กราฟ G ประกอบด้วยเซตจ ากดั 2 เซต คือ 1. เซตท่ีไมเ่ป็นเซตวา่งของจดุยอดของกราฟ G แทนด้วยสญัลกัษณ์ V(G)

2. เซตของเส้นเช่ือม (edge) ท่ีเช่ือมระหวา่งจดุยอด แทนด้วยสญัลกัษณ์ E(G)

จากบทนิยาม ให้นกัเรียนสงัเกตวา่ ก าหนดเง่ือนไข แต ่ อาจเป็นเซตวา่งได้

:G

    , , , , V G A B C D E

    , , , , E G AB BC BE CD DE

หมายเหตุ AB หรือ BA ถือวา่เป็นเส้นเช่ือมเดียวกนั หมายถึงเส้นที่เชื่อมระหวา่งจดุยอด A และจดุยอด B

1 2 3 4 5    , , , , V G v v v v v

1 2 1 5 2 3 2 4 3 4 4 5    , , , , , E G v v v v v v v v v v v v

จากรูปที่ 1 ข้างต้น และ ตดักนัไมถื่อวา่เกิดจดุใหม ่

1 3v v 2 4v v

ให้นกัเรียนเขียนแผนภาพของกราฟ

, , , V G a b c d

, , E ab bc cd

คือ เส้นท่ีเช่ือมจดุเพียงจดุเดียววา่ วงวน (loop)

บทนิยาม เส้นเช่ือมขนาน

คือ เส้นตัง้แตส่องเส้นขึน้ไป ท่ีเช่ือมระหวา่งจดุคูเ่ดียวกนั

บทนิยาม กราฟหลายเชิง (Multigraph)

• กราฟท่ีไม่มีเส้นเช่ือมขนาน และไม่มีวงวนปรากฏอยู ่

• กราฟท่ีมีเส้นเช่ือมขนาน หรือมีวงวนปรากฏอยู่

G1:

G3:

G2:

จดุ u และ v เป็นจดุประชิด ถ้ามีเส้นเช่ือมระหวา่งจดุสองจดุนัน้

บทนิยาม จุดยอดที่อยู่ตดิกับเส้นเช่ือม

คือ จดุยอดท่ีเป็นจดุปลายของเส้นเช่ือมนัน้

บทนิยาม ดีกรี หรือระดับชัน้ (degree) ของจุด v

จ านวนของเส้นเช่ือมท่ีอยูต่ิดกบัจดุยอด V ใช้สญัลกัษณ์แทนด้วย deg(V)

deg(A)=3, deg(B)=4, deg(C)=1, deg(D)=3, deg(E)=1, deg(F)=3, deg(G)=3, deg(H)=0

ผลรวมของดีกรีของทกุจดุเทา่กบั 3+4+1+3+1+3+3+0=18

สองเทา่ของจ านวนเส้นเช่ือมทัง้หมดของกราฟ G จะเทา่กบั ผลรวมของดีกรีของจดุทกุจดุในกราฟ G

เรียกจดุยอดท่ีมีดีกรี 0 วา่ จดุยอดเอกเทศ (isolated vertex) เรียกจดุยอดท่ีมีดีกรี 1 วา่ จดุยอดปลาย (end vertex)

เรียกจดุยอดท่ีมีดีกรีเป็นจ านวนคูว่า่ จดุยอดคู ่หรือจดุคู ่(even vertex)

เรียกจดุยอดท่ีมีดีกรีเป็นจ านวนคี่วา่ จดุยอดค่ี หรือจดุคี่ (odd

vertex)

( )E G

V( )G

(G)V

E(G)

deg( )v

เซตของจดุยอดของกราฟ G

เซตของเส้นเช่ือมของกราฟ G

จ านวนสมาชิกของเซตของเส้นเช่ือมของกราฟ G

จ านวนสมาชิกของเซตของจดุยอดของกราฟ G

ผลรวมของดีกรีของทกุจดุยอดของกราฟ G

สองเทา่ของจ านวนเส้นเช่ือมทัง้หมดของกราฟ G จะเทา่กบั ผลรวมของดีกรีของจดุทกุจดุในกราฟ G

ในกราฟ G ใด ๆ จดุคี่(จดุยอดมีดีกรีเป็นจ านวนคี่)จะมีจ านวนคูจ่ดุเสมอ

จงหาจ านวนเส้นเช่ือมของกราฟท่ีมีผลรวมของดีกรีของจดุยอดทกุจดุในกราฟเท่ากบั 16

วิธีท า สมมติให้กราฟมีเส้นเช่ือม n เส้น

จากทฤษฎีบท 1 ผลรวมของดีกรีของจดุยอดทกุจดุในกราฟเท่ากบัสองเท่าของจ านวนเส้นเช่ือมในกราฟ จะได้ 16=2n

