Fundamentos Básicosde Matemáticas

AutorProf. Martín A. Gracia

1. Introducción El material presentado en este apunte trata básicamente herramientas matemáticas necesarias para que el alumno pueda comprender sin problema alguno cualquier situación que involucre el uso de las mismas. Por lo cual este apunte será la base para muchas ramas en el ámbito de sonido y música. Permitiendo además contar con mayores recursos de cálculo y análisis al desempeñarse como operador de sonido. Los temas que se abarcaran de matemáticas y cálculo en este cuadernillo podrán ser usados en muchas áreas tales como: Acústica física, arquitectónica, musical, psicoacustica, y otras. Grabación, propagación del sonido, retardos, reberverancias, ecos, etc. Mezcla analógica y digital, cálculos de resonancias, mediciones temporales, mediciones frecuenciales y digitalización. Así como también en audio digital, Midi, síntesis y efectos. Por supuesto hay más temas y áreas que involucran las matemáticas, ya que es una ciencia abierta y que usamos cotidianamente, por lo cual los conceptos aprendidos podrán ser aplicados en cualquier situación. La complejidad del cuadernillo ira de menor a mayor y cada parte tendrá su parte teórica, sus ejemplos y sus ejercicios. Espero este apunte les sea útil y de simple lectura.

2. Números Naturales y enteros En la secundaria se estudiaron varios conjuntos numéricos a saber:

el conjunto de los números naturales N el conjunto de números enteros Z el conjunto de números racionales Q el conjunto de números reales R

A continuación se presentan cada uno de ellos junto con sus propiedades. 2.1) Números Naturales El primer conjunto se identifica intuitivamente como el conjunto con el cual se hacen conteos de objetos. Por ejemplo 10 peras, 4 remeras, etc. Este conjunto son simplemente lo números {1, 2, 3, 4, 5, …}. De ahí que se denomine Conjunto de Números Naturales, porque son aquellos números con los cuales hacemos el conteo natural de las cosas. Luego, de una manera formal, tenemos: Definición: El conjunto cuyos elementos son: 0,1,2,3,4…recibe el nombre de conjunto de los números naturales y se denota con el símbolo N ; así: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…..} 2.2) Números Enteros El segundo conjunto es el de los números enteros y se introduce como el conjunto que contiene a los números naturales y a los números negativos de estos. Estos números son {0, 1,−1, 2,−2, 3,−3,….. } Este conjunto aparece ante la necesidad de explicar situaciones en las cuales intervienen alturas, temperaturas y otros fenómenos en los cuales es necesario hablar de cantidades por encima o por debajo del valor cero. Por ejemplo uno dice hacen 4 grados bajo cero, eso matemáticamente es −4°C (menos cuatro grados centígrados bajo cero). Definición: El conjunto cuyos elementos son …,−4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,… recibe el nombre de conjunto de los números enteros y se denota con el símbolo Z, así: Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ….} Nótese que: 1) El conjunto de los números enteros no tiene ni un primer elemento ni un último elemento, por lo que decimos que es infinito, esto se representa con el símbolo: ∞ (infinito). 2) Los números naturales 0,1,2,3,4,… pertenecen al conjunto de los números enteros, de donde se tiene que: El conjunto de los números naturales es subconjunto del conjunto de los números enteros, lo que se expresa

simbólicamente así: N Z (N está contenido en Z)

Los otros grupos de números se verán más adelante, ya que no es necesario ahora. En el capítulo siguiente se dan las propiedades de los Números Enteros.

3. Propiedades de Los Números Enteros En lo que sigue se dan todas Propiedades que relacionan a los números entre sí. De hecho, el lector las encontrará familiares, ya que la mayoría fueron vistas en la escuela secundaria. 3.1) Propiedades de la Suma

i) La Suma es Conmutativa: Si a y b son enteros, entonces: a + b = b + a Ejemplo 1: 3 + 2 = 2 + 3 = 5 100 + 1 = 1 + 100 =101 –20 + 15 = 15 – 20 = –5 –1 – 7 + 10 = 10 – 1 – 7 = 2

ii) La Suma es asociativa: Si a, b y c son enteros, entonces: (a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo 2: (2 + 11) -3 = 2 + (11 – 3) = 10 100 + (1 – 1) = (100 + 1) – 1 = 100 (2 + 5) – 2 – 4 = 2 + (5 – 2 ) – 4 = 1

iii) Elemento Nulo de la Suma: Si a es entero, entonces: a + 0 = 0 + a = a

Ejemplo 3: 2 + 0 = 2 0 – 9 = – 9 – 1 + 0 = – 1

iv) Elemento opuesto: Si a es entero, entonces: a + (– a) = (– a) + a = 0

Ejemplo 4: 3 + (– 3) = 0 – 9 + 9 = 0

(– 1) + 1 = 0

v) El opuesto de la suma es la suma de los opuestos, entonces: – (a + b) = – a + (– b)

Ejemplo 5: – (2 + 3) = – 2 – 3 = – 5 – 2 + (– 3) = – 2 – 3 = – 5 – (1 + 2 + 4) = – 1 – 2 – 4 = – 7 – 1 + (– 2) + (– 4) = – 7

3.2) Propiedades de la Resta

i) Restar es Sumar el opuesto: Si a, b y c son enteros, entonces: a – b = a + (– b) Ejemplo 6: 35 – 42 = 35 + (– 42) = – 7 100 – 189 = 100 + (– 189) = – 89 –100 + 15 = 15 + (– 100) = – 85

3.3) Propiedades de la Multiplicación

i) Propiedades de los signos: Al multiplicarse dos números enteros, y según sean sus signos se cumple lo siguiente:

(+) . (+) = (+) (+) . (–) = (–) (–) . (–) = (+) (–) . (+) = (–)

Nota: cabe destacar que el punto “.” significa multiplicación y es equivalente al signo “x” (“por”) que estamos acostumbrados a usar; pero formalmente en matemáticas se utiliza el punto, y así será en este cuadernillo. Ejemplo 7: (– 8) . (– 3) = – (– (8 . 3))) = 8 . 3 = 24 (– 4) . (– 5) = 4 . 5 = 20 (– 8) . 3 = – ( 8 . 3 ) = – 24 7 . (– 3) = –( 7 . 3 ) = – 21

ii) La Multiplicación también goza de las Propiedades: Si a, b y c son enteros, entonces la multiplicación es:

Conmutativa: a . b = b . a Asociativa: ( a . b ) . c = a . ( b . c ) Distributiva respecto de la suma: a . (b + c) = a . b + a . c

Ejemplo 8: (– 8) . (– 3) = (– 3) . (– 8) = 3 . 8 = 8 . 3 = 24 ((– 2) . 2) . (– 1) = (– 2) . ( 2 . (– 1)) = (– 2) . ((– 1) . 2) = ((– 2) . (–1)) . 2 = 2 . 2 = 4 2 . ((– 3) + 4) = 2 . (– 3) + 2 . 4 = – 6 + 8 = 2

iii) El producto de cualquier número entero por cero es cero, luego: 0 . a = a . 0 = 0

Ejemplo 9: 0 . 3 = 0 (– 4) . 0 = 0 15 . 0 = 0 0 . ( – 54) = 0

iv) El producto de cualquier entero por uno es dicho entero, luego: a . 1 = 1 . a = a

Ejemplo 10: 1 . 3 = 3 (– 4) . 1 = – 4 15 . 1 = 15 1 . ( – 54) = – 54

v) El producto de cualquier entero por (– 1) es el opuesto de dicho entero, luego: a . ( – 1) = ( –1) . a = – a

