fungsi-komposisi-invers-by-fendi-alfi-fauzi.pdf

SOAL-SOAL PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI &

INVERS FUNGSI

Fendi Alfi Fauzi

16 April 2014

1. Jika f (x) = px, p konstanta positif, makaf(x2 + x

)f (x+ 1)

= Jawab:

f (x) = px

f(x2 + x

)= px

2+x

f (x+ 1) = px+1

f(x2 + x

)f (x+ 1)

=px

2+x

px+1

=px

2 pxpx p

=px

2

p

= px2 p1

f(x2 + x

)f (x+ 1)

= p(x21)

Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan p(x21). Karena f (x) = px maka

f(x2 + x

)f (x+ 1)

=

f(x2 1)

2. Fungsi f (x) =x2 2x+ 116 x2 terdefenisi untuk ......

Jawab:

Fungsi f (x) =x2 2x+ 116 x2 terdefenisi jika

x2 2x+ 116 x2 0. Perhatikan pada bagian pembi-

lang yaitu x2 2x + 1 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x 1)2. Karena fungsi kuadrat selalubernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu 16 x2 > 0. Perlu diketa-hui juga bahwa

x2 2x+ 116 x2 tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan

menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada

16 x2 > 0(4 x) (4 + x) > 0

http://alfysta.blogspot.com

Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi 1

Fendi Alfi Fauzi http://alfysta.blogspot.com

Dengan menguji pada garis bilangan, kita mendapatkan batas-batas nilai x yaitu 4 < x < 4.Jadi disimpulkan bahwa Fungsi f (x) =

x2 2x+ 116 x2 terdefenisi pada 4 < x < 4

3. Jika fungsi f di defenisikan sebagai f (x) = 2x maka nilai[f (x+ 3)

f (x 1)]2

=......

Jawab :Diketahui : f (x) = 2x , f (x+ 3) = 2x+3 dan f (x 1) = 2x1.

f (x+ 3)

f (x 1) =2x+3

2x1[f (x+ 3)

f (x 1)]2

=

[2x+3

2x1

]2=

22x+6

22x2

=22x 26

22x (2)2

=26

22= 26 22

= 64 4[f (x+ 3)

f (x 1)]2

= 256

4. Jika f (x) = x+ 3 maka f (x2)+ f2 (x) 2f (x) =......Jawab :f (x) = x+ 3f(x2)= x2 + 3

f2 (x) = (x+ 3) (x+ 3) = x2 6x+ 92f (x) = 2x+ 6

f(x2)+ f2 (x) 2f (x) = x2 + 3 + x2 6x+ 9 (2x+ 6)

= 6x+ 12 + 2x 6= 4x+ 6

5. Diketahui f (x+ 1) = x2 1 dan g (x) = 2x maka (g f) (x) =......Jawab :Diketahui f (x+ 1) = x2 1. Kita misalkan t = x+ 1 x = t 1 sehingga

f (t) = (t 1)2 1= t2 2t+ 1 1

f (t) = t2 2tf (x) = x2 2x



(g f) (x) = g (f (x))= 2

(x2 2x)

= 2x2 4x

6. Jika f (x) = x3 + 2 dan g (x) =2

x 1 : x 6= 1 maka (g f) (x) adalah .....Jawab :

(g f) (x) = g (f (x))=

2

x3 + 2 1(g f) (x) = 2

x3 + 1

7. Jika f (x) =2x

x2 4 dan g (x) =2x maka (f g) (x) adalah .....

Jawab :

(f g) (x) = f (g (x))

=2(

2x)(

2x)2 4

=22x

2x 4=

22x

2 (x 2)

(f g) (x) =2x

x 2

8. Jika f (x) = 4x dan f (g (x)) = x2 + 1 maka g (x) =......Jawab :

f (g (x)) = x2+ 1

4 (g (x)) = x2+ 1

g (x) =x2 + 14

=x+224

=x+ 2

2 14

= 18(x+ 2)

g (x) =1

8(x 2)

9. Diketahui (f g) (x) = 2x 3x+ 4

: x 6= 4 dan g (x) = (1 x). Maka f (x) adalah ....