ดงันัน้ กราฟมีเส้นเช่ือม 8 เส้น

8216n

ก าหนดให้กราฟมีดีกรีของจดุยอดตา่งๆ ดงันี ้1, 2, 3, 4, 5 จงหาจ านวนเส้นเช่ือมของกราฟนี ้

วิธีท า หาผลรวมของดีกรีทัง้หมด แล้วใช้สตูร ผลรวมของดีกรีทัง้หมด = 2(จ านวนเส้นเช่ือม) 1+2+3+1+4+5 = 2(จ านวนเส้นเช่ือม) 16 = 2(จ านวนเส้นเช่ือม) ดงันัน้ จ านวนเส้นเช่ือม = 8

วธีิท า ผลรวมของดีกรีทัง้หมด = 2+2+2 = 6

ซึง่เป็นจ านวนคูจ่งึเป็นไปได้ และมีเส้นเช่ืม 3 เส้น ดงัรูป

วิธีท า ผลรวมของดีกรีทัง้หมด = 1+2+3+2+1 = 9

ซึง่เป็นจ านวนคี่ ขดัแย้งกบัทฤษฎีบท 1

ดงันัน้ เป็นไปไม่ได้ท่ีจะมีกราฟดงักลา่ว

วิธีท า แปลงปัญหาดงักลา่วเป็นกราฟ โดยให้จดุยอดแทนผู้ เข้าร่วมประชมุและเส้นเช่ือมแทนการจบัมือทกัทายของผู้ เข้าร่วมประชมุ

จะได้วา่ กราฟนีมี้จดุยอด 27 จดุ และจดุยอดแตล่ะจดุมีดีกรี 9

นัน่คือ กราฟมีจดุยอดค่ีเป็นจ านวน 27 จดุ ซึง่เป็นจ านวนคี่ ขดัแย้งกบัทฤษฎีบท 2

ดงันัน้ เป็นไปไม่ได้ท่ีผู้ เข้าร่วมประชมุแตล่ะคนจบัมือกบัคนอ่ืนเพียง 9 คนเท่านัน้

วธีิท า

แปลงปัญหาดงักลา่วเป็นกราฟ จะได้วา่กราฟนีมี้จดุยอด 30 จดุ แตล่ะจดุมีดีกรี 9

นัน่คือ กราฟมีจดุยอดคี่เป็นจ านวน 30 จดุ ซึง่เป็นจ านวนคูส่อดคล้องกบัทฤษฎีบท 2

ดงันัน้ เป็นไปได้ท่ีผู้ เข้าประชมุแตล่ะคนจบัมือทกัทายผู้ เข้าร่วมประชมุคนอ่ืนเพียง 9 คน เท่านัน้

deg(a) =

deg(c) =

deg(e) =

จดุท่ีเป็นจดุคี่ คือ จดุ จดุท่ีเป็นจดุคู ่คือ จดุ

deg(b) =

deg(d) =

ผลรวมของดีกรีของจดุทกุจดุในกราฟ เทา่กบั deg( )v

จ านวนเส้นเช่ือมทัง้หมดของกราฟเทา่กบั ( )E G

บทนิยาม ให้ u และ v เป็นจดุยอดของกราฟ แนวเดิน u – v (u-v walk) คือล าดบัจ ากดัของจดุยอดและเส้นเช่ือมสลบักนั

โดยเร่ิมต้นท่ีจดุยอด u และสิน้สดุท่ีจดุยอด v และแตล่ะเส้นเช่ือม จะเกิดกบัจดุยอด และ เม่ือ

