funções elementares do cálculo7 logaritmos naturais uma escolha conveniente para a base do...
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Funções Elementares
do Cálculo
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus Joinville
Bacharelado Interdisciplinar em Mobilidade
Prof. Dr. Milton Procópio de Borba
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Conteúdos da Aula
� Função exponencial;
� Função logarítmica;
� Funções trigonométricas;
� Funções trigonométricas inversas;
� Funções hiperbólicas;
� Funções hiperbólicas inversas.
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Função exponencial� Chamamos de função exponencial de base � a
função � de � em � que associa a cada real x o
número real ��, sendo � um número real tal que
0 < � ≠ 1,
ou � ∶ �→��→� = �(�) = ��
� Domínio⇒ ���(�) = �
� Imagem⇒ ��(�) = (0, +∞)
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GRÁFICO:
PROPRIEDADES:
Com relação a função � � = ��, podemos afirmar:
(i) A curva que a representa está toda acima do eixo das
abscissas, pois � = �� > 0, para todo � ∈ �.
(ii) Corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
(iii) � � = �� é crescente se � > 1e decrescente se
0 < � < 1.
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Função logarítmica� Dado um número real � , tal que 0 < � ≠ 1, chamamos de
função logarítmica de base � a função de 0,+∞ em �
que se associa a cada �o número �����, isto é,
� ∶ 0, +∞ →�
�→� = �����
� Domínio⇒ ��� � = 0,+∞
� Imagem⇒ ��(�) = �
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GRÁFICO:
PROPRIEDADES:Com relação ao gráfico da função � � = �����(0 < � ≠ 1) ,
podemos afirmar:
(i) Está todo do lado direito do eixo dos y.
(ii) Corta o eixo das abscissas no ponto (1,0).
(iii) � � = ����� é crescente se � > 1e decrescente se 0 < � < 1.
(iv) É simétrico ao gráfico da função g � = �� em relação a reta
� = �(funçõesinversas)
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Logaritmos NaturaisUma escolha conveniente para a base do logaritmo é a base (.
O logaritmo na base ( = 2,7182818284590452353602874. . .
(número de Neper) é chamado logaritmo natural e tem a
seguinte notação:
���(� = ln�
definido por: ���(� = ln � = � ⇔ (3 = �
Exemplo: Encontre x se ln � = 5.
Usando a definição temos
ln � = 5 ⇒ (5 = �
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Funções trigonométricas
� Função seno
� Função cosseno
� Função tangente
� Função cotangente
� Função secante
� Função cossecante
senx
cos x
tagx
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Função seno� Função seno é a função � de � em � que a cada � ∈
�faz corresponder o número real � = 6(7�, isto é,
� ∶ �→�
�→� = 6(7�
� Domínio⇒ ���(�) = �
� Imagem⇒ ��(�) = [−1, 1]
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Função seno – Gráfico:
“A função seno é periódica e seu período é 2ππππ”
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Função cosseno
� Função cosseno é a função � de � em � que a cada
� ∈ �faz corresponder o número real � = cos�,
isto é,
� ∶ �→�
�→� = cos�
� Domínio⇒ ���(�) = �
� Imagem⇒ ��(�) = [−1, 1]
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Função cosseno – Gráfico:
“A função cosseno é periódica e seu período é 2π”
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Função tangente, cotangente, secante e cossecante
x
xx
sen
cos cotg
:cotangente
=
⇒
xx
sen
1 cosec
:cossecante
=
⇒
0sen
:condição*
≠x
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Z},2
/{(tg) ∈+≠∈= nnxRxDom ππ
Z},/{(cotg) ∈≠∈= nnxRxDom π
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Z},/{(cosec) ∈≠∈= nnxRxDom π
Z},2
/{(sec) ∈+≠∈= nnxRxDom ππ
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Funções trigonométricas inversas
�: − =>⁄ , = >⁄ → −1,1 ,
� � = sen �
�AB: −1,1 → − =>⁄ , = >⁄ ,
�AB � = �CD sen �
�: 0, E → −1,1 ,
� � = cos �
�AB: −1,1 → 0, E ,
�AB � = �CD cos �
� = �CD cos � ⇔ � = cos �
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A função � = �CD cos �pode também ser definida pela equação:
F = GHI IJKL = M
N− GHIKOPL.
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Funções trigonométricas inversas
�: (−E2R , E 2R ) → �,
� � = S� � �AB:� → (− =>⁄ , = >⁄ )
�AB � = �CD S� �
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Funções trigonométricas inversas
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Funções trigonométricas inversas
� = �CD sec � = �CD cos(1 �R )
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Funções trigonométricas inversas
� = �CD cos(D � = �CD 6(7(1 �R )
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Funções hiperbólicas
� Seno hiperbólico:
� Cosseno hiperbólico:
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Funções hiperbólicasAplicação
A curva formada por um fio de telefone ou de luz é
representada pelo cosseno hiperbólico:
� = cosh � �⁄ , � ∈ �
CATENÁRIA
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Funções hiperbólicas
xx
xx
ee
ee
x
xx
−
−
+
−==
⇒
cosh
senh tgh
:ohiperbólic tangente
xx
xx
ee
ee
x
xx
−
−
−
+==
⇒
senh
cosh cotgh
:ohiperbólic cotangente
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Funções hiperbólicas
xxeex
x−
+==
⇒
2
cosh
1sech
:ohiperbólic secante
xxeex
x−
−==
⇒
2
senh
1cosech
:ohiperbólic cossecante
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Função Inversa do Seno Hiperbólico: a função inversa do
seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e
denotada por arg senh, é definida como segue:
Funções hiperbólicas Inversas
Temos Dom (arg senh x) = Im (arg senh x) = R
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Função Inversa do Cosseno Hiperbólico: para definirmos a
função inversa do cosseno hiperbólico, precisamos restringir
seu domínio.
�: 0, +∞ → 1,+∞ ; � � = cosh �
Temos Dom (arg cosh x) = [1, +∞) e Im (arg cosh x) = [0, +∞)
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Função Inversa da Tangente, Cotangente e Cossecante
Hiperbólica: para a definição das inversas destas funções não
necessitamos restringir seus domínios.
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Função Inversa do Secante Hiperbólica: para definirmos a
função inversa da secante hiperbólica, precisamos restringir
seu domínio.
�: 0, +∞ → (0,1]; � � = sech �
��� �C� 6(DV = 0, 1�� arg 6(DV = [0, +∞)