fungsi dan grafik - eecafedotnet.files.wordpress.com · contoh: panjang batang ... domain...

FungsiFungsi dandan GrafikGrafik

Oleh: Sudaryatno Sudirham

Open Course

Dalam pelajaran ini disajikan bahasan tentang fungsi dan

grafik sebagai tahap awal dalam mempelajari kalkulus

Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah

bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

Pengantar

Cakupan Bahasan

� Pengertian Tentang Fungsi

� Fungsi Linier

� Gabungan Fungsi Linier

� Mononom dan Polinom

� Bangun Geometris

� Fungsi Trigonometri

� Gabungan Fungsi Sinus

� Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik

� Fungsi dalam Koordinat Polar

Pengertian Tentang Fungsi

Fungsi

Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai

besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut

merupakan fungsi besaran x

Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur

Pernyataan secara umum ditulis

)(xfy =

disebut peubah tak bebas

nilainya tergantung x

disebut peubah bebas

bisa bernilai sembarang

dalam pelajaran ini nilai x dibatasi

pada nilai bilangan nyata

Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, sementara ruas

kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus

ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi


Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi

rentang terbuka a b

a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang

rentang setengah terbuka a b

a ≤≤≤≤ x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak

rentang tertutup a b

a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b a dan b masuk dalam rentang

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P[2,1]

Q[-2,2]

R[-3,-3]

S[3,-2]

y

x

IV

III

III

sumbu-x

sumbu-y

Posisi titik pada bidang

dinyatakan dalam koordinat

[x, y]

Bidang terbagi dalam 4 kuadran

Kuadran I, II, III, dan IV

Kurva dari Suatu Fungsi


xy 5,0=

Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y

dst.21,510,50-0,5y

dst.43210-1x

ΔΔΔΔx

ΔΔΔΔy

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1

0 1 2 3 4 x

yR

P

Q

xy 5,0=Kurva

Titik P, Q, R, terletak pada kurva

Kemiringan kurva: x

y

∆

∆

Kekontinyuan


Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu,

akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan

kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita

tuliskan sebagai

yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

)()(lim cfxfcx

=→

Contoh-1.1.


y = 1/x

y = 1/x

y

x

-1

0

1

-10 -5 0 5 10

Tak terdefinisikan di x = 0

y

x

y = u(x)1

00

Terdefinisikan di x = 0

Simetri


1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka

kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,

kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].


Contoh-1.2.

-6

-3

0

3

6

-6 -3 0 3 6

y = 0,3x2

y = 0,05x3

y2 + x2 = 9

x

y

tidak berubah jika x dan y diganti

dengan −x dan −y

tidak berubah bila x diganti −x

tidak berubah jika:

x diganti −xx dan y diganti dengan −x dan −yx dan y dipertukarkan

y diganti dengan −y


Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit

8

1

1

22

2

22

=++

=

=

=+

yxyx

xy

xy

yx

)(xfy =Pernyataan fungsi bentuk eksplisit:

Pernyataan bentuk

implisit

Walaupun tidak dinyatakan secara

eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x

akan memberikan satu atau lebih nilai

peubah-tak-bebas y

dapat diubah ke bentuk eksplisit

/1

1 2

xy

xy

xy

=

=

−=

0)8( 22 =−++ xxyy

2

)8(4

2

22 −−±

−=

xxxy

-8

-4

0

4

8

-4 -2 0 2 4x

y

Fungsi Bernilai Tunggal


Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya

memiliki satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

0

4

8

-1 0 1 2 3 4x

y25,0 xy =

0

0,8

1,6

0 1 2x

y

xy +=

-1,6

-0,8

00 1 2

x

y xy −=

-0,8

0

0,8

0 1 2 3 4x

y xy 10log=

0

2

4

-4 -2 0 2 4x

y

2xxy ==

Contoh-1.3.


Fungsi Bernilai Banyak

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3

x

y

xy ±=

Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki

lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas

untuk setiap nilai peubah-bebas

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3

x

y

xy /12 = xy /1±=

Contoh-1.3.

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas


Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:

),,,,( vuzyxfw =

Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak,

misalnya

2222 zyx ++=ρ

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

222 zyx +++=ρ


Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan

dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem

koordinat polar.

Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak

titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang

terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ

Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar

θ= sinry

θ= cosrx

22 yxr +=

)/(tan 1 xy−=θ x

P

θ

r

y

rsinθ

rcosθ

Fungsi Linier

Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.

ky =

x

-4

0

5

-5 0 5

y y = 4

5.3−=y

Contoh-2.1.

