento elastico nodale.

6.4.2 Modellazione del suolo elastico In prima battuta è stato ripreso il modello di già analizzato di edificio tipo a due piani e si sono sostituiti agli incastri perfetti dei nodi alla base i vincoli cedevoli (molle di Winkler) sopra descritti al fine di simulare in maniera più sensibile e puntuale l’interazione del terreno con la struttura. Questo per mettere in luce, laddove si fossero presentate, le divergenze tra i due modelli. In realtà, tenendo presente che il terreno considerato era di buone caratteristiche meccaniche, l’andamento delle curve di pushover, e delle bilineari di sintesi, è risultato molto simile, a indicare che l’ipotesi di modellazione di edifici in muratura schematizzata con incastro perfetto alla base è valida e del tutto accettabile (si vedano le figure seguenti). In riferimento al calcolo dello spostamento del modello realizzato con le molle di Winkler, va tenuto in debito conto che lo spostamento da considerare non è in valore riscontrato ma deve essere depurato dei valori dello spostamento medio del livello di base (i nodi di appoggio non sono più incastrati quindi possono traslare, e pertanto lo spostamento di sommità da considerare deve essere computato rispetto ad un “suolo medio”) anche se la differenza tra i due valori non è cospicua.


Pushover - distr. uniforme - Suolo elastico -

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

Spostamento (incastro) Bilineare (incastro)

Spost. relativo (suolo elastico) Bilineare (suolo elastico)

Spost. assoluto (suolo elastico)

Figura 178 – Curve di pushover nella modellazione elastica del suolo rispetto all’incastro perfetto. Si

osservi la differenza, pur modesta, fra spostamento assoluto e relativo del livello di sommità

Per quanto riguarda i meccanismi di collasso si riscontra il cedimento della parete 1 al livello di base:

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 179 - Deformazione pianta, formazione meccanismo di piano

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 11

12 1314 15

16

17 18 19 2 0 21

n49

n50

n51

N4

N5

N6

N16

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

39

40

41

42

43

44

45 46 47

48 49 50 51

52 53 54 55

N7

N8

N9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N46

N47

N48

Figura 180 - Danneggiamento Pareti esterne (1 e 3) e formazione meccanismo di piano


A conferma della validità di entrambi i modelli vale anche la congruenza dei meccanismi di collasso: in questi termini il modello con cedimenti alla base coincide con quello di edificio tipo a due piani, già oggetto di analisi al par. 6.1. Lo stesso risultato è stato ottenuto a partire da una distribuzione iniziale di tipo triangolare.

Pushover - Edificio Tipo - distr. triangolare- confronto suolo elastico

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Spostamento [cm]

Tag

lio [d

aN]

Spostamento (incastro) Bilineare (incastro)

Spost. relativo (suolo elastico) Bilineare (suolo elastico)

Spost. assoluto (suolo elastico)

Figura 181 - Curve di pushover nella modellazione elastica del suolo rispetto all’incastro perfetto a

partire dalla distribuzione triangolare

Tuttavia occorre precisare che i risultati ottenuti sono vincolati ad una tipologia di terreno con caratteristiche meccaniche buone (classe B da normativa) infatti: al fine di sondare la possibile variazione di comportamento del modello in funzione dell’interazione con un terreno di caratteristiche più scadenti, si è proceduto a realizzare una prova numerica utilizzando dei valori dei coefficienti di Winkler diminuiti di in fattore 10, che equivale a grandi linee a modellare un terreno in fondazione con caratteristiche meccaniche molto scadenti (grossomodo compatibili con limi argillosi o argille limose). Sotto queste ipotesi e questi valori i risultati hanno fornito una curva di Pushover che si discosta in maniera pronunciata rispetto a quella del modello con incastro perfetto (si vedano le figure seguenti). Di conseguenza in caso di terreno scadente si rende necessario o quanto meno consigliabile prendere in considerazione, all’interno dell’analisi l’interazione, terreno struttura e non semplificare per mezzo dell’incastro perfetto.


