funkcje analityczne - wyk ad 1. co to sa i do czego s uza funkcje analityczne? · 2017. 10. 10. ·...
TRANSCRIPT
-
Funkcje analityczne
Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne?
Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Paweł MleczkoUniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
-
1. Sprawy organizacyjne
2. Czego będziemy się uczyć?
3. Kogo spotkamy podczas wykładów?
4. Co to są i do czego służą funkcje zespolone?
5. O co w tym chodzi?
6. Co trzeba wiedzieć, żeby uczyć się funkcji analitycznych?
-
Sprawy organizacyjne
-
Skąd czerpać wiedzę?
Co oznacza słowo „studiować”?| uczyć się na uczelni wyższej; być na studiach| uważnie czytać, zgłębiać temat| wpatrywać się uważnie
Wykład nie będzie udostępniony w formie elektronicznej. Na stroniehttp://students.wmi.amu.edu.pl/˜mleczko/ znajdzie się spisomówionego materiału.
T. H. Moore, E. H. HandlockComplex analysisLondyn 1991.
J. Bak, D. J. NewmanComplex analysisNew York 1997.J. ChądzyńskiWstęp do analizy zespolonejWydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1999.
4
http://students.wmi.amu.edu.pl/~mleczko/
-
Zasady zaliczenia
Punkty przydzielane według zasady:| test końcowy – 50%| zaliczenie – 50%
Oceny (do zdobycia 100 pkt.):| 50–60 pkt. – dostateczny| 61–70 pkt. – dostateczny plus| 71–80 pkt. – dobry| 81–90 pkt. – dobry plus| 91–100 pkt. – bardzo dobry
5
-
Czego będziemy się uczyć?
-
Zakres materiału
1. Wiadomości wstępne2. Płaszczyzna zespolona3. Funkcje zespolone4. Wizualizacja funkcji zespolonych5. Pochodna funkcji zespolonej. Warunki Cauchy’ego–Riemanna6. Szeregi potęgowe7. Funkcje specjalne i ich szeregi potęgowe8. Wzór całkowy Cauchy’ego9. Twierdzenie Cauchy’ego
10. Twierdzenie Liouville’a. Zasada maksimum. Twierdzenieo jednoznaczności
11. Szeregi Laurenta12. Residua. Metody znajdowania residuów13. Zastosowanie w analizie rzeczywistej do znajdowania całek Riemanna,
całek niewłaściwych oraz sum szeregów
7
-
Kogo spotkamy podczas wykładów?
-
Postacie
Augustin LouisCauchy
(1789–1857)
Leonhard Euler(1707–1783)
Jacques SalomonHadamard
(1865–1963)
Zdjęcia za wikipedią.
9
-
Postacie
Joseph Liouville(1809–1882)
Georg FriedrichBernhard Riemann
(1826–1866)
Karl TheodorWilhelm Weierstrass
(1815–1897)
Zdjęcia za wikipedią.
10
-
Co to są i do czego służą funkcje zespolone?
-
Płaszczyzna zespolona. Liczby zespolone
| Liczby zespolone jako zbiórC = {x + iy : x , y ∈ R, i2 = −1} = {(x , y) : x , y ∈ R} = R2
| Liczby zespolone jako struktura algebraiczna(C,+, ·)
(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x1) + i(y1 + y2)(x1 + iy1) · (x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).
| Liczby zespolone jako przestrzeń metrycznaFunkcja | · | : C→ [0,∞) dana wzorem
|x + iy | =√
x2 + y2
nazywana jest modułem liczby zespolonej. Funkcjad : C× C→ [0,∞) dana wzorem
d(x1 + iy1, x2 + iy2) = |(x1 + iy1)− (x2 + iy2)|jest odległością w C× C. 12
-
Liczby zespolone. Postać trygonometryczna
Re
Im
t
z = r(cos t + i sin t)
r
z1 = r1(cos t1 + i sin t1)z2 = r2(cos t2 + i sin t2)
Dodawanie liczb
z1 + z2 = r1 cos t1 + r2 cos t2+ i(r1 sin t1 + r2 sin t2)
Mnożenie liczb
z1 · z2 = r1r2(cos(t1 + t2)
+ i sin(t1 + t2))
13
-
Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej
Zajmować się będziemy funkcjami zespolonymi zmiennej rzeczywistej,czyli funkcjami
f = u + iv : A→ C, gdzie A ⊂ R.