Fungsi Linier

Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]

mxy =

kemiringan garis lurus

∆

∆==

" delta"

" delta" :dibaca , kemiringan

x

y

x

ym

ΔΔΔΔxΔΔΔΔy

0

1

2

-1

0 1 2 3 4 x

y

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

y = 0,5x

y = x

y = 2x

y = -1,5 x

m > 0

m < 0

Contoh-2.2.

garis lurus melalui [0,0]

Fungsi Linier

Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus

y = 2x

y − 2 = 2x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4x

y

mxby =− )(

y = 2x

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

y =2(x–1)

)( axmy −=

kurva tergeser

sebesar b ke arah

sumbu-y positif

kurva tergeser

sebesar a ke arah

sumbu-x positif

titik potong

dengan sumbu-y

titik potong

dengan sumbu-x

bmxy +=

amxy ′+=

Bentuk umum persamaan garis lurus

pergeseran ke

arah sumbu-y

pergeseran ke

arah sumbu-x

Fungsi Linier

Contoh-2.3.

Persamaan garis: xy 24 −=−

202

40

12

12 −=−−

=−

−=

∆∆

=xx

yy

x

ym

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

memotong sumbu y di 4

memotong sumbu x di 2

atau )2(2 −−= xy42 +−= xy

Fungsi Linier

12

12

xx

yym

−

−=

xxx

yymxy

11

12

−

−==

Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik

[x1,y1]

[x2,y2]

-4

-2

0

2

4

6

8

-1 0 1 3x

y

2

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

[1,4]

[3,8] 213

48

12

12 =−−

=−

−=

xx

yym

persamaan garis: xby 2=− atau )(2 axy −=

24 =−b atau )3(28 a−=

2=b atau 1−=a

xy 22 =− atau )1(2 += xy

22 += xy

Contoh-2.4.

Fungsi Linier

Perpotongan Garis Lurus

111 bxay += 222 bxay +=

2211 bxabxa +=+

2P2P1P1P

21

12P

atau

bxaybxay

aa

bbx

+=+=⇒

−

−=⇒

Contoh-2.5.84dan 32 21 −=+= xyxy

5,5843221 =→−=+→= xxxyy

1435,5232 =+×=+= xy

Koordinat titik potong P harus memenuhi

persamaan y1 maupun y2.

Dua garis:

Koordinat titik potong P harus memenuhi:

dan

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

y

x

y2

y1

P

xP

yP

Titik potong: 14] P[(5,5),

Fungsi Linier

Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata

Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan

memperoleh percepatan a

maF = atvtv += 0)(

]]]]anoda katoda

l

Contoh-2.6.

Contoh-2.7.

e

e

m

Fa =

Beda tegangan antara

anoda dan katoda dalam

tabung katoda adalah V

Kuat medan listrik:l

VE =

Gaya pada elektron:l

eVeEFe ==

Percepatan pada elektron:

gaya fungsi linier dari V

percepatan fungsi linier dari Fe

Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

Fungsi Linier

Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada

posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas

elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari

panjang tarikan.

Contoh-2.8.

kxF =

Contoh-2.9.Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik

sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan

tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.

R

VGVi ==

RG

1=

A

lR ρ=

RA

V

A

ij ==

gaya panjang tarikan

konstanta pegas

konduktansi resistansi

kerapatan arusresistivitas

G dan R

adalah tetapan

Luas penampang konduktor

panjang

konduktor

Fungsi Linier

Contoh-2.10.

xa x

Ca

Cx

materi

masuk di xa

materi

keluar di x

∆x

Peristiwa difusi mencapai

keadaan mantap,jika

konsentrasi materi Ca dan Cx

bernilai konstan

Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa

fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

dx

dCDJ x −=

gradien

konsentrasi

koefisien difusi

Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier

dari gradien konsentrasi

Fluksi materi yang

berdifusi ke arah x

Gabungan Fungsi Linier

Fungsi Anak Tangga

)( axkuy −=

0untuk 0

0untuk 1)(

<=

≥=

x

xxu

)(xkuy = muncul pada x = 0

amplitudo

Fungsi ini memiliki

nilai yang terdefinisi

di x = 0

Fungsi anak tangga satuan

Fungsi anak tangga secara umum

Contoh-3.1.