Pushover - distr. uniforme - confronto con Edificio tipo K ridotto

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Spostamento [cm]

Taglio [daN]

Edificio Tipo (incastro) Bilineare Edifico tipo (suolo elastico) Bilineare (suolo elastico) Edificio tipo (suolo elastico a rig. ridotta)

Figura 182 – Curve pushover nel caso di terreno di scarse caratteristiche meccaniche (K ridotto rispetto

all’esempio precedente di un ordine di grandezza).

6.4.3 Modello con porzione cantinata A questo punto è possibile esaminare sotto le ipotesi di terreno di buone caratteristiche meccaniche sempre il medesimo edificio tipo a due piani ma con l’aggiunta di una porzione cantinata (si vedano le figure seguenti) al fine operare un confronto fra le risposte dei tre modelli e valutare quanto e in che modo incide la componente terreno e quanto invece la presenza della porzione cantinata.

100

170

210

170

350

380

300

100

Figura 183 – Edificio con porzione cantinata.

Va osservato che rispetto al caso precedente, in cui il suolo costituiva un basamento omogeneo continuo (semispazio), ora ai bordi della porzione interrata si presenta discontinuo. Ipotizzare un vincolo elastico bilatero non è più corretto: in presenza di uno strato continuo era lecito interpretare uno stato di “trazione” del vincolo come effetto virtuale della modellazione da intendersi come compressione della porzione di suolo opposta al verso di deformazione. In presenza di discontinuità è necessario modellare reazioni elastiche unilatere che reagiscano unicamente ad azioni di compressioni, tale dispositivo è stato ottenuto con un puntone (asta


reagente unicamente a compressione) di rigidezza equivalente posizionato alla sommità della porzione cantinata.

Figura 184 – Dispositivi “puntone” atti a modellare la reazione unilatera (compressione) del terreno.

Pushover - distr. uniforme - confronto con Edificio cantinato

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

Edificio Tipo Bilineare Edifico tipo (suolo elastico) Bilineare (suolo elastico)Edificio cantinato(suolo elastico)

Figura 185 – Curva di pushover edificio cantinato, distribuzione uniforme.

La curva segue grossomodo l’andamento già ritrovato per i modelli privi di cantinamento, mostrando un maggior taglio massimo; tuttavia il confronto vero e proprio andrà effettuato in termini di curve di capacità poiché le masse coinvolte sono differenti (a maggior massa corrisponde un maggior taglio ma non necessariamente una maggiore resistenza), inoltre lo spostamento diagrammato, per coerenza di rappresentazione è lo spostamento della sommità, depurato dello spostamento del piano di campagna (in modo da potersi paragonare al modello privo di cantina), in realtà andrà considerato lo spostamento relativo misurato come spostamento


assoluto meno lo spostamento del livello più basso (in questo caso la base della porzione interrata). Osservando il meccanismo di rottura la cantina assume funzione di ancoraggio generando un complesso effetto torsionale sull’edificio: i piani in elevazione subiscono rotazione opposte alla porzione interrata, per effetto dei vincoli monolateri al suolo; si registra, tuttavia la rottura della parete 1 per meccanismo di piano debole, come nel caso dell’edificio privo di cantina, ma in questo caso la rottura interessa anche la parete ortogonale di bordo (parete 4).

P1

P2

P3

P4 P5P6

P7

P8

Figura 186 - Deformazione pianta a collasso sotto distribuzione uniforme. Da notare la torsione opposta

della porzione interrata.

1 2 3

4

5

6 7 8 9

10

11 1213 14 15

1617 18 19

20

2041 215 19

n53

n54

n55

n56

n1012 n1118

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N17

N18

N19

N20

N24

N25

N26

55

56

57

58

59

60 61 62

63

64 65 66 67

68 69 70 71

3 416 18

n57

n58n1042 n1434

N1

N2

N3

N4

N11

N12

N13

N27

N28

N29

N33

N34

N35

N36

Figura 187 – Pareti laterali alla cantina a collasso: il danneggiemento coinvolge sia la parete 1 (a sinistra)

posta nella direzione di analisi, sia la parete 4 (a destra) ortogonale a conferma di una rilevante torsione.