Jawab :

(f g) (x) = 2x 3x+ 4

f (g (x)) =2x 3x+ 4

f (1 x) = 2x 3x+ 4

Misalkan u = 1 x maka x = 1 u sehingga

f (u) =2 (1 u) 3(1 u) + 4

=2 2u 3

5 uf (u) =

2u 15 u

f (x) =2x 15 x

10. Fungsi f : R R dan g : R R dinyatakan oleh f (x) = x + 2 dan (g f) (x) = 2x2 + 4x + 1maka g (2x) =......Jawab :

(g f) (x) = 2x2 + 4x+ 1g (f (x)) = 2x2 + 4x+ 1

g (x+ 2) = 2x2 + 4x+ 1

Misalkan x+ 2 = y maka x = y 2 sehingga

g (y) = 2 (y 2)2 + 4 (y 2) + 1= 2

(y2 4x+ 4)+ 4y 8 + 1

= 2y2 8y + 8 + 4y 8 + 1g (y) = 2y2 4y + 1g (x) = 2x2 4x+ 1g (2x) = 2 (2x)2 4 (2x) + 1

= 2(4x2) 8x+ 1

g (2x) = 8x2 8x+ 1

11. Bila f (x) =x+ 2

3 x dengan x 6= 3 maka invers dari f (x) adalah f1 (x) = .....



Jawab:

f (x) =x+ 2

3 xy =

x+ 2

3 x3y xy = x+ 23y 2 = x+ xy3y 2 = x (1 + y)

x =3y 21 + y

f1 (x) =3x 21 + x

, x 6= 1

12. Invers dari f (x) =(1 x3) 15 + 2 adalah....

Jawab:

f (x) =(1 x3) 15 + 2

y =(1 x3) 15 + 2

y 2 = (1 x3) 15(y 2)5 = 1 x3

x3 = 1 (y 2)5

x =3

1 (y 2)5

x =(1 (y 2)5

) 13

f1 (x) =(1 (x 2)5

) 13

13. Jika f (x) = 3x1 maka f1 (81) =.....



Jawab:

f (x) = 3x1

y = 3x1

y = 3x 31

y = 3x 13

3y = 3x

x = 3 log (3y)

f1 (x) = 3 log (3x)

f1 (81) = 3 log (3 81)= 3 log (243)

= 3 log(35)

= 5 3 log 3= 5 1

f1 (81) = 5

14. Fungsi f : R R dan g : R R dirumuskan dengan f (x) = 12x 1 dan g (x) = 2x + 4 maka

(g f)1 (10) adalah ....Jawab :

(g f) (x) = g (f (x))= 2

(1

2x 1

)+ 4

= x 2 + 4= x+ 2

(g f) (x) = yy = x+ 2

x = y 2(g f)1 (x) = x 2(g f)1 (10) = 10 2

= 8

15. Jika f1 (x) =x 15

dan g1 (x) =3 x2

maka (f g)1 (6) = ....



Jawab:

(f g)1 (x) = (f1 g1) (x)=

(3 x2

) 1

5

=

(3 x2

) 2

2

5

=

1 x25

(f g)1 (x) = 1 x10

(f g)1 (6) = 1 610

=510

= 12

16. Jika f (x) =1

x 1 dan g (x) = x 2 maka (g f)1 (x)= .......

Jawab :

(g f) (x) = g (f (x))=

1

x 1 2

=1

x 1 2 (x 1)x 1

=1

x 1 2x+ 2

x 1(g f) (x) = 2x+ 3

x 1(g f) (x) = y

y =2x+ 3x 1

xy y = 2x+ 3xy + 2x = y + 3

x (y + 2) = y + 3

x =y + 3

y + 2

(g f)1 (x) = x+ 3x+ 2

, x 6= 2

17. Diketahui f (x) =5 log x dan g (x) =x+ 3

3x 4 maka (f g)1 (x) = .......



Jawab:

(f g) (x) = f (g (x))(f g) (x) = 5 log

(x+ 3

3x 4)

(f g) (x) = yy = 5 log

(x+ 3

3x 4)

5y =x+ 3

3x 43x 5y 4 5y = x+ 3

3x 5y x = 4 5y + 3x (3 5y 1) = 4 5y + 3

x =4 5y + 33 5y 1

(f g)1 (x) = 4 5x + 3

3 5x 1

18. Jika (f g) (x) = 4x2 + 8x 3 dan g (x) = 2x+ 4 maka f1 (x) =......Jawab :

(f g) (x) = f (g (x))f (g (x)) = 4x2 + 8x 3

f (2x+ 4) = 4x2 + 8x 3

Misalkan u = 2x+ 4 maka 2x = u 4 x = u 42

f (u) = 4

(u 42

)2+ 8

(u 42

) 3

= 4

(1

4

(u2 8u+ 16))+ 4u 16 3

= u2 8u+ 16 + 4u 16 3= u2 4u 3

f (x) = x2 4x 3



Misalkan f (x) = y maka

y = x2 4x 3y = x2 4x+ 4 7y = (x 2)2 7

y + 7 = (x 2)2

x 2 =y + 7

x =y + 7 + 2

f1 (x) =x+ 7 + 2

19. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan f (x) = 2x + 4, g (x) =2x+ 5

x 4 dan h (x) =(g f1) (x) dengan f1 adalah fungsi invers dari f dan h1 adalah invers dari h. Rumusfungsi h1 (x) adalah ....Jawab :

f (x) = 2x+ 4

y = 2x+ 4

2x = y 4x =

y 42

f1 (x) =x 42

(g f1) (x) = g (f1 (x))