Ejemplo 11: ( – 1) . 5 = – 5 (– 6) . ( – 1) = 6

1 . (– 1) = – 1

3.4) Propiedades de la División

i) Resolver la división de “a : b” significa encontrar un numero “c” que verifique que “c . b = a” Cabe destacar que, para la división se cumplen las reglas de los signos dadas en la multiplicación, teniendo en cuenta que la división es la operación opuesta de la multiplicación. De todos modos se resumen las 4 formas posibles de operaciones con signos en la siguiente propiedad de la división. También debe resaltarse que la división no siempre tiene solución entera.

ii) Propiedades de los signos: El cociente de dos números enteros según sean sus signos es:

(+) : (+) = (+) (+) : (–) = (–) (–) : (–) = (+) (–) : (+) = (–) Ejemplo 12: ( – 8) : 2 = – 4 (– 7) : ( – 2) = 3,5

15 : (– 3) = – 5 3 : 3 = 1

iii) División por 1 y –1:

a) Al dividir cualquier numero por 1, dicha división da el mismo número, esto es: a : 1 = a

b) Al dividir cualquier numero por – 1, la división da el opuesto de dicho numero, esto es: a : (– 1 ) = – a

Ejemplo 13: 8 : 1 = 8 (– 7) : 1 = – 7

8 : (– 1) = – 8 (– 7) : (– 1) = 7

iv) División por 0 (cero):

a) Al dividir Cero por cualquier numero entero distinto de cero, dicha división da Cero, esto es: 0 : a = 0 ( si a ≠ 0 )

b) No se puede dividir por Cero, la solución no existe, da infinito. a : 0 = No existe

Esto último podemos verlo fácilmente como: Si a es distinto de cero, debería cumplirse entonces que a : 0 = b, y supongamos además que encontramos dicho b. Ahora bien, debería verificarse que b . 0 = a, pero esto último no es cierto, ya que cualquier numero multiplicado por cero da cero, con lo cual b . 0 = 0, y por lo tanto dicho b no existe. Se concluye entonces que a : 0 No tiene solución. Por ello decimos que no existe.

3.5) Ejercicios Capítulo 3 En base a las propiedades vistas de los números naturales de suma, resta, multiplicación y división en esta parte el alumno deberá resolver los ejercicios propuestos en el cuadernillo de práctica sobre Operaciones Numéricas.

4. Potencias y Raíces de Números Enteros 4.1) Potenciación Como ya sabemos en lugar de escribir: 2 . 2 . 2, podemos escribir 23 o 4 . 4 . 4 . 4 seria 44, bueno, esto es lo que se denomina potencia o potenciación de un número. Formalmente decimos que dos esta elevado al cubo en el primer caso o que 4 esta elevado a al cuarta en el segundo. Con lo cual una manera abreviada de escribir el producto de factores iguales es la Potenciación. Luego: Escribimos: b . b = b2 y se lee b al cuadrado

a . a . a = a3 y se lee a al cubo c . c . c . ….. . c…. (n veces) = cn y se lee c a la n, o c a la enésima potencia.

Definición: Una expresión del tipo bn , es una expresión que se denomina Potencia o expresión de potenciación; en donde “b” es la base y “n” el exponente. Esta expresión se lee como “b” elevado a la “n” o “b” a la enésima potencia. Recordar esto para la parte de logaritmos. 4.2) Propiedades de la Potenciación

i) Cualquier número entero elevado a 1 es dicho número entero, esto es: b1 = b Ejemplo 14: 31= 3 1001 = 100

ii) Cualquier número entero elevado a 0 es 1, esto es: b0 = 1 Ejemplo 15: 30= 1 1000 = 0

iii) Cualquier número entero elevado al cuadrado es mayor o igual que 0, esto es: si b es cualquier número entero => b2 ≥ 0 ( el símbolo “=>” matemáticamente significa implica)

Ejemplo 16: 32 = 9 (–3)2 = 9 12 = 1 (–1)2 = 1

02 = 0 Notar que: para resolver la potenciación hay que tener en cuenta las reglas de los signos para multiplicación.

iv) Cualquier producto de potencias de igual base es igual a dicha base elevada a la suma de los exponentes,

esto es: an . am = an+m Ejemplo 17: 32 . 32 = 34 = 81 (–3)2 . (–3)2 = 81 22 . 23 = 25 = 32 (–2)2 . (–2)3 = (–2)5 = –32

v) Cualquier número elevado a una potencia y luego a otra, es decir una potencia de potencia es equivalente a

elevar dicho número al producto de las potencias presentes, esto es: ( an )m = an . m o (( an )m )p = an . m . p

Ejemplo 18: (22 )3= (2)6 = 64 ((–2)2 )3= (–2)6 = 64 (32 )2= (3)4 = 81 ((–3)2 )2= (–3)4 = 81

vi) La Potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación, esto es: ( a . b )m = am . bm Ejemplo 19: (2 . 3)2 = 22 . 32 = 4 . 9 = 36 (2 . 2)2 = 22 . 22 = 4 . 4 = 16 ((–2) . (–3))2 = (–2)2 . (–3)2 = 4 . 9 = 36

vii) Teniendo en cuenta la regla de los signos diremos que: Las potencias de exponente par son siempre positivas Las potencias de exponente impar de bases negativas son siempre negativas.

Ejemplo 20: (3)2 = (–3)2 = 9 22 . = (–2)2 = 4 (–2)3 = –8 (–3) 3 = –27

viii) Ya visto lo anterior falta enunciar el hecho de tener una potencia negativa, es decir una expresión del tipo:

a–b . Esto se resuelve de la siguiente forma: a–b = ퟏ풂풃

y en todos los casos se cumple esto. Esto se debe a

que cualquier número elevado a la −1 es la inversa de dicho numero (esto es 풂 ퟏ = ퟏ풂 )

Ejemplo 21: (3) = ( ) = = 2 = (−2 ) = 4

(−2) = (− ) =( )

= (−2) = (− ) =( )

= −

El hecho de trabajar con fracciones no debe asustar ya que esto se verá más en profundidad en la parte de potenciación de números racionales o fraccionarios. 4.3) Radicación de Números Enteros En la escuela secundaria vimos que la raíz cuadrada de 4 es 2, ya que 22 = 4. Si bien (–2)2 = 4 , siempre se elige la solución positiva. Luego de esto podemos introducir una definición para la radicación.

Definición: La raíz cuadrada de un número “a” es un numero “푏 >0” que verifica que 푏 2 = 푎 . Y esto se escribe 푏 = √푎

4.4) Propiedades de la Radicación

i) Los números negativos NO TIENEN raíces CUADRADAS. Ejemplo 22: (−3) = ∄ (Ø, no existe) (−8) = ∄ (Ø, no existe)

ii) La raíz cúbica de un número “a”: Es negativa si a es negativo Es positiva si a es positivo

Ejemplo 23: (−27) = −9 (−8) = −2 √27 = 3 √8 = 2

iii) El cálculo de cualquier raíz no siempre tiene solución entera. Ejemplo 24: √2 = 1,4142 … √20 = 2.7144 …

iv) La Radicación es distributiva con respecto a la multiplicación, esto es: (풂 .풃)풏 = √풂 풏 . √풃풏

Ejemplo 25: √9 .100 = √900 = 30 √9 .100 = √9.√100 = 30

( ) = √9 = 3 ( ) = √√

= 3

v) La Radicación es la inversa de la potenciación, luego para un entero positivo “풂” es: √풂풏풏 = 풂

Ejemplo 26: √3 = 3 √10 = 10 √8 = 8

vi) Dependiendo del exponente de la Raíz, y de acuerdo con todo lo anterior, para cualquier entero “a” tenemos que:

Si “n” es IMPAR, entonces: √풂풏풏 = 풂 Si “n” es PAR, entonces: √풂풏풏 = |풂|

En donde “| 푎 |” denota el valor absoluto de “푎 ”, esto quiere decir que tomamos siempre la solución positiva! A partir de ahora siempre que aparezcan los números entre barras “| |” significa que tomamos el valor absoluto del número, es decir su valor positivo. Ejemplo 27: (−9) = −9 (−8) = −8 (−3) = 3 (−10) = 10

4.5) Ejercicios Capítulo 4 En base a las propiedades vistas sobre Potenciación y Radicación se proponen los ejercicios sobre esto en el cuadernillo de práctica.