Fungsi anak tangga tergeser

-4

0

5

0 5x

y)(5,3 xuy =

)(5,2 xuy −= -4

0

5

0 5x

y

1

)1(5,3 −= xuy

Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif


Fungsi Ramp )(xaxuy =

0

1

2

3

4

5

6

-1 0 1 2 3 4x

y y1 = xu(x)y2 = 2xu(x)

y3 = 1,5(x-2)u(x-2)

Fungsi ramp tergeser: )()( gxugxay −−=

Fungsi ramp satuan : )(xxuy =

Contoh-3.2.

kemiringan a = 1

kemiringan

Fungsi ini baru muncul pada x = 0

karena ada faktor u(x) yang

didefinisikan muncul pada x = 0(fungsi anak tangga)


Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu

nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1

)()( 21 xxauxxauy −−−= :persamaan

12 xx −:pulsalebar

{ })2()1(2 −−−= xuxu

y1=2u(x-1)

y2 = −2u(x−2)

y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)

lebar pulsa

-2

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3 4x

perioda

x

y

Deretan Pulsa:

Contoh-3.3.


Perkalian Ramp dan Pulsa

{ } )()()( 21 xxuxxuAxmxuy −−−×=

{ })()( 21 xxuxxumAxy −−−=

ramp pulsa

hanya mempunyai nilai

dalam selang lebarnya

y1=2xu(x)

y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}

y3 = y1 y2

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5x

y

Contoh-3.4.

y2 = {u(x)-u(x-b)}

y1 = mxu(x)

y3 = y1 y2

= mx{u(x)-u(x-b)}

0

2

4

6

8

10

-1 0 1 2 3 4 5

yy

xb

maka y jugaakan bernilai

dalam selang

lebar pulsa saja


Gabungan Fungsi Ramp

.......)()()()()( 2211 +−−+−−+= xxuxxcxxuxxbxaxuy

Contoh-3.4.

y1= 2xu(x)

y2= −2(x−2)u(x−2)

y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)y

-8

-4

0

4

8

12

0 1 2 3 4 5x

Kemiringan yang berlawanan

membuat y3 bernilai konstan

mulai dari x tertentu

y1=2xu(x)

y2= −4(x−2)u(x−2)

y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

y2 lebih cepat menurun dari y1 maka

y3 menurun mulai dari x tertentu


y1= 2xu(x)

y2= −4(x-2)u(x-2)

y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5x

y

Pulsa ini membuat y3 hanya

bernilai dalam selang 1≤ x ≤ 3

Mononom

Mononom

Mononom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn

Mononom Pangkat Dua:2kxy =

y = x2

y = 3x2y = 5x2y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3x-100

-80

-60

-40

-20

0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

x

210xy −=

22xy −=

Contoh-4.1.

y memiliki nilai maksimum

Karena x2 ≥ 0,maka

jika k > 0 → y > 0

jika k < 0 → y < 0

y memiliki nilai minimum

y1 = 10x2

y2 = 10(x−2)2

y3 = 10(x−2)2 + 30

Pergeseran kurva mononom pangkat dua

0

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y

Pergeseran ke arah

sumbu-x positif

Pergeseran ke arah

sumbu-y positif

Mononom

Mononom Pangkat Genap pada umumnya

y2 = 2x4

y3 = 2x6

y1 = 2x2

0

1

2

3y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

0

2

4

6

8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x6

y = 3x4

y = 6x2y

x

Pada mononom berpangkat genap,

makin besar pangkat makin melandai

kurva di sekitar titik puncak

Jika kurva-kurva ini memiliki

nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Koordinat titik potong antara kurva

( ) 1223dan 2

236

3dan 6 :Kurva

4

242

42

===→

=→=

==

yx

xxx

xyxy

( ) 813dan 3

33

3dan :Kurva

6

246

46

===→

=→=

==

yx

xxx

xyxy

Contoh-4.2.

Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y

Mononom

Mononom Pangkat Ganjil

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = 2x y = 2x5

y = 2x3

y

x

Pangkat ganjil terendah: linier

Jika kurva-kurva ini memiliki

nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Makin tinggi pangkat mononom,

makin landai kurva di sekitar titik

[0,0] yaitu titik yang merupakan

titik belok

Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

Mononom

Mononom Pangkat Tiga

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

x

33xy −=32xy =

Mononom pangkat tiga

Simetris terhadap [0,0]

y = 10(x−2)3

y = 10(x−2)3 + 100

-600

-400

-200

0

200

400

600

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x3y

Pergeseran mononom

pangkat tiga ke arah

sumbu-x positif

Pergeseran ke arah

sumbu-y positif

Mononom

Polinom

Polinom Pangkat Dua

Polinom, Pangkat Dua

cbxaxy ++= 2

y

y1=2x2

x

y3=13

y2=15x

-150

0

150

-10 0 10

13152 2 ++= xxy

y1=2x2

y4 = 2x2+15x

x

y

y2=15x-150

0

150

-10 0

x = −15/2

10

Kurva masing-masing

komponen (mononom)

dari polinom:

Penjumlahan mononom

pertama dan ke-dua: xxy 152 2 +=

Perpotongan dengan sumbu-x

2

151520 2 −=⇒+= xxx

y4 = 2x2+15x

−15/2

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri

−15/4

10

y4 = 2x2+15x

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13

10

Sumbu simetri dari xxy 152 2 +=

memotong sumbu-x di: 4

15−=x

Penambahan komponen y3 = 13

memberikan:

xxy 152 2 +=

13152 2 ++= xxy

Koordinat titik puncak:

125,15134

1515

4

152

75,34/15

2

−=+

−+

−=

=−=

y

x


y = ax2 +bx +c

x2

y

x

y = ax2

-50

0

0

−−

a

acb

4

42

Polinom Pangkat Dua secara umum

x1

Sumbu simetri:

a

bx

2−=

a

acb

a

bxa

ca

b

a

bxa

cxa

bxay

4

4

2

42

22

22

2

−−

+=

+−

+=

+

+=

Pergeseran ke

arah kiri sumbu-x

Pergeseran ke arah

negatif sumbu-y

−−

a

acb

4

42


Penjumlahan: y3 = y1 + y2

-2000

0

2000

-10 0 10x

y

y1

y2

20080194 233 −−+= xxxy

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga +

polinom pangkat dua

dcxbxaxy +++= 23

Mononom pangkat tiga (y1)

Dan

Polinom pangkat dua (y2)

-2000

0

2000

-10 0 10

y

x

y1= 4x3

2008019 22 −−= xxy

y3 memotong sumbu-x di 3 titik

Hal ini tidak selalu terjadi

Tergantung dari nilai koefisien y1

Polinom, Pangkat Tiga

2000

-10 10

y2

y1

y3 = y1 + y2

-2000

Kasus: a kurang positif

Penurunan kurva y1 di daerah x

negatif tidak terlalu tajam

Kurva terlihat hanya memotong

sumbu-x di 2 titik

Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x

negatif

-2000

2000

-10 15

y1

y2

y3 = y1+y2

Kasus: a terlalu positif

Penurunan y1 di daerah negatif

sangat tajam

Tak ada titik potong dengan sumbu

di daerah x negatif

Hanya ada satu titik potong di x

positif

31 axy =

dcxbxaxy +++= 23

31 axy =


y3 = y1 + y2

y1

y2

-2000

0-10 0 15

2000

dcxbxaxy +++= 23

y3 = y1 + y2

-2000

0

2000

-10 0 15

kxaxy −== 31

dcxbxy ++= 22

a < 0

Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di

tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan

yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan

dengan sumbu-x di satu tempat


• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −xmaka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

• jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

• jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −xdan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Simetri

Bangun Geometris, Karakteristik Umum

Nilai Peubah

Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y

dan x yang kita perhatikan

Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar,

karena kita belum membahas bilangan kompleks

Contoh-5.1.122 =+ xy

21 xy −±=

Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0

Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki

nilai juga terbatas pada rentang

11 ≤≤− x

11 ≤≤− y


Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat

Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan

memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y

diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian

tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x

maupun sumbu-y

Contoh-5.2.

122 =+ xy

Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0].

Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]

xy = 1

Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y


Asimptot

Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin

menyentuhnya, disebut asimptot

Contoh-5.3.

10)( 222 +=− xxxy)1(

102

−

+±=

xx

xy

tidak boleh < 0

agar x(x−1) > 0

haruslah x < 0 atau x > 1

Tidak ada bagian kurva yang

berada antara x = 0 dan x = 1.

Garis vertikal x = 0 dan x = 1

adalah asimptot dari kurva-4

0

4

-4 0 4

y

x


Jarak Antara Dua Titik

Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

22 )()(PQ qpqp yyxx −+−=

Bangun Geometris, jarak antara dua titik

Contoh-5.4.

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

[1,4]

[3,8]

20)48()13(PQ 22 =−+−=

Parabola

Bangun Geometris, Parabola

Bentuk kurva 2kxy = disebut parabola

[0,0]

y

x

y=kx2

P[x,y]

Q[0,p]

R[x,−p]

P terletak pada kurva

Q terletak di sumbu-y

y = −p garis sejajar sumbu-x

R terletak pada garis y

ada suatu nilai k sedemikian

rupa sehingga PQ = PR

Q disebut titik fokus parabola

Garis y disebut direktrik

Titik puncak parabola berada di tengah

antara titik fokus dan direktriknya

xppyy

xpy

xp

222

22

22

2

)(

)PR(PQ

++−=

+−=

+−= py )(PR +=

pyxppyy +=++− 222 2p

xy

4

2

=p

k4

1=

kp

4

1=

2

4

1x

py =

Bangun Geometris, Parabola

Contoh-5.4.