38

39

40

41

42

43

44 45 46

47 48 49 50

5152 53

54

N 8

N 9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N16

N21

N22

N23

103 104 105 106

107 108 109 110

111

112113 114 115

116

117 118 119 120 121

13 1417 21

n61

n62

n63

n64

n1847

N33

N34

N35

N36

N37

N38

N39

N46

N47

N48

N49

N50

N51

N52

Figura 188 – Deformate delle pareti 3 (a sinistra) e 8 (a destra). Il danneggiamento è meno diffuso

Successivamente è stata provata la distribuzione “triangolare”, rilevando un meccanismo di collasso differente, che questa volta coinvolgeva il livello più alto e la parete 3 con una torsione complessiva minore del caso precedente: l’effetto è poi localizzato prevalentemente al piano più alto, mentre poca rotazione si nota ai livelli più bassi.

P1

P2

P3

P4 P5P6

P7

P8

Figura 189 – Deformata a collasso con distribuzione “triangolare”. La torsione è localizzata

prevalentemente sull’ultimo livello.

1 2 3

4

5

6 7 8 9

10

11 1213 14 15

16 17 18 19 20

2041 215 19

n53

n54

n55

n56

n1012 n1118

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N17

N18

N19

N20

N24

N25

N26

38

39

40

41

4 2

4 3

44 45 4 6

47 48 49 50

5152 53

54

N 8

N 9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N16

N21

N22

N23

Figura 190 – Deformate pareti 1 (a sinistra) e 3 (a destra) a rottura. Il meccanismo è differente da quanto

evidenziato dalla distribuzione uniforme, in questo caso la parete 1, posta sul lato dell’edificio nella porzione cantinata non risulta significativamente danneggiata, mentre la parete posta dal lato

opposta presenta elementi a rottura al livello più alto.


Pushover - distr. triangolare - confronto con Edificio cantinato

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

Edificio Tipo Bilineare Edifico tipo (suolo elastico) Bilineare (suolo elastico)Edificio cantinato(suolo elastico)

Figura 191 – Curva di pushover edificio cantinato, distribuzione triangolare. Si nota una rilevanti

diminuzione della resistenza, oltretutto il modello cantinato opera su una massa maggiore.

La curva complessiva è mostra una resistenza ridotta rispetto al modello privo di cantina, soprattutto osservando che il modello cantinato ha una massa maggiore, pertanto dovrebbe rilevare una maggior taglio complessivo. Evidentemente il meccanismo di sommità della parete 3 risulta più punitivo. È interessante osservare le curve di capacità, questa volta la dipendenza dalla massa viene meno in virtù della normalizzazione, inoltre lo spostamento, normalizzato rispetto a G, è calcolato, nel modello cantinato, rispetto al livello più basso. Questo permette di evidenziare la maggior duttilità di quest’ultimo e la differente rigidezza.


Curve di Capacità - Edificio Tipo e cantinato

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6Spostamento [cm]

Acc

eler

azio

ne

[ms-2

]

Uniforme (incastro) Uniforme Bilineare

Triangolare Triangolare Bilineare

Uniforme Cantina Uniforme Bilineare Cantina

Triangolare Cantina Triangolare Bilineare Cantina

Figura 192 – Curva di capacità. Il modello cantinato risulta complessivamente meno resistente ma più

duttile. È inoltre interessante rilevare come le due distribuzioni di forze (uniforme e triangolare) abbiano prodotto due meccanismi distinti.

L’analisi statica ha portato a due possibili meccanismi di collasso: parete 1 al piano terra secondo la distribuzione uniforme, parete 3 piano primo secondo la triangolare; diviene estremamente interessante osservare i risultati delle analisi dinamiche, condotte con i accelerogrammi (S1, S3, S6) B-compatibili ad accelerazioni crescenti.