5. Números Racionales Como ya sabemos un número puede ser expresado como una fracción o mejor dicho como un cociente de otros dos números. También es conocido el hecho de que no todos los números pueden ser expresados como cociente de otros dos

números, tal es el caso del 0, el ∞, o el numero π (3,141592….). Por lo cual no todos los números serán racionales o permitirán una representación de este modo. El conjunto de números racionales se denota con la letra Q. Definición: Todo número que puede ser expresado como una fracción es un Numero Racional. Esto equivale a decir que si “a” es entero y racional, entonces “a” puede ser expresado como: 푎 = Por otro lado cabe destacar que todo número racional puede ser representado tanto en forma decimal normal (con la coma) o como una fracción de otros dos números. 5.1) Forma Decimal de los Números Racionales Como se dijo antes todo número racional puede escribirse como fracción o como número decimal. Para expresar una fracción con un número decimal, se divide el numerador por el denominar, es decir hacemos el cociente entre ambos números. Esto es, dado un número racional de la forma al efectuar el cociente se obtiene el número en forma decimal. Pero ojo, al hacer esto hay que tener en cuenta de que tipo de número decimal se trata. Dentro de los números decimales y como se estudio en la escuela primaria hay cuatro tipos a saber: los números decimales exactos, los números decimales periódicos puros, los números decimales periódicos mixtos y los números decimales con infinitas cifras. A continuación mostramos cada uno de los mismos:

i) Números Decimales Exactos: Si al efectuar el cociente de un número racional el número decimal que nos queda tiene una cantidad finita de cifras decimales después de la coma, entonces dicho número es un número decimal exacto.

Ejemplo 28: = 1,25 = 1,25

1,012 =

ii) Números Decimales Periódicos Puros: Si al efectuar el cociente de un número racional el número decimal que nos queda tiene una cifra o grupo de cifras decimales después de la coma que se repite cíclicamente, entonces dicho número es un número decimal periódico puro. La cifra periódica se denota con el símbolo “ ”sobre dicho número, se ve en el ejemplo a continuación.

Ejemplo 29: = 1,6666666 … . = 1, 6 = 2,34343434 … . = 2, 34

= 3,3333333 … . = 3, 3

iii) Números Decimales Periódicos Mixtos: Si al efectuar el cociente de un número racional el número decimal que nos queda tiene una parte decimal que no se repite y otra que si lo hace después de la coma, entonces dicho número es un número decimal periódico mixto.

Ejemplo 30: = 1,8333333 … . = 1,83 = 1,8333333 … . = 1,83 = 2,985555 … . = 2,9855

iv) Números Decimales con Infinitas Cifras: No daremos una explicación en detalle de estos, simplemente diremos que estos números son como el conocido número 흅, es decir después de la coma tienen infinitas cifras decimales y nunca se repiten, en ninguna forma ni patrón. El número e, es otro caso de estos.

5.2) Suma y Resta con Números Racionales Puede ocurrir el caso que las fracciones o números racionales en la suma o resta tengan igual denominador o no, para resolver ambos casos se plantea:

i) Suma y Resta de Números Racionales con Igual Denominador: Esto tiene la siguiente forma y se resuelve como se muestra: + = ( )

Ejemplo 31: + = + =

ii) Suma y Resta de Números Racionales con Distinto Denominador:

Esto tiene la siguiente forma y se resuelve: + = ( . . )

.

Ejemplo 32: + = ( . . )

.= − = ( . . )

.=

iii) Multiplicación con Números Racionales:

En el caso de la multiplicación o la división no interesa si los denominadores de las fracciones son diferentes o iguales. La multiplicación se resuelve de la siguiente manera: . = ( . )

( . )

Cabe aclarar que en el caso de multiplicar números racionales con signos se cumplen las reglas de signos ya enunciadas.

Ejemplo 33: . = ( . )( . )

= − . − =

− . = −

iv) División con Números Racionales: La división siempre se resuelve de la siguiente manera: : = . = ( . )

( . )

Notar al igual que antes que se deben tener en cuenta las reglas de los signos.

Ejemplo 34: : = . = ( . )( . )

=

− : = − . = ( . )( . )

= −

− : − = − . − = ( ).( )( . )

=

v) Potenciación con Números Racionales:

Básicamente, y como ya se vio en la parte de potenciación, esta, es distribuible a la división y a la multiplicación, por lo cual basta aplicar dicha regla y tener en cuenta los signos para poder trabajar con potenciación de números racionales. Hay que pensar en estos como si trabajásemos con cocientes de dos números enteros.

Ejemplo 35: = =

− = − − =

− . − = − . = − − . − = − . 4 = −

vi) Radicación con Números Racionales: En la parte de radicación no vimos como tratar con radicación negativa, por el hecho de que resultaría complicado y es mejor tratarlo en esta parte. De todos modos ya sabemos que la radicación es la inversa de la potenciación, lo único que cambia en este caso es que se la aplicamos a números racionales. Pero recordando también aquí que la radicación es distributiva con la multiplicación y con el cociente, y considerando las reglas de los signos, es sencillo trabajar con radicación de números racionales. Se remarca otra vez aquí, que no existe solución para resolver una raíz cuadrada de un número negativo. Como breve recordatorio:

Si “n” es IMPAR, entonces: √푎 = 푎 Si “n” es PAR, entonces: √푎 = |푎|

Ejemplo 35: − = − = −

− − = − . − = . =

5.3) Ejercicios Capítulo 5 En base a las propiedades vistas sobre números racionales resolver los ejercicios propuestos sobre esto en el cuadernillo de práctica.

6. Ecuaciones e Inecuaciones Hablamos de ecuación cuando hacemos un planteo en forma matemática para hallar un valor o un resultado en base a otros datos certeros sobre un problema en particular. Por ejemplo, si sabemos que un auto viaja a 100 Km por hora, entonces podríamos saber cuánto tardara en recorrer 300 Km, si bien eso es una regla de tres simple y lo hemos estudiado en la primaria esta dentro de lo que se denomina una Ecuación de Primer orden, e intuitivamente sabemos resolverla. Ya que cualquiera de nosotros sabe que tardara 3 hs. En base a esto ya podemos definir lo que es una ecuación y saber de que estamos hablando.

Definición: Una Ecuación es una relación de igualdad entre ciertas variables donde siempre figura al menos una incógnita. Encontrar la solución a dicha ecuación, es encontrar un valor o valores para la o las incógnitas de tal modo que dichos valores verifiquen la igualdad planteada inicialmente.

