funkcije

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu 2008/2009

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu

Dobro došli na predavanja iz predmeta:

1

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu 2008/2009 2

Šifra predmeta:ECO 221 Naziv predmeta: Kvantitativne metoide u ekonomiji i menadžmentu

Nivo: dodiplomski studij Godina: II Semestar: III

Broj ECTS kredita: 6

Status: zajednički obavezni Broj sati sedmično: 6 (3 sata predavanja +3 sata vježbi) Ukupan broj sati: 90

NastavniK: Prof. dr Rabija Somun-KapetanovićAsistenti: Mr Almira Arnaut Berilo, Ensar Šehić, Elma Kahvić, Esmir Pilav

1. CILJ PREDMETA Upoznati studente sa osnovnim savremenim kvantitativnim metodama i modelima u ekonomskim analizama i njihovoj primjeni u funkciji odlučivanja.

1.1. Predmeti koji su preduslov za polaganje Uvod u ekonomiju, Matematika za ekonomiste, Makroekonomija, Statistika, Ekonomski razvoj, Kvantitativnre metode u ekonomiji i menadžmentu

1.2. Osnovne tematske jedinice Mjesto i uloga kvantitativnih modela i metoda u ekonomiji i menadžmentu

1. Osnovne ekonometrijske funkcije2. Mrežno planiranje3. Input- Output analiza4. Linearno programiranje

2. NAČIN ORGANIZACIJE NASTAVE

Opis aktivnosti

2.1. Način izvoñenja nastave1.Predavanja 45 sati2.Vježbe 45 sati

Učešće u ocjeni

2.2. Sistem ocjenjivanja

Za prolaznu ocjenu potrebno je dobiti minimalno po 24 boda iz svakog parcijalnog ispita i odgovarajući broj bodova iz ostalih aktivnosti.

1. Kvizovi2. seminarska obrada teme3. Prvi (I) parcijalni dio ispita4. Drugi ( (finalni) dio ispita

1. 10 bodova2. 10 bodova3. 40 bodova4. 40 bodova

3. LITERATURA Vučković Ž.:-"Ekonometrijske funkcije“, Ekonomski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 2004.Vučković Ž.: "Input - Output analiza“,, Ekonomski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 2003.Vučković Ž.: -"Mrežno planiranje", Ekonomski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 2003.Vučković Ž., Somun Kapetanović R. : "Zbirka zadataka iz matematskih metoda u ekonomiji", Ekonomski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 1980-1990.


Šifra predmeta:ECO 221 Naziv predmeta: Kvantitativne metoide u ekonomiji i menadžmentu

Nivo: dodiplomski studij Godina: II Semestar: III

Broj ECTS kredita: 6

Status: zajednički obavezni Broj sati sedmično: 6 (3 sata predavanja +3 sata vježbi)

Ukupan broj sati: 90

Nastavnik: Prof. dr Rabija Somun-KapetanovićAsistenti: Mr Almira Arnaut Berilo, Ensar Šehić, Elma Kahvić, Esmir Pilav

1. CILJ PREDMETA Upoznati studente sa osnovnim savremenimkvantitativnim metodama i modelima u ekonomskimanalizama i njihovoj primjeni u funkciji odlučivanja.

1.1. Predmeti koji su preduslov za polaganje

Matematika za ekonomiste


1.2. Osnovne tematske jedinice Mjesto i uloga kvantitativnih modela i metoda u ekonomiji i menadžmentu

1. Osnovne ekonometrijske funkcije2. Mrežno planiranje3. Input- Output analiza4. Linearno programiranje

2. NAČIN ORGANIZACIJE NASTAVE

Opis aktivnosti

2.1. Način izvoñenja nastave •Predavanja 45 sati•Vježbe 45 sati

Učešće u ocjeni

2.2. Sistem ocjenjivanja 1. Kvizovi2. seminarska obrada teme3. Prvi (I ) parcijalni dio ispita4. Drugi ( (finalni) dio ispita

1. 10 bodova2. 10 bodova3. 40 bodova4. 40 bodova

3. LITERATURA Vučković Ž.:-"Ekonometrijske funkcije“, Ekonomski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 2004.Vučković Ž.: "Input - Output analiza“,, Ekonomski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 2003.Vučković Ž.: -"Mrežno planiranje", Ekonomski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 2003.Vučković Ž., Somun Kapetanović R. : "Zbirka zadataka izmatematskih metoda u ekonomiji", Ekonomski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 1980-1990.