Parabola 25,0 xy =

dapat kita tuliskan

22

5,04

1

2

1xxy

×==

Direktrik: 5,0−=−= py

Titik fokus: Q[0,(0,5)]

Bangun Geometris, Lingkaran

Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu

yang disebut titik pusat lingkaran

Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

22 yxr += 222 ryx =+

persamaan lingkaran

berjari-jari r

berpusat di [0.0]

222 )()( rbyax =−+−Pergeseran titikpusat lingkaran

sejauh a kearah sumbu-x

dan sejauh b ke arah sumbu-y

Persamaan umum lingkaran

berjari-jari r berpusat di (a,b)

-1

0,5

1

-1 [0,0]

0,5

1 x

y

r = 1

122 =+ yx

r

222 )5,0()5,0( ryx =−+−

Contoh-5.5.

Bangun Geometris, Lingkaran

Elips

Bangun Geometris, Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap

dua titik tertentu adalah konstan

Kedua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

y

22)(XP ycx ++=22)(XQ ycx +−=

( )

aycxycx

a

2)()(

misalkan) kita 2XQXP

2222 =+−+++⇒

=+

22)( ycxxa

ca +−=−

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++

2222 )(2)( ycxaycx +−−=++

2222

2

22 22 yccxxx

a

ccxa ++−=+− 1

22

2

2

2

=−

+ca

y

a

x

kwadratkan

kwadratkan

sederhanakan

22 2 2XQXP :PXQ segitiga di caca >→>=+

12

2

2

2

=+b

y

a

x

222 cab −=

12

2

2

2

=+b

y

a

x

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

y

[−a,0] [a,0]

[0,b]

[0,−b]

sumbu panjang = 2a

sumbu pendek = 2b

Elips tergeser

1)()(

2

2

2

2

=−

+−

b

qy

a

px122 =→= aa

5,012 =→= bb1

-1

0-1 0 1 2x

y

15,0

)25,0(

1

)5,0(

2

2

2

2

=−

+− yx

5,0=p

25,0=q

Bangun Geometris, Elips

HiperbolaHiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih

jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

y

x

22)(XP ycx ++=22)(XQ ycx +−=

aycxycx

XQXP

2)()( 2222 =+−−++

=−

2222 )(2)( ycxaycx +−+=++

22)()/( ycxaxac +−=−

122

2

2

2

=−

−ac

y

a

x

Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ

→ 2c < 2a → c2 − a2 = b2

12

2

2

2

=−b

y

a

x

kwadratkan dan sederhanakankwadratkan

persamaan hiperbola

Bangun Geometris, Hiperbola

12

2

2

2

=−b

y

a

x

+∞

−∞

X(x,y)

-c c

y

x

[-a,0] [a,0]

Kurva tidak memotong sumbu-y

Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a

222 acb −=

Bangun Geometris, Hiperbola

Kurva Berderajat Dua

Bangun Geometris, Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk

khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

Persamaan parabola: pEAFDCB 4 ;1 ;0 −======

Lingkaran: ;1 ;1 ;0 ===== CAEDB F = −1

Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang

telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita

bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat

dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

Bangun Geometris, Kurva Berderajat Dua

Perputaran Sumbu Koordinat

Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x

P[-a,-a]

Q[a,a]

y

x

aayaxayax 2)()()()( 2222 =−+−−+++

22 )()( ayaxayx −+−=−+

22 axy =

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah

persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris

terhadap garis y = x,

2222 )()(2)()( ayaxaayax −+−+=+++

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri

yang terputar 45o berlawanan dengan arah

perputaran jarum jam, dibandingkan dengan

sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu

sumbu-x. -5

0

5

-5 0 x

y

Fungsi Trigonometri, Pengertian-Pengertian

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita

gambarkan lingkaran-satuan

Fungsi sinus

PQPQ

sin ==θr

Fungsi Cosinus

OQOQ

cos ==θr

Fungsi Tangent

θ

θ==θ

cos

sin

OQ

PQtan

θ−=−

=′

=θ− tanOQ

PQ

OQ

QP)tan(

Fungsi Cotangent

θ

θ==θ

sin

cos

PQ

OQcot

θ−=−

=′

=θ− cotPQ

OQ

QP

OQ)cot(

Fungsi Secan

Fungsi Cosecan

OQcos

1sec

r=

θ=θ

PQsin

1csc

r=

θ=θ

O

P

Q

θ

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

r = 1

P’