Esto parece complicado, pero ya veremos con los ejemplos que es una forma bastante sencilla a la hora de plantearse y resolver un problema. 6.1) Ecuaciones de Primer Orden Hablar de ecuación de primer orden significa que estamos en presencia de una ecuación en la cual hay solo una incógnita o variable como es el caso del ejemplo planteado anteriormente. Además por ser una ecuación de primer orden tiene una única solución.

Ejemplo 36: x + 5 = 9 => x = 9 – 5 = 4

2x + 2 - 3 = 15 => 2x = 15 – 2 + 3 = 16 => x = = 8

4(x + 2) = 20 => (x + 2) = = 5 => x + 2 = 5 => x = 5 – 2 = 3 Como vemos de los ejemplos tratar con ecuaciones de primer orden es sencillo y en todos los casos se tiene una única incógnita con una única solución tal fue comentado anteriormente. 6.2) Ecuaciones de Segundo Orden de Una Variable Hablar de ecuación de segundo orden significa que estamos en presencia de una ecuación en la cual hay una incógnita o variable pero en este caso hay dos soluciones posibles. Generalmente, en las ecuaciones de segundo orden siempre hay una sola incógnita (o variable) y la ecuación tiene dos soluciones posibles, pero puede ocurrir que haya ecuaciones de segundo orden de dos variables o más. El orden lo da el valor de la potencia a la cual esta elevada la variable o incógnita, y la cantidad de variables se ven directamente en la ecuación. Nosotros en general siempre trabajamos con la variable x (que hace referencia a la incógnita), pero pudiese haber más de una variable como ser dos (x e y), tres (x, y y z), o más. Ya en el caso de tener varios órdenes de potencias y varias variables estaríamos frente a un polinomio, los cuales se verán más adelante, y a su vez empezaríamos a resolver dichas ecuaciones con otros métodos más avanzados, por ejemplo con determinantes y matrices. Ahora bien, veamos algunos ejemplos de ecuaciones de segundo orden con una única variable y su forma de resolverlas.

Ejemplo 37: x2 + 5 = 9 => x2 = 9 – 5 = 4 => x = √4 = 2 x = √4 = −2 Como ya se dijo en la parte de radicación, siempre adoptaremos el valor positivo, aunque puede verificarse tal cual lo explicado que la ecuación planteada anteriormente posee dos soluciones posibles por ser de segundo orden. A continuación se muestra un ejemplo un poco más complicado, del cual primero debemos trabajar la ecuación inicial para poder resolverla, y luego de reordenada, se obtienen las soluciones. Ejemplo 38:

푥 + 5푥 = 4푥 + ∶ + => 푥 + 5푥 = 4푥 + . 2 + => 푥 + 5푥 = 4푥 + 푥 + => 푥 + 5푥 = 5푥 + => 푥 + 5푥 − 5푥 = => 푥 = => 푥 = : = . 4 => 푥 =

푥 = => 푥 =

=> 푥 = − Para verificar que verdaderamente las soluciones halladas de x en ambos ejemplos se cumplen o mejor dicho verifican la ecuación inicialmente planteada, solo basta con reemplazar el valor hallado como solución de x en la expresión inicial de la ecuación y en ambos lados del igual debería dar el mismo valor. Dejamos al alumno para que sea él quien pruebe esto aparte.

Cabe destacar que las ecuaciones planteadas en los dos ejemplos anteriores son de sencilla solución y de hecho llegar a un resultado en ambos casos fue bastante intuitivo, ahora bien, en el caso de tener ecuaciones de segundo orden o superior no siempre es tan fácil llegar a una solución, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 39:

x2 + 4x – 14 = – 2 => x2 + 4x – 14 + 2 = 0 => x2 + 4x – 12 = 0 => x( x + 4 ) – 12 = 0 => x( x + 4 ) = 12

Puede notarse claramente en este ejemplo que al final se ha llegado a una expresión de la cual no puede resolverse fácilmente la ecuación. Ahora bien si se mira intuitivamente la expresión final, podemos notar que por ejemplo si x = 2, entonces hemos encontrado una de las dos posibles soluciones para resolver la ecuación. Pero esto de mucho no nos sirve ya que nosotros quisiéramos saber cómo llegar a la solución, y no obtener su valor de una Manera Intuitiva, sino todo lo contrario, aprovechando herramientas del cálculo, y resolver dicha ecuación de alguna manera metódica y siempre de la misma manera. En el siguiente ítem de este capítulo se explica cómo resolver una ecuación de segundo orden. 6.3) Solución para una Ecuación de 2do orden con única variable - Resolvente Para poder llegar a la solución de una ecuación de segundo orden debemos primero reescribir dicha ecuación trabajando con sus términos de manera de escribirla siempre de una misma manera. Esto se simplifica básicamente a que cualquier ecuación de 2do orden debe ser escrita de la siguiente manera:

푎푥 + 푏푥 + 푐 = 0 Luego de escribir la ecuación de esta forma, entonces podremos hallar la solución de dicha ecuación utilizando una simple fórmula que se explica a continuación. Previo a esto último introducimos la siguiente definición. Definición: Una Ecuación de segundo orden escrita de la manera: 푎푥 + 푏푥 + 푐 = 0

Tiene dos soluciones posibles, las cuales pueden encontrarse resolviendo la siguiente expresión para x.

푥 , =(−푏 ± √푏 − 4 푎 푐)

2푎=>

=> 푥 =(−푏 + √푏 − 4 푎 푐)

2푎

=> 푥 =(−푏 − √푏 − 4 푎 푐)

2푎

En donde a y b son los coeficientes que respectivamente en la ecuación multiplican a x2 y a x y el último termino es el término independiente. El lector podrá ver que cualquier ecuación de segundo orden con una única variable puede expresarse de dicha manera y por lo tanto puede ser resuelta y encontrar sus dos posibles soluciones utilizando la fórmula propuesta. A continuación se ven algunos ejemplos de lo expuesto. El primero muestra la solución de la ecuación del ejemplo anterior.

Ejemplo 40:

Tal como se comento, comenzaremos mostrando como hallar la solución de la ecuación planteada en el ejemplo anterior; a saber teníamos:

푥 + 4푥 − 14 = −2

=> 푥 + 4푥 − 14 + 2 = 0 => 푥 + 4푥 − 12 = 0 luego, según lo expuesto anteriormente los tres coeficientes son:

푎 = 1 ,푏 = 4 , 푐 = −12

Por lo cual resolviendo las dos fórmulas propuestas para la solución de la ecuación de segundo orden tenemos: Aplicando la primer resolvente de la ecuación (x1):

=> 푥 =(−푏 + √푏 − 4 푎 푐)

2푎=

(−4 + 4 − 4.1. (−12))2.1

= (−4 + √16 + 48)

2= −4 + √64

2=

−4 + 82

=> => 푥 = 2 Acá vemos que la primer solución arroja el valor que intuitivamente sabíamos era una posible solución. Ahora veamos la solución que arroja la otra fórmula de resolvente (la de x2):

=> 푥 =(−푏 − √푏 − 4 푎 푐)

2푎=

(−4− 4 − 4.1. (−12))2.1

= (−4− √16 + 48)

2=

−4− √642

= −4− 8

2=>

=> 푥 = −6 Verdaderamente si reemplazamos cualquiera de ambos valores obtenidos en la ecuación planteada inicialmente veremos que dicha ecuación se verifica para ambos valores de x.