KVANTITATIVNE METODE U EKONOMIJI I MENADŽMENTU

� Osnovne ekonometrijske funkcije

� Mrežno planiranje

� Input output analiza

� Linearno programiranje


Osnovna (ukupna) funkcija (veličina) se može izraziti eksplicitno sljedećim izrazima:

Y=f(X) ili X=g(Y)ili implicitno:F(X, Y)=0 ili G(Y, X)=0

Za konkretne vrijednosti varijabli X i Y može se napisati eksplicitan izraz y=f(x) ili implicitan izraz F(x, y)=0.

Matematske funkcije jedne nezavisne varijable


Predstavljanje funkcije

� Analitički: - eksplicitno y=f(x)

- implicitno F(x, y)=0

� Tabelarno

� Grafički

X x1, x2, . . . . . xn . . .

.

Y y1, y2, . . . . . yn . . . .


Funkcija dvije promjenjljive z=F(x, y)

� Ako svakom paru tačaka (x, y) iz Apridružimo po nekom zakonu F samo jedno z iz B onda kažemo da je z funkcionalno zavisan od (x, y) i pišemo z=F(x, y)

� Grafički, funkcija z=F(x, y) predstavlja skup tačaka u prostoru Oxyz, pa je grafik funkcije z=F(x, y) u opštem slučaju neka površ u 3D prostoru


Za analizu ekonomskih pojava neophodno je definisati pojmove :

osnovne (ukupne) y=f(x) ,prosječnei granične funkcije (veličine)

i analizirati odnose meñu njima.

Osnovna, granična i prosječna funkcija


)/...()()('' jmXjmYXdX

dYXfY ==== ϕ

βtgx

xfxxf

x

y

dx

dyxfy

xx=

∆−∆+

=∆∆

===→∆→∆

)()(limlim)(''

00

dx

dyxfy == )(''

Granična funkcija (veličina):

( ) ( )dx

xdfxf =′


)0( →∆xX

Granična funkcija (veličina):

Infinitezimalna (beskonačno mala- jedinična) promjena nezavisne varijable će uzrokovati promjenu zavisne varijable Y za y' jedinica.

Granična funkcija nam govori o promjeni zavisne varijable Y ili F(X) uzrokovanu beskonačno malompromjenom nezavisne varijable X. Uz pretpostavku daje mala promjena jedinična, granična funkcija se tumači kao promjena F(X) uzrokovana jediničnompromjenom X.


Prosječna funkcija (veličina) :

)/...()()(

jmXjmYXfX

Xf

X

YY ====

Pokazuje koliko u prosjeku po svakoj jedinici nezavisne varijable X dolazi jedinica zavisne varijable Y.

Za konkretnu vrijednost x varijable X prosječna veličina će biti jednaka:

)/...()()(

jmXjmYxfx

xf

x

yy ====


y1

x10

Y=f(x)

x

y

Ukupna funkcija Y=f(x)


x1 x

yy ,′′′′ y′′′′

y

Granična i prosječna funkcija


Odnosi izmeñu granične i prosječne funkcije

� Grafovi granične i prosječne funkcije se sijeku u onoj vrijednosti nezavisne varijable x u kojoj prosječna funkcija ima stacionarnu tačku (minimum, maksimum ili prevoj) ili za x=0 ako je 0 element definicionog područja funkcije.

� Dokaz:

0' i/ili 0 xza odnosno ,0'y je kada '

''

===⋅=⇒

+⋅=→⋅=→=

yxyy

yxyyxyyx

yy


<<

==

>>−

=−⋅

=

≠∀=

yy

yy

yy

x

yy

x

yxyy

x

yy

' za 0

' za 0

' za 0''

'