-θ

θ+θ= 22 cossin1

Fungsi Trigonometri, Relasi-Relasi

Relasi-Relasi

sinα

α

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

β

cosα

cosα cosβ

cosα sinβ

β

sinα sinβ

sinα cosβ

βα+βα=β+α sincoscossin)sin(

βα+βα=β−α

βα−βα=β−α

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

βα−βα=β+α sinsincoscos)cos(

Karena

β−=β− sin)sin(

β=β− cos)cos(

Fungsi Trigonometri, Relasi-Relasi

Contoh-6.1:

αα=αα+αα=α cossin2sincoscossin)2sin(

α−α=αα−αα=α 22 sincossinsincoscos)2cos(

βα−βα=β−α

βα+βα=β+α

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

2

)sin()sin(cossin

β−α+β+α=βα

α+α= 22 sincos1

α=+α 2cos21)2cos(

2

)cos()cos(coscos

β−α+β+α=βα


βα+βα=β−α sinsincoscos)cos(

2

)cos()cos(coscos

β−α+β+α−=βα


βα+βα=β−α sinsincoscos)cos(

1cos2)2cos( 2 −α=α

α−=−α 2sin21)2cos( α−=α 2sin21)2cos(

Fungsi Trigonometri, Normal

Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

perioda

-1

0

1

0x

y

2ππ−πx

y

-1

0

1

0−π π 2π−2π

perioda

)2/cos()sin( π−== xxy

pergeseran fungsi cosinus sejauh

π/2 ke arah sumbu-x positifContoh:

oooo 34cos)9056cos(56sin =−=

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3π/4 0-π/2 π/4 π/2 3π/4-π/4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0-3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4

Fungsi Tangent

Fungsi Cotangent

θ=

θ

θ=θ

cot

1

cos

sintan

θ=

θ

θ=θ

tan

1

sin

coscot

asimptot

Rentang: -π/4 < tanθ < π/4

π/4 < tanθ < 3π/4

dst.

Lebar rentang: π/2

Rentang: 0 < tanθ < π/2

-π/2 < tanθ < 0

dst.

Lebar rentang: π/2


Fungsi Secan

Fungsi Cosecan

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

)cos(

1)sec(

xxy ==

)sin(

1)csc(

xxy ==

Rentang: -π/2 < tanθ < π/2

π/2 < tanθ < 3π/2

dst.

Lebar rentang: π

Rentang: 0 < tanθ < π-π< tanθ < 0

dst.

Lebar rentang: π

asimptot


Fungsi Trigonometri, Inversi

Sinus Inversi

x

xy

1sin

atau arcsin

−=

=

x

y

-10

10

−π

π

2π

−2π

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-1 -0,5 0 0,5 1x

y

Kurva lengkap

Kurva nilai utama

-π/2 < sin-1x <π/2

-1 < x < 1

yx

1

21 x−

xy 1sin−=

2

2

1

tan

1cos

x

xy

xy

−=

−=

Sudut y yang sinusnya = x

xy =sin

Cosinus Inversi

x

y

-10

10

−π

π

0

0,25π

0,5π

0,75π

1π

-1 -0,5 0 0,5 1x

y

Kurva lengkap

Kurva nilai utama

0 < cos-1x < π

-1 < x < 1

xy 1cos−=

y

x

121 x−

xy 1cos−=

x

xy

xy

2

2

1tan

1sin

−=

−=

yx cos=


Tangent Inversi xy 1tan−=

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1,5π

-π

-0,5π

0

0,5π

π

1,5π

y

x

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-10 -5 0 5 10x

y

2tan

2

1 π<<

π− − xKurva lengkap

Kurva nilai utama

yx tan=

yx

1

21 x+

xy 1tan−=

2

2

1

1cos

1

sin

x

y

x

xy

+=

+=


Cotangent inversi

xy 1cot−=

dengan nilai utama

π<< − x1cot0

0

0,5π

1π

-10 -5 0 5 10

y

x

π<< − x1cot0

Kurva nilai utama

yx cot=

y

x

1

21 x+

xy 1tan−=

2

2

1

cos

1

1sin

x

xy

x

y

+=

+=


Secan Inversi

xxy

1cossec 11 −− ==

dengan nilai utama

π≤≤ − x1sec0

0

0,25π

0,5π

0,75π

π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

π<< − x1sec0

Kurva nilai utama

yx sec=

y

x

1

21 x+

xy 1sec−=

2

2

1tan

1cos

1sin

xy

xy

x

xy

+=

=

+=


Cosecan Inversix

xy1

sincsc 11 −− ==

2csc

2

1 π≤≤

π− − x

y

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Kurva nilai utama

dengan nilai utama

2csc

2

1 π≤≤

π− − x

yx csc=

y

x

1

21 x+

xy 1csc−=

2

2

1

1tan

1cos

1sin

x

y

x

xy

xy

+=

+=

=


Gabungan Fungsi Sinus

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan

fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio

pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb

Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan

waktu, t, sebagai peubah bebas

Tiga besaran karakteristik fungsi sinus

)2sin(

)sin(

0 θ+π=

θ+=

tfA

xAy

sudut fasa

frekuensi siklusamplitudo

Selain frekuensi siklus, f0, kita

mengenal juga frekuensi sudut,

ω0, dengan hubungan

2 00 fπ=ω


Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:

00

1

Tf =

Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka

gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi

periodik walaupun tidak berbentuk sinus.