Dinamiche - Edificio cantinato - accelerogramma S6

-250000

-200000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

250000

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

p.g.a. 1.5p.g.a. 2.0p.g.a. 2.5p.g.a. 3.0

Figura 193 – Analisi dinamiche con accelerogramma S6 a pg.a. crescenti. Sono rappresentati gli

spostamenti dell’ultimo livello rispetto al piano cantinato.


Le dinamiche confermano quanto previsto con la distribuzione uniforme, ovvero un meccanismo di collasso localizzato al piano terra, in particolare il collasso degli elementi in parete 1 precede quello di parete 3, ovvero per accelerazioni di 2.5 ms-2, si riscontrano maschi collassati solo in parete 1, mentre per accelerazioni superiori il danno si diffonde a tutto il piano. È evidente che questa accelerazione non è compatibile con la struttura: si osserva un cinematismo diffuso che porta al collasso.

1 2 3

4

5

6 7 8 9

10

11 1213 14 15

16 17 18 19 20

2041 215 19

n53

n54

n55

n56

n1012 n1118

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N17

N18

N19

N20

N24

N25

N26

38

39

40

41

4 2

4 3

44 45 4 6

47 48 49 50

5152 53

54

N8

N9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N16

N21

N22

N23

Figura 194 – Stato di danno al termine di un’analisi dinamica con p.g.a. 2.5 ms-2.

1 2 3

4

5

6 7 8 9

10

11 1213 14 15

16 17 18 19 20

2041 215 19

n53

n54

n55

n56

n1012 n1118

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N17

N18

N19

N20

N24

N25

N26

38

39

40

41

4 2

4 3

44 45 4 6

47 48 49 50

5152 53

54

N8

N9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N16

N21

N22

N23

Figura 195 – Danneggiamento durante un’analisi dinamica a p.g.a. 3.0 ms-2.

L’osservazione delle analisi dinamiche “smentisce” la distribuzione triangolare: in effetti tale distribuzione è in generale una buona approssimazione del primo modo in strutture sostanzialmente omogenee, in realtà, in questo caso, sul livello inferiore incideva la rigidezza del terreno, ben diversa dalla rigidezza strutturale. L’idea di una distribuzione crescente in ragione della quota, senza però un confronto con la rigidezza effettiva, ha portato ad una sovrastima dell’azione dinamica sul piano alto; in realtà l’azione del sisma si distribuisce più gradatamente scaricando una certa parte dell’accelerazione direttamente al suolo. Questo esempio mostra come in presenza di una discontinuità di fondazione sia necessaria un’analisi modale volta a determinare la distribuzione effettiva in quanto la distribuzione triangolare diviene inattendibile.


6.5 Edificio planimetricamente irregolare Un'altra tipologia di irregolarità si ha quando ad un corpo centrale, sostanzialmente regolare (come poteva essere l’edificio tipo presentato) viene annesso (o in origine o in una fase successiva) una porzione eccentrica. In tal caso la planimetria non è più regolare ed è interessante valutare come muta la risposta complessiva.

110

210

577

1460

110200

1060

164

310

110

130

60

3642

260

110180

130

110

160

110

6028

236

377

305

36 36314

120155

60

170110

140 230110

365

130

170 110 155120

100

170

210

170

350

380

Figura 196 - Edificio con addosamento: pianta e prospetto.

Si è modellata una porzione aggiunta, addossata alla parete 3 dell’edificio tipo, come visibile dagli architettonici nella figura precedente e dal telaio equivalente nella figura seguente.

Figura 197 – Edificio con addossamento, modello a telaio equivalente.

Una prima analisi può essere condotta sulle forme modali, con particolare attenzione al primo modo traslazionale in direzione x, asse di studio per il presente lavoro.

Modo 1 2 3 4 5 T 0.16 0.15 0.12 0.10 0.09 f 6.26 6.81 8.04 10.48 10.66

Mx 12087 1.8% 554166 82.1% 24873 3.7% 10423 1.5% 7754 1.1% My 598175 88.6% 12423 1.8% 1571 0.2% 1425 0.2% 10944 1.6% Mz 61 0.0% 5 0.0% 40 0.0% 158 0.0% 114 0.0%

Tabella 19. Analisi modale edificio con addossamento.