0x za

2

Odnosi izmeñu granične i prosječne funkcije


Ukupna funkcija

0 Rastući prinos

Funkcija ubrzano raste

y’ > 0

y’’ > 0

Opadajući prinos

Funkcija usporeno raste

y’ > 0

y’’ < 0

Funkcija ubrzano opada

y’ < 0

y’’< 0

Funkcija usporeno opada

y’ < 0

y’’ > 0

Tačka prevojay’ > 0y’’ = 0

Tačka extrema

Maksimumy’ = 0y’’ < 0

Tačka prevojay’ < 0y’’ = 0


� ukupna funkcija

� prosječna i� granična funkcija

0 A

0 A

B

B C

C

D

D

Prosječna funkcijaGranična funkcija

Maksimum granične funkcije

Maksimum

prosječne

funkcije

Maksim

um

osnovne

funkcije

Minimum granične funkcije


0 x

y

A

f(x)

C

xA xC

f’(x)

yF

•

•

0 x

y’,

A’’

f(x)x

C’

B’

xA xB xC

x

y

Grafik ukupne (osnovne) funkcije

Grafik granične i prosječne funkcije


U ekonomiji funkcije (veličine) imaju jedinice mjere i precizno značenje. Ukupna veličina je izražena u jedinicama zavisne varijable Y, prosječna i granična veličina su izražene u sljedećoj mjernojjedinici:

jed in ica

jed in ica

y

x


� Relativna promjena neke veličine

� Elastičnost na luku

� Elastičnost u tački

� Značenje elastičnosti

Elastičnost funkcije i osobine


Elastičnost funkcije i osobine

� rx – relativna promjena varijable X

� ry relativna promjena varijable Y

� Elastičnost (neimenovani broj) je omjer relativne promjene varijable Y sa relativnom promjenom varijable X. Izražava se u procentima.

x

xrx

∆=

y

yry

∆=


Odnos relativnih promjena varijabli Y i X označavamo sa Ey,xi nazivamo koeficijent elastičnosti varijable Y u odnosu na varijablu X.

x

y

y

x

x

x

y

y

r

rE

x

y

xy ∆∆⋅=

∆

∆

==,


Elastičnost na luku

ii

ii

i

i

i

ii

i

ii

x

y

xyxx

yy

y

x

x

xx

y

yy

x

x

y

y

r

rE

−−

⋅=−

−

=∆

∆

==+

+

+

+

1

1

1

1

,

x

y

y

x

r

rE

x

y

xy ∆∆⋅==,

Ako je zavisnost varijable Y od varijable X izražena diskontinuirano (prekidno), od tačke do tačke, elastičnost se mjeri na luku izmeñu dvije tačke. Tada je riječ o koeficijentu elastičnosti na luku.


Elastičnost na luku

� Elastičnost na luku zanemaruje promjene koje su se desile izmeñu krajnjih tačaka luka i daje prosječnu vrijednost promjene.

A

B

x1 x2

y1

y2

A

B

x1 x2

y1

y2

Elastičnost na luku za ove dvije funkcije je jednaka.


Elastičnost u tačci

yy

x

x

y

y

x

r

rE

xx

y

xxy

′⋅=∆∆⋅==

→∆→∆ 00, limlim

� Kad će se smanjiti greška koja nastaje pri mjerenju elastičnosti na luku?

� Kada je ∆x manje.

� Greška će biti ≈ 0 kad ∆x → 0 � Odnosno kad se na prethodnoj slici A i B

poklope.� Tako dolazimo do definicije elastičnosti u tačci i do funkcije elastičnosti u tačci:


Elastičnost u tačci

y

yy

y

x

r

rE

x

y

xy

′=′⋅==,

Ako je zavisnost varijable Y od varijable X izražena kontinuirano (neprekidno), elastičnost se može mjeriti u svakoj tačci razmaka u kome je meñuzavisnost definisana. Tada je riječ o koeficijentu elastičnosti u tačci:

'limlim00

, yy

x

dx

dy

y

x

x

y

y

x

x

y

y

xE

xxxy ⋅=⋅=

∆∆⋅⋅=

∆∆⋅=

→∆→∆


Elastičnost� Elastičnost može imati vrijednosti od -∞ do +∞

� Ako se vrijednost x promjeni za 1% tada će se y promjeniti za Ey,x %

-∞∞∞∞ +∞∞∞∞0-1 1

Elastičnost Elastičnost

Neelastičnost Neelastičnost

Savršena neelastičnostSavršena

elastičnost

Indiferentna elastičnost

Savršena

elastičnostIndiferentna elastičnost


Osobine elastičnosti1. Elastičnost konstante Y=C=const. Ec,x=0

2. Elastičnost inverzne funkcije Ey, x = 1/ Ex, y

3. Ey/x, x= Ey, x – 1

4. Elastičnost stepene funkcije

., constbE

xay

xy

b

==

⋅=


Elastičnost eksponencijalne funkcije

Elastičnost složene funkcije

Elastičnost proizvoda

Elastičnost količnika

Elastičnost zbira i razlike

bxEbay xy

x ln, ⋅=⇒⋅=

[ ] xyyzxz EEExyzz ,,,)( +=⇒=

xyyxy EEEyyyx ,,21 2,1+=⇒⋅=

xyxyxy EEEy

yy ,,,

2

1

21−=⇒=

[ ]xyxyxy EyEyy

Eyyy ,2,1,21 21

1⋅±⋅=⇒±=


REGRESIONA ANALIZA

Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata

Pretpostavke o osobinama stohastičnosti modela

Aplikacija analiziranih metoda


Modelizacija veze izmeñu dvije ili više varijabli

� Kada su kvantitativne varijable zavisne mogu se modelizirati, jer u tom slučaju je moguće:

� kompletirati dijagram rasipanja

� izračunavati sintetičke pokazatelje i posmatrati promjene varijabli.


Etape konstrukcije modela

� Kompletirati na osnovu podataka dijagram rasipanja da bi se potvrdila ili odbacila pretpostavka o zavisnosti 2 statističke varijable

� Odrediti oblik veze (linearna, krivolinijska, eksponencijalna itd.)

� Konstruisati model.

� Provjeriti ex-post kvalitet konstruisanog modela.

Kovarijansa mjeri uzajamnu varijabilnost 2 varijable u odnosu na njihove respektivne aritmetičke sredine.

( )( )yyxxn

YXCov i

i

i −−= ∑1

),(

( )( )xxxxn

XXCov i

i

i −−= ∑1

),(

( ) 221X

i

i xxn

σ=−= ∑

Kovarijansa

35Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu 2008/2009


Kovarijansa

Kovarijansa znači da postoji simultana varijacija vrijednosti varijabli X i Y u odnosu na odabranu tačku čiju su koordinate aritmetičke sredine varijabli X i Y.


( ) ( )1( , ) i i

i

Cov X Y x x y yn

= − ⋅ −∑

( ) ( )1( , ) i i

i

Cov X Y x x y yn

= − ⋅ −∑

( )∑ ⋅+−−=i

iiii yxyxyxyxn

1

∑ ∑∑ ⋅+−−=i i

i

i

iii yxyn

xxn

yyxn

111

∑ ⋅+⋅−⋅−=i

ii yxyxxyyxn

1

∑ ⋅−=i

ii yxyxn

YXCov1

),(


� Opšti oblik regresijskog modela je sljedeći:

eXXXfY K += ),....,,( 21

Gdje je Y zavisna promjenljiva , X su nezavisne promjenljive i parametar e slučajno odstupanje.


Polazni model linearne regresije za skup od n vrijednosti (xi,yi) varijabli X i Y može se napisati u sljedećem obliku:

ii

iii

iii

bxay

eyy

ebxay

+=

+=

=++=

ˆ

ˆ

n.1,2,...,i ,


iii

iii

bxay

yy

Odstupanje

−−=

−=

e

odnosno , ˆe

: jednako je e i


Minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja

2

1

2

11

2 )()ˆ( i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i bxayyye −−=−= ∑∑∑===

je moguće uz potrebne uslove koji zahtijevaju da parcijalni izvodi ovog zbira po parametrimaaaaa i bbbb budu jednaki nuli:


0))((2

0)1)((2

1

1

2

1

1

2

=−−−=∂

∂

=−−−=∂

∂

∑∑

∑∑

=

=

=

=

ii

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

xbxayb

e

bxaya

e


� Iz ovih uslova slijede normalne jednačine:

∑∑∑

∑∑

===

==

+=

+=

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

xbxayx

xbnay

1

2

11

11

Njihovim rješavanjem dobijamo izraze za ocjenu parametara a i b:

∑

∑

=

=

−

⋅⋅−=

n

i

i

n

i

ii

xnx

yxnyx

b

1

22

1

xbya −=

ibxay +=ˆOcijenjena jednačina regresije Y u odnosu na X je jednaka :

45Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu 2008/2009

∑

∑

=

=

−

⋅−=

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

b

1

22

1

1

1

xbya −=

Parametar b možemo izraziti i u sljedećem obliku

2

),(

X

YXCovb

σ=

46

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu 2008/2009


Pod uslovom da specifikacija modela odgovara ekonomskoj relaciji u stvarnosti i da bismo probleme mjerenja ekonomskih relacija preveli u probleme statističkog ocjenjivanja parametara rasporeda vjerovatnoće neophodno je navesti pretpostavke o osobinama stohastičnosti linearnog regresionog modela:


Pretpostavke o osobinama stohastičnosti

n.1,2,...,i , =++= iii ebxay

Prvi dio modela (a+bxi) predstavlja funkcionalnu vezu pri kojoj je Y linearno zavisna od X ako su drugi faktori konstantni. Drugi, stohastički dio modela (ei), predstavlja slučajne varijacije, kojima se uzima u obzir djelovanje promjena drugih variajbli koje nisu eksplicitno uključene u model.


1. E(ei) = 0, (očekivana vrijednoststohastičkog odstupanja je jednaka nuli)2. E(ei

2 )= σ2, (konstantna zajedničkavarijansa)3. E(eiej )= 0, za svako i, j ; i≠j; (nezavisnost)4. ei: N(0, σ2), (normalnost) 5. E(eiXj) = 0, za sve i, j; ( nezavisnost od Xj).

n.1,2,...,i , =++= iii ebxay

Pretpostavke o osobinama stohastičnosti


Standardna greška regresionog modela

n

yyn

i

ii

y

∑=

−= 1

2

ˆ

)ˆ(

σ


Koeficijent varijacije regresionog modela

yk

y

yV

ˆ

ˆ

σ=


Tražnja nekog dobra predstavlja količinu tog dobra koja se može prodati na odreñenom tržištu u odreñeno vrijeme. Tražnja za nekim dobrom zavisiod velikog broja faktora.

Najznačajniji faktori su: cijena tog dobra, cijeneostalih dobara prvenstveno komplemenata i supstituta, dohodak potrošača, vrijeme, brojpotrošača, ukus i preferencije potrošača i niz drugihfaktora koji posredno ili neposredno mogu uticati natražnju.

Funkcija tražnje


Ako navedene faktora posmatramo kao promjenljiveveličine, agregatnu tražnju za nekim dobrommožemo izraziti kao funkciju više promjenljivih u sljedećem obliku:

( )rtdppppFq k ,,,,...,,, 21=

( )pfq = (2)

(1)

Funkcija tražnje

ili kao funkciju samo jedne promjenljive:


Funkcija tražnje

x = x(p) – funkcija individualne tražnje u užem smisluq = q(p) – funkcija agragatne tražnje u užem smislu

� Definiciono područje tražnje:p>0; q>0; q’<0

� Granična cijena p+ (maksimalna cijena do koje postoji tražnja)

� Nivo zasićenja x+ (to bi bio nivo tražnje kad bi cijena bila 0)

++

=

++

=

≥=∑

ii

i

n

i

i

pp

xxq

max

0;1


Definisanje funkcije tražnje pored polazne pretpostavke o funkcionalnom odnosu tražnje i cijene uz konstantnost ostalihfaktora implicira i pretpostavke tržišta potpune konkurencije.To su:

1. Homogenost dobara ili identičnost dobara koja ih čini meñusobnosavršenim supstitutima,

2. Prisustvo velikog broja kupaca i prodavaca od kojih ni jedanpojedinačno svojom tražnjom i ponudom nije u stanju da promjeninivo cijene.

3. Cijena se javlja kao nezavisna promjenljiva u odnosu na svakogučesnika. Postoji, dakle, objektivno data cijena po kojoj se vršipromet dobara i koja se mijenja kao posljedica djelatnosti cijelogskupa prodavaca i kupaca tog dobra.

4. Svi kupci i prodavci su potupno informisani o stanju na tržištu. 5. Slobodno stupanje u kupoprodajne odnose.


0,0 >> pq

( ) 0<′=′ pfq

0<dp

dq

Nenegativnost zavisne i nezavisne promjenljive:

.