T0

-A

0

A

0 t

y

Ts

T0

-A

0

A

0 t

y

Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan

)()( 0 tfTtf =−

perioda


Contoh-6.1.

y

y = 3 cos 2f0t-4

0

4

-5 15 t

y

y = 1 + 3 cos 2f0t-4

0

4

-5 15 t

))2(2cos(22cos31 00 tftfy ππ −−−−++++====

y

t

-4

0

4

-5 15

)4/)2(2cos(22cos31 00 πππ ++++−−−−++++==== tftfy

-4

1

-5 15

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh

besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya

Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa

menentukan bentuk gelombang gabungan


Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan

juga oleh banyak komponen sinus yang terlibat

Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam

pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa

Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental

Di atas komponen fundamental adalah

Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst.

Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi

tetapan yang disebut komponen searah


a) b)

d)

c)

e)

a). sinus dasar (fundamental).

b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.

c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.

d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.

e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21.

Contoh-6.2.

Gabungan fungsi sinus membentuk gelombang persegi


Spektrum

Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik

yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang

non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus

Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.

Ada dua spektrum yaitu

Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa

Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya.

Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang

amplitudonya sudah dapat diabaikan.

Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental

yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah

Lebar Pita

Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi

yang merupakan selisih fmaks dan fmin

Contoh-6.3.


)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 π+π+π−π+π+= tftftfy

π−π/20−Sudut fasa

7,5153010Amplitudo

4 f02 f0f00Frekuensi

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Frekuensi [×f0]

Am

plit

ud

o

0

π/2

2π

0 1 2 3 4 5

Sudu

tF

asa

Frekuensi [×f0]

−π/2

−2π

Spektrum Sudut-fasaSpektrum Amplitudo


Deret Fourier

Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal

tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier

[ ]∑ π+π+= )2sin()2cos()( 000 tnfbtnfaatf nn

fungsi periodik

Koefisien Fourier

Contoh-6.4.

1 0 ; 2/

ganjil 0 genap; 1

/2

/

1

2

0

≠==

=−

π=

π=

nbAb

nann

Aa

Aa

n

nn

T0

t

y

Contoh-6.6.

Contoh-6.5.


T0

A

t

y

nb

nann

Aa

Aa

n

nn

semuauntuk 0

ganjil 0 genap; 1

/4

/2

2

0

=

=−

π=

π=

nn

Ab

na

Aa

n

n

semuauntuk

semuauntuk 0

2/0

π−=

=

=

T0

A

t

y

Bilangan Natural

Fungsi Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis

bilangan e

Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyata

dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang

koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284

1ln =e

aeaea == lnln


Kurva y = ln x


Definisi ln x

xt

ln x1/t

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y

luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x

yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x

∫=x

dtt

x1

1ln

e = 2,7182818284L..

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 1 2 3 4x

y

e

y = ln x

1ln =e

Sifat-Sifat

1 untuk negatif bernilai ln

ln

1ln

lnln

;lnlnln

lnlnln

<

=

=

=

−=

+=

xx

xe

e

xnx

axa

x

xaax

x

n


Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial

Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma

yx ln=

Fungsi Eksponensial

xey =

Fungsi eksponensial yang penting adalah fungsi eksponensial dengan

eksponen negatif

0 ; )( ≥= − xxuey ax

Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0

Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan

dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap

muncul pada t = 0

Kurva Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4x

ye− x

e−2x

Makin negatif eksponen fungsi

ini, makin cepat ia menurun

mendekati sumbu-x

axey −=

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36%

dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a

Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x,

nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya

Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai

nol pada x = 5/a

Fungsi Eksponensial

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A

dengan waktu sebagai peubah bebas adalah

)()( / tuAetuAey tat τ−− ==

yang dituliskan dengan singkatτ−− == /tat AeAey

τ = 1/a disebut konstanta waktu

makin kecil τ, makin cepat

fungsi eksponensial menurun

Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A

fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ

Gabungan Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

A

t/τ

1/1

τtAey

−−−−====2/

2τt

Aey−−−−====

(((( ))))21 // ττ tteeAy

−−−−−−−− −−−−====

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik

Definisi

Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk

fungsi hiperbolik, seperti

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2sinh ;