Confrontando i risultati della tabella precedente con quanto riportato in Tabella 9, si vede una diminuzione della massa partecipante, coerentemente con una maggior incidenza delle forme torsionali. Il fenomeno è ancor più evidente osservando le deformate di seguito riportate:

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

P9P10

P11

P 1

P2

P 3

P4 P5 P6

P 7

P 8

P9P10

P11

Figura 198 – Deformate modali primo modo in direzione y (a sinistra) ed x (a destra).

Si è quindi proceduto ad effettuare le analisi di pushover con distribuzione uniforme e triangolare, osservando i meccanismi di collasso.

Pushover - Edificio con addossamento

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Spostamento [cm]

Tag

lio [d

aN]

distr. uniformeBilineare distr. uniformedistr. triangolareBilineare distr. triangolare

Figura 199 – Curve di pushover edificio con corpo addossato.

Rispetto alle curve determinate per la struttura ”tipo” in cui mancava il corpo addossato si osserva un incremento del taglio, dovuto alla maggiore massa complessiva ed una diminuzione dello spostamento ultimo. Per poter confrontare le riposte dei due modelli bisogna riformulare il problema in termini di curve di capacità: il maggior taglio infatti non comporta una maggiore resistenza, in quanto si opera con una massa differente; se si diagrammano le accelerazioni (taglio diviso massa m* e coefficiente Γ) si ritrova la medesima resistenza di prima. Lo


spostamento andrà ugualmente diviso per il fattore Γ, tuttavia si osserva comunque una minor duttilità complessiva del modello con corpo annesso.

Curve di Capacità - Edificio Tipo vs addossamento

0

1

2

3

4

5

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Spostamento [cm]

Acc

eler

azio

ne

[ms

-2]

Uniforme Ed. Tipo

Uniforme Bilineare Ed. Tipo

Triangolare Ed. Tipo

Triangolare Bilineare Ed. Tipo

Uniforme Ed. con addossamento

Bilineare Uniforme Ed. con add.

Trangolare Ed. con addossamento

Bilineare Triangolare Ed. con add.

Figura 200 – Curva di capacità: confronto fra edificio tipo ed edificio con corpo addossato. Si osserva

una medesima resistenza a fronte di una minor duttilità del modello con addossamento

I meccanismi di rottura non mostrano sostanziali differenze rispetto al modello “regolare”: sia la distribuzione uniforme, sia la distribuzione triangolare evidenziano un collasso localizzato al piano terreno con marcato danneggiamento in parete 1.

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 11

12 1314 15

16

17 18 19 20 21

n61

n62

n63

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N22

N23

N24

N28

N29

N30

39 40

41

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43 4445

46

47

48

49

50

51

5253

1 2

3 4

N7

N8

N9

N10

N11

N12

N19

N20

N21

N25

N26

N27

N43

N44

N45

N46

N47

N48

133

134 135

136 137

138 139 140

n67

N13

N14

N15

N16

N17

N18

Figura 201 – Danneggiamenti distribuzione uniforme pareti 1,3,11.

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 11

12 1314 15

16

17 18 19 20 21

n61

n62

n63

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N22

N23

N24

N28

N29

N30

39 40

41

42

43 4445

46

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48

49

50

51

5253

1 2

3 4

N7

N8

N9

N10

N11

N12

N19

N20

N21

N25

N26

N27

N43

N44

N45

N46

N47

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133

134 135

136 137

138 139 140

n67

N13

N14

N15

N16

N17

N18

Figura 202 - Danneggiamenti distribuzione triangolare pareti 1,3,11.

