Funzione arcoseno

A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = arcsinx disegna il grafico delle seguenti funzioni

g(x) =arcsin(x+1) g(x) = arcsin(x-2) g(x) =arcsin(2x); g(x) = arcsin(x/3) g(x) =π/4+arcsinx; g(x)= 3arcsinx g(x) = π/4 - arcsinx; g(x)=|arcsinx| g(x) =| π/4-arcsinx | ; g(x) = arcsin|x| g(x) =1/ (π/4-arcsinx ) ; g(x) =1/(π/2+arcsinx ) g(x) =1/ (π/3+arcsinx ) ; g(x) = arcsinx +|arcsinx|

In figura il grafico di arcsinx

In figura il grafico di arcsin(x-2) (verde) ottenuto traslando il grafico di arcsinx (rosso) orizzontalmente verso destra di 2 unità, dominio 1≤x≤3; il grafico di arcsin(2x) (rosa) ottenuto dimezzando l’intervallo di definizione di arcisnx, dominio -1/2≤x≤1/2; il grafico di 3arcsinx (in blu) ottenuto moltiplicando per 3 i valori di arcsinx, dominio -1≤x≤1, immagine��� [-3π/2, 3π/2]

In figura il grafico di arcsinx+|arcsinx| che vale 2arcsinx per 0≤x≤1, vale 0 per -1≤x≤0

In figura il grafico di π/4 - arcsinx, ottenuto nel modo seguente: si ottiene il grafico di -arcsinx con una simmetria rispetto all’asse x del grafico di arcsinx, quindi si trasla quest’ultimo verticalmente verso l’ alto di π/4 . La funzione si annulla per x=√2/2

In figura il grafico di 1/(π/4 -arcsinx) definita per ���-1≤x<√2/2∪ √2/2<x≤1, nel punto x=√2/2, dove arcsinx= π/4, la funzione ha una singolarità; la funzione è positiva per���π/4 -arcsinx>0, vale a dire arcsinx< π/4, dunque per ���-1≤x<√2/2

In figura il grafico di 1/(π/2 + arcsinx), definita per -1<x≤1, si deve infatti escludere x=-1 in quanto arcsin(-1)= - π/2; la funzione è sempre positiva essendo π/2 + arcsinx>0 per��� -1<x≤1

In figura il grafico di |arcsinx|, che coincide con arcsinx per 0≤x≤1, dove arcsinx≥0, mentre coincide con -arcsinx per -1≤x<0, dove arcsinx<0

In figura il grafico di arcsin|x|, che coincide con il grafico di |arcsinx|, essendo arcsinx una funzione

dispari

Funzione arcocoseno

A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = arccosx disegna il grafico delle seguenti funzioni

g(x) =arccos(x+1) g(x) = arccos(x-2) g(x) =arccos(2x); g(x) = arccos(x/3) g(x) =π/4+arccosx; g(x)= 3arccosx g(x) = π/4 - arccosx; g(x)=|arccosx| g(x) =| π/4-arccosx | ; g(x) = arccos|x| g(x) =1/ (π/4-arccosx ) ; g(x) =1/(arccosx- π/2 ) g(x) =1/ (π/3- arccosx ) ; g(x) = arccosx +|arccosx|

In figura il grafico di arccosx

In figura il grafico di arccos(x-2) (verde) ottenuto traslando il grafico di arccosx (rosso) orizzontalmente verso destra di 2 unità, dominio 1≤x≤3; il grafico di arccos(2x) (rosa) ottenuto dimezzando l’intervallo di definizione di arccosx, dominio -1/2≤x≤1/2; il grafico di 3arccosx (in blu) ottenuto moltiplicando per 3 i valori di arccosx, dominio -1≤x≤1, immagine [0, 3π]

In figura il grafico di π/4 - arccosx, ottenuto nel modo seguente: si ottiene il grafico di -arccosx con una simmetria rispetto all’asse x del grafico di arccosxx, quindi si trasla quest’ultimo verticalmente verso l’ alto di π/4. La funzione vale 0 per x=√2/2

In figura il grafico di 1/(π/4-arccosx) definita per ���-1≤x<√2/2∪ √2/2<x≤1, nel punto x=√2/2, dove arccosx= π/4, la funzione ha una singolarità; la funzione è positiva per���π/4 -arccosx>0, vale a dire arccosx< π/4, dunque per ���x>√2/2 (si ricorda che la funzione arccosx è decrescente..)

