funkcijos u =u(x) furjė transformacija:
DESCRIPTION
Funkcijos u =u(x) Furjė transformacija:. Atvirk š tin ė Furjė transformacija:. Gauso funkcijos Furjė transformacija. Furj ė vaizdas. “de” gars o slėgis ir jo Furj ė vaizdo modulis. Furjė periodinis analogas (Furjė eilutė). - periodizavimas. Diskrečioji Furjė transformacija. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1-i ),,( ,)()(ˆ 2
fdxexufuFu ifx
Funkcijos u=u(x) Furjė transformacija:
),( ,)(ˆ)( 2
xdfefuxu ixf
Atvirkštinė Furjė transformacija:
)()( jei ),()(
)()( ,||
1
)()( ,
tapatybėParsevalio ˆ,ˆ,
1
2
xuxufFufFu
xauxuDFuDa
uFD
axuxuTFueuFT
vuvu
aaa
aifa
a
, , 2/-2 222122
dxeeeadxeee ifxaxafifxxf
3/2xe
Furjė vaizdas
Gauso funkcijos Furjė transformacija
“de” garso slėgis ir jo Furjė vaizdo modulis
[dB] , |)(ˆ||ˆ| fuu
)(tuu
|)(ˆ||ˆ| fuu
n
nxuxu )()(1
,2,1,0 ,)(ˆ1
0
21 ndxexuu inxn
Furjė periodinis analogas (Furjė eilutė)
- periodizavimas
DiskrečiojiFurjė transformacija
[0,1) ,ˆ)( 21
xeuxun
inxn
Atvirkštinė diskrečiojiFurjė transformacija
1
0
11 ˆˆ)()(n
nnvudxxvxu Parsevalio tapatybė
n
nfufu )(ˆ)(ˆ1
Diskretus signalas (skaičių eilutė)
- Periodizavimas dažnio srityje
,2,1,0 ,)(ˆ5.0
5.0
inf21
ndfefuun
AtvirkštinėFurjė transformacija
[-0.5,0.5) ,)(ˆ 21
feufun
infn
Furjė transformacija
5.0
5.0
11 )(ˆ)(ˆ dffvfuvun
nn Parsevalio tapatybė
1
0
))(sin()()(
N
n nt
ntnxtx
1,,1,0 ,ˆ/11
0
/2
NneuNuN
k
Ninkkn
kNnnN uuuuu ,,, 110
Periodinis diskretus signalas
Periodinis laiko ir dažnio srityje diskretus signalas
12/,,2/ ,ˆ1
0
/2
NNkeuuN
n
Ninknk Diskrečioji Furjė transformacija
(DFT)
Atvirkštinė diskrečioji FT(IDFT)
nNkk uu ˆˆTodėl dažnai DFT apibr. su k=0,1,…,N-1
1
0
1
0
ˆˆ/1N
kkk
N
nnn vuNvu Parsevalio tapatybė
“de” garso rekonstr-ja/kompr-ja panaudojant 5% moduliu dižiausių FFT koefic-ų
iš 5% FFT koef. rekonstruotas “de”
Greitoji Furjė transformacija (FFT)
1
0
1
0
/212
//22
12
0
)2/(2ˆK
n
K
n
Kinkn
KikKinkn
K
n
Kinknk eueeueuu
)()( , )(1
0
uhhuuhuhN
nnknk
uhuh ˆˆ)^*(
Jei N=2K
Jei N yra 2^L, FFT apsk. reikia O(N ln N) oper. => FFT (Fast Fourier transform)
N periodinio signalo filtravimas DFT metodika
)ˆˆ(* uhuh
1
0
))(sin()()(
N
n nt
ntnxtx
1,,0 ,1,,0 ,ˆ1,1
0,
)//(2,
1,
MmNneuuMN
lk
MlNkinlkNMmn
lMmkNnmnji uuuji ,,
1-M1,-N, }{
0,0
Diskrečioji Furjė transformacija 2D atveju
Periodinis laiko ir dažnio srityje diskretus signalas
1,...,0 ,1,,0 ,ˆ1,1
0,
)/(2,,
MlNkeuuMN
mn
mlNnkimnlk (DFT)
(IDFT)
mMlnNklk uu ,, ˆˆPeriodiškumas dažnio srityje
1,1
0,
11,1
0,,, ˆˆ
MN
lkkkNM
MN
mnmnmn vuvu Parsevalio tapatybė
2D vaizdai ir jų DFT [dB]
Vaizdų kompresija panaudojant 5% moduliu dižiausių DFT koeficientų
Pradiniai 5% didž. DFT Rekonstruotas
Furjė vaizdų amplitudės ir fazės informatyvumo palyginimas
IDFT(Lenos |DFT|+Barbaros DFT
fazė) =>
IDFT(Barbaros |DFT|+Lenos DFT fazė
) =>
Teorema (Šenono imčių). Jei signalo u=u(x) Furjė transformacija Fu(f) tenkina sąlygą Fu(f)=0, kai f<-0.5 arba f>=0.5, tai
),( ,)(
))(sin()()(
xnx
nxnuxu
n
),0[ ,/)/)((ctg))(sin()()(1
0
NxNNnxnxnuxuN
n
N periodiniu atveju gausime:
Dvimačiu atveju:
1
0
)(1
0
)( )(ctg))(sin(
),()(ctg))(sin(
),(N
nNnx
M
mMmy
N
nxmnu
M
myyxu
Galima keisti imčių dažnį, mastelį, pasukti !
Vaizdo poslinkis, mastelio keitimas, posūkis
Pradinis Paslinktas Pakeistas mastelis
Posūkis panaudojant tris šlytis