Le analisi dinamiche confermano i meccanismi di danno previsti, nonché le previsioni delle analisi statiche non lineari, come visibile nelle figure e tabelle seguenti:


Dinamiche - Edificio con addossamento - acc. S1

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Spostamento [cm]

Tag

lio [

daN

]

p.g.a. 1.5p.g.a. 2.0p.g.a. 2.5p.g.a. 3.0

Figura 203 – Esempio di dinamica, accelerogramma S1


1.5 0.27 0.33 0.21 0.35 0.32 2.00 0.52 0.69 0.35 0.41 0.39 2.50 0.84 1.05 1.11 1.02 0.93 3.50 1.16 1.41 (1.58) (2.05) (2.97)

Tabella 20. Riepilogo analisi statiche non lineari e dinamiche.

La regolarità strutturale, ancora una volta, si conferma un’ottima garanzia di efficienza: una pur modesta alterazione planimetrica comporta una perdita di duttilità. È ragionevole supporre che tale effetto vada esasperandosi al crescere della porzione eccentrica. Nel paragrafo successivo sarà presentata una metodologia per imporre numericamente un’alterazione nella distribuzione planimetrica delle masse (senza cioè alterare le rigidezze).

6.6 Irregolarità non quantificabili nella distribuzione delle masse Oltre ad irregolarità quantificabili, come appunto sopraelevazioni ed addossamenti si può verificare il caso in cui la massa non sia effettivamente distribuita nel modo previsto, ovvero si venga ad avere un’eccentricità accidentale non quantificabile in modo deterministico: l’ordinanza 3431 prevede l’attribuzione di tali eccentricità, imponendo di considerare, in ogni piano, un centro di massa opportunamente traslato di una quantità pari al 5% della direzione massima ortogonale all’azione sismica. Per seguire tale approccio si è previsto, nel solutore, l’introduzione delle eccentricità accidentali ex ed ey al fine di permettere la determinazione, per


ogni piano, di una configurazione di masse modificata (in direzione X ed Y) in modo tale da fornire il baricentro nella posizione richiesta, senza alterare la massa verticale complessiva del sistema. Si è scelto di alterare la distribuzione nelle masse, all’interno del medesimo piano, in modo da ottenere, nella nuova configurazione di masse un baricentro traslato dell’eccentricità e assegnata, a parità di massa complessiva.

+G+G+G’+G’

ee+G+G+G+G+G’+G’

ee+G’+G’ee+G’+G’+G’+G’+G’+G’ee

Figura 204 - Schematizzazione eccentricità

La generica massa modificata km% è calcolata tramite un coefficiente α, comune a tutte le masse di piano, che controlla la variazione rispetto alla configurazione di partenza:

( )α= + −1 ( )k k k Gm m x x% (6.7)

La quantità xk indica la posizione della massa k-esima, mentre xG la posizione originale del baricentro. La nuova configurazione di masse dovrà produrre un baricentro traslato dell’eccentricità e assegnata, garantendo la stessa massa originale:

( )− = ⋅∑piano

k k G totk

m x x m e% . (6.8)

Il coefficiente α sarà determinato, per ogni piano, a partire dalla relazione precedente che sviluppata porta a :

2( ) ( )− + − = ⋅∑ ∑αpiano piano

k k G k k G totk k

m x x m x x m e . (6.9)

Il primo termine è nullo per la definizione di baricentro, resta:

2( )− = ⋅∑αpiano

k k G totk

m x x m e (6.10)

da cui si ricava, per il piano considerato, il valore di α:

2( )

⋅=

−∑α tot

piano

k k Gk

m e

m x x (6.11)

Le masse nodali modificate sono conservate distintamente dalle masse originarie ed utilizzate, in luogo della precedenti, nelle analisi che lo richiedano, ovvero ove vada considerato un comportamento dinamico. Si è valutata la differente risposta dell’edificio Tipo a 2 piani precedentemente studiato introducendo una eccentricità accidentale e=±53 cm, ovvero il 5% del lato ortogonale alla direzione di analisi.