In figura il grafico di |arccosx|, che coincide con arccosx non essendo la funzione arccosx mai

negativa

In figura il grafico di arccos|x|, per 0<x≤1 il grafico coincide con arccosx; poiché la funzione è pari è sufficiente simmetrizzare rispetto all’asse y il grafico ottenuto per 0<x≤1 e si ottiene il grafico anche per -1≤x≤ 0

Funzione arcotangente

A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = arctanx disegna il grafico delle seguenti funzioni

g(x) =arctan(x+1) g(x) = arctan(x-2) g(x) =π/4+arctanx; g(x)= 3arctanx g(x) = π/4 - arctanx; g(x)=|arctanx| g(x) =| π/4-arctanx | ; g(x) = arctan|x| g(x) =1/ (π/4-arctanx ) ; g(x) =1/(arctanx- π/2 ) g(x) =1/ (π/3- arctanx ) ; g(x) = arctanx +|arctanx|

In figura il grafico di arctanx

In figura il grafico di arctan(x-2) (verde) ottenuto traslando il grafico di arctanx (rosso) orizzontalmente verso destra di 2 unità; il grafico di arctan(2x) (rosa); il grafico di 3arctanx (in blu) ottenuto moltiplicando per 3 i valori di arctanx, ottenendo come insieme immagine (-3π/2, 3π/2).

In figura il grafico di arctanx +|arctanx|, che coincide con 2arctanx per x≥0, vale 0 per x<0, dove

arctanx<0

In figura il grafico di π/4 - arctanx, ottenuto nel modo seguente: si ottiene il grafico di -arctanx con una simmetria rispetto all’asse x del grafico di arctanx, quindi si trasla quest’ultimo verticalmente verso l’ alto di π/4. La funzione vale 0 per x=1

Funzioni…..

Dare un esempio di funzione f(x) definita su R , che sia decrescente, il cui limite per x→-∞ sia 0, e per x→+∞ il limite sia -π

Ad esempio: f(x)=-(arctanx+π/2)

Dare un esempio di funzione f(x) definita su R , che sia decrescente, il cui limite per x→-∞ sia π, e per x→+∞ il limite sia 0

Ad esempio: f(x)= π/2- arctanx

Funzioni…… Dire quali delle seguenti identità sono vere e quali no: sinx =cos(x +π/2) Falsa, cos(x +π/2) =-sinx sinx = -sin(x+π) Vera cosx = sin(x+π/2) Vera cosx = -cos(x+π) Vera cosx= cos(x- π) Falsa sinx = -cos(x+ π/2) Vera Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: sin(3x)=1/2; sin(3x)>1/2 Soluzione: sin(3x)=1/2 quando 3x=π/6+2k π oppure 3x=5π/6+2kπ, per ogni k

intero, per cui l’equazione ha per soluzioni x= π/18 +2kπ/3∪5π/18+2kπ/3. La disequazione sin(3x)>1/2 è soddisfatta negli intervalli (π/18 +2k π/3, 5π/18+2kπ/3 ); si osserva che la funzione sin(3x) ha periodo 2π/

3.

Equazioni e disequazioni trigonometriche Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni: cos(3x) = 1/2; cos(3x)> 1/2 Soluzione: l’equazione è soddisfatta per 3x= -π/3+2kπ oppure 3x= π/3+2k π,

dunque le soluzioni dell’equazione sono x= -π/9 +2kπ/3∪π/9+2kπ/3, per ogni k intero; la disequazione è soddisfatta negli intervalli

(-π/9 +2kπ/3, π/9+2kπ/3); si osserva che la funzione cos(3x) ha periodo 2π/3 tan(3x) = 1; tan(3x)≤ 1 Soluzione:l’equazione è soddisfatta per 3x= π/4+ kπ , dunque x= π/12+kπ/3 La disequazione è soddisfatta per -π/2+kπ < 3x < π/4+ kπ , dunque per -π/6+kπ/3 < x < π/12+ kπ/3; si osserva che la funzione tan(3x) ha periodo π/3 sin(3x) ≥ 1/√2; cos(3x) < 1/√2

Equazioni e disequazioni trigonometriche sin(3x) ≥ 1/√2; Soluzione:la disequazione è soddisfatta (vedi grafico sinx) per π/4 +2kπ<3x<3π/4+2kπ, dunque per π/12 +2kπ/3<x<3π/12+2kπ/3, per ogni k intero cos(3x) < 1/√2 Soluzione: la disequazione è soddisfatta (vedi grafico cosx) per π/4 +2kπ<3x<7π/4+2kπ, dunque per π/12 +2kπ/3<x<7π/12+2kπ/3, per ogni k intero