Zakon normalnosti tražnje koji se matematički izražava negativnom vrijednošću prvog izvoda funkcije tražnje:

.

Da bi relacija q=f(p) predstavljala funkciju tražnje moraju bitiispunjeni sljedeći uslovi:


Tražnja se mijenja obrnuto proporcionalno sapromjenom cijene pa bi oblast definisanosti i grafičkiprikaz funkcije tražnje u opštem slučaju bili:

0

0

>>

<<+

+

qq

pp

Uz pretpostavku da je fukcija tražnje diferencijabilna u posmatranom intervalu tj. da u posmatranom intervalu kojimora biti konačan i približno jednak intervalu raspoloživihempirijskih vrijednosti ima izvod, uslov normalnosti tražnjekazuje da tražnja opada sa rastom cijene i da je u normalnim uslovima tražnja opadajuća funkcija.


Funkcija tražnje

p2

q+

0

q

q1

q2

p+p1 p


)(qp ϕ=

Iz relacije (2) izvodi se inverzni oblik funkcije tražnje:

kojim se cijena p izražava kao funkcija količine tražnje q.

.

(3)

)(qpp =


bpaq −=

2bpaq −=

2)( bpaq −=

bpaq −= 2

cbpapq +−= 2

bpaeq −=

bapq −=

cbpq a += −

p

baq +=

)( cpepq ba +⋅= −

Analitički oblici funkcije tražnje

Funkcija tražnje kojom se odreñuje zavinost tražnje nekogdobra od sopstvene cijene može imati različite analitičkeoblike. Navodimo neke od njih:


Koeficijenti elastičnosti tražnje u prekidnom slučaju:

p

q

q

p

p

p

q

q

r

rE

p

q

pq ∆∆⋅=

∆

∆

==,(4)


qq

p

dp

dq

q

p

p

q

q

p

p

q

q

pE

pppq

p′⋅=⋅=

∆∆

⋅=∆∆⋅=

→∆→∆→∆ 00,

0limlimlim

%)( , uE pq

Koeficijent elastičnosti tražnje pokazuju procentualnosmanjenje tražnje

izazvano povećanjem cijene za 1%.

Koeficijenti elastičnosti tražnje u neprekidnom slučaju:

(5)


Polazeći od izraza (1) može se pomoću koeficijenta parcijalne elastičnosti utvrditi relativna promjena tražnje koja je uslovljena relativnom promjenom bilo koje nezavisne promjenljive.

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje može se utvrditi u odnosu na, cijene ostalih dobara, dohodak potrošača i ostale faktore.

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na cijene ostalih dobara koje utiču na tražnju za posmatranim dobrom.


i

ipq

p

q

q

pE

i ∆∆⋅=,

<

=

>

idobraigposmatranoodnosarnikomplement

idobraigposmatranoodnosnezavisan

idobraigposmatranoodnosstitutski

Eipq

0

0

sup0

,

Koeficijent unakrsne elastičnosti tražnje

i

ipq

p

q

q

pE

i ∂∂⋅=,


B

q

q

BE Bq ∆

∆⋅=, B

q

q

BE Bq ∂

∂⋅=,

)0( , >BqE

)0( , <BqE

Pomoću ovog koeficijenta vrši se klasifikacija dobara na normalna i inferiorna.Ukoliko je vrijednost koeficijenta dohodovne elastičnosti pozitivna

radi se o normlanom dobru, a ukoliko je negativna

o inferiornom dobru.

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na dohodak odnosno budžet potrošača se definiše sljedećim izrazom:


Funkcija prihoda - Π

� y [kj]– količina predmetnog dobra koju je neko ponudio ili će ponuditi na tržištu.

� Π [nj]– prihod od prodaje pomenutog dobra

� Ostvareni prihod = (tržišna cijena) * (prodata količina)

� Razlikujemo Π kod determinisane tržišne cijene i Π kod promjenjljive cijene (agregatno Π).


Ako se količina tražnje za nekim dobrom pomnoži sacijenom tog dobra dobije se ukupan prihodproizvoñača (ukupni izdaci potrošača). Funkcijaukupnog prihoda se definiše kao proizvod izmeñucijene nekog dobra i tražnje za tim dobrom:

Funkcija prihoda odražava dakle realizaciju nekog dobra na tržištu zavisno od prodajne cijene i količine. Funkcija prihoda je pozitivna, neprekidna, diferencijabilna i definisana za vrijednosti cijene za koje je definisana funkcijatražnje.

qp ⋅=Π


Π kod determinisane tržišne cijene

Iz definicije prihoda vidimo da prihod zavisi od tražnje.