0 1 1 2 2 –1    , , , , , , , ,    n n nu u e u e u u e u v

1e

1e–1 iu

iu 1, 2, 3, , i n

1 2 3 4, , , , , , , ,A e B e C e D e E เป็นแนวเดิน A - E

1 2 3 6, , , , , , , ,DA e B e C e D e เป็นแนวเดิน A – D

แนวเดิน คือ การเขียนเรียงล าดบัระหวา่งจดุยอดกบัเส้นเช่ือม

เส้น e1, e2 ในกราฟ G2 อาจเขียนเป็น AB, BC ก็ได้

กราฟหลายเชิง เช่น G2 ต้องเขียน จดุ – เส้น – จดุ ให้ชดัเจน

ให้นกัเรียนช่วยกนับอกแนวเดินระหวา่งจดุตา่งๆ

–  A C

แนวเดิน คือ

แนวเดิน –  B E

คือ

–C A คือ แนวเดิน

–  B Cแนวเดิน คือ

ความยาวของแนวเดิน u - v คือ จ านวนของเส้นเช่ือมในแนวเดิน u – v

เช่น แนวเดิน A – E มีความยาวเทา่กบั 4

แนวเดิน มีความยาวเทา่กบั 3 4 3 6, , , , , ,DA e C e D e

คือ แนวเดิน u – v ท่ีเส้นทัง้หมดแตกตา่งกนั

แนวเดิน A, B, C, D เป็นรอยเดิน เน่ืองจากประกอบด้วย เส้น e1, e2, e5 ซึง่เป็นเส้นที่ไมซ่ า้กนั

คือ แนวเดิน u – v ท่ีจดุทัง้หมดแตกตา่งกนั แนวเดิน เป็นวิถี

แนวเดิน ไมเ่ป็นวิถี เพราะมีจดุ B และ C ซ า้กนั

, , ,A B C D

, , , ,B,CA B C D

แนวเดินท่ีเป็นวิถีจะเป็นรอยเดินด้วย

ในกราฟ G ทกุ ๆ แนวเดิน จะมีวิถี u – v รวมอยู่ด้วย

คือ รอยเดินท่ีจดุเร่ิมต้นและจดุสดุท้ายเป็นจดุเดียวกนั

c

d

ba

e, , ,a b c a

, , ,b c d b

, , , , , ,a b c d b e a

เป็นวงจร

เป็นวงจร

เป็นวงจร

คือ วงจรท่ีไมมี่จดุซ า้กนั ยกเว้นจดุเร่ิมต้นและจดุสดุท้าย

c

d

ba

e, , ,a b c a

, , ,b c d b

เป็นวฏัจกัร เป็นวฏัจกัร

เพราะเป็นวงจรที่ไมมี่จดุซ า้กนั ยกเว้นจดุเร่ิมต้นและจดุสดุท้าย

, , , , , ,a b c d b e a เป็นวงจร แตไ่ม่เป็นวฏัจกัร เพราะมีจดุ b ซ า้กนั

กราฟ G เรียกว่า กราฟเช่ือมโยง (connected

graph) ถ้าส าหรับจดุแต่ละสองจดุ u และ v ที่ต่างกนัในกราฟ G จะมีแนวเดิน u – v

กราฟที่ไม่เช่ือมโยง จะสามารถแบง่ออกได้เป็นสว่นๆ โดยแต่ละสว่นเป็นกราฟเช่ือมโยง เรียกแต่ละสว่นย่อยนี ้ว่า องค์ประกอบเช่ือมโยง (connected component) หรือเรียกสัน้ๆ ว่า องค์ประกอบของกราฟ

กราฟนีเ้ป็นกราฟเช่ือมโยง และมี 1 องค์ประกอบ

กราฟนีเ้ป็นกราฟไมเ่ช่ือมโยง เน่ืองจากไมมี่วิถีเช่ือมระหวา่ง a และ b กราฟนี ้2 องค์ประกอบ

a b

กราฟนีเ้ป็นกราฟไม่เช่ือมโยง เน่ืองจากไมมี่วิถีเช่ือมระหวา่งจดุ a และจดุอื่น ๆ

กราฟนีมี้ 2 องค์ประกอบ องค์ประกอบหนึง่ประกอบด้วยจดุ a จดุเดียว อีกองค์ประกอบหนึง่เป็นวฏัจกัรท่ีประกอบด้วยจดุที่เหลือ