Equazioni e disequazioni trigonometriche

Risolvere le seguenti disequazioni: 3sinx≤-3/2 Soluzione: la disequazione equivale a sinx ≤ -1/2 che è soddisfatta per

7π/6 +2kπ<x<11π/6+2kπ, per ogni k intero |3sinx|≥3/2 (si suggerisce di utilizzare il risultato ottenuto nella precedente

disequazione….) Soluzione: dal grafico di |sinx| si capisce che la disequazione è soddisfatta

nell’intervallo (7π/6 , 11π/6), a meno di multipli interi di π (la funzione |sinx| ha infatti periodo π), quindi la disequazione ha per soluzioni

7π/6 +kπ<x<11π/6+kπ, per ogni k intero

Equazioni e disequazioni trigonometriche

Risolvere le seguenti disequazioni: 3cosx ≤ -3√3/2 Soluzione: la disequazione equivale a cosx≤ -√3/2 , soddisfatta (vedi grafico

cosx) per 5π/6 +2kπ<x<7π/6+2kπ, per ogni k intero |3cosx|≥ 3√3/2 (si suggerisce di utilizzare il risultato ottenuto nella precedente

disequazione….) Soluzione: dal grafico di |cosx| si capisce che la disequazione è soddisfatta

nell’intervallo (5π/6 , 7π/6), a meno di multipli interi di π (la funzione |cosx| ha infatti periodo π), quindi la disequazione ha per soluzioni

5π/6 +kπ<x<7π/6+kπ, per ogni k intero

Funzioni sinusoidali

Determinare una funzione sinusoidale che descriva la concentrazione di una certa sostanza nel sangue, che varia nel tempo periodicamente con periodo 24 ore, con valore minimo 10mg/100ml alle ore 4 e valore massimo 80 mg/100ml alle ore 16.

Soluzione: Abbiamo visto che una funzione sinusoidale si può scrivere come f(x)=Acos(2π/P(x-x0)) + y0

Dove A è l’ampiezza, P è il periodo, x0 la fase ed y0 il valor medio. Nel nostro caso si ha P=24, A=(80-10)/2=35, y0 =(80+10)/2=45 ed

infine x0 =16, quindi otteniamo la funzione f(x)=35cos(2π/24(x-16))+45 Si verifica che per x=4 otteniamo f(4)=10

Funzioni sinusoidali

Formule di prostaferesi: sinα +sinβ = 2sin((α+ β)/2)cos((α- β)/2) sinα - sinβ = 2sin((α - β)/2)cos((α+ β)/2) cosα +cosβ = 2cos((α+ β)/2)cos((α- β)/2) cosα - cosβ = - 2sin((α+ β)/2)sin((α- β)/2)

Funzioni sinusoidali Sommiamo due sinusoidi di uguale ampiezza e periodo,

ma differente fase Posto ω = 2π/P Acos(ω(x-F)) + Acos(ω(x-F’)) = Usiamo la corrispondente formula di prostaferesi =2Acos(ω(F’-F)/2)cos(ω(x- (F’+F)/2)) Se ω(F’-F)/2=π/2, vale a dire F’-F= π/ω=P/2, la somma

delle due sinusoidi è nulla! Fenomeni di interferenza I colori della coda di un pavone sono generati non dai

pigmenti ma dall’interferenza della luce (vd. Batschelet pag.136)

Funzioni sinusoidali Una funzione sinusoidale, può essere scritta nel modo

seguente Acos(ω(x-F)) + y* = = Acos(ωF)cos(ωx) + Asin(ωF)sin(ωx) + y* = a1cos(ωx)

+ b1sin(ωx) dove si è posto a1= Acos(ωF), b1= Asin(ωF) La somma di due funzioni sinusoidali con uguale periodo,

ma differente ampiezza e/o fase, può non essere sinusoidale

Funzioni sinusoidali I polinomi trigonometrici p(x) =y* + a1cos(ωx) + a2cos(2ωx)+….+ ancos(nωx) +

+b1sin(ωx) + b2sin(2ωx) +…+ bnsin(nωx) Sono tutte funzioni di periodo 2π/ω , ma non sono

funzioni sinusoidali Ogni funzione periodica (non “patologica”) di frequenza

angolare ω è ben approssimabile da polinomi trigonometrici di frequenza angolare ω

(analisi di Fourier)