P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

P1

P2

P3

P4 P5 P6

P7

P8

Figura 205 - Confronto deformate a collasso: a sinistra eccentricità negative, a destra positiva

L’analisi con distribuzione uniforme, in assenza di eccentricità, indicava un meccanismo di collasso localizzato nel piano terra in parete 1, spostando il baricentro in direzione di questa parete (eccentricità negativa) si ritrova lo stesso cinematismo ma per spostamenti minori; l’eccentricità positiva porta invece ad un collasso della parete opposta comunque con spostamenti minori. Questo è evidente osservando le deformate delle piante, precedentemente riportate, ove si nota il differente verso di torsione; il confronto dei danneggiamenti delle pareti riportate di seguito, conferma i differenti meccanismi.

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 1 1

12 1314 15

16

17 18 19 20 21

n49

n50

n51

N4

N5

N6

N16

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

39

40

41

42

43

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45 46 47

48 49 50 51

52 53 54 55

N7

N8

N9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N46

N47

N48

Figura 206 - Deformate pareti 1 (sinistra) e 3 (destra) con eccentricità negativa.

1

2

3

4 5

6

7

8 9 10 11

12 1 314 15

16

17 1 8 19 20 21

n49

n50

n51

N 4

N 5

N 6

N16

N17

N18

N19

N20

N21

N22

N23

N24

39

40

41

42

43

44

45 46 47

48 49 50 51

52 53 54 55

N7

N8

N9

N10

N11

N12

N13

N14

N15

N46

N47

N48

Figura 207 - Deformate pareti 1 (sinistra) e 3 (destra) con eccentricità positiva.

Osservando le curve di pushover si nota come la rigidezza non subisca variazioni, ovvero le curve con eccentricità si sovrappongono alla curva originale; la differenza si manifesta in un più repentino collasso.


Pushover - Edificio Tipo - distr. uniforme - eccentricità

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Edificio TipoEccentricità +Eccentricità -

Figura 208 - Curve di pushover, distribuzione uniforme, in presenza di eccentricità accidentali.

Evidentemente l’eccentricità accidentale “penalizza” l’analisi, quantomeno in una direzione, più frequentemente in entrambe. Successivamente si è proceduto alle analisi pushover a partire dalla distribuzione triangolare: nuovamente l’eccentricità positiva ha comportato la rottura della parete 3, mentre l’eccentricità negativa ha esasperato la torsione, già riscontrata nel modello non eccentrico, trovando lo stesso meccanismo di collasso.

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Figura 209 - Confronto deformate a collasso: a sinistra eccentricità negative, a destra positiva

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Figura 210 – Danneggiamenti pareti 1 ed 11, distribuzione uniforme, eccentricità negativa


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Figura 211 - Danneggiamenti pareti 1 ed 11, distribuzione uniforme, eccentricità positiva

Pushover - Edificio Tipo - distr. triangolare - eccentricità

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Tag

lio [

daN

]

pushover Edificio tipopushover Eccentricità +Eccentricità -

Figura 212 – Curve pushover , distribuzione triangolare, eccentricità accidentali.

Analogamente a quanto visto per l’addossamento (irregolarità planimetrica che coinvolgeva sia massa sia rigidezza) la diminuzione di regolarità, pur limitata alla sola distribuzione delle masse, ha comportato una perdita complessiva di duttilità. La resistenza, al contrario, non sembra risentire particolarmente di modeste irregolarità planimetriche. Se infatti si osservano le curve di capacità del prototipo a 2 piani in confronto ai modelli con addossamento (anomalia planimetrica di masse e rigidezze) ed eccentricità accidentale (anomalia planimetrica di masse) si ritrova una notevole corrispondenza: i modelli “alterati” mostrano uguale resistenza del modello di partenza, ma una comune duttilità ridotta.


Curve di Capacità - Irregolarità planimetriche

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]

Edificio Tipo Edificio con addossamento

Eccentricità Masse + Eccentricità Masse -

Figura 213 – Curve di capacità, edifici con irregolarità planimetriche (masse e rigidezze eccentriche nel

caso del corpo addossato, solo massa eccentrica nel caso di eccentricità accidentale).