=

2

(x 42

)+ 5(

x 42

) 4

=x 4 + 5x 42 8

2

=x+ 1x 12

2

h (x) =2x+ 2

x 12



Misalkan h (x) = y maka

y =2x+ 2

x 12xy 12y = 2x+ 2xy 2x = 12y + 2x (y 2) = 12y + 2

x =12y + 2

y 2h1 (x) =

12x+ 2

x 2

20. Fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f (x) = x+2 dan g (x) = 2x. Jumlah akar-akarpersamaan (g f) (x2 24x) = 0 adalah ....Jawab :

(g f) (x) = g (f (x))= 2 (x+ 2)

(g f) (x) = 2x+ 4y = 2x+ 4

2x = y 4x =

y 42

(g f)1 (x) = x 42

(g f)1 (x2 24x) = (x2 24x) 42

0 =x2 24x 4

2x2 24x 4 = 0

Berdasarkan teorema Vieta diperoleh

x1 + x2 = ba

= (24)1

= 24

21. Ditentukan g (f (x)) = f (g (x)), jika f (x) = 2x + p dan g (x) = 3x + 120, maka nilai p adalah....Jawab :

g (f (x)) = 3 (2x+ p) + 120

= 6x+ 3p+ 120



f (g (x)) = 2 (3x+ 120) + p

= 6x+ 240 + p

Karena g (f (x)) = f (g (x)) maka

6x+ 3p+ 120 = 6x+ 240 + p

2p = 120

p = 60

22. Jika f (3 + 2x) = 4 2x+ x2, maka f (1) = .....Jawab :Diketahui : f (3 + 2x) = 4 2x+ x2.Misalkan

y = 3 + 2x

x =y 32

f (y) = 4 2(y 32

)+

(y 32

)2= 4 y + 3 + 1

4

(y2 6y + 9)

= 7 y + y2

4 6y

4+

9

4

=28

4 4y

4+y2

4 6y

4+

9

4

=y2

4 10y

4+

37

4

f (x) =x2

4 10x

4+

37

4

f (1) =1

4 10

4+

37

4

=28

4f (1) = 7

23. Dari fungsi f : R R dan g : R R diketahui bahwa f (x) = x+3 dan (f g) (x) = x2+6x+7maka g (1) =. ....



Jawab :

(f g) (x) = x2 + 6x+ 7f (g (x)) = x2 + 6x+ 7

g (x) + 3 = x2 + 6x+ 7

g (x) = x2 + 6x+ 4

g (1) = 1 6 + 4g (1) = 1

24. Diberikan fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh g (x) = x23x+1. Jika (f g) (x) =2x2 6x 1 maka f (x) = ....Jawab :

f (g (x)) = 2x2 6x 1f(x2 3x+ 1) = 2x2 6x 1

Misalkan

y = x2 3x+ 1y = (x 1, 5) (x 1, 5) 1, 25y = (x 1, 5)2 1, 25

y + 1, 25 = (x 1, 5)2y + 1, 25 = x 1, 5

x =y + 1, 25 + 1, 5

f (y) = 2(

y + 1, 25 + 1, 5)2 6(y + 1, 25 + 1, 5) 1

= 2(y + 1, 25 + 3

y + 1, 25 + 2, 25

) 6

(y + 1, 25 + 1, 5

) 1

= 2y + 2, 5 + 6y + 1, 25 + 4, 5 6

y + 1, 25 9 1

= 2y + 7 9 1f (y) = 2y 3f (x) = 2x 3

25. Suatu pemetaan f : R R dengan (g f) (x) = 2x2+4x+5 dan g (x) = 2x+3 maka f (x) =.....Jawab :

g (f (x)) = 2x2 + 4x+ 5

2f (x) + 3 = 2x2 + 4x+ 5

2f (x) = 2x2 + 4x+ 2

f (x) = x2 + 2x+ 1



26. Jika fungsi f dan g adalah f : x 2x 23 dan g : x x 23 maka (g f1) (2) adalah ....Jawab :

f (x) = 2x23

y = 2x23

y3 = 2x2

x2 =y3

2

x =

y3

2

f1 (x) =

x3

2

(g f1) (x) = g (f1 (x))

=

(x3

2

) 23

=

((x3

2

) 12

) 23

=

(x3

2

) 13

(g f1) (x) = x

213(

g f1) (x) = x 2 13(g f1) (2) = 2 12 2 13

= 212 1

3(g f1) (2) = 2 16

27. Dari fungsi f dan g diketahui f (x) = 2x2 + 3x 5 dan g (x) = 3x 2. Agar (g f) (a) = 11maka nilai a yang positif adalah ....