Ejemplo 41:

En este ejemplo primero se da una ecuación desordenada, luego se llega a la forma de: ax2 + bx + c = 0 y por último se resuelve la ecuación utilizando la resolvente. Ecuación Propuesta => 3x2 – 4x + 10 = 2 x2 – x + 8 Reordenamos => 3x2 – 2x2 – 4x + x + 10 – 8 = 0 => x2 – 3x + 2 = 0 Y los coeficientes son => a = 1 ; b = – 3 ; c = 2 La primer resolvente arroja:

=> 푥 =(−푏 + √푏 − 4 푎 푐)

2푎=

(3 + (−3) − 4.1.2)2.1

= (3 + √9− 8)

2=

3 + 12

=> 푥 = 2 Y la segunda resolvente arroja:

=> 푥 =(−푏 + √푏 − 4 푎 푐)

2푎=

(3− (−3) − 4.1.2)2.1

= (3− √9 − 8)

2=

3 − 12

=> 푥 = 1 Notar que no siempre la solución va a dar un número redondo y exacto. En este caso hemos usado una ecuación con números exactos para mejor entendimiento, nada más. Si reemplazamos cualquiera de ambos valores en la ecuación inicial verificamos que la ecuación tiene solución y los términos a ambos lados se igualan, solo mostraremos esto para la primer solución, el lector puede verificar el otro caso: Ecuación Propuesta => 3x2 – 4x + 10 = 2 x2 – x + 8 Reemplazamos el valor de x1 = 2

=> 3(2)2 – 4(2) + 10 = 2 (2)2 – (2) + 8 => 12 – 8 + 10 = 8 – 2 + 8 => 14 = 14

6.4) Inecuaciones Como vimos recientemente podemos decir que una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números desconocidos que llamamos incógnitas.

Y resolver una ecuación es justamente encontrar el valor de “la” o “las incógnitas” que hacen verdadera a la igualdad. Además de lo anterior, a veces, en las situaciones reales, en vez de plantearse igualdades se plantean desigualdades, que también poseen incógnitas y justamente resolverlas es encontrar el valor de dichas incógnitas tales que verifiquen la desigualdad propuesta. Como sería una desigualdad o inecuación ?, planteamos por ejemplo una situación como la siguiente: El sonido viaja a 345 m/seg, entonces, cuanto seria el “tiempo mínimo requerido” para que pueda recorrer 1000 mts. Esto matemáticamente expresado es: 345 mts _____ 1seg

1000 mts _____ luego: 푥 > ( ). ( )( )

= 2,8986 푠푒푔 => 푥 > 2,8986 푠푒푔. Puede verse entonces que cuando 푥 sea mayor a ese tiempo siempre se verificará que el sonido ha recorrido una distancia mayor a 1000 mts, y esto último es lo que expresa la inecuación planteada. Veamos a partir de lo anterior algunos ejemplos de inecuaciones cotidianos:

Ejemplo 42:

En este ejemplo, veremos cómo se expresan en forma de inecuaciones expresiones que normalmente usamos:

- Se imprimieron por lo menos 700 copias => 푥 > 700 푐표푝푖푎푠

- La cantidad de inscriptos en la materia no supera los 40 => 푥 < 40 푖푛푠푐푟푖푝푡표푠

- Este ascensor soporta como máximo 380 kilogramos => 푥 < 380 퐾푔

Ejemplo 43:

Planteemos otra situación real pero esta vez con dos restricciones simultaneas, esto último nos lleva a plantear dos inecuaciones, veamos el problema: Juan posee $50 para comprar sándwiches y gaseosas para una fiesta. Pero: a) Si lleva 8 bandejas de sándwiches no le alcanza la palta. b) Y si lleva 4 bandejas de sándwiches y gasta $15 en gaseosas, le sobra plata. Luego, en base a las dos situaciones anteriormente podemos plantear las siguientes dos inecuaciones: a) => 8푥 > 50 b) => 15 + 4푥 < 50 De acuerdo a las dos inecuaciones anteriores podríamos hallar los valores de 푥 que verifican ambas inecuaciones. En el primer caso será:

a) => 8푥 > 50 y por lo cual: => 푥 > => 푥 > 6,25 En este caso vemos que 푥 > 6,25, es decir que cualquier valor de 푥 que sea mayor a 6,25 verificará la inecuación y cumplirá con la desigualdad planteada. Y en el segundo caso será:

b) => 15 + 4푥 < 50 y por lo cual: => 푥 < => 푥 < 8,75

Al igual que el caso anterior vemos que cualquier valor de 푥 que sea menor que 8,75 verificará la desigualdad planteada en la inecuación. No ahondaremos más en la parte de inecuaciones, ya que la manera de resolver las mismas es exactamente igual a la manera en que se resuelven las ecuaciones. La única diferencia sustancial entre ecuaciones e inecuaciones es que en las ecuaciones usamos el operador “=” y en las inecuaciones usamos los operadores “>” y “<”. El resto de los elementos usados es igual en ambos casos y la forma de trabajo para resolver tanto las ecuaciones como las inecuaciones es la misma, planteada ya en la parte de ecuaciones.

6.5) Ejercicios Capítulo 6 De acuerdo a lo visto sobre ecuaciones e inecuaciones se proponen resolver los ejercicios de este capítulo dados en el cuadernillo de práctica.

7. Polinomios Si bien este tema es un poco más complicado y ajeno a lo que se pretende en este apunte es necesario verlo ya que está relacionado directamente con manejo de ecuaciones y expresiones algebraicas. De todos modos no se dará de una manera profunda ni muy detallada, solo se expondrá lo básico y necesario para poder entender los demás conceptos venideros. Definición: Un Polinomio es una expresión algebraica donde aparecen números reales, a los cuales llamaremos coeficientes y una parte literal que llamaremos variables. A su vez dichas variables están multiplicadas por los coeficientes y ligadas entre sí por una suma o resta. Como ultimo cabe destacar, que las variables tienen potenciación, es decir ser de primer, segundo, o más grados. De acuerdo a esto un polinomio puede escribirse de la siguiente manera: an. xn + an – 1. xn– 1 + an – 2. xn– 2 + … + a2 . x2 + a1 . x1 + a0 . x0 Notar que x1 es simplemente x y que x0 es 1, con lo cual los dos últimos términos son simplemente: a1 . x + a0 La Ecuación de Segundo Orden escrita de la manera ax2 + bx + c = 0 es justamente expresada como un polinomio. Veamos algunos casos típicos:

Ejemplo 44:

A continuación se muestran varios tipos de polinomios: 4x 300 + 5x x2 50 – x 6x2 x2 – 3x + 5 x4 + x2 + 2 x3 + 2x + x2 + 1

Como dijimos los polinomios tienen grados, por ejemplo los dos últimos polinomios del ejemplo son de tercer y cuarto orden, ya que uno posee una potencia de 3 (el último), y el otro una potencia de 4. Con respecto a cómo escribir un polinomio partiendo de una expresión algebraica, decimos que el polinomio esta correctamente escrito cuando se llega a su mínima expresión, es decir a su forma más reducida. Esto se da cuando ya se efectuaron todas las operaciones posibles, veámoslo con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 45:

Supongamos tener una expresión de la siguiente manera:

P(x) = 6 . (x – 2) + x . (x – 2) luego trabajando tenemos: P(x) = 6x – 12 + x2 – 2x => P(x) = x2 + 4x – 12 Esto último es lo que se conoce como polinomio reducido y es como se debe escribir un polinomio, con sus potencias ordenadas de mayor a menor y afectadas por sus coeficientes. 7.1) Adición y Sustracción de Polinomios La adición o suma de polinomios es simplemente obtener otro polinomio sumando solo los términos semejantes entre sí.

Para sumar polinomios se aplican las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. A continuación se muestra en el ejemplo.