Przykład
Funkcja f : [0, 2π)→ C
f (t) = cos t + i sin t.
Obrazem odcinka [0, 2π) za pomocą funkcji f jest okrąg jednostkowy.
14
-
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
Zajmowac będziemy się funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej, czylifunkcjami
f = u + iv : A→ C, gdzie A ⊂ C.
Funkcję u : R2 → R nazywana jest częścią rzeczywistą funkcji f ,Funkcję v : R2 → R nazywana jest częścią urojoną funkcji f .
Przykład
Funkcja f : C→ C
f (z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anzn, gdzie ai ∈ C, i = 0, 1, . . . , n
jest zespolonym wielomianem.
15
-
Tematyka
# ciągłość
# całka krzywoliniowa
# szereg potęgowy
# szereg Taylora
# miejsca zerowe
# różniczkowalność
16
-
Obszary
Obszar – zbiór otwarty i spójny
Dysk jednostkowy
1
Pierścień
r2r1
r0, r1 ∈ (0,∞)
17
-
Motywacja: zastosowania w matematyce elementarnej
| Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych
ZadanieUzasadnić wzór na sumę kosinusów kątów, czyli
cosα + cos β = 2 cos α + β2 cosα− β
2 α, β ∈ R.
18
-
Motywacja: zastosowania w matematyce (trochę) wyższej
| Znajdowanie granic całek niewłaściwych, sum szeregów liczbowych,skomplikowanych całek Riemanna
ZadanieZnaleźć granicę do której zbieżna jest całka niewłaściwa∫ ∞
−∞
11 + x4 dx .
ZadanieZnaleźć sumę szeregu
∞∑n=0
11 + n2 .
19
-
Motywacja: lepsze zrozumienie fenomenów matematyki „rzeczywistej”
Re
Im
f (x) = 1x2+1
1−1
Rozważmy funkcję
f (x) = 1x2 + 1 , x ∈ R.
Jej szereg Taylora to
f (x) =∞∑
n=0(−1)nx2n, |x | < 1.
Jest on zbieżny tylko dla |x | < 1!W jaki sposób liczby ±1 związane sąz wykresem i wzorem funkcji f ?
Analiza zespolona daje odpowiedź!
20
-
Motywacja: analiza zespolona
żródło: http://itunes.apple.com
21
-
Motywacja: ważne zastosowania nie tylko matematyczne
Funkcje zespolone mają ważne zastosowania np. w:| matematyce (m.in. teorii liczb, geometrii algebraicznej)| fizyce (m.in. hydrodynamice, termodynamice)| naukach inżynierskich (m.in. mechanice, elektronice, lotnictwie)
22
-
O co w tym chodzi?
-
Pochodna funkcji f : R→ R
Niech f : A→ R, A ⊂ R, A będziezbiorem otwartym, x0, x0 + h ∈ A.Jeśli istnieje granica
limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
istnieje i jest skończona tonazywamy ją pochodną funkcji fw punkcie x0 i oznaczamy f ′(x0).
x
yf
x0 x0 + h
f(x0 +h)−
f(x0 )
24
-
Pochodna funkcji f : R2 → R2
Niech f = (f1, f2) : A→ R2, A ⊂ R2, A będzie zbiorem otwartym,x0, x0 + h ∈ A. Macierz D nazywa się pochodną liniową funkcji f , jeśli
lim‖h‖→0
‖f (x0 + h)− f (x0)− Dh∗‖‖h‖ = 0.