a

แนวเดิน แนวเดิน แนวเดิน

e2e3

e4

e5

e6

e7

e1

a c

d

b

6 2 3 5, , , , , , , ,d e a e b e c e d

1 3, , , ,a e b e c

7 6 4 5, , , , , , , ,a e d e a e c e d

2

4

4

แนวเดิน เป็น แนวเดิน เป็น แนวเดิน เป็น แนวเดิน เป็น

e

e11e10

e9

e8

e7e6

e5

e4

e3

e2

e1

b

c d

f

a

3 4 7, , , , , ,a e c e d e f

2 1 3 4 5, , , , , , , , , ,c e b e a e c e d e c

8 11 9 7, , , , , , , ,d e e e e e f e d

5 6 5 6, , , , , , , ,c e d e c e d e c

e

e11e10

e9

e8

e7e6

e5

e4

e3

e2

e1

b

c d

f

a

แนวเดิน a – e ท่ีมีความยาวเทา่กบั 3

วิถี a – e ท่ีมีความยาวเท่ากบั 3

รอยเดิน a – e ท่ีมีความยาวเทา่กบั 6

วงจรท่ีมีจดุเร่ิมต้นและจดุสดุท้ายเป็น c มีจดุ d ซ า้กนั และมีความยาวเทา่กบั 6

e

e11e10

e9

e8

e7e6

e5

e4

e3

e2

e1

b

c d

f

a

บทนิยาม วงจรออยเลอร์ (Eulerian Circuit) คือ วงจรซึง่ผ่านจดุยอดทกุจดุและผ่านเส้นเช่ือมทกุเส้นของกราฟ

เรียกกราฟท่ีมีวงจรออยเลอร์วา่ กราฟออยเลอร์

วงจรออยเลอร์ต้องมีลกัษณะเหลา่นีค้รบทกุลกัษณะ 1. มีจดุเร่ิมต้นและจดุสดุท้ายเป็นจดุเดียวกนั 2. ผา่นจดุยอดทกุจดุโดยเดินซ า้จดุเดิมได้ และต้องผ่าน

เส้นเช่ือมทกุเส้น โดยห้ามเดินซ า้เส้นเช่ือมเส้นเดิม

ab

c

e

d

f

g

, , , , , , , , ,a c d e c f g c b a

หรือ

, , , , , , , , ,b a c g f c e d c b

a b

e

c

f d

, , , , , , , ,a b c d e b f e a

หรือ , , , , , , , ,b f e a b c d e b

กราฟนีไ้มเ่ป็นกราฟออยเลอร์ เน่ืองจากไมมี่วงจรออยเลอร์

a

c

b d

คือ รอยเดินท่ีผา่นจดุยอดทกุจดุและผา่นเส้นเช่ือมทกุเส้นของกราฟ

ข้อสงัเกต รอยเดินออยเลอร์ ต้องมีลกัษณะดงันี ้1. ผา่นจดุยอดทกุจดุโดยเดินซ า้จดุเดิมได้ และต้องผ่าน

เส้นเช่ือมทกุเส้นโดยห้ามเดินซ า้เส้นเช่ือมเดิม 2. จดุเร่ิมต้นและจดุสดุท้ายไมจ่ าเป็นต้องเป็นจดุเดียวกนั

ให้ G เป็นกราฟเช่ือมโยง จะได้วา่ G เป็นกราฟออยเลอร์ก็ตอ่เม่ือจดุยอดทกุจดุของ G มีดีกรีเป็นจ านวนคู ่

กราฟเช่ือมโยงจะมีรอยเดินออยเลอร์ก็ตอ่เม่ือกราฟนีมี้จดุยอดท่ีมีดีกรีเป็นจ านวนคี่สองจดุหรือไมมี่เลย กรณีท่ีกราฟไมมี่จดุยอดท่ีมีดีกรีเป็นจ านวนคี่ จะได้วา่กราฟนัน้เป็นกราฟออยเลอร์ (ซึง่มีวงจรออยเลอร์) สว่นกรณีท่ีกราฟมีจดุยอดท่ีมีดีกรีเป็นจ านวนคี่สองจดุ จะได้วา่ จดุหนึง่ต้องเป็นจดุเร่ิมต้นและอีกจดุหนึง่ต้องเป็นจดุสิน้สดุของรอยเดินออยเลอร์

เกาะ 2 เกาะ อยูก่ลางแมน่ า้ มีสะพาน 7 สะพาน เช่ือมเกาะ 2 เกาะนี ้และเช่ือมไปยงัฝ่ังแม่น า้ด้วย ถ้าเร่ิมเดินท่ีจดุใดๆ ก็ได้ (A, B, C หรือ D) จะสามารถเดินข้ามสะพานทกุสะพานโดยแตล่ะสะพานเดินผ่านได้เพียงครัง้เดียว แล้วกลบัมาท่ีเดิมได้หรือไม่

D

B

A

C

D

B

A

C

A

B

C

D

ตามทฤษฎีบท 4 กราฟนีไ้ม่เป็นกราฟออยเลอร์ ดงันัน้ จงึเป็นไปไมไ่ด้ที่จะเร่ิมต้นที่จดุใดก็ได้แล้วเดินข้ามสะพานทกุสะพานโดยแตล่ะสะพานเดินผ่านได้เพียงครัง้เดียวแล้วกลบัมาท่ีได้เดิมได้

A

B

C

D