Ako je tržišna cijena konstantna p = const onda je tražena količina konstantna

q = q(p) = const⇒

≥≥⋅

≤≤⋅=Π

0

0)(

qyqp

qyypy


Π kod determinisane tržišne cijene

p = const > 0 ⇒ q = q(p) = const >0 ⇒

≥≥⋅

≤≤⋅=Π

0

0)(

qyqp

qyypy


qpqpqp ⋅=⋅=⋅=Π +)(max(max)

Pošto je cijena p konstantna, ukupan prihod raste ako se prodatakoličina q povećava. Tražnja ograničava količinu prodaje a tim i ukupan prihod. Kad je cijena konstantna sa rastom tražnje raste i ukupan prihod Π pa slijedi da je ukupan prihod maksimalan kad je maksimalna količina tražnje.


Funkcija Π kod determinisane cijene - graf

0

ΠΠΠΠ

p y

pq

q y

pq


Granični i prosječni prihod kod determinisane

cijene

( ) 0;0

0)(' =Π ′′

>

≤≤=Π y

qyza

qyzapy

≥>⋅

≤≤>=⋅

=Π0

00

qyzay

qp

qyazpy

yp


0' >==Π

=Π constpdq

dq

0>==⋅

=Π

=Π constpq

qp

qq

Ako je cijena (p) nekog dobra na tržištu konstantna ukupan prihod ćebiti funkcija prodate količine tj. funkcija tražnje. Funkcija graničnogprihoda u tom slučaju je jednaka cijeni koja je konstantna:

je takoñer jednaka konstantnoj cijeni.

Funkcija prosječnog prihoda


Granični prihod kod determinisane cijene

( ) 0;0

0)(' =Π ′′

>

≤≤=Π y

qyza

qyzapy

ΠΠΠΠ’

q y

p

0


Prosječni prihod kod determinisane cijene

Π

≥>⋅

≤≤>=⋅

=Π0

00

qyzay

qp

qyazpy

yp

q y

p

0


Elastičnost prihoda kod determinisane cijene

qyzaconsty <<==ΕΠ 0%1,

0%0, ≥≥==ΕΠ qyzaconsty

≥≥⋅

≤≤⋅=Π

0

0)(

qyqp

qyypy


Elastičnost prihoda kod determinisane cijene

y,ΠΕ

qyzaconsty <<==ΕΠ 0%1,

0%0, ≥≥==ΕΠ qyzaconsty

q y

1

0


Elastičnost ukupnog prihoda u slučaju kad je cijenakonstantna je jednaka:

%1', =⋅⋅

=Π⋅Π

=Π pqp

qqE q

Ako se prodata (realizovana) količina poveća (smanji) za 1% ,ukupan prihod će se povećati (smanjiti) za 1%. To je slučaj jednačine (indiferentne) elastičnosti prihoda.


Π kod promjenjljive cijene p=p(q) –Agregatni prihod� Ako u zavisnosti od cijene agregatna tražnja ima oblik q=q(p);

onda imamo i inverzni oblik agregatne tražnje p=p(q);

� Iz ovog slijedi funkcija agregatnog prihoda

+≤≤ pp0

+≤≤ qq0

( ) +≤≤≥⋅=⋅=Π=Π qqzaqqpqpq 00)(

( ) ( ) +≤≤≥⋅=⋅=Π=Π ppzapqpqpp 00


npppp ,...,,, 321 npppp <<<< ...321

nqqq ,...,, 21

nΠΠΠ ,...,, 21

Funkcija prihoda u slučaju kad cijena nijedeterminisana

vrijedi odnos

. Ako su

maksimalne količine tražnje za navedene cijene , a

odgovarajuće funkcije prihoda. Kada se spoje tačke u kojima se ostvaruje maksimalan prihod dobija se tipičan oblik funkcije ukupnog prihoda u slučaju kad cijena nijekonstantna.