Jawab :

(g f) (x) = g (f (x))= 3

(2x2 + 3x 5) 2

= 6x2 + 9x 15 2= 6x2 + 9x 17

(g f) (a) = 6a2 + 9a 1711 = 6a2 + 9a 17

6a2 + 9a 6 = 02a2 + 3a 2 = 0

(2a 1) (a+ 2) = 0a =

1

2atau a = 2

Jadi a positif adalah a =1

2

28. Diketahui f (x) =1 xx

untuk setiap bilangan Real x 6= 1. Jika g : R R adalah suatu fungsisehingga (g f) (x) = g (f (x)) = 2x+ 1 maka fungsi invers g1 (x) =....Jawab :

(g f) (x) = 2x+ 1g (f (x)) = 2x+ 1

f

(1 xx

)= 2x+ 2

Misalkan

t =1 xx

tx = 1 xtx+ x = 1

x (t+ 1) = 1

x =1

t+ 1



g (t) = 2

(1

t+ 1

)+ 1

=2

t+ 1+t+ 1

t+ 1

=t+ 3

t+ 1

g (x) =x+ 3

x+ 1

y =x+ 3

x+ 1xy + y = x+ 3

x xy = y 3x (1 y) = y 3

x =y 31 y

g1 (x) =x 31 x, x 6= 1

29. Jika f (x) =1

x+ 1dan g (x) =

2

3 x, x 6= 3 maka (f g)1 (x) = .....

Jawab :

(f g) (x) = f (g (x))=

12

3 x + 1

=1

2

3 x +(3 x)3 x

=1

5 x3 x

(f g) (x) = 3 x5 x

y =3 x5 x

5y xy = 3 x5y 3 = xy x5y 3 = x (y 1)

x =5y 3y 1

(f g)1 (x) = 5x 3x 1 , x 6= 1

30. Jika f (x) =x, x 0, dan g (x) = x

x+ 1, x 6= 1 maka (g f) (2) =......



Jawab :

(g f) (x) = g (f (x))(g f) (x) =

x

x+ 1

y =

x

x+ 1

yx+ y =

x

x yx = yx (1 y) = y

x =

y

1 y(x)2

=

(y

1 y)2

x =

(y

1 y)2

(g f)1 (x) =(

x

1 x)2

(g f)1 (2) =(

2

1 2)2

= (2)2

(g f)1 (2) = 4

31. Diberikan fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f (x) = x3 dan g (x) = 3x 4. Jikaa =

(g1 f1) (8) maka nilai dari (f1 g1) (10a) adalah ....

Jawab :

g (x) = 3x 4y = 3x 4x =

y + 4

3

g1 (x) =x+ 4

3

f (x) = x3

y = x3

x = 3y

f1 (x) = 3x



(g1 f1) (x) = g1 (f1 (x))(g1 f1) (x) = 3x+ 4

3(g1 f1) (8) = 38 + 4

3

a =2 + 4

3a = 2

(f1 g1) (x) = f1 (g1 (x))

=3

x+ 4

3(f1 g1) (10a) = 310a+ 4

3

=3

10 (2) + 4

3

=3

20 + 4

3

=38(

f1 g1) (10a) = 232. Fungsi f : R R ditentukan oleh f (x) = 3x1 dan g : R Rmemenuhi (f g)1 (x) = 1

6x 4

3maka g (x) =....Jawab :

f (x) = 3x 1y = 3x 1x =

y + 1

3

f1 (x) =x+ 1

3

(f g)1 (x) = f1 (g1 (x))(g1 (x)

)+ 1

3=

1

6x 4

3(g1 (x)

)+ 1 =

3

6x 12

3(g1 (x)

)=

3

6x 12

3 1

g1 (x) =3

6x 15

3

Kita sudah mengetahui bahwa(g1)1

(x) = g (x) sehingga tugas kita tinggal meng inverskan



saja fungsi g1 (x) diatas menjadi

g1 (x) =3

6x 15

3

y =3

6x 15

3

y =3x 30

66y = 3x 303x = 6y + 30

x =6y + 30

3x = 2y + 10

g (x) = 2x+ 10

Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian.Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewatblog kami di http://alfysta.blogspot.com. Kesalahan penulisan maupun penger- jaan tidak terlepasdari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsungmengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih

Minakarya, 9 Maret 2014Penulis

Fendi Alfi Fauzi


fungsi-komposisi-invers-by-fendi-alfi-fauzi.pdf

Documents