2cosh

xxxx eex

eex

−− −=

+=

Untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan

14

4

4

2

4

2 sinhcosh

222222 ==

+−−

++=−

−− xxxx eeeexx

sedangkan untuk sin x dan cos x terdapat hubungan:

1sincos 22 =+ xx

+∞

−∞

v

v = 0

P[x,y]

y = sinh v

x = cosh v

-4

-2

0

2

4

0 2 4

Fungsi hiperbolik yang lain

vv

vv

vv

vv

ee

ee

v

vv

ee

ee

v

vv

−

−

−

−

−

+==

+

−==

sinh

coshcoth ;

cosh

sinhtanh

vvvv eevv

eevv

−− −==

+==

2

sinh

1csch ;

2

cosh

1sech

Fungsi Hiperbolik

Fungsi Hiperbolik

Beberapa Identitas

1sinhcosh 22 =− vv

vv 22 sechtanh1 =−

vv 22 csch1coth =−

uevv =+ sinhcosh

uevv −=− sinhcosh

Fungsi Hiperbolik

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik

xe2

1

xe −−2

1

xy sinh=

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy sech =

xy cosh= y

x

xy csch =

xy sinh=

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy csch =

xy coth=

xy coth=

xy tanh=

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy sinh=

xy cosh= y

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xe2

1

Koordinat Polar

Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

θ= sinP ry

θ= cosP rx

P[r,θ]

x

y

θ[0,0]

r

xP

yP

Koordinat Polar

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b]

dalam koordinat sudut-siku

222 )()( cbyax =−+−

dalam koordinat polar

222 )sin()cos( cbrar =−θ+−θ

[0,0]

a

x

y

P[r,θ]

θ

r

b

[0,0]

a

x

y P[r,θ]

θ

r

Koordinat Polar

Contoh-9.1.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1

y

x

r

θ

P[r,θ]

cardioid

)cos1(2 θ−=r

θ

y

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

r

P[r,θ]

θ= cos162r

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 0 1 2 3x

y

θ = π θ = 2πθ = 3π θ = 4π

r

θ

P[r,θ]y = 2

2=θr

Persamaan Garis Lurus

Koordinat Polar

r

θO

y

x

l1

a

P[r,θ]

arl =θcos :1

r

θO

y

x

l2

b

P[r,θ]

brl =θsin :2

α

r

β

l3

aA

O

y

x

θ

P[r,θ]

arl =θ−β )cos( :3

r

β

l4a

O

y

x

θ

P[r,θ]

arl =β−θ )cos( :4

Koordinat Polar

Parabola, Elips, Hiperbola

θ−=

cos1

krParabola:

Eksentrisitas

θ+==

cosPD

PF

rk

resEksentrisitas:

direktriks

F

D

θr

k

xA B

y

P[r,θ]titik fokus

Dengan pengertian eksentrisitas ini

kita dapat membahas sekaligus

parabola, elips, dan hiperbola.

Elips:

1=se

θ−=

cos1 s

s

e

ker

θ+=θ+= cos)cos( rekerker sss

1<se θ−=

θ−×

=cos2cos5,01

5,0 kkr (misal es = 0,5)

Hiperbola: 1>se θ−

×=

cos21

2 kr (misal es = 2)

Lemniskat dan Oval Cassini

Koordinat Polar

F1[a,π] F2[a,0]

P[r,θ]

r

θ θ = 0θ = π

θ = π/2

Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang

merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali

jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan

( ) ( ) ( )θ++=

θ++θ=

cos2

cossinPF

22

2221

arar

rar ( ) ( ) ( )θ−+=

θ−+θ=

cos2

cossinPF

22

2222

arar

rar

221 PFPF b=×Misalkan

( ) ( ))cos21(2

cos2cos2

22244

22224

θ−++=

θ−+×θ++=

raar

ararararb

θ−+= 2cos2 2244 raar

)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=

Buat b dan a berrelasi

b = ka θ−+= 2cos2 224444 raarak )1(2cos20 44224 karar −+θ−=

Koordinat Polar

Lemniskat )1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=

Kondisi khusus: k = 1

θ= 2cos2 22 ar

θ = 0θ = π

θ = π/2

-0,6

-0,2

0

0,2

0,6

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1

θ = 0θ = π

θ = π/2

-1

-0,5

0

0,5

1

-2 -1 0 1 2

Kurva

dengan

a = 1

Oval Cassini

Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8

θ = 0θ = π

θ = π/2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1 0 1 2

Koordinat Polar

)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=

Courseware

Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham

fungsi dan grafik - eecafedotnet.files.wordpress.com · contoh: panjang batang ... domain...

Documents