6.7 Conclusioni Nei casi esaminati si è potuto riscontrare come irregolarità architettoniche, anche modeste, possano comportare rilevanti diminuzioni della resistenza ad azioni sismiche; ancor più meritevole di rilievo è il fatto che queste riduzioni possano interessare direttamente i meccanismi di collasso e pertanto siano “invisibili” a metodologie di analisi lineare, quali analisi statica lineare o dinamica modale. Va quindi ulteriormente sottolineata l’importanza di procede ad analisi non lineari a collasso (stai limite ultimi), ovvero a tipologie di analisi che possano esaurientemente descrivere lo stato finale di danno; tale approccio ulteriormente valido in ragione di una progettazione “prestazionale” (si veda il par. 2.2.2) . L’analisi delle modifiche in elevazione (sopraelevazione o fondazione su più livelli) hanno mostrato una diminuzione di resistenza, solo in parte compensata da una maggiore deformabilità: complessivamente la struttura si mostrava più vulnerabile. Alterazioni planimetriche non intaccano sensibilmente la resistenza, ma diminuiscono la duttilità complessiva dell’insieme che nuovamente risulta più vulnerabile. Infine le analisi dinamiche non lineari al passo hanno evidenziato una sostanziale affidabilità dell’analisi statica non lineare, anche in presenza di “anomalie” architettoniche; ovviamente l’approccio dinamico risulta essere la metodologia più esauriente da impiegarsi (a conferma delle analisi statiche svolte col Capacity spectrum) qualora risulti necessaria un’approfondita analisi dei meccanismi di collasso.


RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Abrams D.P.,1997, Response of unreinforced masonry buildings, Journal of Earthquake


and rehabilitation of unreinforced masonry buildings, Technical Report NCEER-94-0021, Pavia. Cattari S., Curti E., Galasco A. , Resemini S., 2005, "Analisi sismica lineare e non lineare degli edifici

in muratura: teoria ed esempi di applicazione secondo OPCM 3274/2003 e 3431/2005", E100 – collana Edilizia-Progettare e costruire, Esselibri-Simone Editore, Napoli, pp.176, ISBN 88-513-0305-3.

Costley A.C., Abrams D.P., 1995, Dynamic response of unreinforced masonry buildings with flexible diaphragms, NCEER Technical Report, Urbana-Champaign.

Dadovici V., Benedetti D., 1994, Proc. of the Italian-French symposium on Strengthening and repair of structures in seismic areas, Nizza.

Galasco A., 2001, Analisi a collasso e risposta dinamica di pareti in muratura soggette ad azione sismica, Tesi di Laurea, Università di Genova.

Galasco A., Lagomarsino, S. and Penna, A., 2002, TREMURI Program: Seismic Analyser of 3D Masonry Buildings, University of Genoa.

Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., Resemini S., 2004, Non-linear Seismic Analysis of Masonry Structures, Proc. 13th World Conference on Earthquake Engineering, 1-6 Agosto 2004, Vancouver.

Galasco A., Lagomarsino S., Penna A., Nicoletti M., Lamonaca G., Nicoletti M.e Spina D., Margheriti C., Salcuni A., 2005, Identificazione ed analisi non lineare degli edifici in muratura dell’Osservatorio Sismico delle Strutture, Atti XI Convegno Nazionale "L'ingegneria sismica in Italia", Atti su cd, pp.14, Genova 25-29 gennaio 2004.

Magenes G., 2001, Considerazioni sulla modellazione della risposta di elementi murari e di pareti ad azioni nel piano in Magenes et al. (eds.), Metodi semplificati per l’analisi sismica non lineare di edifici in muratura, CNR-GNDT, Roma

Paulay T., 2001, Some design principles relevant to torsional phenomena in ductile buildings, Journal of Earthquake Engineering, 5, 3.

Petrini L., Pinho R., Calvi G.M., 2004, Criteri di progettazione Antisismica degli Edifici, IUSS Press, Pavia.

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