Ejemplo 46:

Supongamos tener los dos siguientes polinomios: P1(x) = 5x3 + 1,5x2 + 2x – 12 P2(x) = 3x3 + 1x2 – x + 12

Luego si queremos obtener un polinomio P3(x) que sea la suma de ambos hacemos:

P3(x) = P1(x) + P2(x) = (5x3 + 1,5x2 + 2x – 12) + (3x3 + 1x2 – x + 12) P3(x) = 5x3 + 1,5x2 + 2x – 12 + 3x3 + x2 – x + 12 = 5x3 + 3x3 + 1,5x2 + x2 + 2x – x – 12 + 12 P3(x) = (5x3 + 3x3) + (1,5x2 + x2) + (2x – x) + (– 12 + 12) =>

=>P3(x) = 3x3 + 2,5x2 + x De esta manera se llego al nuevo polinomio tal cual se describió. La operación de sustracción es similar, al restar dos polinomios, lo que se hace es ir restando los términos de iguales potencias entre si uno a uno. A continuación se ve en el ejemplo.

Ejemplo 47:

Supongamos tener los dos mismos polinomios del ejemplo anterior pero ahora realizamos la resta entre ambos. P1(x) = 5x3 + 1,5x2 + 2x – 12 P2(x) = 3x3 + 1x2 – x + 12 Luego P3(x) = P1(x) – P2(x) = (5x3 + 1,5x2 + 2x – 12) – (3x3 + 1x2 – x + 12) P3(x) = 5x3 + 1,5x2 + 2x – 12 – 3x3 – x2 + x – 12 = 5x3 – 3x3 + 1,5x2 – x2 + 2x + x – 12 – 12 P3(x) = (5x3 – 3x3) + (1,5x2 – x2) + (2x + x) + (– 12 – 12) => =>P3(x) = 2x3 – 0,5x2 + 3x – 24

7.2) Multiplicación de Polinomios Para multiplicar polinomios entre sí, simplemente se aplican las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de la suma. Esto se entenderá viéndolo en los ejemplos

Ejemplo 48:

Supongamos tener los dos siguientes polinomios: P1(x) = 5x – 2 P2(x) = 4x + 1 luego como P3(x) = P1(x) * P2(x) => P3(x) = (5x – 2) . (4x + 1) = 5x . 4x + 5x . 1 + (– 2).4x + (– 2).1 = 20x2 + 5x – 8x – 2 => P3(x) = 20x2 – 3x – 2

Supongamos ahora tener: P1(x) = x2 – 2x + 1 P2(x) = 2x + 1 luego como P3(x) = P1(x) * P2(x) => P3(x) = (x2 – 2x + 1) . (2x + 1) = (x2 . 2x) + (x2 . 1) + (– 2x . 2x) + (– 2x . 1) + (1 . 2x) + (1 . 1) => P3(x) = 2x3 + x2 – 4x2 – 2x + 2x + 1 = 2x3 – 2x2 + 1

7.3) Potenciación de Polinomios En esta parte primero veremos la potenciación de un polinomio con un solo elemento, el cual se denomina monomio. Luego de esto veremos cómo se eleva un polinomio a la enésima potencia.

i) Potenciación de un Monomio:

El primer caso es sencillo, solo se debe aplicar la propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicación y también la propiedad de potencia de potencia. Si el lector no recuerda esto debe remitirse a la parte de potenciación del apunte. Veámoslo en el ejemplo.

Ejemplo 49:

Sea el polinomio P(x) = –3x2 lo elevaremos a diferentes potencias: P(x) = –3x2 => (P(x)) 2 = (–3x2 ) 2 = (–3)2 . (x2)2 => (P(x))2 = 9x4 P(x) = –3x2 => (P(x)) 3 = (–3x2 ) 3 = (–3)3 . (x2)3 => (P(x))2 = –27x6 P(x) = –3x2 => (P(x)) 4 = (–3x2 ) 4 = (–3)4 . (x2)4 => (P(x))2 = 81x8

ii) Potenciación de un Binomio: En muchas aplicaciones prácticas se requiere hacer esta operación aunque parece un tanto más compleja que el caso anterior, esto no debe preocupar, ya que de lo que se trata es de llevar a términos básicos los polinomios y siempre se los piensa como cuadrados y cubos de polinomios. Con lo cual entender el cuadrado de un binomio es en sí entender cualquier operación con potenciación de polinomios. En los siguientes ejemplos se dan el cuadrado y cubo de un binomio ya que de ellos derivan el resto.

Ejemplo 50: Cuadrado de un binomio

Primero haremos el cuadrado de un binomio desarrollándolo, luego veremos que hay una formula más sencilla, que si uno la recuerda lo resuelve más fácilmente, Supongamos tener:

P(x) = 2x + 1 luego como [P(x)]2 = P(x) * P(x) => [P(x)]2 = (2x + 1) . (2x + 1) P(x) = (2x . 2x) + (2x . 1) + (1 . 2x) + (1 . 1) = 4x2 + 2x + 2x + 1 => P(x) = 4x2 + 4x + 1

Puede verse que no es de difícil solución, de todos modos hay una ecuación que lo resuelve aun mas rápido, y el lector podrá comprobarlo mirando el resultado recién dado. Dicha fórmula dice que: Teniendo un binomio del tipo P = (a + b), el cuadrado de dicho binomio, puede resolverse como: [P] => [(a + b)]2 = a2 + 2ab + b2 Lo cual expresado con palabras dice que el cuadrado de un binomio es: el cuadrado del primer término, mas el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo.

Ejemplo 51: Cubo de un binomio

Supongamos el mismo binomio del ejemplo anterior pero ahora elevado al cubo, esto será:

P(x) = 2x + 1 => [P(x)]3 = P(x) * P(x) * P(x) => [P(x)]3 = (2x + 1) . (2x + 1) . (2x + 1)

Puede verse claramente de esto último que:

[P(x)]3 = (2x + 1) . (2x + 1) . (2x + 1) = (2x + 1)2 . (2x + 1) y por lo cual el cuadrado ya lo tenemos resuelto del ejemplo anterior, entonces si lo expresamos de dicha manera nos queda:

[P(x)]3 = (2x + 1) . (4x2 + 4x + 1) , aquí se reemplazó (2x + 1)2 por su expresión ya desarrollada.

Luego si ahora, como en el ejemplo anterior distribuimos el primer binomio, tenemos:

[P(x)]3 = (2x + 1) . (4x2 + 4x + 1) = (2x .4x2 ) + (2x. 4x ) + (2x. 1 ) + (1 . 4x2 ) + (1 . 4x) + (1 . 1) => [P(x)]3 = 8x3 + 8x2 + 2x + 4x2 + 4x + 1 = 8x3 + 12x2 + + 6x + 1

Como puede verse en este ejemplo, siempre las potencias mayores al cuadrado, pueden descomponerse en un cuadrado por el polinomio original. Por ejemplo, vimos recién que: (a+b)3 = (a+b)2 * (a+b) Ahora bien, si fuera elevado a la cuarta se expresaría como un producto de cuadrados del polinomio original. Es decir

(a+b)4 = (a+b)2 * (a+b)2 y el caso de elevarlo a la quinta como: (a+b)5 = (a+b)2 * (a+b)2 * (a+b)

Y así para cualquier orden superior de potencia. Es por esto importante que el alumno comprenda como resolver el cuadrado de un binomio porque de allí derivan todos y sabiendo eso podrá resolver cualquier otro caso.