Jeśli f ma pochodną, to
D =
∂f1x1
(x0)∂f1x2
(x0)
∂f2x1
(x0)∂f2x2
(x0)
Przypomnijmy:
‖h‖ =√
h21 + h22, h = (h1, h2) ∈ R2.
Ponadto h∗ oznacza transpozycję wektora h.25
-
Pochodna zespolona
Niech f : A→ C, A ⊂ C, z , z0 ∈ A. Jeśli istnieje granica
limz→z0
f (z)− f (z0)z − z0
istnieje i jest skończona to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie z0.
Jeśli funkcja ma pochodną w każdym punkcie zbioru A, to mówimy,że jest holomorficzna w A.
Pochodną funkcji zespolonej można zdefiniować tak, jak pochodnąfunkcji rzeczywistej, gdyż w dziedzinie zespolonej można mnożyć (dzielić)elementy.
26
-
Zasadnicze twierdzenie
TwierdzenieFunkcja f : A→ C, gdzie A ⊂ C jest obszarem, ma pochodną w punkciez0 ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r > 0, że
f (z) =∞∑
n=0an(z − z0)n, |z − z0| < r .
Przykład
Zdefiniujmy funkcję f : R→ R wzorem
f (x) ={
e−1t2 , t 6= 0
0, t = 0.
Wówczas f ma pochodną dowolnego rzędu na prostej R, natomiast sze-reg Taylora funkcji f w zerze jest równy zero.
27
-
Warunki Cauchy’ego–Riemanna
TwierdzenieJeśli funkcja zespolona u + iv ma w punkcie x0 + iy0 pochodną, tospełnione są równania:
∂u∂x (x0, y0) =
∂v∂y (x0, y0)
∂v∂x (x0, y0) = −
∂u∂y (x0, y0).
Uwaga!
Powyższe twierdzenie wskazuje na to, że jeśli istnieje pochodna funkcjizespolonej, to część rzeczywista oraz urojona funkcji są ściśle ze sobązwiązane.
28
-
Twierdzenie Liouville’a
TwierdzenieJeśli funkcja holomorficzna na C ma oganiczony moduł, to jest funkcjąstała.
Wniosek (Zasadnicze twierdzenie algebry)
Każdy wielomian zespolony ma pierwiastek.
Przykład
Funkcje sin : C→ C oraz cos : C→ C mają nieograniczone moduły.
29
-
Zasada maksimum
TwierdzenieNiech f będzie funkcją holomorficzną w obszarze A ⊂ C. Jeśli istniejelokalne maksimum funkcji |f | w obszarze A, to f jest stała w A.
Twierdzenie (Weierstrass)
Jeśli funkcja f : A → C, A ⊂ C jest ciągłą natomiast A jest zbioremzwartym, to f osiąga na A swoje kresy.
Wniosek
Jeśli funkcja f : A → C jest holomorficzna w A oraz ciągłą na A, to |f |osiąga na A \ A wartość największą.
30
-
Twierdzenie o jednoznaczności
TwierdzenieNiech f , g : A→ C będą funkcjami holomorficznymi w obszarez A. Wów-czas jeśli
f (z) = g(z), dla z ∈ D,
oraz zbiór D ma punkt skupienia w A, to
f (z) = g(z) dla każdego z ∈ A.
Uwaga!
Zbiór D w powyższym twierdzeniu może być „mały”, np. może być cią-giem liczbowym mającym granicę należącą do zbioru A.
31
-
Co trzeba wiedzieć,żeby uczyć się funkcji analitycznych?
-
Oczekiwania
| Podstawowa wiedza z analizy rzeczywistej (w szczególności znajomośćpojęć całki Riemanna, pochodnej rzeczywistej oraz umiejętnośćliczenia całek i pochodnych rzeczywistych)
| Podstawowa wiedza z topologii
33
Sprawy organizacyjneCzego bedziemy sie uczyc?Kogo spotkamy podczas wykładów?Co to sa i do czego słuza funkcje zespolone?O co w tym chodzi?Co trzeba wiedziec, zeby uczyc sie funkcji analitycznych?