Pretpostavimo da se različite cijene


)()( ppfpqp q Π=Π=⋅=⋅=Π

)()( qqqqp q Π=Π=⋅=⋅=Π ϕ

U slučaju kad cijena nije konstantna ukupan prihod se može izraziti kaofunkcijacijene polazeći od direktnog zakona tražnje (2)ilikao funkcija količine polazeći od inverznog zakona tražnje (3):

(9)

(10)


====

=====⋅=Π

+

+

qqodosnoqpiliq

ppodosnopfqilipzaqp

0)(0

0)(00

0)(

)(0

<=>

<=<+

+

qpp

qpfq

Funkcija ukupnog prihoda jednaka je nuli uz sljedeće uslove:

Definiciono područje funkcije prihoda je u slijedećim intervalima:


pΠ

Prosječan prihod

( ) qpqp

pp ==

Π=Π

)( ( ) pqpq

qq ==

Π=Π

)(

Pri datom nivou cijena u prosjeku na svaku jediničnu cijenu dolazi prihoda

Pri datom nivou tražnje u prosjeku na svaku količinsku jedinicu tražnje dolazi prihoda, odnosno pokazatelj je ostvarenog prihoda po jedinici realizovanog proizvoda.

qΠ


Funkcija graničnog prihoda se izvodi iz funkcije ukupnogprihoda.

Funkcija graničnog prihoda je jednaka prvom izvodufunkcije ukupnog prihoda. Pošto je ukupni prihod izražen kao funkcija cijenerealcijom (9) i kao funkcija količine realcijom (10) graničniprihod se takoñer može izraziti kao funkcija cijene

Funkcija graničnog prihoda Π’


promjena prihoda pri jediničnom povećanju p

promjena prihoda pri jediničnom povećanju q

( )p

p∂Π∂

=Π′

( )q

q∂Π∂

=Π′

Granični prihod


[ ] qpqpfppfpfpdp

dp

′+=′⋅+=′⋅=Π

=Π )()()('

[ ] pqpqqqqqdq

dq

′+=′+=′⋅=Π

=Π )()()(' ϕ

ili kao funkcija količine

Granični prihod pokazuje promjenu ukupnog prihoda izazvanujediničnom promjenom nezavisno promjenljive (cijene ili količine).

(11)

(12)


Prosječna i granična funkcije prihoda

Grafik funkcije prihoda kad cijena nije konstanta

0 qmax

q+

0 qmax q+

ΠΠΠΠmax

0 pmax

p+

ΠΠΠΠmax

0 pmax

p+

p+q+


)1()1()(' ,

2

pqp Eqqq

pq

q

qqp

q

q

q

qqpq +=′⋅+=

′+=⋅′+=Π

)1()1()(' ,

2

qpq Eppp

qp

p

ppq

p

p

p

ppqp +=′⋅+=

′+=⋅′+=Π

Veza izmeñu prihoda i elastičnosti tražnje

Proširivanjem izraza (11) i njegovim sreñivanjem dobije se veza izmeñugraničnog prihoda i elastičnosti tražnje:

Proširivanjem izraza (12) i sreñivanjem dobija se veza izeñu graničnogprihoda kao funkcije količine i elastičnosti (fleksibilsnoti) cijene u odnosuna tražnju:

(14)

(13)


qq

qE ', Π⋅

Π=Π

q'Π

qpqpqq EEpqp

qqE ,,, 1)1(' +=+⋅

⋅=Π⋅

Π=Π

Elastičnost prihoda

Elastičnost prihoda se može analizirati u odnosu na količinu i u odnosu nacijenu. Po definiciji koeficijent elastičnosti prihoda u odnosu na količinu jejednak:

Ako se u gornjoj relaciji

napiše u obliku izraza (14) dobija se veza izmeñu elastičnosti ukupnogprihoda i elastičnosti (fleksibilnosti) cijene:

16)

(15)


pp

pE ', Π⋅

Π=Π

p'Π

pqpqpp EEqqp

ppE ,,, 1)1(' +=+⋅

⋅=Π⋅

Π=Π

Na analogan način se definiše koeficijent elastičnosti prihoda u odnosuna cijenu:

Ako u gornjoj relaciji

zamijenimo sa izrazom (13) dobija se veza izmeñu elastičnosti prihoda kaofunkcije cijene i elastičnosti tražnje:

(18)

(17)

funkcije

Documents