NOTA: La división de polinomios no se verá por dos razones, una que para el alcance de este apunte es innecesario y raramente sea usada y otra porque habiendo entendido lo anterior la división de dos polinomios podría pensarse como un producto de los polinomios con uno de ellos (el polinomio divisor) elevado a la –1. 7.4) Ejercicios Capítulo 7 En base a lo visto sobre polinomios se dan una serie de ejercicios en el cuadernillo práctico, de todos modos y a diferencia de los temas anteriores no hay demasiados, ya que no es un tema muy usado, de hecho los ejercicios que se dan son sencillos y es para que el alumno termine de cerrar las ideas respecto al tema.

8. Gráficas 8.1) Uso de Gráficas En esta parte veremos cómo hacer uso de gráficas y curvas utilizadas para brindarnos cierta información requerida de un dispositivo o darnos algún valor numérico de una variable para efectuar un cálculo. Pueden ser ejemplos de esto: la respuesta en frecuencia de un micrófono, la ganancia de un amplificador, el nivel de presión sonora en un altavoz y otros. O también valernos de un gráfico para calcular por ejemplo el tiempo de reverb óptimo de una habitación, el nivel de audición del oído para diferentes presiones, el valor de un coeficiente, etc. Comenzaremos diciendo que los gráficos en su mayoría serán en función de dos variables, por ejemplo el volumen en función de la distancia o la ganancia de un amplificador en función de la frecuencia, etc. Por lo cual en un eje representaremos a una variable y en el otro eje a la otra variable en cuestión. El eje vertical de la grafica será el “eje y” o el eje de la variables “y” y el eje horizontal será el eje de las “x” o simplemente el “eje x”. Veamos algunos de estos gráficos de aplicación del campo de audio en el ejemplo que sigue. Ejemplo 52: En este ejemplo se muestran algunas gráficas y curvas utilizadas para efectuar cálculos en el campo del audio.

La gráfica anterior da una representación en dos ejes cartesianos de cómo el campo directo sonoro emitido desde una fuente (por ejemplo un altavoz) se atenúa 6 dB cada vez que se duplica la distancia. Para hacer uso de ella, basta con solamente entrar por un eje tocar la curva y en ese lugar salir por el otro eje. Por ejemplo, supongamos que sabíamos que a 16 metros de distancia el campo directo para una fuente dada valía 72 dB, como se muestra en la grafica. Si quisiésemos saber cuánto vale en 8 metros, entramos por el número 8 del eje horizontal tirando una recta vertical hasta tocar la curva y a partir de allí salimos con una línea horizontal hasta tocar el eje vertical y en ese lugar el número que leemos es el valor buscado. En este caso son 78 dB. Otra gráfica utilizada es la que se muestra a continuación. En la misma muestra el Tiempo de Reverb óptimo para determinados lugares. Como puede verse , en el eje vertical tenemos valores de tiempo comprendidos entre 0 y 2,2 segundos. Estos valores de tiempo representan un valor de tiempo de reverberancia óptimo. No explicaremos aquí que es la reverberancia, esto el alumno lo verá en la asignatura Acústica. Por otro lado en el eje horizontal tenemos volumen, debe destacarse que este volumen se trata de “Tamaño Físico”, es decir de metros cúbicos (largo x alto x ancho) que posee un lugar. Por ejemplo, y para que se entienda este hecho, una habitación de 2 metros de ancho por 3 metros de largo por 2 metros de alto tiene 12 metros cúbicos (12 m3). Y a su vez, debido a su tamaño y el tipo de lugar, el sonido tardará más o menos en extinguirse dentro de dicha habitación; ese tiempo es el tiempo de reverberación. Esta es una explicación a groso modo. Por lo cual el uso de esta grafica es simplemente obtener a partir de la dimensión del lugar y el tipo de lugar su valor de reverberación óptimo, este justamente, es el tiempo de reverberancia óptimo debido a dicho lugar, se simboliza T60op. , y se mide en segundos.

Como pudo verse en el ejemplo y tal cual se mencionó anteriormente siempre en las gráficas hay dos ejes y la idea del uso de las mismas es entrar por un eje chocar con la curva y salir por el eje vertical y así obtener el valor buscado. La metodología del uso de curvas y graficas es bastante sencilla y por lo cual no haremos demasiadas aclaraciones. Más adelante se verá que las gráficas están enteramente relacionadas con ecuaciones que las rigen y que justamente los valores también pueden obtenerse de dichas ecuaciones. Cuando una ecuación representa una relación entre dos o más variables se denomina función y es justamente lo que se trata en el siguiente capítulo. 8.2) Ejercicios Capítulo 8 Se proponen estos en el cuadernillo de práctica.

9. Funciones 9.1) Introducción – Funciones Básicas Como dijimos básicamente una función es una ecuación que relaciona una o más variables. Comenzaremos con el caso más básico en el cual tenemos dos variables, una variable independiente que llamaremos “x” y será la variable de entrada a la ecuación y una variable dependiente que llamaremos “y” la cual estará expresada en función de x, según la ecuación que las relacione. Por lo cual, de acá se deduce la idea de que: una función es una ecuación que asigna un único valor a la variable “y” el cual se corresponde con un valor de la variable “x”.

Por otro lado la variable “x” es una variable independiente y la variable “y” es una variable dependiente, la que efectivamente depende justamente de “x” como se comento arriba. Veámoslo en el siguiente ejemplo. Ejemplo 53: Supongamos tener una ecuación de la siguiente manera: y = 2x Si le damos valores a “x”, por ejemplo 1, 2 y 3, para dichos valores la variable “y” valdrá: 1, 4 y 6 respectivamente. Esto lo podríamos graficar en dos ejes tal como se planteó anteriormente, luego la gráfica que expresa la función propuesta es:

Ejemplo 54: Veamos otra función bastante conocida que es la función y = x2, esta función también puede ser representada en dos ejes, y de hecho, se hace el mismo análisis que en el ejemplo anterior. Si le damos valores a “x”, por ejemplo 1,2 y 3, vemos que la variable “y” toma los valores 1,4 y 9 respectivamente. Esto gráficamente es:

A igual manera que en el ejemplo anterior se ve que ambas variables están relacionadas por una curva y dicha curva representa la relación que tienen entre sí x e y, lo cual matemáticamente se expresa a su vez con la función y = x2. 9.2) Funciones Especiales – Seno y Logaritmo En esta parte se tratan dos funciones especiales que se usan ampliamente en el campo del audio. Una de ellas es la función seno y básicamente es la función base y generatriz de todos los sonidos. Y la otra es la función logaritmo, la cual se utiliza mucho para la parte de cálculos en lo que refiere a volumen, presión sonora, nivel de presión sonora, potencia y otras. De todos modos por ahora no nos importa que aplicaciones prácticas tienen estas funciones, ya que esto el alumno lo verá durante la carrera y de hecho las utilizará seguidamente. Lo que si nos importa es básicamente que el alumno tenga conocimiento de ambas funciones y pueda hacer uso de ellas sin ninguna dificultad. 9.3) Función Seno

El Seno es una función trigonométrica y se genera básicamente al graficar en dos ejes el giro de una aguja (por decirlo de una manera burda). Antes de analizar esto, daremos una breve descripción de triangulo rectángulo, que nos servirá como puntapié para poder graficar la función seno. Para definir funciones trigonométricas siempre se plantea un triangulo rectángulo, como sabemos en el mismo tenemos un ángulo (que llamaremos α), y cada uno de los lados que conforman dicho triangulo, veámoslo en un dibujo:

Definición: Luego de lo anterior, decimos que la función seno se define de manera teórica como:

(Y entiéndase como definición una imposición matemática) Ahora bien, a modo de ejemplo, supongamos el giro de una aguja en un reloj, todos sabemos que al girar describe una circunferencia. Imaginemos ahora sobre el triángulo de la figura anterior que la aguja fuera la hipotenusa y el vértice “A” fuera el centro del reloj. Puede verse muy claro que si el seno se define como el valor del cateto opuesto dividido la hipotenusa, entonces dicha división irá cambiando, y tomara diferentes valores a medida que la aguja gire. Ya que la hipotenusa tendrá siempre el mismo valor pero el cateto opuesto al ángulo irá cambiando su valor. Justamente la función seno describe dicha relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto a medida que este último vaya cambiando. Por ejemplo si el ángulo fuera cero grados, la aguja (o lo que es lo mismo la hipotenusa) coincidiría con el cateto adyacente y en ese caso el valor del cateto opuesto seria de cero. Por lo cual la función seno valdrá cero. Es decir cuando el ángulo es cero el seno vale cero. Luego a medida que el ángulo vaya creciendo la aguja (o hipotenusa) saldrá de ese lugar y el cateto opuesto irá creciendo en valor (pensando que la aguja gira en sentido antihorario), y por lo cual el valor de la función seno se irá incrementando. Con lo cual al incrementar el ángulo se incrementara el seno. Y así ocurrirá para cada valor que tome el ángulo “α”. Si bien esto último resulta un poco complicado es una explicación a groso modo, y no nos meteremos más en detalle de cómo se genera la función seno, basta solamente con entender la definición. De hecho el alumno para calcular valores con dicha función, simplemente utilizará la tecla de la calculadora “SEN” o “SEN X”. Para hacer dicho cálculo simplemente se ingresa en la calculadora el valor del ángulo en cuestión y al oprimir dicha tecla la calculadora automáticamente nos arrojara el valor de la función seno para dicho ángulo. Por último mostramos como es la función seno en la siguiente gráfica:

Cada uno de los lados se denominan a saber: hipotenusa, cateto opuesto y cateto adyacente, y son los que se muestran en el dibujo.

-La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. -El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que nos interesa. -Y el cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo.

Analizando la gráfica podemos ver que el seno es una función que va cambiando momento a momento en el tiempo, de hecho toma valores positivos y negativos. Esto último se debe a que al girar la hipotenusa va describiendo una circunferencia completa, entonces los valores del cateto opuesto tendrán valores tanto positivos como negativos y por lo cual el cociente que describe a la función seno también. Un giro completo de la hipotenusa describe lo que se llama un ciclo, dicho ciclo en la gráfica del seno se muestra marcado. El próximo ciclo corresponderá al segundo giro y así sucesivamente.

9.4) Función Logaritmo La función logaritmo, es una función que se usa bastante en el campo del audio. Algunas aplicaciones son: para transformar a decibeles algún tipo de señal, para expresar rangos dinámicos, para compresión de audio y demás. En esta parte simplemente daremos una breve descripción del logaritmo tal cual hicimos con el seno, ya que básicamente es para que el alumno comprenda un poco como es y de que se trata dicha función. Pero como se dijo antes en el campo práctico bastará con utilizar una calculadora, y al igual que en el caso del seno, hay una tecla en la calculadora llamada LOG. Por ende, lo único que hacemos es ingresar el valor del cual queremos saber el logaritmo y luego apretar la tecla LOG para que la calculadora nos arroje el valor. La Función Logaritmo, al igual que el seno, se propone como definición, y tal como se dijo debe tomarse esta como una definición “impuesta”. Es decir debe aceptarse como tal. A continuación mostramos como es. Definición: Dado un número real (que llamamos argumento), la función logaritmo asigna el exponente (o potencia) a la que un número fijo (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es decir básicamente, el logaritmo es la función inversa de la función exponencial x = bn, y nos permite obtener n. Luego, esta función se escribe como: n = logb x. Así, por ejemplo en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como: log10 100 = 2. Otro ejemplo seria: 34 = 81 => log3 81 = 4 De la definición anterior y comprendiendo el “criterio de función” del logaritmo, puede verse que dicha función es una de las “tres funciones relacionadas entre si” que se encuentran en una expresión del tipo: bn = x .

Ya que, si de dicha expresión quisiésemos obtener “b” lo haríamos con la Radicación, y si quisiésemos obtener el valor de “x” utilizaríamos la Potenciación y por ultimo si quisiésemos obtener a “n”, utilizaríamos el Logaritmo. A continuación se muestran gráficas del logaritmo para distintos valores de base.

Como último, comentaremos que existe un logaritmo muy usado además del logaritmo en base 10, que se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) y la única diferencia es que la base de dicho logaritmo es el número matemático “e” . Este número tiene infinitas cifras decimales y se considera un número especial en matemáticas así como lo es el numero (pi). El valor aproximado de este número es: e =2,71828182846. Esto último es a modo de comentario y no veremos cómo obtener el valor del número ”e” aquí. La idea es presentar al logaritmo llamado “ logaritmo neperiano” que tiene como base al número “e” y que ambos son muy utilizados en el campo de la matemática. De hecho son fundamentales en algunas áreas de la misma. 9.5) Ejercicios Capítulo 9 Ver ejercicios propuestos en el cuadernillo de práctica.

10. Notación Científica Si bien este tema se trata en el apunte de ejercicios con aplicación práctica aquí lo repetimos debido a que la pate de notación científica es bastante importante como herramienta en cálculos de sonido. La notación científica en sí, es una forma o manera abreviada para escribir números. Esto se debe a que a veces es muy difícil trabajar con números excesivamente grandes y con números excesivamente pequeños simultáneamente. Para subsanar un poco la cuestión de escribir muchas cifras se inventó la notación científica y así de alguna manera toda la numerología pueda operar en un mismo campo. Se usa en diferentes tipos de áreas. Muchos sabrán notación científica de la secundaria, la forma más fácil de interpretarlo es con varios ejemplos, estos se muestran a continuación: Supongamos queremos representar una cantidad grande, por ejemplo la distancia entre el sol y la tierra, que es de 150.000.000 Km, esto en notación científica es: 1,5 . 108 Básicamente lo que se hace es contar la cantidad de lugares que se corre la coma y luego se eleva el 10 a esa potencia. Observar que: 1,5 . 108 = 1,5 x 100.000.000 = 150.000.000 Notar que hay 8 ceros. Otro caso por ejemplo para el mismo número seria:

Acá vemos la Representación Gráfica de Logaritmos en varias bases, luego: - el rojo representa el logaritmo en base e -el verde corresponde a la base 10 -y el violeta al de la base 1,7 Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (x=1,y=0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno. Y también pasan los puntos (b, 1) para la base b, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.

150 . 106= 1,5 x 1.000.000 = 150.000.000 Notar que hay 6 ceros. Por otro lado la notación científica se puede usar como dijimos para números muy chicos, veamos esto: 0,00000028 = 2,8 x 10-7 Otra seria: 0,00000028 = 28 x 10-8

En estos casos lo que se hace es desplazar la coma hasta la posición del número y contar la cantidad de ceros eliminados y ese es el valor que se coloca en la potencia del 10. Como puede verse la potencia que afecta al 10 de la notación es positiva si la coma se corre hacia la derecha y negativa si la coma se corre hacia la izquierda. La idea general es contar la cantidad de lugares que se corre la coma para uno u otro lado y eso nos da la potencia que debe llevar el 10.